資源簡介

初中教材指引
人教版七年級上
第一章 有理數(shù)
1.1 正數(shù)和負數(shù)（重點看教材例子,能舉例子）
（一）正數(shù)：大于 0 的數(shù)叫正數(shù)，為了明確表達意義，正數(shù)前面加上符號“+”，這里
的“+”通常省略；
負數(shù)：小于 0的數(shù)叫負數(shù)，在正數(shù)的前面加上符號“-”。
（二）0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)；-a不一定是負數(shù)，+a也不一定是正數(shù)。
1.2.1 有理數(shù)（注意引出有理數(shù)的方法）
（一）有理數(shù)：整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)。
（二）有理數(shù)的分類：
① ②
正整數(shù) 正整數(shù)
正有理數(shù)
正分數(shù) 整數(shù) 零
有理數(shù) 零 有理數(shù) 負整數(shù)

負整數(shù) 負有理數(shù) 正分數(shù)分數(shù)
負分數(shù) 負分數(shù)
1.2.2 數(shù)軸（了解）
（一）數(shù)軸：數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向、單位長度的一條直線。
（二）畫數(shù)軸的步驟：（1）畫直線；（2）在直線上取一點作為原點；（3）確定正方
向，并用箭頭表示（4）根據(jù)需要選取適當單位長度。
1
（三）一般的，設(shè) a是一個正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù) a的點在原點的右邊，與原點的距離
是 a個單位長度；表示數(shù)-a的點在原點的左邊，與原點的距離是 a個單位長度。
1.2.3 相反數(shù)（注意探究和歸納的過程）
（一）相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)。一般地 a和-a互為相反數(shù)，0的相反數(shù)還是 0。
（二） 相反數(shù)的和為 0 a+b=0 a、b互為相反數(shù)。
1.2.4 絕對值（了解）
（一）絕對值：一般地，數(shù)軸上表示數(shù) a的點與遠點的距離叫做數(shù) a的絕對值，記做 。
（二）一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是 0.
即
1.如果 ，那么 ；
2.如果 ，那么 ；
3.如果 ，那么 。
4.有理數(shù)大小比較
（1）正數(shù)大于 0，0大于負數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)；
（2）兩個負數(shù)，絕對值大的反而小。
（3）異號兩數(shù)比較大小，要考慮它們的正負；同號兩數(shù)比較大小，要考慮它們的絕對
值。
1.3 有理數(shù)的加減法（注意思考和探究中的問題和引導(dǎo)）
（一）有理數(shù)的加法法則：
1.同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；
2.絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去
較小的絕對值。互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加和為 0；
3.一個數(shù)同 0相加，仍得這個數(shù)。
（二）有理數(shù)加法的運算律
1.加法的交換律： ；
2.加法的結(jié)合律： 。
（三）有理數(shù)的減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即 。
（四）引入相反數(shù)后，加減混合運算可以統(tǒng)一為加法運算： 。
1.4 有理數(shù)的乘除法（注意探究法則的過程）
2
（一）有理數(shù)的乘法法則：
1.兩數(shù)相乘，同號為正，異號為負，并把絕對值相乘；
2.任何數(shù)與 0相乘都得 0。
（二） 幾個不是 0 的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積是正數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是奇
數(shù)時，積是負數(shù)。
（三）幾個數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為 0，那么積等于 0。
（四）乘積是 1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。
（五）有理數(shù)乘法的運算律：
1.乘法的交換律： ；
2.乘法的結(jié)合律： ；
3.乘法的分配律： 。
（六）有理數(shù)的除法法則
1.除以一個不等于 0 的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。即 。
2.兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于 0 的數(shù)，
都得 0。
（七）有理數(shù)加減乘除混合運算法則：先乘除，后加減。
1.5.1 乘方（注意探究概念中的例子）
（一）乘方：求 n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方。乘方的結(jié)果叫做冪，在 中，
叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。
（二）有理數(shù)乘方的法則：
1.負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)。
2.正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是 0。
（三）有理數(shù)的混合運算順序：（重點看教材例子）
1.先乘方，再乘除，最后加減；
2.同級運算，從左到右進行；
3.如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行。
1.5.2 科學(xué)計數(shù)法（了解）
科學(xué)記數(shù)法：把一個大于 10的數(shù)記成 的形式（其中 大于或等于 1且小于 10，n
是正整數(shù)），這種記數(shù)法叫科學(xué)記數(shù)法。
1.5.3 近似數(shù)（了解）
近似數(shù)的精確位：一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)的精確到哪一位。
第二章 整式的加減
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2.1 整式（注意實例）
（一）單項式
1.單項式：式子中只含數(shù)或字母的積，叫做單項式，單獨一個數(shù)或一個字母也是單項式。
2.單項式的系數(shù)與次數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)，一個單項式中，
所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。
（二）多項式
1.多項式：幾個單項式的和叫做多項式。，每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項
叫常數(shù)項。
2.多項式的次數(shù)：多項式里，次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)。
（三）整式
單項式與多項式統(tǒng)稱為整式。
2.2 整式的加減（注意探究的過程）
（一）同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項。
（二）合并同類項：把多項式中的同類項合并成同一項，叫做合并同類項。
（三）合并同類項法則：合并同類項后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項系數(shù)的和，且
字母連同它的指數(shù)不變。
（四）去括號法則：
1.如果括號外面的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同；
2.如果括號外面的因數(shù)是負數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反。
（五）整式加減的運算法則：一般的，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后
在合并同類項。
第三章 一元一次方程
3.1 從算式到方程
3.1.1 一元一次方程（注意例子即可）
（一）方程：含有未知數(shù)的等式叫方程。
（二）一元一次方程：只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)是 1，等號兩邊都是整
式，這樣的方程叫做一元一次方程。
（三）解方程和方程的解：解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，
這個值就是方程的解。
3.1.2 等式的性質(zhì)（了解探究過程）
（一）等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果任相等。即如果 ，那么
。
4
（二）等式的性質(zhì) 2 等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為 0 的數(shù)，結(jié)果仍相等。
即
如果 ，那么 ；如果 ，那么 。
3.2 解一元一次方程（一）——合并同類項與移項（歸納步
驟）
移項：把等式一遍的某項變號后移到另一邊，叫做移項。
3.3 解一元一次方程（二）——去括號與去分母（歸納步驟）
（一）一元一次方程的標準形式：ax+b=0（x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，且 a≠0）。
（二）解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為 1
等，通過這些步驟可以使以 x 為未知數(shù)的方程逐步向著 x=a的形式轉(zhuǎn)化，這個過程主要依據(jù)
等式的基本性質(zhì)和運算律等。
3.4 實際問題與一元一次方程（了解）
（一）基本過程
用一元一次方程解決實際問題的基本過程如本章開頭所示。
（二）常用公式
1.行程問題： ， ， ；
2.工程問題： ， ， ；
3.比率問題： ， ， ；
4.順逆流問題：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度；
5.商品價格問題： ,利潤=售價-成本， ;
6.周長、面積、體積問題：, , , ，
, , , , , , , 。
第四章 幾何圖形初步
4.1 幾何圖形
4.1.1 立體圖形與平面圖形（了解）
5
（一）立體圖形：幾何體的各部分不都在同一平面內(nèi)的圖形叫做幾何圖形。
（二）平面圖形：有些幾何圖形的各部分都在同一平面內(nèi)叫做平面圖形。
（三）展開圖：有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當剪開，可以
展開成平面圖形。這樣的平面圖形稱為相應(yīng)立體圖形的展開圖。
4.1.2 點、線、面、體（了解）
（一）體：幾何體也簡稱為體。
（二）面：包圍體的是面。
（三）線：面和面相交的地方形成線。
（四）點：線和線相交的地方形成點。
4.2 直線、射線、線段（注意思考的過程）
（一）事實：經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線。簡單說成：兩點確定一條直線。
（二）相交：當兩條不同的直線有一個公共點時，稱這兩條直線相交，這個公共點叫做
交點。
（三）中點：點 M把線段 AB分成相等的兩條線段 AM 與 MB，點 M 叫做線段 AB的中點。
（四）基本事實：兩點的所有連線中，線段最短。簡單說成：兩點之間，線段最短。
（五）距離：連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離。
4.3 角
4.3.1 角（注意過程）
（一）角的單位：度( )、分( )、秒( )。
（二）單位換算： ， 。
4.3.2 角的比較與運算（注意角平分線的探究過程）
角的平分線：一般的，從一個頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個
角的平分線。
4.3.4 余角和補角（注意探究過程）
（一）余角：如果兩個角的和等于 90°（直角），就說這兩個角互為余角，其中每一
個角是另一個角的余角。
（二）補角：如果兩個角的和等于 180°（平角），就說這兩個角互為補角，其中一個
角是另一個角的補角
（三）性質(zhì)：同角（等角）的補角相等。同角（等角）的余角相等。
第五章 相交線與平行線
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5.1 相交線
（一）相交線（探究過程）
1.鄰補角：兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角是鄰
補角。也可以表述為兩個角有一條公共邊，另一條邊互為反向延長線。
2.對頂角：一個角的兩邊分別是另一個叫的兩邊的反向延長線，像這樣的兩個角互為對
頂角。
3.性質(zhì)：對頂角相等。
（二）垂線（畫法和性質(zhì)的探究過程）
1.垂直：直線 與 的夾角為 90°時，我們說 與 互相垂直，記作 。
2.垂線：兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，這兩條直線互相垂直，其
中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。
3.幾何語言： AB CD, AOC 90
或者 AOC 90 AB CD
4.垂線的畫法：一靠、二過、三畫
一靠：把三角板的一條直角邊靠在已知直線上；
二過：讓三角板的另一條直角邊經(jīng)過已知的點；
三畫：沿著直角邊經(jīng)過已知點畫直線。
5.性質(zhì)：
（1）在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；（點在線外和點在線
上兩種情況）
（2）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。簡單說成：垂線段最
短。
6.點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離。
（三）同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角（兩條直線被第三條直線
所截，三線八角）（了解）
（1）同位角：∠1 與∠5 像這樣具有相同位置關(guān)系的一對角
叫做同位角。（F型）
（2）內(nèi)錯角：∠2 與∠6 像這樣的一對角叫做內(nèi)錯角。（Z
型）
（3）同旁內(nèi)角：∠2 與∠5 像這樣的一對角叫做同旁內(nèi)角。
（U型）
5.2 平行線及其判定
（一）平行線（引入和思考過程）
1.平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。 與 互相平行，記作 。
2.平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。
3.推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。即如果 ，
，那么 。
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（二）平行線的判定（方法探究的過程）
1.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。簡單說成：同
位角相等，兩直線平行；
2.兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行。簡單說成：內(nèi)
錯角相等，兩直線平行；
3.兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行。簡單說成：
同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。
5.3 平行線的性質(zhì)
（一）平行線的性質(zhì)（性質(zhì)探究的過程）
1.兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡單說成：兩直線平行，同位角相等。
2.兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等。簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。
3.兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補。簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互
補。
（二）命題、定理、證明（了解）
1.命題：判斷一件事情的語句叫命題。命題是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，命題常可以寫
成如果…那么…的形式。即如果+題設(shè)，那么+結(jié)論。
2.真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題。性質(zhì)和定理都
是真命題。
3.假命題：題設(shè)成立時，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題。
4.定理：經(jīng)過推理證實得到的命題叫做定理。
5.證明：一個命題的正確性需要經(jīng)過推理才能做出正確判斷，這個推理過程叫做證明。
5.4 平移（了解）
（一）平移：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做
平移平移變換，簡稱平移。
（二）對應(yīng)點：平移后得到的新圖形中每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，
這樣的兩個點叫做對應(yīng)點。
（三）平移特點：
1.平移不改變圖形的形狀和大小；
2.對應(yīng)點連線平行且相等。
人教版七年級下
第六章 實數(shù)
6.1 平方根（注意概念引入的過程）
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（一）算術(shù)平方根：如果一個正數(shù) 的平方等于 ，即 ，那么這個正數(shù) 叫做 a 的算術(shù)
平方根。 的算術(shù)平方根記為 ， 叫做被開方數(shù)，a≥0.
（二）規(guī)定：0的算術(shù)平方根是 0。
（三）平方根：如果一個數(shù)的平方等于 ，那么這個數(shù)叫做 的平方根或二次方根。如果
叫做 a的平方根。注意-3是 9的平方根；9的平方根是 3和-3。
（四）開平方：求一個數(shù) 的平方根的運算，叫做開平方。
（五）被開方數(shù)越大，對應(yīng)的算術(shù)平方根也越大。
（六）正數(shù)有兩個平方根，他們互為相反數(shù)；0的平方根是 0，負數(shù)沒有平方根。
（七）算數(shù)平方根是他本身的數(shù)是 0，1。平方根是他本身的數(shù)是 0。
6.2 立方根（了解）
（一）立方根：如果一個數(shù)的立方等于 ，那么這個數(shù)叫做 的立方根或三次方根。
（二）開立方：求一個數(shù) 的立方根的運算，叫做開立方。
（三）表示方法：一個數(shù) 的立方根，用符號“ ”表示，讀作“三次根號 ”，其中 是
被開方數(shù)，3是根指數(shù)。
（四）立方根是他本身的數(shù)是-1，0，1。
6.3 實數(shù)（注意探究過程）
（一）無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù)。
無理數(shù)分為三類：（1）開方開不盡的數(shù)，如 3, 7
（2）含有π的數(shù)
（3）具有一定規(guī)律的無限不循環(huán)小數(shù)，0.1001001…
（二）實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)，實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)。
（三）分類：
或
（四）性質(zhì)：
1.數(shù) a的相反數(shù)是-a。
2.一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是 0。
即設(shè) 表示一個實數(shù)，則有：
第七章 平面直角坐標系
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7.1 平面直角坐標系
（一）有序數(shù)對（了解）
有序數(shù)對：有順序的兩個數(shù) a與 b組成的數(shù)對叫做有序數(shù)對，記做（a,b）。
（二）平面直角坐標系（了解）
1.平面直角坐標系：在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸組成平面直角坐標系。
2.橫軸、縱軸、原點：水平的數(shù)軸稱為 x軸或橫軸；豎直的數(shù)軸稱為 y 軸或縱軸；兩坐
標軸的交點為平面直角坐標系的原點。
3.坐標：對于平面內(nèi)任一點 P，過 P 分別向 x 軸，y 軸作垂線，垂足分別在 x 軸，y 軸
上，對應(yīng)的數(shù) a,b分別叫點 P的橫坐標和縱坐標。
4.象限：兩條坐標軸把平面分成四個部分，右上部分叫第一象限，按逆時針方向一次叫
第二象限、第三象限、第四象限。坐標軸上的點不在任何一個象限內(nèi)。
5.已知點到 x軸的距離為縱坐標的絕對值，到 y軸的距離為橫坐標的絕對值。
6.AB與 x軸平行，那么 A,B兩點的縱坐標相同，AB與 y軸平行，那么 A,B兩點的橫坐
標相同。
7.2 坐標方法的簡單應(yīng)用（了解）
（一）用坐標表示地理位置
利用平面直角坐標系繪制區(qū)域內(nèi)一些地點分布情況平面圖的過程如下：
1.建立坐標系，選擇一個適當?shù)膮⒄拯c為原點，確定 x軸、y軸的正方向；
2.根據(jù)具體問題確定單位長度；
3.在坐標平面內(nèi)畫出這些點，寫出各點的坐標和各個地點的名稱。
（二）用坐標表示平移
一般地，在平面直角坐標系內(nèi)，如果把一個圖形各個點的橫坐標都加（或減去）一個正
數(shù) a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移 a個單位長度；如果把它各個點的縱
坐標都加（或減去）一個正數(shù) a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移 a個單位
長度。
第八章 二元一次方程組
8.1 二元一次方程組（注意探究過程）
（一）二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是 1，像這樣的方程叫做
二元一次。二元一次方程的一般形式是 。
（二）二元一次方程組：把兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。
（三）二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做二
元一次方程組的解。一般地，二元一次方程的解有無數(shù)個。
（四）二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解叫做二元一
次方程組的解。
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8.2 消元——解二元一次方程組（注意探究的過程，概括
步驟）
（一）消元：將未知數(shù)的個數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。
（二）代入消元：將一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方
程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。
（步驟）
（三）加減消元法：當兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，將兩個方程的兩邊
分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。（步驟）
消元
二元一次方程組 → 一元一次方程
8.3 實際問題與二元一次方程組（了解）
解應(yīng)用題過程：審、設(shè)、列、解、驗、答
8.4 三元一次方程組的解法（了解）
（一）三元一次方程組：方程組含有三個未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是
1，并且一共有三個方程，像這樣的方程叫做三元一次方程組。
（二）解方程組思路： 。
第九章 不等式與不等式組
9.1 不等式
（一）不等式及其解集（注意引入實例）
1.不等式：用符號“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小關(guān)系的式子叫做不等式。
2.不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。
3.不等式的解集：一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。求不等
式的解集的過程叫做解不等式。
（二）不等式的性質(zhì)（注意探究的過程）
1.不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變。即如果 ，
那么 ；
2.不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。即如果 ， ，
那么 ；
3.不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變。即如果 ， ，
那么 。
11
9.2 一元一次不等式（注意探究過程）
一元一次不等式：不等式的左、右兩邊都是整式，只有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高
次數(shù)是 1，像這樣的不等式，叫做一元一次不等式。
9.3 一元一次不等式組（注意過程）
（一）一元一次不等式組：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，
就組成了一個一元一次不等式組。
（二）解集：一般地，幾個不等式的解集的公共部分，叫做由他們所組成的不等式組
（三）解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，在求出這些解集的公
共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集。
（四）解不等式組口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，小小大大無解可找。
第十章 數(shù)據(jù)的收集、整理與描述
10.1 統(tǒng)計調(diào)查（了解）
（一）全面調(diào)查：考察全體對象的調(diào)查方式叫做全面調(diào)查。
（二）抽樣調(diào)查：調(diào)查部分數(shù)據(jù)，根據(jù)部分來估計總體的調(diào)查方式稱為抽樣調(diào)查。
（三）個體：組成總體的每一個考察對象稱為個體。
（四）樣本：被抽取的所有個體組成一個樣本。
（五）樣本容量：樣本中個體的數(shù)目稱為樣本容量。
（六）簡單隨機抽樣：總體中的每一個個體都有相等的機會被抽到，像這樣的抽樣方法
是一種簡單隨機抽樣。
（七）歸納：全面調(diào)查和抽樣調(diào)查是收集數(shù)據(jù)的兩種方法。全面調(diào)查收集到的數(shù)據(jù)全面、
準確，但一般花費多、耗時長，而且某些調(diào)查不宜用全面調(diào)查，抽樣調(diào)查具有花費少、省時
的特點，但抽取的樣本是否具有代表性，直接關(guān)系到對總體估計的準確程度。
10.2 直方圖（注意過程）
（一）基本概念
1.頻數(shù)：一般地，我們稱落在各個小組內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)為該組的頻數(shù)。
2.頻率：頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比為頻率。
3.組數(shù)和組距：在統(tǒng)計數(shù)據(jù)時，把數(shù)據(jù)按照一定的范圍分成若干各組，分成組的個數(shù)稱
為組數(shù)，每個小組的兩個端點之間的距離（組內(nèi)數(shù)據(jù)的取值范圍）稱為組距。
（二）直方圖與條形圖
相同之處：條形圖與直方圖都是在坐標系中用矩形的高來表示頻數(shù)的圖形。
不同之處：直方圖組距是相等的，而條形圖不一定。
直方圖各矩形間無空隙，而條形圖則有空隙。
直方圖可以顯示各組頻數(shù)分布的情況，而條形圖不能明確反映這點。
扇形統(tǒng)計圖：圓心角的度數(shù) =百分比× 360°
12
人教版八年級上
第十一章 三角形
11.1 三角形
知識梳理
（一）三角形的邊（注意結(jié)論的探究和證明）
1.三角形：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。
2.分類：
3.三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.
即兩邊之差<第三邊<兩邊之和。
4.判斷三條線段能否組成三角形，將兩條較短的線段之和與最長的線段進行比較。
（二）三角形的高、中線與角平分線（注意角平分線的學(xué)習(xí)過程）
1.高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角
形的高。
直角三角形的三條高，一條高在三角形內(nèi)部，其余兩條與兩條直角邊重合，且三條高的
交點為直角的頂點。
銳角三角形的三條高內(nèi)在三角形的內(nèi)部，且有一個交點。
鈍角三角形的三條高，一條高在三角形內(nèi)部，其余兩條在三角形外部，它們沒有交點，
但所在的直線有一個交點。
銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形
高在三角形內(nèi)部的數(shù)量 3 1 1
高是否相交 相交 相交 不想交
高所在的直線是否相交 相交 相交 相交
三條高所在直線的交點 三角形內(nèi)部 直角頂點 三角形外部
的位置
2.中線：在三角形中，連接一個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形的中線。
3.角平分線：三角形的一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之
間的線段叫做三角形的角平分線。
4.三角形的重心：三角形的三條中線相交于一點，三角形中線的交點叫做三角形的重心。
5.三角形的一邊的中線可以把這個三角形分成面積形等的兩部分。
（三）三角形的穩(wěn)定性（了解）
三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫三角形的穩(wěn)定性。
11.2 與三角形有關(guān)的角
13
（一）三角形的內(nèi)角（注意探究和證明過程）
1.三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和為 180°。
2.直角三角形的兩個銳角互余，反過來，有兩個角互余的三角形是直角三角形。
3.直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形 ABC可以寫成 Rt△ABC。
4.做題中常用的性質(zhì)：等角的余角相等。
（二）三角形的外角（注意探究過程）
1.三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。
2.推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。
11.3 多邊形及其內(nèi)角和
（一）多邊形（了解）
1.多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形。
2.n 邊形：如果一個多邊形由 n 條線段組成，那么這個多邊形叫做 n 邊形。 一個 n 邊
形的內(nèi)角個數(shù)、邊數(shù)以及頂點個數(shù)都相等，都是 n。
3.多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。
4.多邊形的外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。
5.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。
6.正多邊形：在平面內(nèi)，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。
7.凸多邊形：畫出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一
側(cè)，那么這個多邊形叫做凸多邊形。
（二）多邊形的內(nèi)角和（注意探究過程）
1.多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于 n 2 180 。
2.多邊形的外角和等于 360°。
3.多邊形對角線的條數(shù)：從 n邊形的一個頂點出發(fā)，可以做（n-3）條對角線,多邊形的
n n 3
對角線有 條。
2
第十二章 全等三角形
12.1 全等三角形（注意概念的探究過程）
（一）全等形：能夠完全重合的兩個圖形，叫做全等形。
（二）全等形的性質(zhì)：形狀和大小完全相同。
（三）全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形稱為全等三角形。把兩個全等的三角形
重合到一起，對應(yīng)元素有：重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，重合的邊叫做對應(yīng)邊。重合的角叫做
對應(yīng)角。
（四）全等的表示方法：△ABC和△DEF全等，記作△ABC≌△DEF.注意：在記兩個三角
形全等時，通常把對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。
14
（五）全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)角相等、全等三角形的對應(yīng)邊相等。對應(yīng)
的角平分線，中線，高線分別相等。對應(yīng)的周長，面積也相等。
12.2 三角形全等的判定（注意探究過程）
（一）三角形全等的判定公理及推論有：（重點看判定定理推導(dǎo)證明過程***）
1.“邊邊邊”簡稱“SSS”：三邊分別相等的兩個三角形全等；
2.“邊角邊”簡稱“SAS”：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等；
3．“角邊角”簡稱“ASA”：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等；
4.“角角邊”簡稱“AAS”：兩角和其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形全等；
5.斜邊和直角邊相等的兩直角三角形（HL）：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三
角形全等。
（二）尋找邊相等的方法：
1．圖形中的隱含條件，如公共邊；
2.利用線段中點找相等的邊；
3.多條線段共線時，利用線段的和或差證明邊相等。
（三）在證明兩個三角形全等時，要注意隱含的條件：公共邊、公共角、對頂角等。
12.3 角平分線的性質(zhì)（注意探究和證明的過程）
（一）角的平分線性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。
（二）角的平分線推論：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。
（三）三角形角平分線的性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于三角形內(nèi)一點，并且到三
邊的距離相等。
（四） 要證明一個幾何命題的一般步驟：
1.明確題中的已知和求證；
2.根據(jù)提議，畫出圖形，并用符號表示已知和求證；
3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程。
（五）證明兩三角形全等或利用它證明線段或角的相等的基本方法步驟：：①確定已知
條件（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形、等
所隱含的邊角關(guān)系）；②回顧三角形判定，搞清我們還需要什么；③正確地書寫證明格式。
第十三章 軸對稱
13.1 軸對稱
（一）軸對稱（注意過程）
1.軸對稱圖形：如果一個圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么
這個圖形叫做軸對稱圖形；這條直線叫做對稱軸。
2.軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線直線折疊，如果它能夠與另個一個圖形重合，那
么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊重合的點是對應(yīng)點，叫做
對稱點。注意：成軸對稱的兩個圖形一定全等。
2.垂直平分線：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。
15
3.圖形軸對稱的性質(zhì)：
（1）如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直
平分線；
（2）軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線。
（二）線段的垂直平分線的性質(zhì)（注意探究和證明的過程）
1.線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；
2.與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。
13.2 畫軸對稱圖形（了解）
（一）歸納：
1.由一個平面圖形可以得到與它關(guān)于一條直線 對稱的圖形，這個圖形與原圖形的形狀、
大小完全相同；新圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關(guān)于直線 的對稱點；連接任意一
對對應(yīng)點的線段被對稱軸垂直平分。
2.幾何圖形都可以看作由點組成。對于某些圖形，只要畫出圖形中的一些特殊點（如線
段端點）的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形。
（二）點（x,y）關(guān)于 x軸對稱的點的坐標為（x,-y）；點（x,y）關(guān)于 y軸對稱的點的
坐標為（-x,y）。
（三）作關(guān)于坐標軸對稱的圖形：找出已知圖形中的一些特殊點的坐標（如多邊形頂點
的坐標）；求出對應(yīng)點的坐標；根據(jù)所求的坐標，描出對應(yīng)點；順次連接這些點。
13.3 等腰三角形
（一）等腰三角形（注意探究和證明的過程）
1.等腰三角形的性質(zhì)：
性質(zhì) 1：等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）；
性質(zhì) 2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，簡稱為“三
線合一”。
性質(zhì) 3：等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是底邊中線所在的直線（軸對稱圖形）。
2.等腰三角形的判定：
判定 1：定義法，有兩邊相等的三角形是等腰三角形。利用全等三角形的對應(yīng)邊相等；
利用垂直平分線的性質(zhì)。
判定 2：等角對等邊，如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個三角形所對的邊也相
等。
（二）等邊三角形（注意探究和證明的過程）
1.等邊三角形角的特點：等邊三角形的三個內(nèi)角相等，并且每一個角都等于 60°。
2.等邊三角形的判定：
（1）三個角都相等的三角形是等邊三角形；
（2）有一個角是 60°的等腰三角形是等邊三角形。
3.性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個銳角等于 30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的
一半。
16
13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題（注意過程）
問題 作法 圖形 原理
在直線 l上求一點 連接 AB， 兩點之間線段
P，使 PA+PB 值最小． 與 l 交點即為 最短． PA+PB 最
P． 小值為 AB
作 B 關(guān)于 l 角的垂直平分
的對稱點 B＇連 線性質(zhì)；兩點之間
A B＇，與 l 交點 線段最短． PA+PB
即為 P 最小值為 A B＇
將軍飲馬：在直線
l 上求一點 P，使
PA+PB 值最小．
第十四章 整式的乘法與因式分解
14.1 整式的乘法
（一）同底數(shù)冪的乘法（注意引入和探究過程）
同底數(shù)冪的乘法法則: (m,n 都是正整數(shù)),即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，
指數(shù)相加。
（二）冪的乘方（注意探究過程）
冪的乘方法則： (m,n都是正整數(shù)) ，即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。
一般地， 。即負數(shù)的偶次冪是正數(shù)，負數(shù)的奇次冪是負數(shù)。
（三）積的乘方（注意探究過程）
積的乘方法則： (n為正整數(shù))，即積的乘方，等于把積的每一個因式分別
乘方，再把所得的冪相乘。
（四）整式的乘法（注意探究過程）
1.單項式乘法法則：單項式與單項式相乘,把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對于只
在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。
2.單項式與多項式相乘：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再
把所得的積相加。
3.多項式與多項式相乘：多項式與多項式相乘，先用一個多項式中的每一項乘以另一個
多項式的每一項，再把所得的積相加。
17
4.同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減,即 (a≠
0,m,n都是正整數(shù),且 )。
規(guī)定：任何不等于 0的數(shù)的 0次冪都等于 1. 即
在應(yīng)用時需要注意以下幾點：①法則使用的前提條件是“同底數(shù)冪相除”而且 0不能做
除數(shù),所以法則中 a≠0。②任何不等于 0 的數(shù)的-p 次冪(p 是正整數(shù)),等于這個數(shù)的 p 的次
冪的倒數(shù),即 , 而 0-1,0-3都是無意義的；當 a>0時，a-p的值一
定是正的; 當 a<0時,a-p的值可能是正也可能是負的。④運算要注意運算順序。
5.單項式除法單項式：單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于
只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。
6.多項式除以單項式：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以單項式，再把
所得的商相加。
14.2 乘法公式
（一）平方差公式（重點看幾何推導(dǎo)證明）
兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等與這兩個數(shù)的平方差，這個公式叫做（乘法的）平
方差公式，即 。
（二）完全平方公式（重點看幾何推導(dǎo)證明）
1.兩個數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的 2倍。
下面這兩個公式叫做（乘法的）完全平方公式。
2.添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負
號，括到括號里的各項都改變符號。
14.3 因式分解（注意過程）
分解因式：把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式分解因
式，也叫做把這個多項式分解因式。
因式分解與整式乘法的關(guān)系：因式分解與整式乘法是方向相反的變形。
（一）提公因式法
1.公因式：在多項式中各項都有一個共同的因式，把這個因式叫做多項式的公因式。
2.找多項式的公因式時要先找系數(shù)的最大公約數(shù)，再找出相同字母的最低次冪，它們的
積就是多項式的公因式。
3.提公因式法：將多項式寫成公因式與另一個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫
做提公因式法。
（二）公式法
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1.平方差公式： 。即兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這
兩個數(shù)的差的積。
2.完全平方公式： 。.兩個數(shù)的平方和，加上（或減去）它們的
積的 2倍等于.兩個數(shù)的和（或差）的平方。
3.（補充）分解因式的一般方法： 提公共因式法、運用公式法、十字相乘法。
4.（補充）分解因式的步驟：(1)先看各項有沒有公因式，若有，則先提取公因式；（2)
再看能否使用公式法；(3)用分組分解法,即通過分組后提取各組公因式或運用公式法來達到
分解的目的；(4)因式分解的最后結(jié)果必須是幾個整式的乘積,否則不是因式分解；(5)因式
分解的結(jié)果必須進行到每個因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止。
第十五章 分式
15.1 分式
（一）從分數(shù)到分式（注意探究的過程）
1.分式：一般地，如果 A,B表示兩個整式，并且 B中含有字母，那么式子 叫做分式。
其中 A叫做分子，B叫做分母。
2.分式有意義的條件：分母不等于 0。
（二）分式的基本性質(zhì)（注意探究的過程）
1.分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母乘（或除以）同一個不等于 0的整式，分式的值
不變。用式子表示為：
,
2.約分：把一個分式的分子和分母的公因式約去，叫做分式的約分。
3.最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式。
4.通分：把幾個異分母的公式分別化成與原來的分是相等的同分母的分式，叫做分式的
通分。
5.最簡公分母：為通分，要先確定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次
冪的積作為公分母，他叫做最簡公分母。
15.2 分式的運算
（一）分式的乘除（注意探究的過程和運算方法）
1.分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。
字母表示為： 。
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2.分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。
用字母表示為： 。
3.分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分別乘方。用字母表示為： （n為
正整數(shù)）。
4.分式的乘除混合運算，先統(tǒng)一成乘法運算，能約分的要隨時約分，以減少運算量。
5.分式的乘方運算要把分式加上括號，同時不要忽略分子、分母系數(shù)的乘方，同時要注
意符號問題。
（二）分式的加減（注意探究過程）
1.同分母分式加減法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。用字母表示
為： 。
2.異分母分式加減法則：異分母的分式相加減,先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p。
用字母表示為： 。
（三）整數(shù)指數(shù)冪（注意過程）
1.整數(shù)指數(shù)冪有以下運算性質(zhì)：
（1） (m,n都是整數(shù)),
（2） (m,n都是整數(shù))
（3） (n為整數(shù))
2.整數(shù)指數(shù)冪運算：
（1）運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號內(nèi)的。
2 2
（2）特別注意負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)，不要出現(xiàn) x x 的錯誤。
15.3 分式方程（注意過程與方法，防止出改錯題）
（一）分式方程：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。
（二）分式方程的解法：
1.去分母(方程兩邊同時乘以最簡公分母，將分式方程化為整式方程)；
2.按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值；
3.驗根(求出未知數(shù)的值后必須驗根，因為在把分式方程化為整式方程的過程中，
擴大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根)。
（三）檢驗：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母是值不為 0，則
整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解。
（四）列分式方程解實際問題的一般步驟：
1.審清題意，找出數(shù)量關(guān)系和相等關(guān)系；
2.設(shè)未知數(shù)，根據(jù)題意列出方程；
3.解方程，并檢驗，既要檢驗解是否為方程的解，又要檢驗是否符合題意。
4.寫出答案。
20
人教版八年級下
第十六章 二次根式
16.1 二次根式（注意探究過程）
（一）二次根式：一般地，形如 （ ≥0）的代數(shù)式叫做二次根式。當 ＞0時，
表示 的算數(shù)平方根,其中 =0。
（二）一般地， ， ，
（三）代數(shù)式：用基本運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子，稱為代數(shù)式。
16.2 二次根式的乘除（注意探究過程）
（一）二次根式的乘法法則： 。
（二）二次根式的除法法則： 。
（三）最簡二次根式：滿足（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡放
的因數(shù)或因式，這兩個條件的二次根式叫做最簡二次根式。
16.3 二次根式的加減（注意過程）
二次根式的加減法則：二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被
開方數(shù)相同的二次根式進行合并。
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理（注意探究和證明過程）
2 2 2
勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為 a，b，斜邊長為 c，那么 a＋b =c。
17.2 勾股定理的逆定理
2 2 2
（一）勾股定理逆定理：如果三角形三邊長 a,b,c 滿足 a＋b =c 。，那么這個三角形
是直角三角形。 （重點看推導(dǎo)證明）
（二）命題與逆命題：把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一
個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）
21
第十八章 平行四邊形
18.1 平行四邊形
平行四邊形定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形用“ ”
表示，例如平行四邊形 ABCD記為“ ABCD”
（一）平行四邊形的性質(zhì)（注意探究過程和證明過程）
1.平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相等；平行四邊形的
對角線互相平分。 （重點看推導(dǎo)證明）
2.兩平行線之間的距離：兩平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做
這兩平行線之間的距離。
（二）平行四邊形的判定（注意探究過程和證明過程）
1.平行四邊形的判定：
（1）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
（2）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
（3）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
（4）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
2.中位線：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。
3.三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。
（重點看推導(dǎo)證明）
18.2 特殊的平行四邊形
（一）矩形（注意過程）
1、矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。
2、矩形的性質(zhì)：矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等。AC=BD。
3、直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
4、矩形判定定理：
（1）有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；
（2）對角線相等的平行四邊形是矩形；
（3）有三個角是直角的四邊形是矩形。
（二）菱形（注意過程）
1.菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
2.菱形的性質(zhì)：菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線
平分一組對角。
3.菱形的判定定理：
（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
（3）四條邊相等的四邊形是菱形。
4. 。
22
（三）正方形（注意過程）
1.正方形：一個角是直角的菱形或鄰邊相等的矩形。
2.正方形的性質(zhì)：四條邊都相等，四個角都是直角。
3.特殊性：正方形既是矩形，又是菱形。
4.正方形判定定理：
（1）鄰邊相等的矩形是正方形；
（2）有一個角是直角的菱形是正方形。
第十九章 一次函數(shù)
19.1 函數(shù)
（一）變量與函數(shù)（看教材的例子）
1.變量：數(shù)值發(fā)生變化的量叫做變量。
2.常量：數(shù)值始終不變的量為常量。
3.函數(shù)：在一個變化的過程中如果由兩個量 x 和 y，并且對于 x 的每一個確定的值，y
都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么就說 x是自變量，y是 x的函數(shù)。如果當 x=a時 y=b，那
么 b叫做當自變量的值為 a時的函數(shù)值。
4.解析式：用關(guān)于自變量的數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)與自變量之間的關(guān)系，這種式子叫做函數(shù)
的解析式。
（二）函數(shù)的圖像（了解過程）
1.函數(shù)的圖象：對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的沒對對應(yīng)值分別作為點的橫、縱
坐標，那么在坐標平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象。
2.描點發(fā)畫函數(shù)圖像的一般步驟如下：
第一步，列表——表中給出一些自變量的值與其對應(yīng)的函數(shù)值；
第二部，描點——在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標，
描出表格中數(shù)值對應(yīng)的個點；
第三步，連線——按照橫坐標由小到大的順序，把所描繪出的各點用平滑曲線連接起來。
19.2 一次函數(shù)
（一）正比例函數(shù)（重點看教材概念通過例子的形成過程）
1.正比例函數(shù)：一般地，形如 y=kx（k是常數(shù)，k≠0），叫做正比例函數(shù)，其中 k叫做
比例系數(shù)。
2.正比例函數(shù)性質(zhì)：正比例函數(shù) y=kx（k≠0）的圖象是一條經(jīng)過原點的直線，當 k>0
時，直線 y=kx 經(jīng)過第一、三象限，y 隨 x 的增大而增大，當 k<0 時，直線 y=kx 經(jīng)過第二、
四象限，y隨 x的增大而減小。
（二）一次函數(shù)（重點看教材概念通過例子的形成過程）
1.一次函數(shù)：形如 y=kx+b(k、b 是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)，叫做一次函數(shù)(x 為自變量,y
為因變量)。特別地,當 b=0時,稱 y是 x的正比例函數(shù)。
2.一次函數(shù)的性質(zhì)：當 k>0時，y隨 x的增大而增大；當 k<0時，y隨 x的增大而減小。
b. 0 1 (1) 23 b. 0 1 (1)
(2) (2)
k 0 b 0 2 (3) k 0 b 0 2 (3)
b 0 3 b 0 3
3.已知兩點坐標求函數(shù)解析式：待定系數(shù)法
（三）一次函數(shù)與方程、不等式（注意過程）
方程（組）與函數(shù)之間互相聯(lián)系，從函數(shù)的角度可以把它們統(tǒng)一起來。解決問題是，應(yīng)
根據(jù)具體情況靈活地把它們結(jié)合起來考慮。
19.3 課題學(xué)習(xí) 選擇方案
解決含有多個變量的問題時，可以分析這些變量之間的關(guān)系，從中選取一個取值能夠影
響其他變量的值的變量作為自變量，然后根據(jù)問題的條件尋求可以反映實際問題的函數(shù)，以
此作為解決問題的數(shù)學(xué)模型。
第二十章 數(shù)據(jù)的分析
20.1 數(shù)據(jù)的集中趨勢
（一）平均數(shù)（看教材例子）
加 權(quán) 平均 數(shù) ：一 般 地， 若 n 個 數(shù) 的 權(quán) 分別 是 ， 則
叫做這 n個數(shù)的加權(quán)平均數(shù)。
（二）中位數(shù)和眾數(shù)（看教材中的例子）
1.中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇
數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)
的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。
2.眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。
20.2 數(shù)據(jù)的波動程度（了解）
（一）方差： 。
（二）方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小，就越穩(wěn)定。
20.3 體質(zhì)健康測試中的數(shù)據(jù)分析
基本步驟：
（一）收集數(shù)據(jù)：1.確定樣本；2.確定抽取樣本的方法。
（二）整理數(shù)據(jù)。
（三）描述數(shù)據(jù)。
（四）分析數(shù)據(jù)。
（五）撰寫調(diào)查報告。
24
（六）交流。
人教版九年級上
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程（探究過程）
（一）一元二次方程：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的
最高次數(shù)是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（二）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一個關(guān)于 x的一元二次方程，經(jīng)過整理，
都能化成如下形式 。這種形式叫做一元二次方程的一般形式。其中
是二次項， 是二次項系數(shù)； 是一次項， 是一次項系數(shù)； 是常數(shù)項。
（三）一元二次方程的根：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的
解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
（四）判斷方程是否為一元二次方程，需要化簡后判斷。
21.2 解一元二次方程（掌握解法）
（一）配方法
1.通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法。
2
2.一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成 x n p的形式，那么就有：
（1）當 時，方程有兩個不等的實數(shù)根： ；
（2）當 時，方程有兩個相等的實數(shù)根： ；
（3）當 時，因為對任意實數(shù) ，都有 ，所以方程無實數(shù)根。
用配方法解一元二次方程的一般步驟：
一移：移項，將常數(shù)項移到右邊，含有未知數(shù)的項移到左邊；
二化：二次項系數(shù)化為 1，左右兩邊同時除以二次項系數(shù)；
三配：配方，左右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；
四開：開平方求根。
（二）公式法
1.判別式：一般地，式子 叫做一元二次方程 根的判別式，通常
用希臘字母“ ”表示它，即 。
25
2.當 時，方程 有兩個不等的實數(shù)根；當 時，方程
有兩個相等的實數(shù)根；當 時，方程 無實
數(shù)根。
3.當 時,方程 的實數(shù)根可寫為 的形式，
這個式子叫做一元二次方程 的求根公式。解一個具體的一元二次方程時，八
個系數(shù)直接帶入求根公式的方法叫做公式法。
用公式法解一元二次方程的一般步驟：
(1)把方程化成一般形式。并寫出 a，b，c的值。
(2)求出b2 4ac的值
(3)代入求根公式。
(4)寫出方程的解 x1, x2
（三）因式分解法
先因式分解，使方程化為兩個一次式的乘積等于 0的形式，再使這兩個一次式分別等于
0，從而實現(xiàn)降次。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
因式分解法解一元二次方程的一般步驟：
（1）將方程右邊化為 0；
（2）將方程左邊化為兩個一次式的乘積；
（3）令每個一次式分別為 0，得到兩個一元一次方程；
（4）解這兩個一元一次方程，他們的解就是一元二次方程的解。
（四）一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
根與系數(shù)的關(guān)系：一元二次方程 中， ， 。
21.3 實際問題與一元二次方程
（一）常見題型
1.平均增長率問題：
2.幾何圖形面積問題
3.傳播問題
利潤 售價 -進價
4.銷售利潤問題：利潤率 100% 100%
進價 進價
5.握手問題
第二十二章 二次函數(shù)
26
22.1 二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)
（一）二次函數(shù)（重點看例子）
二次函數(shù)：一般地，形如 的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。
其中， 是自變量， 分別是函數(shù)解析式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。
（二）二次函數(shù) 的圖像和性質(zhì)（看探究過程）
二次函數(shù) 的性質(zhì)：拋物線 的對稱軸是 y軸，頂點是原點。當 時，拋
物線的開口向上，頂點是拋物線的最低點；當 時，拋物線的開口向下，頂點是拋物線
的最高點。對于拋物線 ， 越大，拋物線的開口越小。
（三）二次函數(shù) 的圖像和性質(zhì)（看探究過程）
二次函數(shù) 的性質(zhì)：拋物線 與 形狀相同，位置
不同，把拋物線 向上（下）向左（右）平移，可以得到拋物線 。平
移的方向、距離要根據(jù) 的值來決定。特點如下：（1）當 時，開口向上；當 時，
開口向下。（2）對稱軸是 。（3）頂點是 。
（四）二次函數(shù) 的圖像和性質(zhì)（看探究過程）
27
1.二次函數(shù)的解析式三種形式：
（1）一般式 ；
（2）頂點式 ， ；
（3）交點式 。
2、二次函數(shù)圖像與性質(zhì)：
（1）對稱軸： ；
（2）頂點坐標： ；
（3）與 y軸交點坐標（0，c）；
（4）增減性：當 時，對稱軸左邊，y 隨 增大而減小；對稱軸右邊， 隨 增大而
增大；當 時，對稱軸左邊， 隨 增大而增大；對稱軸右邊， 隨 增大而減小。
3、二次函數(shù)圖象畫法：（1）開口方向 （2）對稱軸 （3）頂點 （4）與 軸交點 （5）
與 y軸交點
4、圖象平移步驟：（1）配方： ，確定頂點 ；（2）對 軸 左加右
減；對 軸上加下減。
5、二次函數(shù)的對稱性：二次函數(shù)是軸對稱圖形，有這樣一個結(jié)論：當橫坐標為 其
對應(yīng)的縱坐標相等那么對稱軸 。
6、根據(jù)圖像判斷 的符號：（1） 決定開口方向 ；（2）a,b可以用左同右異判斷（對
稱軸在 y軸左邊，a，b符號相同，對稱軸在 y軸右邊，a，b符號相反）；（3）c是由拋物線
與 y軸的交點決定的。
22.2 二次函數(shù)與一元二次方程
二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：拋物線 與 軸交點的橫坐標 是一
元二次方程 的根；拋物線 ，當 時，拋物線便轉(zhuǎn)
化為一元二次方程 。
時，一元二次方程有兩個不相等的實根，二次函數(shù)圖像與 軸有兩個交點；
時，一元二次方程有兩個相等的實根，二次函數(shù)圖像與 軸有一個交點；
時，一元二次方程有不等的實根，二次函數(shù)圖像與 軸沒有交點。
22.3 實際問題與二次函數(shù)
常見題型：
1.利用二次函數(shù)求圖形面積的最值問題
2.利用二次函數(shù)求最大利潤問題
3.利用二次函數(shù)解決拋物線形的建筑問題
28
第二十三章 旋轉(zhuǎn)
23.1 圖形的旋轉(zhuǎn)（了解）
旋轉(zhuǎn)：把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點 O 轉(zhuǎn)動一個角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。點 0叫做
旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。
旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋
轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等。
23.2 中心對稱
（一）中心對稱（注意探究過程）
中心對稱：如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180 后能與另一個圖形重合，那么我們就
說，這兩個圖形成中心對稱。這個點叫做對稱中心，這兩個圖形在旋轉(zhuǎn)后能夠重合的對應(yīng)點
叫做關(guān)于對稱中心的對稱點。
中心對稱的性質(zhì)：
1.中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心平分。
2.中心對稱的兩個圖形是全等圖形。
（二）中心對稱圖形
1.中心對稱圖形：如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180 后能與自身重合，那么我們就
說，這個圖形成中心對稱圖形。
2.中心對稱圖形的性質(zhì)：
（1）中心對稱圖形上的對稱點的連線都經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分。
（2）過對稱中心的直線把中心對稱圖形分成的兩部分是全等圖形。
（三）關(guān)于原點對稱的點的坐標
性質(zhì)：兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點 P(x，y)關(guān)于原點的對稱點
為 P’（-x，-y）。
23.3 課題學(xué)習(xí) 圖案設(shè)計
第二十四章 圓
24.1 圓的有關(guān)性質(zhì)
（知識點簡單讀一遍，有個印象）
（一）圓
1.圓：在一個平面內(nèi)，線段 OA繞它固定的一個端點 O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點 A所形成
的的圖形叫做圓。其固定的端點 O 叫做圓心，線段 OA叫做半徑。也可以說成到定點的距離
等于定長的點的集合。
29
圓的表示方法：以 O為圓心的圓，記作⊙O,讀作圓 O。
2.圓弧和弦：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于
半圓的弧稱為劣弧。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。
連接圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。
3.等圓和等弧：能夠重合的兩個圓叫做等圓。在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做
等弧。
（二）垂直于弦的直徑（注意探究過程）
1.對稱性：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸。
2.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。
3.垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。
4.對于一個圓和一條直線，如果具備下列五個條件中任意兩個，那么可以推出其他是三
個：過圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦所對的劣弧；平分弦所對的優(yōu)弧。（知二推三）
（三）弧、弦、圓心角
1.圓心角：頂點在圓心上的角叫做圓心角。
2.圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。
3.圓心角推論：
（1）在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等；
（2）在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧相等。
（四）圓周角
1.圓周角：頂點在圓上，且它的兩邊都與圓相交，這樣的角叫做圓周角。
2.圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的
圓心角的一半。
3.圓周角推論：
（1）同弧或等弧所對的圓周角相等；
（2）半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。
4.圓內(nèi)接多邊形：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接
多邊形。這個圓叫做這個多邊形的外接圓。
5.圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補。
24.2 點和圓、直線和圓的位置關(guān)系
（知識點簡單讀一遍，有個印象）
（一）點和圓的位置關(guān)系（注意探究過程）
1.圓和點的位置關(guān)系：以點P與圓O的為例（設(shè)⊙O 的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d），
則有：
（1）點 P在圓外 d＞r；
（2）點 P在圓上 d＝r；
30
（3）點 P在圓內(nèi) d＜r。
2.不在同一條直線上的三個點確定一個圓。
3.外接圓：過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條
邊的垂直平分線的交點，叫做三角形的外心。
三角形外心的位置：銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部；直角三角形的外心是斜邊的中點；
鈍角三角形的外心在三角形的外部。
反證法：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，由此經(jīng)過推理得出矛盾，有矛盾斷定所作假設(shè)不正確，
從而得到原命題成立。
用反證法證明命題的步驟：
（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；
（2）從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；
（3）有矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題結(jié)論正確。
（二）直線和圓的位置關(guān)系（注意探究過程）
1.直線與圓有 3 種位置關(guān)系：以直線 l 與圓 O 的為例（設(shè)⊙O 的半徑為 r，圓心到直線
的距離為 d），則有：
（1）直線 l 與⊙O相交 d r ，直線和圓有兩個公共點；
（2）直線 l 與⊙O相切 d r ，直線和圓只有一個公共點，就說這條直線和圓相切，
這個點叫做切點。
（3）直線 l與⊙O相離 d r ，直線和圓沒有公共點。
2.切線的判定定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
3.切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。
4.切線長：經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切
線長。
5.切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的
連線平分兩條切線的夾角。
6.內(nèi)切圓：和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形
三條角平分線的交點，稱為三角形的內(nèi)心。
7.兩圓之間有 5 種位置關(guān)系：無公共點的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含；
有唯一公共點的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切；有兩個公共點的叫相交。兩圓
圓心之間的距離叫做圓心距。兩圓的半徑分別為 R和 r，且 R≥r，圓心距為 P：外離 P＞R+r；
外切 P=R+r；相交 R-r＜P＜R+r；內(nèi)切 P=R-r；內(nèi)含 P＜R-r。
24.3 正多邊形和圓
正多邊形的中心、半徑、中心角、邊心距：一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這
個正多邊形的中心。外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形每一對邊所對的圓
心角叫做正多邊形的中心角。中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。
24.4 弧長和扇形面積（注意過程）
31
（一）扇形：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。
（二）扇形弧長： 。
n R2 1
（三）扇形面積： s lR 。
360 2
（四）圓錐:是由一個底面和一個側(cè)面圍成的幾何體。
圓錐的母線：連接圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的母線。
圓錐的高：連接圓錐頂點和底面圓心的線段叫做圓錐的高。
1
s側(cè) 2 r l rl
（五） 圓錐側(cè)面積： 2
（六）圓錐的全面積： s s s rl r2全 側(cè) 底
第二十五章 概率初步
25.1 隨機事件與概率
（一）隨機事件
1.必然事件：在一定條件下，必然會發(fā)生的事件，稱為必然事件；
2.不可能事件：在一定條件下，必然不會發(fā)生的事件，稱為不可能事件；
3.必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為確定事件。
4.隨機事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件。
（二）概率（注意例子的引導(dǎo)）
1.概率：把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機事件 A發(fā)生的概率，記為 P(A)。
2.一般地，如果在一次試驗中，有 n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事
件 A包含其中的 m種結(jié)果，那么事件 A發(fā)生的概率 。
3. ，特別地，當A為必然事件時， ；當A為不可能事件時， 。
25.2 用列舉法求概率（注意過程）
（一）在一次試驗中，如果可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個，且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小
相等，那么我們可以通過列舉試驗結(jié)果的方法，求出隨機事件發(fā)生的概率。
（二）列舉法常用的表現(xiàn)形式有：（重點看教材的例子）
1.直接列舉法：適用于涉及的對象比較單一且出現(xiàn)的等可能結(jié)果較少的情況。
32
2.列表法：當一次設(shè)計兩個因素時，且可能出現(xiàn)的結(jié)果較多時，為不重復(fù)不遺漏地列出
所有可能的結(jié)果，通常用列表法。
3.畫樹狀圖法：當一次試驗涉及 3個因素或 3個以上的因素時，列表法就不方便了，為
不重不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，通常用畫樹狀圖法。
25.3 用頻率估計概率
（一）適用條件：當試驗的所有結(jié)果不是有限個，或者各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相
等時常用頻率估計概率。
（二）歸納：利用多次重復(fù)試驗，通過統(tǒng)計試驗結(jié)果估計概率的方法叫做用頻率估計概
率。當試驗的次數(shù) n足夠大，頻率 越接近真實值。
（三）注意：概率是針對大量重復(fù)試驗而言的，大量重復(fù)試驗反應(yīng)的規(guī)律并非在每一次
試驗中都發(fā)生。
人教版九年級下
第二十六章 反比例函數(shù)
（一）反比例函數(shù)（探究過程）
k
形如 y＝ x （k 為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。其
1
1 y k
他形式 ， y kx ， x
（二）反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（注意例子和探究）
1.作函數(shù)圖象的一般步驟，列表、描點、連線。
（1）自變量不能取 0，應(yīng)多取一些互為相反數(shù)的數(shù)，這樣計算比較簡單。
（2）列表描點時要多取部分數(shù)值，多描部分點，以便于連線和表達圖象的趨勢.
（3）連線時不能連成折線。
（4）曲線它不能與 x軸 y 軸相交。
（5）所連曲線沒有端點。
4 4
y y
2. 比較函數(shù) x 和 x 圖象，它們有什么相同點和不同點？
相同點:
形狀：圖像分別都是由兩支曲線組成。
與坐標軸的關(guān)系：都不與坐標軸相交.
33
對稱：兩個函數(shù)圖像自身都是軸對稱圖形,它們各有兩條對稱軸；兩個函數(shù)圖像自身都
是中心對稱圖形,對稱中心是坐標原點.
不同點:
4 4
y y
位置： x 兩支曲線分別位于第一、三象限內(nèi)， x 兩支曲線分別位于第二、
四象限內(nèi)。
4 4
y y
圖象變化趨勢： x 每一支曲線 y都隨 x的增大而增大， x 每一支曲線 y都隨
x的增大而減小。
3.反比例函數(shù)的圖象：反比例函數(shù)的圖象屬于雙曲線。反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖
形又是中心對稱圖形。有兩條對稱軸：直線 y=x 和 y=-x。對稱中心是：原點。
4.反比例函數(shù)的性質(zhì)：
（1）當 k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內(nèi)
y值隨 x值的增大而減小；
（2） 當 k＜0 時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限
內(nèi) y值隨 x值的增大而增大。
5.與坐標軸的關(guān)系：當 x的絕對值無限增大或接近于零時，反比例函數(shù)圖像的兩個分支
都無限接近兩坐標軸，但永遠不能與兩軸相交
6.|k|的幾何意義：表示反比例函數(shù)圖像上的點向兩坐標軸所作的垂線段與兩坐標軸圍
成的矩形的面積。
（三）實際問題與反比例函數(shù)（了解）
1.體積與邊長問題
2.杠桿問題
古希臘科學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)的“杠桿定理”，其本質(zhì)體現(xiàn)的是力與力臂兩個量的反比例
關(guān)系。
第二十七章 相似
（一） 圖形的相似（注意概念的引入）
1.相似圖形：形狀相同的圖形叫做相似圖形。
2.相似多邊形：兩個變數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩
個多邊形叫做相似多邊形。
3.相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊的比相等。
3.相似比：相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比。
（二）相似三角形的判定（注意探究過程）
1. 用相似符號“∽”表示兩個三角形相似，書寫時應(yīng)把對應(yīng)頂點寫在對應(yīng)位置上。
2.相似三角形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。互為相似形
的三角形叫做相似三角形 。
3.相似比：如果兩個三角形相似，那么第一個三角形的一邊和第二個三角形的對應(yīng)邊的
比叫做第一個三角形和第二個三角形的相似比(或相似系數(shù))，這里，必須注意的是順序問題
和對應(yīng)問題。例如：△ABC∽△DEF，那么是△ABC 與△DEF的相似比，而是指△DEF與△ABC
34
的相似比，而這兩相似比互為倒數(shù)。由此可說明全等三角形是相似三角形當相似比等于 l
時約特殊情況。
4.平行線分線段成比例的基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比
例。結(jié)論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例。
5.判定相似三角形的定理：（所有判定定理重點看推導(dǎo)證明過程*****）
（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與
原三角形相似
（2）三邊成比例的兩個三角形相似；
（3）兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；
（4）兩角分別相等的兩個三角形相似。
（三）相似三角形的性質(zhì)（注意探究過程）
1.相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；
2.相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比；
3.相似三角形面積的比等于相似比的平方。
（四）相似三角形應(yīng)用舉例
利用三角形的相似，可以解決一些不能直接測量的物體的長度的問題。
“相似三角形對應(yīng)邊的比相等” 四條對應(yīng)邊中若已知三條則可求第四條。
（五） 位似
位似圖形：對應(yīng)頂點的連線相交于一點的兩個相似圖形叫做位似圖形。這點叫做位似中
心。
位似變換中對應(yīng)點的坐標的變化規(guī)律：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為
位似中心，相似比為 k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標的比等于 k或-k。
第二十八章 銳角三角函數(shù)
（一）銳角三角函數(shù)（注意過程探究）
1.Rt△ABC中，
∠A的對邊
(1)∠A的對邊與斜邊的比值是∠A的正弦，記作 sinA＝
斜邊
∠A的鄰邊
(2)∠A的鄰邊與斜邊的比值是∠A的余弦，記作 cosA＝
斜邊
∠A的對邊
(3)∠A的對邊與鄰邊的比值是∠A的正切，記作 tanA＝
∠A的鄰邊
2.特殊值的三角函數(shù)：
a sina cosa tana
1 3 3
30°
2 2 3
2 2
45° 1
2 2
3 1
60° 3
2 2
（二）解直角三角形及其應(yīng)用
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解直角三角形：由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三
角形。
應(yīng)用舉例歸納：利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是：
1.將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題）。
2.根據(jù)問題中的條件，適當選用銳角三角函數(shù)等解直角三角形。
3.得到數(shù)學(xué)問題的答案。
4.得到實際問題的答案。
第二十九章 投影與視圖
（一）投影
1.投影：用光線照射物體，在某個平面上得到的影子叫做物體的投影。
2.平行投影：由平行光線形成的投影叫做平行投影。
3.中心投影：由同一點發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影。
4.正投影：垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影。
5.歸納：當物體的某個面平行于投影面時，這個免得正投影與這個面的形狀、大小完全
相同。
（二）三視圖
1.視圖：從某一方向觀察一個物體時，所看到的平面圖形叫做物體的一個視圖。
2.三視圖：對一個物體在三個投影面內(nèi)進行正投影，在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體
的視圖叫做主視圖；在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖叫做俯視圖；在側(cè)面內(nèi)得到
的由左向右觀察物體的視圖叫做左視圖。
3.三視圖特點：主視圖與俯視圖的長對正；主視圖與左視圖的高平齊；左視圖與俯視圖
的寬相等。
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