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數列求和的基本方法和技巧
關鍵詞：數列求和 通項分式法 錯位相減法 反序相加法 分組法 分組法 合并法
數列是高中代數的重要內容，又是學習高等數學的基礎. 在高考和各種數學競賽中都占有重要的地位. 數列求和是數列的重要內容之一，除了等差數列和等比數列有求和公式外，大部分數列的求和都需要一定的技巧. 下面，就幾個歷屆高考數學來談談數列求和的基本方法和技巧.
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法.
等差數列求和公式：
等比數列求和公式：
自然數方冪和公式：
4、
[例] 求和1＋x2＋x4＋x6＋…x2n+4(x≠0)
　　解：　　∵x≠0
　　∴該數列是首項為1，公比為x2的等比數列而且有n+3項
　　當x2＝1 即x＝±1時 和為n+3
　　
　　評注：
　　 (1)利用等比數列求和公式．當公比是用字母表示時，應對其是否為1進行討論，如本題若為“等比”的形式而并未指明其為等比數列，還應對x是否為0進行討論．
　　 (2)要弄清數列共有多少項，末項不一定是第n項．
對應高考考題：設數列1，（1+2），…，（1+2+），……的前頂和為，則的值。


二、錯位相減法求和
錯位相減法求和在高考中占有相當重要的位置，近幾年來的高考題其中的數列方面都出了這方面的內容。需要我們的學生認真掌握好這種方法。這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列{an·　bn}的前n項和，其中{ an }、{ bn }分別是等差數列和等比數列. 求和時一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個數列的等比數列的公比；然后再將得到的新和式和原和式相減，轉化為同倍數的等比數列求和，這種方法就是錯位相減法。
[例] 求和：（）………………………①
解：由題可知，{}的通項是等差數列{2n－1}的通項與等比數列{}的通項之積
設………………………. ② （設制錯位）
①－②得 （錯位相減）
再利用等比數列的求和公式得：
∴
注意、1 要考慮 當公比x為值1時為特殊情況
2 錯位相減時要注意末項
此類題的特點是所求數列是由一個等差數列與一個等比數列對應項相乘。
對應高考考題：設正項等比數列的首項，前n項和為，且。（Ⅰ）求的通項； （Ⅱ）求的前n項和。
三、反序相加法求和
這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個.
[例] 求證：
證明： 設………………………….. ①
把①式右邊倒轉過來得
（反序）
又由可得
…………..…….. ②
①+②得 （反序相加）
∴
四、分組法求和
有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.
若數列的通項公式為，其中中一個是等差數列，另一個是等比數列，求和時一般用分組結合法。
[例]：求數列的前n項和；
分析：數列的通項公式為，而數列分別是等差數列、等比數列，求和時一般用分組結合法；
[解] ：因為，所以
（分組）
前一個括號內是一個等比數列的和，后一個括號內是一個等差數列的和，因此


五、裂項法求和
這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
[例] 求數列的前n項和.
解：設 （裂項）
則 （裂項求和）
＝
＝
小結：此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之后，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。
注意： 余下的項具有如下的特點
1余下的項前后的位置前后是對稱的。
2余下的項前后的正負性是相反的。
[練習] 在數列{an}中，，又，求數列{bn}的前n項的和.

六、合并法求和
針對一些特殊的數列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.
[例] 在各項均為正數的等比數列中，若的值.
解：設
由等比數列的性質 （找特殊性質項）
和對數的運算性質 得
（合并求和）
＝
＝
＝10
數列的求和方法多種多樣，它在高考中的重要性也顯而易見。我們的學生在學習中必須要掌握好幾種最基本的方法，在解題中才能比較容易解決數列問題。
數列通項公式的十種求法
一、公式法
例1 已知數列滿足，，求數列的通項公式。
解：兩邊除以，得，則，故數列是以為首項，以為公差的等差數列，由等差數列的通項公式，得，所以數列的通項公式為。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，說明數列是等差數列，再直接利用等差數列的通項公式求出，進而求出數列的通項公式。
二、累加法
例2 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由得則
所以數列的通項公式為。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。
例3 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由得則
所以
評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。
已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：兩邊除以，得，
則，故
因此，
則
評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式，最后再求數列的通項公式。
三、累乘法
例5 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：因為，所以，則，故
所以數列的通項公式為
評注：本題解題的關鍵是把遞推關系轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。
例6 （2004年全國I第15題，原題是填空題）已知數列滿足，求的通項公式。
解：因為 ①
所以 ②
用②式－①式得
則
故
所以 ③
由，，則，又知，則，代入③得。
所以，的通項公式為
評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，進而求出，從而可得當的表達式，最后再求出數列的通項公式。
四、待定系數法
例7 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設 ④
將代入④式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入④式得 ⑤
由及⑤式得，則，則數列是以為首項，以2為公比的等比數列，則，故。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求出數列的通項公式。
例8 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設 ⑥
將代入⑥式，得
整理得。
令，則，代入⑥式得
⑦
由及⑦式，
得，則，
故數列是以為首項，以3為公比的等比數列，因此，則。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求數列的通項公式。
例9 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設 ⑧
將代入⑧式，得
，則
等式兩邊消去，得，
解方程組，則，代入⑧式，得
⑨
由及⑨式，得
則，故數列為以為首項，以2為公比的等比數列，因此，則。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求出數列的通項公式。
五、對數變換法
例10 已知數列滿足，，求數列的通項公式。
解：因為，所以。在式兩邊取常用對數得 ⑩
設 
將⑩式代入式，得，兩邊消去并整理，得，則
，故
代入式，得 
由及式，
得，
則，
所以數列是以為首項，以5為公比的等比數列，則，因此
則。
評注：本題解題的關鍵是通過對數變換把遞推關系式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求出數列的通項公式。
六、迭代法
例11 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：因為，所以
又，所以數列的通項公式為。
評注：本題還可綜合利用累乘法和對數變換法求數列的通項公式。即先將等式兩邊取常用對數得，即，再由累乘法可推知，從而。
七、數學歸納法
例12 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由及，得
由此可猜測，往下用數學歸納法證明這個結論。
（1）當時，，所以等式成立。
（2）假設當時等式成立，即，則當時，
由此可知，當時等式也成立。
根據（1），（2）可知，等式對任何都成立。
評注：本題解題的關鍵是通過首項和遞推關系式先求出數列的前n項，進而猜出數列的通項公式，最后再用數學歸納法加以證明。
八、換元法
例13 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：令，則
故，代入得
即
因為，故
則，即，
可化為，
所以是以為首項，以為公比的等比數列，因此，則，即，得
。
評注：本題解題的關鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關系式轉化形式，從而可知數列為等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求出數列的通項公式。
九、不動點法
例14 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：令，得，則是函數的兩個不動點。因為
。所以數列是以為首項，以為公比的等比數列，故，則。
評注：本題解題的關鍵是先求出函數的不動點，即方程的兩個根，進而可推出，從而可知數列為等比數列，再求出數列的通項公式，最后求出數列的通項公式。
例15 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：令，得，則是函數的不動點。
因為，所以
。
評注：本題解題的關鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關系式轉化形式，從而可知數列為等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求出數列的通項公式。
九、不動點法
例14 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：令，得，則是函數的兩個不動點。因為
。所以數列是以為首項，以為公比的等比數列，故，則。
評注：本題解題的關鍵是先求出函數的不動點，即方程的兩個根，進而可推出，從而可知數列為等比數列，再求出數列的通項公式，最后求出數列的通項公式。
例15 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：令，得，則是函數的不動點。
因為，所以

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