資源簡介

基本不等式習專題之基本不等式做題技巧
【基本知識】
1.（1）若，則 (2)若，則（當且僅當時取“=”）
2. (1)若，則 (2)若，則（當且僅當時取“=”）
(3)若，則 (當且僅當時取“=”）
(4)當且僅當a = b = c時,“=”號成立；
,當且僅當a = b = c時,“=”號成立.
4.若，則（當且僅當時取“=”）
注：（1）當兩個正數的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．
（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”
(3) 熟悉一個重要的不等式鏈：。

【技巧講解】
技巧一：湊項（增減項）與湊系數（利用均值不等式做題時，條件不滿足時關鍵在于構造條件。通常要通過乘以或除以常數、拆因式、平方等方式進行構造）
1：已知，求函數的最大值。
2. 當時，求的最大值。
3：設，求函數的最大值。
4、求函數的最小值。
5 已知，且滿足，求的最大值.
6已知x，y為正實數，且x 2＋＝1，求x的最大值.
7 若且,求的最小值 .
技巧一答案：
1解：因，所以首先要“調整”符號，又不是常數，所以對要進行拆、湊項，
，
當且僅當，即時，上式等號成立，故當時，。
評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數，使其積為定值。

2解析：由知，，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個系數即可。
當，即x＝2時取等號 當x＝2時，的最大值為8。
評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值。
3、解：∵∴∴
當且僅當即時等號成立。
4解析：
，當且僅當即時，“=”號成立，故此函數最小值是。
評析：利用均值不等式求幾個正數和的最小值時，關鍵在于構造條件，使其積為常數。通常要通過添加常數、拆項（常常是拆底次的式子）等方式進行構造。
5、分析 , 是二項“積”的形式，但不知其“和”的形式是否定值， 而已知是與的和為定值，故應先配系數，即將變形為，再用均值不等式.
　　　
當且僅當，即時，等號成立. 所以的最大值是.
6分析：因條件和結論分別是二次和一次，故采用公式ab≤。
同時還應化簡中y2前面的系數為 ， x＝x ＝x·
下面將x，分別看成兩個因式：
x·≤＝＝ 即x＝·x ≤
　　7分析 初看，這是一個三元式的最值問題，無法利用+b來解決.換個思路，可考慮將重新組合，變成，而等于定值，于是就可以利用均值不等式了.
技巧二： 分離或裂項
求的值域。
2求函數的值域.
1解析一：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。
當,即時,（當且僅當x＝1時取“＝”號）。
2、解：可將上式轉化為
所以值域為：
技巧三：換元
1、求的值域。
2、求函數的最大值.
3、、已知正數x、y滿足，求的最小值。
4、已知x，y為正實數，且x 2＋＝1，求x的最大值.
參考答案：
　　1、解析：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。
當,即t=時,（當t=2即x＝1時取“＝”號）。
評注：分式函數求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用基本不等式來求最值。
2分析 可先令，進行換元，再使分子常數化，然后運用均值不等式來解決.
3、解法三：（三角換元法）
令則有
，易求得時“=”號成立，故最小值是18。
技巧四：消元（轉化為函數最值，此時要注意確定變量的范圍）
已知正數x、y滿足，求的最小值。
2、已知a，b為正實數，2b＋ab＋a＝30，求函數y＝的最小值.
3、設為正實數，，則的最小值是.
1解法：（消元法）
由得，由則。當且僅當即時“=”號成立，故此函數最小值是18。
法一：a＝， ab＝·b＝
　　　由a＞0得，0＜b＜15
　　　令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8
　　　∴ ab≤18 ∴ y≥ 當且僅當t＝4，即b＝3，a＝6時，等號成立。
3分析 本題也是三元式的最值問題.由題意得，則可對進行消元，用表示，即變為二元式，然后可利用均值不等式解決問題.
技巧五：整體代換(條件不等式)
1：已知，且，求的最小值。
2、已知正數x、y滿足，求的最小值。
1錯解：，且， 故 。
錯因：解法中兩次連用基本不等式，在等號成立條件是，在等號成立條件是即,取等號的條件的不一致，產生錯誤。因此，在利用基本不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法。
正解：，
當且僅當時，上式等號成立，又，可得時， 。
變式： （1）若且，求的最小值
(2)已知且，求的最小值
2、解法：（利用均值不等式）
,當且僅當即時“=”號成立，故此函數最小值是18。
技巧六：轉化為不等式
已知a，b為正實數，2b＋ab＋a＝30，求函數y＝的最小值.
2、已知正數滿足，試求、的范圍。
1解：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 　∴ 30－ab≥2
　　　令u＝　則u2＋2u－30≤0， －5≤u≤3
　　　∴≤3，ab≤18，∴y≥
點評：①本題考查不等式的應用、不等式的解法及運算能力；②如何由已知不等式出發求得的范圍，關鍵是尋找到之間的關系，由此想到不等式，這樣將已知條件轉換為含的不等式，進而解得的范圍.
1解法：
由，則，即解得，當且僅當即時取“=”號，故的取值范圍是。
又，當且僅當即時取“=”號，故的取值范圍是
技巧六：取平方
已知x，y為正實數，3x＋2y＝10，求函數W＝＋的最值.
2: 求函數的最大值。
解法一：若利用算術平均與平方平均之間的不等關系，≤，本題很簡單
　＋ ≤＝＝2
解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。
W＞0，W2＝3x＋2y＋2·＝10＋2·≤10＋()2·()2 ＝10＋(3x＋2y)＝20
　　∴ W≤＝2
解析：注意到與的和為定值。
又，所以
當且僅當=，即時取等號。 故。
評注：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用基本不等式創造了條件。
總之，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創造條件利用基本不等式。
注意：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應結合函數的單調性。
1：求函數的值域。
2、若x、y，求的最小值。
1解：令，則
因，但解得不在區間，故等號不成立，考慮單調性。
因為在區間單調遞增，所以在其子區間為單調遞增函數，故。
所以，所求函數的值域為。
2解法一：（單調性法）由函數圖象及性質知，當時，函數是減函數。
證明：
任取且，則
，
∵，∴，
則，即在上是減函數。
故當時，在上有最小值5。
解法二：（配方法）因，則有，易知當時， 且單調遞減，則在上也是減函數，即在上是減函數，當時，在上有最小值5。
解法三：（導數法）由得，當時，，則函數在上是減函數。故當時，在上有最小值5。
解法四：（拆分法），當且僅當時“=”號成立，故此函數最小值是5。
評析：求解此類問題，要注意靈活選取方法，特別是單調性法、導數法具有一般性，配方法及拆分法也是較為簡潔實用得方法。
練習：

2.若實數滿足，則的最小值是 .
分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而且定值，因此考慮利用均值定理求最小值，
解： 都是正數，≥
當時等號成立，由及得即當時，的最小值是6．
3若，求的最小值.并求x,y的值
求下列函數的最大值：
① ②
解析：
①，∴
，當且僅當即時，“=”號成立，故此函數最大值是1。②，則，欲求y的最大值，可先求y2的最大值。
,當且僅當，即時，不等式中的“=”號成立，故此函數最大值是。
4.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。
5.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。

展開更多......

收起↑