資源簡介

八年級數學下知識點總結
函數及其相關概念
1、變量與常量
在某一變化過程中，可以取不同數值的量叫做變量，數值保持不變的量叫做常量。
一般地，在某一變化過程中有兩個變量 x與 y，如果對于 x的每一個值，y都有唯一確
定的值與它對應，那么就說 x是自變量，y是 x的函數。
2、函數解析式
用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式。
使函數有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。
3、函數的三種表示法及其優缺點
（1）解析法
兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，
這種表示法叫做解析法。
（2）列表法
把自變量 x 的一系列值和函數 y 的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫
做列表法。
（3）圖像法：用圖像表示函數關系的方法叫做圖像法。
4、由函數解析式畫其圖像的一般步驟
（1）列表：列表給出自變量與函數的一些對應值
（2）描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的點
（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。
正比例函數和一次函數
1、正比例函數和一次函數的概念
一般地，如果 y kx b（k，b是常數，k 0），那么 y叫做 x的一次函數。特別地，當一
次函數 y kx b中的 b為 0時，y kx（k為常數，k 0）這時，y叫做 x的正比例函數。
2、一次函數的圖像
所有一次函數的圖像都是一條直線。
3、一次函數、正比例函數圖像的主要特征：
一次函數 y kx b的圖像是經過點（0，b）的直線；正比例函數 y kx的圖像是經過原
點（0，0）的直線。（如下圖）
4. 正比例函數的性質
一般地，正比例函數 y kx有下列性質：
（1）當 k>0時，圖像經過第一、三象限，y隨 x的增大而增大；
（2）當 k<0時，圖像經過第二、四象限，y隨 x的增大而減小。
5、一次函數的性質
一般地，一次函數 y kx b有下列性質：
（1）當 k>0時，y隨 x的增大而增大
（2）當 k<0時，y隨 x的增大而減小
6、正比例函數和一次函數解析式的確定
確定一個正比例函數，就是要確定正比例函數定義式 y kx（k 0）中的常數 k。確定一個
一次函數，需要確定一次函數定義式 y kx b（k 0）中的常數 k和 b。解這類問題的一
般方法是待定系數法。
k的符號 b的符號 函數圖像 圖像特征
y
圖像經過一、二、三象限，y 隨 x的增大而
k>0 b>0 0 x
增大。
y
圖像經過一、三、四象限，y 隨 x的增大而
b<0 0 x
增大。
y
圖像經過一、二、四象限，y 隨 x的增
b>0
大而減小
0 x
K<0
y
圖像經過二、三、四象限，y 隨 x的增
b<0
大而減小。
0 x
注：當 b=0時，一次函數變為正比例函數，正比例函數是一次函數的特例。
四邊形
1．四邊形的內角和與外角和定理： A
D
（1）四邊形的內角和等于 360°；
（2）四邊形的外角和等于 360°. B C
A 4
D
3
2．多邊形的內角和與外角和定理： 1 2
B C
（1）n邊形的內角和等于(n-2)180°；
（2）任意多邊形的外角和等于 360°.
3．平行四邊形的性質：
（ 1）兩組對邊分別平行；
D C
（ 2）兩組對邊分別相等；
O
因為 ABCD 是平行四邊形 （ 3）兩組對角分別相等；
（ 4）對角線互相平分； A B
（ 5）鄰角互補 .
4.平行四邊形的判定：
（1）兩組對邊分別平行
D C
（2）兩組對邊分別相等
3 （）兩組對角分別相等 ABCD
O
是平行四邊形 .
（4）一組對邊平行且相等 A B
（5）對角線互相平分
5.矩形的性質： D C
（ 1）具有平行四邊形的所有通性 ; O
因為 ABCD 是矩形 （ 2）四個角都是直角; A B
（ 3）對角線相等 . D C
A B
6. 矩形的判定：
（1）平行四邊形 一個直角 D C

（2）三個角都是直角 四邊形 ABCD 是矩形.
O
（3）對角線相等的平行四邊形 A B
D C
A B
7．菱形的性質： D
因為 ABCD 是菱形
O
（ 1 A C）具有平行四邊形的所有通性；
（ 2）四個邊都相等；
（ 3）對角線垂直且平分對角 . B
8．菱形的判定：
D
（1）平行四邊形 一組鄰邊等
2 （ ）四個邊都相等 四邊形四邊形 ABCD 是菱形.
O
（3）對角線垂直的平行四邊形 A C
9．正方形的性質： B
因為 ABCD 是正方形
（ 1）具有平行四邊形的所有通性；
（ 2）四個邊都相等，四個角都是直角；
（ 3）對角線相等垂直且平分對角 .
D C D C
O
A B （1） A B （2）（3）
10．正方形的判定：
（1）平行四邊形 一組鄰邊等 一個直角

（2）菱形 一個直角 四邊形 ABCD 是正方形.
（3）矩形 一組鄰邊等
D C (3)∵ABCD 是矩形
又∵AD=AB
∴四邊形 ABCD 是正方形
A B
11．等腰梯形的性質：
（ 1）兩底平行，兩腰相等； A D

因為 ABCD 是等腰梯形 （ 2）同一底上的底角相等； O
（ 3）對角線相等 .
B C
12．等腰梯形的判定：
（1）梯形 兩腰相等
（2 ）梯形 底角相等 四邊形 ABCD 是等腰梯形
（3）梯形 對角線相等
A D (3)∵ABCD 是梯形且 AD∥BC
O
∵AC=BD
B C
∴ABCD 四邊形是等腰梯形
A
14．三角形中位線定理： D E
三角形的中位線平行第三邊，并且 B C
D C
等于它的一半.
E F
15．梯形中位線定理：
A B
梯形的中位線平行于兩底，并且等
于兩底和的一半.
一 基本概念：四邊形，四邊形的內角，四邊形的外角，多邊形，平行線間的距離，平行四
邊形，矩形，菱形，正方形，中心對稱，中心對稱圖形，梯形，等腰梯形，直角梯形，
三角形中位線，梯形中位線.
二 定理：中心對稱的有關定理
※1．關于中心對稱的兩個圖形是全等形.
※2．關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分.
※3．如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于
這一點對稱.
三 公式：
1
1．S 菱形 = ab=ch.（a、b 為菱形的對角線 ,c 為菱形的邊長 ，h為 c邊上的高）
2
2．S 平行四邊形 =ah. a 為平行四邊形的邊，h為 a上的高）
1
3．S 梯形 = （a+b）h=Lh.（a、b為梯形的底，h 為梯形的高,L 為梯形的中位線）
2
四 常識：
矩 正 菱
n (n 3) 形 方 形
※1．若 n 是多邊形的邊數，則對角線條數公式是： . 形
2
平行四邊形
2．規則圖形折疊一般“出一對全等，一對相似”.
3．如圖：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的從屬關系.
4．常見圖形中，僅是軸對稱圖形的有：角、等腰三角形、等邊三角形、正奇邊形、等腰梯
形 …… ；僅是中心對稱圖形的有：平行四邊形 …… ；是雙對稱圖形的有：線段、矩形、
菱形、正方形、正偶邊形、圓 …… .注意：線段有兩條對稱軸.
※5．梯形中常見的輔助線：
A D A D A D A D
中點 中點E
B E C B C B E F C B C F
E
A D A D A D A F D
E F
中點 中點
E
B C E B C B C B G C
※
平移與旋轉
旋轉
1.旋轉的定義：
在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉。
2.旋轉的性質：
旋轉后得到的圖形與原圖形之間有：對應點到旋轉中心的距離相等，旋轉角相等。
中心對稱
1.中心對稱的定義：
如果一個圖形繞某一點旋轉 180度后能與另一個圖形重合，那么這兩個圖形叫做中心對稱。
2.中心對稱圖形的定義：
如果一個圖形繞一點旋轉 180度后能與自身重合，這個圖形叫做中心對稱圖形。
3.中心對稱的性質：
在中心對稱的兩個圖形中，連結對稱點的線段都經過對稱中心，并且被對稱中心平分。
軸對稱
1.軸對稱的定義：
如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對
稱圖形，這條直線叫做對稱軸。
2.軸對稱圖形的性質：
①角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。
②線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。
③等腰三角形的“三線合一”。
3.軸對稱的性質：對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應線段/對應角相等。
圖形變換
圖形變換的定義：圖形的平移、旋轉、和軸對稱統稱為圖形變換。
一元二次方程
1、一元二次方程：
2
① 概念：只含有一個未知數，且可以化為 ax bx c 0（a ,b ,c 為常數，且 a 0）
的整式方程叫做一元二次方程。
ax 2 bx c 0 2是一元二次方程的一般形式。其中，ax 、bx、c分別叫做一元二次方程
的二次項、一次項、常數項； a、b分別叫做一元二次方程的二次項、一次項的系數。
（強調：項和系數要包括前面的符號）
構成一元二次方程的條件：（1）整式方程；（2）只含有一個未知數；（3）二次項系數不能為
0；（4）未知數的最高次數為 2.
② 注意事項：
（1）二次項系數 a 0是一般形式的重要組成部分。
（2）二次項、一次項和常數項都是在一般形式下定義的，判斷各項系數時，必須先將方程
方程化為一般形式。
（3）任何一個一元二次方程均可經過整理（去括號、移項、合并同類項）均可化為一般形
式。
2、一元二次方程的解法
⑴直接開平方法解一元二次方程：
x 2①如 m(m 0)的方程都可以用開平方的方法求出它的解，這種解法叫做直接開平方法
②利用直接開平方法所解的一元二次方程的結構特點：經過整理、變形后得到等號左邊是一
個完全平方式，右邊是一個非負數；
③理解直接開平方法的理論依據是平方根的定義。
⑵用配方解一元二次方程：
①把一個二次三項式組成完全平方式的變形過程，叫做配方，用配方法求一元二次方程的解
的方法叫做配方法。
②配方法解一元二次方程是以配方為手段，以直接開平方為基礎的一種解一元二次方程的基
本方法。
③用配方法解一元二次方程的步驟：
㈠二次項系數化為 1：方程兩邊都除以二次項系數；
㈡移項：方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數項；
㈢配方：方成左右兩邊同時加上一次項系數一半的平方，使方程左邊變成一個完全平方式，
右邊是一個常數；
㈣求解：如果右邊常數是非負數，就用直接開平方法解一元二次方程。
⑶用公式法解一元二次方程：
2
①方程 ax 2 bx c 0 (a 0) x b b 4ac 2的求根公式： (b 4ac 0)，利用
2a
求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。
②利用求根公式解一元二次方程的步驟：
2
㈠把方程整理為一般形式 ax bx c 0 (a 0)，確定 a,b,c的值；
2
㈡計算b 4ac的值；
b 2㈢當 4ac 0 2時，把 a,b和b 4ac的值代入求根公式計算，從而求出方程的解。
③求根公式專指一元二次方程的求根公式，只有確定方程是一元二次方程時，才可以使用
2
④公式法是解一元二次方程 ax bx c 0 (a 0)的一般解法
⑷用因式分解法解一元二次方程
①利用因式分解的方法求出一元二次方程的解，這種解方程的方法叫因式分解法
②因式分解法的理論依據：兩個因式的積等于 0，那么這兩個因式中至少有一個等于零，即
A B 0 A 0或 B 0。
③用因式分解法所解的一元二次方程的結構特點：等號一邊的代數式可以做因式分解，另一
邊為 0.
④利用因式分解法解一元二次方程的步驟：
㈠將方程的右邊化為一；
㈡將方程的左邊分解為兩個一次因式乘積的形式；
㈢令兩個因式分別為 0，得到兩個一元一次方程；
㈣分別解兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。
3、一元二次方程解法的順序：
先特殊，后一般，先考慮是否用直接開平方法和因式分解法解，不能用這兩種方法時，再用
公式法和配方法。當二次項系數為一，一次項系數為偶數時，用配方法方便。
4、根的判別式
b 2把 4ac 2叫做一元二次根的判別式，記作 △=b 4ac，ax 2 bx c 0 (a 0)，
若方程有兩個不相等的實數根 △＞0；
有兩個相等的實數根△=0
沒有實數根△＜0
有兩個實數根△ 0（此時兩根可能等，也可能不等）。
5、一元二次方程的應用
列方程解應用題，應透徹理解題意，尋找等量關系。
列方程時，要注意列出的方程必須滿足以下三個條件：
⑴方程左右兩邊表示同類量；
⑵方程左右兩邊的同類量的單位一樣；
⑶方程兩邊的數值相等。
※增長率問題公式
n
增長后的數=基數（1+增長率） （n 指增長的次數）
n
降低后的數=基數（1-增長率） （n 指降低的次數）
※長方體、正方體體積公式
V長方體 長 寬 高
V （邊長）3正方體
※ 根據題的實際意義對方程的根進行取舍。
方差與頻數分布
知識框架圖
數
據
的極差
波
動方差 用計算器計算
標準差 比較事物的有關性質
方 用樣本估計總體的有關特征
差
與 頻數
頻 數
數 據
分 的 頻率
布 分
布
頻數分布表
頻數分布圖
數據的波動
一、極差
1、一組數據中的最大值減去最小值所得的差，叫做這組數據的極差；
2、極差=數據中的最大值—數據中的最小值。
二、方差
1、在一組數據 x1 , x2, , x3 , , xn 中，各數據與他們的平均數 x 的差的平方的平均數，叫做這
組數據的方差，常用 s 2 2 1 2 2 2來表示，即： s [(x1 x) (x2 x) (xn x) ];n
2、方差的三種公式：
s 2 1 [(x x)2 (x x)2基本公式： 1 2 (xn x)
2 ];
n
2 1 2 2 2 2
化簡公式： s [(x1 x2 xn ) nx ]n
2 1 2 2 2 2
化簡公式的變形公式： s (x1 x2 x ) xn n
' ' ' ' 2
3、設化簡后的新數據組 x1 , x2 , xn 的方差為 s ,設 x1 , x2, , x3 , , xn 的方差為 s
2
（其中
' 2xi xi a, i 1,2, n,a為常數），則 s
' s 2 ；
4、方差的作用：用于表述一組數據波動的大小，方差越小，該數據波動越小，越穩定。
三、標準差
1、方差的算數平方根 叫做這組數據的標準差，即：
1 x1 x 2 x 22 x x x 2n ；n
2、標準差用于描述一組數據波動的大小；
3、標準差的單位與原數據的單位相同。
四、方差與標準差的關系
1、 s 2 ；
2
2、 與 s 的作用相同、單位不同。
五、頻數分布與頻數分布圖
1、數據的分組整理
組限、組距和組數：
把一套數據分成若干個小組，累計各小組的數據個數。期中每個分數段是一個“組
區間”，分數段兩端的數值是“組限”，分數段的最大值與最小值的差是“組距”，
分數段的個數是組數”.
2、頻數、頻率與頻數分布表、頻數分布圖
①每個小組的數據的個稱為這組數據的頻數；
②頻率：每個小組的頻數與數據總個數的比值稱為這組的頻率；
③頻率的計算公式：
每組的頻率=這組的頻數/數據的總個數
④各小組的頻數之和等于數據總數；各小組的頻數之和等于 1.

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