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三角函數(shù)中常見的三種換元類型
在三角恒等變換中，我們常常把一個復(fù)雜的角或者三角函數(shù)式看成一個整體，這個方法又稱保角或保式變換，事實(shí)上若引進(jìn)新的變量，即利用換元法可以使計算簡單，下面通過具體例子總結(jié)一下三角函數(shù)中常見的換元類型.
一、角換元：
例1、已知，求的值.
分析：一般地，我們直接把湊為只含有的形式，但是并不引進(jìn)新的變量，事實(shí)上，若設(shè)，可以化“湊”為“算”，使解題思路變得更加簡單.
解：令，則，
于是原式
.
例2、已知，，
求的值.
解：令，則，又，
所以，而，所以，
于是原式
.
二、三角式換元：
例3、已知，
是否存在常數(shù)使得的值域?yàn)椋?br/>若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
分析：把看成一個整體，并設(shè)為一個新元，有利于書寫簡單，
有利于發(fā)現(xiàn)與之間的函數(shù)關(guān)系.
解：設(shè)，則，
又∴，
∴.令，
（1）當(dāng) 時，，不合題意.
（2）當(dāng)時，在是減函數(shù)，
∴ 且，即，
解得（舍去）.
當(dāng)時，在是增函數(shù)，
∴ 且，即，
解得，符合題意.
綜上，存在有理數(shù)滿足條件.
例4、求函數(shù)的值域.
分析：這是一個很典型的三角換元類型，若設(shè)，，那么是關(guān)于的一次式，而是關(guān)于的二次式，根據(jù)用“低次”表示“高次”的思想，可設(shè)為一個新元.
解：設(shè) ，兩邊平方得：，
，
又∴.
，
的對稱軸為，
因此其值域?yàn)?，即?br/>∴的值域?yàn)?
三、利用換元：
例5、已知橢圓，直線.求上一點(diǎn)到的最小距離.
分析：
一般地，我們利用平移與橢圓相切的辦法，
若注意到具有的形式，于是可以利用三角換元法.
解：，因此令，
于是上一點(diǎn)可以設(shè)為，到的距離
，其中，
所以

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