資源簡介

初中數學輔導講義
相交線
知識點解析
一．相交線
兩線四角 兩條直線相交，形成四個角
1.鄰補角
概念 兩個角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長線，則這兩個角互為鄰補角．例如：∠1和∠2 選擇
識別方法 ①具有一個公共的頂點；②有一條公共邊；③兩個角的另一邊互為反向延長線；
性質 鄰補角互補，例如：∠1+∠2=180°難點：已知條件沒有，是隱含條件，需要自己發現 角度計算證明
2.對頂角
概念 如果兩個角有公共頂點，并且它們的兩邊互為反向延長線，則這兩個角互為對頂角．例如：∠1和∠3 選擇
識別方法 ①有公共頂點；②角兩邊互為反向延長線．
性質 對頂角相等，例如：∠1=∠3．難點：已知條件沒有，是隱含條件，需要自己發現 角度計算證明
二．垂線
1.定義
垂直與垂線定義 當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是90°時，就說這兩條直線互相垂直，記作：AB⊥CD.其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點O叫做垂足． 角度計算證明面積相關題
推理過程寫作 ∵∠AOC=90°∴AB⊥CD(垂直的定義)
2.垂線的性質
垂線的畫法 一落，二移，三畫 畫圖題
垂線的性質1 在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 選擇填空
垂線的性質2 連接直線外一點與直線上各點的線段中，垂線段最短．簡稱：垂線段最短． 選擇填空簡答題
區分 線段最短：兩點一線段垂線段最短：一點一直線，還有垂線段
點到直線的距離 直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離. 選擇
三．三線八角
三線八角 直線AB、CD是被截線，直線EF是截線，這樣三條直線相交形成八個角．
同位角 兩個角都在被截線同側，并且在截線同側.例如和
內錯角 兩個角都在被截線之間，并且在截線兩側．例如和
同旁內角 兩個角都在被截線之間，并且在截線兩側．例如和
典型例題及重點題練習
類型一、鄰補角
例1.下列選項正確的有（ ）個
①鄰補角可以看成是平角被過它頂點的一條射線分成的兩個角
②鄰補角是互補的兩個角，互補的兩個角是鄰補角
③鄰補角是成對出現的，而且是互為鄰補角
A.0 B.1 C.2 D.3
【變式】下列選項中,兩個角是鄰補角的是（ ）
A. B. C. D.
例2.如圖,直線相交于點,若∠1等于40°,則∠2等于_____________
類型二、對頂角
例3.下列選項正確的有（ ）個
①如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角．
②如果兩個角有公共頂點且沒有公共邊，那么這兩個角是對頂角．
③兩條直線相交成四個角，其中不相鄰的兩個角叫對頂角．
④兩條直線相交，如果它們所成的鄰補角相等，那么一對對頂角就互補
A.0 B.1 C.2 D.3
【變式】如圖，∠1和∠2是對頂角的是（ ）．
A. B. C. D.
例4.如圖，三條直線相交于點0，則∠1＋∠2＋∠3的度數等于（ )
A.210° B.180° C.150° D.120°
【變式】1.如圖，直線a,b 相交于點0,使半圓形量角器的圓心與點0重合，發現表示60°的刻度與直線a重合，表示138°的刻度與直線b重合，則∠1的度數為（ )
A.60° B.78° C.102° D.138°
【變式】2.如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠BOD.若∠AOE=140°,則∠AOC=_____________
例5.觀察下列各圖，尋找對頂角（不含平角）
（1）如圖1，圖中共有________對對頂角；（2）如圖2，圖中共有________對對頂角；
（3）如圖3，圖中共有________對對頂角；
（4）研究（1）～（3）小題中直線條數與對頂角的對數之間的關系，猜測：若有n條直線相交于一點，則可形成_____________對對頂角；
（5）若有10條直線相交于一點，則可形成___________對對頂角.
類型三、垂線
例6.如圖，直線AB，CD相交于點O.下列條件中，不能說明AB⊥CD的是( )
A.∠AOD=90° B.∠AOC=∠BOC C.∠BOC+∠BOD=180° D.∠AOC+∠BOD=180°
【變式】如圖，直線AB、CD相交于點O，OE⊥AB，∠1＝55°，求∠EOD的度數.
解：∵AB⊥OE（ ）
∴∠EOB＝90°（ ）
∵∠BOD＝∠1＝55°（ ）
∴∠EOD=∠EOB+∠BOD =90°+55°=145°
例7.作圖：
（1）在圖1中過點P畫AB的垂線；
（2）在圖2中過點P分別畫OA，OB的垂線；
（3）在圖3中過點A畫BC的垂線．
例8.已知OA⊥OC,∠AOB:∠AOC=2:3,則∠BOC=___________
【變式】如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥CD于點O．
（1）若∠AOC＝36°,求∠BOE的度數；
（2）若∠BOD：∠BOC＝1:5，求∠AOE的度數；
（3）在（2）的條件下，請你過點0作直線MN⊥AB，并在直線MN上取一點F（點F與點0不重合），然后直接寫出∠EOF的度數.
例9.如圖，已知NO⊥，MO⊥，所以NO與MO重合，其理由是( )
A.兩點確定一條直線 B.在同一平面內，經過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
C.垂線段最短 D.在同一平面內，過一點只能作一條垂線
例10.如圖，想在河堤兩岸搭建一座橋，圖中搭建方式中，最短的是PB，理由________________
【變式】1如圖，點A在直線BC外，AC⊥BC，垂足為點C，AC＝3，點P是直線BC上的一個動點，則AP的長不可能是 ( ） A.2.5 B.3 C.4 D.5
【變式】2如圖，在三角形ABC中，∠BCA＝90°，BC＝3，AC＝4，AB＝5，點P是線段AB上的一動點，則線段CP的最小值是__________________
例11.如圖，河道的同側有M、N兩個村莊，計劃鋪設一條管道將河水引至M，N兩地，下面的四個方案中，管道長度最短的是( ）
【變式】“十三五”期間，國家啟動實施農村飲水安全鞏固提升工程，為脫貧攻堅和鄉村振興注入了源源動力.如圖，平原上有A，B，C，D四個村莊，為解決飲水問題，政府準備投資修建一個蓄水池.
（1）不考慮其他因素，請你畫圖確定蓄水池H點的位置，使它到四個村莊距離之和最小；
（2）政府計劃把河水引入蓄水池H中，怎樣開渠最短并說明根據.
例12.如圖所示，點到直線的距離是（ ）
A.線段的長度 B.線段的長度 C.線段的長度 D.線段的長度
【變式】如圖，AB⊥ON于點B，CD⊥OM于點D,AB與CD相交于點P，則下列說法錯誤的是( )
A.線段AB的長是點A到ON的距離 B.線段CD的長是點C到OM的距離
C.線段PD的長是點P到OM的距離 D.線段PB是點P到ON的距離
類型四、三線八角
例13.如圖，下列說法中不正確的是（ ）
A.∠1和∠3是同旁內角 B.∠2和∠3是內錯角 C.∠2和∠4是同位角 D.∠3和∠5是對頂角
【變式】下列四個圖形中,∠1和∠2不是同位角的是（ ）
A. B. C. D.
例14.如圖，直線CM，CD，ON，OB被直線AO所截，則下列結論正確的是( )
∠1和∠4是同旁內角 B．∠2和∠4是內錯角
C.∠ACD和∠AOB是同位角 D.∠1和∠3是同位角
例15.如圖所示,∠1,∠2,∠3,∠4,∠5各是哪兩條直線被哪條直線所截而成的 它們各是什么位置關系的角
例16.(1)如圖1，兩條水平的直線被一條直線所截，同位角有________對，內錯角有_________對，同旁內角有____________對；
（2）如圖2，三條水平的直線被一條直線所截，同位角有_________對，內錯角有_______對，同旁內角有__________對；
（3）根據以上探究的結果，n（n為大于1的整數）條水平的直線被一條直線所截，同位角有多少對？內錯角有多少對？同旁內角有多少對？（用含n的式子表示）

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