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一個十分重要的函數的圖象與性質應用
新課標高一數學在“基本不等式”一節課中已經隱含了函數的圖象、性質與重要的應用，是高考要求范圍內的一個重要的基礎知識．那么在高三第一輪復習課中，對于重點中學或基礎比較好一點學校的同學而言，我們務必要系統介紹學習（ab≠0）的圖象、性質與應用．
2．1 定理：函數（ab≠0）表示的圖象是以y=ax和x=0（y軸）的直線為漸近線的雙曲線．
首先，我們根據漸近線的意義可以理解：ax的值與的值比較，當很大很大的時候， 的值幾乎可以忽略不計，起決定作用的是ax的值；當的值很小很小，幾乎為0的時候，ax的值幾乎可以忽略不計，起決定作用的是的值．從而，函數（ab≠0）表示的圖象是以y=ax和x=0（y軸）的直線為漸近線的曲線．另外我們可以發現這個函數是奇函數，它的圖象應該關于原點成中心對稱．
由于函數形式比較抽象，系數都是字母，因此要證明曲線是雙曲線是很麻煩的，我們通過一個例題來說明這一結論．
例1．若函數是雙曲線，求實半軸a，虛半軸b，半焦距c，漸近線及其焦點，并驗證雙曲線的定義．
分析：畫圖，曲線如右所示；由此可知它的漸近線應該是和x=0兩條直線；由此，兩條漸近線的夾角的平分線y=x就是實軸了，得出頂點為A（，3），A1（-，-3）； ∴ a==, 由漸近線與實軸的夾角是30o，則有=tan30o, 得b=2 , c==4, ∴ F1(2,)F2(-2,-)．為了驗證函數的圖象是雙曲線，在曲線上任意取一點P（x, ）滿足即可；
所以，函數表示的曲線是雙曲線．
（在許多地方，老師把這個曲線形狀形象概括為“雙鉤曲線”，其實很不準確的．）
2．2五種表現形式
表現 1：函數 （a>0,b>0）的雙曲線大概圖象如下：

漸近線含雙曲線部分的夾角是銳角，在和上函數分別是單調遞增的，在和上函數分別是單調遞減的；在x=處有極大值，在x=處有極小值；值域是．
表現 2：函數 （a<0,b<0）的雙曲線大概圖象如下：

漸近線含雙曲線部分的夾角是銳角，在和上函數分別是單調遞減的，在和上函數分別是單調遞增的；在x=處有極小值，在x=處有極大值；值域是．
表現 3：函數 （a>0,b<0）的雙曲線大概圖象如右：
此時，漸近線含雙曲線部分的夾角是鈍角，∵>0，所以，函數在和上函數分別是單調遞增的，每一個單調區間上的值域都是R．
表現 4：函數 （a<0,b>0）的雙曲線圖象如右：
此時，漸近線含雙曲線部分的夾角是鈍角，∵<0，所以，函數在和上函數分別是單調遞減的，每一個單調區間上的值域是R．
特別，后面兩個函數的單調性很“單純”，在解題時候要引起重視，在高考中也多次應用，注意總結．
表現 5：函數 (x≠0) 是等軸雙曲線，以x軸、y軸為漸近線，在兩個區間和上函數分別是單調遞減的．這個學生在初中就應該掌握了的函數
2、3應用舉例與重點推廣
這個函數最大有用處就是它的單調性，因此往往是利用的它在某個區間上的單調性來求函數的值域，或比較大小，或求最值等．
例2．已知x>y>0 , xy=1 ,求的最小值及此時x、y的值
解：∵x>y>0 ，∴x-y>0, 又 xy=1，
∴=；
解混合式得：
所以當： 時候，取得最小值為．
例3．求y= (x≥0)
解：令x+2=t 則 x=t-2 代入得 由 x≥0得t≥2,而在上是減函數的，所以y≤-5,值域為
例11．已知
（1）若a＞0，求的單調區間
（2）若當時，恒有＜0，求實數a的取值范圍
解：=
當＞0時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為．
（2）（i）當時，顯然＜0成立，此時，
（ii）當時，由＜0，可得＜＜，
令
則＞0，∴在要求區間內是單調遞增，可知
＜0，∴在要求區間內是單調遞減，可知
此時的范圍是（—1，3）
綜合i、ii得：的范圍是（—1，3）
從上面幾個例子可以看出，形如 或（m≠0,a≠0）函數值域不但可以用二次方程的△判別式來求，也可以用這個雙曲線函數的單調性來求，尤其對于自變量不是自然的定義域，而是某個限制的范圍時候，更要利用這個函數的單調性來解決了．
重點推廣：到此我們來看看函數 （ad≠bc，a≠0）究竟是什么樣的圖象與性質呢？
它可以通過變形化為，繼續化為，因此，函數（ad≠bc，a≠0）的圖象是可以從的圖象通過平移而來的，從而（ad≠bc，a≠0）的圖象也是等軸雙曲線，漸近線是，的兩條直線，在和兩個區間上都具有相同的單調性，>0時都是單調遞減，<0時都是單調遞增．這個函數與函數 （a>0,b>0）要與一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數一樣，作為高三復習時候的基本函數，要熟練理解和應用，．
例4．已知正項數列滿足a1=a (0求證
分析：本題有別的證法，這里就用數學歸納法結合上面函數的單調性思想來處理；
i）n=1時 a1=a，符合求證結論
ii設n=k時 結論成立
則n=k+1時候， ak+1≤,而，因此，考慮函數f(x)==1- 在區間和區間都是遞增函數，（0，1），所以f(x)=在0，1）也是遞增函數，從而，ak+1≤，所以 n=k+1時,不等式也成立．
綜上所述，對任意n是正的自然數都成立．
這樣，（ad≠bc，a≠0）的圖象也是等軸雙曲線，漸近線是，的兩條直線，在和兩個區間上都具有相同的單調性的應用要得到鞏固，它是函數（ab≠0）的圖象、性質的知識系統的重要組成部分．

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