資源簡介

第一節 命題及其關系
考點匯集
1．命題的定義
一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題．命題的形式“若p，則q”。
2．四種命題的概念：
(1)對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么我們把這樣的兩個命題叫做互逆命題，其中的一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的逆命題．
(2)對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件的否定和結論的否定，我們把這樣的兩個命題叫做互否命題，把其中的一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的否命題．
(3)對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否定和條件的否定，我們把這樣的兩個命題叫做互為逆否命題，把其中的一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的逆否命題．
3．四種命題的結構：
原命題：“若p，則q”．
逆命題：“若q，則p”．
否命題：“若非p，則非q”．
逆否命題：“若非q，則非p”．
4．四種命題的相互關系
5．四種命題的真假性
(1)有且僅有下面四種情況：
原命題
逆命題
否命題
逆否命題
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
(2)四種命題的真假性之間的關系
①兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性．
②兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．
自主反饋
一、選擇題：
1．下列語句中命題的個數是( 　)
①－5∈Z；②π不是實數；③大邊所對的角大于小邊所對的角；④是無理數．
A.1 B.2 C.3 D.4
2．下列說法正確的是( )
A．命題“直角相等”的條件和結論分別是“直角”和“相等”
B．語句“最高氣溫30 ℃時我就開空調”不是命題
C．命題“對角線互相垂直的四邊形是菱形”是真命題
D．語句“當a＞4時，方程x2－4x＋a＝0有實根”是假命題
3．設l、m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列結論正確的是( 　)
A．若l⊥m，m?α，則l⊥α B．若l⊥α，l∥m，則m⊥α
C．若l∥α，m?α，則l∥m D．若l∥α，m∥α，則l∥m
4．下列語句中假命題的個數是( 　　)
①3是15的約數；②15能被5整除嗎？③{x|x是正方形}是{x|x是平行四邊形}的子集嗎？④3小于2；⑤矩形的對角線相等；⑥9的平方根是3或－3；⑦2不是質數；⑧2既是自然數，也是偶數．
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5．命題“若f(x)是奇函數，則f(－x)是奇函數”的否命題是( 　　)
A．若f(x)是偶函數，則f(－x)是偶函數
B．若f(x)不是奇函數，則f(－x)不是奇函數
C．若f(－x)是奇函數，則f(x)是奇函數
D．若f(－x)不是奇函數，則f(x)不是奇函數
6．已知原命題：“菱形的對角線互相垂直”，則它的逆命題、否命題、逆否命題的真假判斷正確的是(　 　)
A．逆命題、否命題、逆否命題都為真
B．逆命題為真，否命題、逆否命題為假
C．逆命題為假，否命題、逆否命題為真
D．逆命題、否命題為假，逆否命題為真
7．已知下列四個命題，其中是真命題的有(　 　)
①命題“若x＋y＝0，則x，y互為相反數”的逆命題；
②“相似三角形的周長相等”的否命題；
③命題“若m≤1，則x2－2x＋m＝0有實根”的逆否命題；
④“若A∪B＝B，則A?B”的逆否命題．
A．①②③ B．②③
C．①③ D．②④
8．若命題p的逆命題是q，命題p的逆否命題是r，則q是r的(　　　)
A．逆命題 B．否命題
C．逆否命題 D．以上都不正確
二、填空題：
9．命題“若x>y，則x3>y3－1”的否命題是________________________．
10．命題“末位數字是0的整數能被5整除”．條件p是____________________，結論q是________________，是________命題．(填“真”或“假”)
11．下列語句是命題的是_______．
①求證是無理數； ②x2＋4x＋4≥0；
③你是高一的學生嗎？ ④一個正數不是素數就是合數；
⑤若x∈R，則x2＋4x＋7>0.
12．給出下列命題：
①命題“若b2－4ac<0，則方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)無實根”的否命題；
②命題“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC為等邊三角形”的逆命題；
③命題“若a>b>0，則>>0”的逆否命題；
④“若m>1，則mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集為R”的逆命題．
其中真命題的序號為_______．
三、解答題：
13．把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷真假．
(1)偶數能被2整除．
(2)當m>時，mx2－x＋1＝0無實根．
14．把下列命題寫成“若p，則q”的形式，并寫出它們的逆命題、否命題與逆否命題．
(1)正數的平方根不等于0；
(2)當x＝2時，x2＋x－6＝0；
(3)對頂角相等．
15．已知命題p：lg(x2－2x－2)≥0；命題q：0思考探究
16．已知p：{x|x2－2x－80≤0}，q：{x|x2－2x＋1－m2≤0}(m>0)，如果“若p，則q”為真，且“若q，則p”為假，求實數m的取值范圍．
第一節 命題及其關系 答案
一、選擇題：
1．D　2．D　3．B 4．A 5．B　6．D　7．C 8．B
二、填空題：
9．若x≤y，則x3≤y3－1
10.一個整數的末位數字是0　這個整數能被5整除　真
11．②④⑤ 12．①②③
三、解答題：
13．解　(1)若一個數是偶數，則這個數能被2整除，真命題．
(2)若m>，則mx2－x＋1＝0無實數根，真命題．
14．解　(1)原命題：“若a是正數，則a的平方根不等于0”．
逆命題：“若a的平方根不等于0，則a是正數”．
否命題：“若a不是正數，則a的平方根等于0”．
逆否命題：“若a的平方根等于0，則a不是正數”．
(2)原命題：“若x＝2，則x2＋x－6＝0”．
逆命題：“若x2＋x－6＝0，則x＝2”．
否命題：“若x≠2，則x2＋x－6≠0”．
逆否命題：“若x2＋x－6≠0，則x≠2”．
(3)原命題：“若兩個角是對頂角，則它們相等”．
逆命題：“若兩個角相等，則它們是對頂角”．
否命題：“若兩個角不是對頂角，則它們不相等”．
逆否命題：“若兩個角不相等，則它們不是對頂角”．
15. x≥4或x≤－1.
思考探究
16：　p：M＝{x|x2－2x－80≤0}＝{x|－8≤x≤10}，
q：N＝{x|x2－2x＋1－m2≤0}＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
∵“若p，則q”為真，且“若q，則p”為假，∴M?N，
∴或?或?m>9
即所求m的取值范圍是{m|m>9}．
第三節 簡單的邏輯聯結詞
考點匯集
1．用邏輯聯結詞構成新命題
(1)用聯結詞“且”把命題p和命題q聯結起來，就得到一個新命題，記作p∧q，讀作“p且q”．
(2)用聯結詞“或”把命題p和命題q聯結起來，就得到一個新命題，記作p∨q，讀作“p或q”．
(3)對一個命題p全盤否定，就得到一個新命題，記作綈p，讀作“非p”或“p的否定”．
2．含有邏輯聯結詞的命題的真假判斷
p
q
p∨q
p∧q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
自主反饋
一、選擇題：
1．已知p：2＋2＝5；q：3>2，則下列判斷錯誤的是(　　)
A．“p∨q”為真，“綈q”為假 B．“p∧q”為假，“綈p”為真
C．“p∧q”為假，“綈p”為假 D．“p∨q”為真，“綈p”為真
2．已知p：??{0}，q：{2}∈{1,2,3}．由它們構成的新命題“非p”，“綈q”，“p∧q”，“p∨q”中，真命題有(　　)
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．下列命題：
①2010年2月14日既是春節，又是情人節；
②10的倍數一定是5的倍數；
③梯形不是矩形．
其中使用邏輯聯結詞的命題有(　　)
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
4．設p、q是兩個命題，則新命題“綈(p∨q)為假，p∧q為假”的充要條件是(　　)
A．p、q中至少有一個為真 B．p、q中至少有一個為假
C．p、q中有且只有一個為假 D．p為真，q為假
5．命題p：在△ABC中，∠C>∠B是sin C>sin B的充分不必要條件；命題q：a>b是ac2>bc2的充分不必要條件．則(　　)
A．p假q真 B．p真q假
C．p∨q為假 D．p∧q為真
6．下列命題中既是p∧q形式的命題，又是真命題的是(　　)
A．10或15是5的倍數 B．方程x2－3x－4＝0的兩根是－4和1
C．方程x2＋1＝0沒有實數根 D．有兩個角為45°的三角形是等腰直角三角形
二、填空題：
7．“2≤3”中的邏輯聯結詞是________，它是________(填“真”，“假”)命題．
8．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命題，則x的范圍是____________．
9．已知a、b∈R，設p：|a|＋|b|>|a＋b|，q：函數y＝x2－x＋1在(0，＋∞)上是增函數，那么命題：p∨q、p∧q、非p中的真命題是________．
三、解答題：
10．寫出由下列各組命題構成的“p或q”、“p且q”、“綈p”形式的復合命題，并判斷真假．
(1)p：1是質數；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；
(2)p：平行四邊形的對角線相等；q：平行四邊形的對角線互相垂直；
(3)p：0∈?；q：{x|x2－3x－5<0}?R；
(4)p：5≤5；q：27不是質數．
11．已知p：方程x2＋mx＋1＝0有兩個不等的負根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0無實根，若p或q為真，p且q為假，求m的取值范圍．
思考探究
12．命題p：若a，b∈R，則|a|＋|b|>1是|a＋b|>1的充分而不必要條件；命題q：函數y＝ 的定義域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，則(　　)
A．“p或q”為假 B．“p且q”為真
C．p真q假 D．p假q真
13．設有兩個命題．命題p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?；命題q：函數f(x)＝(a＋1)x在定義域內是增函數．如果p∧q為假命題，p∨q為真命題，求a的取值范圍．
第三節 簡單的邏輯聯結詞
一、選擇題：
1．C　2．B　3．C　4．C　 5．C　6．D　
二、填空題：
7．或　真 8．[1,2) 9．綈p
三、解答題：
10．解　(1)p為假命題，q為真命題．
p或q： 1是質數或是方程x2＋2x－3＝0的根．真命題．
p且q： 1既是質數又是方程x2＋2x－3＝0的根．假命題．
綈p： 1不是質數．真命題．
(2)p為假命題，q為假命題．
p或q： 平行四邊形的對角線相等或互相垂直．假命題．
p且q： 平行四邊形的對角線相等且互相垂直．假命題．
綈p： 有些平行四邊形的對角線不相等．真命題．
(3) p為假命題，q為真命題．
∴p或q：0∈?或{x|x2－3x－5<0}?R，真命題，p且q：0∈?且{x|x2－3x－5<0}?R，假命題，綈p：0??，真命題．
(4) p為真命題，q為真命題，
∴p或q：5≤5或27不是質數，真命題，p且q：5≤5且27不是質數，真命題，
綈p：5>5，假命題．
11．解　若方程x2＋mx＋1＝0有兩個不等的負根，
則解得m>2，即p：m>2.
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0無實根，則Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0，
解得1因p或q為真，所以p、q至少有一個為真．
又p且q為假，所以p、q至少有一個為假．
因此，p、q兩命題應一真一假，即p為真，q為假，或p為假，q為真．
所以或
解得m≥3或1思考探究
12．D　[當a＝－2，b＝2時，從|a|＋|b|>1不能推出|a＋b|>1，所以p假，q顯然為真．]
13．解　對于p：因為不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?，所以Δ＝[－(a＋1)]2－4<0.
解不等式得：－3對于q：f(x)＝(a＋1)x在定義域內是增函數，則有a＋1>1，所以a>0.
又p∧q為假命題，p∨q為真命題，所以p、q必是一真一假．
當p真q假時有－3綜上所述，a的取值范圍是(－3,0]∪[1，＋∞)．
第二節 充分條件與必要條件
考點匯集
1．如果已知“若p，則q”為真，即p?q，那么我們說p是q的充分條件，q是p的必要條件．
2．如果既有p?q，又有q?p，就記作p?q．這時p是q的充分必要條件，簡稱充要條件，實際上p與q互為充要條件．如果pq且qp，則p是q的既不充分又不必要條件．
3．判斷p是q的什么條件，常用的方法是驗證由p能否推出q，由q能否推出p，對于否定性命題，注意利用等價命題來判斷．
4．證明充要條件時，既要證明充分性，又要證明必要性，即證明原命題和逆命題都成立，但要分清必要性、充分性是證明怎樣的一個式子成立．“A的充要條件為B”的命題的證明：A?B證明了必要性；B?A證明了充分性．“A是B的充要條件”的命題的證明：A?B證明了充分性；B?A證明了必要性．
自主反饋
一、選擇題：
1．“x>0”是“x≠0”的(　　)
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．設p：x<－1或x>1；q：x<－2或x>1，則非p是非q的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
3．設集合M＝{x|0A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
4．“k＝1”是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的(　　)
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
5．設l，m，n均為直線，其中m，n在平面α內，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負數根”的(　　)
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
二、填空題：
7．用符號“?”或“”填空.
(1)a>b________ac2>bc2； (2)ab≠0________a≠0.
8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一個充分而不必要條件是－29．函數y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上單調遞增的充要條件是__________．
三、解答題：
10．下列命題中，判斷條件p是條件q的什么條件：
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y.
(2)p：△ABC是直角三角形，
q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四邊形的對角線互相平分，
q：四邊形是矩形．
11.已知P＝{x|a－4思考探究
12．已知數列{an}的前n項和為Sn＝(n＋1)2＋c，探究{an}是等差數列的充要條件．
第二節 充分條件與必要條件 答案
一、選擇題：
1．A　2．A　3．B　4．A 5．A 6．B　
二、填空題：
7．(1) 　(2)? 8．a>2 9．b≥－2a
三、解答題：
10.(1) p是q的必要不充分條件．
(2) p是q的既不充分也不必要條件．
(3p是q的必要不充分條件．
11．解　由題意知，Q＝{x|1∴，解得－1≤a≤5.
∴實數a的取值范圍是[－1,5]．
思考探究
解　當{an}是等差數列時，
∵Sn＝(n＋1)2＋c，
∴當n≥2時，Sn－1＝n2＋c，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
∴an＋1－an＝2為常數．
又a1＝S1＝4＋c，
∴a2－a1＝5－(4＋c)＝1－c，
∵{an}是等差數列，∴a2－a1＝2，
∴1－c＝2.∴c＝－1，
反之，當c＝－1時，Sn＝n2＋2n，
可得an＝2n＋1 (n≥1)為等差數列，
∴{an}為等差數列的充要條件是c＝－1.
第四節 全稱量詞與存在量詞
考點匯集
(1)短語“對所有的”“對任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示，常見的全稱量詞還有“對一切”“對每一個”“任給”“所有的”等．
(2)含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題．
(3)全稱命題：“對M中任意一個x，有p(x)成立”，可用符號簡記為?x∈M，p(x)。
2．存在量詞和特稱命題
(1)短語“存在一個”“ 至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示，常見的存在量詞還有“有些”“有一個”“對某個”“有的”等．
(2)含有存在量詞的命題，叫做特稱命題．
(3)特稱命題：“存在M中的一個x0，有p(x0)成立”，可用符號簡記為?x0∈M，p(x0)．
3．含有一個量詞的命題的否定
(1)全稱命題p：?x∈M，p(x)，它的否定綈p：?x0∈M，綈p(x0)；
(2)特稱命題p：?x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：?x∈M，綈p(x).
4．命題的否定與否命題
命題的否定只否定結論，否命題既否定結論，又否定條件．
自主反饋
一、選擇題：
1．下列語句不是全稱命題的是(　　)
A．任何一個實數乘以零都等于零 B．自然數都是正整數
C．高二(一)班絕大多數同學是團員 D．每一個向量都有大小
2．下列命題是特稱命題的是(　　)
A．偶函數的圖像關于y軸對稱 B．正四棱柱都是平行六面體
C．不相交的兩條直線是平行直線 D．存在實數大于等于3
3．下列是全稱命題且是真命題的是(　　)
A．?x∈R，x2>0 B．?x∈Q，x2∈Q
C．?x0∈Z，x>1 D．?x，y∈R，x2＋y2>0
4．下列四個命題中，既是特稱命題又是真命題的是(　　)
A．斜三角形的內角是銳角或鈍角 B．至少有一個實數x0，使x>0
C．任一無理數的平方必是無理數 D．存在一個負數x0，使>2
5．已知命題p：?x∈R，sin x≤1，則(　　)
A．綈p：?x0∈R，sin x0≥1 B．綈p：?x∈R，sin x≥1
C．綈p：?x0∈R，sin x0>1 D．綈p：?x∈R，sin x>1
6．“存在整數m0，n0，使得m＝n＋2 011”的否定是(　　)
A．任意整數m，n，使得m2＝n2＋2 011
B．存在整數m0，n0，使得m≠n＋2 011
C．任意整數m，n，使得m2≠n2＋2 011
D．以上都不對
二、填空題：
7．命題“有些負數滿足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“?”或“?”可表述為________________．
8．寫出命題：“對任意實數m，關于x的方程x2＋x＋m＝0有實根”的否定為：________________________________________________________________________.
9．下列四個命題：
①?x∈R，x2＋2x＋3>0；
②若命題“p∧q”為真命題，則命題p、q都是真命題；
③若p是綈q的充分而不必要條件，則綈p是q的必要而不充分條件．
其中真命題的序號為________．(將符合條件的命題序號全填上)
三、解答題：
10．指出下列命題中哪些是全稱命題，哪些是特稱命題，并判斷真假．
(1)若a>0，且a≠1，則對任意實數x，ax>0.
(2)對任意實數x1，x2，若x1(3)?T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.
(4)?x0∈R，使x＋1<0.
11．寫出下列命題的否定，并判斷其真假．
(1)有些質數是奇數；
(2)所有二次函數的圖像都開口向上；
(3)?x0∈Q，x＝5；
(4)不論m取何實數，方程x2＋2x－m＝0都有實數根．
思考探究
12．命題“對任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是____________________________．
13．給出兩個命題：
命題甲：關于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集為?，
命題乙：函數y＝(2a2－a)x為增函數．
分別求出符合下列條件的實數a的范圍．
(1)甲、乙至少有一個是真命題；
(2)甲、乙中有且只有一個是真命題．

第四節 全稱量詞與存在量詞 答案
一、選擇題：
1．C　2．D　3．B 4．B5．C　6．C　
二、填空題：
7．?x0<0，使(1＋x0)(1－9x0)>0
8．存在實數m，關于x的方程x2＋x＋m＝0沒有實根 9．①②③
三、解答題：
10．解(1)(2)是全稱命題，(3)(4)是特稱命題．
(1)真命題．(2)假命題．(3)真命題．(4)假命題．
11．解　(1)“有些質數是奇數”是特稱命題，其否定為“所有質數都不是奇數”，假命題．
(2)“所有二次函數的圖像都開口向上”是全稱命題，其否定為“有些二次函數的圖像不是開口向上”，真命題．
(3)“?x0∈Q，x＝5”是特稱命題，其否定為“?x∈Q，x2≠5”，真命題．
(4)“不論m取何實數，方程x2＋2x－m＝0都有實數根”是全稱命題，其否定為“存在實數m，使得方程x2＋2x－m＝0沒有實數根”，真命題．
思考探究
12．存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
13．解　甲命題為真時，Δ＝(a－1)2－4a2<0，即a>或a<－1.
乙命題為真時，2a2－a>1，即a>1或a<－.
(1)甲、乙至少有一個是真命題時，即上面兩個范圍取并集，
∴a的取值范圍是{a|a<－或a>}．
(2)甲、乙有且只有一個是真命題，有兩種情況：
甲真乙假時，∴甲、乙中有且只有一個真命題時a的取值范圍為{a|

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