資源簡介

微專題16 利用導數研究函數的極值與最值
1．（2021·全國高考真題（理））設，若為函數的極大值點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若，則為單調函數，無極值點，不符合題意，故.
依題意，為函數的極大值點，
當時，由，，畫出的圖象如下圖所示：
由圖可知，，故.
當時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：
由圖可知，，故.
綜上所述，成立.
故選：D
【點睛】本小題主要考查三次函數的圖象與性質，利用數形結合的數學思想方法可以快速解答.
2．（2021·全國高考真題（理））設函數，已知是函數的極值點．
（1）求a；
（2）設函數．證明：．
【答案】1；證明見詳解
【解析】（1）由，，
又是函數的極值點，所以，解得；
（2）由（1）得，，且，
當 時，要證，， ，即證，化簡得；
同理，當時，要證，， ，即證，化簡得；
令，再令，則，，
令，，
當時，，單減，假設能取到，則，故；
當時，，單增，假設能取到，則，故；
綜上所述，在恒成立
【點睛】本題為難題，根據極值點處導數為0可求參數，第二問解法并不唯一，分類討論對函數進行等價轉化的過程，一定要注意轉化前后的等價性問題，構造函數和換元法也常常用于解決復雜函數的最值與恒成立問題.
1.由圖象判斷函數y＝f(x)的極值，要抓住兩點：(1)由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點，可得函數y＝f(x)的可能極值點；(2)由導函數y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負，從而可得函數y＝f(x)的單調性.兩者結合可得極值點。
2.已知函數極值，確定函數解析式中的參數時，要注意：(1)根據極值點的導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解；(2)因為導數值等于0不是此點為極值點的充要條件，所以用待定系數法求解后必須檢驗.
3.求函數f(x)在閉區間[a，b]內的最值的思路
(1)若所給的閉區間[a，b]不含有參數，則只需對函數f(x)求導，并求f′(x)＝0在區間[a，b]內的根，再計算使導數等于零的根的函數值，把該函數值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
(2)若所給的閉區間[a，b]含有參數，則需對函數f(x)求導，通過對參數分類討論，判斷函數的單調性，從而得到函數f(x)的最值．
1、函數的極值
(1)函數的極小值：
函數y＝f(x)在點x＝a的函數值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，則點a叫做函數y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y＝f(x)的極小值．
(2)函數的極大值：
函數y＝f(x)在點x＝b的函數值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，則點b叫做函數y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y＝f(x)的極大值．
極小值點、極大值點統稱為極值點，極大值和極小值統稱為極值．
2、函數的最值
(1)在閉區間[a，b]上連續的函數f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．
(2)若函數f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數的最小值，f(b)為函數的最大值；若函數f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數的最大值，f(b)為函數的最小值．
【知識拓展】常用結論：
（1）．若函數f(x)的圖象連續不斷，則f(x)在[a，b]上一定有最值．
（2）．若函數f(x)在[a，b]上是單調函數，則f(x)一定在區間端點處取得最值．
（3）．若函數f(x)在區間(a，b)內只有一個極值點，則相應的極值點一定是函數的最值點．
1．（2021·黑龍江大慶市·鐵人中學高三其他模擬（文））已知函數在處有極值10，則（ ）
A． B．0 C．或0 D．或6
2．（2021·全國高三其他模擬（理））函數的最小值為（ ）
A． B． C． D．0
3．（2021·全國高三其他模擬（理））已知函數在上恰有三個極值點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·江蘇高三其他模擬）已知若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
1．（2021·全國高三其他模擬）已知函數f（x）＝﹣ex，則下列說法正確的是（　　）
A．f（x）無極大值，也無極小值
B．f（x）有極大值，也有極小值
C．f（x）有極大值，無極小值
D．f（x）無極小值，有極大值
2．（2021·河北滄州市·高三三模）已知函數，則（ ）
A．的單調遞減區間為 B．的極小值點為1
C．的極大值為 D．的最小值為
3．（2021·河南高三其他模擬（文））函數在上的最小值為（ ）
A． B．-1 C．0 D．
4．（2021·四川涼山彝族自治州·高三三模（文））若是函數的極值點，則（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·哈爾濱市呼蘭區第一中學校高三其他模擬（文））設函數，若，則函數的各極大值之和為（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·四川石室中學高三一模（文））在中，，，分別為，，所對的邊，若函數有極值點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·合肥市第八中學高三其他模擬（文））已知函數（其中是自然對數的底數），若關于的方程恰有三個不等實根，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·全國高三其他模擬（理））函數（）在內不存在極值點，則a的取值范圍是_______________．
9．（2020·江蘇省濱海中學高三一模）已知函數，對任意的，使得，則___________.
10．（2021·浙江高三其他模擬）已知函數f(x)=，g(x)=，且滿足，則g(x)-f(x)的最大值為__________．
11．（2021·四川高三零模（文））已知函數，其中.若函數的圖象在點處的切線與直線平行.
（1）求的值；
（2）求函數的極值.
12．（2021·寧波中學高三其他模擬）定義域為D的函數，若對給定的實數y，函數有最大值，我們稱為的變換.
（1）設，，求此時的變換；
（2）求證：若，，則.
1．（2017·全國高考真題（理））若是函數的極值點，則的極小值為．
A． B． C． D．
2．（2016·四川高考真題（文））已知a為函數f（x）=x3–12x的極小值點，則a=
A．–4 B．–2 C．4 D．2
3．（2011·浙江高考真題（文））設函數，若為函數的一個極值點，則下列圖像不可能為的圖像是
A． B．
C． D．
4．（2011·湖南高考真題（理））設直線與函數的圖像分別交于點，則當達到最小時的值為
A．1 B． C． D．
5．（2009·遼寧高考真題（文））若函數在處取極值，則_______
6．（2021·全國高考真題）函數的最小值為______.
7．（2018·江蘇高考真題）若函數在內有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為__________．
8．（2018·全國高考真題（理））已知函數，則的最小值是_____________．
9．（2019·江蘇高考真題）設函數，為f（x）的導函數．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點均在集合中，求f（x）的極小值；
（3）若，且f（x）的極大值為M，求證：M≤．
10．（2020·北京高考真題）已知函數．
（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；
（Ⅱ）設曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．
參考答案
1．【答案】A
【解析】由函數有.
函數在處有極小值10.
所以，即
解得： 或
當時，
令得或，得
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.
顯然滿足函數在處有極小值10.
當時，
所以函數在上單調遞增，不滿足函數在處有極小值10.
所以
故選：A
【點睛】解題關鍵在于，根據函數的極小點和對應的極值求參數，注意這種試題根據條件需要借助函數單調性進行檢驗，是易錯題，屬于中檔題.
2．【答案】B
【解析】，
令，解得.
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
故的最小值為．
故選：B
3．【答案】A
【解析】設，，令，所以，
設，，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
所以，
且當時，，時，，
所以方程最多僅有兩個解，
又因為在上最多僅有一個極值點，
所以有兩個極值點，有一個極值點；
當方程有兩個解時，，所以，
當在有一個極值點時，，所以，
綜上可知，若要使在上恰有三個極值點，則，
故選：A.
4．【答案】A
【解析】令，則，，所以
令，則
當時，；當時，；
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
則
所以，則的最小值為
故選：A
1．【答案】C
【解析】因為，所以，
令，
，
因為，所以，即，故，
所以在上單調遞減，
又因為， ，
所以存在唯一的，使得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以f（x）有極大值，無極小值.
故選：C.
2．【答案】C
【解析】.令，則，
所以在上單調遞減.因為，
所以當時，；當時，.
所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為，
故的極大值點為1，的極大值為
故選：C
3．【答案】B
【解析】因為，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以.
故答案為：B.
4．【答案】C
【解析】因為函數，
所以，
因為是函數的極值點，
所以，即，
兩邊取以e為底的對數得： ，
即，
令 ，即 ，
因為，
所以 在上遞增，
所以，即，
故選：C
【點睛】本題關鍵是將兩邊取以e為底的對數變形為，構造函數，由其單調性而得解.
5．【答案】C
【解析】令，
當時，為增函數，
當時，為減函數
當（）時取極大值，
此時，
所以數列首項為，公比為共項的等比數列，
故和為，
故選：C
6．【答案】B
【解析】由，根據有極值點，
則有兩個不同的實數根.
所以，即
由余弦定理可得，由，所以，
由，則
所以的范圍是
故選：B
【點睛】本題考查導數與極值點的關系和余弦定理的應用、余弦的二倍角公式的應用，解答本題的關鍵是由條件得出有兩個不同的實數根，從而其，得到，由余弦定理得出的范圍，屬于中檔題.
7．【答案】A
【解析】由題意設，根據方程恰有三個不等實根，
即必有兩個不相等的實根，不妨設
，則，
作出的圖象，函數與三個不等實根，且，
那么，可得，，
所以，
構造新函數
當時，在單調遞減；
當時，在單調遞增；
∴當時，取得最小值為，即的最小值為；
故選：A
【點睛】本題考查復合函數與分段函數的應用，同時考查導數的綜合應用及最值問題，應用了數形結合的思想及轉化構造的方法，是難題.本題解題的關鍵在于設，進而，，再結合的圖像可得，，，將問題轉化為求函數的最值問題.
8．【答案】．
【解析】解：∵函數（）在內不存在極值點，
∴函數在內單調遞增或單調遞減，
∴或在內恒成立，
∵，
令，二次函數的對稱軸為，
∴，
，
當時，需滿足，即，
當時，需滿足，即，
綜上所述，a的取值范圍為．
故答案為：．
9．【答案】-3
【解析】由題意，令，易知是奇函數，，
1、當時，，即單調遞增，，，
∴，任意的，使得，
當時，，不合題意；
當時，，不合題意；
2、當時，有，
∴當，則上，即單調遞減，故，同1可知不合題意；
當，則、上，即單調遞增，上，即單調遞減，
∴①得，或②得，
∴，代入①得，故.
故答案為：
【點睛】構造奇函數并利用導數研究單調性，進而確定的范圍，結合分類討論及不等式恒成立，列不等式組求參數.
10．【答案】
【解析】令，
則，令
則，
易知單調遞減，則，
則必存在一點，使，即，
即在單調遞增，在單調遞減，
則函數在處取最大值，且
，
易知單調遞增，則，
則，在時，恒成立，即
故單調遞減，從而
故答案為：
11．【答案】（1）；（2）極大值，極小值.
【解析】（1）由已知，可得.
函數的圖象在點處的切線與直線平行，
，解得.
經驗證，符合題意.
（2）由（1）得，求導.
令，得或
當變化時，與的變化情況如下表：
單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單挑遞增
當時，取得極大值，且；
當時，取得極小值，且.
【點睛】本題主要考查了利用導數的幾何意義求曲線在某點處的切線方程，以及利用導數研究函數的單調性與極值，求切線常見考法：
(1)已知切點求斜率k，即求該點處的導數值：．
(2)已知斜率k，求切點，即解方程.
(3)若求過點的切線方程，可設切點為，由，求解即可．
12．【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】（1），，則
，
.
因為，所以時，單調遞增，
時，單調遞減，故此時有最大值：
.
（2）因為是的最大值，所以，由（1）得
，.
因為，，故可取，，及，得
，，
兩式相加移項得
.
【點睛】對于新定義的題目，關鍵在于將新定義對應與所學的數學知識進行對應.在本題中，關鍵點就是利用導數求最值.
1． 【答案】A
【解析】由題可得，
因為，所以，，故，
令，解得或，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以的極小值為，故選A．
【名師點睛】（1）可導函數y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f ′(x0)＝0，且在x0左側與右側f ′(x)的符號不同；
（2）若f(x)在(a，b)內有極值，那么f(x)在(a，b)內絕不是單調函數，即在某區間上單調增或減的函數沒有極值．
2．【答案】D
【解析】，令得或，易得在上單調遞減，在上單調遞增，故的極小值點為2，即，故選D.
【考點】函數的導數與極值點
【名師點睛】本題考查函數的極值點．在可導函數中，函數的極值點是方程的解，但是極大值點還是極小值點，需要通過這個點兩邊的導數的正負性來判斷，在附近，如果時，，時，則是極小值點，如果時，，時，，則是極大值點.
3．【答案】D
【解析】，令則
，因為為函數的一個極值點，所以是的一個根，即
于是，，
則故A、B可能；對于D，，，則，與圖矛盾，不可能，故選D
4．【答案】D
【解析】由題，不妨令，則，令解得，因時，，當時，，所以當時，達到最小．即．
5．【答案】3
【解析】=．因為f（x）在1處取極值，所以1是f′（x）=0的根，將x=1代入得a=3．故答案為3 .
考點：利用導數研究函數的極值．
6．【答案】1
【解析】由題設知：定義域為，
∴當時，，此時單調遞減；
當時，，有，此時單調遞減；
當時，，有，此時單調遞增；
又在各分段的界點處連續，
∴綜上有：時，單調遞減，時，單調遞增；
∴
故答案為：1.
7．【答案】.
【解析】分析：先結合三次函數圖象確定在上有且僅有一個零點的條件，求出參數a，再根據單調性確定函數最值，即得結果.
詳解：由得，因為函數在上有且僅有一個零點且，所以，因此從而函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，
點睛：對于函數零點個數問題，可利用函數的單調性、草圖確定其中參數取值條件．從圖象的最高點、最低點，分析函數的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性等．
8．【答案】
【解析】分析：首先對函數進行求導，化簡求得，從而確定出函數的單調區間，減區間為，增區間為，確定出函數的最小值點，從而求得代入求得函數的最小值.
詳解：，所以當時函數單調減，當時函數單調增，從而得到函數的減區間為，函數的增區間為，所以當時，函數取得最小值，此時，所以，故答案是.
點睛：該題考查的是有關應用導數研究函數的最小值問題，在求解的過程中，需要明確相關的函數的求導公式，需要明白導數的符號與函數的單調性的關系，確定出函數的單調增區間和單調減區間，進而求得函數的最小值點，從而求得相應的三角函數值，代入求得函數的最小值.
9．【答案】（1）；
（2）的極小值為
（3）見解析.
【解析】（1）因為，所以．
因為，所以，解得．
（2）因為，
所以，
從而．令，得或．
因為，都在集合中，且，
所以．
此時，．
令，得或．列表如下：
1
+ 0 – 0 +
極大值 極小值
所以的極小值為．
（3）因為，所以，
．
因為，所以，
則有2個不同的零點，設為．
由，得．
列表如下：
+ 0 – 0 +
極大值 極小值
所以的極大值．
解法一：
．因此．
解法二：
因為，所以．
當時，．
令，則．
令，得．列表如下：
+ 0 –
極大值
所以當時，取得極大值，且是最大值，故．
所以當時，，因此．
【點睛】本題主要考查利用導數研究函數的性質，考查綜合運用數學思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力．
10．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）因為，所以，
設切點為，則，即，所以切點為，
由點斜式可得切線方程為：，即.
（Ⅱ）顯然，
因為在點處的切線方程為：，
令，得，令，得，
所以，
不妨設時，結果一樣，
則，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上遞減，在上遞增，
所以時，取得極小值，
也是最小值為.
【點睛】本題考查了利用導數的幾何意義求切線方程，考查了利用導數求函數的最值，屬于中檔題.

展開更多......

收起↑