資源簡介

關于函數部分有效復習幾點思考
浙江省天臺中學 褚人統 Email:[email protected] 郵編：317200
本稿比較長，主要分三大部分，分別為近四年浙江省高考數學壓軸試題解析、復習建議、三個附件，以對綜合試題復習方法的討論為主兼帶一般函數試題的復習方法討論，供同行們參考使用．
第一部分　五道數學壓軸試題解析
由于浙江省高考試題命題組成員大部分有一定的連續性，從個體來看，每一個成員的對數學的認識、熟練的知識范圍、擅長的能力愛好范疇總是一定的（有限止的），因此對近年的高考綜合試題特征的研究有一定的必要，有助于對高考復習重點的把握．
高考命題強調以能力立意，以數學知識為載體，從問題入手，把握數學學科的整體意義，從學科整體的高度和思維價值的高度考慮問題，加強對知識的綜合性和應用性的考查，在知識網絡的交匯處設計試題．而中學數學內容可以整合為數與形的兩條線，其中數是以函數概念來串聯代數、三角和解析幾何知識；可以把方程視為函數值為零，不等式可以看成兩個函數值的大小比較，數列、三角函數則是特殊的一類函數．所以高考試題中涉及函數的考題面大量廣，一旦被編制為解答題就是中高檔試題了．綜觀近三年浙江省有關函數綜合題的考查，重在考查對函數知識理解的準確性、深刻性，重在考查與方程、不等式、數列、解析幾何等相關知識的相互聯系，要求考生具備較高的數學思維能力和綜合分析能力以及較強的運算能力，體現了以函數為載體，多種能力同時考查的命題思想．
以下的解答力圖從學生的實際思維、知識、方法思想等情況出發，來求得壓軸題的應試策略與方法；提供這些具體、詳細的解法，是考慮了有些老師比較忙，沒有深入鉆研，或只參考了命題組提供的答案。
例１．（2009年浙江理２２）已知函數，，其中．
（I） 設函數．若在區間上不單調，求的取值范圍；
（II）設函數是否存在，對任意給定的非零實數，存在惟一的非零實數（），使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
（具體解法看附件三中例3.）
例２．（2010理22題14分）已知是給定的實常數，設函數，，是的一個極大值點．
(Ⅰ)求的取值范圍；
(Ⅱ)設是的3個極值點，問是否存在實數，可找到，使得的某種排列(其中=)依次成等差數列?若存在，求所有的及相應的；若不存在，說明理由．
（具體看附件四）
例３．（2011年理22題14分）設函數
（I）若的極值點，求實數；
（II）求實數的取值范圍，使得對任意的，恒有成立，注：為自然對數的底數．
（I）解：求導得
因為的極值點，所以
解得經檢驗，符合題意，所以
（II）這里用參數與變量分離方法來解決，不用命題者的思路．
對于函數，若對任意的，恒有即成立．若要進行參變分離，則需要在兩邊同時除于，而，于是還需要分類討論．
當時，結論顯然成立，得；
當時，，上面的問題等價于，即．令、；則問題就等價于
．
容易知道在上單調遞增，故；
而在單調遞增，且，故在上遞減，在上單調遞增，故；
于是，綜上就有a的取值范圍是
注：我一拿到該題，第一反應是這樣的思路，也應該是考生的第一思路；它的方法應該屬于“參數與變量分離”的方法，而這里的分離不算容易，應該算難于分離了，出現了、這樣的函數，一般學生是有點擔心做不出了。而參考答案卻是很抽象的，我反對把抽象的方法教給學生，把抽象的方法教給學生只有害處。
例４．（今年樣卷壓軸題）設函數在內有極值．
（I）求實數的取值范圍；（II）若，，求證：．
注：是自然對數的底數．
（具體看附件三的例1）
例5．（2012年理科第22題14分）已知，函數．
（Ⅰ）證明：當時，
（i）函數的最大值為；
（ii）；
（Ⅱ）若對x∈恒成立，求的取值范圍．
分析：（Ⅰ）由于，結合兩個問題都在變量x∈情形下進行的，對于分四種情形下把兩個問題進行一次性解決．
當時
此時，恒有， 在上遞增；因此
（i）函數的最大值為；
（ii）．
當時，，
此時，， 在上遞減，在上遞增；因此
（i）函數的最大值為；
（ii）．
當時，，
此時，， 在上遞減，在上遞增；因此
（i）函數的最大值為；
（ii）
，令，則上式就是，則，所以在區間遞增，即．
當時，即時，因為
所以恒有， 在上遞減；因此
（i）函數的最大值為；
（ii）．
綜上，所要證明的結論恒成立．
（Ⅱ）由（i）知，當，，所以；又由（ii）知恒有．
所以，對于恒成立的充要條件是，即或，由圖形用線性規劃方法可以求得．
點評：（1）本試題考查的知識點有絕對值、導數、函數的單調性、最值、線性規劃等；考查的數學技能比較多，主要有分類討論、分析比較、轉換化歸等，是下手容易走出難的特點；其實，近4年來浙江的最后壓軸題都不是很難的，就是繁，做起來要走的路很長，有時間的情況下一般考一類的考生還是能得大多的分數的；那為什么得分率很低呢？主要是三大原因：考試答題到這里已經沒有時間了，文字表達有一定的問題（考生理解有困難，如今年的江西理21題，一般人看后都要嚇暈了），心理害怕因素（考前就已經對最后一道試題如何做進行了定位）；
（2）第II題是不等式恒成立問題，考查的還是平時用的主要方法——最值方法，但得出結論“對于恒成立的充要條件”是需要強實的數學工夫，非一般同學能看出來的；
（3）導數的第2次應用（深層應用）是2011、2012年的函數試題的主要特征。
今年的浙江文科試題也很相似．
（文第21題15分）已知a∈R，函數．
（I）求f(x)的單調區間
（II）證明：當0≤x≤1時，f(x)+ ＞0.
答案：（I）f(x)的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；（II）略．
第二部分 復習建議
由解決上述試題的體驗，發現浙江卷函數綜合試題不象別的省份，還是有類可尋的．部分教師希望在指導學生奪取最后綜合試題得高分有靈丹妙藥，甚至猜題是不可能的，我們尋求的還是做好扎實的基本功出發，教師主要按步驟做以下的內容．
教師要做一做近年來的高考試題
前面已經說了，高考試題命題人員大部分有一定的連續性，他們的命題特點與風格、對于考綱的理解與把握、知識重點欄目與能力的要求程度的看法等都能在歷年試題中體現出來，這些試題對于我們近一階段的復習有導向作用，以期達到高效復習的目的．做試題還可以提高自己的解題能力、命題水平以及對試卷的評價能力，這是不可忽略的作用，筆者向你介紹的第一部分內容目的也在于此．
另外，教師對考綱的學習是十分的重要的，可以了解自己在各輪復習時究竟應該怎么去做，有沒有達到預期的效果；對考綱提供的樣卷研究也是十分必要的，樣卷有時候可以預示命題的內容，復習做到有的方矢．
要明確第一輪復習的目標
第一輪復習主要的目標是知識目標、解題方法目標和能力目標。關于知識目標，一般要遵循考綱的要求，完成考綱規定的知識；對于重點中學，可以適當擴展一點。筆者這里重點考慮第一輪復習的要達到的方法與能力的目標。具體來說是下面的15點。
1．求函數解析式，計算函數值
此題型主要考查學生運算能力，通常是給出解析式和自變量，求函數值，學生只需代入并計算即可，若函數為抽象函數(即沒有給出具體的解析式)，則對代入的技巧要求更高，計算量相對更小；對于分段函數，則需要判斷一下自變量所屬的范圍，對于已知奇偶性的函數，則可借助自變量相反數的函數值；還有一類題目，解析式中帶有待定系數，此時只要代入題目中事先給出的數據，則可通過解方程(組)解出待定系數．此類題目通常難度偏低．
2．會計算定義域
此類題型也屬于基礎題型，解法比較固定，難度不會太大．對于給出具體解析式的函數，求定義域只需注意以下六點即可：①分式的分母非零；②偶次開方的被開方數非負；③對數式中的真數為正；④零次冪的底數非零；⑤指、對數的底為正且非一；⑥計算正切值時對應的角終邊不落在y軸．在具體題目中，根據以上6點要求列出不等式(組)，解之即可．
3．求函數的值域、極值、最值
此類題目是高考函數的熱點問題，2012年高考中每套試卷中都有這類題目的影子，而此類題目難度覆蓋層面較大，有易有難，主要取決于解析式的復雜程度．求值域的先決條件是已知定義域與解析式，這兩項準備工作通常不難完成，甚至多數題目中條件會直接給出，關鍵是求值域的方法靈活多變，常見的方法有：單調性法，數形結合法(適合選擇、填空題)、導數法(求出最值，值域的端點通常就是最值)，變形過程中還可能利用到分離常數、配方、換元等變形技巧．其中借助導數方法的較多(因為導數也是高考數學的一大熱點)，這就要求學生對導數的應用非常熟練：導數的正負可以判斷單調性；單調區間的交界處即極值點；綜合考察極值點與端點可以找到最值點．
例。（12年重慶理第8題5分）設函數在R上可導，其導函數為，且函數的圖像如題（8）圖所示，則下列結論中一定成立的是
（A）函數有極大值和極小值
（B）函數有極大值和極小值
（C）函數有極大值和極小值
（D）函數有極大值和極小值
答案：．
4．函數單調性
此類題目通常考查函數單調性的判定或應用，且常與導數相結合，難度通常不會太大．對于單調性的判定問題，常見的解決方法有：利用定義(較繁瑣，很少見)、利用導數(較常見，因為導數也是考點)、利用圖象(適合選擇、填空題)、利用復合函數單調性判斷法則(常用于含有指對數或三角函數的復合函數)、利用關于單調性運算的結論(如增+增=增，增-減=增，增*增=增(要求函數值均恒正)，-增=減，等等)．至于單調性的應用，則主要有求最值和比大小．單調性求值域的問題前面已經提到，而比大小指的是，在函數中，如果某一個區間上的單調性已知，則在此區間內，可由與中其中一組大小關系，推斷另外一組大小關系．其中常用的是將的大小關系轉化為的大小關系，因為這樣可以省去代入函數中的運算．
例．（2012年浙江理第9題5分）設．
A.若，則a＞b B.若，則a＞b
C.若，則a＞b D.若，則a＜b
分析一：對于選擇支A、B，我們可以構造兩個函數、，很容易發現這兩個函數都是增函數，在同一坐標系下，如圖1所示，在條件下，條件表明點A只能在點B的右側，從而有，所以選擇支A是正確的．從考試角度來說，我們就不必要對選擇支C、D進行思考了．
其實由圖2可以發現選擇支C、D是錯誤的．
分析二：從考試角度來說，可以用“撞”的方法，如對于選擇支A、B，若，則一定有，另還有可能成立，從而會有機會成立的．
分析三：由可得，由函數是增函數容易得；用這樣的思想容易甄別C、D的正確性就顯得簡單了．
點評：本題在浙江高考理科卷選擇題中是第9題，屬于選擇題中最后的第二題，說明有較高的難度，解決它需要一定的數學能力；分析一就體現了很強函數構造、畫圖、數形轉換等能力；分析二就體現了很強的數學直觀能力，需要扎實的數學基礎，是考試要實現快、準等目的所采用的常用方法．浙江文10也是大同小異的試題．
（浙江文10題5分）.設a＞0，b＞0，e是自然對數的底數．
A.若ea+2a=eb+3b，則a＞b
B.若ea+2a=eb+3b，則a＜b
C.若ea-2a=eb-3b，則a＞b
5．函數奇偶性與圖象的對稱性
此類題目通常考查函數奇偶性的判定與應用，難度不會太大．對于奇偶性的判定，則主要通過定義，先檢查定義域是否關于原點對稱，然后考查f(-x)與f(x)的關系，此外還可以利用關于奇偶函數運算的結論(如奇+奇=奇，奇*偶=奇，|奇|=偶，奇’=偶，等等)．關于奇偶性的應用，則主要有兩點：第一是微觀上的，即考查互為相反數的兩個自變量所對應的函數值之間的關系，第二是宏觀上的，即通過原點某側的圖象推斷原點另一側的圖象．
6．函數周期性
函數的周期性主要在三角函數中出現，對于一般函數，更多見的是“類周期函數”，即類似于周期函數的函數，這些函數在相鄰兩個“周期”內，解析式略有不同，例如滿足f(x+2)=2f(x)的函數f(x)．周期函數與類周期函數主要考查函數自變量從某周期到另一周期的跳躍，而這個動作的基礎則是從某周期到相鄰周期的過度和變換，因此這類題目的關鍵就是根據題目條件，做好過渡工作．另外，周期函數與函數的對稱性密切相關，兩個對稱性(軸對稱或中心對稱)常常可以確保函數具有周期性(如果函數圖象有兩個對稱軸，則周期為軸間距的2倍；如果有兩個對稱中心，且這兩個中心縱坐標相同，則周期為兩個中心橫坐標差的2倍；如果有一個對稱軸和一個對稱中心，則周期為對稱中心到對稱軸距離的4倍)，利用函數周期性畫函數圖象也比較常見．
7．零點的分布問題
此類題型題目多在新課標地區出現，考查零點的存在定理：上的連續函數f(x)在(a,b)內有零點的充分不必要條件是f(a)f(b)<0；若f(x)為連續單調函數，則為充要條件；為此，此類題目只需判斷端點函數值是否異號即可，通常難度不大．對于f(x)的圖象容易被作出的情況，數形結合也不失為一種好的方法．現在利用零點存在定理解決綜合問題也經常出現，這樣的試題難度就很大．
例．（12年遼寧理第11題5分）設函數滿足，且當時，.又函數，則函數在上的零點個數為
A．5 B．6 C．7 D．8
分析：由知,所以函數為偶函數，所以，所以函數為周期為2的周期函數，且；而為偶函數，且，在同一坐標系下作出兩函數在上的圖像，如圖，發現在內圖像共有6個公共點，則函數在上的零點個數為6，故選B.
點評：本題主要考查函數的奇偶性、對稱性、周期性、函數圖像、函數零點等基礎知識，是難題；求零點個數問題的常規處理是將變換化簡（注意不要失根）為，后一般用數形結合方法判斷個數；在畫圖形時不要隨意畫，要正確判斷函數的性質尤其單調性、最值，畫準確的圖象，否則是在用一個錯誤的“形”來判斷“數”了．
8．函數圖象
此類題目大多可分為三種題型：作圖，識圖，圖象變換，難度多屬中檔題．作圖題需要學生熟悉基本初等函數的作法，了解常函數、簡單的指對函數、冪函數、一次函數、二次函數、三次函數與（）的圖象畫法，能夠較精確地作出函數圖象，并通過觀察圖象得出相應的結論．識圖題則是在條件給出圖形的情況下，學生根據圖象，抽取出圖象中的隱含信息，如定義域、單調區間、奇偶性、周期性、最值、極值、對稱軸、對稱中心、定點以及漸近線等，從而解決相關問題．函數圖象變換，則考查了學生對于平移變換、對稱變換(關于坐標軸或坐標原點對稱)、伸縮變換和翻折變換的掌握程度．
例．（12年全國新課標第10題5分） 已知函數；則的圖像大致為（ ）
分析：因為，得；當，此時由且遞增，得，所以遞減；同理，由，此時，由且遞減，得，所以遞增；得在區間遞減，在區間上遞增；所以選B．
點評：本題比較綜合應用了導數與函數單調性的關系、函數的圖象與性質（尤其單調性）．當然從考試角度來說考生還有很多輕巧的辦法如排除法，還有使用性質“當時恒有”等
9．分段函數
分段函數，即函數在定義域的不同子集合內，采用不同的對應法則，此概念對應題目多為簡單或中檔題．解決此類題目只要判斷清楚待求自變量究竟在定義域的哪一個子集就好了，如果不確定，則需進行討論．至于分段函數與單調性、最值等問題的綜合，只需在每一“段”內分別考察單調性、最值，然后綜合考慮即可．
10．復合函數
此概念比較容易理解，就是將內層函數的函數值代入外層函數，得到新的函數值；關鍵是分清誰是內層，誰是外層，若函數解析式已給出，則題目通常難度不大，若函數為抽象函數，則往往偏難．
11．指數、對數的運算性質
此類問題重點考查指數、對數的運算性質，例如對數的三條運算性質，即，及．屬于最基本的運算公式，學生在高一入學不久就學習過，高考時，這些公式應該已經運用得十分熟練了．如果對于含有指數式、對數式的數的大小比較，那難度一般還是比較高的，需要找恰當的中間常數來幫忙．
12．導數、切線問題
此部分內容主要包括兩種題型：一是求導函數或導數值，二是利用導數求切線，兩類題目主要考察學生運算能力，難度適中．求導函數只需牢記8個基本求導公式，掌握四則運算的導數運算法則和復合函數的運算法則即可(用定義求導數的題目非常少見)；對于求導數值的題目，通常就是先求出導函數，然后代入自變量；求切線的問題，關鍵在于是否已知切點橫坐標，若已知，則將其代入函數可得切點縱坐標，代入導函數可得切線斜率，然后利用點斜式可求出切線方程；若切點橫坐標未知，則通常設其為t，然后用點斜式算出切線方程(含t)，然后再借助其他條件求出t，則此時切線方程隨之確定．
注意！“在點P處的切線”與“過點P的切線”是兩個不同的概念；“在點P處的切線”斜率等于該點的導數值，而“過點P的切線”僅表明，切線是經過點P的，但直線未必在點P處與曲線相切，這樣“過點P的切線的斜率”不一定是該點的導數值，即過點P但不以點P為切點的切線方程也是符合題意的.
13．解不等式
這部分內容重點考察學生的運算能力與解不等式的思維習慣，難度通常不會太低．高中階段常見到的解不等式題型，包括含絕對值的不等式、二次不等式、高次不等式、分式不等式、無理不等式、三角不等式以及指對數不等式，每一種類型的不等式都有自己的獨特的常規解決辦法，而且多有相應的注意事項．絕對值不等式只要記住兩個基本公式即可，，；解二次不等式可死記結論：若其可以分解成一次因式乘積，則在最高次系數為正的前提下，大于零取兩根之外，小于零取兩根之間；高次函數通常用標根法，要注意系數為正及“奇過偶不過”；分式不等式中切忌直接去分母，要考慮分母的正負，移項通分是比較保險的辦法，對于不等式某側為零的情況，可將分式結構直接改寫成相乘結構，但要時刻注意分母不為零；無理不等式首先要確保偶次被開方數的非負性，其次要考慮兩邊平方的條件，只有不等式兩邊同正的前提下，方可同時平方且不改變不等號方向，對于有負數的情況則可直接利用正數大于負數，或兩邊同時乘以“-1”化正；三角不等式多借助函數圖象或單位圓；指對數不等式主要利用函數單調性或采用換元法，特別指出，對數不等式要時刻注意定義域，即保證真數為正．總之解不等式一要保證變形前后的等價性，二要時刻關注使得不等式有意義的條件．
14．求參量取值范圍
此類型題目屬于傳統題目，由來已久，常常出現，且難度通常不低．這種題目通常有三個明顯特征：第一、題目中直接或間接給出一個包含兩個字母的等式或不等式(兩個字母：一個是自變量，另一個是參變量)；第二、題目中常有“有解”、“無解”“恒成立”等標志；第三、兩個字母中一個范圍已知(這個字母就是自變量)，另一個的范圍待求(這個字母即參變量)．這類題目有兩種較為通用的解決思路，分離變量法與選主元法，而它們最終都要借助求函數值域來解決問題．對于分離變量法，顧名思義，要把兩個變量分開到等式或不等式的兩邊，得到f(x)=g(a)，或的形式，由于一個字母的范圍已知，不妨設x范圍已知，則可知f(x)的范圍(即值域)，然后結合題目中的要求就可以求出相應的a的范圍了．對于選主元法，則是將自變量(已知范圍的那個字母，不妨設為x)看做變數，參變量(待求范圍的字母，設為a)看做常數，則可整理出g(x)=f(x,a)=0或，然后求出函數g(x)的值域(含有字母a)，與0確定大小關系(解關于a的不等式)即可．然而對于一些高難度題目(例如壓軸題)，可能會有一些另類的解法，這樣的題目解法人人都能看懂，但如果不提供解法，幾乎人人都做不出來，因此對這類題目不宜花費太多精力去研究，況且這類題目的解法往往也不具備通用性．
例．（2012年浙江理第17題4分）設，若時均有，則__________．
分析：構造函數；
若，則顯然不能滿足題意；
若，即，則是三次項系數小于0的三次函數，它不可能對于時均有成立；
則，此時函數可以化為，它與軸有三個交點，坐標分別為、、，由三次項系數為正的三次函數的圖象特征告訴我們，如要滿足“對于時均有成立”，如圖所示，只要，解得．
點評：（1）對于每一份試卷，選擇與填空的最后一題共兩題也是一份試卷的壓軸試題，當然，這里的壓軸題難度絕不能超過大題的壓軸題，壓軸題個數一般各為一道，選擇題的難度系數最好為0.４，填空題的難度系數最好為０.2．由于大題是考查主要知識板塊，那么選擇、填空是考查一些“邊角”知識．選擇與填空試題特征應該有所區別，它們的知識特征是“邏輯強、思路長、推理雜、算量大、表述纏”，還兼顧考查各種數學修養、感覺、投機、智力、能力等素質，思維特征是“簡、平、快”，實實在在地考查數學的基本功夫．這兩個壓軸試題往往是這份高考卷的亮點所在，是拉分題．
（2）多年來，浙江高考數學試卷命題對于選擇、填空的壓軸試題的命題形成了自己的風格，即一個代數題一個幾何題；而這兩個壓軸題從考試角度來看，一般情況下是可以用數學直覺思維、直覺能力去解、去撞．
（3）當我把這個試題給即將升入高三現高二的學生做時，學生的思維如水滴入燒滾的油中，油花四濺；特別的是，既然，就取幾個的特殊值代入試試，來縮小的范圍（其實就是找到結論成立的必要條件）；有幾個學生發現當時不等式就化為，那說明，不過要告訴學生這個的值還需要檢驗的、為什么要檢驗．這個思維的基礎就主元的改變，即不等式可以化歸為，變化時特殊情形就是，即．學生這樣的思維就是直覺思維，能力就是數學直覺的能力，我們在教學中要大力培養這樣的思維和能力．考試真的按照上面分析內容中的樣子做肯定是考不快的．這就是這個試題的亮點所在．
（4）解決這個無理方程是需要技巧的，否則就是做對也是在隱性失分；具體可以化為，后面比較簡單；當然也可以直接把代入中去求的值．
15．函數壓軸綜合題
函數壓軸綜合試題與選擇、填空的壓軸題一樣，是一份試卷好差的重要標志，是導向標；一個好的綜合試題必須具備三個特點．一是試題要與《普通高中數學課程標準（實驗）》及《考試綱要》要求相一致．在知識層面上，除了要保證重點知識重點保證外還要使課程內容的更新在高考試題中得到體現；在理念層面上，體現《普通高中數學課程標準（實驗）》提出的教學理念；在深度上，核心內容穩中求新，注重對教學本質的理解；在思想方法層面上，強化思想方法，深化能力立意．二是試題要對于日常教學發揮正面的導向作用，重視對概念的理解和把握，強調教學的基本方法，加強對應用意識的考查，注重學習、探究能力的考查．三要具有創新性、發展性．
我們很高興看到，2012年浙江高考函數壓軸試題在具備“好的高考數學試題特點”方面又向前進了一大步．近四年來有三年不同于全國或各省份的試題，命題風格相似（由此可以看出命題組成員是沒有大的變化），這些試題共同的特點是，以三次函數為載體，二次函數為基礎，圖象為依托，分類討論、數形結合為主要技能，思想方法樸素及來自中學范疇，完成解題路途平坦但路程很長很長．
函數綜合壓軸試題的難度是怎么樣把握為好呢？應該以一般的重點中學畢業班數學老師去做，化40分鐘左右時間，能有一大半的老師把試題給予一個完整的解答；切忌是這樣的一個試題，老師去做誰也做不出，去看答案大多都看得懂的的試題，這樣的試題就是從選拔角度來說也是毫無意義的．
三、在第二輪要有針對性的重點復習
有針對性的重點復習也是為了夯實基礎，看看第一輪復習課中還有什么重點內容沒有達到要求或丟失了．
針對本部分內容特別要檢查以下幾個重點內容的落實．
（1）二次函數的三種形式、圖象以及它的基本性質，二次函數三個字母的幾何意義是否清楚，二次函數在一個區間上的值域是否會求，含有參數的二次函數是否會針對參數進行分類討論，在絕對值里的二次函數的圖象是否會進行變換等．
例如，在上面四個壓軸題中就有三個題在解決過程中，要求會根據二次方程在閉區間、開區間、半開半閉區間上根的要求去分類畫圖象討論，不會遺漏，而這是學生難點卻是實在的方法，可以避開抽象的思維．象上面的例1，，因在區間上不單調，所以在上有實數解，且無重根；學生必須會熟練得出圖象與軸的交點應該有5種情況，不可遺漏，具體看解答的5個圖．
（2）三次函數是考試的重點（尤其文科的試題，幾乎每一年必考），對于三次函數，每一個學生都必須要清楚地知道它的圖象特征，具體如下．
三次函數一般形式是　，當時，它的圖象不是圖1就是圖2，圖2可以看作是圖1中的兩個極值點重合而來的；當時，它的圖象不是圖3就是圖4，圖4可以看作是圖3中兩個極值點重合而來的；熟悉了圖象就容易判斷單調性和極值點（包括極值點的存在性），這樣就有助解決三次函數的綜合試題．
（3）要掌握包括指數函數、對數函數在內的基本函數圖像、性質，還要掌握函數的各種情形的圖象與性質．
（4）確實落實與檢查學生的函數求導知識掌握，要求每一個學生會對基本函數和簡單復合函數進行求導，會導數是我們解決函數綜合題最基礎的要求；要求學生確切地理解導數的應用，防止不必要的錯誤；
（５）含參數不等式恒成立的試題是現在高考的熱點，這類試題首先要搞清楚，哪個是參數哪個是變量，而參數與變量分離的方法是解決這類問題的主要和常用方法；具體可以參見附件二，但不要鉆得太深了．
（６）壓軸試題的函數模型大多是通過轉化后變為單純的二次函數、三次函數，或二次函數、三次函數中一個與指數函數、對數函數中一個進行四則運算復合的函數模型；函數不是確定的，它大多是動態函數，即含有參數的函數，上面說了參數與變量分離是解題常用和主要的辦法．具體可以參見下面的思路歸納．
含有參數的函數解題方法運用分類討論、數形結合、函數的主要性質等．
（７）要養成解決函數問題的一些良好習慣，如做函數試題首先要注意求定義域，會利用特殊值或特殊情形等（即能使結論成立的必要條件）縮小參數的范圍、作出函數的圖象、對函數的性質進行判斷和評估等；因為高考主要是考常用的通法，所以在問題解決時首先會想到使用常用的、主要的方法等，常用方法的思維強度低，易于學生接受，也往往是學生第一思維，在考試時這個第一思維要堅持走下去，雖然“路”很長，也可能走不到底，但卻能贏得大部分的分數．
（8）讀題能力的培養也是十分必要的．因為壓軸試題，文字長，表達復雜、抽象是自然的；部分考生不缺扎實的數學功夫，卻缺文字功夫和堅強的意志品質；訓練的材料可以從歷年高考試題中尋找．
開設三類有針對性的專題課
專題一：開設有針對性的知識、方法與思想提升的專題課．高三第一輪是按知識分類來劃分章節進行復習的，數學方法、思想往往伴隨著問題的解決而引入，因此是零散的；這樣的知識分布也不利于學生儲存與提取．為了高考應試，第二輪復習就要解決上述問題，也就是要達到這樣的目的，在學生的腦子中，知識是按考試題型分類儲存的，思想與方法是按問題類型概括統一的．現在學校采用的第二輪復習用書的專題大多是大而空、泛，缺乏針對性，學生的知識得不到系統的提升，解題能力得不到有效的提高；根據筆者的經驗，在第三部分附件中的前二個專題，針對提升學生的函數綜合試題解題能力是有效的，供同行們參考使用；附件一是知識概括型的專題范例，附件二是思想方法高度歸納型的專題范例，在教學時要突出常用（主要）方法的落實．我這里還有一些專題，考慮篇幅限制沒有附上，同行們有興趣的話可以向我發電子信件索取電子稿件．
專題二：開設幾節提高學生作復合函數圖象能力的專題課．盡管壓軸試題都是含參數的函數（動態函數），但我們把可以把參數進行估計，對于某些參數，也能大概作出函數的圖象，這些圖象卻是學生思維、方法產生的基礎，因此，會作復合函數圖象的能力是解決壓軸綜合題的所必須的．具體參見附件三．
每一年高考下來，筆者喜歡研究所有高考試題，也寫成了很多文章．對去年全國所有高考試卷壓軸函數題進行了研究，大多數的函數其實都可以先畫出一個大概的圖象，因此，提高考生作復合函數圖象的能力、開設作復合函數圖象課的專題是十分重要的，范例函數的來源可以從高考試題中選擇．談到這里，筆者常聽到同事們議論有的高考試題出得真好！其實，是命題專家們在意甚至隨意先造出一個函數來，后用幾何畫板畫出圖象，由圖象的許多特征開出問題一二三來．我們在第一線教學，太忙了，我們有空的時候也這樣去做做，也會造出很多優秀的試題來．
專題三：開設幾節高考綜合試題解題方法分析的專題課．主要從高考時候的心態調節、試題審題，試題分析，試題解答，消除思維障礙等入手分析，最好以試題研究形式上好這樣的課．筆者的附件四材料就是以這樣方式寫成的案例供讀者思考．
強化訓練
模擬訓練、市地聯合模擬考試就是一個強化訓練的機會，試卷分析不但要分析試題解決過程，同時也要分析試題的審題、切題、修正、檢驗等各過程．由我們浙江近四年高考的函數綜合試題特征，結合省教育廳關于高考命題要求（試題越來越簡單）的走向，選擇的試題千萬不要太過分偏了，尤其舍棄那些“去做題，誰也做不出來；看解答，大家都能看得懂
”的試題。
用別的省份往年高考試題的訓練也是必要的，有助于對試題的“新生事物”的認識，更有助于學生的“應試能力”的提高．
如2010年全國新課標理科壓軸題：設函數．（I）若，求的單調區間；（II）若當時，，求的取值范圍．
對于這個試題的第（II）問，如果按常規做法是做不出來的，它是“非常規出牌”的試題，說“會做出的是鳳毛麟角”都有點夸大；但按現在的評分理念，一個考生努力按常規去做，且寫出來，盡管沒有結果卻能獲得大多的分數．
又如附件三中的2011年的湖南的壓軸試題，能很好地培養學生良好的審題習慣，即珍貴的“圖形誘導出思想方法”的習慣．
第三部分 附件材料
附件一：例析函數中十一對易混的問題
函數是高中數學中最重要的概念之一．在處理函數有關問題時，有些概念容易混淆，若不能理解概念的本質，就會產生錯誤．本文針對函數中容易混淆的十二對問題加以剖析并舉例說明．
一、定義域與值域
例1．（I）若函數的定義域為，求實數的取值范圍．
（II）若函數的值域為，求實數的取值范圍．
分析：（I）若函數的定義域為，就是無論為何實數，永遠成立．令，則的圖象始終在軸的上方，因此，就有且，從而，．
（II）若函數的值域為，就是應該取遍一切正的實數，也就是集合是值域的子集．當時，，它的值域是，符合要求；當時，只要就能保證集合是值域的子集，解得；時不合要求．故實數的取值范圍是．
評注：在處理具體的函數時，要切實把握定義域是自變量取值的集合，而值域是函數值的集合．
二、定義域與有意義
例2．（I）已知函數的定義域為，求實數的取值范圍．
（II）已知函數在區間上有意義，求實數的取值范圍
分析：（I）因為函數的定義域為，所以不等式的解集是，于是，是方程的根，代入求得．
（II）因為函數在區間上有意義，所以，不等式對恒成立，即對恒成立，而，即．
評注：若在上有意義，則是函數定義域的子集．
三、值域與函數值變化范圍
例3．（I）若函數的值域為，求實數的取值范圍．
（II）若函數的值恒大于或等于1，求實數的取值范圍．
分析：（I）因為函數，所以，即的值域為，于是有，解得或．
（II）因為函數恒成立，即恒成立，因此有恒成立，解得．
評注：函數的值域是函數值的集合，其中每一個元素都是函數值；而函數值恒大于等于1，是指函數值在內，并非要求取遍內的每一個值．
四、主元與次元
例4．（I）對于任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
（II）對于任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
分析：（I）原來的不等式可以轉化為對于恒成立；按對稱軸分下面三種情況討論：
i）當時，即時，只要，即，此時矛盾．
ii）當時，即時，只要，即，此時矛盾．
iii）當時，即時，只要，即．
綜上，實數的取值范圍．
（II）原來的不等式可以轉化為對于恒成立；只要即可，于是，解得或或
評注：構造函數時并不一定要以為自變量，應該根據已知條件，選擇恰當的變量為主元，從而使問題簡化．
五、有解與恒成立
例5．（I）已知，若恒成立，求實數的取值范圍．
（II）已知，若有解，求實數的取值范圍．
分析：（I）因為恒成立，這就要求的圖象全部在直線的上方，即就可，易知，所以，．
（II）要使有解，這就要求的圖象上有點在直線的上方即可，即，又，所以，
評注：“有解”是要求某范圍內存在使得不等式成立即可．有解，有解．
“恒成立”要求對某范圍內任意的，不等式都成立．恒成立，恒成立．
六、單調區間與區間單調
例6．（I）若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍．
（II）若函數單調遞增區間是，求實數的取值范圍．
分析：（I）在區間上單調遞增，那么，對稱軸，解得．
（II）圖象的對稱軸是，那么，的單調遞增區間為，于是就有，解得．
評注：若函數在區間上具有單調性，則在的任一子區間上具有相同的單調性，而單調區間是具有單調性的最大區間．
七、某點處的切線與過某點的切線
例7．（I）求曲線在點處的切線方程．
（II）求曲線過點的切線方程．
分析：（I）由得，，所以曲線在點處的切線方程為，即．
（II）設切點為，又，所以切線斜率為，則曲線在點的切線方程為．又在切線上，于是就有，即，解得或；
當時，切點就是，切線為；
當時，切點就是，切線斜率為，切線為．
評注：只有曲線在某點處的切線斜率才是函數在該點處的導函數值，此時切線是唯一的；過某點作曲線的切線，無論該點是否在曲線上，都要設切點坐標，從而求出切點處的切線，滿足條件的切線可能不唯一．
八、對稱與周期
例8．（I）若函數對一切實數都有，且，求．（II）若函數對一切實數都有，且，求．
分析：（I）因為對于一切，都有，即，恒成立，那么就有的圖象關于直線對稱，所以，．
（II）因為函數對一切實數都有，那么就有是周期函數且，則 ．
評注：若函數對一切實數都有，則有的圖象關于直線對稱．若函數對一切實數都有，則有是周期函數，且其中一個周期為．
九、中心對稱與軸對稱
例9．（I）若函數對一切實數都有，且時有．求解析式．
（II）若函數對一切實數都有，且時有．求解析式．
分析：（I）若函數對一切實數都有，則有的圖象關于直線成軸對稱；又時有；所以時，有，；
解析式為
（II）函數對一切實數都有，那么的圖象關于點成中心對稱；又時有；所以時，有，．解析式為
評注：函數對一切實數都有，那么的圖象關于點成中心對稱．
十、時恒成立與時恒成立
例10．（I）已知函數，（為實數），若對于任意的，都有成立，求實數的取值范圍．
（II）已知函數，（為實數），若對于任意的，都有成立，求實數的取值范圍．
分析：（I）設，則；于是，對于任意的時，恒成立．即；容易知道，故．
（II）對于任意的，都有恒成立，等價于當時，；容易求得，，于是，故．
評注：時恒成立，等價于時，；時恒成立，等價于時．
十一、函數單調與數列單調
例11．（I）若函數是單調增函數，求實數的取值范圍．
（II）若函數（且）是單調增函數，求實數的取值范圍．
分析：（I）因為函數在區間是單調增函數，所以對稱軸直線，得實數的取值范圍是．
（II）因為函數在且上是單調增函數，所以，對于一切，恒成立，即恒成立，故．
評注：數列是特殊的函數．若在上是增函數，則數列一定是增數列，但反之未必成立．因此，函數的單調性與對應數列的單調性有時會不一致，應該慎重處理．
附件二、不等式恒成立的八種解法探析
不等式恒成立問題一般設計獨特，涉及到函數、不等式、方程、導數、數列等知識，滲透著函數與方程、等價轉換、分類討論、換元等思想方法，成為歷年高考的一個熱點．考生對于這類問題感到難以尋求問題解決的切入點和突破口．這里對這一類問題的求解策略作一些探討．
1最值法
例1．已知函數在處取得極值，其中為常數．（I）試確定的值；（II）討論函數的單調區間；（III）若對于任意，不等式恒成立，求的取值范圍．
分析：不等式恒成立，可以轉化為
解：（I）（過程略）．
（II）（過程略）函數的單調減區間為，函數的單調增區間為．
（III）由（II）可知，函數在處取得極小值，此極小值也是最小值．要使（）恒成立，只需，解得或．
所以的取值范圍為．
評注：最值法是我們這里最常用的方法．恒成立；恒成立．
2分離參數法
例2．已知函數
（I）求函數的單調區間；
（II）若不等式對于任意都成立（其中是自然對數的底數），求的最大值．
分析：對于（II）不等式中只有指數含有，故可以將函數進行分離考慮．
解：（I）（過程略）函數的單調增區間為，的單調減區間為
（II）不等式等價于不等式，由于，知；設 ，則．
由（I）知，，即；于是， ，即在區間上為減函數．故在上的最小值為．
所以的最大值為．
評注：不等式恒成立問題中，常常先將所求參數從不等式中分離出來，即：使參數和主元分別位于不等式的左右兩邊，然后再巧妙構造函數，最后化歸為最值法求解．
3 數形結合法
例3．已知當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍是＿＿＿．
分析：本題若直接求解則比較繁難，但若在同一平面直角坐標系內作出函數與函數在上的圖象，借助圖形可以直觀、簡捷求解．
解：在同一平面直角坐標系內作出函數與函數在上的圖象（如右），從圖象中容易知道：當且時，函數的圖象恒在函數上方，不合題意；當且時，欲使函數的圖象恒在函數下方或部分點重合，就必須滿足，即．
故所求的的取值范圍為．
評注：對不等式兩邊巧妙構造函數，數形結合，直觀形象，是解決不等式恒成立問題的一種快捷方法．
4 變更主元法
例4．對于滿足不等式的一切實數，函數的值恒大于，則實數的取值范圍是＿＿＿．
分析：若審題不清，按習慣以為主元，則求解將非常煩瑣．應該注意到：函數值大于對一定取值范圍的誰恒成立，則誰就是主元．
解：設，，則原問題轉化為恒成立的問題．
故應該有，解得或．
所以實數的取值范圍是．
評注：在某些特定的條件下，若能變更主元，轉換思考問題的角度，不僅可以避免分類討論，而且可以輕松解決恒成立問題．
5 特殊化法
例5．設是常數，且（）．
（I）證明：對于任意，．
（II）假設對于任意有，求的取值范圍．
分析：常規思路：由已知的遞推關系式求出通項公式，再根據對于任意有求出的取值范圍，思路很自然，但計算量大．可以用特殊值探路，確定目標，再作相應的證明．
解：（I）遞推式可以化歸為，，所以數列是等比數列，可以求得對于任意，．
（II）假設對于任意有，取就有解得；
下面只要證明當時，就有對任意有
由通項公式得
當（）時，
當（）時，，可見總有．
故的取值范圍是
評注：特殊化思想不僅可以有效解答選擇題，而且是解決恒成立問題的一種重要方法．
6分段討論法
例6．已知，若當時，恒有＜0，求實數a的取值范圍．
解：（i）當時，顯然＜0成立，此時，
（ii）當時，由＜0，可得＜＜，
令
則＞0，∴是單調遞增，可知
＜0，∴是單調遞減，可知
此時的范圍是（—1，3）
綜合i、ii得：的范圍是（—1，3） ．
例7．若不等式對于恒成立，求的取值范圍．
解：（只考慮與本案有關的一種方法）解：對進行分段討論，
當時，不等式恒成立，所以，此時；
當時，不等式就化為，此時的最小值為，所以；
當時，不等式就化為，此時的最大值為，所以；
由于對上面的三個范圍要求同時滿足，則所求的的范圍應該是上三個的范圍的交集即區間
說明：這里對變量進行分段來處理，那么所求的對三段的要同時成立，所以，用求交集的結果就是所求的結果．
評注：當不等式中左右兩邊的函數具有某些不確定的因素時，應該用分類或分段討論方法來處理，分類（分段）討論可使原問題中的不確定因素變化成為確定因素，為問題解決提供新的條件；但是最后綜合時要注意搞清楚各段的結果應該是并集還是別的關系．
7單調性法
例8．若定義在的函數滿足，且時不等式成立，若不等式對于任意恒成立，則實數的取值范圍是＿＿＿．
解：設，則，有．這樣，，則，函數在為減函數．
因此；而（當且僅當時取等號），又，所以的取值范圍是．
評注：當不等式兩邊為同一函數在相同區間內的兩個函數值時，可以巧妙利用此函數的單調性，把函數值大小關系化歸為自變量的大小關系，則問題可以迎刃而解．
8判別式法
例9．若不等式對于任意恒成立．則實數的取值范圍是＿＿＿．
分析：此不等式是否為一元二次不等式，應該先進行分類討論；一元二次不等式任意恒成立，可以選擇判別式法．
解：當時，不等式化為，顯然對一切實數恒成立；
當時，要使不等式一切實數恒成立，須有，解得．
綜上可知，所求的實數的取值范圍是．
不等式恒成立問題求解策略一般做法就是上面幾種，這些做法是通法，對于具體問題要具體分析，要因題而異，如下例．
例10．關于的不等式在上恒成立，求 實數的取值范圍．
通法解：用變量與參數分離的方法，然后對變量進行分段處理；∵，∴不等式可以化為；下面只要求在時的最小值即可，分段處理如下．
當時，，，再令，，它的根為；所以在區間上有，遞增，在區間上有，遞減，則就有在的最大值是，這樣就有，即在區間是遞減．同理可以證明在區間是遞增；所以，在時的最小值為，即．
技巧解：由于，所以，，兩個等號成立都是在時；從而有（時取等號），即．
評注：技巧解遠比通法解來得簡單、省力、省時但需要扎實的數學基本功．
附件三：以圖啟思，思如泉涌
大家知道，中學數學內容可以整合為數與形的兩條主線，數形結合是常用的方法、老生常談的話題了．在高考時，考生對于一般的選擇與填空試題還能想起或熟練使用數形結合的方法；但在面臨綜合函數試題時，就會忘記或不會使用數形結合的方法．以下選擇的四個高考代數綜合試題，分別代表了四類典型的應用；這四個試題，在解決它們過程中，如果能想到數形結合（實際上是由圖形誘導出解決問題的思想與方法），你所走的路就將是捷徑．教師在臨考復習時，可以開設這樣的專題性教學，對學生增強解代數綜合試題的信心，提高綜合的解題能力有很大幫助的！四個試題都有多種解法，本文只選擇唯一解法－－該解法是用來揭示本文的主題思想．
一、動態函數，開辟“形”經，窮其性質
含有參變量的函數我們可以稱為動態函數，動態函數的圖像由于其參變量的變化，圖像類型（大致形狀）大多數也要緊跟著變化、復雜而不確定，因此，教師、學生往往就不會往數形結合去考慮；可少數情形就不同，圖像類型不會跟著參變量的變化而變化，大致還是確定的，其性質也是穩定的，這樣的情形務必要聯系圖形，利用圖形來指導代數思想進行解題．
例1．（2012年浙江省高考樣卷壓軸題）設函數在內有極值．（I）求實數的取值范圍；（II）若，，求證：．
注：是自然對數的底數．
分析：此題如果按一般審題方法著手思考，就要走很多彎路；其實，假如你先思考這個復合函數的大概圖象，你就會找到解決問題的捷徑．
當然，你首先要注意到的是，函數的定義域是；若，由函數及在區間和分別是增函數，可得在定義域內的兩個區間上都是增函數，與“函數在內有極值”條件矛盾；同理．
這樣就得；先由的圖象1，結合的大概圖象2，就可以得到函數的大概圖象3，它的形狀是穩定的，不會因（）的變化而變化．對題中的函數圖象就有了這樣準確的判斷：在區間（0,1）內函數值都小于0，先遞增后遞減；在區間內，函數值都大于0，先遞減后遞增．這樣的判斷，不僅有利于問題（I）的解決，更有利于問題（II）理解與解決了．
解：（I）函數的定義域是；
，當時，有，所以，由上式分子是二次函數，題意就轉化為在有解且符合極值點要求，令，不妨設，由且可得；因此，就有，得．
（II）由得或；由得或；所以得在內遞增，在內遞減，在內遞減，在遞增．
由，則，由得，所以，，由且得，由，又在時是遞增的，所以，．即．
評注：①在（I）中很少學生會使用兩根式方法設定的，為滿足在有解且符合極值點要求，即有兩個不同的根，且小的根在區間內，只能得到如下的三個圖，圖4就能推得，圖5和圖6均無解．
②本題解題關鍵是能得到條件，它是關于函數中變量的取值范圍．
二、確定函數，理順思路，呈現方法．
綜合代數試題給出的函數中不含有參變量，就是一個確定的函數，那它的圖像不象前面一樣，應該是確定的．確定的函數，更應該畫出圖像，借助圖像來尋找、獲得或建立使問題解決的代數方法．
例2．（2011年湖南理壓軸題）已知函數，．（I）求函數的零點個數，并說明理由；（II）設數列滿足，，證明：存在常數M，使得對于任意的，都有成立．
分析：這個試題在去年高考后不久便被一個老師引入到我校新高三的一份試卷中；一開始，新高三的數學老師基本上對第（II）題解題毫無頭緒、無法入手，都說沒有見過這樣的試題，個別老師見了答案后還無法理解為什么要這樣的分類；事后都認為這個試題太好了！其實思維的障礙就是在單純地用代數思想去解決問題了．
假如大家先畫一個大概的圖象，即心中有了如圖７的圖象，整個問題的解決尤其問題（II）的對的分類討論就不是很難了，思維、方法涌出就水到渠成．
（I）函數的零點個數由圖７所示，一共有兩個零點，其中一個是正的零點，記為，即；如果要求用代數去證明的話，那工作量很大，也有一定的難度，限于篇幅，具體請讀者去看有關高考解答資料．
（II）由于數列滿足，，由兩個圖象的位置關系，我們可以得到啟發：當時，如圖８，就有，也就是說數列是遞增數列但有上界，即取；當時，如圖９，就有，也就是說數列是遞減數列但有下界，上界就是初始的，即取．
代數證明：當時，由（I）得，得，又由是遞增函數可知；結合也是遞增函數就可由得；縱上就有．同理，當時，就有 ．
所以，當時，就有；當時，就有；當時，就有．
所以，存在常數，使得對于任意的，都有成立
　評注：解了此題，你是否有“踏破鐵鞋無覓處，得來全不費工夫”的感嘆！
三、多個函數，辨析位置，挖掘隱含．
有些函數綜合試題，我們可以不畫出圖像，你也能解決它，正如下面高考試題的標準答案，但這種解決方法實在是繁瑣，老師、學生都很難看懂；當綜合試題中含有兩個函數時，一般情況至少一個是動態函數，那畫出它們之間的位置關系，會使一些隱性條件清晰起來，去掉不必要的討論與辨別，快馬加鞭直達主題．
例3．(2012年薪課標全國卷理21題)已知函數．
（I）求的解析式及單調區間；
（II）若，求的最大值．
分析：（I）略解：，將代入得，將代入得，即；它的單調遞減區間為，單調遞增區間為．
（II）若恒成立，即恒成立；記、；結合的單調性，由對于恒成立可得；欲求的最大值，則須有；這樣，與的圖像關系只能是圖10那樣．
當正數確定時，的最大值情形就是直線與曲線相切時；可以求出切點坐標為，即的最大值為．
從而，其中，下面只要求上式的右邊最大值，即函數的最大值就可以了．
在處達到最大值，最大值為．
評注：這里由圖就可以使“”、“ ”、“ 的最大值情形就是直線與曲線相切時”等條件清晰出來，使解題快速又正確．今年6月底，筆者曾用該題編在一份試卷上（做壓軸題），對學生進行過考試檢測，根據答題結果統計，發現使用圖像（結果基本上正確）的有18位，不使用圖像也在分析推理（基本上沒有結果）的有9位，還有16位就是什么也不會做的（大概沒有時間）．此實例說明想到用圖像與不用圖像會使結果大不相同．
四、常規函數，窮現情形，不重不漏．
動態函數由于參數的不同，圖像的形狀會不同，或形狀可能相同但某些位置關系、性質會不同，用代數解決即抽象又很難想到，也很難完美落實．如果根據參編量的變化，采用連續的多個圖像，來窮現所有情況，把要解決的問題搞清楚，也是一種務實而有效的方法．
例4．（2009年浙江理２２）已知函數，，其中．
（I） 設函數．若在區間上不單調，求的取值范圍；
（II）設函數是否存在，對任意給定的非零實數，存在惟一的非零實數（），使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
分析：因，，因在區間上不單調，所以在上有實數解，且無重根；則圖象與軸的交點有下列的5種情況（如圖11的5個小圖所示）：
圖（1）的充要條件是即；
圖（2）與圖（3）合并的結論是，即；
圖（4）的充要條件是，即；
圖（5）的充要條件是，即不存在．
所以，．
（II）實際上，由于是二次函數且對稱軸為，是一次函數且 ，由題意，有以下三種情況圖象（如圖12中的三個圖），每一個圖象的軸的左邊是的示意圖，軸的右邊的直線是的示意圖而曲線是左邊的圖象的延伸．
圖A表明且，但不合題意，也無解；
圖B表明且，符合題意但無解；
圖C表明且，符合題意，得．
所以，滿足題意．
評注：上面的方法走的路雖有點長，但實在、具體．
親愛的讀者，高考函數綜合試題其實就是包含動態函數的試題，是高考的壓軸試題，也是好學生獲得高分的重要根據點；使用與不使用圖形來誘導出代數思想方法是他們是否取得高分區別所在，也是老師您高考輔導成功與否的標志；這樣，您閱讀了本文以后，你是否對數形結合的理念有所改進呢！
附件四：讓高考試題在問題探究中盡放光芒
摘要：本文以2010年浙江高考理22題為材料，整理出７個問題，每一個問題都給予一個建議性的意見，結合問題探究教學法，設計為一節高考試題分析課的教案．
關鍵字：試題，問題，探究，意見，建議．
高考試題是命題組（一般由10多位高中名師和大學老師、命題專家組成）集體智慧的結晶，是經過了高考檢驗的、優秀的數學教學題材．根據筆者的經驗，在高三各輪的教學復習中，經常性地對高考試題從各個角度深入研究，能使考生熟悉和掌握近年高考試題的命題風格、命題熱點、命題形式，有利于考生適應高考情景，提高高考知識復習的針對性．
2010年浙江理科數學試卷第21題(本題14分)是一道漂亮的試題，筆者把它與“問題探究教學法”進行結合，首先在自己的課堂里上了一節試題分析實驗課，根據課的過程與課后的反思，現在設計為一堂“高考試題分析課”，供參考．
一 試題及課前準備
題:已知是給定的實常數．設函數，，是的一個極大值點．（I）求的取值范圍；（II）設，，是的三個極值點，問是否存在實數，可找到，使得，，，的某種排列，，，（其中｛，，，｝＝｛１，２，３，４｝）依次成等差數列？若存在，求所有的及相應的；若不存在，說明理由．
課前準備：在課前早一天或兩天把該試題作為作業布置給學生探索、鉆研（要求學生不能查閱有關答案），并在適當時間后上交批改，對學生的作業情況進行歸納、分析、歸類，以便設計提出下面的問題．有條件的要準備好多媒體課件，沒有條件的把要求多媒體展示部分的印刷出來給學生，人手一份．
二 問題的設計與解決思路的探究
問題1：做題的第一關是審題．同學們能談談你在拿到這個試題入手做時的感覺是什么？
參考答案： 主要的感覺有（１）拿到手的時候，一讀試題，與以前的高考壓軸題不一樣，題意敘述簡短，意思清清楚楚．（２）試題不同于一般的高考壓軸題，一般的高考壓軸題是入手容易，走出難；而這里讓人迎面碰到的就是一個辣手的問題：如何破解條件“是的一個極大值點”？（３）一般的壓軸試題的第1小題是比較簡單、直接的問題，這里的好象也一樣，可是著手做時發現求函數的導數卻是一個難題．
問題2：同學們是如何求函數的導數呢？
參考答案：據參加高考的數學成績不錯的學生回憶：今年浙江高考數學試題選擇、填空部分總體難度比較高，這個試題是最后一道題，這樣剩下可解答的時間就不多，本以為很容易拿下這個導數關節點，在花了比較多時間后才得出一個導數結論，也不知道這個導數結論正確不正確．其實，不同的考生，在求函數的導數時方法是不同的，是最能體現一個考生數學功底的，由于求導數路程比較長、運算量大，當方法選擇不當時，導出的結論容易是錯誤的．
最簡單的辦法：令，先對求導，這里求導最好要用積函數的求導方法，即
．后對求導數，這樣，容易提取因式，化簡得這樣一個明朗的結論．
求導誤區：把展開為，求的導數得，這樣對求導就會變成這樣的結果，這個結論即繁又不能及時發現，十分不理想，會使后面解題不順暢或解題受阻．
由此，同學們應該有所感觸，那就是高考的壓軸試題解答一定會有點不平常，需要扎實的數學基礎和高強的數學能力．
問題3：同學們是如何利用條件“是的一個極大值點”來確定題中第１問中的取值范圍？
參考答案：部分同學就會以為條件“是的一個極大值點”等價于“”，把代入式子進去，自然會得到，這個參數跑到什么地方也不知道了．
其實，能解答到這里的大多同學都明白條件“是的一個極大值點”等價于“，且在的附近當時有、當時有”．
由，自然會發現；令，而當時有、當時有，又由是一元二次、連續的函數，這樣只要就能保證結論“在的附近當時有、當時有”；由得出．
問題4：參加高考的考生反應第２小題的條件表達實在抽象，難以理解或突破，同學們看看能怎樣的突破？
參考答案：當然這里的解答必須建立在第１小題通暢解答的基礎上，否則也真的難以想象怎么樣才會順利解決．
這里表達中的三個極值點，即，，是的三個極值點，應該是基礎的、穩定的；如果這三個點都象“浮萍”一樣，那加上，要使得，，，的某種排列依次成等差數列的排列就有種，后要對這２４種逐一考慮顯然是不現實的，高考肯定不是這樣考的．
既然想到上一點，就要認真觀察三個極值點，，的大小順序關系．三個極值點，，就是三個根，進一步可以發現，一個根就是，另兩個根就是的兩個根．
這個試題最大的特點就是題意條件簡單、明了，同學們還要明白一點，一般來說，壓軸試題的前面小題是為后面題服務的；那么就要聯系第１小題的解答過程“”或“”條件下，可得是在另兩個根之間．由大小根的關系，不妨記，，，有．
問題5：有了上面的分析，你能全部解答問題了嗎？
參考答案：若，使得，，，的某種排列，，，（其中｛，，，｝＝｛１，２，３，４｝）依次成等差數列，與，，的順序關系自然剩下下面的三個關系了．
（i）當或時，這樣就有，即，此時，，或；
（ii）當時，這樣就有，即，代入化簡得，解得，；
（iii）當時，這樣就有，即，代入化簡得，解得，．
問題6：其實“，解得”這一步說得輕巧，做起來很坎坷的！你們有這樣的體會嗎？
參考答案：這里是一個無理方程的解題過程，對無理方程，高考要求應該是很低的，但這里不是這樣的，還是很高的要求的！
對于，可以把看成一個整體，也可以把看承一個整體．如設，則方程就是，兩邊平方得．現在面臨著對的取舍問題，是一個難點．
如何對的值進行取舍呢？只能從式子去看了，由得，這樣就是取，得，即．
問題7：你們做了這樣的一個高考試題有什么心得呢?
參考答案：我們知道，高考試題作為選拔性的考試，整份卷試題的85﹪問題的解決方法應該是“兩綱”所要求的主要思想與方法，一定要走“陽光大道”，不選“陰間小道”．試題背景設計力求公平，貼近學生的實際，在大家都熟悉的情景中考查能力，問題設計力求入口寬，方法多樣，使學生在公平背景下展示真實的水平．如這里，讓更一般的學生一看就會知道是使用求導數方法來處理第（I）小題．
而對于壓軸試題就不這樣的．壓軸題并不是孤立的，它存在一個大題之中，一般是放在整份試卷最后的一道，或最后的第二道；壓軸試題一般分成兩道或三道小題，前面的應該還是基礎的，一般的學生都應該得分的，而后面的小題才是高難度．壓軸題所考查的知識選擇一般是在重點數學知識里選擇，這樣就需要一個綜合題作為基礎來支撐它．
高考試題作為選拔性的考試，最后壓軸題的目的是讓數學能力冒尖的學生在這里能有充分的發揮，以便拉開數學冒尖學生與一般學生的分數，提的問題或解決的方法應該是冒尖學生能力承受范圍內，問題解決所用的思路或方法應該是這樣冒尖學生能想到的．如這里，求導數的方法就與平時不一樣，要走獨特的、技巧的路子．
作為壓軸題，問題設計力求入口寬，方法多樣，使數學冒尖學生在公平背景下展示真實的水平，因此，壓軸題命題時各個方面要源于課本而又高于課本．對于一元二次方程的兩個根，一般的（絕大部分的）處理方法是用兩根的韋達定理來解決，但這里就要求“韋達定理”與“求根公式”靈活運用，要根據情況適當取舍，單一只考慮“韋達定理”，就會使解題走入“死胡同”．
作為壓軸題，與常規性的解答題應該不一樣，總有一定的難度，這個難度就是在解題的具體環節的方法上體現，要有很大的靈活性，思維的跳躍性也要大．如這里，不但要會使用“求根公式”，還會能及時判斷這兩個根是有確定的大小關系的，有了這樣的判斷，后面的工作就大大簡化了．
作為壓軸題，由于它的責任要求，解題過程必然是漫長的、曲節的；特別是當解決過程中數學知識難度、技巧等降低時，必然要延長解決問題過程；我們這個試題就是有這樣的特點．該試題是２０１０年浙江卷理科最后一題，編得很巧妙，既聯系了平時訓練的基礎知識，又有很大的邏輯推理空間，淺入深出，下筆容易完成難，不象以前的或別的省份的壓軸題，難得離譜、脫離教學實際和一點不給考生留下解決問題的線索，是具有較好試題功效的壓軸試題．
作業：利用今天所學的高考試題的分析方法來分析09年浙江理科22題的多種解法，寫一篇小論文．
結束本課程．

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