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甘肅省張掖市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末檢測全市聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題
理科數(shù)學(xué)試卷
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)正確）
1．若集合，，且，則滿足條件的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
2．若是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．下列說法不正確的是（ ）
A．為不共線向量，若，則
B．
C．若，則與不一定共線
D．若為平面內(nèi)兩個(gè)不相等向量，則平面內(nèi)任意向量都可以表示為
4．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)是6，數(shù)據(jù)的平均數(shù)是20，則（ ）A．15.4 B．15 C．14.4 D．13
5．一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串，其中稱為第k位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?）.已知某種二元碼的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組：，其中運(yùn)算 定義為：．現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6.若雙曲線的離心率為，則兩條漸近線的方程為（ ）
A.B.C.D.
7．設(shè)，是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是 （ ）
A.若，，則B.若，，則
C.若，，則D.若，，則
8．已知函數(shù)且對任意的，都有，若函數(shù)，則（ ）
A． B． C．D．
9．在等差數(shù)列中，且，則的最大值等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
10．已知是方程的根，是方程的根，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．6 D．10
11．已知是拋物線的焦點(diǎn)，直線與該拋物線交于第一象限內(nèi)的兩點(diǎn)A，B，若，則的值是 ( )
A． B． C． D．
12．已知定義在上的函數(shù)和滿足，且，則下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
第ⅠⅠ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．等比數(shù)列的公比，已知，，則的前項(xiàng)和__________．
14．若命題“時(shí)，”是假命題，則的取值范圍__________．
15．如圖，在矩形中，，為中點(diǎn)，拋物線的一部分在矩形內(nèi)，點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，在矩形內(nèi)隨機(jī)地放一點(diǎn)，則此點(diǎn)落在陰影部分的概率為__________．
16．“層層疊”是一款經(jīng)典的木制益智積木玩具，它的設(shè)計(jì)理念來源于我國古代漢朝的黃腸題湊木模。玩法是先將木塊三根為一層，交錯(cuò)疊高成塔（或者其他疊法），然后輪流抽取任意一層的一根木塊，在抽取的過程中木塔倒塌則算輸。如圖，現(xiàn)用9根尺寸為的木條，疊成一個(gè)正方體，并編號1～9.小張抽出中間的5號木條后，正方體表面積由54變?yōu)?4.若小王又把8號木條抽走，現(xiàn)在幾何體的表面積為______.
三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟,共70分）
17．（12分）若函數(shù)的圖象與直線（m為常數(shù)）相切，并且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成等差數(shù)列，且公差為.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若，且a、b、c成等比數(shù)列，，求的面積.
18．（12分）某慈善機(jī)構(gòu)舉辦一次募捐演出，有一萬人參加，每人一張門票，每張100元. 在演出過程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng)．第一輪抽獎(jiǎng)從這一萬張票根中隨機(jī)抽取10張，其持有者獲得價(jià)值1000元的獎(jiǎng)品，并參加第二輪抽獎(jiǎng)活動(dòng)．第二輪抽獎(jiǎng)由第一輪獲獎(jiǎng)?wù)擢?dú)立操作按鈕，電腦隨機(jī)產(chǎn)生兩個(gè)數(shù)，（，），隨即按如右所示程序框圖運(yùn)行相應(yīng)程序．若電腦顯示“中獎(jiǎng)”，則抽獎(jiǎng)?wù)攉@得9000元獎(jiǎng)金；若電腦顯示“謝謝”，則不中獎(jiǎng)．
（Ⅰ）已知小曹在第一輪抽獎(jiǎng)中被抽中， 求小曹在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）若小葉參加了此次活動(dòng)，求小葉參加此次活動(dòng)收益的期望；
（Ⅲ）若此次募捐除獎(jiǎng)品和獎(jiǎng)金外，不計(jì)其它支出，該機(jī)構(gòu)想獲得96萬元的慈善款．問該慈善機(jī)構(gòu)此次募捐是否能達(dá)到預(yù)期目標(biāo)．
19．（12分）如圖，菱形與正的邊長均為，且平面平面，平面，且，
（1）求證：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
20.（12分）已知橢圓：（）的左右焦點(diǎn)分別為，，分別為左右頂點(diǎn)，直線：與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，是橢圓的上頂點(diǎn)，且的周長為。
⑴求橢圓的方程；
⑵設(shè)直線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上。
21．（12分）已知函數(shù)，
（1）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，對，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
（二）選做題：本題滿分10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑.
22．（10分）已知直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為：．
（1）求直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求直線被曲線C截得的弦長．
23．（10分）已知函數(shù).
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）記函數(shù)的最小值為，若均為正實(shí)數(shù)，且，求的最小值.甘肅省張掖市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末檢測全市聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題答案詳解及評分標(biāo)準(zhǔn)
數(shù)學(xué)(理)答案
一、選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分．）
序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D D C B A B C A B A D
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．14．15．16. 66
三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟,共70分。）
17．【解】（1），的圖象與直線相切，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成等差數(shù)列，且公差為.， ∴ ..........6分
（2）由（1）知 ∴，
∵∴ ∴ 又∵a、b、c成等比數(shù)列，，，∴ ..........12分
18．【解】
（Ⅰ）從1，2，3三個(gè)數(shù)字中有重復(fù)取2個(gè)數(shù)字，其基本事件有
共9個(gè)，
設(shè)“小曹在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)”為事件，
且事件所包含的基本事件有共2個(gè)，
∴. ..........4分
（Ⅱ）設(shè)小葉參加此次活動(dòng)的收益為，
的可能取值為
，，
．...........7分
∴的分布列為
900 9900
∴． ..........9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，購票者每人收益期望為.
∵有一萬人購票，除獎(jiǎng)金和獎(jiǎng)品外，不計(jì)其它支出，
∴該機(jī)構(gòu)此次收益期望為元=萬元，
∵，
∴該慈善機(jī)構(gòu)此次募捐能達(dá)到預(yù)期目標(biāo). ..........12分
19．【解】
（1）如圖，作于，連，
平面平面，，平面，
平面，且，
又平面，且，，且，
故四邊形是平行四邊形，， 平面，
平面，故平面. ..........5分
（2），菱形，易知，
以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.
則，
有，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，
，令，取，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，
，令，取，
則，
由題意知二面角是鈍二面角，故二面角的余弦值是. ..........12分
20.【解】⑴當(dāng)時(shí)，直線為，令，得。即橢圓的上頂點(diǎn)為，所以，又的周長為，即，又，解得，所以橢圓的方程為 ..........4分
⑵設(shè)，由，消去得，所以
， ..........6分
又，所以直線的方程為，
直線的方程為， ..........7分
聯(lián)立直線、的方程得
..........9分
由得代入上式，得
，
所以點(diǎn)在定直線上。 ..........12分
（其他解法酌情給分）
21．【解】（1）
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在恒成立，
即在恒成立，
當(dāng)時(shí)，上式成立，
當(dāng)，有，需，
而，，，，故
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是..............6分
（2）設(shè)，，則，
令，
，在單調(diào)遞增，也就是在單調(diào)遞增，
所以.
當(dāng)即時(shí)，，不符合；
當(dāng)即時(shí)，，符合
當(dāng)即時(shí)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，，使，有時(shí)，，在單調(diào)遞減，時(shí)，，在單調(diào)遞增，成立，故只需即可，有，得，符合
綜上得，..........12分
（二）選做題：本題滿分10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑.
22．解：（1）直線的普通方程為 ..........2分
由曲線
得化成直角坐標(biāo)方程為① ..........5分
（2）把直線參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程
（為參數(shù)） ②，把②代入①得：
整理，得
設(shè)其兩根為，則
從而弦長為 ..........10分
23．【解】
（Ⅰ）由題意， ，
所以等價(jià)于或或.
解得：或，所以不等式的解集為； ..........5分
（Ⅱ）由(1)可知,當(dāng)時(shí), 取得最小值,
所以，即，
由柯西不等式得，
整理得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 即時(shí)等號成立.
所以的最小值為. ..............10分

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