資源簡介

鹽城市、南京市2022屆高三年級第一次模擬考試
數(shù) 學(xué) 2022.01
(總分150分，考試時(shí)間120分鐘)
注意事項(xiàng)：
　　1．本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷．
　　2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．
　　3．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上．
第I卷（選擇題 共60分）
一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是
符合題目要求的)
1．已知集合M＝{y|y＝sinx，x∈R}，N＝{y|y＝2x，x∈R}，則M∩N＝
A．[－1，＋) B．[－1，0) C． [0，1] D．(0，1]
2．在等比數(shù)列{an}中，公比為q，已知a1＝1，則0＜q＜1是數(shù)列{an}單調(diào)遞減的 條件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
3．某中學(xué)高三(1)班有50名學(xué)生，在一次高三模擬考試中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得：數(shù)學(xué)成績X~N(110，100)，則估計(jì)該班數(shù)學(xué)得分大于120分的學(xué)生人數(shù)為
(參考數(shù)據(jù)：P(|X－μ|＜σ)≈0.68，P(|X－μ|＜2σ)≈0.95)
A．16 B．10 C．8 D．2
4．若f(α)＝cosα＋isinα(i為虛數(shù)單位)，則[f(α)]2＝
A．f(α) B．f(2α) C．2f(α) D．f(α2)
5．已知直線x＋y＋a＝0與⊙C：x2＋(y－1)2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，且△ABC為等邊三角形，則實(shí)數(shù)a＝
A．－4或2 B．－2或4 C．－1± D．－1±
6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A(1，0)，B(3，4)，向量＝x＋y，x＋y＝6，則||的最小值為
A．1 B．2 C． D．2
7．已知α＋β＝(α＞0，β＞0)，則tanα＋tanβ的最小值為
A． B．1 C．－2－2 D．－2＋2
8．已知f(x)＝，則當(dāng)x≥0時(shí)，f(2x)與f(x2)的大小關(guān)系是
A．f(2x)≤f(x2) B． f(2x)≥f(x2) C． f(2x)＝f(x2) D． 不確定
二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分)
9. 若函數(shù)f(x)＝cos2x＋sinx，則關(guān)于f(x)的性質(zhì)說法正確的有
A．偶函數(shù) B．最小正周期為π
C．既有最大值也有最小值 D．有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)
10．若橢圓C：(b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，則下列b的值，能使以F1F2為直徑的圓與橢圓C有公共點(diǎn)的有
A．b＝ B．b＝ C．b＝2 D．b＝
11．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－1)，記在數(shù)列{an}的前n＋2(n∈N*)項(xiàng)中任取兩項(xiàng)都是正數(shù)的概率為Pn，則
A．P1＝ B．P2n＜P2n＋2 C．P2n－1＜P2n D．P2n－1＋P2n＜P2n＋1＋P2n＋2
12．如圖，在四棱錐P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，底面ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝1，BC＝PA＝2，記四棱錐P－ABCD的外接球?yàn)榍騉，平面PAD與平面PBC的角線為l，BC的中點(diǎn)為E，則
A．l∥BC
B．AB⊥PC
C．平面PDE⊥平面PAD
D．l被球O截得的弦長為1
第II卷（非選擇題 共90分）
三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．若f(x)＝(x＋3)5＋(x＋m)5是奇函數(shù)，則m＝ ．
14．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝3b，則cosB的最小值是 ．
15．計(jì)算機(jī)是二十世紀(jì)最偉大的發(fā)明之一，被廣泛地應(yīng)用于人們的工作于生活之中，計(jì)算機(jī)在進(jìn)行數(shù)的計(jì)算處理時(shí)，使用的是二進(jìn)制．一個(gè)十進(jìn)制數(shù)n(n∈N*)可以表示成二進(jìn)制數(shù)(a0a1a2…ak)2，k∈N，則n＝a02k＋a12＋a22＋…＋ak20，其中a0＝1，當(dāng)i≥1時(shí)，ai∈{0，1}．若記a0，a1，a2，…，ak中1的個(gè)數(shù)為f(n)，則滿足k＝6，f(n)＝3的n的個(gè)數(shù)為 ．
16．已知：若函數(shù)f(x)，g(x)在R上可導(dǎo)，f(x)＝g(x)，則f′(x)＝g′(x)．又英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了一個(gè)恒等式e＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn＋…，則a0＝ ，＝ ．(第一空2分，第二空3分)
四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分)
從①sinD＝sinA；②S△ABC＝3S△BCD；③＝－4這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并完成解答．
已知點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，cosA＞cosD，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，若 ，求△ABC的面積．
注：選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
18．(本小題滿分12分)
已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋4，數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為b1＝2．
(1)若{bn}是公差為3的等差數(shù)列，求證：{an}也是等差數(shù)列；
(2)若{a}是公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．
19．(本小題滿分12分)
佩戴頭盔是一項(xiàng)對家庭與社會負(fù)責(zé)的表現(xiàn)，某市對此不斷進(jìn)行安全教育．下表是該市某主干路口連續(xù)4年監(jiān)控設(shè)備抓拍到的駕駛員不戴頭盔的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：
年度 2018 2019 2020 2021
年度序號x 1 2 3 4
不戴頭盔人數(shù)y 1250 1050 1000 900
(1)請利用所給數(shù)據(jù)求不戴頭盔人數(shù)y與年度序號x之間的回歸直線方程 ＝x＋，并估算該路口2022年不戴頭盔的人數(shù)；
不戴頭盔 戴頭盔
傷亡 7 3
不傷亡 13 27
(2)交警統(tǒng)計(jì)2018~2021年通過該路口的開電瓶車出事故的50人，分析不戴頭盔行為與事故是否傷亡的關(guān)系，得到右表，能否有95%的把握認(rèn)為不戴頭盔行為與事故傷亡有關(guān)
參考公式：＝＝，＝－．
P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
20．(本小題滿分12分)
在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝13，AB＝8，BC＝6，AB⊥BC，AB1＝B1C，D為AC中點(diǎn)，平面AB1C⊥平面ABC．
(1)求證：B1D⊥平面ABC；
(2)求直線C1D與平面A1BC所成角的正弦值．
21．(本小題滿分12分)
(1)設(shè)雙曲線C：(a，b＞0)的右頂點(diǎn)為A，虛軸長為，兩準(zhǔn)線間的距離為．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)設(shè)動(dòng)直線l與雙曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，已知AP⊥AQ，設(shè)點(diǎn)A到動(dòng)直線l的距離為d，求d的最大值．
22．(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù)f(x)＝－3lnx＋x3＋ax2－2ax，a∈R．
(1)求函數(shù)f(x)在x＝1處的切線方程；
(2)若x1，x2為函數(shù)f(x)的兩個(gè)不等于1的極值點(diǎn)，設(shè)P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，記直線PQ的斜率為k，求證：k＋2＜x1＋x2．
高三數(shù)學(xué)試題第1頁（共5頁）鹽城市、南京市 2022 屆高三年級第一次模擬考試
數(shù) 學(xué) 2022.01
(總分 150分，考試時(shí)間 120分鐘)
注意事項(xiàng)：
1．本試卷考試時(shí)間為 120分鐘，試卷滿分 150分，考試形式閉卷．
2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．
3．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用 0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上．
第 I卷（選擇題 共 60分）
一、單項(xiàng)選擇題(本大題共 8小題，每小題 5分，共 40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是
符合題目要求的)
1．已知集合 M＝{y|y＝sinx，x∈R}，N＝{y|y＝2x，x∈R}，則 M∩N＝
A．[－1，＋ ) B．[－1，0) C． [0，1] D．(0，1]
2．在等比數(shù)列{an}中，公比為 q，已知 a1＝1，則 0＜q＜1是數(shù)列{an}單調(diào)遞減的 條件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
3．某中學(xué)高三(1)班有 50 名學(xué)生，在一次高三模擬考試中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得：數(shù)學(xué)成績 X~N(110，100)，
高三數(shù)學(xué)試題第 1頁（共 18頁）
則估計(jì)該班數(shù)學(xué)得分大于 120分的學(xué)生人數(shù)為
(參考數(shù)據(jù)：P(|X－μ|＜σ)≈0.68，P(|X－μ|＜2σ)≈0.95)
A．16 B．10 C．8 D．2
4．若 f(α)＝cosα＋isinα(i為虛數(shù)單位)，則[f(α)]2＝
A．f(α) B．f(2α) C．2f(α) D．f(α2)
5．已知直線 2x＋y＋a＝0與⊙C：x2＋(y－1)2＝4相交于 A，B兩點(diǎn)，且△ABC為等邊三角形，則
實(shí)數(shù) a＝
A．－4或 2 B．－2或 4 C．－1± 3 D．－1± 6
→ → → →
6．在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，設(shè) A(1，0)，B(3，4)，向量OC＝xOA＋yOB，x＋y＝6，則|AC |的最
小值為
A．1 B．2 C． 5 D．2 5
高三數(shù)學(xué)試題第 2頁（共 18頁）
7．已知α π＋β＝ (α＞0，β＞0)，則 tanα＋tanβ的最小值為
4
A 2． B．1 C．－2－2 2 D．－2＋2 2
2
ex－4，x≤4
8．已知 f(x)＝ (x 16)2 143 x 4，則當(dāng) x≥0時(shí)，f(2
x)與 f(x2)的大小關(guān)系是
－ － ， ＞
A．f(2x)≤f(x2) B． f(2x)≥f(x2) C． f(2x)＝f(x2) D． 不確定
二、多項(xiàng)選擇題(本大題共 4小題，每小題 5分，共 20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合
題目要求的．全部選對的得 5分，部分選對的得 3分，有選錯(cuò)的得 0分)
9. 若函數(shù) f(x)＝cos2x＋sinx，則關(guān)于 f(x)的性質(zhì)說法正確的有
A．偶函數(shù) B．最小正周期為π
C．既有最大值也有最小值 D．有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)
高三數(shù)學(xué)試題第 3頁（共 18頁）
2 2
10 x y．若橢圓 C： ＋ ＝1(b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，則下列 b的值，能使以 F1F2為直徑的圓
9 b2
與橢圓 C有公共點(diǎn)的有
A．b＝ 2 B．b＝ 3 C．b＝2 D．b＝ 5
11．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 an＝( n－1－1) ，記在數(shù)列{an}的前 n＋2(n∈N*)項(xiàng)中任取兩項(xiàng)都是正數(shù)
的概率為 Pn，則
A 1．P1＝ B．P2n＜P2n＋2 C．P2n－1＜P2n D．P2n3 －
1＋P2n＜P2n＋1＋P2n＋2
高三數(shù)學(xué)試題第 4頁（共 18頁）
12．如圖，在四棱錐 P－ABCD中，已知 PA⊥底面 ABCD，底面 ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AB
＝AD＝CD＝1，BC＝PA＝2，記四棱錐 P－ABCD的外接球?yàn)榍?O，平面 PAD與平面 PBC的角
線為 l，BC的中點(diǎn)為 E，則 P
A．l∥BC
B．AB⊥PC A D
C．平面 PDE⊥平面 PAD
B C
D．l被球 O截得的弦長為 1 E
(第 12題圖)
高三數(shù)學(xué)試題第 5頁（共 18頁）
高三數(shù)學(xué)試題第 6頁（共 18頁）
第 II卷（非選擇題 共 90分）
三、填空題(本大題共 4小題，每小題 5分，共 20分)
13．若 f(x)＝(x＋3)5＋(x＋m)5是奇函數(shù)，則 m＝ ．
14．在△ABC中，角 A，B，C的對邊分別為 a，b，c，若 a＝3b，則 cosB的最小值是 ．
高三數(shù)學(xué)試題第 7頁（共 18頁）
15．計(jì)算機(jī)是二十世紀(jì)最偉大的發(fā)明之一，被廣泛地應(yīng)用于人們的工作于生活之中，計(jì)算機(jī)在進(jìn)行
數(shù)的計(jì)算處理時(shí)，使用的是二進(jìn)制．一個(gè)十進(jìn)制數(shù) n(n∈N*)可以表示成二進(jìn)制數(shù)(a0a1a2…ak)2，k
∈N，則 n＝a0 2k＋a 2k－11 ＋a 2k－22 ＋…＋ak 20，其中 a0＝1，當(dāng) i≥1時(shí)，ai∈{0，1}．若記 a0，a1，
a2，…，ak中 1的個(gè)數(shù)為 f(n)，則滿足 k＝6，f(n)＝3的 n的個(gè)數(shù)為 ．
16．已知：若函數(shù) f(x)，g(x)在 R上可導(dǎo)，f(x)＝g(x)，則 f′(x)＝g′(x)．又英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了一個(gè)
10
2x a
恒等式 e ＝a n 10＋a1x＋a2x2＋…＋anxn＋…，則 a0＝ ， ＝ ．(第一
n 1 nan
空 2 分，第二空 3 分)
高三數(shù)學(xué)試題第 8頁（共 18頁）
四、解答題(本大題共 6小題，共 70分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分 10分)
高三數(shù)學(xué)試題第 9頁（共 18頁）
→ →
從①sinD＝sinA；②S△ABC＝3S△BCD；③DB·DC＝－4這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，
并完成解答．
已知點(diǎn) D在△ABC內(nèi)，cosA＞cosD，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，若 ，求△ABC的面積．
注：選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【解析】
高三數(shù)學(xué)試題第 10頁（共 18頁）
18．(本小題滿分 12分)
已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 an＝2n＋4，數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為 b1＝2．
(1)若{bn}是公差為 3的等差數(shù)列，求證：{an}也是等差數(shù)列；
(2)若{a }是公比為 2的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前 n項(xiàng)和．
bn
【解析】
19．(本小題滿分 12分)
佩戴頭盔是一項(xiàng)對家庭與社會負(fù)責(zé)的表現(xiàn)，某市對此不斷進(jìn)行安全教育．下表是該市某主干路口連
續(xù) 4 年監(jiān)控設(shè)備抓拍到的駕駛員不戴頭盔的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：
年度 2018 2019 2020 2021
年度序號 x 1 2 3 4
不戴頭盔人數(shù) y 1250 1050 1000 900
(1)請利用所給數(shù)據(jù)求不戴頭盔人數(shù) y與年度序號 x之間的回歸直線方程 ＝ b x＋ a，并估算該路口
2022年不戴頭盔的人數(shù)；
(2)交警統(tǒng)計(jì) 2018~2021 不戴頭盔 戴頭盔年通過該路口的開電瓶車出事故的 50人，
傷亡 7 3
分析不戴頭盔行為與事故是否傷亡的關(guān)系，得到右表，能否有 95%
的把握認(rèn)為不戴頭盔行為與事故傷亡有關(guān) 不傷亡 13 27
n n
xi yi nxy xi x yi y
參考公式： b＝ i 1 ＝ i 1n n ， a＝ y－ bx．
x 2i nx 2 xi x 2
i 1 i 1
高三數(shù)學(xué)試題第 11頁（共 18頁）
P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K2 n(ad－bc)
2
＝ ，其中 n＝a＋b＋c＋d．
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
【解析】
不戴頭盔 戴頭盔 總計(jì)
傷亡 7 3 10
不傷亡 13 27 40
總計(jì) 20 30 50
高三數(shù)學(xué)試題第 12頁（共 18頁）
20．(本小題滿分 12分)
在三棱柱 ABC－A1B1C1中，AA1＝13，AB＝8，BC＝6，AB⊥BC，AB1＝B1C，D為 AC中點(diǎn)，平面
AB1C⊥平面 ABC．
A C11
(1)求證：B1D⊥平面 ABC； B1
(2)求直線 C1D與平面 A1BC所成角的正弦值．
C
A D
B
【解析】 (第 20題圖)
高三數(shù)學(xué)試題第 13頁（共 18頁）
21．(本小題滿分 12分)
x2 y2
(1) 2 6設(shè)雙曲線 C： 2－ 2＝1(a，b＞0)的右頂點(diǎn)為 A，虛軸長為 2，兩準(zhǔn)線間的距離為 ．a(chǎn) b 3
(1)求雙曲線 C的方程；
(2)設(shè)動(dòng)直線 l與雙曲線 C交于 P、Q兩點(diǎn)，已知 AP⊥AQ，設(shè)點(diǎn) A到動(dòng)直線 l的距離為 d，求 d的最
大值．
【解析】
高三數(shù)學(xué)試題第 14頁（共 18頁）
法二：
高三數(shù)學(xué)試題第 15頁（共 18頁）
22．(本小題滿分 12分)
設(shè)函數(shù) f(x)＝－3lnx＋x3＋ax2－2ax，a∈R．
(1)求函數(shù) f(x)在 x＝1處的切線方程；
(2)若 x1，x2為函數(shù) f(x)的兩個(gè)不等于 1的極值點(diǎn)，設(shè) P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，記直線 PQ的斜率為
k，求證：k＋2＜x1＋x2．
【解析】法一：
高三數(shù)學(xué)試題第 16頁（共 18頁）
高三數(shù)學(xué)試題第 17頁（共 18頁）
高三數(shù)學(xué)試題第 18頁（共 18頁）

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