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高考題立體幾何
(2007年廣東理科)
6．三棱錐D—ABC的三個側面分別與底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，則二面角A—BC—D的大小為
A． 300 B． 450 C．600 D．900
11．一個正四棱錐的底面邊長為2，側棱長為，五個頂點都在同一個球面上，則此球的表面積為 9π .
17．（本小題滿分14分）
如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，

（I）求證：平面BCD；
（II）求異面直線AB與CD所成角的大小；
（III）求點E到平面ACD的距離。
答案 方法一：
（I）證明：連結OC


在中，由已知可得
而

即

平面
（II）解：取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知
直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角
在中，

是直角斜邊AC上的中線，

異面直線AB與CD所成角的大小為
（III）解：設點E到平面ACD的距離為

在中，

而

點E到平面ACD的距離為
(2008年廣東理科)
5．將正三棱柱截去三個角（如圖1所示分別是三邊的中點）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側視圖（或稱左視圖）為（ ）

8．在平行四邊形中，與交于點是線段的中點，的延長線與交于點．若，，則（ B ）
A． B． C． D．
20．（本小題滿分14分）
如圖5所示，四棱錐的底面是半徑為的圓的內(nèi)接四邊形，其中是圓的直徑，，，垂直底面，，分別是上的點，且，過點作的平行線交于．
（1）求與平面所成角的正弦值；
（2）證明：是直角三角形；
（3）當時，求的面積．
答案
（1）在中，
，
而PD垂直底面ABCD，
,
在中，,即為以為直角的直角三角形。
設點到面的距離為,
由有,
即 ，
;
(2),而,
即,，,是直角三角形；
（3）時,,
即,
的面積
(2009年廣東理科)
5. 給定下列四個命題：
①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；
②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；
③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；
④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．
其中，為真命題的是
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④
【解析】選D.
15．（幾何證明選講選做題）如圖4，點是圓上的點， 且， 則圓的面積等于 ．
【解析】解法一：連結、，則，∵，，∴，則；解法二：，則.
18．（本小題滿分14分）
如圖6，已知正方體的棱長為2，點是正方形的中心，點、分別是棱的中點．設點分別是點，在平面內(nèi)的正投影．
（1）求以為頂點，以四邊形在平面內(nèi)的正投影為底面邊界的棱錐的體積；
（2）證明：直線平面；
（3）求異面直線所成角的正弦值.
解：（1）依題作點、在平面內(nèi)的正投影、，則、分別為、的中點，連結、、、，則所求為四棱錐的體積，其底面面積為
，
又面，，∴.
（2）以為坐標原點，、、所在直線分別作軸，軸，軸，得、，又，，，則，，，
∴，，即，，
又，∴平面.
（3），，則，設異面直線所成角為，則.
(2010年廣東理科)
6．如圖1，為正三角形，，，
，則多面體的正視圖（也稱主視圖）是
14．（幾何證明選講選做題）如圖3，是半徑為的
圓的兩條弦，他們相交于AB的中點P，，
，則＝_________．
18．(本小題滿分14分)
如圖5，是半徑為的半圓，為直徑，點為的中點，點和點為線段的三等分點，平面外一點滿足，。
（1）證明：；
（2已知點為線段上的點，
，，求平面與平面所成二面角的正弦值。
（1）證明： 連結，因為是半徑為的半圓，為直徑，點為的中點，所以。
在中，。
在中，，為等腰三角形，且點是底邊的中點，故。
在中，，所以為，且
。
因為，，且，所以平面，
而平面，。
因為，，且，所以平面，
而平面，。
（2）設平面與平面RQD的交線為.
由，，知.
而平面，∴平面，
而平面平面= ，
∴.
由（1）知，平面，∴平面，
而平面，∴，，
∴是平面與平面所成二面角的平面角．
在中，，
，．
在中，由知，，
由余弦定理得，
由正弦定理得，，即，
。
故平面與平面所成二面角的正弦值為。
(2011年廣東理科)
７．如下圖，某幾何體的正視圖（主視圖）是平行四邊形，側視圖（左視圖）和俯視圖都是矩形，則幾何體的體積為

Ａ． Ｂ． 　　Ｃ． 　　Ｄ．
15．如圖，過圓外一點P分別作圓的切線和割線交圓于,且=7，是圓上一點使得=5，∠=∠, 則= 。（幾何證明選講選做題）
18．(本小題滿分13分)在椎體P-ABCD中，ABCD是邊長為1的棱形，且∠DAB=60，,PB=2, E,F分別是BC,PC的中點.
(1)證明：AD 平面DEF；
(2) 求二面角P-AD-B的余弦值。
解：(1) 取AD的中點G，又PA=PD，，
由題意知ΔABC是等邊三角形，，
又PG, BG是平面PGB的兩條相交直線，
，
，
，
(2) 由（1）知為二面角的平面角，
在中，；在中，；
在中，.
(2012年廣東理科)
6,某幾何體的三視圖如圖1所示，它的體積為
A．12π B.45π C.57π D.81π
15.（幾何證明選講選做題）如圖3，圓O的半徑為1，A、B、C是圓周上的三點，滿足∠ABC=30°，過點A做圓O的切線與OC的延長線交于點P，則PA=_____________。
18.（本小題滿分13分）
如圖5所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點 E在線段PC上，PC⊥平面BDE。
證明：BD⊥平面PAC；
若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；
(2012年北京理科)
7.某三梭錐的三視圖如圖所示，該三梭錐的表面積是（ ）
A. 28+6
B. 30+6
C. 56+ 12
D. 60+12
16. （本小題共14分）
如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如圖2.
求證：A1C⊥平面BCDE；
若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE所成角的大小；
線段BC上是否存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？
說明理由
(2012年山東理科)
14、如果正方體的棱長為，分別為線段上的點，則三棱錐的體積為 。
18、（本題滿分12分）
在如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，平面，。
求證：平面；
求二面角的余弦值。
(2012年湖北理科)
4.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為
A. B. C. D.
此幾何體為一個圓柱切去了一部分，此圓柱底面半徑為 1，高為 4，現(xiàn)在此幾何體上方補上一個和此幾何體完全一樣的幾何體 ，從而構成一個底面半徑為1，高為6的圓柱，這個圓柱的體積為，要求幾何體的體積為圓柱體積的一半，為，故選B
19.（本小題滿分12分）
如圖1，∠ACB=45°，BC=3，過動點A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點B，連接AB，沿AD將△ABD折起，使∠BDC=90°（如圖2所示），
（1）當BD的長為多少時，三棱錐A-BCD的體積最大；
（2）當三棱錐A-BCD的體積最大時，設點E，M分別為棱BC，AC的中點，試在棱CD上確定一點N，使得EN⊥BM，并求EN與平面BMN所成角的大小
(2012年全國理科)
（7）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的
是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（ ）

【解析】選
該幾何體是三棱錐，底面是俯視圖，高為
此幾何體的體積為
（19）（本小題滿分12分）
如圖，直三棱柱中，，
是棱的中點，
（1）證明：
（2）求二面角的大小。
【解析】（1）在中，
得：
同理：
得：面
（2）面
取的中點，過點作于點，連接
，面面面
得：點與點重合
且是二面角的平面角
設，則，
既二面角的大小為
(2012年上海理科)
5、一個高為2的圓柱，底面周長為，該圓柱的表面積為
19、（本題滿分12分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分
如圖，在三棱錐中，⊥底面，是的中點，已知∠＝，，，，求：
（1）三棱錐的體積
（2）異面直線與所成的角的大小（結果用反三角函數(shù)值表示）


(2012年浙江理科)
10．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝．將ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻著，在翻著過程中，
A．存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直
B．存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直
C．存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直
D．對任意位置，三直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直
【解析】最簡單的方法是取一長方形動手按照其要求進行翻著，觀察在翻著過程，即可知選項B是正確的．
【答案】B
【考點定位】考察空間圖形的形狀大小位置的變化規(guī)律，動手可以直觀的感受到其中的奧妙。
11．已知某三棱錐的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該三
棱錐的體積等于_____1______cm3．
【解析】觀察三視圖知該三棱錐的底面為一直角三角
形，右側面也是一直角三角形．故體積等于．
【答案】1
【考點定位】考察空間幾何的三視圖，及多面體體積的求法。
20．(本小題滿分15分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長為的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分別為PB，PD的中點．
(Ⅰ)證明：MN∥平面ABCD；
(Ⅱ) 過點A作AQ⊥PC，垂足為點Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．
【解析】本題主要考察線面平行的證明方法，建系求二面角等知識點。
(Ⅰ)如圖連接BD．
∵M，N分別為PB，PD的中點，
∴在PBD中，MN∥BD．
又MN平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD；
(Ⅱ)在菱形ABCD中，得，
AC=AB=BC=CD=DA
由因為PA面ABCD，所以
,,
所以PB=PC=PD.所以。而M、N分別是PB、PD的中點，所以
MQ=NQ，且AM=
取線段MN的中點E，連結AE、EQ，則，
所以為二面角的平面角。
由AB=，，故在△AMN中，AM=AN=3，MN=BD=3，得
在Rt△PAC中，，得AQ=,QC=2，PQ=4
在△PBC中，，得
在等腰△MQN中，MQ=NQ=，MN=3，得
在△AEQ中，，，，得
∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值為．
【答案】(Ⅰ)見解析；(Ⅱ) ．
【考點定位】考察平行關系的證明與二面角的求解，掌握定理，正確理解空間位置是關鍵。
(2012年重慶理科)
（9）設四面體的六條棱的長分別為1，1，1，1，和，且長為的棱與長為的棱異面，則的取值范圍是
（A） （B） （C） （D）
（本小題滿分12分（Ⅰ）小問4分（Ⅱ）小問8分）
如圖，在直三棱柱 中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點
（Ⅰ）求點C到平面 的距離;
（Ⅱ）若 求二面角 的平面角的余弦值。

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