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例析函數(shù)中十一對(duì)易混的問(wèn)題
函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中最重要的概念之一．在處理函數(shù)有關(guān)問(wèn)題時(shí)，有些概念容易混淆，若不能理解概念的本質(zhì)，就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤．本文針對(duì)函數(shù)中容易混淆的十二對(duì)問(wèn)題加以剖析并舉例說(shuō)明．
一、定義域與值域
例1．（I）若函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍．
（II）若函數(shù)的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍．
分析：（I）若函數(shù)的定義域?yàn)?，就是無(wú)論為何實(shí)數(shù)，永遠(yuǎn)成立．令，則的圖象始終在軸的上方，因此，就有且，從而，．
（II）若函數(shù)的值域?yàn)椋褪菓?yīng)該取遍一切正的實(shí)數(shù)，也就是集合是值域的子集．當(dāng)時(shí)，，它的值域是，符合要求；當(dāng)時(shí)，只要就能保證集合是值域的子集，解得；時(shí)不合要求．故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
評(píng)注：在處理具體的函數(shù)時(shí)，要切實(shí)把握定義域是自變量取值的集合，而值域是函數(shù)值的集合．
二、定義域與有意義
例2．（I）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍．
（II）已知函數(shù)在區(qū)間上有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍
分析：（I）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以不等式的解集是，于是，是方程的根，代入求得?br/>（II）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有意義，所以，不等式對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，而，即．
評(píng)注：若在上有意義，則是函數(shù)定義域的子集．
三、值域與函數(shù)值變化范圍
例3．（I）若函數(shù)的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍．
（II）若函數(shù)的值恒大于或等于1，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
分析：（I）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，即的值域?yàn)椋谑怯校獾没颍?br/>（II）因?yàn)楹瘮?shù)恒成立，即恒成立，因此有恒成立，解得．
評(píng)注：函數(shù)的值域是函數(shù)值的集合，其中每一個(gè)元素都是函數(shù)值；而函數(shù)值恒大于等于1，是指函數(shù)值在內(nèi)，并非要求取遍內(nèi)的每一個(gè)值．
四、主元與次元
例4．（I）對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
（II）對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
分析：（I）原來(lái)的不等式可以轉(zhuǎn)化為對(duì)于恒成立；按對(duì)稱軸分下面三種情況討論：
i）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，只要，即，此時(shí)矛盾．
ii）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，只要，即，此時(shí)矛盾．
iii）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，只要，即．
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍．
（II）原來(lái)的不等式可以轉(zhuǎn)化為對(duì)于恒成立；只要即可，于是，解得或或
評(píng)注：構(gòu)造函數(shù)時(shí)并不一定要以為自變量，應(yīng)該根據(jù)已知條件，選擇恰當(dāng)?shù)淖兞繛橹髟?，從而使?wèn)題簡(jiǎn)化．
五、有解與恒成立
例5．（I）已知，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
（II）已知，若有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
分析：（I）因?yàn)楹愠闪?，這就要求的圖象全部在直線的上方，即就可，易知，所以，．
（II）要使有解，這就要求的圖象上有點(diǎn)在直線的上方即可，即，又，所以，
評(píng)注：“有解”是要求某范圍內(nèi)存在使得不等式成立即可．有解，有解．
“恒成立”要求對(duì)某范圍內(nèi)任意的，不等式都成立．恒成立，恒成立．
六、單調(diào)區(qū)間與區(qū)間單調(diào)
例6．（I）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
（II）若函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
分析：（I）在區(qū)間上單調(diào)遞增，那么，對(duì)稱軸，解得．
（II）圖象的對(duì)稱軸是，那么，的單調(diào)遞增區(qū)間為，于是就有，解得．
評(píng)注：若函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，則在的任一子區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，而單調(diào)區(qū)間是具有單調(diào)性的最大區(qū)間．
七、某點(diǎn)處的切線與過(guò)某點(diǎn)的切線
例7．（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程．
（II）求曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程．
分析：（I）由得，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．
（II）設(shè)切點(diǎn)為，又，所以切線斜率為，則曲線在點(diǎn)的切線方程為．又在切線上，于是就有，即，解得或；
當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)就是，切線為；
當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)就是，切線斜率為，切線為．
評(píng)注：只有曲線在某點(diǎn)處的切線斜率才是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，此時(shí)切線是唯一的；過(guò)某點(diǎn)作曲線的切線，無(wú)論該點(diǎn)是否在曲線上，都要設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出切點(diǎn)處的切線，滿足條件的切線可能不唯一．
八、對(duì)稱與周期
例8．（I）若函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)都有，且，求．（II）若函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)都有，且，求．
分析：（I）因?yàn)閷?duì)于一切，都有，即，恒成立，那么就有的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，．
（II）因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)都有，那么就有是周期函數(shù)且，則 ．
評(píng)注：若函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)都有，則有的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．若函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)都有，則有是周期函數(shù)，且其中一個(gè)周期為．
九、中心對(duì)稱與軸對(duì)稱
例9．（I）若函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)都有，且時(shí)有．求解析式．
（II）若函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)都有，且時(shí)有．求解析式．
分析：（I）若函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)都有，則有的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱；又時(shí)有；所以時(shí)，有，；
解析式為
（II）函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)都有，那么的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱；又時(shí)有；所以時(shí)，有，．解析式為
評(píng)注：函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)都有，那么的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱．
十、時(shí)恒成立與時(shí)恒成立
例10．（I）已知函數(shù)，（為實(shí)數(shù)），若對(duì)于任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
（II）已知函數(shù)，（為實(shí)數(shù)），若對(duì)于任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
分析：（I）設(shè)，則；于是，對(duì)于任意的時(shí)，恒成立．即；容易知道，故．
（II）對(duì)于任意的，都有恒成立，等價(jià)于當(dāng)時(shí)，；容易求得，，于是，故．
評(píng)注：時(shí)恒成立，等價(jià)于時(shí)，；時(shí)恒成立，等價(jià)于時(shí)．
十一、函數(shù)單調(diào)與數(shù)列單調(diào)
例11．（I）若函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
（II）若函數(shù)（且）是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
分析：（I）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間是單調(diào)增函數(shù)，所以對(duì)稱軸直線，得實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（II）因?yàn)楹瘮?shù)在且上是單調(diào)增函數(shù)，所以，對(duì)于一切，恒成立，即恒成立，故．
評(píng)注：數(shù)列是特殊的函數(shù)．若在上是增函數(shù)，則數(shù)列一定是增數(shù)列，但反之未必成立．因此，函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)應(yīng)數(shù)列的單調(diào)性有時(shí)會(huì)不一致，應(yīng)該慎重處理．

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