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讓高考試題在問題探究中盡放光芒
摘要：本文以2010年浙江高考理22題為材料，整理出７個問題，每一個問題都給予一個建議性的意見，結合問題探究教學法，設計為一節高考試題分析課的教案．
關鍵字：試題，問題，探究，意見，建議．
高考試題是命題組（一般由10多位高中名師和大學老師、命題專家組成）集體智慧的結晶，是經過了高考檢驗的、優秀的數學教學題材．根據筆者的經驗，在高三各輪的教學復習中，經常性地對高考試題從各個角度深入研究，能使考生熟悉和掌握近年高考試題的命題風格、命題熱點、命題形式，有利于考生適應高考情景，提高高考知識復習的針對性．
2010年浙江理科數學試卷第21題(本題14分)是一道漂亮的試題，筆者把它與“問題探究教學法”進行結合，首先在自己的課堂里上了一節試題分析實驗課，根據課的過程與課后的反思，現在設計為一堂“高考試題分析課”，供參考．
一 試題及課前準備
題:已知是給定的實常數．設函數，，是的一個極大值點．（I）求的取值范圍；（II）設，，是的三個極值點，問是否存在實數，可找到，使得，，，的某種排列，，，（其中｛，，，｝＝｛１，２，３，４｝）依次成等差數列？若存在，求所有的及相應的；若不存在，說明理由．
課前準備：在課前早一天或兩天把該試題作為作業布置給學生探索、鉆研（要求學生不能查閱有關答案），并在適當時間后上交批改，對學生的作業情況進行歸納、分析、歸類，以便設計提出下面的問題．有條件的要準備好多媒體課件，沒有條件的把要求多媒體展示部分的印刷出來給學生，人手一份．
二 問題的設計與解決思路的探究
問題1：做題的第一關是審題．同學們能談談你在拿到這個試題入手做時的感覺是什么？
參考答案： 主要的感覺有（１）拿到手的時候，一讀試題，與以前的高考壓軸題不一樣，題意敘述簡短，意思清清楚楚．（２）試題不同于一般的高考壓軸題，一般的高考壓軸題是入手容易，走出難；而這里讓人迎面碰到的就是一個辣手的問題：如何破解條件“是的一個極大值點”？（３）一般的壓軸試題的第1小題是比較簡單、直接的問題，這里的好象也一樣，可是著手做時發現求函數的導數卻是一個難題．
問題2：同學們是如何求函數的導數呢？
參考答案：據參加高考的數學成績不錯的學生回憶：今年浙江高考數學試題選擇、填空部分總體難度比較高，這個試題是最后一道題，這樣剩下可解答的時間就不多，本以為很容易拿下這個導數關節點，在花了比較多時間后才得出一個導數結論，也不知道這個導數結論正確不正確．其實，不同的考生，在求函數的導數時方法是不同的，是最能體現一個考生數學功底的，由于求導數路程比較長、運算量大，當方法選擇不當時，導出的結論容易是錯誤的．
最簡單的辦法：令，先對求導，這里求導最好要用積函數的求導方法，即
．后對求導數，這樣，容易提取因式，化簡得這樣一個明朗的結論．
求導誤區：把展開為，求的導數得，這樣對求導就會變成這樣的結果，這個結論即繁又不能及時發現，十分不理想，會使后面解題不順暢或解題受阻．
由此，同學們應該有所感觸，那就是高考的壓軸試題解答一定會有點不平常，需要扎實的數學基礎和高強的數學能力．
問題3：同學們是如何利用條件“是的一個極大值點”來確定題中第１問中的取值范圍？
參考答案：部分同學就會以為條件“是的一個極大值點”等價于“”，把代入式子進去，自然會得到，這個參數跑到什么地方也不知道了．
其實，能解答到這里的大多同學都明白條件“是的一個極大值點”等價于“，且在的附近當時有、當時有”．
由，自然會發現；令，而當時有、當時有，又由是一元二次、連續的函數，這樣只要就能保證結論“在的附近當時有、當時有”；由得出．
問題4：參加高考的考生反應第２小題的條件表達實在抽象，難以理解或突破，同學們看看能怎樣的突破？
參考答案：當然這里的解答必須建立在第１小題通暢解答的基礎上，否則也真的難以想象怎么樣才會順利解決．
這里表達中的三個極值點，即，，是的三個極值點，應該是基礎的、穩定的；如果這三個點都象“浮萍”一樣，那加上，要使得，，，的某種排列依次成等差數列的排列就有種，后要對這２４種逐一考慮顯然是不現實的，高考肯定不是這樣考的．
既然想到上一點，就要認真觀察三個極值點，，的大小順序關系．三個極值點，，就是三個根，進一步可以發現，一個根就是，另兩個根就是的兩個根．
這個試題最大的特點就是題意條件簡單、明了，同學們還要明白一點，一般來說，壓軸試題的前面小題是為后面題服務的；那么就要聯系第１小題的解答過程“”或“”條件下，可得是在另兩個根之間．由大小根的關系，不妨記，，，有．
問題5：有了上面的分析，你能全部解答問題了嗎？
參考答案：若，使得，，，的某種排列，，，（其中｛，，，｝＝｛１，２，３，４｝）依次成等差數列，與，，的順序關系自然剩下下面的三個關系了．
（i）當或時，這樣就有，即，此時，，或；
（ii）當時，這樣就有，即，代入化簡得，解得，；
（iii）當時，這樣就有，即，代入化簡得，解得，．
問題6：其實“，解得”這一步說得輕巧，做起來很坎坷的！你們有這樣的體會嗎？
參考答案：這里是一個無理方程的解題過程，對無理方程，高考要求應該是很低的，但這里不是這樣的，還是很高的要求的！
對于，可以把看成一個整體，也可以把看承一個整體．如設，則方程就是，兩邊平方得．現在面臨著對的取舍問題，是一個難點．
如何對的值進行取舍呢？只能從式子去看了，由得，這樣就是取，得，即．
問題7：你們做了這樣的一個高考試題有什么心得呢?
參考答案：我們知道，高考試題作為選拔性的考試，整份卷試題的85﹪問題的解決方法應該是“兩綱”所要求的主要思想與方法，一定要走“陽光大道”，不選“陰間小道”．試題背景設計力求公平，貼近學生的實際，在大家都熟悉的情景中考查能力，問題設計力求入口寬，方法多樣，使學生在公平背景下展示真實的水平．如這里，讓更一般的學生一看就會知道是使用求導數方法來處理第（I）小題．
而對于壓軸試題就不這樣的．壓軸題并不是孤立的，它存在一個大題之中，一般是放在整份試卷最后的一道，或最后的第二道；壓軸試題一般分成兩道或三道小題，前面的應該還是基礎的，一般的學生都應該得分的，而后面的小題才是高難度．壓軸題所考查的知識選擇一般是在重點數學知識里選擇，這樣就需要一個綜合題作為基礎來支撐它．
高考試題作為選拔性的考試，最后壓軸題的目的是讓數學能力冒尖的學生在這里能有充分的發揮，以便拉開數學冒尖學生與一般學生的分數，提的問題或解決的方法應該是冒尖學生能力承受范圍內，問題解決所用的思路或方法應該是這樣冒尖學生能想到的．如這里，求導數的方法就與平時不一樣，要走獨特的、技巧的路子．
作為壓軸題，問題設計力求入口寬，方法多樣，使數學冒尖學生在公平背景下展示真實的水平，因此，壓軸題命題時各個方面要源于課本而又高于課本．對于一元二次方程的兩個根，一般的（絕大部分的）處理方法是用兩根的韋達定理來解決，但這里就要求“韋達定理”與“求根公式”靈活運用，要根據情況適當取舍，單一只考慮“韋達定理”，就會使解題走入“死胡同”．
作為壓軸題，與常規性的解答題應該不一樣，總有一定的難度，這個難度就是在解題的具體環節的方法上體現，要有很大的靈活性，思維的跳躍性也要大．如這里，不但要會使用“求根公式”，還會能及時判斷這兩個根是有確定的大小關系的，有了這樣的判斷，后面的工作就大大簡化了．
作為壓軸題，由于它的責任要求，解題過程必然是漫長的、曲節的；特別是當解決過程中數學知識難度、技巧等降低時，必然要延長解決問題過程；我們這個試題就是有這樣的特點．該試題是２０１０年浙江卷理科最后一題，編得很巧妙，既聯系了平時訓練的基礎知識，又有很大的邏輯推理空間，淺入深出，下筆容易完成難，不象以前的或別的省份的壓軸題，難得離譜、脫離教學實際和一點不給考生留下解決問題的線索，是具有較好試題功效的壓軸試題．
作業：利用今天所學的高考試題的分析方法來分析09年浙江理科22題的多種解法，寫一篇小論文．
結束本課程．

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