資源簡介

七年級數學下冊知識點歸納
第五章 相交線與平行線
5.1 相交線
一、相交線 兩條直線相交，形成 4 個角。
1、兩條直線相交所成的四個角中，相鄰的兩個角叫做鄰補角，特點是兩個角共用一條邊，另一條邊
互為反向延長線，性質是鄰補角互補；相對的兩個角叫做對頂角，特點是它們的兩條邊互為反向延
長線。性質是對頂角相等。
①鄰補角：兩個角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長線。具有這種關系的兩個角，互為
鄰補角。如：∠1、∠2。
②對頂角：兩個角有一個公共頂點，并且一個角的兩條邊，分別是另一個
角的兩條邊的反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為對頂角。如：∠1、
∠3。
③對頂角相等。
二、垂線
1．垂直：如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直。
2．垂線： 垂直是相交的一種特殊情形，兩條直線垂直，其中一條直線叫
做另一條直線的垂線。
3．垂足：兩條垂線的交點叫垂足。
4．垂線特點：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。
5．點到直線的距離： 直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫點到直線的距離。連接直線外一
點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。
三、同位角、內錯角、同旁內角 兩條直線被第三條直線所截
形成 8 個角。
1．同位角：（在兩條直線的同一旁，第三條直線的同一側）在兩條直線的上方，又
在直線 EF 的同側，具有這種位置關系的兩個角叫同位角。如：∠1和∠5。
2．內錯角：（在兩條直線內部，位于第三條直線兩側）在兩條直線之間，又在直線
EF 的兩側，具有這種位置關系的兩個角叫內錯角。如：∠3 和∠5。
3．同旁內角：（在兩條直線內部，位于第三條直線同側）在兩條直線之間，又在直線 EF 的同側，
具有這種位置關系的兩個角叫同旁內角。如：∠3 和∠6。
5.2 平行線及其判定
1
(一) 平行線
1.平行：兩條直線不相交。互相平行的兩條直線，互為平行線。a∥b（在同一平面內，不相交的兩
條直線叫做平行線。）
2．平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。
3.平行公理推論：平行于同一直線的兩條直線互相平行。如果 b//a,c//a,那么 b//c
(二)平行線的判定：
1. 兩條平行線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。（同位角相等，兩直線
平行）
2. 兩條平行線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行。（內錯角相等，兩直線
平行）
3. 兩條平行線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行。（同旁內角互補，兩
直線平行）
推論：在同一平面內，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行。
5.3 平行線的性質
(一)平行線的性質
1.兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。（兩直線平行，同位角相等）
2.兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。（兩直線平行，內錯角相等）
3.兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。（兩直線平行，同旁內角相等）
(二)命題、定理、證明
1．命題的概念：判斷一件事情的語句，叫做命題。
2.命題的組成：每個命題都是題設、結論兩部分組成。
題設是已知事項；結論是由已知事項推出的事項。命題常寫成“如果 ，那么 ”的形式。具有這
種形式的命題中，用“如果”開始的部分是題設，用“那么”開始的部分是結論。
3．真命題：正確的命題，題設成立，結論一定成立。
4．假命題：錯誤的命題，題設成立，不能保證結論一定成立。
5.定理：經過推理證實得到的真命題。(定理可以做為繼續推理的依據)
6．證明：推理的過程叫做證明。
5.4 平移
1．平移:平移是指在平面內，將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做平移
變換 (簡稱平移)，平移不改變物體的形狀和大小。
2
2.平移的性質
①把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全
相同。
②新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點。連接各組對應
點的線段平行且相等。
第六章 實數
6.1 平方根
1、平方根
（1）平方根的定義：如果一個數 x的平方等于 a，那么這個數 x就叫做 a的平方根．即：如果
x 2 a ，那么 x叫做 a的平方根．
（2）開平方的定義：求一個數的平方根的運算，叫做開平方．開平方運算的被開方數必須是非
負數才有意義。
（3）平方與開平方互為逆運算： 3的平方等于 9，9的平方根是 3
（4）一個正數有兩個平方根，即正數進行開平方運算有兩個結果；
一個負數沒有平方根，即負數不能進行開平方運算；
0的平方根是 0.
（5）符號：正數 a的正的平方根可用 a 表示， a 也是 a的算術平方根；
正數 a的負的平方根可用- a 表示．
2
（6） x a <—> x a
a是 x的平方 x的平方是 a
x是 a的平方根 a的平方根是 x
2、算術平方根
（1）算術平方根的定義： 一般地，如果一個正數 x的平方等于 a，即 x 2 a，那么這個正數 x
叫做 a的算術平方根．a的算術平方根記為 a ，讀作“根號 a”，a叫做被開
方數．
規定：0的算術平方根是 0.
2
也就是，在等式 x a (x≥0)中，規定 x a 。
（2） a 的結果有兩種情況：當 a是完全平方數時， a 是一個有限數；
3
當 a不是一個完全平方數時， a 是一個無限不循環小數。
（3）當被開方數擴大時，它的算術平方根也擴大；
當被開方數縮小時與它的算術平方根也縮小。
（4）夾值法及估計一個（無理）數的大小
2
（5） x a (x≥0) <—> x a
a是 x的平方 x的平方是 a
x是 a的算術平方根 a的算術平方根是 x
（6）正數和零的算術平方根都只有一個，零的算術平方根是零。
a （ a 0） a 0
a 2 a ；注意 a 的雙重非負性：
- a （ a <0） a 0
（7）平方根和算術平方根兩者既有區別又有聯系：
區別在于正數的平方根有兩個，而它的算術平方根只有一個；
聯系在于正數的正平方根就是它的算術平方根，而正數的負平方根是它的算術平方根的相反
數。
6.2 立方根
（1）立方根的定義：如果一個數 x的立方等于 a，這個數叫做 a的立方根（也叫做三次方根），
即如果 x3 a ，那么 x叫做 a的立方根。求一個數的立方根的運算，叫做開立方。
（2）一個數a的立方根，記作 3 a ，讀作：“三次根號 a ”，
其中 a叫被開方數，3叫根指數，不能省略，若省略表示平方。
（3） 一個正數有一個正的立方根；
0有一個立方根，是它本身；
一個負數有一個負的立方根；
任何數都有唯一的立方根。
（4）利用開立方和立方互為逆運算關系，求一個數的立方根，就可以利用這種互逆關系，檢驗
其正確性，求負數的立方根，可以先求出這個負數的絕對值的立方根，再取其相反數，即
3 a 3 a a 0 。
（5 3） x a <—> x 3 a
4
a是 x的立方 x的立方是 a
x是 a的立方根 a的立方根是 x
（6） 3 a 3 a ，這說明三次根號內的負號可以移到根號外面。
6.3 實數
一、實數的概念及分類
無理數：像前面的很多數的平方根和立方根都是無限不循環小數，無限不循環小數
又叫無理數。
實數：有理數和無理數統稱實數。
1、實數的分類
正有理數
有理數 零 有限小數或無限循環小數
實數 負有理數
正無理數
無理數 無限不循環小數
負無理數
正實數
實數 0
負實數
整數包括正整數、零、負整數。
零和正整數又叫自然數。
正整數、零、負整數、正分數、負分數統稱為有理數。
2、無理數
在理解無理數時，要抓住“無限不循環”這一時之，歸納起來有四類：
（1）開方開不盡的數，如 7, 3 2等；
（2 π）有特定意義的數，如圓周率π，或化簡后含有π的數，如 +8等；
3
（3）有特定結構的數，如 0.1010010001…等；
二、實數的倒數、相反數和絕對值
5
1、相反數
實數與它的相反數是一對數（只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，零的相反數
是零），從數軸上看，互為相反數的兩個數所對應的點關于原點對稱，如果 a與 b 互為
相反數，則有 a+b=0，a=—b，反之亦成立。
數 a的相反數是—a，這里 a表示任意一個實數。
2、絕對值
一個數的絕對值就是表示這個數的點與原點的距離，|a|≥0。零的絕對值是它本身，
也可看成它的相反數，若|a|=a，則 a≥0；若|a|=-a，則 a≤0。
一個正實數的絕對值是它本身，一個負實數的絕對值是它的相反數，零的絕對值是
0。
正數大于零，負數小于零，正數大于一切負數，兩個負數，絕對值大的反而小。
3、倒數
如果 a與 b互為倒數，則有 ab=1，反之亦成立。倒數等于本身的數是 1和-1。零沒
有倒數。
4. 實數與數軸上點的關系：
每一個無理數都可以用數軸上的一個點表示出來，
數軸上的點有些表示有理數，有些表示無理數，
實數與數軸上的點就是一一對應的，即每一個實數都可以用數軸上的一個點來表
示；反過來，數軸上的每一個點都是表示一個實數。
三、科學記數法和近似數
1、有效數字
一個近似數四舍五入到哪一位，就說它精確到哪一位，這時，從左邊第一個不是零的數字起到
右邊精確的數位止的所有數字，都叫做這個數的有效數字。
2、科學記數法
把一個數寫做 a 10n 的形式，其中1 a 10，n是整數，這種記數法叫做科學記數法。
四、實數大小的比較
1、數軸
規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸（畫數軸時，要注意三要素缺一不可）。
解題時要真正掌握數形結合的思想，理解實數與數軸的點是一一對應的，并能靈活運用。
2、實數大小比較的幾種常用方法
6
（1）數軸比較：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。
（2）求差比較：設 a、b是實數，
a b 0 a b,
a b 0 a b,
a b 0 a b
a a a
（3）求商比較法：設 a、b是兩正實數， 1 a b; 1 a b; 1 a b;
b b b
（4）絕對值比較法：設 a、b是兩負實數，則 a b a b。
（5 2 2）平方法：設 a、b是兩負實數，則 a b a b。
五、實數的運算
1、加法交換律 a b b a
2、加法結合律 (a b) c a (b c)
3、乘法交換律 ab ba
4、乘法結合律 (ab)c a(bc)
5、乘法對加法的分配律 a(b c) ab ac
6、實數混合運算時，對于運算順序有什么規定？
實數混合運算時，將運算分為三級，加減為一級運算，乘除為二能為運算，乘方為三級運算。
同級運算時，從左到右依次進行；不是同級的混合運算，先算乘方，再算乘除，而后才算加減；
運算中如有括號時，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號的順序進行。
7、有理數除法運算法則就什么？
兩有理數除法運算法則可用兩種方式來表述：第一，除以一個不等于零的數，等于乘以這個數的
倒數；第二，兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。零除以任何一個不為零的數，商
都是零。
8、什么叫有理數的乘方？冪？底數？指數？
相同因數相乘積的運算叫乘方，乘方的結果叫冪，相同因數的個數叫指數，這個因數叫底數。
n
記作: a
9、有理數乘方運算的法則是什么？
負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。正數的任何次冪都是正數。零的任何正整數冪都是零。
10、加括號和去括號時各項的符號的變化規律是什么？
7
去（加）括號時如果括號外的因數是正數，去（加）括號后式子各項的符號與原括號內的式子
相應各項的符號相同；括號外的因數是負數去（加）括號后式子各項的符號與原括號內式子相應各
項的符號相反。
第七章 平面直角坐標系
7.1 平面直角坐標系
(一) 有序數對
1．有序數對：用兩個數來表示一個確定的位置，其中兩個數各自表示不同的意義，我們把這種有順
序的兩個數組成的數對，叫做有序數對，記作（a,b）
2.坐標：數軸(或平面)上的點可以用一個數(或數對)來表示，這個數(或數對)叫做這個點的坐標。
(二)平面直角坐標系
1．平面直角坐標系：在平面內畫兩條互相垂直，并且有公共原點的數軸。這樣我們就說在平面上建
立了平面直角坐標系，簡稱直角坐標系。
2．X軸：水平的數軸叫 X軸或橫軸。向右方向為正方向。
3．Y軸：豎直的數軸叫 Y軸或縱軸。向上方向為正方向。
4．原點：兩個數軸的交點叫做平面直角坐標系的原點。
對應關系：平面直角坐標系內的點與有序實數對一一對應。
坐標：對于平面內任一點 P，過 P 分別向 x 軸，y 軸作垂線，垂足分別在 x 軸，y 軸上，對應的
數 a,b 分別叫點 P 的橫坐標和縱坐標。
(三)象限
1．象限：X軸和 Y 軸把坐標平面分成四個部分，也叫四個象限。右上面的叫做第一象限，其他三個
部分按逆時針方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以數軸為界，橫軸、縱軸上的點
及原點不屬于任何象限。一般，在 x 軸和 y 軸取相同的單位長度。
2．象限的特點：
1、特殊位置的點的坐標的特點：
（1）x軸上的點的縱坐標為零；y 軸上的點的橫坐標為零。
（2）第一、三象限角平分線上的點橫、縱坐標相等；
第二、四象限角平分線上的點橫、縱坐標互為相反數。
（3）在任意的兩點中，如果兩點的橫坐標相同，則兩點的連線平行于縱軸；
如果兩點的縱坐標相同，則兩點的連線平行于橫軸。
2、點到軸及原點的距離：
8
點到 x 軸的距離為|y|；
點到 y 軸的距離為|x|；
點到原點的距離為 x 的平方加 y 的平方再開根號；
3、三大規律
（1）平移規律：
點的平移規律 左右平移→縱坐標不變，橫坐標左減右加；
上下平移→橫坐標不變，縱坐標上加下減。
圖形的平移規律 找特殊點
（2）對稱規律
關于 x軸對稱→橫坐標不變，縱坐標互為相反數；
關于 y 軸對稱→橫坐標互為相反數，縱坐標不變；
關于原點對稱→橫縱坐標都互為相反數。
（3）位置規律
各象限點的坐標符號：（注意：坐標軸上的點不屬于任何一個象限）
假設在平面直角坐標系上有一點 P（a，b）
1.如果 P點在第一象限，有 a>0，b>0 （橫、縱坐標都大于 0）
2.如果 P點在第二象限，有 a<0，b>0 （橫坐標小于 0，
第二象限 第一象限
縱坐標大于 0）
（—，+） （+，+） 3．如果 P點在第三象限，有 a<0，b<0 （橫、縱坐標都小于 0）
4．如果 P點在第四象限，有 a>0，b<0 （橫坐標大于 0，縱
坐標小于 0）
5．如果 P點在 x軸上，有 b=0 （橫軸上點的縱坐標為 0）
6．如果 P點在 y軸上，有 a=0 （縱軸上點的橫坐標為 0）
第三象限 第四象限
（—，—） （+，—）
7.2 坐標方法的簡單應用
(一)用坐標表示地理位置的過程：
1．建立坐標系，選擇一個合適的參照點為原點，確定 X 軸和 Y 軸的正方向。
2．根據具體問題確定適當的比例尺，在坐標軸上標出單位長度。
3．在坐標平面內畫出這些點，寫出各點的坐標和各個地點的名稱。
(二)用坐標表示平移
9
在平面直角坐標系內，如果把一個圖形各個點的橫坐標都加(或減去)一個正數 a，相應的新圖形就
把原圖形向右(左)平移 a 個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加(或減去) 一個正數 a，相應的
新圖形就把原圖形向上(下)平移 a 個單位長度。
第八章 二元一次方程組
8.1 二元一次方程組
1.二元一次方程：含有兩個未知數的方程并且所含未知項的最高次數是 1，這樣的整式方程叫做二
元一次方程。
2．方程組：有幾個方程組成的一組方程叫做方程組。如果方程組中含有兩個未知數，且含未知數的
項的次數都是一次，那么這樣的方程組叫做二元一次方程組。
二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的未知數的值叫做二元一次方程組的解。
二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解叫做二元一次方程組。
8.2 消元——解二元一次方程組
二元一次方程組有兩種解法：一種是代入消元法,一種是加減消元法.
1．代入消元法：把二元一次方程中的一個方程的一個未知數用含另一個未知數的式子表示出來，再
代入另一個方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解。
2．加減消元法：兩個二元一次方程中同一未知數的系數相反或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相
加或相減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程。
8.3 實際問題與二元一次方程組
實際應用：審題→設未知數→列方程組→解方程組→檢驗→作答。
關鍵：找等量關系
常見的類型有：分配問題、追及問題、順流逆流、藥物配制、行程問題
v v v
順流逆流公式： v順 v 逆 靜 水靜 v水
8.4 三元一次方程組的解法
三元一次方程組：方程組含有三個未知數，每個方程中含有未知數的項的次數都是 1，并且一共有
三個方程組，像這樣的方程組叫做三元一次方程組。
解三元一次方程組的基本思路：通過“代入”或“加減”進行消元。把“三元”化為“二元”，使解
三元一次方程組轉化為解二元一次方程組，進而再轉化為解一元一次方程。
10
第九章 不等式與不等式組
9.1 不等式
一、不等式及其解集
1．不等式：用不等號(包括：>、 、 、<、≠)表示大小關系的式子。
2．不等式的解：使不等式成立的未知數的值，叫不等式的解。
3．不等式的解集：一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。
二、不等式的性質:
性質 1:如果 a>b,b>c,那么 a>c(不等式的傳遞性).
性質 2:不等式的兩邊同加(減)同一個數(或式子)，不等號的方向不變。如果 a>b,那么 a+c>b+c(不
等式的可加性).
性質 3: 不等式的兩邊同乘(除以)同一個正數，不等號的方向不變。不等式的兩邊同乘(除以)同一
個負數，不等號的方向改變。
如果 a>b,c>0,那么 ac>bc;如果 a>b,c<0,ac性質 4:如果 a>b,c>d,那么 a+c>b+d. (不等式的加法法則)
性質 5:如果 a>b>0,c>d>0,那么 ac>bd. (可乘性)
n n
性質 6:如果 a>b>0,n∈N,n>1,那么 a >b ,且.當 09.2 一元一次不等式
1.一元一次不等式：含有一個未知數，未知數的次數是 1的不等式。
2． 不等式的解法：
步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為一；
注意：去分母與系數化為一要特別小心，因為要在不等式兩端同時乘或除以某一個數，要考慮不等
號的方向是否發生改變的問題。
9.3 一元一次不等式組
1．一元一次不等式組：一般地，關于同一未知數的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一
元一次不等式組。
2．不等式組的解：幾個不等式的解集的公共部分，叫做由它們組成的不等式組的解集。解不等式組
就是求它的解集。
3．解不等式組：先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數軸可以直觀地表
示不等式的解集。
11
解一元一次不等式組的一般方法：
以兩條不等式組成的不等式組為例，
①若兩個未知數的解集在數軸上表示同向左，就取在左邊的未知數的解集為不等式組的解集，此乃
“同小取小”
②若兩個未知數的解集在數軸上表示同向右，就取在右邊的未知數的解集為不等式組的解集，此乃
“同大取大”
③若兩個未知數的解集在數軸上相交，就取它們之間的值為不等式組的解集。若 x 表示不等式的解
集，此時一般表示為 a＜x＜b，或 a≤x≤b。此乃“相交取中
④若兩個未知數的解集在數軸上向背，那么不等式組的解集就是空集，不等式組無解。此乃“向背
取空”
不等式組的解集的確定方法（a＞b）：
不等式組 在數軸上表示的解集 解 集 口 訣
x＞a
x＞a 同大取大；
b ax＞b
x＜a
x＜b 同小取小；
x＜b b a
x＜a
b＜x＜a 相交取中；
x＞b b a
x＞a
b a 空集 向背取空。
x＜b
第十章 數據的收集、整理與描述
全面調查：考察全體對象的調查方式叫做全面調查。
抽樣調查：調查部分數據，根據部分來估計總體的調查方式稱為抽樣調查。
總體：要考察的全體對象稱為總體。
個體：組成總體的每一個考察對象稱為個體。
樣本：被抽取的所有個體組成一個樣本。
樣本容量：樣本中個體的數目稱為樣本容量。
頻數：一般地，我們稱落在不同小組中的數據個數為該組的頻數。
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頻率：頻數與數據總數的比為頻率。
組數和組距：在統計數據時，把數據按照一定的范圍分成若干各組，分成組的個數稱為組數，每一
組兩個端點的差叫做組距。
1、數據處理一般包括收集數據、整理數據、描述數據和分析數據等過程。
（1）通過調查收集數據的一般步驟：
①明確調查問題 ②確定調查對象 ③選擇調查方法 ④展開調查 ⑤記錄結果 ⑥得出結論
（2）收集數據常用的方法：①民意調查：如投票選舉 ②實地調查：如現場進行觀察、收集、
統計數據 ③媒體調查：報紙、電視、電話、網絡等調查都是媒體調查。
2、數據的表示方法：
（1）統計表：直觀地反映數據的分布規律 （2）折線圖：反映數據的變化趨勢
（3）條形圖：反映每個項目的具體數據 （4）扇形圖：反映各部分在總體中所占的百分比
（5）頻數分布直方圖：直觀形象地反映頻數分布情況 6）頻數分布折線圖：在頻數分布直
方圖的基礎上，取每一個長方形上邊的中點，和左右頻數為零與直方圖相距半個組距的兩個點
3、調查方式：（1）全面調查，優點是可靠，、真實； （2）抽樣調查，優點是省時、省力，減
少破壞性；隨機抽樣調查具有廣泛性和代表性。。
4、總體和樣本：（1）總體：要考察的所有對象 （2）個體：組成總體的每一個考察對象
（3）樣本：從總體中抽出的所有實際被調查的對象組成一個樣本。
（4）樣本容量：樣本中給個體的數目
5、組距：每個小組兩個端點之間的距離
6、畫直方圖的一般步驟：
（1）計算最大值與最小值的差；
（2）決定組距與組數，先根據數據個數確定組距，再計算組數，
注意無論整除與否，組數總是比商的整數位數多 1；
（3）確定分點，并分組；
（4）列頻數分布表；
（5）繪制頻數分布直方圖
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