資源簡介

關鍵能力-批判性思維能力
專題綜述
批判性思維能力是指面對各種問題情境，運用已有知識經驗進行審慎思考、分析推理、評價重構等多種能力．在數學科中，發現和提出問題，通過部分已知信息對結論進行猜測，通過邏輯推理驗證猜想的探究過程就是批判思維的具體體現.在高考中對批判思維考查體現在對于推理和論證的確認、分析、評價、展示的全過程.
專題探究
探究1：多項選擇題
多項選擇題具有信息承載量大、解題思路廣、數學思想豐富、對學生進行多層次區分的特點，因而成為考查批判性思維的有效考題.多選題對能力的考查更加深入，要求學生具備完整、細致、全面的思維品質.
(2021新高考I卷T12)在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則（ ）
A. 當時，的周長為定值
B. 當時，三棱錐的體積為定值
C. 當時，有且僅有一個點，使得
D. 當時，有且僅有一個點，使得平面
【思維引導】
本題以正三棱柱為載體，題干條件以向量形式呈現，四個選項分別從四個不同角度，不同的設問方式明線考查了空間幾何中的主干知識，暗線考查了空間軌跡問題.
線段周長表達式判斷周長是否為定值；
線段將點的運動軌跡考慮到一個三角形內體積是否為定值；
取，中點，則線段建立合適的直角坐標系來求解點的個數或均滿足；
取，中點，則線段建立合適的直角坐標系來求解點的個數點與點重合．
【規范解析】
易知，點在矩形內部（含邊界）．
對于A，當時，，即此時點的軌跡為線段，
周長為，不是定值，故A錯誤；
對于B，當時，，
故此時點軌跡為線段，而，平面，
則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．
對于C，當時，，
取，中點分別為，，
則，所以點軌跡為線段，
不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，
，，，則，
，，所以或．
故均滿足，故C錯誤；
對于D，當時，，取，中點為．
，所以點軌跡為線段．設，
因為，所以，，
所以，此時與重合，故D正確．
故選：BD．
(2021河北月考)已知正數滿足，下列結論正確
A. B.
C. D.
探究2：代數推理題
在數學科高考中，通過對邏輯推理和理性思維的考查，衡量其批判性思維的發展水平．而對于理性思維的考查，突出體現在綜合分析問題的過程之中，通過復雜情境的設計增強題目綜合性，考量學生是否能夠根據已知信息，從合理的角度思考問題，用合理的方法解決問題．例如在函數與導數問題中通過對代數推理能力的考查來達到批判性思維考查的目的.
(2020全國III卷理科T21)設函數，曲線在點處的切線與軸垂直．
（1）求．
（2）若有一個絕對值不大于的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于．
【思維引導】
本題主要考查利用導數研究函數的零點，涉及到導數的幾何意義，反證法思想，體現了對批判性思維思維能力的考查要求.
(1)
(2)由（1）的單調性，
,推出與題設相反的結論原命題得證.
【規范解析】
(1)，由題意知：，解得；
(2)由（1）可得，，
令，得或；令，得，
所以在上單調遞減，在，上單調遞增，
且,,,,
若所有零點中存在一個絕對值大于的零點，則或，
即或.
當時,,,,，
又，
由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點，
即在上存在唯一一個零點，在上不存在零點，
此時不存在絕對值不大于的零點，與題設矛盾；
當時,，
又，
由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點，
即在上存在唯一一個零點，在上不存在零點，
此時不存在絕對值不大于的零點，與題設矛盾；
綜上，所有零點的絕對值都不大于.
(2021江蘇月考)已知函數
(1)若在上的最大值為，求的值；
(2)若為的零點，求證：.
專題升華
多選題從主干到選項都圍繞著較大的主題展開，考查在復雜題目中提取有效、有用、合理的信息，作為邏輯推理的合理論據，需要較強的批判性思維能力。
解決函數與導數問題通常運用分類討論思想、函數方程思想、轉化化歸思想，體會導數工具性價值；在解析幾何問題的解答中要體會代數方法解決幾何問題的特點，感受代數工具的價值.嘗試多角度解決問題，比較解法，選擇合理的途徑解決問題。
【答案詳解】
變式訓練1【答案】
【解析】令，可得
，，，
，故A正確；
，，所以，得，
又，所以，得，故B正確；
，
，當且僅當時等號成立，又，
所以故C不正確；
，
當且僅當時等號成立，又，故，故D正確；
故選：．
變式訓練2
【解答】(1)已知和在遞增，
故在單調遞增，故，解得：；
(2)證明：若為的零點，則，
又當時，,當時，,所以，
因為，等價于，
等價于，等價于，
而，
令，
所以，所以成立，
所以,原不等式得證.

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