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高二上數學知識要點
專題01 空間向量及其運算
1．空間向量的有關概念
（1）空間向量：在空間中，具有大小和方向的量叫作空間向量，其大小叫作向量的模或長度 .
（2）相等向量：方向相同且模相等的向量．
（3）共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，則這些向量叫作共線向量或平行向量，a平行于b記作 a∥b.
（4）共面向量：平行于同一平面的向量叫作共面向量．
2．空間向量中的有關定理
（1）共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b 存在λ∈R，使a＝λb.
（2）共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面 存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.應用：證明線面平行。
（3）空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數組使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫作空間的一個基底．
3．兩個向量的數量積
（1）非零向量a，b的數量積．
（2）空間向量數量積的運算律
①結合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
易誤提醒
（1）共線向量與共面向量區別時注意，平行于同一平面的向量才能為共面向量．
（2）空間任意三個不共面的向量都可構成空間的一個基底．
（3）由于0與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，故0不能作為基向量．
（4）基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示．
空間向量的線性運算：和平面向量一樣，使用三角形法則和平行四邊形法則
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示 坐標表示
數量積 a·b
共線 a＝λb(b≠0)
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0)
模 |a|
夾角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
易誤提醒
（1）空間向量的坐標運算與坐標原點的位置選取無關，這是因為一個確定的幾何體，其“線線”夾角、“點點”距離都是固定的，坐標系的位置不同，只會影響其計算的繁簡．
（2）進行向量的運算時，在能建系的情況下盡量建系，將向量運算轉化為坐標運算．
必備方法
用空間向量解決幾何問題的一般步驟：
（1）適當的選取基底{a，b，c}．
（2）用a，b，c表示相關向量．
（3）通過運算完成證明或計算問題．
專題02 空間向量在立體幾何中的應用
考點一 方向向量與法向量
1．直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量．
2．平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫作平面α的法向量．
易誤提醒
（1）通常取直線上的兩個特殊點構成直線的方向向量；當直線平行于x軸，y軸或z軸時，直線的方向向量可分別取i＝(1,0,0)，j＝(0,1,0)，k＝(0,0,1)．
（2）求平面的法向量時，建立的方程組有無數組解，利用賦值法，只要給x，y，z中的一個變量賦一特殊值(常賦值－1,0,1)，即可確定一個法向量，賦值不同，所求法向量不同，但n＝(0,0,0)不能作為法向量．
必備方法
平面的法向量求法步驟：
（1）設平面的法向量為n＝(x，y，z)．
（2）找出(求出)平面內的兩個不共線的向量的坐標，；
（3）根據法向量的定義建立關于x，y，z的方程組
（4）解方程組，取其中的一組解，即得法向量，建議法向量取的數值為整數，方便計算．
考點二 利用空間向量證明和求解角和距離的問題
1.利用空間向量證明平行和垂直問題
（1）設直線l1的方向向量為，l2的方向向量為，則:
．
（2）設直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則:
．
（3）設平面α的法向量為，平面β的法向量為，則:
2.求點面距
①、兩點間的距離的求法：、兩點間的距離為。
②、點線距離的求法：如圖1，在直線上任取一點，取直線的一個方向向量，則點到的距離為。
圖1 圖2 圖3
③、點面距離的求法：如圖2，設是平面的一個法向量，是平面的一條斜線，則點到平面的距離為。
※④、兩異面直線距離的求法：如圖3，設、是兩異面直線，是與公垂線的方向向量，又、分別是、上的任意兩點，則、的距離是。
⑤、兩平行平面間距離的求法：把求兩平行平面間的距離轉化為求點面距離。
3.求角度：
（1）求兩條異面直線所成的角
設a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則
l1與l2所成的角θ a與b的夾角
范圍 0<θ≤
關系
（2）求直線與平面所成的角
設直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，則:
.
（3）求二面角的大小
（1）若AB、CD分別是二面角α－l－β的兩個面內與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量與的夾角．(如圖a).
（2）設，分別是二面角α－l－β的兩個平面α，β的法向量，則向量與的夾角(或其補角)的大小就是二面角的大小(如圖b、c)．
易誤提醒
（1）空間向量的夾角與所求角的范圍不一定相同，如兩向量的夾角范圍是，兩異面直線所成的角的范圍是.
（2）用平面的法向量求二面角時，二面角的大小與兩平面法向量的夾角有相等和互補兩種情況．
復習參考題1優生可稍微做一做。
專題03 直線與方程
考點一 直線斜率與傾斜角
1.直線的斜率公式
①已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為，時的圖象如圖：
②已知直線過點，則直線的斜率為.
考點二 直線的形式與位置關系
1.直線方程的五種形式
名稱 幾何條件 方程 適用條件
斜截式 縱截距、斜率 y=kx+b 與x軸不垂直的直線
點斜式 過一點、斜率
兩點式 過兩點 與兩坐標軸均不垂直的直線續表
截距式 縱、橫截距 不過原點且與兩坐標軸均不垂直的直線
一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 所有直線
2.兩直線的平行與垂直：
(1)直線系方程
①與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
②與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．
(2)兩直線平行或重合的充要條件
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要條件是：A1B2－A2B1＝0.
(3)兩直線垂直的充要條件
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件是：A1A2＋B1B2＝0.
3.兩直線的交點坐標：聯立兩直線方程為方程組，方程組的解分別為交點的橫坐標和眾坐標.
過直線A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0
易誤提醒
1．注意兩平行線距離公式的應用條件
應用兩平行線間距離公式時，兩平行線方程中x，y的系數應對應相等．
2．忽略直線斜率不存在的情況
在解決有關直線問題時要考慮直線斜率是否存在．
3．注意直線方程的限制條件
（1）應用點斜式、斜截式方程時，注意它們不包含垂直于x軸的直線；
（2）應用兩點式方程時，注意它不包含與坐標軸垂直的直線；
（3）應用截距式方程時，注意它不包括與坐標軸垂直的直線以及過原點的直線；
（4）在處理直線與圓的位置關系時要充分利用圓的幾何性質．
考點三 距離公式
三種距離公式
①兩點間的距離：若，則；
②點到直線的距離：點到直線的距離；
③兩平行線的距離：若直線的方程分別為，則兩平行線的距離.
考點四 與直線有關的對稱問題
1.對稱問題主要包括中心對稱和軸對稱
（1）中心對稱
①點P(x，y)關于O(a，b)的對稱點滿足
②直線關于點的對稱可轉化為點關于點的對稱問題來解決．
（2）軸對稱
①點A(a，b)關于直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對稱點(m，n)，則有
②直線關于直線的對稱可轉化為點關于直線的對稱問題來解決．
專題04 圓的方程
1、圓的定義及方程通過第10題適當學會圓的參數方程的應用。
定義 平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓
標準方程 () 圓心，半徑
一般方程 () 圓心，半徑
2、點與圓的位置關系 點，圓的標準方程。
理論依據 點與圓心的距離與半徑的大小關系
三種情況 點在圓上
點在圓外
點在圓內
2、直線與圓、圓與圓的位置關系，15題試著通過88頁第5題的結論求解。
（1）直線與圓的位置關系與判斷方法
方法 過程 依據 結論
代數法 聯立方程組消去x(或y)得一元二次方程，計算Δ＝b2－4ac Δ>0 相交
Δ＝0 相切
Δ<0 相離
幾何法 計算圓心到直線的距離d，比較d與半徑r的關系．相交時弦長為l=2 dd＝r 相切
d>r 相離
（2）圓與圓的位置關系
設圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)， 圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0).
　　　方法 位置關系　 幾何法：圓心距d與r1，r2的關系 代數法：兩圓方程聯立組成方程組的解的情況
相離 d＞r1＋r2 無解
外切 d＝r1＋r2 一組實數解
相交 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 兩組不同的實數解
內切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一組實數解
內含 0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2) 無解
（2）．必會結論
(1)兩圓公切線的條數
位置關系 內含 內切 相交 外切 外離
公切線條數 0 1 2 3 4
(2)圓的切線方程常用結論
①過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
②過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
③過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
(3)兩圓相交時公共弦的方程
圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交時，公共弦所在的直線方程為(D2－D1)x＋(E2－E1)y＋(F2－F1)＝0.
注：
1．求圓的方程的兩種方法
(1)直接法：根據圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程．
(2)待定系數法
①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，依據已知條件列出關于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；
②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據已知條件列出關于D，E，F的方程組，進而求出D，E，F的值．
2．確定圓心位置的方法
(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上．
(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上．
(3)兩圓相切時，切點與兩圓圓心共線．
3．圓的切線方程的求法
(1)代數法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進而求得k.
(2)幾何法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進而求出k，注意點在圓外時的切線有兩條，若求出來只有一條，則另一條的斜率不存在。.
4．弦長的求法
(1)代數方法：將直線和圓的方程聯立方程組，消元后得到一個一元二次方程．在判別式Δ>0的前提下，利用根與系數的關系，根據弦長公式求弦長．
(2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2.
5．解決直線與圓綜合問題的常用結論
(1)圓與直線l相切的情形：圓心到l的距離等于半徑，圓心與切點的連線垂直于l.
(2)圓與直線l相交的情形：①圓心到l的距離小于半徑，過圓心而垂直于l的直線平分l被圓截得的弦；
②連接圓心與弦的中點的直線垂直于弦；
③過圓內一點的所有弦中，最短的是垂直于過這點的直徑的那條弦，最長的是過這點的直徑．
專題05 橢圓
一、橢圓的定義
1．平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．
2．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數：
(1)若a>c，則M點的軌跡為橢圓；
(2)若a＝c，則M點的軌跡為線段F1F2；
(3)若a二、橢圓的標準方程和幾何性質
標準方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
圖形
性質 范圍 －a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
離心率 e＝，且e∈(0,1)
軸 長軸A1A2的長為2a 短軸B1B2的長為2b
焦距 |F1F2|＝2c
a，b，c的關系 a2＝b2＋c2
三、必會結論
(1)點P(x0，y0)與橢圓＋＝1的關系
①點P(x0，y0)在橢圓內 ＋<1.
②點P(x0，y0)在橢圓上 ＋＝1.
③點P(x0，y0)在橢圓外 ＋>1.
(2)若P為橢圓＋＝1上任一點，F為其一個焦點，O是橢圓的中心(坐標原點)，則有a－c≤|PF|≤a＋c，b≤|PO|≤a.
2．必清誤區
在設橢圓＋＝1(a>b>0)上點的坐標為P(x，y)時，則有|x|≤a，這往往在求與點P有關的最值問題中用到，也是容易被忽略而導致求最值錯誤的原因．
注：
1．求橢圓方程的方法
(1)求橢圓的方程多采用定義法和待定系數法，利用橢圓的定義時，一定要注意常數2a>|F1F2|這一條件．
(2)求橢圓標準方程的基本方法是待定系數法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后再根據條件建立關于a，b的方程組．如果焦點位置不確定，要考慮是否有兩解，有時為了解題方便，也可把橢圓方程設為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
2．焦點三角形中的常用結論
橢圓上一點P與橢圓的兩焦點組成的三角形通常稱為“焦點三角形”，利用定義可求其周長；利用定義和余弦定理可求|PF1||PF2|；通過整體代入可求其面積等，常用到的結論有：(1)|PF1|＋|PF2|＝2a；(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos θ；(3)當P為短軸端點時，θ最大．（4）
3.求橢圓離心率的方法
（1）．直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解．
（2）．列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉化為含有e的方程(或不等式)求解．
3．解決直線與橢圓有關問題的求解策略
解決直線與橢圓的位置關系的相關問題，其常規思路是先把直線方程與橢圓方程聯立，消元、化簡，然后應用根與系數的關系建立方程，解決相關問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單．
4．弦長公式
設直線與橢圓的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝
＝(k為直線斜率)．
提醒：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式．
5.過焦點的弦中最短的為通徑：
專題06 雙曲線
一、雙曲線的定義
1．平面內與兩個定點F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距離之差的絕對值為常數2a(2a<2c)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距．
2．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數且a>0，c>0.
(1)當2a<|F1F2|時，M點的軌跡是雙曲線；
(2)當2a＝|F1F2|時，M點的軌跡是兩條射線；
(3)當2a>|F1F2|時，M點不存在．
二、雙曲線的標準方程和幾何性質
標準方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
圖形
性質 范圍 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線 y＝±x y＝±x
離心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
實虛軸 線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長
a，b，c的關系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
三、必會結論
(1)雙曲線為等軸雙曲線 雙曲線的離心率e＝ 雙曲線的兩條漸近線互相垂直．
(2)漸近線的斜率與雙曲線的焦點位置的關系：當焦點在x軸上時，漸近線斜率為±，當焦點在y軸上時，漸近線斜率為±.
(3)漸近線與離心率
－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的斜率為＝.
(4)過雙曲線的焦點垂直于實軸的直線被雙曲線截的弦長為.
(5)與雙曲線－＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程為－＝t(t≠0)．
（6）焦點到漸進弦的距離為b。
2．必清誤區
直線與雙曲線交于一點時，不一定相切，例如：當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交于一點，但不是相切；反之，當直線與雙曲線相切時，直線與雙曲線僅有一個交點．
注：
1.“焦點三角形”中常用到的知識點及技巧
（1）．常用知識點：在“焦點三角形”中，正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義經常使用．
（2）．技巧：經常結合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立它與|PF1||PF2|的聯系．
提醒：利用雙曲線的定義解決問題，要注意三點：
(1)距離之差的絕對值．(2)2a<|F1F2|.(3)焦點所在坐標軸的位置．
2．求雙曲線的標準方程的方法
(1)定義法：由條件判定動點的軌跡是雙曲線，求出a2，b2，寫出方程．
(2)待定系數法：即“先定位，后定量”，如果不能確定焦點的位置，應注意分類討論或恰當設置簡化討論．
常見設法有：
①與雙曲線－＝1共漸近線的可設為－＝λ(λ≠0)；
②若漸近線方程為y＝±x，則可設為－＝λ(λ≠0)；
③若過兩個已知點，則設為＋＝1(mn<0)．
3．求雙曲線離心率或離心率范圍的兩種方法：一種是直接建立e的關系式求e或e的范圍；另一種是建立a，b，c的齊次關系式，將b用a，c表示，令兩邊同除以a或a2化為e的關系式，進而求解．
4．求曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線的方法是令－＝0，即得兩漸近線方程±＝0.
5.解決與雙曲線有關綜合問題的方法
（1）．解決雙曲線與橢圓、圓、拋物線的綜合問題時，要充分利用橢圓、圓、拋物線的幾何性質得出變量間的關系，再結合雙曲線的幾何性質求解．
（2）．解決直線與雙曲線的綜合問題，通常是聯立直線方程與雙曲線方程，消元求解一元二次方程即可，但一定要注意數形結合，結合圖形注意取舍．
專題07 拋物線
一、拋物線的定義
平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．
二、拋物線的標準方程與幾何性質
標準方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
p的幾何意義：焦點F到準線l的距離
圖形
頂點 O(0,0)
對稱軸 x軸 y軸
焦點 F F F F
離心率 e＝1
準線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦半徑(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋
三、必會結論
設AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)．
(3)以弦AB為直徑的圓與準線相切，以AF為直徑的圓與y軸相切．
(4)通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦，長等于2p.通徑是過焦點最短的弦．
（5）
四、必知聯系
(1)若拋物線的開口方向不能確定，可設拋物線的標準方程為y2＝mx或x2＝my(m≠0)．
(2)若直線與拋物線只有一個公共點，則直線與拋物線相切，或直線平行于對稱軸，即由得ay2＋by＋c＝0或ax2＋bx＋c＝0.當時，直線與拋物線相切，當a＝0時，此時直線就是與對稱軸平行的直線．
注：
1．拋物線幾何性質的確定
由拋物線的方程可以確定拋物線的開口方向、焦點位置、焦點到準線的距離，從而進一步確定拋物線的焦點坐標及準線方程．
2．求拋物線的標準方程的方法及流程
(1)方法：求拋物線的標準方程常用待定系數法，因為未知數只有p，所以只需一個條件確定p值即可．
(2)流程：因為拋物線方程有四種標準形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再定量．
3.與拋物線有關的最值問題的求解策略
與拋物線有關的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關．由于拋物線的定義在運用上有較大的靈活性，因此此類問題也有一定的難度．“看到準線想焦點，看到焦點想準線”，這是解決拋物線焦點弦有關問題的重要途徑．
4. 解決直線與拋物線位置關系問題的常用方法
（1）．直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數的關系．
（2）．有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．
（3）．涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數的關系采用“設而不求”“整體代入”等解決．
提醒：涉及弦的中點、斜率時，一般用“點差法”求解．
專題8 等差數列及其前n項和
一、　等差數列
1．定義：an＋1－an＝d(常數)(n∈N*)．
2．通項公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d.
3．前n項和公式：Sn＝na1＋＝.注意實際的項數。
4．a，b的等差中項A＝.
二、　等差數列的性質
已知數列{an}是等差數列，Sn是其前n項和．
(1)若m，n，p，q，k是正整數，且m＋n＝p＋q＝2k，
則am＋an＝ap＋aq＝2ak.
(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差數列，公差為kd.
(3)若{an}，{bn}是等差數列，則{pan＋qbn}是等差數列．
(4)數列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也是等差數列．
(5)若數列{an}的前n項和為Sn，則S2n－1＝(2n－1)an，
S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)．
若等差數列{an}的項數為2n，則，
項數為2n-1,則
（7）若，若
三、必會結論
(1)等差數列的增減性：d＞0時為遞增數列，且當a1＜0時，前n項和Sn有最小值，d＜0時為遞減數列，且當a1＞0時，前n項和Sn有最大值．
(2)數列{an}的前n項和Sn＝An2＋Bn(A≠0)是{an}成等差數列的充分條件．
(3)兩個等差數列{an}，{bn}的前n項和Sn，Tn之間的關系為＝.
(4)若數列{an}，{bn}是公差分別為d1，d2的等差數列，則數列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差數列(p，q都是常數)，且公差分別為pd1，d1，pd1＋qd2.
四．必知聯系
(1)當公差d≠0時，等差數列的通項公式是n的一次函數，當公差d＝0時，an為常數．
(2)公差不為0的等差數列的前n項和公式是n的二次函數，且常數項為0.若某數列的前n項和公式是常數項不為0的二次函數，則該數列不是等差數列，它從第二項起成等差數列．
注：
1．等差數列運算問題的通性通法
(1)等差數列運算問題的一般求法是設出首項a1和公差d，然后由通項公式或前n項和公式轉化為方程(組)求解．
(2)等差數列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現了用方程的思想解決問題．
2．等差數列前n項和公式的應用方法
根據不同的已知條件選用兩個求和公式，如已知首項和公差，則使用公式Sn＝na1＋d，若已知通項公式，則使用公式Sn＝.
3.等差數列的四個判定方法
（1）．定義法：證明對任意正整數n都有an＋1－an等于同一個常數．
（2）．等差中項法：證明對任意正整數n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可遞推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根據定義得出數列{an}為等差數列．
（3）．通項公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p對任意正整數n恒成立，根據定義判定數列{an}為等差數列．
（4）．前n項和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根據Sn，an的關系，得出an，再使用定義法證明數列{an}為等差數列．
4．求等差數列前n項和最值的方法
(1)二次函數法：用求二次函數最值的方法(配方法)求其前n項和的最值，但要注意n∈N*.
(2)圖象法：利用二次函數圖象的對稱性來確定n的值，使Sn取得最值．
(3)項的符號法：當a1＞0，d＜0時，滿足的項數n，使Sn取最大值；當a1＜0，d＞0時，滿足的項數n，使Sn取最小值，即正項變負項處最大，負項變正項處最小，若有零項，則使Sn取最值的n有兩個．
5．求數列{|an|}前n項和的方法
(1)先求an，令an≥0(an≤0)找出an≥0與an<0的項．
(2)根據n的取值范圍，分類討論求和．
專題9 等比數列及其前n項和
一、　等比數列的有關概念
1．定義
如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(不為零)，那么這個數列就叫做等比數列．這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母q表示，公比的表達式為＝q.
2．5等比中項
如果a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項．即G是a與b的等比中項 a，G，b成等比數列 G2＝ab.
二、　等比數列的有關公式
1．通項公式：an＝a1qn－1＝amqn－m.
2．前n項和公式：Sn＝
三、．必會結論
等比數列的性質
(1)對任意的正整數m，n，p，q，若m＋n＝p＋q＝2k，則am·an＝ap·aq＝a.
(2)若數列{an}，{bn}(項數相同)是等比數列，則{λan}，{|an|}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比數列．
(3)在等比數列{an}中，等距離取出若干項也構成一個等比數列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數列，公比為qk.
(4)公比不為－1的等比數列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數列，其公比為qn，當公比為－1時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定構成等比數列．
(5)若等比數列{an}共2k(k∈N*)項，則＝q.
四、必清誤區
(1)在運用等比數列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，與等差數列不同．
(2)由an＋1＝qan(q≠0)并不能斷言{an}是等比數列，還要驗證a1≠0.
注：
1.解決等比數列有關問題的常見思想方法
（1）．方程的思想
等比數列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關鍵量a1和q，問題可迎刃而解．
（2）．數形結合的思想
通項an＝a1qn－1可化為an＝qn，因此an是關于n的函數，點(n，an)是曲線y＝qx上一群孤立的點．
（3）．分類討論的思想
當q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當q≠1時，{an}的前n項和Sn＝＝.等比數列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，此處是常考點，也是易錯點．
2.等比數列的判定方法
（1）．定義法：若＝q(q為非零常數，n∈N*)或＝q(q為非零常數且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數列．
（2）．等比中項公式法：若數列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，則數列{an}是等比數列．
（3）．通項公式法：若數列通項公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均是不為0的常數，n∈N*)，則{an}是等比數列．
（4）．前n項和公式法：若數列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k為常數且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數列．
專題10 數列通項公式的求法、數列求和
數列通項公式的幾種求法:
（1）、觀察法。
（2）、公式法：（1）等差數列的通項公式：
（2）等比數列的通項公式：
（3）、已知求：
（4）、累加法：若
（5）、累乘法：
（6）、構造法：已知與的遞推關系，求
①形如：可以用待定系數來求通項；
②形如：的遞推數列可以用倒數法求通項。
2.　數列求和的常見方法
（1）．公式法：直接利用等差數列、等比數列的前n項和公式求和
①等差數列的前n項和公式：
Sn＝＝na1＋d.
②等比數列的前n項和公式：
Sn＝
（2）．倒序相加法
如果一個數列{an}的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數列的前n項和公式即是用此法推導的．
（3）．錯位相減法
如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，這個數列的前n項和可用錯位相減法．
（4）．裂項相消法
(1)把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．
(2)裂項時常用的三種變形：
①＝－；
②＝；
③＝－.
（5）．分組求和法
一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．
（6）．并項求和法
一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．

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