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　五道數學壓軸試題解析
由于浙江省高考試題命題組成員大部分有一定的連續性，從個體來看，每一個成員的對數學的認識、熟練的知識范圍、擅長的能力愛好范疇總是一定的（有限止的），因此對近年的高考綜合試題特征的研究有一定的必要，有助于對高考復習重點的把握．
高考命題強調以能力立意，以數學知識為載體，從問題入手，把握數學學科的整體意義，從學科整體的高度和思維價值的高度考慮問題，加強對知識的綜合性和應用性的考查，在知識網絡的交匯處設計試題．而中學數學內容可以整合為數與形的兩條線，其中數是以函數概念來串聯代數、三角和解析幾何知識；可以把方程視為函數值為零，不等式可以看成兩個函數值的大小比較，數列、三角函數則是特殊的一類函數．所以高考試題中涉及函數的考題面大量廣，一旦被編制為解答題就是中高檔試題了．綜觀近三年浙江省有關函數綜合題的考查，重在考查對函數知識理解的準確性、深刻性，重在考查與方程、不等式、數列、解析幾何等相關知識的相互聯系，要求考生具備較高的數學思維能力和綜合分析能力以及較強的運算能力，體現了以函數為載體，多種能力同時考查的命題思想．
以下的解答力圖從學生的實際思維、知識、方法思想等情況出發，來求得壓軸題的應試策略與方法．
例１．（2009年浙江理２２）已知函數，，其中．
（I） 設函數．若在區間上不單調，求的取值范圍；
（II）設函數是否存在，對任意給定的非零實數，存在惟一的非零實數（），使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
解：（I）法一、因，，因在區間上不單調，所以在上有實數解，且無重根，由得
，令有，記則在上單調遞減，在上單調遞增，所以有，于是，得，而當，即得時，有在上有兩個相等的實根，故舍去，所以．
法二、因，，因在區間上不單調，所以在上有實數解，且無重根；則圖象與軸的交點有下列的5種情況（圖如右邊）：
圖（1）的充要條件是即；
圖（2）與圖（3）合并的結論是，即；
圖（4）的充要條件是，即；
圖（5）的充要條件是，即不存在．
所以，．
（II）（數形結合解題）實際上，由于是二次函數且對稱軸為，是一次函數且 ，由題意，有以下三種情況圖象（簡圖），每一個圖象的軸的左邊是的示意圖，軸的右邊的直線是的示意圖而曲線是左邊的圖象的延伸．
圖A表明且，但不合題意，也無解；
圖B表明且，符合題意但無解；
圖C表明且，符合題意，得．
所以，滿足題意．
注：上面的方法走的路有點長，但實在、具體。
例２．（2010理22題14分）已知是給定的實常數，設函數，，是的一個極大值點．
(Ⅰ)求的取值范圍；
(Ⅱ)設是的3個極值點，問是否存在實數，可找到，使得的某種排列(其中=)依次成等差數列?若存在，求所有的及相應的；若不存在，說明理由．
分析：第（I）小題的求導既是解決本題的基礎又是一個難點部分，當年很多考生在此就已經錯了，后面的工作就白白浪費時間了．
（Ⅰ）解：，令，則；
于是，假設，是的兩個實跟，且，此時
當x1=a 或x2=a時，則x=a不是f(x)的極值點，此時不合題意．
當x1a且x2a時，由于x=a是f(x)的極大值點，故，
即，即，解得．
所以b的取值范圍是（-∞，-a）．
（II）解：由（I）可知，，且；
假設存在b及滿足題意，則
（1）當時，就有或，于是有，即
此時
或
（2）當時，則或，
①若 ，則；于是，即，
解得，此時，=
②若，則，于是，即，
解得；此時，
綜上所述，存在b滿足題意，
當時，
時，
時，
例３．（2011年理22題14分）設函數
（I）若的極值點，求實數；
（II）求實數的取值范圍，使得對任意的，恒有成立，注：為自然對數的底數．
（I）解：求導得
因為的極值點，所以
解得經檢驗，符合題意，所以
（II）這里用參數與變量分離方法來解決，不用命題者的思路．
對于函數，若對任意的，恒有即成立．若要進行參變分離，則需要在兩邊同時除于，而，于是還需要分類討論．
當時，結論顯然成立，得；
當時，，上面的問題等價于，即．令、；則問題就等價于
．
容易知道在上單調遞增，故；
而在單調遞增，且，故在上遞減，在上單調遞增，故；
于是，綜上就有a的取值范圍是
注：我一拿到該題，第一反應是這樣的思路，也應該是考生的第一思路；它的方法應該屬于“參數與變量分離”的方法，而這里的分離不算容易，應該算難于分離了，出現了、這樣的函數，一般學生是有點擔心做不出了。而參考答案卻是很抽象的，我反對把抽象的方法教給學生，把抽象的方法教給學生只有害處。
例４．（今年樣卷壓軸題）設函數在內有極值．
（I）求實數的取值范圍；（II）若，，求證：．
注：是自然對數的底數．
解：（I）函數的定義域是；
，當時，有，所以，由上式分子是二次函數，題意就轉化為在有解且符合極值點要求，令，不妨設，由且可得；因此，只要，，得．
（II）由得或；由得或；所以得在內遞增，在內遞減，在內遞減，在遞增．
由，則，由得，所以，，由且得，由，又在是遞增的，所以，．即．
注：①在（I）中很少學生會使用兩根式方法設定的，為滿足在有解且符合極值點要求，得到如右的三個圖，圖1就能推得，圖2和圖3均無解．
②本題解題關鍵是能得到條件．
③對第（II）題的題意的理解很關鍵，理解透了就很簡單，后面不成問題．
例5．（2012年理科第22題14分）已知，函數．
（Ⅰ）證明：當時，
（i）函數的最大值為；
（ii）；
（Ⅱ）若對x∈恒成立，求的取值范圍．
分析：（Ⅰ）由于，結合兩個問題都在變量x∈情形下進行的，對于分四種情形下把兩個問題進行一次性解決．
當時
此時，恒有， 在上遞增；因此
（i）函數的最大值為；
（ii）．
當時，，
此時，， 在上遞減，在上遞增；因此
（i）函數的最大值為；
（ii）．
當時，，
此時，， 在上遞減，在上遞增；因此
（i）函數的最大值為；
（ii）
，令，則上式就是，則，所以在區間遞增，即．
當時，即時，因為
所以恒有， 在上遞減；因此
（i）函數的最大值為；
（ii）．
綜上，所要證明的結論恒成立．
（Ⅱ）由（i）知，當，，所以；又由（ii）知恒有．
所以，對于恒成立的充要條件是，即或，由圖形用線性規劃方法可以求得．
點評：（1）本試題考查的知識點有絕對值、導數、函數的單調性、最值、線性規劃等；考查的數學技能比較多，主要有分類討論、分析比較、轉換化歸等，是下手容易走出難的特點；其實，近4年來浙江的最后壓軸題都不是很難的，就是繁，做起來要走的路很長，有時間的情況下一般考一類的考生還是能得大多的分數的；那為什么得分率很低呢？主要是三大原因：考試答題到這里已經沒有時間了，文字表達有一定的問題（考生理解有困難，如今年的江西理21題、北京理最后一題，一般人看后都要嚇暈了），心理害怕因素（考前就已經對最后一道試題如何處理進行了定位）．
（2）第II題是不等式恒成立問題，考查的還是平時用的主要方法——最值方法，但得出結論“對于恒成立的充要條件”是需要強實的數學工夫，非一般同學能看出來的；
今年的浙江文科試題也很相似．
（文第21題15分）已知a∈R，函數．
（I）求f(x)的單調區間
（II）證明：當0≤x≤1時，f(x)+ ＞0.
答案：（I）f(x)的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；（II）略．

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