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不等式恒成立的八種解法探析
不等式恒成立問題一般設計獨特，涉及到函數、不等式、方程、導數、數列等知識，滲透著函數與方程、等價轉換、分類討論、換元等思想方法，成為歷年高考的一個熱點．考生對于這類問題感到難以尋求問題解決的切入點和突破口．這里對這一類問題的求解策略作一些探討．
1最值法
例1．已知函數在處取得極值，其中為常數．（I）試確定的值；（II）討論函數的單調區間；（III）若對于任意，不等式恒成立，求的取值范圍．
分析：不等式恒成立，可以轉化為
解：（I）（過程略）．
（II）（過程略）函數的單調減區間為，函數的單調增區間為．
（III）由（II）可知，函數在處取得極小值，此極小值也是最小值．要使（）恒成立，只需，解得或．
所以的取值范圍為．
評注：最值法是我們這里最常用的方法．恒成立；恒成立．
2分離參數法
例2．已知函數
（I）求函數的單調區間；
（II）若不等式對于任意都成立（其中是自然對數的底數），求的最大值．
分析：對于（II）不等式中只有指數含有，故可以將函數進行分離考慮．
解：（I）（過程略）函數的單調增區間為，的單調減區間為
（II）不等式等價于不等式，由于，知；設 ，則．
由（I）知，，即；于是， ，即在區間上為減函數．故在上的最小值為．
所以的最大值為．
評注：不等式恒成立問題中，常常先將所求參數從不等式中分離出來，即：使參數和主元分別位于不等式的左右兩邊，然后再巧妙構造函數，最后化歸為最值法求解．
3 數形結合法
例3．已知當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍是＿＿＿．
分析：本題若直接求解則比較繁難，但若在同一平面直角坐標系內作出函數與函數在上的圖象，借助圖形可以直觀、簡捷求解．
解：在同一平面直角坐標系內作出函數與函數在上的圖象（如右），從圖象中容易知道：當且時，函數的圖象恒在函數上方，不合題意；當且時，欲使函數的圖象恒在函數下方或部分點重合，就必須滿足，即．
故所求的的取值范圍為．
評注：對不等式兩邊巧妙構造函數，數形結合，直觀形象，是解決不等式恒成立問題的一種快捷方法．
4 變更主元法
例4．對于滿足不等式的一切實數，函數的值恒大于，則實數的取值范圍是＿＿＿．
分析：若審題不清，按習慣以為主元，則求解將非常煩瑣．應該注意到：函數值大于對一定取值范圍的誰恒成立，則誰就是主元．
解：設，，則原問題轉化為恒成立的問題．
故應該有，解得或．
所以實數的取值范圍是．
評注：在某些特定的條件下，若能變更主元，轉換思考問題的角度，不僅可以避免分類討論，而且可以輕松解決恒成立問題．
5 特殊化法
例5．設是常數，且（）．
（I）證明：對于任意，．
（II）假設對于任意有，求的取值范圍．
分析：常規思路：由已知的遞推關系式求出通項公式，再根據對于任意有求出的取值范圍，思路很自然，但計算量大．可以用特殊值探路，確定目標，再作相應的證明．
解：（I）遞推式可以化歸為，，所以數列是等比數列，可以求得對于任意，．
（II）假設對于任意有，取就有解得；
下面只要證明當時，就有對任意有
由通項公式得
當（）時，
當（）時，，可見總有．
故的取值范圍是
評注：特殊化思想不僅可以有效解答選擇題，而且是解決恒成立問題的一種重要方法．
6分段討論法
例6．已知，若當時，恒有＜0，求實數a的取值范圍．
解：（i）當時，顯然＜0成立，此時，
（ii）當時，由＜0，可得＜＜，
令
則＞0，∴是單調遞增，可知
＜0，∴是單調遞減，可知
此時的范圍是（—1，3）
綜合i、ii得：的范圍是（—1，3） ．
例7．若不等式對于恒成立，求的取值范圍．
解：（只考慮與本案有關的一種方法）解：對進行分段討論，
當時，不等式恒成立，所以，此時；
當時，不等式就化為，此時的最小值為，所以；
當時，不等式就化為，此時的最大值為，所以；
由于對上面的三個范圍要求同時滿足，則所求的的范圍應該是上三個的范圍的交集即區間
說明：這里對變量進行分段來處理，那么所求的對三段的要同時成立，所以，用求交集的結果就是所求的結果．
評注：當不等式中左右兩邊的函數具有某些不確定的因素時，應該用分類或分段討論方法來處理，分類（分段）討論可使原問題中的不確定因素變化成為確定因素，為問題解決提供新的條件；但是最后綜合時要注意搞清楚各段的結果應該是并集還是別的關系．
7單調性法
例8．若定義在的函數滿足，且時不等式成立，若不等式對于任意恒成立，則實數的取值范圍是＿＿＿．
解：設，則，有．這樣，，則，函數在為減函數．
因此；而（當且僅當時取等號），又，所以的取值范圍是．
評注：當不等式兩邊為同一函數在相同區間內的兩個函數值時，可以巧妙利用此函數的單調性，把函數值大小關系化歸為自變量的大小關系，則問題可以迎刃而解．
8判別式法
例9．若不等式對于任意恒成立．則實數的取值范圍是＿＿＿．
分析：此不等式是否為一元二次不等式，應該先進行分類討論；一元二次不等式任意恒成立，可以選擇判別式法．
解：當時，不等式化為，顯然對一切實數恒成立；
當時，要使不等式一切實數恒成立，須有，解得．
綜上可知，所求的實數的取值范圍是．
不等式恒成立問題求解策略一般做法就是上面幾種，這些做法是通法，對于具體問題要具體分析，要因題而異，如下例．
例10．關于的不等式在上恒成立，求 實數的取值范圍．
通法解：用變量與參數分離的方法，然后對變量進行分段處理；∵，∴不等式可以化為；下面只要求在時的最小值即可，分段處理如下．
當時，，，再令，，它的根為；所以在區間上有，遞增，在區間上有，遞減，則就有在的最大值是，這樣就有，即在區間是遞減．同理可以證明在區間是遞增；所以，在時的最小值為，即．
技巧解：由于，所以，，兩個等號成立都是在時；從而有（時取等號），即．
評注：技巧解遠比通法解來得簡單、省力、省時但需要扎實的數學基本功．

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