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導數構造法解決函數問題
關系式為“加”型：
構造
（2） 構造
（3） 構造
（4）構造（注意對的符號進行討論）
（5） 構造
關系式為“減”型
（6） 構造
（7） 構造
（8） 構造
（9）構造（注意對的符號進行討論）
（10） 構造
【類型1 直接構造函數】
【例1】函數的定義域為，，對任意，，則的解集為（ ）
【解析】
令所以為的單調遞增函數，
又因為
所以不等式的解集為
【變式1-1】（1）定義在上的函數滿足，對任意的有，則不等式的解集是
【解析】，令，則，
設，則，所以，即函數單調遞減，
又因為，為偶函數，所以，即
（2）已知函數滿足，且的導函數，則不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，則，所以在上單調遞減
因為不等式，可等價于，
即，所以，所以或.
（3）設是定義域為的函數的導函數，，，則的解集為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因為，即，
設函數，，則在上單調遞減，
又，所以，
不等式轉化為：，即，所以.
（4）已知函數的定義域為，，若對任意實數都有，則不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】記，
∵對任意實數都有，∴，
∴函數是定義在上的單調遞增函數，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵函數是定義在上的單調遞增函數
∴
【變式1-2】（1）設奇函數在上存在導函數，且在上，若，則實數的取值范圍為（ ）
A. B. c. D.
【答案】D
【解析】∵，即，
構造函數，
根據題意可知：在上，，故在上單調遞減，
∵為奇函數，
∴，
即為奇函數，故在上單調遞減，
因此原不等式可化為：，即，解得.
（2）已知定義在上的奇函數，若的導函數，則不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】設，則，
因為，所以，所以在上單調遞增，
又是定義在上的奇函數，則，所以，
又因為不等式的解集等價于不等式的解集.
所以
【類型2 】
【例2】設，是上的可導函數，，，求不等式的解集。
【解析】同上題的原函數為，
構造新函數可知，單調遞減，
又因為即，
所以的解集是
【變式2-1】設，在上的導函數分別是，，且滿足，則當時，有（ ）
【答案】C
【解析】因為不等式左邊的原函數為，因此需要構造新函數，
令，可知，則函數是單調遞減函數，因此當，有即
【類型3構造】
【例3】已知是定義在上的非負可導函數，且滿足對任意正數，，若，則必有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】構造函數，.
由于，故函數在上單調遞減或為常函數.
所以對任意正數，，若，則必有.
又因為，且，結合不等式性質，有，.
綜上所述，.
【變式3-1】（1）已知是定義在R上的偶函數，且當時，不等式成立，若
，，，則，，的大小關系是
【答案】
【解析】令，由條件知，時，，即在上單調遞減.
又為偶函數，則為奇函數，故在上單調遞減.
又，所以.
（2）已知是定義在上的函數的導函數，且滿足對任意的都成立，則下列選項中一定正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令，則，故為上的增函數，
所以，即.
【變式3-2】已知定義為的奇函數的導函數為，當時，，若，，，則下列關于的大小關系正確的是（ ）
D.
【答案】D
【解析】令，則.
∵當時，
∴當時，，即當時，，因此當時，函數單調遞增.
∵函數為奇函數，∴，
∵，∴，即.
【變式3-3】已知定義域為，為的導函數，且滿足，則不等式的解集是（ ）
【答案】D
【解析】
令單調遞減
【變式3-4】（1）已知函數的定義域為，為的導函數，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題得，設，所以函數在上單調遞增，
因為，所以當時，；當時，．
當時，，，所以．
當時，，，所以．
當時，，所以．
綜上所述，故答案為C．
（2）已知函數是偶函數，且當時滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】是偶函數，則的對稱軸為，
構造函數，則關于對稱，
當時，由，得，
則在上單調遞增，在上也單調遞增，
故，∴．本題選擇A選項．
【類型4 構造 】
【例4】已知函數的定義域為R，且對任意的，則對任意正數必有（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】構造函數，則，故在上單調遞增，
又，所以，即，所以，故選.
【變式4-1】已知為上的可導函數，且對任意的，均有.是比較與的大小
【答案】
【解析】構造函數，
則，即在上單調遞減，
故，即，即.
【變式4-2】已知函數的定義域為，且，，則不等式的解集為（ ）
.
【答案】A
【解析】
令
所以為上的單調減函數，
又因為，故不等式的解集為
【變式4-3】定義在上的函數滿足，則不等式的解集為___________.
【答案】
【解析】因為，設，則，
不等式，
設函數，，
因為，所以，所以，
又因為，所以，
綜上可判斷出在定義域內單調增且，
因此原不等式的解集為.
【類型5 】
【例5】已知奇函數是定義在上的可導函數，其導函數為，當時，有，則不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因為為上的奇函數，所以，設，
所以，所以為上奇函數，
對求導，得，
而當時，有
故時，，即單調遞增，
又為上可到，在處連續，所以在上單調遞增，
不等式，
，
，
即，所以，解得
【變式5-1】已知函數的定義域為，且其圖象關于坐標原點對稱，當時，對（為的導函數），則使得成立的的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令，由題可知為奇函數，
∴也為奇函數，，
∵當時，，即.
當時，，∴在上單調遞減.
∵在上為奇函數，∴在上單調遞減，且，
當時，，即，
當時，，
當時，，
∵，
∴①當時，由，得，解得解集為；
②當時，，則的解集為空集；
③當時，由，的，解得的解集為
綜上所述，的取值范圍為.
【變式5-2】設定義在的函數的導函數為，且滿足，則關于的不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令，，
所以在上單調遞增，
，即，
所以.
，所以.
【變式5-3】已知偶函數的定義域為，是的導數，，
不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設，定義域是.
顯然，是偶函數，
時，由，得，
又，時，，，
不等式，
即為，，即，
∴，∴或.
【類型6 】
【例6】設函數的定義域為，是其導函數，若，，則不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令，則，
因為，所以，所以，
所以函數在上單調遞增，
而可化為，又，
即，解得，
所以不等式的解集是.
【類型7 】
【例7】設、是定義域為的恒大于0的可導函數，且，則當時有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設，則，
由，得，
因為所以，
又、是定義域為的恒大于0的可導函數，
故..
【變式7-1】設、分別是定義在上的奇函數和偶函數，當時，，且，則不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】構造函數，因為，故是奇函數.
又，故當時，，單調遞減.
又，再根據奇偶性畫出的簡圖.
易得的解集為，即不等式的解集是
【變式7-2】已知函數的導數為，若，且，則不等式
的解集是
【答案】
【解析】由可得，
所以，即.
令，即，則單調遞增.
不等式，
而，
所以不等式，
所以，解得.
【變式7-3】（1）函數定義在上，，其導函數是，且恒成立，
則不等式的解集是
【答案】
【解析】∵，∴，
構造函數，則，
當時，，∴在單調遞增，
∴不等式，即，
∴
（2）定義域為的函數滿足，其導函數為，當時，有成立，則關于的不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵且，∴是奇函數,
設，
則時，，∴在上是減函數.
又是奇函數，
∴也是奇函數，因此在是遞減，
從而，在上是減函數，
不等式為，即，∴.
【類型8 】
【例8】（2015 全國新課標卷）設函數是奇函數的導函數，，當時，，則使得成立的的取值范圍時（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】構造函數，則，
因為當時，，
故當時，，所以在上單調遞減；
又因為上是奇函數，故函數是偶函數，
所以在上單調遞增，且.
當時，，則；
當時，，則，
綜上所述，使得成立的的取值范圍是.
【變式8-1】已知在上可導，且，若對任意，，試解不等式
【答案】
【解析】當時，，則，
記，則為偶函數，
又，故對，.
所以，在上單調遞增，
由原不等式變形得，，
則，即，
故，且.
當時，，不符合原不等式，
因此，不等式的解集為.
【變式8-2】設是奇函數的導函數，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（ ）
【解析】令
當時，
因為為上的奇函數且，所以，，
所以當時，
當時，又因為，故為偶函數，
當，
當時，
綜上，的解集為
【變式8-3】（1）是定義在上的非負可導函數，且，對任意正數，若則必有（ ）
【解析】，
則應設，
在上，函數，單調遞減，
因此，即
（2）是定義在上的非負、可導函數，且滿足，對任意正數，若，則必有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】設，則；
因為，
所以時，，則函數在上是減函數或者常函數；
所以對任意正數，若，則必有.
∵是定義在上的非負可導函數，
∴
∵，∴，兩式相乘得.
【變式8-4】設是定義在上的偶函數，為其導函數，，當時，有恒成立，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設，，則，
∵當時，有恒成立，∴當時，，在上單調遞增，
∵是定義在上的偶函數，∴，
即是定義在上的奇函數，
∴在上也單調遞增.
又，∴，∴.不等式的解可等價于即的解，
∴或，∴不等式的解集為.故選：B.
【類型9 型】
【例9】已知是上的可導函數，且任意，均有，則有（ ）
A.
.
C.
D.
【答案】D
【解析】構造函數，則，
所以函數在上單調遞減，
故，即，；
同理，，即，故選D
【變式9-1】可導函數滿足，比較與的大小。
【答案】
【解析】構造，則，
所以是上的單調遞增函數，
因此，即，.
【變式9-2】已知定義在R上的可導函數的部分導函數為，滿足且為偶函數，，求不等式的解集.
【答案】
【解析】設函數，則，
所以函數是上的單調遞減函數。
又為偶函數，，
所以，函數關于直線對稱且，
則，即，即，
而函數是上的單調遞減函數，
所以，即不等式的解集為.
【變式9-3】已知函數為定義在上的可導函數，且對于任意恒成立，為自然對數的
底數，則（ ）
【答案】C
【解析】由，構造函數，求導得，
函數在定義域內單調遞增，所以
【變式9-4】設為的導函數，且,（為自然對數的底數），則不等式的解集為
【答案】
【解析】，令
為上的遞增函數，
，令，，則不等式可化為，即
不等式可化為：，即解得
【類型10 】
【例10】定義在上的函數滿足，且，求的取值范圍.
【答案】
【解析】由，且得，，且，
即且，
則函數在上單調遞增，
函數在上單調遞減，
故，，即.
【變式10-1】已知定義在R上的函數,滿足恒成立，且（e為自然對數的底數），則下列結論正確的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】得，前面有系數3，應涉及到復合函數求導問題.
構造函數，得，
所以函數在上單調遞減，故有，
所以；同理，即.
【變式10-2】已知是定義在R上的偶函數，當時，若，則的解集為（ ）
A.（-2,2） B. C. D.
【答案】A
【解析】由，而知：在上單調減，
而，即，
又知：，
∴在上有，又是定義在上的偶函數，
則在上為偶函數，
所以在上單調增，
即，可得，
綜上，有.
【變式10-3】已知函數，對任意，，都有，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可知函數是上的單調遞減函數，
且當時，，
據此可得：，即 恒成立，
令，則，
據此可得函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
函數的最小值為，則，
據此可得：實數的取值范圍是．故選：．
【變式10-4】（難）設是函數的導函數，若對任意的實數，都有，且，則不等式的解集為______
【答案】
【解析】設，則，
因為，所以，
即在上為增函數，且.
所以不等式，
解得 1

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