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例談“放縮法”證明不等式的基本策略
近年來在高考解答題中，常滲透不等式證明的內容，而不等式的證明是高中數學中的一個難點，它可以考察學生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。特別值得一提的是，高考中可以用“放縮法”證明不等式的頻率很高，它是思考不等關系的樸素思想和基本出發點, 有極大的遷移性, 對它的運用往往能體現出創造性。“放縮法”它可以和很多知識內容結合，對應變能力有較高的要求。因為放縮必須有目標，而且要恰到好處，目標往往要從證明的結論考察，放縮時要注意適度，否則就不能同向傳遞。下面結合一些高考試題，例談“放縮”的基本策略，期望對讀者能有所幫助。
1、添加或舍棄一些正項（或負項）
例1、已知求證：
證明：


若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小。由于證明不等式的需要，有時需要舍去或添加一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的。本題在放縮時就舍去了，從而是使和式得到化簡.
2、先放縮再求和（或先求和再放縮）
例2、函數f（x）=，求證：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+.
證明：由f(n)= =1-
得f（1）+f（2）+…+f（n）>
.
此題不等式左邊不易求和,此時根據不等式右邊特征, 先將分子變為常數，再對分母進行放縮，從而對左邊可以進行求和. 若分子, 分母如果同時存在變量時, 要設法使其中之一變為常量，分式的放縮對于分子分母均取正值的分式。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。
3、先放縮，后裂項（或先裂項再放縮）
例3、已知an=n ，求證：＜3．
證明：=＜1＋
＜１＋=
=1＋ (－)
=1＋1＋－－＜2＋＜3．
本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項，最后又放縮，有的放矢，直達目標.
4、放大或縮小“因式”；
例4、已知數列滿足求證：
證明
本題通過對因式放大，而得到一個容易求和的式子，最終得出證明.
5、逐項放大或縮小
例5、設求證：
證明：∵
∴
∴ ， ∴
本題利用，對中每項都進行了放縮，從而得到可以求和的數列，達到化簡的目的。
6、固定一部分項，放縮另外的項；
例6、求證：
證明：
此題采用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根據具體題型分別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。
7、利用基本不等式放縮
例7、已知，證明：不等式對任何正整數都成立.
證明：要證，只要證 .
因為 ，，
故只要證 ，
即只要證 .
因為，
所以命題得證.
本題通過化簡整理之后，再利用基本不等式由放大即可.
8、先適當組合, 排序, 再逐項比較或放縮
例8、.已知i，m、n是正整數，且1＜i≤m＜n.
(1)證明：niA＜miA；(2)證明：(1+m)n＞(1+n)m
證明：(1)對于1＜i≤m，且A =m·…·(m－i+1)，
，
由于m＜n，對于整數k=1，2，…，i－1，有，
所以
(2)由二項式定理有：
(1+m)n=1+Cm+Cm2+…+Cmn，
(1+n)m=1+Cn+Cn2+…+Cnm，
由(1)知miA＞niA (1＜i≤m＜n ，而C=
∴miCin＞niCim(1＜m＜n
∴m0C=n0C=1，mC=nC=m·n，m2C＞n2C，…，
mmC＞nmC，mm+1C＞0，…，mnC＞0，
∴1+Cm+Cm2+…+Cmn＞1+Cn+C2mn2+…+Cnm，
即(1+m)n＞(1+n)m成立.
以上介紹了用“放縮法”證明不等式的幾種常用策略，解題的關鍵在于根據問題的特征選擇恰當的方法，有時還需要幾種方法融為一體。在證明過程中，適當地進行放縮，可以化繁為簡、化難為易，達到事半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，常常出現放縮后得不出結論或得到相反的現象。因此，使用放縮法時，如何確定放縮目標尤為重要。要想正確確定放縮目標，就必須根據欲證結論，抓住題目的特點。掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問題和解決問題的能力。希望大家能夠進一步的了解放縮法的作用，掌握基本的放縮方法和放縮調整手段.
求證
證明
本題觀察數列的構成規律，采用通項放縮的技巧把一般數列轉化成特殊數列，從而達到簡化證題的目的。
求證
證明
說明：若本題從第二項起放大，則左邊<1+1-<2 ,這使的證明失敗.
例 1 4
分析
淺談用放縮法證明不等式的方法與技巧
放縮法：為放寬或縮小不等式的范圍的方法。常用在多項式中“舍掉一些正（負）項”而使不等式各項之和變小（大），或“在分式中放大或縮小分式的分子分母”，或“在乘積式中用較大（較小）因式代替”等效法，而達到其證題目的。
所謂放縮的技巧：即欲證，欲尋找一個（或多個）中間變量C，使，由A到C叫做“放”，由B到C叫做“縮”。
常用的放縮技巧還有：（1）若（2）
（3）若則（4）（6）或（7）等等。
例2 （2000年海南理11）若求證：
證明：因為所以因為［因為（放大），所以又所以是增函數］，所以，所以
例3 （2001年云南理1）求證：
證明：（因為）
［又因為（放大）］，所以所以
例4 已知求證：
證明：因為
例5 求證：
證明：因為（因為）（放大）所以
例7 求證：
證明：因為（分母有理化）所以原不等式成立。
例8 （2002年貴州省理21）若求證：
證明：因為而所以所以同理可證（當且僅當時，取等號）。
例9 已知a、b、c分別是一個三角形的三邊之長，求證：
證明：不妨設據三角形三邊關系定理有：便得所以原不等式成立。
例10 （1999年湖南省理16）求證：
證明：因為又所以原不等式成立。
例11 求證：
證明：因為左邊證畢。

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