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等差數列與等比數列的判定與證明專題訓練
題型一 等差數列的判定與證明方法與技巧
方法 解讀 適合題型
定義法 對于數列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)為同一常數 {an}是等差數列 解答題
等差中項法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立 {an}是等差數列
通項公式法 an＝pn＋q(p，q為常數)對任意的正整數n都成立 {an}是等差數列 選擇、填空題
前n項和法 Sn＝An2＋Bn(A，B是常數)對任意的正整數n都成立 {an}是等差數列
1、已知數列有，是它的前項和，且．
（1）求證：數列為等差數列. （2）求的前項和.
【解析】（1）當時，
所以，，
兩式對應相減得，
所以
又n=2時，
所以，所以，
所以數列為等差數列.
（2）當為偶數時，
當為奇數時，
綜上：
2、已知數列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，數列{bn}滿足bn＝(n∈N*)．
(1)求證：數列{bn}是等差數列； (2)求數列{an}中的最大項和最小項，并說明理由．
【解析】(1)證明：因為an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝(n∈N*)，
所以bn＋1－bn＝－＝－＝－＝1.
又b1＝＝－.所以數列{bn}是以－為首項，1為公差的等差數列．
(2)由(1)知bn＝n－，則an＝1＋＝1＋.設f(x)＝1＋，
則f(x)在區間和上為減函數．
所以當n＝3時，an取得最小值－1，當n＝4時，an取得最大值3.
3、在正項數列中，已知且.
（1）證明：數列是等差數列； （2）設的前項和為，證明：.
【解析】（1）∵∴，
∴數列是公差為2的等差數列.
∵∴，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴數列是等差數列.
（2）由（1）可得∴，
∴，
∴
.
4、已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數．
(1)證明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}為等差數列？并說明理由．
【解析】(1)證明：由題設知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，
兩式相減得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
(2)由題設知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.
由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.
故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首項為1，公差為4的等差數列，a2n－1＝4n－3；
{a2n}是首項為3，公差為4的等差數列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，
因此存在λ＝4，使得數列{an}為等差數列．
5、設數列{an}的前n項和為Sn，且an＝－2n＋1，則數列的前11項和為
【答案】-66
【解析】∵an＝－2n＋1，∴數列{an}是以－1為首項，－2為公差的等差數列，
∴Sn＝＝－n2，∴＝＝－n，
∴數列是以－1為首項，－1為公差的等差數列，
∴數列的前11項和為11×(－1)＋×(－1)＝－66.
6、已知數列{an}滿足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)．
(1)求證：數列是等差數列，并求其通項公式； (2)設bn＝－15，求數列{|bn|}的前n項和Tn.
【解析】(1)證明：∵n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)，
∴nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，∴－＝2，
∴數列是等差數列，其公差為2，首項為2，∴＝2＋2(n－1)＝2n.
(2)由(1)知an＝2n2，∴bn＝－15＝2n－15，
則數列{bn}的前n項和Sn＝＝n2－14n.
令bn＝2n－15≤0，n∈N*，解得n≤7.
∴n≤7時，數列{|bn|}的前n項和Tn＝－b1－b2－…－bn＝－Sn＝－n2＋14n.
n≥8時，數列{|bn|}的前n項和Tn＝－b1－b2－…－b7＋b8＋…＋bn＝－2S7＋Sn
＝－2×(72－14×7)＋n2－14n＝n2－14n＋98.
∴Tn＝
7、已知Sn是等差數列{an}的前n項和，S2＝2，S3＝－6.
(1)求數列{an}的通項公式和前n項和Sn；
(2)是否存在正整數n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差數列？若存在，求出n；若不存在，請說明理由．
【解析】(1)設數列{an}的公差為d，則∴
∴an＝4－6(n－1)＝10－6n，Sn＝na1＋d＝7n－3n2.
(2)由(1)知Sn＋Sn＋3＝7n－3n2＋7(n＋3)－3(n＋3)2＝－6n2－4n－6，
2(Sn＋2＋2n)＝2(－3n2－5n＋2＋2n)＝－6n2－6n＋4，
若存在正整數n使得Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差數列，
則－6n2－4n－6＝－6n2－6n＋4，解得n＝5，
∴存在n＝5，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差數列．
8、已知數列{an}滿足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3； (2)證明數列是等差數列，并求{an}的通項公式．
【解析】(1)由已知，得a2－2a1＝4，則a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.
由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.
(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，得＝2，即－＝2，
所以數列是首項為＝1，公差d＝2的等差數列．
則＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.
9、已知數列滿足，且.
（1）證明數列是等差數列，并求數列的通項公式；
（2）若，求數列的前項和.
【解析】（1）因為，所以，
兩邊都加上1，得，
所以，即，
所以數列是以為公差的等差數列，且首項是，
所以，即.
（2）因為，所以數列的前項和，①
則，②
由①－②，得，
所以.
10、已知等差數列的前三項依次為a，4，3a，前n項和為Sn，且Sk＝110.
(1)求a及k的值； (2)已知數列{bn}滿足bn＝，證明數列{bn}是等差數列，并求其前n項和Tn.
【解析】(1)設該等差數列為{an}，則a1＝a，a2＝4，a3＝3a，
由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，
所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.
由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.
(2)由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，則bn＝＝n＋1，
故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，
即數列{bn}是首項為2，公差為1的等差數列，所以Tn＝＝.
11、已知數列{an}是等差數列，且a1，a2(a1(1)求數列{an}的前n項和Sn；
(2)在(1)中，設bn＝，求證：當c＝－時，數列{bn}是等差數列．
【解析】(1)∵a1，a2(a1∴a1＝1，a2＝5，∴等差數列{an}的公差為4，
∴Sn＝n·1＋·4＝2n2－n.
(2)證明：當c＝－時，bn＝＝＝2n，
∴bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2，b1＝2.
∴數列{bn}是以2為首項，2為公差的等差數列.
題型二 等比數列判定與證明方法
定義法 若＝q(q為非零常數，n∈N*)或＝q(q為非零常數且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數列
中項公式法 若數列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，則{an}是等比數列
通項公式法 若數列{an}的通項公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均是不為0的常數，n∈N*)，則{an}是等比數列
前n項和法 若數列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k為常數且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數列
1、已知數列滿足，，設．
【解析】（1）由條件可得．
將代入得，，而，所以，．
將代入得，，所以，．
從而，，；
（2）是首項為，公比為的等比數列．
由條件可得，即，又，
所以是首項為，公比為的等比數列；
由（2）可得，所以．
2、已知數列{an}的前n項和為Sn，數列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)設cn＝an－1，求證：{cn}是等比數列； (2)求數列{bn}的通項公式．
【解析】(1)證明：∵an＋Sn＝n，①；
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1，②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，即2an＋1＝an＋1，
∴2(an＋1－1)＝an－1，即2cn＋1＝cn.
由a1＋S1＝1得a1＝，∴c1＝a1－1＝－，從而cn≠0，∴＝.
∴數列{cn}是以－為首項，為公比的等比數列．
(2)由(1)知cn＝－×n－1＝－n，又cn＝an－1，∴an＝cn＋1＝1－n，
∴當n≥2時，bn＝an－an－1＝1－n－＝n.
又b1＝a1＝，適合上式，故bn＝n.
3、數列{an}滿足：an＋1＝λan－1(n∈N＋，λ∈R且λ≠0)，若數列{an－1}是等比數列，則λ的值等于
【解析】由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.
由于數列{an－1}是等比數列，所以＝1，得λ＝2.
4、已知數列{an}滿足a1＝1，a2＝4，an＋2＝4an＋1－4an.
(1)求證：數列{an＋1－2an}是等比數列； (2)求數列{an}的通項公式．
【解析】(1)證明：由an＋2＝4an＋1－4an
得an＋2－2an＋1＝2an＋1－4an＝2(an＋1－2an)＝22(an－2an－1)＝…＝2n(a2－2a1)≠0，
∴＝2，∴{an＋1－2an}是等比數列．
(2)由(1)可得an＋1－2an＝2n－1(a2－2a1)＝2n，∴－＝，
∴是首項為，公差為的等差數列，∴＝，an＝n·2n－1.
5、在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝an(n∈N＋)．
(1)證明：數列是等比數列，并求數列{an}的通項公式；
(2)設bn＝，若數列{bn}的前n項和是Tn，求證：Tn<2.
【解析】(1)由題設得＝·，又＝2，所以數列是首項為2，公比為的等比數列，
所以＝2×n－1＝22－n，an＝n·22－n＝.
(2)bn＝＝＝，
因為對任意n∈N＋，2n－1≥2n－1，所以bn≤.
所以Tn≤1＋＋＋＋…＋＝2<2.
6、在數列{an}中，a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.
(1)證明：數列{an＋1}是等比數列；(2)求數列{an}的前n項和Sn.
【解析】(1)證明：∵a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，
∴(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，即＝.
∵a1＝2，a2＝5，∴a1＋1＝3，a2＋1＝6，∴＝2，
∴數列{an＋1}是以3為首項，2為公比的等比數列．
(2)由(1)知，an＋1＝3·2n－1，∴an＝3·2n－1－1，∴Sn＝－n＝3·2n－n－3.
7、設為數列的前項和，已知，.
（1）證明為等比數列； （2）判斷，，是否成等差數列？并說明理由.
【解析】（1）證明：∵，，∴，
由題意得，，∴是首項為2，公比為2的等比數列.
（2）由（1），∴.∴，
∴，
∴，即，，成等差數列.
8、設數列{an}的各項均為正數，且a2＝4a1，an＋1＝a＋2an(n∈N*)．
(1)證明：數列{log3(1＋an)}為等比數列；
(2)設數列{log3(an＋1)}的前n項和為Tn，求使Tn>520成立時n的最小值．
【解析】(1)證明：由已知，得a2＝a＋2a1＝4a1，則a1(a1－2)＝0，
因為數列{an}的各項均為正數，所以a1＝2.
因為an＋1＋1＝(an＋1)2>0，所以log3(an＋1＋1)＝2log3(an＋1)．
又log3(a1＋1)＝log33＝1，所以數列{log3(1＋an)}是首項為1，公比為2的等比數列．
(2)由(1)可知，log3(1＋an)＝2n－1，所以Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1.
由Tn>520，得2n>521(n∈N*)，得n≥10.則使Tn>520成立時n的最小值為10.
9、已知數列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設bn＝.
(1)求b1，b2，b3； (2)判斷數列{bn}是否為等比數列，并說明理由； (3)求{an}的通項公式．
【解析】(1)由條件可得an＋1＝an.
將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12. 從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2)數列{bn}是首項為1，公比為2的等比數列．
理由如下：由條件可得＝，即bn＋1＝2bn，
又b1＝1，所以數列{bn}是首項為1，公比為2的等比數列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.

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