資源簡介

高考試題—優質的教學資源
高考試題是命題組（一般由10多位高中名師和大學老師、命題專家組成）集體智慧的結晶，是經過高考檢驗的優秀的數學教學題材．
2008年重慶理科數學試卷第21題是一道漂亮的試題，筆者曾經把它與“問題探究教學法”進行結合，設計了一堂“高考試題分析課”，現在把它整理出來供同行參考．
課前準備：提前一天把08年重慶高考數學試卷（理）22題印發給學生，要求學生課前想一想、做一做。
題：設各項均為正數的數列滿足，，.
（Ⅰ）若，求，并猜想的值（不需證明）；
（Ⅱ）記，若對n≥2恒成立，求的值及數列的通項公式.
一．新課導入——“對數化”的概念
問題1：同學們還能準確回答“指數式子”和“對數式子”概念嗎？他們是什么關系？除了一般的應用外誰還能說說有什么特別的應用？
指導性答案：我們知道指數式與對數式是可以互化的，它們對的三個數來說是同一關系的．
是對數中一個重要的公式，它具有能把“積”的形式轉變為“和”的形式這樣的功能，因此，解題時除了一般計算應用外，還要重視它是數學“轉變”的重要工具。
問題2：大家想一想，在數列中經常有這樣一個“轉變”，你能說出來嗎？
指導性答案：在數列這一章中，我們也學習過一個重要的結論：若正數等比數列，令，則數列就是等差數列。因為，“等差數列”總感覺到要比“等比數列”來得簡單一點，所以，化“等比數列”為“等差數列”是我們常用的思想，是簡化運算的一個好辦法．
問題3：結合大家已經做過重慶理科第22題，猜一猜，我們這一節課的主題應該是什么？
指導性答案：引入課題，我們把上述的方法稱為對“積（冪）的形式”進行“對數化”處理方法，即：對于個正數，要計算的積結果，有的時候很麻煩也很難，此時，我們就可以考慮把它兩邊取對數，變成了，這樣就把一個積的計算轉化為和的運算，可能會使運算更簡單一點．
二．切題
問題4：第一問“若，求，并猜想的值（不需證明）么？”意味著我們平常在數列等問題所做的什么方法？
指導性答案：“歸納、猜想、證明”的方法。這一小題應該是基礎的、送分的題。
多媒體展示或板書演示：(Ⅰ) 遞推式子可化為，因此，，；注意到前四項的指數規律，故猜想此時數列的通項為；
從而有．
問題5：大家應該明白，第（Ⅱ）問與第（I）問是分離的，千萬不要把第（I）問的結論拿到第（Ⅱ）問用；這樣，對于遞推條件“”，只給了一個條件“”，這個數列還是不能確定的，最好還應該知道的大小，你們看這個的大小應該從哪里去求得？
指導性答案：應該從條件“記，若對n≥2恒成立”去求得。而且，題意也明確要求的大小，一旦求得，從理論上來說就可以求得，那么，自然可以求得了。
問題6：大家對解決第（Ⅱ）小題都是有困難嗎？你再看看、再體味體味條件“記，若對n≥2恒成立”中關鍵字是什么？最困難的是什么？
指導性答案：關鍵字是“對n≥2恒成立”中“恒成立”，即永遠成立，這個可要理解到位。
最困難是由于，是關于，的積的形式，這樣，很難把與條件“對n≥2恒成立”聯系起來。
問題7：想想我們應該怎么辦？
指導性答案：這里就步入我們這一節課的主題了。考慮到把進行對數化處理，令,記表示的前項的和，則，條件“對n≥2恒成立”轉化為“對n≥2恒成立”； 條件“”也轉化為“，”．
問題8：我們為什么取以2為底的對數？現在的條件也明朗了嗎？后面怎么辦？
指導性答案：由于不等式“”中右邊的冪是以2為底。
此時，如果把即看成已知的一個數，那么條件就很明朗了。
多媒體展示或板書演示：遞推式化為，為二階線性遞推，特征方程為，特征根為，從而容易得到兩個遞推式，即和；這兩個遞推式反應了數列和分別以，為公比的等比數列，則可以得到兩個結果及；聯合兩式得，則求和得和式，又恒成立，化簡得對一切對n≥2恒成立．
問題9：后面就是如何突破這個“恒成立”的條件了，也是涉及到不等式等綜合知識了，我們一起來想想辦法。
指導性答案：的系數是“”，根據處理“恒成立”類型習慣思路，是要兩邊同除于系數“”，然后求右邊的最大值或最小值。
多媒體展示或板書演示：觀察的系數，可以發現：當時，；當時，。
從而，取時，得恒成立，因為，所以右式小于等于（時取等號），從而得出。
取時，， ，由于右式是大于，且當時，極限為，從而得出．
縱上所述，，，
問題10：總算解決完整了！你有什么體會？
指導性答案：作為壓軸題，總是有一定的難度的，涉及到方方面面知識，也不是一般的同學能達到的，需要堅實的數學基礎和高強的數學能力。對“積（冪）的形式”進行“對數化”處理方法在平時雖有應用，卻不深刻，想不到高考中還是大有用武之地。
三．總結與鞏固
問題11：請大家舉一個例子：解題時含有對“積（冪）的形式”進行“對數化”處理方法。
指導性答案：在遞推條件下求數列通項公式的方法中有一種方法就是“對數變換法”。
例：已知數列各項都是正數，且滿足：，（）求數列 的通項公式
解：由，（）得，，把看成項，則數列就是“”型數列，所以有，因此，有，即．
評注：對于遞推公式形如（其中且）或（其中且）的數列通項公式的求法，通常可以考慮將其兩邊取對數式，得到或，則數列符合“”型數列形式，從而求解．
問題12：為了鞏固今天學習的效果，老師提供了下面一道高考試題，請大家在課外用今天所學習的方法來解決第1、2兩個問題．
（2012年浙江理第22題14分）已知，函數．
（Ⅰ）證明：當時，
（i）函數的最大值為；
（ii）；
（Ⅱ）若對x∈恒成立，求的取值范圍．
答案：．結束本課程．
根據筆者的經驗，在高三各輪的教學復習中，經常性地對高考試題從各個角度深入研究，能使考生熟悉和掌握近年高考試題的命題風格、命題熱點、命題形式，有利于考生適應高考情景，提高高考復習的針對性．

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