資源簡(jiǎn)介

人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
第二十六章 二次函數(shù)................................................................................................1
26．1 二次函數(shù)及其圖像...................................................................................1
26．2 用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程...................................................................6
26．3 實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)...............................................................................6
第二十七章 相似........................................................................................................6
27．1 圖形的相似...............................................................................................6
27．2 相似三角形...............................................................................................7
27．3 位似...........................................................................................................8
第二十八章 銳角三角函數(shù)........................................................................................8
28．1 銳角三角函數(shù)...........................................................................................9
28．2 解直角三角形.........................................................................................10
第二十九章 投影與視圖..........................................................................................12
29．1 投影.........................................................................................................12
29．2 三視圖.....................................................................................................12
第二十六章 二次函數(shù)
26．1二次函數(shù)及其圖像
二次函數(shù)（quadratic function）是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函
數(shù)。二次函數(shù)可以表示為 f(x)=ax^2+bx+c(a 不為 0)。其圖像是一條主軸平行于
y軸的拋物線。
一般的，自變量 x 和因變量 y 之間存在如下關(guān)系：
一般式
y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c 為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a，-(4ac-b
1
∧2)/4a) ；
頂點(diǎn)式
y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k 為常數(shù))或 y=a(x-h)∧２+k(a≠0,a、h、
k 為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-m，k）對(duì)稱軸為 x=-m，頂點(diǎn)的位置特征和圖像
的開(kāi)口方向與函數(shù)ｙ＝ax∧２的圖像相同，有時(shí)題目會(huì)指出讓你用配方法
把一般式化成頂點(diǎn)式；
交點(diǎn)式
y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與 x 軸有交點(diǎn) A（x1，0）和 B（x2，0）的
拋物線] ；
重要概念：a，b，c 為常數(shù)，a≠0，且 a 決定函數(shù)的開(kāi)口方向，a>0 時(shí)，
開(kāi)口方向向上，a<0 時(shí)，開(kāi)口方向向下。a 的絕對(duì)值還可以決定開(kāi)口大小,a
的絕對(duì)值越大開(kāi)口就越小,a 的絕對(duì)值越小開(kāi)口就越大。
牛頓插值公式（已知三點(diǎn)求函數(shù)解析式）
y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-
x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引導(dǎo)出交點(diǎn)式的系數(shù)
a=y1/(x1*x2) (y1 為截距)
求根公式
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
求根公式
x 是自變量，y 是 x 的二次函數(shù)
x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a
2
(即一元二次方程求根公式）（如右圖）
求根的方法還有因式分解法和配方法
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù) y=2x 的平方的圖像，
可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無(wú)止境的拋物線。
不同的二次函數(shù)圖像
如果所畫(huà)圖形準(zhǔn)確無(wú)誤，那么二次函數(shù)將是由一般式平移得到的。
注意：草圖要有 1 本身圖像，旁邊注明函數(shù)。
2 畫(huà)出對(duì)稱軸，并注明 X=什么
3 與 X 軸交點(diǎn)坐標(biāo)，與 Y 軸交點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)。拋物線的性質(zhì)
軸對(duì)稱
1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線 x = -b/2a。
對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn) P。
特別地，當(dāng) b=0 時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是 y 軸（即直線 x=0）
頂點(diǎn)
2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn) P，坐標(biāo)為 P ( -b/2a ，4ac-b^2;)/4a )
當(dāng)-b/2a=0 時(shí)，P 在 y 軸上；當(dāng)Δ= b^2;-4ac=0 時(shí)，P 在 x 軸上。
開(kāi)口
3.二次項(xiàng)系數(shù) a 決定拋物線的開(kāi)口方向和大小。
當(dāng) a＞0 時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng) a＜0 時(shí)，拋物線向下開(kāi)口。
|a|越大，則拋物線的開(kāi)口越小。
決定對(duì)稱軸位置的因素
4.一次項(xiàng)系數(shù) b 和二次項(xiàng)系數(shù) a 共同決定對(duì)稱軸的位置。
當(dāng) a 與 b 同號(hào)時(shí)（即 ab＞0），對(duì)稱軸在 y 軸左； 因?yàn)槿魧?duì)稱軸在左邊
3
則對(duì)稱軸小于 0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a 要大于 0，所以 a、b 要同號(hào)
當(dāng) a 與 b 異號(hào)時(shí)（即 ab＜0），對(duì)稱軸在 y 軸右。因?yàn)閷?duì)稱軸在右邊則
對(duì)稱軸要大于 0，也就是- b/2a>0, 所以 b/2a 要小于 0，所以 a、b 要異號(hào)
可簡(jiǎn)單記憶為左同右異，即當(dāng) a 與 b 同號(hào)時(shí)（即 ab＞0），對(duì)稱軸在 y
軸左；當(dāng) a 與 b 異號(hào)時(shí)
（即 ab＜ 0 ），對(duì)稱軸在 y 軸右。
事實(shí)上，b 有其自身的幾何意義：拋物線與 y 軸的交點(diǎn)處的該拋物線切
線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的
斜率 k 的值。可通過(guò)對(duì)二次函數(shù)求導(dǎo)得到。
決定拋物線與 y 軸交點(diǎn)的因素
5.常數(shù)項(xiàng) c 決定拋物線與 y 軸交點(diǎn)。
拋物線與 y 軸交于（0，c）
拋物線與 x 軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)
6.拋物線與 x 軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)
Δ= b^2-4ac＞0 時(shí)，拋物線與 x 軸有 2 個(gè)交點(diǎn)。
Δ= b^2-4ac=0 時(shí)，拋物線與 x 軸有 1 個(gè)交點(diǎn)。
_______
Δ= b^2-4ac＜0 時(shí)，拋物線與 x 軸沒(méi)有交點(diǎn)。X 的取值是虛數(shù)（x=
-b±√b^2－4ac 的值的相反數(shù)，乘上
虛數(shù) i，整個(gè)式子除以 2a）
當(dāng) a>0 時(shí)，函數(shù)在 x= -b/2a 處取得最小值 f(-b/2a)=4ac-b²/4a；
在{x|x<-b/2a}上是減函數(shù)，在
{x|x>-b/2a}上是增函數(shù)；拋物線的開(kāi)口向上；函數(shù)的值域是
{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變
當(dāng) b=0 時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是 y 軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變
形為 y=ax^2+c(a≠0)
特殊值的形式
7.特殊值的形式
4
①當(dāng) x=１時(shí) y=a+b+c
②當(dāng) x=-1 時(shí) y=a-b+c
③當(dāng) x=2 時(shí) y=4a+2b+c
④當(dāng) x=-2 時(shí) y=4a-2b+c
二次函數(shù)的性質(zhì)
8.定義域：R
值域：（對(duì)應(yīng)解析式，且只討論 a 大于 0 的情況，a 小于 0 的情況請(qǐng)讀
者自行推斷）①[(4ac-b^2)/4a，
正無(wú)窮）；②[t，正無(wú)窮）
奇偶性：當(dāng) b=0 時(shí)為偶函數(shù)，當(dāng) b≠0 時(shí)為非奇非偶函數(shù) 。
周期性：無(wú)
解析式：
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a＞0，則拋物線開(kāi)口朝上；a＜0，則拋物線開(kāi)口朝下；
⑶極值點(diǎn)：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ＞0，圖象與 x 軸交于兩點(diǎn)：
（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；
Δ＝0，圖象與 x 軸交于一點(diǎn)：
（-b/2a，0）；
Δ＜0，圖象與 x 軸無(wú)交點(diǎn)；
②y=a(x-h)^2+k[頂點(diǎn)式]
此時(shí)，對(duì)應(yīng)極值點(diǎn)為（h，k），其中 h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a；
③y=a(x-x1)(x-x2)[交點(diǎn)式（雙根式）]（a≠0）
對(duì)稱軸 X=(X1+X2)/2 當(dāng) a>0 且 X≧(X1+X2)/2 時(shí)，Y隨 X的增大而增大，
當(dāng) a>0 且 X≦（X1+X2）/2 時(shí) Y 隨 X
的增大而減小
此時(shí)，x1、x2 即為函數(shù)與 X 軸的兩個(gè)交點(diǎn)，將 X、Y 代入即可求出解析
5
式（一般與一元二次方程連
用）。
交點(diǎn)式是 Y=A(X-X1)(X-X2) 知道兩個(gè) x 軸交點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)交
點(diǎn)式。兩交點(diǎn) X 值就是相應(yīng) X1 X2 值。
26．2用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程
1. 如果拋物線 y ax 2 bx c與 x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 x0，那么當(dāng)
x x0時(shí)，函數(shù)的值是 0，因此 x x0就是方程 ax
2 bx c 0的一個(gè)根。
2. 二次函數(shù)的圖象與 x軸的位置關(guān)系有三種：沒(méi)有公共點(diǎn)，有一個(gè)公共點(diǎn)，
有兩個(gè)公共點(diǎn)。這對(duì)應(yīng)著一元二次方程根的三種情況：沒(méi)有實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等
的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。
26．3實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)
在日常生活、生產(chǎn)和科研中，求使材料最省、時(shí)間最少、效率最高等問(wèn)題，有些
可歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最小值。
第二十七章 相似
27．1圖形的相似
概述
如果兩個(gè)圖形形狀相同,但大小不一定相等,那么這兩個(gè)圖形相似。（相
似的符號(hào)：∽）
判定
如果兩個(gè)多邊形滿足對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)多邊
形相似。
相似比
6
相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比叫相似比。相似比為 1 時(shí)，相似的兩個(gè)圖形
全等。
性質(zhì)
相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等。相似多邊形的周長(zhǎng)比等
于相似比。
相似多邊形的面積比等于相似比的平方。
27．2相似三角形
判定
1.兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等
2.兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且?jiàn)A角相等
3.三邊對(duì)應(yīng)成比例
4.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長(zhǎng)線相交，所構(gòu)成的
三角形與原三角形相似。
例題
∵∠A=∠A'; ∠B=∠B'
∴△ABC∽△A'B'C'
性質(zhì)
1.相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外
接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。
2.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。
3.相似三角形面積的比等于相似比的平方
7
27．3位似
如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，
對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，
這時(shí)的相似比又稱為位似比。
性質(zhì)
位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離
之比等于相似比。
位似多邊形的對(duì)應(yīng)邊平行或共線。
位似可以將一個(gè)圖形放大或縮小。
位似圖形的中心可以在任意的一點(diǎn)，不過(guò)位似圖形也會(huì)隨著位似中心的位
變而位變。
根據(jù)一個(gè)位似中心可以作兩個(gè)關(guān)于已知圖形一定位似比的位似圖形,
這兩個(gè)圖形分布在位似中心的兩側(cè),并且關(guān)于位似中心對(duì)稱。
注意
1、位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個(gè)圖形是位似圖形，必定
是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；
2、兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)；
3、兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一
側(cè)；
4、位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個(gè)圖形是否位似；
5、平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三
角形位似。
第二十八章 銳角三角函數(shù)
8
28．1銳角三角函數(shù)
銳角角 A 的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正
割（sec），（余割 csc）都叫做角 A 的銳角三角函數(shù)。
正弦（sin）等于對(duì)邊比斜邊，
余弦（cos）等于鄰邊比斜邊
正切（tan）等于對(duì)邊比鄰邊；
余切（cot）等于鄰邊比對(duì)邊
正割（sec)等于斜邊比鄰邊
余割 (csc)等于斜邊比對(duì)邊
正切與余切互為倒數(shù)
互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系。
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.
同角三角函數(shù)間的關(guān)系
平方關(guān)系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·積的關(guān)系：
sinα=tanα·cosα
cosα=cotα·sinα
tanα=sinα·secα
cotα=cosα·cscα
secα=tanα·cscα
cscα=secα·cotα
·倒數(shù)關(guān)系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
9
直角三角形 ABC 中,
角 A 的正弦值就等于角 A 的對(duì)邊比斜邊,
余弦等于角 A 的鄰邊比斜邊
正切等于對(duì)邊比鄰邊,
余切等于鄰邊比對(duì)邊
三角函數(shù)值
（1）特殊角三角函數(shù)值
（2）0°～90°的任意角的三角函數(shù)值，查三角函數(shù)表。
（3）銳角三角函數(shù)值的變化情況
（i）銳角三角函數(shù)值都是正值
（ii）當(dāng)角度在 0°～90°間變化時(shí)，
正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）
余弦值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）
正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）
余切值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）
（iii）當(dāng)角度在 0°≤α≤90°間變化時(shí)，
0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,
當(dāng)角度在 0°<α<90°間變化時(shí)，
tanα>0, cotα>0.
特殊的三角函數(shù)值
0° 30° 45° 60° 90°
0 1/2 √2/2 √3/2 1 ← sinα
1 √3/2 √2/2 1/2 0 ← cosα
0 √3/3 1 √3 None ← tanα
None √3 1 √3/3 0 ← cotα
28．2解直角三角形
勾股定理，只適用于直角三角形（外國(guó)叫“畢達(dá)哥拉斯定理”）
a^2+b^2=c^2, 其中 a 和 b 分別為直角三角形兩直角邊，c 為斜邊。
10
勾股弦數(shù)是指一組能使勾股定理關(guān)系成立的三個(gè)正整數(shù)。比如：3，4，
5。他們分別是 3，4 和 5 的倍數(shù)。
常見(jiàn)的勾股弦數(shù)有：3，4，5；6，8，10；等等.
直角三角形的特征
⑴直角三角形兩個(gè)銳角互余；
⑵直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；
⑶直角三角形中 30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；
⑷勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即：
A
Rt ABC C a2 b2 2在 △ 中，若∠ ＝90°，則 + =c ；
D
⑸勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的
2 2 2
平方和，則這個(gè)三角形是直角三角形，即：在△ABC 中，若 a +b =c ， C B
則∠C＝90°；
⑹射影定理：AC2=AD AB,BC2=BD AB CD2, =DA DB． A
銳角三角函數(shù)的定義： c
b
如圖，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，
∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為 a,b,c, C a B
a b a b
則 sinA= ,cosA= ,tanA= ,cotA=
c c b a
特殊角的三角函數(shù)值：（并會(huì)觀察其三角函數(shù)值隨 的變化情況）
1 sin cos tan cot
30 1 3 3
3
° 2 2 3
45 2 2
1 1
° 2 2
60 3 1 3
3
° 2 2 3
解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）
a2 b2 2⑴三邊之間的關(guān)系： + =c ．
11
⑵兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°．．
A 的對(duì)邊 a A 的鄰邊 b
⑶邊角之間的關(guān)系：sinA= ＝ ,cosA= ＝ ．
斜邊 c 斜邊 c
A 的對(duì)邊 a A 的鄰邊 b
tanA= ＝ ,cotA= ＝ ．
A 的鄰邊 b A 的對(duì)邊 a
⑷解直角三角形中常見(jiàn)類型：
①已知一邊一銳角．
②已知兩邊．
③解直角三角形的應(yīng)用．
第二十九章 投影與視圖
29．1 投影
一般地，用光線照射物體，在某個(gè)平面（地面、墻壁等）上得到的影
子叫做物體的投影（projection），照射光線叫做投影線，投影所在的平面
叫做投影面。
有時(shí)光線是一組互相平行的射線，例如太陽(yáng)光或探照燈光的一束光中
的光線。由平行光線形成的投影是平行投影（parallel projection).
由同一點(diǎn)（點(diǎn)光源發(fā)出的光線）形成的投影叫做中心投影（center
projection)。投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影。
投影線平行于投影面產(chǎn)生的投影叫做平行投影。
物體正投影的形狀、大小與它相對(duì)于投影面的位置有關(guān)。
29．2 三視圖
三視圖是觀測(cè)者從三個(gè)不同位置觀察同一個(gè)空間幾何體而畫(huà)出的圖形。
將人的視線規(guī)定為平行投影線，然后正對(duì)著物體看過(guò)去，將所見(jiàn)物體
的輪廓用正投影法繪制出來(lái)該圖形稱為視圖。一個(gè)物體有六個(gè)視圖：從物
體的前面向后面投射所得的視圖稱主視圖——能反映物體的前面形狀，從物
體的上面向下面投射所得的視圖稱俯視圖——能反映物體的上面形狀，從物
體的左面向右面投射所得的視圖稱左視圖——能反映物體的左面形狀，
12
還有其它三個(gè)視圖不是很常用。三視圖就是主視圖、俯視圖、左視圖的總
稱。
特點(diǎn)：一個(gè)視圖只能反映物體的一個(gè)方位的形狀，不能完整反映物體的結(jié)
構(gòu)形狀。三視圖是從三個(gè)不同方向?qū)ν粋€(gè)物體進(jìn)行投射的結(jié)果，另外還
有如剖面圖、半剖面圖等做為輔助，基本能完整的表達(dá)物體的結(jié)構(gòu)。
主視、俯視 長(zhǎng)對(duì)正
物體的投影
主視、左視 高平齊
左視、俯視 寬相等
在許多情況下，只用一個(gè)投影不加任何注解，是不能完整清晰地表達(dá)
和確定形體的形狀和結(jié)構(gòu)的。如圖所示，三個(gè)形體在同一個(gè)方向的投影完
全相同，但三個(gè)形體的空間結(jié)構(gòu)卻不相同。可見(jiàn)只用一個(gè)方向的投影來(lái)表
達(dá)形體形狀是不行的。一般必須將形體向幾個(gè)方向投影，才能完整清晰地
表達(dá)出形體的形狀和結(jié)構(gòu)。
一個(gè)視圖只能反映物體的一個(gè)方位的形狀，不能完整反映物體的結(jié)構(gòu)
形狀。三視圖是從三個(gè)不同方向?qū)ν粋€(gè)物體進(jìn)行投射的結(jié)果，另外還有
如剖面圖、半剖面圖等做為輔助，基本能完整的表達(dá)物體的結(jié)構(gòu)。
畫(huà)法：根據(jù)各形體的投影規(guī)律，逐個(gè)畫(huà)出形體的三視圖。畫(huà)形體的順序：
一般先實(shí)（實(shí)形體）后空（挖去的形體）；先大（大形體）后小（小形體）；
先畫(huà)輪廓，后畫(huà)細(xì)節(jié)。畫(huà)每個(gè)
形體時(shí)，要三個(gè)視圖聯(lián)系起來(lái)畫(huà)，并從反映形體特征的視圖畫(huà)起，再按投
影規(guī)律畫(huà)出其他兩個(gè)視圖。對(duì)稱圖形、半圓和大于半圓的圓弧要畫(huà)出對(duì)稱
中心線，回轉(zhuǎn)體一定要畫(huà)出軸線。對(duì)稱中心線和軸線用細(xì)點(diǎn)劃線畫(huà)出。
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