資源簡介

“等差數列的前n項和”教學設計、反思與改進
北師大版高中數學新課程實驗教材必修5的1.2.2
?????在“說課”和“教學反思”活動環節都表明，授課教師急切追求創新，力爭“出彩”，并認為其教學設計創新性主要體現在“復習引入”和“引導猜想”兩個環節.????1.復習引入????（1）什么是等差數列？????（2）等差數列的通項公式？????（3）等差數列的性質？????教學預設：通過本環節，檢查和復習學生學習本節的知識基礎情況，因為等差數列前n項和公式的推導過程需要這3個知識點.????評注：課后訪談表明，授課教師認為絕大多數教師都會采用教材的處理方式，為了避免落入“俗套”，凸顯“亮點”，采取了“以舊引新”的導入方法.但教學效果表明，設計意圖落實并不理想，全體學生的“異口同聲”，沒有有效顯現學生對3個知識點的掌握情況（下面引導猜想環節中問題2教學受阻，說明絕大多數同學并沒有掌握（3））；平鋪直敘的問題“如何來求等差數列的前n項和呢”也沒有引起學生的學習興趣，激起學生的探究欲.????2.引導猜想????問題1　對于等差數列這種特殊數列，其前n項和有沒有一種簡單的表達方式呢？如果有，表達式的結構中，有可能存在哪些元素或項目呢？????????????????????（2）驗證：讓學生求三角形堆（如圖1）鉛筆的數量.首先讓學生觀察、思考.????????????????
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???? 基于“為教學設計創新”理念的反思與改進????馬克思主義哲學表明：人是在與客體相互作用過程中得到的自覺能動性和創造的特性.因此，學生的創新意識和創新能力應該是在與數學教師、數學知識相互作用的過程中形成和發展的.教師必須深入反思這種“為創新設計教學”現象，秉承“為教學設計創新”理念，寓“創新”于“數學教學”，從而通過“創新性教學設計”讓學生真正理解和掌握數學本質，感受數學文化，養成數學能力.????1.關于“為創新設計教學”現象的反思????數學教學過程是一個受多種因素影響的復雜系統.“為創新設計教學”現象出現的原因主要表現在“一個理念，三種行為”的偏離.“一個理念”的偏離是指數學創新性教學設計科學理念的偏離；“三種行為”的偏離是指創造性運用數學教材的偏離、科學表征數學知識的偏離和讀懂學生的偏離.具體表現為：????（1）忽視數學教材作用.????王光明教授等認為深入鉆研數學教材，是高效教學的前提.數學教材是數學專家、數學教育專家和一線數學教師組成的團隊根據數學課程標準、學生的年齡特征和認知水平、數學知識的特點和教學法的要求，為在校學生編寫的數學學習的專門用書.它是教材編寫團隊集體智慧的結晶，是教師備課、上課和評價的基本材料，是學校師生教與學的主要依據.忽視數學教材的作用，不但是浪費教材編寫專家智慧的結晶，還可能偏離國家的數學課程標準.????（2）淡化數學本質，注重教學形式.????陳重穆、宋乃慶教授認為數學教學必須要“淡化形式，注重實質”.“為創新設計教學”理念指導下的數學教學設計不但沒有遵循這一原則，反而“淡化數學本質，注重教學形式”，主要表現為不重視數學知識的科學表征，盲目追求探究、合作、交流和討論等外在的表現形式.這必然會導致數學學習表面“熱鬧”，而學生卻不能真正理解和掌握數學知識.案例中的課堂教學既沒有表面上的“熱鬧”，更談不上真正理解和掌握，更多的則是學生的“異議”和“茫然”.這些都是無效的數學活動.只有“探究數學本質”的有效的數學活動，才是落實“四個基礎”及培養創新精神、實踐能力的根本保證.????（3）以教師為中心，忽視學生學習心理.????“以教師為中心，忽視學生學習心理”主要表現為備課時的“先入為主”，上課時的“過度引導”和評價時的“記憶主導”.教師在備課時要通過數學教學任務的分析來確定教學目標、重難點和教學過程，其中教學任務的分析包括數學知識的分析、學生學習的分析和教師教學的分析等.但是，“為創新設計教學”的教師并沒有認真地從上述3個維度來設計教學，而是采取“先入為主”的策略.授課教師課后訪談表明，這些教師大都是從個人主觀，即“我認為……”角度，而不是從理論或實測角度來闡釋教學設計.上課時的“過度引導”主要表現為問題留白和等待時間少、無視與預設脫軌的“異議”和強制學生思維至教學預設等.評價時的“記憶主導”主要表現為問題的“簡單性”、學生回答反饋的“重結果性”、課后練習和作業的“重記憶性”.????2.基于“為教學設計創新”理念的改進????數學創新性教學設計，需要教師在準確把握教材，恰當運用教材的基礎上，根據現代數學教育教學理論和學生實際，精心地進行“創新點”的設計，營建和諧的教學環境，將“四基”和“創新設計”結合起來，從而讓學生積極參與到數學活動中，開發他們的創造潛能，培養他們的問題解決能力和創新能力[2].因此，數學創新性教學設計絕不是“天馬行空”似的教師的主觀臆斷.????“一個人的成長不在于經驗和知識，更重要的在于他是否有正確的觀念和思維方式”是哈佛大學的校訓.同理，數學創新性教學設計也源于教師的正確理念——為教學設計創新.“為教學設計創新”即指寓“創新點”于數學教學設計，為學生的數學學習服務.“為創新設計教學”理念則混淆了“目的”和“手段”，顛倒了“創新”和“教學”的本末位置.在“為教學設計創新”理念指導下，教師必須在“讀懂教材”基礎上，通過個性化地“讀懂數學”和“讀懂學生”，才能科學設計“創新點”，并將“四個基礎”與“創新點”有效結合起來.????（1）讀懂教材，創造性地運用教材.????讀懂教材是創造性運用教材的基礎.怎樣讀懂教材呢？王光明教授[7]和張永昌老師[8]分別從理論高度和教學經驗討論了“讀懂教材”的維度.從數學教學的本質出發，應該從4個維度來讀懂教材.????①讀數學“雙基”.????數學“雙基”教學理論認為，數學教學首先要打好“雙基”基樁，然后構建“雙基”模塊，并通過“雙基”平臺的建設求得數學上的發展[9].為了便于學生建構數學知識，教師要讀懂教材中的數學基礎知識和基本技能.首先，要吃準《高中數學課程標準（實驗）》（以下簡稱《標準》）的基本要求.其次，在弄清“雙基”基礎上，從整體上把握數學知識.數學教師要利用思維導圖分析本節數學基礎知識在本章、本模塊，乃至整個高中數學學科中的地位及作用，并掌握數學知識的基本結構，做到瞻前顧后、縱橫融合，而不是孤立地去教學某一部分知識.????《標準》對“數列”內容的處理方式為：將數列作為一種特殊的函數和反映自然規律的基本數學模型.讓學生將通過對日常生活中大量實際問題的分析，建立等差數列和等比數列模型，探索并掌握它們的一些基本數量關系，感受這兩種數列模型的廣泛應用，并利用它們解決一些實際問題.《標準》對“等差數列前n項和”的基本要求可以歸納為3點：探索并掌握等差數列的前n項和的公式；能在具體的問題情境中發現數列的等差關系，并能解決相應的問題；體會等差數列與函數之間的關系.結合教材分析，該節的“雙基”基樁為“等差數列前n項和公式”和“基本數、式計算技能”.數學教師要利用學生感興趣的蘊含數學目標的問題情境，基于等差數列相關概念和“通項公式”，引導學生主動探究和建構“等差數列前n項和公式”，進一步運用公式解決數學內部、相關學科或生活實際問題.本教學設計案例框架與之大體相符，差別在于“問題情境”和“學生探究方法與過程”的設計以及“掌握”教學目標的實現與否.????②讀數學方法.????數學思想方法是在數學知識發生過程中的提煉、抽象、概括和升華，是對數學規律更一般的認識，蘊藏在數學知識之中.它需要教師長期的、有意識的啟發誘導，讓學生自己不斷體會、挖掘、領悟和深化.????“等差數列前n項和”蘊涵的數學方法主要是“倒序相加法”.除此之外，還有“數形結合法”和函數思想方法等.這需要教師在個人理解和體悟的基礎上，將這些方法有機融入數學探究活動中，向學生有機、適時滲透.由此可見，“倒序相加法”應該首先融入問題情境中，讓學生體會和挖掘方法.其次，學生在運用“倒序相加法”建構“等差數列前n項和公式”活動中實現進一步的領悟和深化.本教學案例中，教師在“等差數列前n項和公式”證明環節中直接點出“倒序相加法”的做法明顯有違學生學習數學思想方法的內部心理機制.????③讀教育元素.????數學教學不僅僅是為了讓學生掌握數學基礎知識和思想方法，還要讓學生受到數學的教育.數學教材內容（正文、插圖、閱讀材料、邊注等）中反映的數學知識的求真、求善、求美以及理性，數學推理之邏輯嚴謹，數學思維體操之美妙，數學應用之魅力四射、數學家之孜孜追求和數學文化之整體意境等無不蘊含著豐富的教育元素.所有這些教育元素都需要數學教師要從哲學、史學、美學、文化學、思維學、社會學（社會價值）和德育（道德品質、理性精神等）等角度去尋求和體味.????從教材中，數學教師可以讀出以下教育元素.從哲學層面，“倒序相加法”不但很好地解決了“化多為少”的問題，還為“化無限為有限”的極限方法提供了啟示.另外，“數形結合法”可以從直觀上促進學生對抽象公式的理解.從史學層面，高斯算法及其相關事跡的介紹，不但可以初步顯現數學家的“火熱思考”，還可以激起學生研究數學的熱情.從美學層面，“等差數列前n項和”公式及圖形表征無不體現了對數學美的追求等.本教學設計案例及課堂教學過程，鮮見這些“教育元素”的影子.????④讀編寫意圖.????新課標教材在情境創設、知識呈現、內部聯系和信息技術使用方面都給教師和學生都留有廣闊的空間.這需要教師認真研讀教材，抓住每一個細節，深刻領會教材的編寫意圖.另外，教師還要結合個人專業素養和學生實際情況進行反思.以“問題情境”為例，教師可以通過以下問題來“讀編寫意圖”：首先回答“教材創設的情境是什么，目的如何”，接著追問“它是否體現了數學本質？本班學生是否熟悉和理解該情境？自己能否理解和把握該情境？”等問題.北師大版教材（必修5）有兩個問題情境：情境1（如下頁圖3），有200根相同的圓木料，要把它們堆放成正三角形垛，并使剩余的圓木料盡可能地少，那么將剩余多少根圓木料？通過情境1，學生很容易抽象出等差數列｛1，2，…，n，…｝的前n項和問題，即=1+2+3+…+n.為了便于學生初步感知和滲透“倒序相加法”，教材接著給出了情境2：10歲的高斯求數列｛1，2，…，n，…｝前100項和的巧妙算法.進而引出問題：“你能從這個問題的解決過程中悟出求一般等差數列前n項和的方法嗎？”這兩個問題情境不但緊密聯系，符合數學本質和教學目標，還能激發學生興趣，引起學生探究欲，并自然引出所講課題.學生訪談和教學反思均表明，班級學生和授課教師都能很好地理解和把握這兩個情境.????????同理，教師可以理解教材“教學過程”的編寫意圖.在高斯的巧妙算法基礎上，教材很自然地引導學生使用“倒序相加法”，并非常順利地推導出.然后，教材通過“邊注”的問題與思考（1）和（2），讓學生更為深入地認識和理解該公式.為了幫助學生直觀理解公式，教材不但采用圖4的圖形，還在“邊注”的“說明”中利用圖1和圖2所示的圖形.最后，教材對公式作推廣.在這里，教材還“回扣”了情境1：在“等差數列前n項和公式”基礎上，解決了情境1中的問題.????????依此類推，數學教師還可以對教材例習題的配置、知識內部聯系和信息技術運用等維度來領會和反思編寫意圖，并從整體上領會教材的編寫意圖.需要注意的是，由于專業素養的限制，不少數學教師可能一時很難對所有問題做出細致的回答，因此也可以在后面兩個環節之后，再給出答案.????通過“四讀”，可以實現“讀懂教材”的目的，從整體上把握數學教材.但是，這只是數學教學的基本要求.要實現創造性地使用教材，進行數學創新性教學設計，數學教師還必須在個人專業素養基礎上，繼續“讀懂數學”和“讀懂學生”.涂榮豹教授認為，有效的數學教學必須遵循“二重原理”：教與數學對應的原理和教與學對應的原理數學教材是數學發展規律和學生認知規律的和諧統一體.但是，這個“和諧統一體”是“一般規律”的結合，需要數學教師在“體悟”的基礎上，結合實際，進行改造和創新.所以，“讀懂數學”和“讀懂學生”不但是“讀懂教材”的繼續，更是實現“為教學設計創新”理念的必要條件.????（2）讀懂數學，科學表征數學知識.????“讀懂數學，科學表征數學知識”是基于數學教材和個人專業素養，是數學教師遵循“教與數學對應原理”的體現.M.Klein認為歷史順序通常是人類正確認識數學知識的順序，數學家所遇到的問題應該是學生認知的起源，數學家所經歷的困難，應該也是學生要經歷的困難[9].因此，數學教師必須從數學史的高度，去解讀數學知識，科學表征數學知識.一般而言，可以從兩個維度來表征數學知識.首先要弄清數學知識的“源”，即數學家是基于“什么背景和問題”提出該數學知識的；其次要理清數學知識的“流”，即數學家是如何建構該數學知識的以及它和其他數學知識的關系如何.????中國、巴比倫、古希臘、埃及和印度都曾經研究過數列（級數）.從古老《易經》中的“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”，到《周髀算經》中的“七衡圖”，到《九章算術》、《孫子算經》、《張丘建算經》……到朱世杰的“垛積術”，無不彰顯我國在數列（級數）領域做出的貢獻.數學史表明數列知識主要產生于人類生產、生活和天文等方面的需要，但等比數列遠比等差數列要出現得早.相關史料表明，最遲在公元5世紀，我國就已經建立了比較系統的等差數列理論.如《張丘建算經》中“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出.下四人后入得金三斤，持出.中間三人未到者，亦依等次更給.問各得金幾何，及未到三人復應得金幾何”的解答，就包含了等差數列的通項、公差和求和問題.在等差數列和等比數列等特殊數列研究基礎上，又推向了高階等差數列、斐波那契等其他數列和級數的研究.這說明“等差數列前n項和”的教學要依托具體問題情境，并要凸顯我國數學家的貢獻.但教材的處理只有“高斯的巧算”，并沒有提及我國數學家的貢獻，因此可以在使用教材“問題情境”的基礎上，在“例題配置”設計上創設“創新點”：將“今有女不善織，日減功遲.初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖.問織幾何”（《張丘建算經》）作為例題.另外，公元前4世紀，畢達哥拉斯直觀“形數”的研究啟示教師通過“構造圖形”讓學生直觀理解“抽象公式”的可行性.教材只給出了的直觀圖.在此亦可以創設“創新點”：讓學生構造的直觀表示圖.????案例中之所以會發生問題1的猜想2沒有出現的情況，主要原因之一是問題與猜想之間“跨度”太大，特別是“一定會作為整體出現”部分.為了縮小“跨度”，可以在“復習引入”環節加入《張丘建算經》中“織女”問題及解法作為鋪墊加以改進.????（3）讀懂學生，引導學生建構新知.????“讀懂學生，引導學生建構新知”是基于數學教材和個人專業素養，數學教師對“教與學對應原理”遵循的體現.學生是數學學習活動的主體.數學教學活動要符合學生的認知規律.由于當時數學家和學生在社會文化環境、年齡和技術方面的差異，數學知識的發展規律有時和學生的認知規律不符.因此，教師要結合學生的認知規律，對數學知識的發展規律進行改造，以引導學生順利建構新知.當然，這必須要以“讀懂學生”為前提.數學教師通過前測、訪談和作業分析等方法，可以獲取本班學生的學習基礎（知識、技能和方法）.在此基礎上，結合學生的認知特點和數學知識的科學表征，教師就可以確定教學難點和預設學生的學習錯誤.“問題串”不但是“創新點”的載體，也是引導學生積極建構新知的一種非常有效的手段.基于具有適宜“難度、跨度、梯度和密度”的“問題串”，教師就可以引導學生積極從事數學探究活動[1].這不但可以順利地建構新知，還可以讓學生在經歷和體驗中，獲取數學活動經驗.????本案例所在班級為學校中C類班級（由高到低依次為A、B、C類班級），學生的基礎應該為中下等水平.因此，高跨度的教學設計自然不會取得良好的教學效果.為了了解學生的學習基礎，結合改進后的教學預設，對班級學生做了訪談.訪談結果表明：學生的學習興趣和積極性不高，但大多數學生都熟悉“高斯的巧算”，且都想了解我國數學家在數列這一章所做出的貢獻.由此可見，基于教材，從“還原數學史”、“降低問題跨度”和“增加教育元素”等視角做出的系列改進不但有科學依據，而且符合學生實際.

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