資源簡介

觀廟鎮高中2021-2022學年高二上學期12月月考
數學試卷（理科）
選擇題（共12小題）.
1.已知命題p:>,命題q: x∈R,ax2+ax+1>0,則p成立是q成立的(　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
2．拋物線y＝2x2的焦點到準線的距離為（　　）
A． B． C． D．4
3..已知，則下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D. 4.命題“對任意x[1,2],-a≤0”為真命題的一個充分不必要條件可以是
A.a≥4 B.a>4 C.a≥1 D.a>1
5..等比數列的前項和為，公比為，若，，則（ ）
A. B. 2 C. D. 3
6．已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為30°，且焦距為4，則雙曲線的方程為（　　）
A．x2﹣y2＝1 B． C． D．
7.下列命題錯誤的是
A.存在x∈R，使得2x＋2－x≥2
B.對任意的a，b∈(0，1)∪(1，＋∞)，logab＋logba≥2
C.若正實數a，b滿足4a＋b＝ab，則a＋b的最小值是9
D.函數f(x)＝sin2x＋的最小值是5
8．已知a＞0，b＞0，a+b＝2，則（　　）
A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值3 D．有最大值3
9．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝2acosA，則cosA＝（　　）
A． B． C． D．
10．已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點為F，過點F的直線分別交拋物線于A，B兩點，若|AF|＝4，|BF|＝1，則p＝（　　）
A． B．2 C． D．1
11．已知雙曲線的兩個焦點分別為F1，F2，雙曲線C上一點P在x軸上的射影為Q，且|PQ| |F1F2|＝|PF1| |PF2|，則|PF1|+|PF2|＝（　　）
A． B． C．10 D．20
12.已知直線經過橢圓的左焦點，交軸于點，交橢圓C于點，若，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
填空題.
13.若命題“”使是假命題，則實數的取值范圍為
14．若、滿足條件，當且僅當，時，取最小值，則實數的取值范圍是
15．已知等比數列{an}的前n項和Sn＝3n+1+λ，則a1+λ＝　 　．
16．點P為橢圓C上一動點，過點P作以橢圓短軸為直徑的圓的兩條切線，切點分別為M，N，若∠MPN＝60°，則橢圓C的離心率的取值范圍是　 　．
三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17.設：方程表示橢圓，：對任意實數恒成立，若是真命題，是假命題，求實數的取值范圍.
18在△ABC中，角所對的邊分別為，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范圍．
19．已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且經過點.
（1）求雙曲線的方程；
（2）求雙曲線的實軸長，離心率，焦點到漸近線的距離.
20．已知等比數列{an}的公比不為1，且a1＝1，2a3是3a2與a4的等差中項．
（Ⅰ）求{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{bn}滿足，求數列{bn}的前n項和Tn．
21．某廠家擬進行某產品的促銷活動，根據市場情況，該產品的月銷量（即月產量）m萬件與月促銷費用x萬元（x≥0）滿足（k為常數），如果不搞促銷活動，則該產品的月銷量是2萬件．已知生產該產品每月固定投入為8萬元，每生產一萬件該產品需要再投入5萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為元，設該產品的月利潤為y萬元．
注：利潤＝銷售收入﹣生產投入﹣促銷費用．
（Ⅰ）將y表示為x的函數；
（Ⅱ）月促銷費用為多少萬元時，該產品的月利潤最大？
22．已知橢圓的左、右兩個焦點分別是F1，F2，焦距為2，點M在橢圓上且滿足MF2⊥F1F2，|MF1|＝3|MF2|．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）點O為坐標原點，直線l與橢圓C交于A，B兩點，且OA⊥OB，證明為定值，并求出該定值．
參考答案
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．若集合M＝{x|0＜x≤3}，，則M∩N＝（　　）
A．（0，1] B．（1，2） C．（0，2] D．（0，1）
解：由，得N＝{x|﹣2≤x＜1}，
∵集合M＝{x|0＜x≤3}，
∴M∩N＝{x|0＜x＜1}＝（0，1）．
故選：D．
2．已知{an}是公差為2的等差數列，a3＝5，則a1＝（　　）
A．10 B．7 C．6 D．1
解：∵{an}是公差為2的等差數列，a3＝5，
∴a1＝a3﹣2d＝1．
故選：D．
3．拋物線y＝2x2的焦點到準線的距離為（　　）
A． B． C． D．4
解：根據題意，拋物線的方程為y＝2x2，其標準方程為x2＝y，
其中p＝，
則拋物線的焦點到準線的距離p＝，
故選：C．
4．已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為30°，且焦距為4，則雙曲線的方程為（　　）
A．x2﹣y2＝1 B． C． D．
解：由條件知，2c＝4，a2+b2＝4，所以b＝1，，
所以雙曲線的方程為．
故選：C．
5．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E是線段CC1的中點，則＝（　　）
A． B．
C． D．
解：．
故選：B．
6．設直線l的方向向量是，平面α的法向量是，則“l∥α”是“”的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解：由l∥α，得，則“l∥α”是“”的充分條件，
而不一定有l∥α，也可能l α，則“l∥α”不是“”的必要條件．
故“l∥α”是“”的充分不必要條件．
故選：A．
7．已知a＞0，b＞0，a+b＝2，則（　　）
A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值3 D．有最大值3
解：因為a+b＝2，所以a＝2﹣b，
所以＝（當且僅當a＝b＝1時等號成立）．
故選：C．
8．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝2acosA，則cosA＝（　　）
A． B． C． D．
解：因為c＝2acosA，
由余弦定理可得，將a＝3，b＝5代入整理得，
所以．
故選：D．
9．數列{an}滿足a1＝1，a2＝3，且an+1+2an+an﹣1＝0（n≥2），則{an}的前2020項和為（　　）
A．8080 B．4040 C．﹣4040 D．0
解：由遞推關系式可得a1+a2＝﹣（a2+a3），a2+a3＝﹣（a3+a4），
所以a3+a4＝a1+a2＝4，
同理可得a5+a6＝a7+a8＝ ＝a2019+a2020＝4，
所以S2020＝4×1010＝4040．
故選：B．
10．已知雙曲線的兩個焦點分別為F1，F2，雙曲線C上一點P在x軸上的射影為Q，且|PQ| |F1F2|＝|PF1| |PF2|，則|PF1|+|PF2|＝（　　）
A． B． C．10 D．20
解：由題意可得a＝2，，，PQ⊥x軸，
且因為|PQ| |F1F2|＝|PF1| |PF2|，
所以△PF1F2為直角三角形，PF1⊥PF2，
所以，
又因為||PF1|﹣|PF2||＝2a＝4，
所以，
所以|PF1| |PF2|＝6，
所以．
故選：B．
12．已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點為F，過點F的直線分別交拋物線于A，B兩點，若|AF|＝4，|BF|＝1，則p＝（　　）
A． B．2 C． D．1
解：由題意可知直線AB的斜率一定存在，設為k，直線方程y＝k（x﹣），
聯立消去y可得，
設A（x1，y1），B（x2，y2），所以．
又根據拋物線的定，，所以，解得．
故選：C．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．已知變量x，y滿足約束條件，則z＝2x﹣3y的最大值為　0　．
解：如圖所示，約束條件表示的可行域為△ABC內部和邊界，
z＝2x﹣3y，可得y＝x﹣z，由題意可知直線y＝x﹣z經過可行域的A點時，
目標函數的截距取得最小值，此時z取得最大值，
由，解得A（3，2）．
當x＝3，y＝2時，z＝2x﹣3y有最大值0．
故答案為：0．
14．已知等比數列{an}的前n項和Sn＝3n+1+λ，則a1+λ＝　3　．
解：根據題意，等比數列{an}的前n項和Sn＝3n+1+λ，
則a1＝S1＝32+λ＝9+λ，a2＝S2﹣S1＝33﹣32＝18，a3＝S3﹣S2＝34﹣33＝54，
則有（9+λ）×54＝182，解得λ＝﹣3，
則a1＝9+λ＝6，
故a1+λ＝6﹣3＝3，
故答案為：3．
15．點P為橢圓C上一動點，過點P作以橢圓短軸為直徑的圓的兩條切線，切點分別為M，N，若∠MPN＝60°，則橢圓C的離心率的取值范圍是　　．
解：設橢圓的中心為O，因為∠MPN＝60°，所以∠POM＝60°，
所以，所以|OP|＝2b，
橢圓上的點到原點距離最遠的是長軸端點，所以a≥2b，即，
所以離心率，
所以．
故答案為：．
16．已知平面四邊形ABCD為凸四邊形（四個內角均小于180°），且AB＝1，BC＝4，CD＝5，DA＝2，則平面四邊形ABCD面積的最大值為　　．
解：在△ABC中，AC2＝12+42﹣2×1×4×cosB＝17﹣8cosB，
在△ADC中，AC2＝52+22﹣2×5×2×cosD＝29﹣20cosD，
由上兩式得17﹣8cosB＝29﹣20cosD 5cosD﹣2cosB①．
又平面四邊形ABCD的面積②．
①②平方相加得S2+9＝4+25+20（sinBsinD﹣cosBcosD），
化簡即S2＝20﹣20cos（B+D），當B+D＝π時，S2取得最大值40，
即平面四邊形ABCD面積的最大值為.
故答案為：
三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17．設命題p：方程表示雙曲線；命題q：不等式對0＜x≤1恒成立．
（Ⅰ）若命題p∨q為真，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若命題p∨q為真，命題p∧q為假，求實數a的取值范圍．
解：（Ⅰ）當命題p為真時，由題意（a﹣3）（a+7）＜0，解得﹣7＜a＜3．
當命題q為真時，由題意可得，由此可得a＜1．
若命題p∨q為真命題，則﹣7＜a＜3或a＜1，
即a∈（﹣∞，3）．
（Ⅱ）命題p∨q為真，命題p∧q為假，則p，q一真一假．
若p真q假時，，∴1≤a＜3，
若p假q真時，，∴a≤﹣7，
綜上，a∈（﹣∞，﹣7]∪[1，3）．
18．已知等比數列{an}的公比不為1，且a1＝1，2a3是3a2與a4的等差中項．
（Ⅰ）求{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{bn}滿足，求數列{bn}的前n項和Tn．
解：（Ⅰ）設數列{an}的公比為q，
由條件知4a3＝3a2+a4，即，
整理可得q2﹣4q+3＝0，解得q＝3（q＝1舍去），
所以．
（Ⅱ），
所以＝．
19．如圖所示，在多面體BC﹣ADE中，△ADE為正三角形，平面ABCD⊥平面ADE，且BC∥AD，∠BAD＝60°，∠CDA＝30°，AB＝BC＝2．
（Ⅰ）求證：AD⊥CE；
（Ⅱ）求直線CD與平面BCE所成角的正弦值．
【解答】（Ⅰ）證明：如圖，過B作BF⊥AD于F，過C作CG⊥AD于G，連接GE．
可得BF∥CG，又因為BC∥AD，
在Rt△ABF中，因為∠BAD＝60°，AB＝2，所以AF＝1，，
所以，FG＝BC＝2，
在Rt△CDG中，∠CDG＝30°，．
所以AG＝GD，
因為△ADE為正三角形，所以GE⊥AD，
因為CG∩EG＝G，DG 平面CGE，EG 平面CGE，所以AD⊥平面CGE，
CE 平面CGE，所以AD⊥CE．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知GE，GD，GC兩兩互相垂直，
以G為坐標原點，GE，GD，GC所在直線為x，y，z軸建立空間坐標系，如圖所示．
則，，D（0，3，0），，
所以，，，
設平面BCE的法向量為，
所以，
取x＝1，可得，
所以，
所以直線CD與平面BCE所成角的正弦值為．
20．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，bcos＝asinB．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若D在邊BC上，AD是∠BAC的角平分線，AD＝，求△ABC面積的最小值．
解：（Ⅰ）由正弦定理及條件得，
因為B∈（0，π），sinB≠0，
所以，
又A∈（0，π），，
所以，
從而．
（Ⅱ）因為△ABC的面積等于△ABD和△ACD的面積之和，
得，
又因為，，
所以3bc＝2（b+c），
所以，得（當且僅當時等號成立）
所以△ABC的面積．
所以△ABC面積的最小值為．
21．某廠家擬進行某產品的促銷活動，根據市場情況，該產品的月銷量（即月產量）m萬件與月促銷費用x萬元（x≥0）滿足（k為常數），如果不搞促銷活動，則該產品的月銷量是2萬件．已知生產該產品每月固定投入為8萬元，每生產一萬件該產品需要再投入5萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為元，設該產品的月利潤為y萬元．
注：利潤＝銷售收入﹣生產投入﹣促銷費用．
（Ⅰ）將y表示為x的函數；
（Ⅱ）月促銷費用為多少萬元時，該產品的月利潤最大？
解：（Ⅰ）由題意知當x＝0時，m＝2，
則，解得k＝16，
所以，
而利潤，
又因為，
所以，x∈[0，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知y＝11.6﹣，
所以，
因為x≥0時，x+2≥2，
又因為，當且僅當＝x+2，即x＝2時等號成立，
所以y≤13.6﹣8＝5.6，
故月促銷費用為2萬元時，該產品的月利潤最大，最大為5.6萬元．
22．已知橢圓的左、右兩個焦點分別是F1，F2，焦距為2，點M在橢圓上且滿足MF2⊥F1F2，|MF1|＝3|MF2|．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）點O為坐標原點，直線l與橢圓C交于A，B兩點，且OA⊥OB，證明為定值，并求出該定值．
解：（Ⅰ）依題意|F1F2|＝2c＝2，所以c＝1．
由|MF1|＝3|MF2|，|MF1|+|MF2|＝2a，得，，
于是，
所以，
所以b2＝a2﹣c2＝1，
因此橢圓C的方程為．
（Ⅱ）證明：當直線l的斜率存在時，設直線AB：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
由消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
由題意，△＞0，則，
因為OA⊥OB，所以x1x2+y1y2＝0，
即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝0，
整理得3m2＝2（1+k2）．
而，
設h為原點到直線l的距離，則|OA||OB|＝|AB| h，
所以，
而，所以．
當直線l的斜率不存在時，設A（x1，y1），則有kOA＝±1，不妨設kOA＝1，則x1＝y1，
代入橢圓方程得，所以，
所以．
綜上．觀廟鎮高中2021-2022學年高二上學期12月月考
數學試卷（理科答案）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C B B B C B C D C B A
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．【答案】[-2,2]
【解析】因為命題“，使”是假命題，所以命題“，使”是真命題，即，從而實數的取值范圍是.
14.【答案】：(-1,)
【解析】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：
聯立，解得，即點，
由題意可知，當直線過點時，直線在軸上截距最大，
直線的斜率為，直線的斜率為，
而直線的斜率為，所以，.
15【答案】3
【解析】根據題意，等比數列{an}的前n項和Sn＝3n+1+λ，
則a1＝S1＝32+λ＝9+λ，a2＝S2﹣S1＝33﹣32＝18，a3＝S3﹣S2＝34﹣33＝54，
則有（9+λ）×54＝182，解得λ＝﹣3，
則a1＝9+λ＝6，
故a1+λ＝6﹣3＝3，
故答案為：3．
16【答案】
【解析】設橢圓的中心為O，因為∠MPN＝60°，所以∠POM＝60°，
所以，所以|OP|＝2b，
橢圓上的點到原點距離最遠的是長軸端點，所以a≥2b，即，
所以離心率，
所以
三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17.解答案】
【解析】
【詳解】若方程表示橢圓，則 且
∴真則且
若對任意實數恒成立
當時，恒成立
當時，則
∴真則
∵是真命題，是假命題∴、一真一假
若真假，則
若假真，則 或
故實數的取值范圍為
18． 解：（1）∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
（2）由余弦定理可知，代入可得
，
當且僅當時取等號，
∴，又，
∴的取值范圍是．
19.（1）解：在雙曲線中，，，
則漸近線方程為，
∵雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，
，
∴方程可化為，
又雙曲線經過點，代入方程，
，解得，，
∴雙曲線的方程為.
（2）解；由（1）知雙曲線中，
，，，
∴實軸長，離心率為，
設雙曲線的一個焦點為，一條漸近線方程為，
，
即焦點到漸近線的距離為.
20.解：（Ⅰ）設數列{an}的公比為q，
由條件知4a3＝3a2+a4，即，
整理可得q2﹣4q+3＝0，解得q＝3（q＝1舍去），
所以．
（Ⅱ），
所以＝．
21.解：（Ⅰ）由題意知當x＝0時，m＝2，
則，解得k＝16，
所以，
而利潤，
又因為，
所以，x∈[0，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知y＝11.6﹣，
所以，
因為x≥0時，x+2≥2，
又因為，當且僅當＝x+2，即x＝2時等號成立，
所以y≤13.6﹣8＝5.6，
故月促銷費用為2萬元時，該產品的月利潤最大，最大為5.6萬元．
22.解：（Ⅰ）依題意|F1F2|＝2c＝2，所以c＝1．
由|MF1|＝3|MF2|，|MF1|+|MF2|＝2a，得，，
于是，
所以，
所以b2＝a2﹣c2＝1，
因此橢圓C的方程為．
（Ⅱ）證明：當直線l的斜率存在時，設直線AB：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
由消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
由題意，△＞0，則，
因為OA⊥OB，所以x1x2+y1y2＝0，
即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝0，
整理得3m2＝2（1+k2）．
而，
設h為原點到直線l的距離，則|OA||OB|＝|AB| h，
所以，
而，所以．
當直線l的斜率不存在時，設A（x1，y1），則有kOA＝±1，不妨設kOA＝1，則x1＝y1，
代入橢圓方程得，所以，
所以．
綜上．

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