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必修二 第三章 直線與方程
第一節 直線的傾斜角和斜率
一、考點匯集
1、傾斜角的范圍：
2、斜率：

3、方向向量：在直線上或與這直線平行的向量叫做直線的方向向量。（若直線的斜率存在，方向向量為（1，k））
二、強化訓練
（一）選擇題
1．以A(-1，1)、B(2，-1)、C(1，4)為頂點的三角形是(??? )
A. 銳角三角形 B. 鈍角三角形
C. 以A點為直角頂點的直角三角形
D. 以B點為直角頂點的直角三角形
2．在同一直角坐標系中，如圖中，表示直線y=ax與y=x+a正確的是(??? )
3．下列三點能構成三角形的三個頂點的為(??? )
A.(1,3),(5,7),(10,12)
B.(-1,4),(2,1),(-2,5)
C.(0,2),(2,5),(3,7)
D.(1,-1),(3,3),(5,7)
4．下列命題:
①若兩直線平行,則其斜率相等;
②若兩直線垂直,則其斜率之積為-1;
③垂直于x軸的直線平行于y軸.
其中正確命題的個數為(??? )
A. 0????? B. 1?????? C. 2?????D. 3
5．下列說法正確的有(　　)
①若兩直線斜率相等,則兩直線平行
②若l1∥l2,則k1=k2
③若兩直線中有一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率存在,則兩直線相交
④若兩直線斜率都不存在,則兩直線平行
A. 0??? ?B. 1 C. 2????? D. 3
6. 以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）為端點的線段的垂直平分線方程是（　　）
A. 3x－y－8=0 B. 3x+y+4=0
C. 3x－y+6=0 D. 3x+y+2=0
7．過點Ｍ(2, 1)的直線與x軸，y軸分別交于Ｐ,Ｑ兩點，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜,則l的方程是（　　）
A. x－2y+3=0 B. 2x－y－3=0 C. 2x+y－5=0 D. x+2y－4=0
8．直線2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置關系是（　　）
A. 平行 B. 垂直
C. 相交但不垂直 D. 不確定
9．把直線l1: x+3y－1=0沿軸負方向平移1個單位后得到直線l2，又直線l與直線l2關于軸對稱，那么直線l的方程是（ ）
A. x－3y+2=0 B. x－3y－4=0
C. x－3y－2=0 D. x－3y+4
10．過點P（1，－2），且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線有( )
A. 4條 B. 3條
C. 2條 D. 1條
11.直線xcosα+ysinα+1=0,
α的傾斜角為( )
A . α B . －α
C . －α D . +α
12．已知點，若直線過點與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
（二）填空題
13．一光線射到x軸上并經x軸反射,已知入射光線的傾斜角α1=30°,則入射光線的斜率為k1=_______;反射光線的傾斜角為
α2=_______,斜率為k2=_______.
14．將直線y＝x+－1繞它上面一點(1，)沿逆時針方向旋轉15°，則所得直線方程為 .
15．一直線過點（－3，4），并且在兩坐標軸上截距之和為12，這條直線方程是_____ _____ ．
16．直線ax－6y－12a＝0(a≠0)在x軸上的截距是它在y軸上的截距的3倍，則a等于 .
17．過點A(0，)與B(7，0)的直線l1與過(2，1)，(3，k+1)的直線l2和兩坐標軸圍成的四邊形內接于一個圓，則實數k為___________.
18..直線必過定點
（三）簡答題
19．①求平行于直線3x+4y－12=0,且與它的距離是7的直線的方程;

②求垂直于直線x+3y－5=0, 且與點P(－1,0)的距離是的直線的方程.
20．求經過直線和直線的交點且平行于直線的直線方程.
21．過點作一直線，使它與兩坐標軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為，求該直線的方程.
22．已知直線被兩平行直線所截得的線段長為3，且直線過點（1，0），求直線的方程.
三、思考探究
23.已知實數x、y滿足2x+y=8，當2( x (3時，求的最大值與最小值.
第二節 直線的方程
一、考點匯集
1、斜截式：
2、點斜式：
3、兩點式：（分母不為0）
4、截距式： （）
5、一般式：
二、強化訓練
（一）選擇題
1．設直線的傾斜角為，且，則滿足（ ）
A． B．
C．. D．
2．過點且垂直于
的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
3．已知過點和的直線與直線平行，則的值（　　）
A． B． C． D．
4．已知，則直線通過（ ）
A．一、二、三象限
B．一、二、四象限
C．一、三、四象限
D．二、三、四象限
5．直線的傾斜角和斜率分別是（ ）
A． B．
C．，不存在 D．.，不存在
6．若方程
表示一條直線，則滿足（ ）
A． B．
C． D．.，，
7．如圖，直線的圖象可能（ ）


A. B.
C. D.
8．設A、B兩點是軸上的點，點P的橫坐標為2，且|PA|=|PB|，若直線PA的方程為x－y+1=0，則PB的方程為 （ ）
A．x+y－5=0 B．2x－y－1=0
C．2 y－x－4=0 D．2x+y－7=0
9．直線l1, l2在x軸上的截距都是m，在y軸上的截距都是n，則l1, l2滿足（ ）
A．平行 B．重合
C．平行或重合 D．相交或重合
10．已知直線l1的方程為y=x，直線l2的方程為ax－y=0（a為實數）．當直線l1與直線l2的夾角在（0，）之間變動時，的取值范圍是（ ）
A．(, 1)∪(1,) B．（, ）
C．（0，1） D．（1，）
11．直線與的位置關系是（ ）
A．平行 B．垂直 C． 斜交 D．與的值有關
12．兩直線與平行，則它們之間的距離為（ ）
A． B．
C． D．
(二)填空題
13.在下列敘述中：
①一條直線的傾斜角為α，則它的斜率為k=tanα；
②若直線斜率k=-1，則它的傾斜角為135°；
③若A(1，-3)、B(1，3)，則直線AB的傾斜角為90°；
④若直線過點(1，2)，且它的傾斜角為45°，則這直線必過(3，4)點；
⑤若直線斜率為，則這條直線必過(1，1)與(5，4)兩點.
所有正確命題的序號是___________.
14．a、b、c是兩兩不等的實數，則經過P(b, b+c)、C(a, c+a)兩點直線的傾斜角為________.
15．點到直線的距離是________________ ．
16．已知直線若與關于軸對稱，則的方程為__________ ；
若與關于軸對稱，則的方程為________ _；
若與關于對稱，則的方程為___________ ；
17．若原點在直線上的射影為，則的方程為____________________ .
18. 點在直線上，則
的最小值是________________.
（三）解答題
19．已知直線，
（1）系數為什么值時，方程表示通過原點的直線；
（2）系滿足什么關系時與坐標軸都相交；
（3）系數滿足什么條件時只與x軸相交；
（4）系數滿足什么條件時是x軸；
（5）設為直線上一點，證明：這條直線的方程可以寫成
20. 經過點并且在兩個坐標軸上的截距的絕對值相等的直線有幾條？請求出這些直線的方程
三、思考探究
21.已知△ABC三邊所在直線方程為AB：3x+4y+12=0，BC：4x－3y+16=0，CA：2x+y－2=0。求AC邊上的高所在的直線方程.
第三節 兩條直線的位置關系
一、考點匯集
1、平行
（1）存在，,
且；
（2）不存在時，
，
(3)若
則
或
2、重合
（1）存在時
，且；
（2）不存在時， ，
3、垂直
存在時，直線和有斜截式方程，；

一條斜率為0，另一條斜率不存在時，兩直線垂直。
（1）到角：

（2）夾角： ；
二、強化訓練
（一）選擇題
1．如果直線沿軸負方向平移個單位再沿軸正方向平移個單位后，又回到原來的位置，那么直線的斜率是（ ）
A． B． C． D．
2．若都在直線上，則用表示為（ ）
A． B．
C． D．
3．直線與兩直線和分別交于兩點，若線段的中點為，則直線的斜率為（ ）
A． B．
C． D．
4．△中，點,的中點為,重心為，則邊的長為（ ）
A． B． C． D．
5．若動點到點和直線的距離相等，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
6．若三點共線 則的值為（　　）
A．　　 B．　　C．　 D．
7．直線在軸上的截距是（ ）
A． B． C． D．
8．已知點，則線段的垂直平分線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．直線，當變動時，所有直線都通過定點（ ）
A． B．
C． D．
10.直線與平行，則它們之間的距離為（ ）
A． B．
C． D．
11.兩直線 3x+y+b=0和 x+3y-3=0的位置關系是( )
A. 相交 B.平行
C. 重合 D.不確定
12.已知直線l1的方程是ax-y+b＝0,l2的方程是bx-y-a＝0(ab≠0,a≠b)，則下列各示意圖形中，正確的是( )
（二）填空題
13．已知直線與關于直
線對稱，直線⊥，則的斜率
是______．
14.直線上一點的橫坐標是3，若該直線繞點逆時針旋轉得直線，則直線的方程是 ．
15．一直線過點，并且在兩坐標軸上截距之和為，這條直線方程是__________ ．
16．若方程表示兩條直線，則的取值是 ．
17．當時，直線與的交點在 象限．
18．與直線平行，并且距離等于的直線方程是____________．
（三）解答題
19．求經過點的直線，且使，到它的距離相等的直線方程．
20.試解釋的幾何意義，并求出的最小值．
21．直線和軸，軸分別
交于點，在線段為邊在第一象限內
作等邊△，如果在第一象限內有一點
使得△和△的面積相
等，求的值．
三、思考探究
22．一直線被兩直線截得線段的中點是點，當點分別為，時，求此直線方程．
第四節 點與點、點與線、線與線的距離
一、考點匯集
已知點，則兩點間的距離.
已知點，直線，為點到直線的距離， （此公式對于或時也成立）
3、兩條平行直線與的距離為
二、強化訓練
(一)選擇題
1．下列說法的正確的是（ ）
A．經過定點的直線都可以用方程表示B．經過定點的直線都可以用方程表示
C．不經過原點的直線都可以用方程表示
D．經過任意兩個不同的點的直線都可以用方程 表示
2．直線與的位置關系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．斜交 D．與的值有關
3 已知，則直線通過（ ）
A第一、二、三象限
B第一、二、四象限
C第一、三、四象限
D第二、三、四象限
4．若直線和互相垂直，則a=（ ）
A． B． C． D．
5．直線關于直線對稱的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
6 直線，當變動時，所有直線都通過定點（ ）
A B
C D
7已知點到直線的距離為1，則等于( )
A B
C D
8 已知直線在兩坐標軸上的截距的和為2，且過（-2，3）點，則直線的方程為（ ）


9 已知直線與另一直線互相垂直，垂足為( )
A．-4 B ．20 C．0 D．24
10．直線在 y軸上的截距為-3，且它的傾斜角是 傾斜角的2倍，則（ ）
（二）填空題
11．方程所表示的圖形的面積為_________．
12．與直線平行，并且距離等于的直線方程是____________．
13．已知點在直線上，則的最小值為 ．
14．將一張坐標紙折疊一次，使點與
點重合，且點與點重合，
則的___________________．
15．設，則直線
恒過定點 ．
16．直線的方程為，
若直線在軸上的截距為6，則
．
（三）簡答題
17．已知中，A(1, 3)，AB、AC邊上的中線所在直線方程分別為 和，求各邊所在直線方程．
18．已知兩直線與直線求分別滿足下列條件的的值．
（1）直線過點（-3，-1），并且直線與直線垂直;
（2）直線與直線平行，并且坐標原點到，的距離相等．
19．過點（２，３）的直線被兩平行直線１與所截線段ＡＢ的中點恰在直線上，求直線的方程．
三、思考探究
20．在△ABC中，BC邊上的高所在的直線
的方程為 ，∠A的平分線所在
直線的方程為y=0，若點B的坐標為（1，2），求點A、點C的坐標．
第三章 直線與方程 （答案）
第一節 直線的傾斜角和斜率
強化訓練
一、選擇題
1.C 2.C 3.C 4.A 5.D 6.B
7.D 8.C 9.A 10.B 11.D 12.C
二、填空題
13. 14.y= x
15.或
16.－2 17.3 18.(3,2)
三、解答題
19. (1)3x+4y+23=0或3x+4y－47=0;
(2)3x－y+9=0或3x－y－3=0.
20.解：由，得，再設，則
即 為所求
21.解：設直線為交軸于點，交軸于點，
得或
解得或
，或為所求
解法二：設的方程為，因為經過點，則有：
① 又 ②
聯立①、②，得方程組 解得或
因此，所求直線方程為：或.
22.x=1或3x－4y－3=0
思考探究
23.最大值2，最小值.提示：令=,這是過原點的一條直線，即求k的最大值和最小值。結合圖形可知，當直線過點（2,4）時k最大，過點（3,2）時k最小，從而.
第二節 直線的方程
強化訓練
一、選擇題
1.D 2.A 3.B 4.C 5.C 6.C
7.A 8.A 9.D 10.A 11.B 12.D
二、填空題
13.②③④ 14. 45° 15 .
16.17. 18. 可看成原點到直線上的點的距離的平方，垂直時最短：
三、解答題
19（1）把原點代入，得；（2）此時斜率存在且不為零
即且；（3）此時斜率不存在，且不與軸重合，即且；（4）且（5）證明：在直線上


20. 解：當截距為時，設，過點，則得，即；
當截距不為時，設或過點，
則得，或，即，或，這樣的直線有條：，，或
思考探究
21..提示：由AC和BC所在直線方程求的B(-4,0),再由直線AC和其高線垂直，可得高線的斜率為，用點斜式可寫出其方程.
第三節 兩條直線的位置關系
強化訓練
一．選擇題。
1..A 2.D
3.D
4.A
5.B 點在直線上，則過點且垂直于已知直線的直線為所求
6.B 線段的中點為垂直平分線的，
7.A
8..B 令則
9.C 由得對于任何都成立，則
10.D 把變化為，則
11.A 12.D
二.填空題.
13. 14. 15.或 16. 17.二
18..或
三.解答題.
19.解：顯然符合條件；當，在所求直線同側時，
，或
20.解：幾何意義為：點（x,0）到點（1,2）和（2,1）的距離之和.
原式可化為由圖可知，其最小值為（1，1）關于x軸的對稱點（-1，-1）到點（2，2）的距離，即最小值為.
21.解：由已知可得直線，設的方程為 則，過
得
思考探究
22.解：由得兩直線交于，記為，則直線
垂直于所求直線，即，或，或，
即，或為所求。
第四節 點與點、點與線、線與線的距離
強化訓練
一、選擇題
1.D 2.B 3.C 4.A 5.A
6.C 7.C 8.B 9.A 10.D
3：C
解析：
4：A解析：由兩直線垂直的條件得故選A。
5： A解析：
，代入得所求直線的方程為
6：C
解析：由得對于任何都成立，則
所以恒過定的。
7．
解析：由點到直線的距離公式，則
8： B
解析：直線在兩坐標軸上的截距的和為2，且過點（-2，3），因此直線的斜率存在，所以設，
令；
令。
所以解得。
所以直線的方程為，故選B
9：A解析：垂足是兩直線的交點，且，故
，
，故選A。
10．D解析：依題意得二、填空題
11. 12.，或
13. 14． 15. 16.
三、簡答題
17．解：設則AB的中點∵D在中線CD：上
∴，解得， 故B(5, 1).
同樣，因點C在直線上，可以設C為，
的中點坐標為即由
得.
根據兩點式，得中AB：， BC：，AC：.
18．依題意可知：
。。。。。。。。。。。①
又點（-3，-1）在上，
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。②
由①②得
(2)
故和的方程分別表示為和
因為原點到和的距離相等，所以
因此或。
19．解：設線段ＡＢ的中點P的坐標（a，b），由P到，、的距離相等，得
經整理得，，又點P在直線上，所以
解方程組 得 即點P的坐標（-3，-1），又直線過點（２，３）
所以直線的方程為，即.
思考探究
20．A(-1,0),C(3,-2)
提示：由∠A的平分線和BC邊上的高所在的直線方程的A(-1,0)，由=1知，所以AC的斜率為-1，聯立得C(3,-2).

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