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2021級高一第一學(xué)期期中考試
數(shù) 學(xué)
命題:
一.選擇題:共8小題,共分. 在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.設(shè)全集,, , 則圖中陰影部分
對應(yīng)的集合為（ ）
A. B. C. D.
2.命題“”的否定是（ ）
A. B. C. D.
3. “”是“一元二次方程有實(shí)數(shù)解”的（ ）
A.充分不必要條件 B.充分必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件
4.冪函數(shù)過點(diǎn)那么的圖象大致為 ( )
5.函數(shù)在其定義域內(nèi)是 ( )
A. 減函數(shù) B. 奇函數(shù) C. 偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù)
6.設(shè)，與是的子集，若，則稱為一個“理想配集”．規(guī)定
與是兩個不同的“理想配集”，那么符合此條件的“理想配集”的個數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
7.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（ ）
A. B. C. 和 D.
8.已知函數(shù), 實(shí)數(shù)滿足則的最大值為( )
A. B. C. D.
二.多選題:共4小題,共分. 在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.
9.中國天朝數(shù)學(xué)學(xué)者李善蘭在年翻譯《代數(shù)學(xué)》中首次將“function”譯做：“函數(shù)”，沿用至今，為什么
這么翻譯，書中解釋說“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，年美國人給出了我們課本中
所學(xué)的集合論的函數(shù)定義, 已知集合, , 給出下列四個對應(yīng)法則，
請由函數(shù)定義判斷，其中能構(gòu)成從到的函數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
10.下列函數(shù), 值域?yàn)榈氖? )
A. B. C. D.
11.已知是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時,,下列說法正確的是( )
A. B. 函數(shù)在定義域上為增函數(shù)
C. 不等式的解集為 D. 不等式在上恒成立
12.今有函數(shù)又,使對都有成立,則下列
選項(xiàng)正確的是( )
A.對任意都有 B.函數(shù)是偶函數(shù) (其中常數(shù))
C.實(shí)數(shù)的取值范圍是 D.實(shí)數(shù)的最小值是
三.填空題：共4小題,共分.
13.函數(shù)的定義域?yàn)開_____.
14.已知集合, 則的真子集有________個；若則________.
15.設(shè),則的值為 .
16.已知則的最小值是 .
四.解答題：共6小題,題分,其它每題,共分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明
過程或演算步驟.
17.若，其中是常數(shù)
1)求的值;.
2)方程的兩根異號, 求實(shí)數(shù)的取值范圍；
3)當(dāng)時, 求出不等式的解集.
18.已知函數(shù).試判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明.
19.已知函數(shù)對一切實(shí)數(shù)都有成立, 且
1)分別求和的值； 2)判斷并證明函數(shù)的奇偶性.
20.做一個體積為, 高為米的無上邊蓋的長方體紙盒, 底面造價每平方米元,四周每
平方米為元, 問長與寬取什么數(shù)值時用總造價最低, 最低是多少
21.設(shè)常數(shù)記函數(shù)的最小值為.
1)求函數(shù)的定義域. 設(shè),求的取值范圍;
2)由1)中題設(shè)的把表示為的函數(shù)并求
22.根據(jù)人教2019版必修一P87頁的13題介紹: 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形
的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).
題:設(shè)函數(shù),且, (其中是常數(shù)), 函數(shù).
1)求的值, 并證明是中心對稱函數(shù);
2)是否存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)的直線若能與函數(shù)圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖
形的面積總相等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.20211101數(shù)學(xué)期中考 參考答案 2021-10-31
選擇. D D A B C B CA 【BD】 【AC】 【ABC】 【AC】
填空. 13】 14】 , 15】 16】 6
17. 解:1) ----------- 2’
2)設(shè)的兩根為
∵兩根異號,∴ ---------- 4’ ∴ ---------- 6’
3) 當(dāng)時, ---------- 8’
∴所求不等式的解集是 ------------10’
18.1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，---------- 2’
以下證明：設(shè)，---------- 3’
∴
---------- 7’
∵， ∴，，，---------- 10
∴，----------11’
∴在區(qū)間上單調(diào)遞減. ---------- 12’
19.解:1)由, 令,得 ---------- 2’
再令 得 ---------- 4’
∵ ---------- 5’
2) 判斷函數(shù)是奇函數(shù)不是偶函數(shù)
∵定義域?yàn)? ---------- 6’
令得 ---------- 8’
---------- 10’
∴函數(shù)是奇函數(shù)不是偶函數(shù). ---------- 12’
20.解.設(shè)底面的長為,則寬為,長方體紙盒總造價為元， --------- 3’
則
( 注意:定義域與用不等式之前都沒說的要扣1分) -------- 6’
(元) -------- 9’
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立， --------- 10’
即當(dāng)長為米，寬為米時總造價最低為元. --------- 11’
答：當(dāng)長為米，寬為米時,總造價最低為元. --------- 12’
21．1）∵由，
∴函數(shù)有意義，則 即 --------- 3’
∴定義域?yàn)?br/>題設(shè) , --------- 4’
∵，且……① ∴的取值范圍是. --------- 6’
2）由①得：， --------- 7’
∴，. --------- 8’
由題意知即為函數(shù)，的最大值，
∵直線是拋物線的對稱軸，
函數(shù)，的圖象是開口向下的拋物線的一段，--------- 9’
∴可分以下幾種情況進(jìn)行討論：
當(dāng)即時, ．--------- 10’
當(dāng)即時, ．--------- 11’
綜上所述，有 --------- 12’
22.解:1) ∵函數(shù),且
∴ -------- 3’
依題假設(shè)存在點(diǎn)使函數(shù)為奇函數(shù),
則 對恒成立 -------- 4’
,對恒成立
-------- 8’
∴對于存在,使函數(shù)為奇函數(shù),
∴是為中心的中心對稱函數(shù). -------- 9’
2)設(shè), 可證
又,
的對稱中心中是 -------- 11’
依題意,使得過點(diǎn)的直線若能與函數(shù)圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖
形的面積總相等,則直線必過的對稱中心,
所以所求為 -------- 12’

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