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退一步海闊天空
——用圓解決橢圓問題初探
1.研究的起因
1.1從方程上看：
焦點在x軸上的橢圓為，圓方程為，兩邊同除得，即可以把圓看成長軸和短軸相等的圓。
1.2從圖形上看：
把焦點在x上的橢圓縱向拉伸或橫向壓縮到長軸和短軸相等就變成了圓。
1.3從性質上看：
1.3.1圓中有直徑所對圓周角為直角，如圖1所示，AB為圓的直徑，C為圓上一點（不同于A、B），若和都存在，則有；而在橢圓（以焦點在x軸的為例）中，如圖2所示，AB為橢圓上關于中心對稱的兩個點，C為橢圓上一點（不同于A、B），若和都存在，則有。
1.3.2圓中的垂徑定理：如圖3所示，EF為圓的不過圓心的任意一條弦，D為EF中點，若和都存在，則有；而在橢圓中，如圖4所示，EF為橢圓的不過中心的任意一條弦，D為EF中點，若和都存在，則有.
1.4從運算量角度：
圓比橢圓有較好的對稱性，存在一些比較好的性質，計算量相對小一點。
2.實例分析（以2020年浙江高考21題解析幾何第2小問為例）
例（2020年浙江卷21（2））如圖5，已知橢圓，拋物線，點A是橢圓與拋物線的交點，過點A的直線l交橢圓于點B，交拋物線于點M（B，M不同于A）．若存在不過原點的直線l使M為線段AB的中點，求p的最大值．
原解：由題意可設直線，點．將直線的方程代入橢圓得，所以點的縱坐標．將直線的方程代入拋物線得，所以，解得，因此．由得，所以當，時，取到最大值．
另解：我們把橢圓縱向拉伸成圓，則橢圓變成了圓，相應地，拋物線變成了拋物線，那么原題變為：
如圖6，已知圓，拋物線，點A是圓與拋物線的交點，過點A的直線l交圓于點B，交拋物線于點M（B，M不同于A）．若存在不過原點的直線l使M為線段AB的中點，求p的最大值．
解：如圖7所示，由圓的性質可知OM⊥AB，故M在以OA為直徑的圓E上，
設A點坐標為(xA,yA)，則圓E的方程為x(x-xA)+y(y-yA)=0，
要存在不過原點的直線l使M為線段AB的中點，只需圓E與拋物線有異于O和A的交點，故聯立方程x(x-xA)+y(y-yA)=0與y2=4px，消去x，又由A在C2上可知yA2=4pxA，
消去xA得：y(y-yA)(y+yAy+16p2)=0，要存在不過原點的直線l使M為線段AB的中點，
只需方程存在異于0和yA的根，y+yAy+16p2=0有異于0和yA的解. 即yA2-64p2≥0。
又由得，解得：
3.后續研究方向
其實把橢圓進行拉伸或壓縮變成圓實際上是一種仿射變換，筆者只是針對2020年浙江高考的解析幾何進行了探究，那么對于橢圓中的哪些問題可以用這種仿射變換轉換成圓，而且在解題過程中存在優勢呢，還有待一步研究。

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