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專題復習八----解析幾何
§8.1 直線與方程
一、要點梳理
1．直線的傾斜角與斜率
(1)直線的傾斜角
①定義：當直線與軸相交時，我們取軸作為基準，軸________與直線________方向之間所成的角叫做直線的傾斜角．當直線與軸平行或重合時，規定它的傾斜角為________．
②傾斜角的范圍為__________．
(2)直線的斜率
①定義：一條直線的傾斜角的__________叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母表示，即＝________，傾斜角是90°的直線斜率不存在．
②過兩點的直線的斜率公式
經過兩點， 的直線的斜率公式為＝__________．
2．直線方程的五種形式
名稱
方程
適用范圍
點斜式
不含垂直于軸的直線
斜截式
不含垂直于軸的直線
兩點式
不含直線和直線
截距式
不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式
平面直角坐標系內的直線都適用
3．過點，的直線方程
(1)若，且時，直線垂直于軸，方程為____________；
(2)若，且時，直線垂直于軸，方程為____________；
(3)若，且時，直線即為軸，方程為____________；
(4)若，且時，直線即為軸，方程為____________．
4．線段的中點坐標公式
若兩點的坐標分別為 、，且線段的中點的坐標為，則，此公式為線段的中點坐標公式．
二、難點正本　疑點清源
1．直線的斜率與傾斜角的區別及聯系
在確定直線的斜率、傾斜角時，首先要注意斜率存在的條件，其次是傾斜角的范圍．每一條直線都有唯一的傾斜角，但并不是每一條直線都存在斜率．所以在研究直線的有關問題時，應考慮到斜率存在與不存在的情況，避免出現漏解的情形．同時，斜率又是由傾斜角唯一確定的．
2．直線方程的點斜式、兩點式、斜截式、截距式等都是直線方程的特殊形式，其中點斜式是最基本的，其他形式的方程皆可由它推導．直線方程的特殊形式都具有明顯的幾何意義，但又都有一些特定的限制條件，如點斜式方程的使用要求直線存在斜率；截距式方程的使用要求橫縱截距都存在且均不為零；兩點式方程的使用要求直線不與坐標軸垂直．因此應用時要注意它們各自適用的范圍，以避免漏解．
三、基礎自測
1．若直線斜率的絕對值等于1，則直線的傾斜角為____________．
2．過點M(－2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為________．
3．若點A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三點共線，則a的值為______．
4．過點M(3，－4)，且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程
為______________________．
5．已知直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是(　　)
A．1 B ．－1 C．－2或－1 D．－2或1
四、題型分類 深度剖析
題型一　直線的傾斜角與斜率
例1　已知直線l過點P(－1,2)，且與以A(－2，－3)，B(3，0)為端點的線
段相交，求直線l的斜率的取值范圍．
探究提高：(1)運用數形結合思想．當直線的傾斜角由銳角變到直角及由直角變到鈍角時，需根據正切函數y＝tan α的單調性求k的范圍，數形結合是解析幾何中的重要方法．解題時，借助圖形及圖形性質直觀判斷，明確解題思路，達到快捷解題的目的．(2)巧妙利用不等式所表示的平面區域的性質使問題得以解決．
變式訓練1.經過P(0，－1)作直線l，若直線l與連接A(1，－2)，B(2,1)的線段總有公共點，求直線l的傾斜角α與斜率k的范圍．
題型二　求直線的方程
例2　求適合下列條件的直線方程：
(1)經過點P(3,2)，且在兩坐標軸上的截距相等；
(2)過點A(－1，－3)，斜率是直線y＝3x的斜率的－；
(3)過點A(1，－1)與已知直線l1：2x＋y－6＝0相交于B點，且|AB|＝5．
探究提高：在求直線方程時，應先選擇適當的直線方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標軸垂直或經過原點的直線，故在解題時，若采用截距式，應注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點斜式，應先考慮斜率不存在的情況．
變式訓練2.求滿足下列條件的直線l的方程：
(1)過點A(0,2)，它的傾斜角的正弦值是；
(2)過點A(2,1)，它的傾斜角是直線l1：3x＋4y＋5＝0的傾斜角的一半；
(3)過點A(2,1)和直線x－2y－3＝0與2x－3y－2＝0的交點．
題型三　直線方程的綜合應用
例3　已知直線過點P(3,2)，且與軸、軸的正
半軸分別交于A、B兩點，如圖所示，求△ABO的
面積的最小值及此時直線的方程．
探究提高：利用直線方程解決問題，為簡化運算可靈
活選用直線方程的形式：一般地，已知一點通常選擇點斜式；已知斜率選擇斜截式或點斜式；已知截距選擇截距式．
變式訓練3.如圖，過點P(2,1)的直線交軸，
軸正半軸于A、B兩點，求使：
(1)△AOB面積最小時的方程；
(2)|PA|·|PB|最小時的方程．
五、解題思想方法示范（分類討論思想在求直線方程中的應用）
試題：(12分)在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝1，AB、AD邊分別在軸、y軸的正半軸上，A點與坐標原點重合．將矩形折疊，使A點落在線段DC上．若折痕所在直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程．
審題視角　(1)題目已告訴直線斜率為k，即斜率存在．(2)從題意上看，斜率k可以為0，也可以不為0，所以要分類討論．
規范解答
解:(1)當k＝0時，此時A點與D點重合，折痕所在的直線方程為y＝ [2分]
(2)當k≠0時，將矩形折疊后A點落在線段CD上的點為G(a,1)， [4分]所以A與G關于折痕所在的直線對稱，
有k AG· k＝－1，k＝－1?a＝－k． [6分]
故G點坐標為(－k,1)，從而折痕所在的直線與AG的交點坐標(線段AG的中點) ． [8分]折痕所在的直線方程為y－＝k，
即y＝k x＋＋． [10分]
∴k＝0時，y＝；k≠0時，y＝k x＋＋． [12分]
批閱筆記：(1)求直線方程時，要考慮對斜率是否存在、截距相等時是否為零以及相關位置關系進行分類討論；
(2)本題對斜率k為0和不為0進行分類討論．易錯點是忽略k＝0的情況．
六、思想方法 感悟提高
方法與技巧
1．要正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式：
，該公式與兩點順序無關，已知兩點坐標()時，根據該公
式可求出經過兩點的直線的斜率．當，且時，直線的斜率不存
在，此時直線的傾斜角為90°；
2．求斜率可用k＝tan (≠90°)，其中為傾斜角，由此可見傾斜角與
斜率相互聯系不可分割，牢記：“斜率變化分兩段，90°是分界，遇到斜率
要謹記，存在與否需討論”；
3．求直線方程中一種重要的方法就是先設直線方程，再求直線方程中的系
數，這種方法叫待定系數法．
失誤與防范
1．求直線方程時要注意判斷直線斜率是否存在；每條直線都有傾斜角，但
不一定每條直線都存在斜率．
2．根據斜率求傾斜角，一是要注意傾斜角的范圍；二是要考慮正切函數的單調性．
3．利用一般式方程Ax＋By＋C＝0求它的方向向量為(－B，A)不可記錯，但
同時注意方向向量是不唯一的． §8.1直線與方程
A組　專項基礎訓練
一、選擇題
1．已知直線l經過點P(－2,5)，且斜率為－，則直線l的方程為 (　　)
A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
2．直線的傾斜角的范圍是 ( )
A.  ∪  B. ∪
C. D.
3．若直線l：y＝k x－與直線2x＋3y－6＝0的交點位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是 (　　)
A. B. C. D.
二、填空題
4．已知A(3,0)，B(0,4)，直線AB上一動點P(x，y)，則x y的最大值是________．
5．一條直線經過點A(－2,2)，并且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為_________________ _____．
6．直線l與兩直線y＝1，x－y－7＝0分別交于P、Q兩點，線段PQ中點是(1，－1)，則l的斜率是_______________．
三、解答題
7．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2，0)．求：
(1)△ABC中平行于BC邊的中位線所在直線的一般式方程和截距式方程；
(2)BC邊的中線所在直線的一般式方程，并化為截距式方程．
8．已知直線l與兩坐標軸圍成的三角形的面積為3，分別求滿足下列條件的直線l的方程：(1)過定點A(－3,4)；(2)斜率為.
B組　專項能力提升
一、選擇題
1．直線2x－my＋1－3m＝0，當m變動時，所有直線都通過定點 (　　)
A. B.
C. D.
2．設直線l的方程為 (θ ∈R)，則直線l的傾斜角α的范圍是 (　　)
A．[0，π) B. C. D.∪
3．經過點P(1,4)的直線在兩坐標軸上的截距都是正的，且截距之和最小，則直線的方程為 (　　)
A．x＋2y－6＝0 B．2x＋y－6＝0
C．x－2y＋7＝0 D．x－2y－7＝0
二、填空題
4．若a b>0，且A(a,0)、B(0，b)、C(－2，－2)三點共線，則a b的最小值為________．
5．若關于x的方程|x－1|－k x＝0有且只有一個正實數根，則實數k的取值范圍
是____________．
三、解答題
6．已知兩點A(－1,2)，B(m,3)．
(1)求直線AB的方程；
(2)已知實數m∈，求直線AB的傾斜角α的取值范圍．
7．如圖，射線OA、OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，過點P(1,0)作直線AB分別交OA、OB于A、B兩點，當AB的中點C恰好落在直線上時，求直線AB的方程．
§8.1直線與方程 答案
要點梳理
1．(1)①正向　向上　0°　[0°，180°)
(2)①正切值　tan α　②
2．y－y0＝k(x－x0)　y＝kx＋b ＝　＋＝1 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
3．(1)x＝x1　(2)y＝y1　(3)x＝0　(4)y＝0
4.　
基礎自測
1．45°或135°　 2. 1　 3. 4 4． x＋y＋1＝0或4x＋3y＝0　5. D
題型分類·深度剖析
方法二　設直線l的斜率為k，則直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即k x－y＋k＋2＝0.
∵A、B兩點在直線的兩側或其中一點在直線l上，
∴(－2k＋3＋k＋2)(3k－0＋k＋2)≤0，
即(k－5)(4k＋2)≥0，∴k≥5或k≤－.
即直線l的斜率k的取值范圍是.
變式訓練1　解　如圖所示，
K PA==-1，K PB==1，
由圖可觀察出：直線l傾斜角α的范圍是[135°，180°)∪[0°，45°]；
直線l的斜率k的范圍是[-1,1]．
例2　解　(1)設直線l在x，y軸上的截距均為a，若a＝0，即l過點(0,0)和(3,2)，
∴l的方程為y＝x，即2x－3y＝0.
若a≠0，則設l的方程為＋＝1，
∵l過點(3,2)，∴＋＝1，∴a＝5，∴l的方程為x＋y－5＝0，
綜上可知，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)設所求直線的斜率為k，依題意
k＝－×3＝－.
又直線經過點A(－1，－3)，
因此所求直線方程為y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.
(3)過點A(1，－1)與y軸平行的直線為x＝1.
解方程組，求得B點坐標為(1,4)，此時|AB|＝5，
即x＝1為所求．
設過A(1，－1)且與y軸不平行的直線為y＋1＝k(x－1)，
解方程組，
得兩直線交點為.(k≠－2，否則與已知直線平行)．
則B點坐標為.
由已知2＋2＝52，解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
綜上可知，所求直線的方程為x＝1或3x＋4y＋1＝0.
變式訓練2　(1)3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0
(2)3x－y－5＝0　(3)5x－7y－3＝0
例3　解　設A(a,0)，B(0，b) (a>3，b>2)，則直線l的方程為＋＝1，
∵l過點P(3,2)，∴＋＝1，b＝，
從而S△ABO＝ a ·b＝a·＝，
故有S△ABO＝
＝(a－3)＋＋6≥2＋6＝12，當且僅當a－3＝，
即a＝6時，(S△ABO)min＝12，此時b＝＝4.
∴直線l的方程為＋＝1，即2x＋3y－12＝0.
變式訓練3　解　(1)設直線的方程為＋＝1 (a>2，b>1)，
由已知可得＋＝1.
∵2 ≤＋＝1，∴ab≥8.
∴S△AOB＝ab≥4.當且僅當＝＝，即a＝4，b＝2時，S△AOB取最小值4，
此時直線l的方程為＋＝1，即x＋2y－4＝0.
(2)由＋＝1，得a b－a－2b＝0，變形得(a－2)(b－1)＝2，
|PA|·|PB|＝·
＝
≥.
當且僅當a－2＝1，b－1＝2，
即a＝3，b＝3時，|PA|·|PB|取最小值4.
此時直線l的方程為x＋y－3＝0.
A組　專項基礎訓練
1．A　2 .B　3. B　4. 3 5．x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0　 6. －
7．解　(1)平行于BC邊的中位線就是AB、AC中點的連線. 因為線段AB、AC中點坐標為，，
所以這條直線的方程為＝，
整理得，6x－8y－13＝0，化為截距式方程為－＝1.
(2)因為BC邊上的中點為(2,3)，所以BC邊上的中線所在直線的方程為＝，
即7x－y－11＝0，化為截距式方程為－＝1.
8．解　(1)設直線l的方程是y＝k(x＋3)＋4，它在x軸，y軸上的截距分別是－－3,
3k＋4，由已知，得(3k＋4)＝±6，
解得k1＝－或k2＝－.
故直線l的方程為2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)設直線l在y軸上的截距為b，則直線l的方程是y＝x＋b，它在x軸上的截距是
－6b，由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直線l的方程為x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
B組　專項能力提升
1．D　 2. C　 3. B　 4. 16 5．k≥1或k＝0　
6．解　(1)當m＝－1時，直線AB的方程為x＝－1，
當m≠－1時，直線AB的方程為y－2＝(x＋1)．
(2)①當m＝－1時，α＝；
②當m≠－1時，m＋1∈∪(0，]，
∴k＝∈(－∞，－]∪，
∴α ∈∪.
綜合①②知，直線AB的傾斜角α∈.
8．解　由題意可得k OA＝tan 45°＝1，k OB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直線l OA：y＝x，l OB：y＝－x.
設A(m，m)，B(－n，n)，所以AB的中點C，
由點C在y＝x上，且A、P、B三點共線得
解得m＝，所以A(，)．
又P(1,0)，所以 k AB＝k AP＝＝，
所以 l AB：y＝(x－1)，
即直線AB的方程為(3＋)x－2y－3－＝0.
§8.2 兩條直線的位置關系
一、要點梳理
1．兩條直線平行與垂直的判定
(1)兩條直線平行
對于兩條不重合的直線l1、l2，其斜率分別為k1、k2，則有l1∥l2?____________．特別地，當直線l1、l2的斜率都不存在時，l1與l2________．
(2)兩條直線垂直
如果兩條直線l1，l2斜率存在，設為k1，k2，則l1⊥l2?____________，當一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時，兩直線________．
2．兩直線相交
交點：直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點的坐標與方程組的解一一對應．
相交?方程組有__________，交點坐標就是方程組的解；
平行?方程組________；
重合?方程組有______________．
3．三種距離公式
(1)點A(x1，y1)、B(x2，y2)間的距離：
|AB|＝ ．
(2)點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離：
d＝ ．
(3)兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0 (C1≠C2)間的距離為d＝______________．
二、難點正本　疑點清源
1．兩條直線平行、垂直的充要條件是有大前提的，就是兩條直線都有斜率．當直線無斜率時，要單獨考慮；
2．在判斷兩直線的位置關系時，也可利用直線方程的一般式，由系數間的關系直接做出結論：
設l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0．
(1)l1//l2? (2)l1與l2相交?A1B2≠A2B1．
(3)l1與l2重合? (4)l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0．
三、基礎自測
1．已知l1的傾斜角為45°，l2經過點P(－2，－1)，Q(3，m)，若l1⊥l2，則實數m＝________．
2．若三條直線y＝2x，x＋y＝3，m x＋2y＋5＝0相交于同一點，則m的值為________．
3．已知直線l1與l2：x＋y－1＝0平行，且l1與l2的距離是，則直線l1的方程為________________．
4．過點(1,0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是 ( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
5．若經過點(3，a)、(－2,0)的直線與經過點(3，－4)且斜率為的直線垂直，
則a的為 (　　)
A． B． C．10 D．10
四、題型分類 深度剖析
題型一　兩條直線的平行與垂直
例1　(1)已知兩直線l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，若l1∥l2
求實數m的值；
(2)已知兩直線l1：ax＋2y＋6＝0和l2：x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0．若l1⊥l2，求實數a的值．
探究提高:　(1)充分掌握兩直線平行與垂直的條件是解決本題的關鍵，對于斜率都存在且不重合的兩條直線l1和l2，l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1·k2＝－1．若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率是多少一定要特別注意．
(2)①若直線l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則
l1⊥l2?k1·k2＝－1．
②設l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0．則：l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0．
(3)注意轉化與化歸思想的應用．
變式訓練1 已知兩直線l1：m x＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0．試確定m、n的值，使
(1)l1與l2相交于點P(m，－1)； (2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且l1在y軸上的截距為－1．
題型二　兩條直線的交點問題
例2　求經過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點，且垂直于
直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程．
探究提高:　運用直線系方程，有時會給解題帶來方便，常見的直線系方程有：
(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是：
Ax＋By＋m＝0 (m ∈R且m ≠C)；
(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是:B x－Ay＋m＝0 (m ∈R)；
(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0 (λ ∈R)，但不包括l2．
變式訓練2 直線l被兩條直線l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的線段的中點為P(－1,2)，求直線l的方程．
題型三　距離公式的應用
例3　已知三條直線：l1：2x－y＋a＝0 (a>0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：
x＋y－1＝0．且l1與l2的距離是．
(1)求a的值；
(2)能否找到一點P，使P同時滿足下列三個條件：
①點P在第一象限； ②點P到l1的距離是點P到l2的距離的；
③點P到l1的距離與點P到l3的距離之比是∶．
若能，求點P的坐標；若不能，說明理由．
探究提高:　(1)在應用兩條直線間的距離公式時．要注意兩直線方程中x、y的系數必須相同．(2)第(2)問是開放探索性問題，要注意解決此類問題的一般策略．
變式訓練3 已知點P(2，－1)．
(1)求過P點且與原點距離為2的直線l的方程；
(2)求過P點且與原點距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？
(3)是否存在過P點且與原點距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請說明理由．
五、解題思想方法示范(對稱與變換的思想)
試題：(12分)光線沿直線l1：x－2y＋5＝0射入，遇直線l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光線所在的直線方程．
審題視角　(1)入射光線所在直線與反射光線所在直線關于l對稱．(2)對稱點的連線被對稱軸垂直平分．
規范解答
解:　方法一:　由得
∴反射點M的坐標為(-1,2)． [2分]
又取直線x－2y＋5＝0上一點P(－5，0)，設P關于直線l的對稱點
P′(x0，y0)，由PP′⊥ l可知， k PP′＝－＝． [4分]

而PP′的中點Q的坐標為，
Q點在l上，∴3·－2·＋7＝0． [6分]
由得 [8分]
根據直線的兩點式方程可得所求反射光線所在直線的方程為
29x－2y＋33＝0． [12分]
方法二:　設直線x－2y＋5＝0上任意一點P(x0，y0)關于直線l的對稱點為P′(x，y)，則＝－， [4分]
又PP′的中點Q在l上，
∴3×－2×＋7＝0， [6分]
由可得P點的坐標為
x0＝，y0＝， [10分]
代入方程x－2y＋5＝0中，化簡得29x－2y＋33＝0，
∴所求反射光線所在的直線方程為29x－2y＋33＝0． [12分]
批閱筆記:　(1)綜合利用物理學知識，利用對稱變換的思想方法求解是本題的關鍵．(2)構建方程解方程組是本題的又一重要方法．(3)坐標轉移法是對稱變換中常用的方法之一．(4)本題的易錯點，一是計算錯誤，二是不能用對稱的思想求解，亦即找不到解決問題的突破口．
六、思想方法 感悟提高
方法與技巧
1．兩直線的位置關系要考慮平行、垂直和重合．對于斜率都存在且不重合的兩條直線l1、l2，l1∥l2?k1＝k2；l1⊥l2?k1·k2＝－1．若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率是什么一定要特別注意．
2．對稱問題一般是將線與線的對稱轉化為點與點的對稱．利用坐標轉移法．
失誤與防范
1．在判斷兩條直線的位置關系時，首先應分析直線的斜率是否存在．兩條直線都有斜率，可根據判定定理判斷，若直線無斜率時，要單獨考慮．
2．在運用兩平行直線間的距離公式d＝時，一定要注意將兩方程中的x，y系數化為分別相等．
§8.2 兩條直線的位置關系
A組　專項基礎訓練
一、選擇題
1．已知直線l1的方向向量為a＝(1,3)，直線l2的方向向量為b＝(－1，k)．若直線l2經過點(0,5)且l1⊥l2，則直線l2的方程為 (　　)
A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0
C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0
2．從點(2,3)射出的光線沿與向量a＝(8,4)平行的直線射到y軸上，則反射光線所在的直線方程為 (　　)
A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0
3．已知直線l過點P(3,4)且與點A(－2，2)，B(4，－2)等距離，則直線l的方程為(　　)
A．2x＋3y－18＝0 B．2x－y－2＝0
C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0 D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
二、填空題
4．若直線ax－2y＋2＝0與直線x＋(a－3)y＋1＝0平行，則實數a的值為________．
5．已知直線l1：ax＋3y－1＝0與直線l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，則實數a＝________.
6．已知a＝(6,2)，b＝，直線l過點A(3，－1)，且與向量a＋2b垂直，則直線l的一般式方程是______________．
7．若直線m被兩平行線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長為2，則m的傾斜角可以是
①15°　②30°　③45°　④60°　⑤75°
其中正確答案的序號是________．
三、解答題
8．已知直線l經過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點，
(1)點A(5,0)到l的距離為3，求l的方程；
(2)求點A(5,0)到l的距離的最大值．
B組　專項能力提升
一、選擇題
1．若動點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分別在直線l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移動，則P1P2的中點P到原點的距離的最小值是 (　　)
A. B．5 C. D．15
2．設a、b、c分別是△ABC中∠A、∠B、∠C所對邊的邊長，則直線x sin A＋ay＋c＝0與b x－y sin B＋sin C＝0的位置關系是 (　　)
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
3．如圖，已知A(4,0)、B(0,4)，從點P(2，0)射出的光線經直線AB反射
后再射到直線OB上，最后經直線OB反射后又回到P點，則光線所經
過的路程是 (　　)
A．2 B．6
C．3 D．2
二、填空題
4．已知坐標平面內兩點A(x，－x)和B，那么這兩點之間距離的最小值
是________．
5．已知直線x＋2y＝2與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，若動點P(a，b)在線段AB上，則a b的最大值為________．
6．將一張坐標紙折疊一次，使得點(0,2)與點(4,0)重合，點(7,3)與點(m，n)重合，則
m＋n＝________.
三、解答題
7．已知直線l1：x＋a2y＋1＝0和直線l2：(a2＋1)x－by＋3＝0 (a，b ∈R)．
(1)若l1∥l2，求b的取值范圍；
(2)若l1⊥l2，求|a b|的最小值．
8．如圖，函數f(x)＝x＋的定義域為(0，＋∞)．
設點P是函數圖像上任一點，過點P分別作直線
y＝x和y軸的垂線，垂足分別為M，N.
(1)證明：|PM|·|PN|為定值；
(2)O為坐標原點，求四邊形OMPN面積的最小值．
§8.2 兩條直線的位置關系 答案
要點梳理
1．(1)k1＝k2　平行　(2)k1·k2＝－1　垂直
2．唯一解　無解　無數個解
3．(1)
(2)　(3)
基礎自測
1．－6　2. －9　 3.x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0 4． A　5. D
題型分類·深度剖析
例1　解　(1)方法一：　①當m＝0時，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，l1∥l2；
②當m≠0時，l1：y＝－x－，l2：y＝x－，
由－＝且－≠－，
∴m＝－1.
故所求實數m的值為0或－1.
方法二　直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的等價條件是：
A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.
由所給直線方程可得：
1·3m－m2·(m－2)＝0且1·2m－6·(m－2)≠0?m(m2－2m－3)＝0且m≠3?m＝0或－1.
故所求實數m的值為0或－1.
(2)方法一：　由直線l1的方程知其斜率為－，
當a＝1時，直線l2的斜率不存在，l1與l2不垂直；
當a≠1時，直線l2的斜率為－.
由－·＝－1?a＝. 故所求實數a的值為.
方法二　直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的等價條件是
A1A2＋B1B2＝0.
由所給直線方程可得：a·1＋2·(a－1)＝0?a＝. 故所求實數a的值為.
變式訓練1　解　(1)由題意得
，解得m＝1，n＝7.
(2)當m＝0時，顯然l1不平行于l2；
當m≠0時，由＝≠，得
∴或
即m＝4，n≠－2時或m＝－4，n≠2時，l1∥l2.
(3)當且僅當m·2＋8·m＝0，即m＝0時，l1⊥l2.又－＝－1，∴n＝8.
即m＝0，n＝8時，l1⊥l2，且l1在y軸上的截距為－1.
例2　解　方法一：　先解方程組
，得l1、l2的交點坐標為(－1,2)，
再由l3的斜率求出l的斜率為－，
于是由直線的點斜式方程求出l：y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.
方法二　由于l⊥l3，故l是直線系5x＋3y＋C＝0中的一條，而l過l1、l2的交點(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，故l的方程為5x＋3y－1＝0.
方法三　由于l過l1、l2的交點，故l是直線系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一條，將其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.
其斜率－＝－，解得λ＝，代入直線系方程即得l的方程為5x＋3y－1＝0.
變式訓練2　解　方法一：　設直線l與l1的交點為A(x0，y0)，由已知條件，得直線l與l2的交點為B(－2－x0,4－y0)，并且滿足
即解得
因此直線l的方程為＝， 即3x＋y＋1＝0.
方法二　設直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即k x－y＋k＋2＝0.
由得x＝.
由得x＝.則＋＝－2，解得k＝－3.
因此所求直線方程為y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0.
方法三　兩直線l1和l2的方程為(4x＋y＋3)(3x－5y－5)＝0①
將上述方程中(x，y)換成(－2－x,4－y)
整理可得l1與l2關于(－1,2)對稱圖形的方程：(4x＋y＋1)(3x－5y＋31)＝0.②
①－②整理得3x＋y＋1＝0.
例3　解　(1)∵l1：4x－2y＋2a＝0 (a>0)，l2：4x－2y－1＝0，∴兩條平行線l1與l2間的距離為d＝，
由已知，可得＝.
又a>0，可解得a＝3.
(2)設點P的坐標為(x，y)，由條件①，可知x>0，y>0.由條件②和③，可得
化簡得
于是可得，4|x＋y－1|＝|4x－2y－1|，
也就是4(x＋y－1)＝4x－2y－1， 或4(x＋y－1)＝－4x＋2y＋1，
解得y＝，或8x＋2y－5＝0.
當y＝時，代入方程|2x－y＋3|＝|x＋y－1|，
解得x＝－3<0或x＝－<0，均舍去．
由，化簡得，或，
解得或(舍去)．
即存在滿足題設條件的點P，其坐標為.
變式訓練3　解　(1)過P點的直線l與原點距離為2，而P點坐標為(2，－1)，可見，過P(2，－1)且垂直于x軸的直線滿足條件．
此時l的斜率不存在，其方程為x＝2.
若斜率存在，設l的方程為y＋1＝k(x－2)， 即k x－y－2k－1＝0.
由已知，得＝2，解得k＝.
此時l的方程為3x－4y－10＝0.
綜上，可得直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)作圖可得過P點與原點O距離最大的直線是過P點且與PO垂直的直線，
由l ⊥ OP，得k l k OP＝－1，所以k l＝－＝2.
由直線方程的點斜式得y＋1＝2(x－2)， 即2x－y－5＝0.
即直線2x－y－5＝0是過P點，且與原點O距離最大的直線，最大距離為＝.
(3)由(2)可知，過P點不存在到原點距離超過的直線，因此不存在過P點，且到原點距離為6的直線．
A組　專項基礎訓練
1．B　2. A　3. D　4. 1　5.  6．2x－3y－9＝0　7. ①⑤
8．解　(1)經過兩已知直線交點的直線系方程為(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
∴＝3. 解得λ＝2或λ＝.
∴l的方程為x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由　解得交點P(2,1)，
如圖，過P作任一直線l，設d為點A到l的距離，則d≤|PA| (當l⊥PA時等號成立)．
∴d max＝|PA|＝.
B組　專項能力提升
1．B　 2. C　 3. A　 4. 　 5. 　 6. 
7．解　(1)因為l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，
即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－2＋，
因為a2≥0，所以b≤0.
又因為a2＋1≠3，所以b≠－6. 故b的取值范圍是(－∞，－6)∪(－6,0]．
(2)因為l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，顯然a≠0，所以ab＝a＋，
|a b|＝≥2，當且僅當a＝±1時等號成立，
因此|a b|的最小值為2.
8．(1)證明　設P (x0>0)．則|PN|＝x0，|PM|＝＝，
因此|PM|·|PN|＝1.
(2)解　直線PM的方程為y－x0－＝－(x－x0)， 即y＝－x＋2x0＋.
解方程組得 x＝y＝x0＋，
S OMPN＝S△NPO＋S△OPM
＝|PN||ON|＋|PM||OM|
＝x0＋＝＋≥1＋，
當且僅當x0＝，即x0＝1時等號成立，
因此四邊形OMPN的最小值為1＋.
§8.3 圓與方程
一、要點梳理
1．圓的定義
在平面內，到________的距離等于________的點的________叫圓．
2．確定一個圓，最基本的要素是________和________．
3．圓的標準方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中___ ___為圓心，__ ____為半徑．
4．圓的一般方程
x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0表示圓的充要條件是________________，其中圓心為________________，半徑r＝________________．
5．確定圓的方程的方法和步驟
確定圓的方程主要方法是待定系數法，大致步驟為：
(1)根據題意，選擇標準方程或一般方程；
(2)根據條件列出關于a，b，r或D、E、F的方程組；
(3)解出a、b、r或D、E、F代入標準方程或一般方程．
6．點與圓的位置關系
點和圓的位置關系有三種．
圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點M(x0，y0)
(1)點在圓上： ；
(2)點在圓外： ；
(3)點在圓內： ．
二、難點正本　疑點清源
1．確定圓的方程必須有三個獨立條件
不論圓的標準方程還是一般方程，都有三個字母(a、b、r或D、E、F)的值需要確定，因此需要三個獨立的條件．利用待定系數法得到關于a、b、r或D、E、F的三個方程組成的方程組，解之得到待定字母系數的值．
2．圓的一般方程的特征
圓的一般方程：x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0，若化為標準式，即為
由于r2相當于．
所以①當D2＋E2－4F>0時，圓心為，半徑r＝．
②當D2＋E2－4F＝0時，表示一個點．
③當D2＋E2－4F<0時，這樣的圓不存在．
三、基礎自測
1．圓心在C(8，－3)，且經過點M(5,1)的圓的方程為____________________．
2．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是______________．
3．(2011·遼寧)已知圓C經過A(5,1)，B(1,3)兩點，圓心在x軸上，則圓C的方程為__________________．
4．圓x2－2x＋y2－3＝0的圓心到直線x＋y－3＝0的距離為________．
5．過點A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程
是 (　　)
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
四、題型分類 深度剖析
題型一　求圓的方程
例1　根據下列條件，求圓的方程：
(1)經過P(－2,4)、Q(3，－1)兩點，并且在x軸上截得的弦長等于6；
(2)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2)．
探究提高:求圓的方程時，應根據條件選用合適的圓的方程．一般來說，求圓的方程有兩種方法：①幾何法，通過研究圓的性質進而求出圓的基本量．②代數法，即設出圓的方程，用待定系數法求解．
變式訓練1 (1)已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線
x＋y＝0上，則圓C的方程為 (　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
(2)若圓上一點A(2,3)關于直線x＋2y＝0的對稱點仍在圓上，且圓與直線
x－y＋1＝0相交的弦長為2，則圓的方程是__________________．
題型二　與圓有關的最值問題
例2　已知實數x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0．
(1)求y－x的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2的最大值和最小值．
探究提高:與圓有關的最值問題，常見的有以下幾種類型：①形如μ＝形式的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題；②形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題．
變式訓練2 (2012·海淀模擬)已知M為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點，且點Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．
題型三　與圓有關的軌跡問題
例3　已知P(4,0)是圓x2＋y2＝36內的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足
∠APB＝90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程．
探究提高:求與圓有關的軌跡問題時，根據題設條件的不同常采用以下方法：
①直接法：直接根據題目提供的條件列出方程．
②定義法：根據圓、直線等定義列方程；
③幾何法：利用圓與圓的幾何性質列方程．
④代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等．
變式訓練3 設定點M(－3,4)，動點N在圓 x2＋y2＝4上運動，以OM、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡．
五、解題思想方法示范(利用方程的思想方法求解圓的問題)
試題：(12分)已知圓x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直線x＋2y－3＝0交于P，Q兩點，且OP⊥OQ(O為坐標原點)，求該圓的圓心坐標及半徑．
審題視角　(1)圓心及半徑，關鍵是求m．
(2)利用OP⊥OQ，建立關于m的方程求解．
(3)利用x1x2＋y1y2＝0和韋達定理或利用圓的幾何性質．
規范解答
解:　方法一:　
將x＝3－2y，代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0，得5y2－20y＋12＋m＝0. [2分]
設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則y1、y2滿足條件：y1＋y2＝4，y1y2＝． [4分]
∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0．而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2．
∴x1x2＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2＝． [6分]
故＋＝0，解得m＝3， [9分]
此時Δ>0，圓心坐標為，半徑r＝． [12分]
方法二:　如圖所示，設弦PQ中點為M，
∵O1M⊥PQ，∴kO1M=2． [2分]
∴O1M的方程為y－3＝2， 即y＝2x＋4．[4分]
由方程組．解得M的坐標為(－1,2)． [6分]
則以PQ為直徑的圓可設為(x＋1)2＋(y－2)2＝r2．
∵OP⊥OQ，∴點O在以PQ為直徑的圓上．
∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r2，即r2＝5，|MQ|2＝r2．
在Rt△O1MQ中，|O1Q|2＝|O1M|2＋|MQ|2．
∴＝2＋(3－2)2＋5．
∴m＝3． [9分]
∴半徑為，圓心為． [12分]
方法三:　設過P、Q的圓系方程為
x2＋y2＋x－6y＋m＋λ(x＋2y－3)＝0． [2分]
由OP⊥OQ知，點O(0,0)在圓上． [4分]
∴m－3λ＝0，即m＝3λ．∴圓系方程可化為
x2＋y2＋x－6y＋3λ＋λ x＋2λy－3λ＝0．
即x2＋(1＋λ)x＋y2＋2(λ－3)y＝0． [6分]
∴圓心M，又圓心在PQ上．
∴－＋2(3－λ)－3＝0，∴λ＝1，∴m＝3． [9分]
∴圓心為，半徑為． [12分]
批閱筆記:　(1)在解決與圓有關的問題中，借助于圓的幾何性質，往往會使得思路簡捷明了，簡化思路，簡便運算；
(2)本題中三種解法都是用方程思想求m值，即三種解法圍繞“列出m的方程”求m值；
(3)本題的易錯點：不能正確構建關于m的方程，找不到解決問題的突破口，或計算錯誤．
六、思想方法 感悟提高
方法與技巧
1．確定一個圓的方程，需要三個獨立條件．“選形式、定參數”是求圓的方程的基本方法：是指根據題設條件恰當選擇圓的方程的形式，進而確定其中的三個參數．
2．解答圓的問題，應注意數形結合，充分運用圓的幾何性質，簡化運算．
失誤與防范
1．求圓的方程需要三個獨立條件，所以不論是設哪一種圓的方程都要列出系數的三個獨立方程．
2．過圓外一定點，求圓的切線，應該有兩個結果，若只求出一個結果，應該考慮切線斜率不存在的情況．
§8.3 圓與方程
A組　專項基礎訓練
一、選擇題
1．若直線3x＋y＋a＝0過圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心，則a的值為 (　　)
A．－1 B．1 C．3 D．－3
2．圓心在y軸上，半徑為1，且過點(1,2)的圓的方程為 (　　)
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
3．已知圓的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，且與直線3x＋4y＋4＝0相切，則圓的方程是 (　　)
A．x2＋y2－4x＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－2x－3＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
二、填空題
4．以直線3x－4y＋12＝0夾在兩坐標軸間的線段為直徑的圓的方程為_______ ___．
5．已知點M(1,0)是圓C：x2＋y2－4x－2y＝0內的一點，那么過點M的最短弦所在直線的方程是______ ____．
6．直線x－2y－2k＝0與2x－3y－k＝0的交點在圓x2＋y2＝9的外部，則k的范圍
是____________________．
三、解答題
7．根據下列條件求圓的方程：
(1)經過點P(1,1)和坐標原點，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上；
(2)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2)；
(3)過三點A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．
8．已知以點P為圓心的圓，經過點A(－1,0)和B(3,4)，線段AB的垂直平分線交圓P于
點C和D，且|CD|＝4.
(1)求直線CD的方程； (2)求圓P的方程．
B組　專項能力提升
一、選擇題
1．若直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交，則P(a，b) (　　)
A．在圓上 B．在圓外
C．在圓內 D．以上都有可能
2．已知圓C：x2＋y2＋m x－4＝0上存在兩點關于直線x－y＋3＝0對稱，則實數m的
值為 (　　)
A．8 B．－4
C．6 D．無法確定
3．已知函數y＝，x∈[1,2]，對于滿足1論：①f(x2)－f(x1)>x2－x1； ②x2f(x1)>x1f(x2)； ③(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0；
④(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0.
其中正確結論的個數為 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題
4．已知圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0關于直線y＝2x＋b成軸對稱，則a－b的取值范圍
是________．
5．過原點O作圓x2＋y2－6x－8y＋20＝0的兩條切線，設切點分別為P，Q，則線段
PQ的長為________．
6．若直線ax＋by＝1過點A(b，a)，則以坐標原點O為圓心，OA長為半徑的圓的面積的最小值是_______________．
三、解答題
7．已知圓M過兩點A(1，－1)，B(－1，1)，且圓心M在直線x＋y－2＝0上．
(1)求圓M的方程；
(2)設P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA、PB是圓M的兩條切線，A、B為切點，求四邊形PAMB面積的最小值．
8．圓C通過不同的三點P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圓C在點P處的切線斜率為1，
試求圓C的方程．
§8.3 圓與方程 答案
要點梳理
1．定點　 定長　 集合　 2. 圓心　 半徑 3． (a，b)　 r
4．D2＋E2－4F>0　 
6．(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2　(2)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2　(3)(x0－a)2＋(y0－b)2基礎自測
1．(x－8)2＋(y＋3)2＝25　 2. 3．(x－2)2＋y2＝10　 4. 1　 5. C
題型分類·深度剖析
例1　解：　(1)設圓的方程為x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0，
將P、Q點的坐標分別代入得
 
又令y＝0，得x2＋D x＋F＝0. ③
設x1，x2是方程③的兩根，由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36， ④
由①、②、④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.
(2)方法一　如圖，設圓心(x0，－4x0)，依題
意得＝1，
∴x0＝1，即圓心坐標為(1，－4)，半徑r＝2，
故圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
方法二　設所求方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，
根據已知條件得
解得
因此所求圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8.
變式訓練1　(1)B (2)(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244
例2　解：　圓的標準方程為(x－2)2＋y2＝3.
(1)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值為
-2＋，最小值為-2-.
(2)x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點與圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值．
又圓心到原點的距離為＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
變式訓練2　(1)|MQ| max＝6，|MQ| min＝2
(2)的最大值為2＋，最小值為2－
例3　 解 設AB的中點為R，坐標為(x1，y1)，則在R t △ABP中，|AR|＝|PR|.
又因為R是弦AB的中點，故|AR|2＝|AO|2－|OR|2＝36－(x21＋y21)，
又|AR|＝|PR|＝，
所以有(x1－4)2＋y21＝36－(x21＋y21)，即x21＋y21－4x1－10＝0.
因此點R在一個圓上．而當R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動．
設Q(x，y)，因為R是PQ的中點，所以x1＝，y1＝.
代入方程x21＋y21－4x1－10＝0，
得2＋2－4·－10＝0，整理得x2＋y2＝56.
即矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程為x2＋y2＝56.
變式訓練3　解：　如圖所示，設P(x，y)，N(x0，y0)，
則線段OP的中點坐標為，線段MN的
中點坐標為.由于平行四邊形的對角線互相平分，
故＝，＝. 從而.
N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求軌跡為圓：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但應除去兩點和(點P在直線OM上時的情況)．
A組　專項基礎訓練
1．B　 2.A　 3.A　 4．(x＋2)2＋2＝ 5．x＋y－1＝0
6. ∪
7．解：　(1)設圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由題意列出方程組
，解之得
∴圓的標準方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
(2)過切點且與x＋y－1＝0垂直的直線為y＋2＝x－3，與y＝－4x聯立可求得圓心
為(1，－4)．
∴半徑r＝＝2，
∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(3)方法一　設圓的一般方程為x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0，
則解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.
∴所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－95＝0.
方法二：　由A(1,12)，B(7,10)，得AB的中點坐標為(4,11)，k AB＝－，
則AB的中垂線方程為3x－y－1＝0.
同理得AC的中垂線方程為x＋y－3＝0.
聯立，得，
即圓心坐標為(1,2)，半徑r＝＝10.
∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝100.
8．解：　(1)直線AB的斜率k＝1，AB的中點坐標為(1,2)，
∴直線CD的方程為y－2＝－(x－1)， 即x＋y－3＝0.
(2)設圓心P(a，b)，
則由P在CD上得a＋b－3＝0. ①
又直徑|CD|＝4，∴|PA|＝2，
∴(a＋1)2＋b2＝40 ②
由①②解得或 ∴圓心P(－3,6)或P(5，－2)，
∴圓P的方程為(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
B組　專項能力提升
1．B　 2. C　 3. B　 4．(－∞，1)　 5. 4　 6.π
7．解　(1)設圓M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，
根據題意得：解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圓M的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)由題意知，四邊形PAMB的面積為
S＝S△PAM＋S△PBM＝|AM||PA|＋|BM||PB|.
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|， 所以S＝2|PA|，
而|PA|＝＝， 即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直線3x＋4y＋8＝0上找一點P，使得|PM|的值最小，
所以|PM| min＝＝3，
所以四邊形PAMB面積的最小值為S min＝2＝2＝2.
8．解　設圓C的方程為x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0，則k、2為x2＋D x＋F＝0的兩根，
∴k＋2＝－D,2k＝F，即D＝－(k＋2)，F＝2k，
又圓過R(0,1)，故1＋E＋F＝0.∴E＝－2k－1.
故所求圓的方程為x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0，
圓心坐標為.
∵圓C在點P處的切線斜率為1， ∴k CP＝－1＝，∴k＝－3.
∴D＝1，E＝5，F＝－6.
∴所求圓C的方程為x2＋y2＋x＋5y－6＝0.


§8.4 直線與圓、圓與圓的位置關系與方程
要點梳理
1．直線與圓的位置關系
(1)位置關系有三種：________、________、________．
(2)判斷直線與圓的位置關系常見的有兩種方法：
①代數法：
②幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關系：
dr?相離．
2．計算直線被圓截得的弦長的常用方法
(1)幾何方法
運用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構成直角三角形計算．
(2)代數方法
運用韋達定理及弦長公式
|AB|＝|x A－x B|＝．
說明：圓的弦長、弦心距的計算常用幾何方法．
3．求過點P(x0，y0)的圓x2＋y2＝r2的切線方程
(1)若P(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2上，則以P為切點的圓的切線方程
為________________．
(2)若P(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2外，則過P的切線方程可設為y－y0＝k(x－x0)，利用待定系數法求解．
說明：k為切線斜率，同時應考慮斜率不存在的情況．
4．圓與圓的位置關系的判定
設⊙C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，⊙C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)，
則有：
|C1C2|>r1＋r2?⊙C1與⊙C2____ ____；
|C1C2|＝r1＋r2?⊙C1與⊙C2______ __；
|r1－r2|<|C1C2||C1C2|＝|r1－r2|(r1≠r2)?⊙C1與⊙C2______ __；
|C1C2|<|r1－r2|?⊙C1與⊙C2___ _____．
二、難點正本　疑點清源
1．解決直線與圓的位置關系的有關問題，要充分利用平面幾何中圓的性質使問題簡化．一般要求圓心到直線的距離與半徑．
2．當直線和圓相切時，求切線方程一般要用圓心到直線的距離等于半徑，求切線長一般要用切線、半徑及圓外點與圓心連線構成的直角三角形；當與圓相交時，弦長的計算也要用弦心距、半徑及弦長的一半構成的直角三角形．
3．對于圓的切線問題，要注意切線斜率不存在的情況．
三、基礎自測
1．已知圓C經過M(2，－1)和直線x＋y＝1相切，且圓心在直線y＝－2x上，則圓C的方程為_______________________________．
2．直線y＝ax＋1與圓x2＋y2－2x－3＝0的位置關系是________．
3．若直線3x＋4y＋m＝0與圓x2＋y2－2x＋4y＋4＝0沒有公共點，則實數m的取值范圍是________________．
4．設直線ax－y＋3＝0與圓(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B兩點，且弦AB的長為2，則a＝________．
5．圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線有
且僅有(　　)
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
四、題型分類 深度剖析
題型一　直線與圓的位置關系
例1　m為何值時，直線2x－y＋m＝0與圓x2＋y2＝5．
(1)無公共點； (2)截得的弦長為2；
(3)交點處兩條半徑互相垂直．
探究提高:　(1)利用圓心到直線的距離可判斷直線與圓的位置關系，也可利用直線的方程與圓的方程聯立后得到的一元二次方程的判別式來判斷直線與圓的位置關系；
(2)勾股定理是解決有關弦問題的常用方法；
(3)兩半徑互相垂直也可利用兩直線垂直時斜率k1·k2＝－1．
變式訓練1已知直線l：y＝k x＋1，圓C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12．
(1)試證明：不論k為何實數，直線l和圓C總有兩個交點；
(2)求直線l被圓C截得的最短弦長．
題型二　圓的切線問題
例2　已知點M(3,1)，直線ax－y＋4＝0及圓(x－1)2＋(y－2)2＝4．
(1)求過M點的圓的切線方程；
(2)若直線ax－y＋4＝0與圓相切，求a的值；
(3)若直線ax－y＋4＝0與圓相交于A，B兩點，且弦AB的長為2，求a的值．
探究提高:　求過一點的圓的切線方程，首先要判斷此點是否在圓上．若在圓上，該點為切點；若不在圓上，切線應該有兩條，設切線的點斜式方程，用待定系數法求解．注意，需考慮無斜率的情況．求弦長問題，要充分運用圓的幾何性質．
變式訓練2 已知點A(1，a)，圓x2＋y2＝4．
(1)若過點A的圓的切線只有一條，求a的值及切線方程；
(2)若過點A且在兩坐標軸上截距相等的直線與圓相切，求a的值及切線方程．
題型三　圓與圓的位置關系
例3　a為何值時，圓C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和圓
C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0．
(1)外切；(2)相交；(3)外離；(4)內切．
探究提高:　判斷兩圓的位置關系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關系，一般不采用代數法．
變式訓練3 圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，圓O2的圓心為O2(2,1)．
(1)若圓O2與圓O1外切，求圓O2的方程；
(2)若圓O2與圓O1交于A、B兩點，且|AB|＝2，求圓O2的方程．
五、解題思想方法示范(與圓有關的探索問題)
試題：(12分)已知圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0．問在圓C上是否存在兩點A、B關于直線y＝k x－1對稱，且以AB為直徑的圓經過原點？若存在，寫出直線AB的方程；若不存在，說明理由．
審題視角　(1)假設存在兩點A、B關于直線對稱，則直線過圓心．(2)若以AB
為直徑的圓過原點，則OA⊥OB．轉化為·＝0．
規范解答
解:　圓C的方程可化為(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圓心為
C(1，－2)．假設在圓C上存在兩點A、B滿足條件，
則圓心C(1，－2)在直線y＝k x－1上，即k＝－1． [3分]
于是可知，k AB=1．
設l AB：，代入圓C的方程，整理得，
則Δ=4(b+1)2-8(b2+4b-4)>0，即b2+6b-9<0．
解得-3-設點A、B的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝－b－1，x1x2＝b2＋2b－2．
由題意知OA⊥OB，則有x1x2＋y1y2＝0，
也就是x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0．
∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0． [10分]
∴b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化簡得b2＋3b－4＝0．
解得b＝－4或b＝1，均滿足Δ>0，
即直線AB的方程為x－y－4＝0，或x－y＋1＝0． [12分]
答題步驟：
第一步：假設符合要求的結論存在．
第二步：從條件出發(即假設)求解．
第三步：確定符合要求的結論存在或不存在．
第四步：給出明確結果．
第五步：反思回顧，查看關鍵點，易錯點及答題規范．
批閱筆記:　(1)本題是與圓有關的探索類問題，要注意充分利用圓的幾何性質答題．(2)要注意解答這類題目的答題格式．使答題過程完整規范．(3)本題的易錯點是轉化方向不明確，思路不清晰．
六、思想方法 感悟提高
方法與技巧
1．過圓外一點M可以作兩條直線與圓相切，其直線方程的求法有兩種：
(1)用待定系數法設出直線方程，再利用圓心到切線的距離等于半徑列出關系式求 出切線的斜率，進而求得直線方程．
(2)用待定系數法設出直線方程，再利用直線與圓相切時交點唯一列出關系式求出切線的斜率，進而求得直線方程．
2．若兩圓相交時，把兩圓的方程作差,消去x2和y2就得到兩圓的公共弦所在的直線方程．
3．求弦長時，常利用圓心到弦所在的直線的距離求弦心距，再結合勾股定理求弦長．
4．求圓外一點P到圓O上任意一點距離的最小值為|PO|－r，最大值為
|PO|＋r(其中r為圓O的半徑)．
失誤與防范
1．求圓的弦長問題，注意應用圓的性質解題，即用圓心與弦中點連線與弦垂直的性質，可以用勾股定理或斜率之積為－1列方程來簡化運算．
2．注意利用圓的性質解題，可以簡化計算．§8.4 直線與圓、圓與圓的位置關系與方程
A組　專項基礎訓練
一、選擇題
1．從圓x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一點P(3,2)向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為 (　　)
A. B. C. D．0
2．過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2＋y2－4y＝0所截得的弦長為 (　　)
A. B．2 C. D．2
3．直線y＝k x＋3與圓(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N兩點，若|MN|≥2，則k的
取值范圍是 (　　)
A. B.
C. D.
二、填空題
4．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0 (a>0)的公共弦長為2，則a＝________.
5．已知圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與y軸相切，與x軸相交于點A、B，若|AB|＝，則該圓的標準方程是___________________________________________．
6．在平面直角坐標系中，已知圓x2＋y2＝4上有且只有四個點到直線
12x－5y＋c＝0的距離為1，則實數c的取值范圍是________．
三、解答題
7．一直線經過點P被圓x2＋y2＝25截得的弦長為8，求此弦所在的直線方程．
8．已知圓C：(x＋1)2＋y2＝4和圓外一點A(1，2)，
(1)若直線m經過原點O，且圓C上恰有三個點到直線m的距離為1，求直線m的方程；
(2)若經過A的直線l與圓C相切，切點分別為D，E，求切線l的方程及D、E兩切點所在的直線方程．
B組　專項能力提升
一、選擇題
1．若直線2ax－by＋2＝0 (a>0，b>0)被圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦長為4，則
＋的最小值為 (　　)
A. B. C．2 D．4
2．若曲線C1：x2＋y2－2x＝0與曲線C2：y(y－m x－m)＝0有四個不同的交點，則實數m的取值范圍是 (　　)
A．(－，) B．(－，0)∪(0，)
C．[－，] D．(－∞，－)∪(，＋∞)
3．設兩圓C1、C2都和兩坐標軸相切，且都過點(4,1)，則兩圓心的距離|C1C2|等于 (　　)
A．4 B．4
C．8 D．8
4．若圓C：x2＋y2－ax＋2y＋1＝0和圓x2＋y2＝1關于直線l1：x－y－1＝0對稱，動圓
P與圓C相外切且與直線l2：x＝－1相切，則動圓P的圓心的軌跡方程是 (　　)
A．x2＋y2＋x＝0 B．y2－2x＋2y＋3＝0
C．y2－6x＋2y－2＝0 D．x2＋y2＋2x＋2y＝0
二、填空題
5．若⊙O：x2＋y2＝5與⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m ∈R)相交于A、B兩點，且兩圓在點
A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是__________．
6．已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0與圓C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若
圓C1與圓C2相切，則實數m＝____ ______.
7．過點M的直線l與圓C：(x－1)2＋y2＝4交于A、B兩點，C為圓心，當∠ACB
最小時，直線l的方程為______ ________．
三、解答題
8．在平面直角坐標系中，已知圓心在第二象限，半徑為2的圓C與直線y＝x
相切于坐標原點O.
(1)求圓C的方程；
(2)試探求C上是否存在異于原點的點Q，使Q到定點F(4，0)的距離等于線段OF的長．若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
§8.4 直線與圓、圓與圓的位置關系與方程 答案
要點梳理
1．相離　相切　相交　3.(1)x0x＋y0y＝r2 4．相離　外切　相交　內切　內含
基礎自測
1．(x－1)2＋(y＋2)2＝2　2.相交 3．(－∞，0)∪(10，＋∞)　4.0　5.B
題型分類·深度剖析
例1 解：(1)由已知，圓心為O(0,0)，半徑r＝，圓心到直線2x－y＋m＝0的距離
d＝＝，
∵直線與圓無公共點，∴d>r，即>，
∴m>5或m<－5.
故當m>5或m<－5時，直線與圓無公共點．
(2)如圖，由平面幾何垂徑定理知r2－d2＝12.
即5－＝1. 得m＝±2，
∴當m＝±2時，直線被圓截得的弦長為2.
(3)如圖，由于交點處兩條半徑互相垂直，
∴弦與過弦兩端的半徑組成等腰直角三角形，
∴d＝r， 即＝·，解得m＝±.
故當m＝±時，直線與圓在兩交點處的兩條半徑互相垂直．
變式訓練1　方法一：(1)證明　
由消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，
因為Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0，
所以不論k為何實數，直線l和圓C總有兩個交點．
(2)解　設直線與圓交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，則直線l被圓C截得的弦長
|AB|＝|x1－x2|＝2＝2 ，
令t＝，則tk2－4k＋(t－3)＝0，
當t＝0時，k＝－，當t≠0時，因為k ∈R，
所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，
故t＝的最大值為4，此時|AB|最小為2.
方法二：(1)證明　圓心C(1，－1)到直線l的距離d＝，圓C的半徑R＝2，R2－d2＝12－＝，而在S＝11k2－4k＋8中，
Δ＝(－4)2－4×11×8<0，故11k2－4k＋8>0對k ∈R恒成立，
所以R2－d2>0，即d(2)解　由平面幾何知識，
知|AB|＝2＝2 ，
以下解法同方法一．
方法三：　(1)證明　因為不論k為何實數，直線l總過點A(0，1)，
而|AC|＝<2＝R，所以點A(0,1)在圓C的內部，
即不論k為何實數，直線l總經過圓C內部的定點A.
所以不論k為何實數，直線l和圓C總有兩個交點．
(2)解　由平面幾何知識知過圓內定點A(0,1)的弦，只有和AC (C為圓心)垂直時才最短，而此時點A(0,1)為弦AB的中點，由勾股定理，知|AB|＝2＝2，
即直線l被圓C截得的最短弦長為2.
例2　解：　(1)圓心C(1,2)，半徑為r＝2，
①當直線的斜率不存在時，方程為x＝3.
由圓心C(1,2)到直線x＝3的距離d＝3－1＝2＝r知，此時，直線與圓相切．
②當直線的斜率存在時，設方程為y－1＝k(x－3)，
即k x－y＋1－3k＝0.
由題意知＝2，解得k＝.
∴方程為y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
故過M點的圓的切線方程為x＝3或3x－4y－5＝0.
(2)由題意有＝2，解得a＝0或a＝.
(3)∵圓心到直線ax－y＋4＝0的距離為，∴2＋2＝4，
解得a＝－.
變式訓練2　解：　(1)由于過點A的圓的切線只有一條，則點A在圓上，故12＋a2＝4，∴a＝±.
當a＝時，A(1，)，切線方程為x＋y－4＝0；
當a＝－時，A(1，－)，切線方程為x－y－4＝0，
∴a＝時，切線方程為x＋y－4＝0，
a＝－時，切線方程為x－y－4＝0.
(2)設直線方程為x＋y＝b，由于直線過點A，∴1＋a＝b，
∴直線方程為：x＋y＝1＋a，即x＋y－a－1＝0.又直線與圓相切，∴d＝＝2，
∴a＝±2－1.∴切線方程為x＋y＋2＝0或x＋y－2＝0.
例3　解　將兩圓方程寫成標準方程．
C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9， C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
∴兩圓的圓心和半徑分別為
C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2，
設兩圓的圓心距為d，
則d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.
(1)當d＝5，即2a2＋6a＋5＝25時，兩圓外切，此時a＝－5或a＝2.
(2)當1(3)當d>5，即2a2＋6a＋5>25時，兩圓外離，此時a>2或a<－5.
(4)當d＝1，即2a2＋6a＋5＝1時，兩圓內切，此時a＝－1或a＝－2.
變式訓練3　解：　(1)設圓O2的半徑為r2，由于兩圓外切，
∴|O1O2|＝r1＋r2，r2＝|O1O2|－r1＝2(－1)，
故圓O2的方程是 (x－2)2＋(y－1)2＝4(－1)2.
(2)設圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝r22，又圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，
此兩圓的方程相減，即得兩圓公共弦AB所在直線的方程：4x＋4y＋r22－8＝0.
∴圓心O1(0，－1)到直線AB的距離為
＝＝，
解得r22＝4或r22＝20.
故圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
A組　專項基礎訓練
1．B　2.D　3.B　4.1 5．(x－1)2＋2＝1　6.(－13,13)
7．解　(1)當斜率k不存在時，過點P的直線方程為x＝－3，
代入x2＋y2＝25，得y1＝4，y2＝－4.
∴弦長為|y1－y2|＝8，符合題意．
(2)當斜率k存在時，設所求直線方程為y＋＝k(x＋3)，即k x－y＋3k－＝0.
由已知，弦心距|OM|＝＝3，
∴＝3，解得k＝－.
所以此直線方程為y＋＝－(x＋3)，即3x＋4y＋15＝0.
所以所求直線方程為x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0.
8．解　(1)方法一：　圓C的圓心為(－1,0)，半徑r＝2，
圓C上恰有三個點到直線m的距離為1，則圓心到直線m的距離恰為1，
由于直線m經過原點，圓心到直線m的距離最大值為1.
所以滿足條件的直線就是經過原點且垂直于OC的直線，即y軸，
所以直線方程為x＝0.
方法二：　圓C的圓心為(－1,0)，半徑r＝2，
圓C上恰有三個點到直線m的距離為1.則圓心到直線m的距離恰為1.
設直線方程為y＝k x，d＝＝1， k無解．
直線斜率不存在時，直線方程為x＝0顯然成立．所以所求直線為x＝0.
(2)設直線方程為y－2＝k(x－1)，
d＝＝2，解得k＝，
所求直線為y－2＝(x－1)，即x－3y＋5＝0，
斜率不存在時，直線方程為x＝1，
∴切線l的方程為x＝1或x－3y＋5＝0，
過點C、D、E、A有一外接圓，x2＋(y－)2＝4，即x2＋y2－2y－1＝0，
過切點的直線方程為x＋y－1＝0.
B組　專項能力提升
1．D　2.B　3.C　4.C　5．4　6.±2或－5或－1　7.2x－4y＋3＝0
8．解　(1)設圓心為C(a，b)，由OC與直線y＝x垂直，知O，C兩點的斜率
K OC＝＝－1，故b＝－a，則|OC|＝2，即＝2，
可解得或，
結合點C(a，b)位于第二象限知.
故圓C的方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)假設存在Q(m，n)符合題意，
則，解得.
故圓C上存在異于原點的點Q符合題意．
§8.5 橢圓
一、要點梳理
1．橢圓的概念
在平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫________．這兩定點叫做橢圓的________，兩焦點間的距離叫做橢圓的____．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數：
(1)若_____ ___，則集合P為橢圓；
(2)若___ _____，則集合P為線段；
(3)若_____ ___，則集合P為空集．
2．橢圓的標準方程和幾何性質
標準方程
＋＝1 (a>b>0)
＋＝1 (a>b>0)
圖形
性
質
范圍
－axa
－byb
－bxb
－aya
對稱性
對稱軸：坐標軸　　對稱中心：原點
頂點
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
軸
長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝∈(0,1)
a，b，c
的關系
c2＝a2－b2
二、難點正本　疑點清源
橢圓方程中的a、b、c、e與坐標系無關，而焦點坐標、頂點坐標等與坐標系有關．因此確定橢圓方程需要三個條件，兩個定形條件：a、b；一個定位條件：焦點坐標．
(1)橢圓中有一個十分重要的三角形OF1B2(如右圖)，它的三邊長分別為a、b、c．易見c2＝a2－b2，若記∠OF1B2=θ，則 ==e．
(2)橢圓的定義中應注意常數大于|F1F2|．因為當平面內的
動點與定點F1、F2的距離之和等于|F1F2|時，其動點軌跡就
是線段F1F2；當平面內的動點與定點F1、F2的距離之和小于|F1F2|時，其軌跡不存在．
三、基礎自測
1．如果橢圓＋＝1上一點P到焦點F1的距離等于6，那么點P到另一個焦點F2的距離等于______．
2．若中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸的橢圓經過兩點(4,0)和(0,2)，則該橢圓的離心率等于________．
3．已知F1、F2是橢圓C的左、右焦點，點P在橢圓上，且滿足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，則橢圓的離心率為__________．
4．已知F1，F2是橢圓＋＝1的兩焦點，過點F2的直線交橢圓于A，B兩點．在△AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長度為 (　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
5． “－3A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
四、題型分類 深度剖析
題型一　求橢圓的標準方程
例1　已知F1，F2是橢圓＋＝1 (a>b>0)的左，右焦點，A，B分別是此
橢圓的右頂點和上頂點，P是橢圓上一點，OP∥AB，PF1⊥x軸，
|F1A|＝＋，則此橢圓的方程是_________ ___．
探究提高:　求橢圓的標準方程常用方法為定義法、待定系數法．在利用待定系數法時，常結合橢圓性質、已知條件，列出關于a、b、c的方程，解之．
變式訓練1 已知P點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為和，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點，求此橢圓的方程．
題型二　橢圓的幾何性質
例2　已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，∠F1PF2＝60°．
(1)求橢圓離心率的范圍；
(2)求證：△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關．
探究提高:　(1)橢圓上一點與兩焦點構成的三角形，稱為橢圓的焦點三角形，與焦點三角形有關的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a、c的關系．
(2)對△F1PF2的處理方法
?．
變式訓練2 設橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率e＝，已知點P到這個橢圓上的點最遠距離是，求這個橢圓的方程，并求橢圓上到點P的距離等于的點的坐標．
題型三　直線與橢圓的位置關系
例3　已知橢圓＋＝1 (a>b>0)的離心率為e＝，連接橢圓的四個
頂點得到的菱形的面積為4．
(1)求橢圓的方程；
(2)設直線l與橢圓相交于不同的兩點A，B．已知點A的坐標為(－a,0)，點Q(0，y0)在線段AB的垂直平分線上，且·＝4．求y0的值．
探究提高:　(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．
(2)涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，如本題(2)的求解中，常因忽略直線l與x軸重合的特殊形式而失分．
變式訓練3(2011·北京)已知橢圓G：＋y2＝1．過點(m,0)作圓x2＋y2＝1的切線l交橢圓G于A，B兩點．
(1)求橢圓G的焦點坐標和離心率；
(2)將|AB|表示為m的函數，并求|AB|的最大值．
五、解題思想方法示范(對稱與變換的思想在橢圓中的應用)
試題：(12分)在直線l：x－y＋9＝0上任取一點P，過點P以橢圓＋＝1的焦點為焦點作橢圓．則點P在何處時，所求橢圓的長軸最短？并求出長軸最短時的橢圓方程．
審題視角　(1)所求橢圓的焦點即橢圓＋＝1的焦點，因而可求．(2)P到兩焦點F1、F2的距離之和即為所求橢圓的長軸長．(3)要使長軸最短，即為在l上求一點P到F1、F2的距離之和最短，因而，利用平面幾何的對稱求解．
規范解答
解：F1(-3,0)，F2(3,0)在l同側，如圖所示，
作F2關于l的對稱點F2′，連接F1F2′，則
F1F2′與l的交點即為所求點P．連接PF1、PF2．
設F2′(x0，y0)，
則得F2′(－9,12)． [5分]
所以F1F2′的方程為y＝－2(x＋3)，
將其與x－y＋9＝0聯立，解方程組得
即P點坐標為(－5,4)． [9分]
此時，2a＝|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PF2′|＝|F1F2′|＝6， [11分]
所以當長軸最短時，a＝3，c＝3，b＝6．
所以橢圓的方程為＋＝1． [12分]
批閱筆記：(1)利用對稱思想求最值是平面幾何中一種巧妙的方法，注意總結規律，找出其適用的情況．
(2)本題易錯原因：不會審題，或審題不準，找不到問題的切入點，無從下手．
六、思想方法 感悟提高
方法與技巧
1．橢圓上任意一點M到焦點F的所有距離中，長軸端點到焦點的距離分別為最大距離和最小距離，且最大距離為a＋c，最小距離為a－c．
2．求橢圓離心率e時，只要求出a，b，c的一個齊次方程，再結合
b2＝a2－c2就可求得e (03．求橢圓方程時，常用待定系數法，但首先要判斷是否為標準方程，判斷的依據是：(1)中心是否在原點，(2)對稱軸是否為坐標軸．
失誤與防范
1．求橢圓方程時，在建立坐標系時，應該盡可能以橢圓的對稱軸為坐標軸以便求得的方程為最簡方程——橢圓的標準方程．
2．注意橢圓上點的坐標范圍，特別是把橢圓上某一點坐標視為某一函數問題求解時，如求函數的單調區間、最值時．
§8.5 橢圓
A組　專項基礎訓練
一、選擇題
1．已知橢圓C的短軸長為6，離心率為，則橢圓C的焦點F到長軸的一個端點的距
離為 (　　)
　 A．9 B．1 C．1或9 D．以上都不對
2．已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為，且它的長軸長等于圓C：x2＋y2－2x－15＝0的半徑，則橢圓的標準方程是 (　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋＝1
3．已知橢圓＋y2＝1的左、右焦點分別為F1、F2，點M在該橢圓上，且·＝0，則點M到y軸的距離為 (　　)
A． B． C． D．
二、填空題
4．方程為＋＝1 (a>b>0)的橢圓的左頂點為A，左、右焦點分別為F1、F2，D是它
短軸上的一個端點，若3＝＋2，則該橢圓的離心率為________．
5．如圖，已知點P是以F1、F2為焦點的橢圓＋＝1 (a>b>0) 上一點，
若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝，則此橢圓的離心率是________．
6．如圖所示，A，B是橢圓的兩個頂點，C是AB
的中點，F為橢圓的右焦點，OC的延長線交橢
圓于點M，且|OF|＝，若MF⊥OA，則橢圓的
方程為__________．
三、解答題
7．設橢圓C：＋＝1 (a>b>0)的離心率e＝，點A是橢圓上的一點，且點A到橢圓C兩焦點的距離之和為4.
(1)求橢圓C的方程；
(2)橢圓C上一動點P(x0，y0)關于直線y＝2x的對稱點為P1(x1，y1)，求3x1－4y1的取值范圍．
8．已知橢圓＋＝1 (a>b>0)的長軸長為4，離心率為，點P是橢圓上異于頂點的任意一點，過點P作橢圓的切線l，交y軸于點A，直線l′過點P且垂直于l，交y軸于點B.
(1)求橢圓的方程；
(2)試判斷以AB為直徑的圓能否經過定點？若能，求出定點坐標；若不能，請說明理由．
B組　專項能力提升
一、選擇題
1．已知F1，F2為橢圓＋＝1的兩個焦點，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點在y軸上，且|PF1|＝t|PF2|，則t的值為 (　　)
A．3 B．4 C．5 D．7
2．若點O和點F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則·的最大值為 (　　)
A．2 B．3 C．6 D．8
3．在橢圓＋＝1內，通過點M(1,1)，且被這點平分的弦所在的直線方程為(　　)
A．x＋4y－5＝0 B．x－4y－5＝0
C．4x＋y－5＝0 D．4x－y－5＝0
二、填空題
4．如圖，在平面直角坐標系中，A1、A2、B1、B2分別為
橢圓＋＝1 (a>b>0)的四個頂點，F為其右焦點，
直線A1B2與直線B1F相交于點T，線段OT與橢圓的交點M恰
為線段OT的中點，則該橢圓的離心率為__________．
5．在平面直角坐標系中，設橢圓＋＝1 (a>b>0)的焦距為2c，以點O為圓心，
a為半徑作圓M.若過點P所作圓M的兩條切線互相垂直，則該橢圓的離心率
為________．
6．設F1、F2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標為(6,4)，則|PM|＋|PF1|的最大值為________．
7．若橢圓＋＝1的焦點在x軸上，過點(1，)作圓x2＋y2＝1的切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程是________ ______．
三、解答題
8．設A、B分別為橢圓＋＝1 (a>b>0)的左、右頂點，為橢圓上一點，橢圓長半軸的長等于焦距．
(1)求橢圓的方程；
(2)設P(4，x) (x≠0)，若直線AP，BP分別與橢圓相交異于A，B的點M，N，求證：∠MBN為鈍角．
§8.5 橢圓 答案
要點梳理
1．橢圓 　焦點 　焦距　 (1)a>c 　(2)a＝c (3)a基礎自測
1．14　 2. 　 3. 　 4. A　 5. B　
題型分類·深度剖析
例1　＋＝1
變式訓練1　解：　設橢圓的標準方程是＋＝1 (a>b>0)或＋＝1 (a>b>0)，
兩焦點分別為F1，F2，則由題意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，
∴a＝.
在方程＋＝1中令x＝±c 得|y|＝，
在方程＋＝1中令y＝±c 得|x|＝，
依題意并結合圖形知＝.∴b2＝.
即橢圓的標準方程為＋＝1或＋＝1.
例2　(1)解：　設橢圓方程為＋＝1 (a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn
＝4a2－3mn≥4a2－3·2＝4a2－3a2＝a2(當且僅當m＝n時取等號)．
∴≥，即e≥.
又0(2)證明　由(1)知m n＝b2，
∴S△PF1F2＝m n sin 60°＝b2， 即△PF1F2的面積只與短軸長有關．
變式訓練2　＋y2＝1
橢圓上到點P的距離等于的點的坐標為和
例3　解：　(1)由e＝＝，得3a2＝4c2，再由c2＝a2－b2，
得a＝2b，由題意可知×2a×2b＝4，即a b＝2.
解方程組，得a＝2，b＝1，
所以橢圓的方程為＋y2＝1.
( 2)由(1)知A(－2,0)，且直線l的斜率必存在．
設B點的坐標為(x1，y1)，直線l的斜率為k，則l的方程為y＝k(x＋2)．
于是A，B兩點的坐標滿足方程組由方程消去y并整理，
得(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0.
由－2x1＝，得x1＝， 從而y1＝.
設線段AB的中點為M，則M點的坐標為.
以下分兩種情況：
①當k＝0時，點B的坐標為(2,0)，線段AB的垂直平分線為y軸，
于是＝(－2，－y0)，＝(2，－y0)．
由·＝4，得y0＝±2.
②當k≠0時，線段AB的垂直平分線方程為y －＝－.
令x＝0，解得y0＝－.
由＝(－2，－y0)，＝(x1，y1－y0)，
·＝－2x1－y0(y1－y0)＝＋
＝＝4，
整理得7k2＝2. 故k＝±，所以y0＝±.
綜上，y0＝±2或y0＝±.
變式訓練3　(1)焦點坐標為(－，0)，(，0)，離心率為
(2)|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)　|AB|的最大值為2
A組　專項基礎訓練
1．C　 2. A　 3. B　 4. 　 5. 　 6. ＋＝1
7．解　(1)依題意知，2a＝4，∴a＝2.
∵e＝＝，∴c＝，b＝＝.
∴所求橢圓C的方程為＋＝1.
(2)∵點P(x0，y0)關于直線y＝2x的對稱點為P1(x1，y1)，
∴解得：x1＝，y1＝.
∴3x1－4y1＝－5x0.
∵點P(x0，y0)在橢圓C：＋＝1上，
∴－2≤x0≤2，則－10≤－5x0≤10.
∴3x1－4y1的取值范圍為[－10,10]．
8．解　(1)∵2a＝4，＝，
∴a＝2，c＝1，b＝. ∴橢圓的方程為＋＝1.
(2)能．設點P(x0，y0) (x0≠0，y0≠0)，由題意知直線l的斜率存在．
設直線l的方程為y－y0＝k(x－x0)，代入＋＝1，
整理得(3＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4(y0－kx0)2－12＝0.
∵x＝x0是方程的兩個相等實根，∴2x0＝－，解得k＝－.
∴直線l的方程為y－y0＝－(x－x0)．
令x＝0，得點A的坐標為.
又∵＋＝1，∴4y20＋3x20＝12. ∴點A的坐標為.
又直線l′的方程為y－y0＝(x－x0)，
令x＝0，得點B的坐標為.
∴以AB為直徑的圓的方程為x· x＋·＝0.
整理，得x2＋y2＋y－1＝0. 令y＝0，得x＝±1，
∴以AB為直徑的圓恒過定點(1,0)和(－1,0)．
B組　專項能力提升
1．D　 2.C　 3.A　 4.2－5 5.　 6.15　 7.＋＝1
8．(1)解　依題意得，a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，
設橢圓方程為＋＝1，將代入，得c2＝1，
故橢圓方程為＋＝1.
(2)證明　由(1)知，A(－2,0)，B(2,0)，
設M(x0，y0)，則－2由P，A，M三點共線，得x＝，
＝(x0－2，y0)，＝，
·＝2x0－4＋＝(2－x0)>0，
即∠MBP為銳角，則∠MBN為鈍角．

§8.6 雙曲線
一、要點梳理
1．雙曲線的概念
平面內動點P與兩個定點F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距離之差的絕對值為常數2a (2a<2c)，則點P的軌跡叫____________．這兩個定點叫雙曲線的________，兩焦點間的距離叫________．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c為常數且a>0，c>0：
(1)當________時，P點的軌跡是雙曲線；
(2)當a＝c時，P點的軌跡是____________；
(3)當________時，P點不存在．
2．雙曲線的標準方程和幾何性質
標準方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
圖形
性
質
范圍
xa或x≤－a，y ∈R
x ∈R，y≤－a或ya
對稱性
對稱軸：坐標軸　對稱中心：原點
頂點
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線
y＝±x
y＝±x
離心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
實虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的半實軸長，b叫做雙曲線的半虛軸長
a、b、c
的關系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
二、難點正本　疑點清源
1．雙曲線中a，b，c的關系
雙曲線中有一個重要的R t △OAB(如右圖)，
它的三邊長分別是a、b、c．易見c2＝a2＋b2，
若記∠AOB＝θ，則e＝＝．
2．雙曲線的定義用代數式表示為||MF1|－|MF2||＝2a，
其中2a<|F1F2|，這里要注意兩點：
(1)距離之差的絕對值． (2)2a<|F1F2|．
這兩點與橢圓的定義有本質的不同：
①當|MF1|－|MF2|＝2a時，曲線僅表示焦點F2所對應的一支；
②當|MF1|－|MF2|＝－2a時，曲線僅表示焦點F1所對應的一支；
③當2a＝|F1F2|時，軌跡是一直線上以F1、F2為端點向外的兩條射線；
④當2a>|F1F2|時，動點軌跡不存在．
3．漸近線與離心率
－＝1 (a>0，b>0)的一條漸近線的斜率為＝＝＝．可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實質都表示雙曲線張口的大小．
三、基礎自測
1．已知點F1(－4,0)和F2(4,0)，一曲線上的動點P到F1，F2距離之差為6，該曲線方程是_________________________________________．
2．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長是實軸長的2倍，則m＝_____________．
3．已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為頂點的四邊形中，有一個內角為60°，則雙曲線C的離心率為________．
4．已知雙曲線－＝1 (a>0，b>0)和橢圓＋＝1有相同的焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為________．
5．若雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為 (　　)
A． B．5 C． D．2
四、題型分類 深度剖析
題型一　雙曲線的定義
例1　已知定點A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C為一個焦點作過A、B的橢圓，求另一焦點F的軌跡方程．
探究提高：　雙曲線的定義理解到位是解題的關鍵．應注意定義中的條件“差的絕對值”，弄清所求軌跡是雙曲線的兩支，還是雙曲線的一支．若是一支，是哪一支，以確保解答的正確性．
變式訓練1 在平面直角坐標系中，已知△ABC的頂點A(－6，0)和C(6,0)，若頂點B在雙曲線－＝1的左支上，則＝________．
題型二　雙曲線的標準方程
例2　根據下列條件，求雙曲線方程：
(1)與雙曲線－＝1有共同的漸近線，且過點(－3,2)；
(2)與雙曲線－＝1有公共焦點，且過點(3，2)．
探究提高：求雙曲線的方程，關鍵是求a、b，在解題過程中應熟悉各元素
(a、b、c、e)之間的關系，并注意方程思想的應用．若已知雙曲線的漸近線方程為a x ±b y＝0，可設雙曲線方程為a2x2－b2y2＝λ (λ≠0)．
變式訓練2 (1)若雙曲線的漸近線方程為y＝±3x，它的一個焦點是(，0)，求雙曲線的方程；
(2)已知雙曲線的漸近線方程為y＝±x，并且焦點都在圓x2＋y2＝100上，求雙曲線的方程．
題型三　雙曲線的幾何性質
例3　中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1，F2，且|F1F2|＝2，橢圓的長半軸與雙曲線半實軸之差為4，離心率之比為3∶7．
(1)求這兩曲線方程；
(2)若P為這兩曲線的一個交點，求cos∠F1PF2的值．
探究提高：　在研究雙曲線的性質時，半實軸、半虛軸所構成的直角三角形是值得關注的一個重要內容；雙曲線的離心率涉及的也比較多．由于e＝是一個比值，故只需根據條件得到關于a、b、c的一個關系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后變形求e，并且需注意e>1．
變式訓練3 如圖，已知F1、F2為雙曲線－＝1 (a>0，b>0)
的焦點，過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，
且∠PF1F2＝30°，求：(1)雙曲線的離心率；
(2)雙曲線的漸近線方程．
題型四　直線與雙曲線的位置關系
例4　過雙曲線－＝1的右焦點F2，傾斜角為30°的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，F1為左焦點．
(1)求|AB|； (2)求△AOB的面積；
(3)求證：|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|．
探究提高：雙曲線的綜合問題主要為直線與雙曲線的位置關系．解決這類問題的常用方法是設出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方程組成方程組，消元后轉化成關于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數的關系及整體代入的思想解題．設直線與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，直線的斜率為k，則|AB|＝|x1－x2|．
變式訓練4 直線l：y＝k x＋1與雙曲線C：2x2－y2＝1的右支交于不同的兩點A、B．
(1)求實數k的取值范圍；
(2)是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．
　五、易錯警示（忽視直線與雙曲線相交的判斷致誤）
試題：(12分)已知雙曲線x2－＝1，過點P(1,1)能否作一條直線l，與雙曲線交于A、B兩點，且點P是線段AB的中點？
審題視角　(1)本題屬探索性問題．若存在，可用點差法求出AB的斜率，進而求方程；也可以設斜率k，利用待定系數法求方程．(2)求得的方程是否符合要求，一定要注意檢驗．
規范解答
解：設點A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，且線段AB的中點為(x0，y0)，
若直線l的斜率不存在，顯然不符合題意． [2分]
設經過點P的直線l的方程為y－1＝k(x－1)，
即y＝k ＋1－k． [3分]
由
得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0 (2－k2≠0)．①　 [6分]
∴x0＝＝．
由題意，得＝1，解得k＝2． [8分]
當k＝2時，方程①成為2x2－4x＋3＝0．
Δ＝16－24＝－8<0，方程①沒有實數解． [11分]
∴不能作一條直線l與雙曲線交于A，B兩點，且點P(1,1)是線段AB的中點．
[12分]
批閱筆記:　(1)本題是以雙曲線為背景，探究是否存在符合條件的直線，題目難度不大，思路也很清晰，但結論卻不一定正確．錯誤原因是考生忽視對直線與雙曲線是否相交的判斷，從而導致錯誤，因為所求的直線是基于假設存在的情況下所得的．(2)如將本題中點P的坐標改為(1,2)，看看結論怎樣？
六、思想方法 感悟提高
方法與技巧
1．兩條雙曲線的漸近線的交點就是雙曲線的中心．
2．焦點到漸近線的距離等于半虛軸長b．
3．有共同漸近線的兩條雙曲線可能是：共軛雙曲線；放大的雙曲線；共軛放大或放大后共軛的雙曲線．所以與雙曲線－＝1有共同漸近線的雙曲線的方程可設為－＝t (t≠0)．
4．已知雙曲線的標準方程求雙曲線的漸近線方程時，只要令雙曲線的標準方程中的“1”為“0”就得到兩漸近線方程，即方程－＝0就是雙曲線
－＝1的兩條漸近線方程．
失誤與防范
1．區分雙曲線中的a，b，c大小關系與橢圓中的a，b，c大小關系，在橢圓中a2＝b2＋c2，而在雙曲線中c2＝a2＋b2．
2．雙曲線的離心率大于1，而橢圓的離心率e∈(0,1)．
3．雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的漸近線方程是y＝±x，－＝1 (a>0，b>0)的漸近線方程是y＝±x．
4．若利用弦長公式計算，在設直線斜率時要注意說明斜率不存在的情況．
5．直線與雙曲線交于一點時，不一定相切，例如：當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交于一點，但不是相切；反之，當直線與雙曲線相切時，直線與雙曲線僅有一個交點．
§8.6 雙曲線
A組　專項基礎訓練
一、選擇題
1．雙曲線中心在原點，且一個焦點為F1(－，0)，點P位于該雙曲線上，線段PF1的中點坐標為(0,2)，則該雙曲線的方程是 (　　)
　 A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．－＝1 D．－＝1
2．設F1、F2分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點，若點P在雙曲線上，且·＝0，則|＋|等于 (　　)
A. B．2 C. D．2
3．若雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的實軸長是焦距的，則該雙曲線的漸近線方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
4．(2011·新課標全國)設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為 (　　)
A. B. C．2 D．3
二、填空題
5．已知中心在原點的雙曲線C，過點P(2，)且離心率為2，則雙曲線C的標準方程為______________________．
6．如圖，點P是雙曲線－＝1上除頂點外
的任意一點，F1、F2分別為左、右焦點，c為
半焦距，△PF1F2的內切圓與F1F2切于點M，
則|F1M|·|F2M|＝________.
7．已知雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，過F2的直線交雙曲線右支于A，B兩點．若△ABF1是以B為頂點的等腰三角形，且△AF1F2，△BF1F2的面積之比S△AF1F2∶S△BF1F2＝2∶1，則雙曲線的離心率為________．
三、解答題
8．已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標軸上，離心率為，且過點
P(4，－)．
(1)求雙曲線方程； (2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：·＝0；
(3)求△F1MF2的面積．
B組　專項能力提升
一、選擇題
1．已知點F1(－，0)、F2(，0)，動點P滿足|PF2|－|PF1|＝2，當點P的縱坐標是時，點P到坐標原點的距離是 (　　)
A. B. C. D．2
2．已知點F是雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是鈍角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是 (　　)
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(1,1＋) D．(2，＋∞)
3．若點O和點F(－2,0)分別為雙曲線－y2＝1 (a>0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則·的取值范圍為 (　　)
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C. D.
二、填空題
4．設雙曲線C：－＝1 (a>0，b>0)的右焦點為F，O為坐標原點．若以F為圓心，FO為半徑的圓與雙曲線C的漸近線y＝x交于點A(不同于O點)，則△OAF的面積為________．
5．設點F1，F2是雙曲線x2－＝1的兩個焦點，點P是雙曲線上一點，若3|PF1|＝4|PF2|，則△PF1F2的面積為________．
6．已知雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為________．
三、解答題
7．設A，B分別為雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的左，右頂點，雙曲線的實軸長為4，焦點到漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知直線y＝x－2與雙曲線的右支交于M、N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使＋＝t，求t的值及點D的坐標．
8．已知橢圓C1的方程為＋y2＝1，雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點．
(1)求雙曲線C2的方程；
(2)若直線l：y＝k x＋與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B，且·>2 (其中O為原點)，求k的取值范圍．
§8.6 雙曲線 答案
要點梳理
1． 雙曲線　 焦點　 焦距　 (1) ac
基礎自測
1. －＝1 (x≥3)　 2. － 3. 　 4. －＝1　 5. A
題型分類·深度剖析
例1　解：　設F(x，y)為軌跡上的任意一點，
∵A、B兩點在以C、F為焦點的橢圓上，
∴|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中a表示橢圓的長半軸長)，
∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，
∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝－＝2，
∴|FA|－|FB|＝2<14.
由雙曲線的定義知，F點在以A、B為焦點，2為實軸長的雙曲線的下支上，
∴點F的軌跡方程是y2－＝1 (y≤－1)．
變式訓練1　 
例2　解　(1)設所求雙曲線方程為－＝λ (λ≠0)，
將點(－3,2)代入得λ＝，
∴所求雙曲線方程為－＝， 即－＝1.
(2)設雙曲線方程為－＝1，
將點(3，2)代入得k＝4，(k＝－14舍去)．
∴所求雙曲線方程為－＝1.
變式訓練2　 (1)x2－＝1 (2)－＝1或－＝1
例3　解：　(1)由已知：c＝，設橢圓長、短半軸長分別為a、b，雙曲線半實、虛
軸長分別為m、n，則，
解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.
∴橢圓方程為＋＝1， 雙曲線方程為－＝1.
(2)不妨設F1、F2分別為左、右焦點，P是第一象限的一個交點，則|PF1|＋|PF2|＝14，
|PF1|－|PF2|＝6， 所以|PF1|＝10， |PF2|＝4.
又|F1F2|＝2，
∴cos∠F1PF2＝＝＝.
變式訓練3　 (1)　 (2)y＝±x
例4　(1)解：　由雙曲線的方程得a＝，b＝，
∴c＝＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)． 直線AB的方程為y＝(x－3)．
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得5x2＋6x－27＝0.
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－.
∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝.
(2)解　直線AB的方程變形為x－3y－3＝0.
∴原點O到直線AB的距離為d＝＝.
∴S△AOB＝|A B| ·d＝××＝.
(3)證明　如圖，由雙曲線的定義得
|AF2|－|AF1|＝2， |BF1|－|BF2|＝2，
∴|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|，
即|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.
變式訓練4　解：　(1)將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線
C的方程2x2-y2=1后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0. ①
依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點，
故解得k的取值范圍是－2(2)設A、B兩點的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，則由①式得②
假設存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F(c,0)．
則由FA⊥FB得：(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0.
即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0.
整理得(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0. ③
把②式及c＝代入③式化簡得5k2＋2k－6＝0.
解得k＝－或k＝?(－2，－)(舍去)，可知存在k＝－使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點．
A組　專項基礎訓練
1．B　2.B　3.C　4.B　5. －＝1或－＝1　6. b2　 7. 
8．(1)解：　∵e＝，∴可設雙曲線方程為x2－y2＝λ.
∵過點(4，－)，∴16－10＝λ，
即λ＝6.∴雙曲線方程為x2－y2＝6.
(2)證明　方法一　由(1)可知，雙曲線中a＝b＝，
∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝， kMF1·kMF2＝＝－.
∵點(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，
∴·＝0.
方法二：　∵＝(－3－2，－m)， ＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2.
∵M點在雙曲線上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴·＝0.
(3)解　△F1MF2的底|F1F2|＝4，由(2)知m＝±.
∴△F1MF2的高h＝|m|＝，
∴S△F1MF2＝×4×＝6.
B組　專項能力提升
1．A　 2.D　 3.B　 4.ab　 5.3　 6.
7．解：　(1)由題意知a＝2，一條漸近線為y＝x，即b x－ay＝0，∴＝，
∴b2＝3，∴雙曲線的方程為－＝1.
(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
則x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，
將直線方程代入雙曲線方程得x2－16x＋84＝0，則 x1＋x2＝16，y1＋y2＝12，
∴　∴
∴t＝4，點D的坐標為(4，3)．
8．解　(1)設雙曲線C2的方程為－＝1，則a2＝4－1＝3，c2＝4，
由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
故C2的方程為－y2＝1.
(2)將y＝k x＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點，得

∴k2≠且k2<1. ①
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
x1＋x2＝，x1x2＝.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.
又∵·>2，得x1x2＋y1y2>2，
∴>2，即>0， 解得由①②得故k的取值范圍為∪.
§8.7 拋物線
一、要點梳理
1．拋物線的概念
平面內與一個定點F和一條定直線l(F?l)的距離______的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的________，直線l叫做拋物線的________．
2．拋物線的標準方程與幾何性質
標準
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2p
x(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的幾何意義：焦點F到準線l的距離
圖形
頂點
O(0,0)
對稱軸
y＝0
x＝0
焦點
F
F
F
F
離心率
e＝1
準線方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范圍
x≥0，y ∈R
x≤0，y ∈R
y≥0，x ∈R
y≤0，x ∈R
開口方向
向右
向左
向上
向下
二、難點正本　疑點清源
1．拋物線的定義
拋物線的定義實質上給出了一個重要的內容：可將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，可以使運算化繁為簡．
2．拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點F到準線的距離，等于焦點到拋物線頂點的距離．牢記它對解題非常有益．
3．求拋物線方程時，要依據題設條件，弄清拋物線的對稱軸和開口方向，正確地選擇拋物線標準方程．
三、基礎自測
1．拋物線y2＝8x上到焦點的距離等于6的點的坐標是______________．
2．若拋物線y2＝2px的焦點與橢圓＋＝1的右焦點重合，則p的值
為________．
3．動圓過點(1,0)，且與直線x＝－1相切，則動圓的圓心的軌跡方程
為______ ____．
4．設拋物線y2＝8x上一點P到y軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是 (　　)
A．4 B．6 C．8 D．12
5．設拋物線y2＝8x的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是 (　　)
A． B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
四、題型分類 深度剖析
題型一　拋物線的標準方程及幾何性質
例1　如圖，已知拋物線y2=2px (p>0)的焦點為F，
A在拋物線上，其橫坐標為4，且位于x軸上方，
A到拋物線準線的距離等于5．過A作AB垂直
于y軸，垂足為B，OB的中點為M．
(1)求拋物線方程；
(2)過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標．
探究提高：(1)求拋物線的標準方程常采用待定系數法，未知數只有p，可利用題中已知條件確定p的值．注意到拋物線方程有四種標準形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再定量．
(2)涉及拋物線幾何性質的問題常結合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征．
變式訓練1 如圖，已知拋物線y2=2px (p>0)有
一個內接直角三角形，直角頂點在原點，兩直角邊
OA與OB的長分別為1 和8，求拋物線方程．
題型二　拋物線的定義及應用
例2　已知拋物線y2＝2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A(3,2)
求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值時點P的坐標．
探究提高：重視定義在解題中的應用，靈活地進行拋物線上的點到焦點的距離與到準線距離的等價轉化，是解決拋物線焦點弦有關問題的重要途徑．
變式訓練2 已知點P是拋物線y2＝2x上的動點，點P到準線的距離為d，且點P在y軸上的射影是M，點A，則|PA|＋|PM|的最小值是 (　　)
A． B．4 C． D．5
題型三　直線與拋物線的位置關系
例3　如圖，傾斜角為α的直線經過拋物線
y2=8x的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點，
(1)求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程；
(2)若α為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x
軸于點P，證明|FP|-|FP| cos 2α為定值，并求此定值．
探究提高：　(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數的關系；(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式
|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．
變式訓練3已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求該拋物線的方程．
(2)O為坐標原點，C為拋物線上一點，若＝＋λ，求λ的值．
五、易錯警示(對拋物線開口方向的審題要規范)
試題：(12分)已知拋物線頂點在原點，焦點在坐標軸上，又知此拋物線上的一點A(m，－3)到焦點F的距離為5，求m的值，并寫出此拋物線的方程．
學生解答展示
審題視角　點A(m，－3)的縱坐標為－3，即點A在x軸下方，故開口方向不能向上．但橫坐標m不確定，因而應對拋物線的開口方向分向下、向左、向右三種情況討論．
規范解答
解：　①若拋物線開口方向向下， 設拋物線方程為x2＝－2py (p>0)，
這時準線方程為y＝，由拋物線定義知－(－3)＝5，解得p＝4，
∴拋物線方程為x2＝－8y， [4分]
這時將點A(m，－3)代入方程，得m＝±2． [5分]
②若拋物線開口方向向左或向右，可設拋物線方程為y2＝2ax (a≠0)，從
p＝|a|知準線方程可統一成x＝－的形式，于是從題設有，
解此方程組可得四組解
，，，
∴y2＝2x，m＝；y2＝－2x，m＝－；y2＝18x，m＝；
y2＝－18x，m＝－． [11分]
綜上所述，所求結果為：y2＝2x，m＝；
y2＝－2x，m＝－； y2＝18x，m＝；
y2＝－18x，m＝－； x2＝－8y，m＝±2． [12分]
批閱筆記：　(1)本題考查的是拋物線的方程．拋物線的標準方程有四種，在求解過程中，首先要根據題目描述的幾何性質判斷方程形式，若只能判斷對稱軸，而不能判斷開口方向，可設為x2＝ay (a≠0)或y2＝ax (a≠0)，然后利用待定系數法和已知條件求解．
(2)有關拋物線標準方程的問題，在審題時一般是一看軸，二看開口方向．平時要注意審題的規范性．
(3)本題錯誤的原因就在于審題不規范，導致漏解．
六、思想方法 感悟提高
方法與技巧
1．拋物線沒有中心，只有一個頂點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸且離心率為e＝1，所以與橢圓、雙曲線相比，它有許多特殊性質，可以借助幾何知識來解決．
2．拋物線的標準方程有四種形式，要掌握拋物線的方程與圖形的對應法則，將拋物線y2＝2px關于y軸、直線x＋y＝0與x－y＝0對稱變換可以得到拋物線的其他三種形式；或者將拋物線y2＝2px繞原點旋轉±90°或180°也可得到拋物線的其他三種形式，這是它們的內在聯系．
3．拋物線的焦點弦：設過拋物線y2＝2px (p>0)的焦點的直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)若直線AB的傾斜角為θ，則|AB|＝；
(3)若F為拋物線焦點，則有＋＝．
失誤與防范
1．求拋物線的標準方程時一般要用待定系數法求p值，但首先要判斷拋物線是否為標準方程，若是標準方程，則要由焦點位置(或開口方向)判斷是哪一種標準方程．
2．注意應用拋物線定義中的距離相等解決問題．
§8.7 拋物線
A組　專項基礎訓練
一、選擇題
1．拋物線y＝4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M到x軸的距離是 (　　)
A. B. C．1 D.
2．已知F是拋物線y2＝x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點到y軸的距離為 (　　)
A. B．1 C. D.
3．設拋物線y2＝8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，P A ⊥l，A為垂足．如果直線AF的斜率為－，那么|PF|等于 (　　)
A．4 B．8 C．8 D．16
4．從拋物線y2＝4x上一點P引拋物線準線的垂線，垂足為M，且|PM|＝5，設拋物線的焦點為F，則△MPF的面積為 (　　)
A．5 B．10 C．20 D.
二、填空題
5．若拋物線的焦點在直線x－2y－4＝0上，則拋物線的標準方程是________________．
6．設P是曲線y2＝4x上的一個動點，則點P到點B(－1，1)的距離與點P到直線
x＝－1的距離之和的最小值為________．
7．若點P到直線y＝－1的距離比它到點(0,3)的距離小2，則點P的軌跡方程
是__________．
三、解答題
8．已知定點A(1,0)和直線x＝－1上的兩個動點E，F，且⊥，動點P滿足∥，∥(其中O為坐標原點)．
(1)求動點P的軌跡C的方程；
(2)過點B(0,2)的直線l與(1)中的軌跡C相交于兩個不同的點M，N，若·<0，求直線l的斜率的取值范圍．
B組　專項能力提升
一、選擇題
1．直線y＝x－3與拋物線y2＝4x交于A、B兩點，過A、B兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為P、Q，則梯形APQB的面積為 (　　)
A．48 B．56 C．64 D．72
2．設F為拋物線y2＝4x的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，若＋＋＝0，則||＋||＋||等于 (　　)
A．9 B．6 C．4 D．3
3．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準線為l，過拋物線C上的點A作準線l的垂線，垂足為M，若△AMF與△AOF(其中O為坐標原點)的面積之比為3∶1，則點A的坐標為 (　　)
A．(2,2) B．(2，－2) C．(2，±) D．(2，±2)
二、填空題
4．設O是坐標原點，F是拋物線y2＝2px (p>0)的焦點，A是拋物線上的一點，與x軸正向的夾角為60°，則||＝________.
5．已知直線l與拋物線y2＝8x交于A、B兩點，且l經過拋物線的焦點F，A點的坐標為(8,8)，則線段AB的中點到準線的距離是________．
6．設拋物線y2＝2px (p>0)的焦點為F，準線為l，點A(0,2)，連接FA交拋物線于點B，過B作l的垂線，垂足為M，若AM⊥MF，則p的值為________．
三、解答題
7.設M、N為拋物線C：y=x2上的兩個動點，過M、N分別
作拋物線C的切線l1、l2，與x軸分別交于A、B兩點，
且l1與l2相交于點P，若|AB|＝1.
(1)求點P的軌跡方程；
(2)求證：△MNP的面積為一個定值，并求出這個定值．
8．已知A(8,0)，B、C兩點分別在y軸上和x軸上運動，并且滿足·＝0，＝，
(1)求動點P的軌跡方程；
(2)若過點A的直線l與動點P的軌跡交于M、N兩點，·＝97，其中Q(－1,0)，求直線l的方程．
§8.7 拋物線 答案
要點梳理
1．相等 　焦點 　準線
基礎自測
1．(4,4)或(4，－4)　 2. 4 3．y2＝4x　 4. B　 5. C
題型分類·深度剖析
例1　解：　(1)拋物線y2＝2px (p>0)的準線為x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2.
∴拋物線的標準方程為y2＝4x.
(2)由(1)得點A的坐標是(4,4)，由題意得B(0,4)，M(0,2)，
∵F(1,0)，∴k FA＝. ∵MN⊥FA，∴k MN＝－.
則FA所在直線的方程為y＝(x－1)．
MN所在直線的方程為y－2＝－x.
解方程組，得. ∴N.
變式訓練1　解：設直線OA的方程為y＝k x，k≠0，則直線OB的方程為y＝－x，
由得x＝0或x＝.
∴A點坐標為，B點坐標為(2pk2，－2pk)，由|OA|＝1，|OB|＝8，
可得
②÷①解方程組得k6＝64，即k2＝4. 則p2＝＝.
又p>0，則p＝，故所求拋物線方程為y2＝x.
例2　解：　將x=3代入拋物線方程
y2=2x，得y=.
∵>2，∴A在拋物線內部，如圖．
設拋物線上點P到準線l：x=-的距離為d，由定義知|PA|+|PF|=|PA| +d，當PA⊥l時，|PA| +d最小，最小值為，即|PA|+|PF|的最小值為，此時P點縱坐標為2，代入y2＝2x，得x＝2，∴點P的坐標為(2,2)．
變式訓練2　C　[設拋物線y2＝2x的焦點為F，則F，又點A在拋物線的
外側，拋物線的準線方程為x＝－，則|PM|＝d－，又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|≥.]
例3　(1)解：　由已知得2p＝8，∴＝2.
∴拋物線的焦點坐標為F(2,0)，準線方程為x＝－2.
(2)證明　設A(x A，y A)，B(x B，y B)，直線AB的斜率為k＝tan α，
則直線方程為y＝k(x－2)．
將此式代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0，故x A＋x B＝.
設直線m與AB的交點為E( x E，y E)，
則x E＝＝， y E＝k(x E－2)＝，
故直線m的方程為y－＝－.令y＝0，
得點P的橫坐標為x P＝＋4，故|FP|＝x P－2＝＝.
∴|FP|－|FP| cos 2α＝(1－cos 2α)＝＝8.
∴|FP|－|FP|cos 2α為定值．
變式訓練3　解：　(1)直線AB的方程是y＝2(x－)，與y2＝2px聯立，
從而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.
由拋物線定義得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，
所以p＝4，從而拋物線方程是y2＝8x.
(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化為x2－5x＋4＝0，
從而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，從而A(1，－2)，B(4,4)．
設＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1，4λ－2)，又y23＝8x3，
所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2.
A組　專項基礎訓練
1．D　 2.C 　3.B　 4.B　 5．y2＝16x或x2＝－8y　 6.　 7.x2＝12y
8．解　(1)設P(x，y)，E(－1，y E)，F(－1，y F)．
∵·＝(－2，y E)·(－2，y F)＝y E· y F＋4＝0，
∴y E· y F＝－4， ①
又＝(x＋1，y－y E)，＝(1，－y F)，且∥，∥，
∴y－y E＝0且x(－y F)－y＝0，
∴y E＝y，y F＝－，代入①得y2＝4x(x≠0)，
∴動點P的軌跡C的方程為y2＝4x(x≠0)．
(2)設l：y－2＝k x(易知k存在)，
聯立y2＝4x消去x，得ky2－4y＋8＝0，
令M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1＋y2＝，y1·y2＝，
·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2
＝－＋1＋y1y2
＝2－＋y1y2＋1
＝＋1<0，∴－12則實數k的取值范圍為(－12,0)．
B組　專項能力提升
1．A　 2.B　 3.D　 4. p　 5. 　 6. 
7．(1)解　設M(m，m2)，N(n，n2)，則依題意知，切線l1，l2的方程分別為
y＝2mx－m2，y＝2nx－n2，則A，B，
設P(x，y)，由得， ①
因為|AB|＝1，所以|n－m|＝2，
即(m＋n)2－4mn＝4，將①代入上式得：y＝x2－1，
∴點P的軌跡方程為y＝x2－1.
(2)證明　設直線MN的方程為y＝k x＋b (b>0)．
聯立方程，消去y得x2－k x－b＝0，
所以m＋n＝k，m n＝－b， ②
點P到直線MN的距離d＝，
|MN|＝|m－n|，
∴S△MNP＝d· |MN|＝·|m－n|＝·(m－n)2·|m－n|＝2.
即△MNP的面積為定值2.
8．解：　(1)設B(0，b)，C(c,0)，P(x，y)；
則＝(－8，b)，＝(x，y－b)，＝(c，－b)，＝(x－c，y)．
∴·＝－8x＋b(y－b)＝0. ①
由＝，得∴b＝－y代入①得y2＝－4x.
∴動點P的軌跡方程為y2＝－4x.
(2)當直線l的斜率不存在時，x＝8與拋物線沒有交點，不合題意．
當直線l的斜率存在時，設直線l的斜率為k，
則l：y＝k(x－8)．設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，
由·＝97，得(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝97.
即x1x2＋x1＋x2＋1＋k2(x1－8)(x2－8)＝97，
∴(1＋k2)x1x2＋(1－8k2)(x1＋x2)＋1＋64k2＝97. ②
將y＝k(x－8)代入y2＝－4x 得k2x2＋(4－16k2)x＋64k2＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝64.
代入②式得：64(1＋k2)＋(1－8k2)＋1＋64k2＝97.
整理得k2＝，∴k＝±.
∴l的方程為y＝±(x－8)，
即x－2y－8＝0或x＋2y－8＝0.
§8.8 直線與圓錐曲線
一、要點梳理
1．直線與圓錐曲線的位置關系
(1)從幾何角度看，可分為三類：無公共點，僅有一個公共點及有兩個相異的公共點．
(2)從代數角度看，可通過將表示直線的方程代入二次曲線的方程消元后所得一元二次方程解的情況來判斷．設直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，圓錐曲線方程f(x，y)＝0．
由，消元
如消去y后得ax2＋b x＋c＝0．
①若a＝0，當圓錐曲線是雙曲線時，直線l與雙曲線的漸近線平行或重合；當圓錐曲線是拋物線時，直線l與拋物線的對稱軸平行(或重合)．
②若a≠0，設Δ＝b2－4ac．
a．Δ______0時，直線和圓錐曲線相交于不同兩點；
b．Δ______0時，直線和圓錐曲線相切于一點；
c．Δ______0時，直線和圓錐曲線沒有公共點．
2．直線與圓錐曲線相交時的弦長問題
(1)斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長
|P1P2|＝_ __________或|P1P2|＝________________．
(2)當斜率k不存在時，可求出交點坐標，直接運算(利用軸上兩點間距離公式)．
(3)求經過圓錐曲線的焦點的弦的長度，應用圓錐曲線的定義，轉化為兩個焦半徑之和，往往比用弦長公式簡捷．
3．圓錐曲線的中點弦問題
遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解．在橢圓＋＝1中，以P(x0，y0)為中點的弦所在直線的斜率k＝－；在雙曲線－＝1中，以P(x0，y0)為中點的弦所在直線的斜率k＝；在拋物線y2＝2px (p>0)中，以P(x0，y0)為中點的弦所在直線的斜率k＝．
二、難點正本　疑點清源
1．直線與圓錐曲線的位置關系
直線與圓錐曲線的位置關系，從幾何角度可分為三類：無公共點，僅有一個公共點及有兩個相異公共點．
還可通過代數方法即解方程組的辦法來研究．因為直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數解或實數解的個數問題，此時要注意用好分類討論和數形結合的思想方法．
2．直線與圓錐曲線的位置關系，主要涉及弦長、弦中點、對稱、參數的取值范圍、求曲線方程等問題．解題中要充分重視韋達定理和判別式的應用．
當直線與圓錐曲線相交時：涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長(即應用弦長公式)；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯系起來，相互轉化．同時還應充分挖掘題目中的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍．
解題的主要規律可以概括為“聯立方程求交點，韋達定理求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能
三、題型分類 深度剖析
題型一　直線與圓錐曲線的位置關系
例1　已知定圓A：(x＋1)2＋y2＝16，圓心為A，動圓M過點B(1,0)且和圓
A相切，動圓的圓心M的軌跡記為C．
(1)求曲線C的方程；
(2)若點P(x0，y0)為曲線C上一點，求證：直線l：3x0x＋4y0y－12＝0與曲線C有且只有一個交點．
探究提高：將直線與圓錐曲線的兩個方程聯立成方程組，然后判斷方程組是否有解，有幾個解，這是直線與圓錐曲線的位置關系的判斷方法中最常用的方法，注意：在沒有給出直線方程時，要對是否有斜率不存在的直線的情況進行討論，避免漏解．
變式訓練1 在平面直角坐標系中，經過點(0，)且斜率為k的直線l與橢圓＋y2＝1有兩個不同的交點P和Q．
(1)求k的取值范圍；
(2)設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B，是否存在常數k，使得向量＋與垂直？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由．
題型二　圓錐曲線中的弦長問題
例2　設點F，動圓P經過點F且和直線y＝－相切，記動圓的圓心
P的軌跡為曲線W．
(1)求曲線W的方程；
(2)過點F作互相垂直的直線l1，l2分別交曲線W于A，B和C，D．求四邊形ACBD面積的最小值．
探究提高：由直線與圓錐曲線的方程聯立解方程組是解決這類問題的通法，而相關的最值的討論求解往往需要建立目標函數，進一步轉化為函數法或不等式法來求解．
變式訓練2 (x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓＋＝1 (a>b>0)上的兩點，已知向量m＝ n＝，若m· n＝0且橢圓的離心率e＝，短軸長為2，O為坐標原點．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線AB的斜率存在且直線AB過橢圓的焦點F(0，c)(c為半焦距)，求直線AB的斜率k的值；
(3)試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．
題型三　圓錐曲線中的定值或定點問題
例3　已知定點C(－1,0)及橢圓x2＋3y2＝5，過點C的動直線與橢圓相交于
A，B兩點，在x軸上是否存在點M，使·為常數？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
探究提高：本題的難點是由·的表達式，如何確定m值使其與直線的斜率無關，化解的方法就是對k進行集項，只有當k的系數等于零時，式子的值才能與k無關，即在m2＋2m－－中6m＋14＝0．本題當然也可以先通過特殊位置確定數量積的值和M的坐標，再進行具體證明．
變式訓練3橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，該橢圓經過點P且離心率為．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若直線l：y＝k x＋m與橢圓C相交于A，B兩點(A，B不是左右頂點)，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．
題型四　圓錐曲線中的最值(或取值范圍)問題
例4　已知橢圓＋y2＝1的左焦點為F，O為坐標原點．
(1)求過點O、F，并且與直線l：x＝－2相切的圓的方程；
(2)設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍．
探究提高：直線與圓錐曲線位置關系的判斷、有關圓錐曲線弦的問題等能很好地滲透對函數方程思想和數形結合思想的考查，一直是高考考查的重點，特別是焦點弦和中點弦等問題，涉及中點公式、根與系數的關系以及設而不
求、整體代入的技巧和方法，也是考查數學思想方法的熱點題型．
變式訓練3 已知橢圓C：＋＝1 (a>b>0)與直線x＋y－1＝0相交于A，B兩點．
(1)當橢圓的半焦距c＝1，且a2，b2，c2成等差數列時，求橢圓的方程；
(2)在(1)的條件下，求弦AB的長度；
(3)當橢圓的離心率e滿足≤e≤，且以AB為直徑的圓經過坐標原點O，求橢圓長軸長的取值范圍．
四、解題思想與方法（圓錐曲線中的函數思想）
試題：(12分)已知橢圓＋＝1上的兩個動點P，Q，設P(x1，y1)，
Q(x2，y2)且x1＋x2＝2．
(1)求證：線段PQ的垂直平分線經過一個定點A；
(2)設點A關于原點O的對稱點是B，求|PB|的最小值及相應的P點坐標．
審題視角　(1)引入參數PQ中點的縱坐標，先求kPQ，利用直線PQ的方程求解．(2)建立|PB|關于動點坐標的目標函數，利用函數的性質求最值．
規范解答
(1)證明　∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1＋x2＝2．
當x1≠x2時，由，得＝－·．
設線段PQ的中點N(1，n)，∴k PQ＝＝－， [4分]
∴線段PQ的垂直平分線方程為y－n＝2n(x－1)，
∴(2x－1)n－y＝0，該直線恒過一個定點A(，0)． [6分]
當x1＝x2時，線段PQ的中垂線也過定點A(，0)．
綜上，線段PQ的垂直平分線恒過定點A(，0)． [7分]
(2)解　由于點B與點A關于原點O對稱，
故點B(－，0)． [8分]
∵－2≤x1≤2，－2≤x2≤2，∴x1＝2－x2∈[0,2]，
|PB|2＝(x1＋)2＋y＝(x1＋1)2＋≥， [10分]
∴當點P的坐標為(0，±)時，|PB| min＝． [12分]
批閱筆記：(1)本題是圓錐曲線中的綜合問題，涉及到了定點問題以及最值問題．求圓錐曲線的最值問題是高考考查的一個重要問題，通常是先建立一個
目標函數，然后利用函數的單調性、函數的圖像、函數的有界性或重要不等式等求最值，本題是建立二次函數、利用二次函數的圖像求最值．
(2)本題的第一個易錯點是，表達不出線段PQ的中垂線方程，原因是想不到引入參數表示PQ的中點．第二個易錯點是，易忽視P點坐標的取值范圍．實質上是忽視了橢圓的范圍．
六、思想方法 感悟提高
方法與技巧
1．解決直線與橢圓的位置關系問題，如果直線與橢圓有兩個不同交點，①若根據已知條件能求出兩交點的坐標，這不失為一種徹底有效的方法；②若兩交點的坐標不好表示，可將直線方程y＝k x＋c代入橢圓方程＋＝1整理出關于x(或y)的一元二次方程Ax2＋B x＋C＝0，Δ＝B2－4AC >0，可利用根與系數之間的關系求弦長(弦長為)．
2．弦的中點問題，以及交點與原點連線的垂直等問題．①求弦
長可注意弦是否過圓錐曲線焦點；②弦的中點問題還可利用“點差法”和“對稱法”；③解決AO⊥BO，可以利用向量⊥的充要條件即
·＝0．
失誤與防范
在解決直線與拋物線的位置關系時，要特別注意直線與拋物線的對稱軸平行的特殊情況．
§8.8 直線與圓錐曲線
A組　專項基礎訓練
一、選擇題
1．直線y＝k x＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個公共點，則k的值為 (　　)
　 A．1 B．1或3 C．0 D．1或0
2．AB為過橢圓＋＝1中心的弦，F(c,0)為它的焦點，則△FAB的最大面積為(　　)
A．b2 B．a b C．ac D．b c
3．斜率為1的直線l與橢圓＋y2＝1相交于A、B兩點，則|AB|的最大值為 (　　)
A．2 B. C. D.
二、填空題
4．已知橢圓＋y2＝1的兩個焦點為F1、F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P，則|PF2|＝______.
5．直線y＝k x－2與拋物線y2＝8x交于不同兩點A、B，且AB的中點橫坐標為2，則k的值是________．
6．直線y＝k x＋1與橢圓＋＝1恒有公共點，則m的取值范圍是__________．
三、解答題
7．已知直線y＝k x－1與雙曲線x2－y2＝1的左支交于A、B兩點，若另有一條直線l經過P(－2,0)及線段AB的中點Q.
(1)求k的取值范圍；
(2)求直線l在y軸上的截距b的取值范圍．
8．已知橢圓的一個頂點為A(0，－1)，焦點在x軸上．若右焦點到直線x－y＋2＝0的距離為3.
(1)求橢圓的方程；
(2)設直線y＝k x＋m (k≠0)與橢圓相交于不同的兩點M，N.當|AM|＝|AN|時，求m的取值范圍．
B組　專項能力提升
一、選擇題
1．過拋物線y2＝2px (p>0)的焦點F且傾斜角為60°的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于A、B兩點，則的值等于 (　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
2．已知橢圓E的左、右焦點分別為F1、F2，過F1且斜率為2的直線交橢圓E于P、Q兩點，若△PF1F2為直角三角形，則橢圓E的離心率為 (　　)
A. B. C. D.
3．如圖，已知過拋物線y2=2px (p>0)的焦點F的直線
x-m y+ m=0與拋物線交于A、B兩點，且△OAB
(O為坐標原點)的面積為2，則+的值是 (　　)
A．1 B.
C．2 D．4
二、填空題
4．設拋物線x2＝4y的焦點為F，經過點P(1,4)的直線l與拋物線相交于A、B兩點，且點P恰為AB的中點，則||＋||＝________.
5．已知雙曲線－＝1 (a>1，b>0)的焦距為2c，離心率為e，若點(－1,0)與(1,0)到直線－＝1的距離之和s≥ c，則e的取值范圍是__________．
6．若過拋物線y2＝2px (p>0)的焦點F的直線l依次交拋物線及其準線于點A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程為____________．
三、解答題
7．已知橢圓G：＋＝1 (a>b>0)的離心率為，右焦點為(2，0)，斜率為1的直線l與橢圓G交于A、B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P(－3,2)．
(1)求橢圓G的方程；
(2)求△PAB的面積．
§8.8 直線與圓錐曲線 答案
要點梳理
1． (2)② >　 ＝　 < 2．(1)|x1－x2| 　|y1－y2|
題型分類·深度剖析
【例1】　(1)＋＝1
(2)證明　當y0＝0時，由＋＝1，可得x0＝±2.
①當x0＝2，y0＝0時，直線l的方程為x＝2，此時直線l與曲線C有且只有一個交點(2,0)．
②當x0＝－2，y0＝0時，直線l的方程為x＝－2，此時直線l與曲線C有且只有一個交點(－2,0)．
當y0≠0時，直線l的方程為y＝，
聯立方程組，得消去y，得(4y20＋3x20)x2－24x0x＋48－16y20＝0.(*)
由點P(x0，y0)為曲線C上一點，得＋＝1.于是方程(*)可化簡為x2－2x0x＋x20＝0，解得x＝x0，把x＝x0代入方程y＝，可得y＝y0.故直線l與曲線C有且只有一個交點P(x0，y0)．
綜上，直線l與曲線C有且只有一個交點，且交點為P(x0，y0)．
變式訓練1　(1)∪
(2)解：　設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)
由方程①得，x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝＋2.
∵(＋)⊥，∴(x1＋x2)·(－)＋y1＋y2＝0，
即：－·(－)－＋2＝0.
解得：k＝－，由(1)知k2>，與此相矛盾，所以不存在常數k使＋與垂直．
【例2】　(1)x2＝6y　(2)四邊形ACBD面積的最小值是72
變式訓練2　(1)＋x2＝1　(2)±
(3)解　①當直線AB的斜率不存在時，即x1＝x2，y1＝－y2，
由m·n＝0，得-＝0，即＝4，
又A(x1，y1)在橢圓上，所以＋＝1，
所以|x1|＝，|y1|＝，
所以S△AOB＝|x1|·|y1－y2|＝|x1|·|y1|＝1，所以△AOB的面積為定值．
②當直線AB的斜率存在時：
設直線AB的方程為y＝k x＋b，
由，得(k2＋4)x2＋2kbx＋b2－4＝0，
則x1＋x2＝，x1x2＝，
由x1x2＋＝0，得x1x2＋＝0，
整理得：2b2－k2＝4，
所以S△AOB＝·|AB|＝|b|＝＝＝1，
所以△AOB的面積為定值．
【例3】　解　假設在x軸上存在點M(m,0)，使·為常數．設A(x1，y1)，B(x2，y2)．
①當直線AB與x軸不垂直時，直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y＝k(x＋1)，將y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5，
消去y整理，得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.
則
所以·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)
＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2.
整理，得·＝＋m2＝＋m2
＝m2＋2m－－.
注意到·是與k無關的常數，從而有6m＋14＝0，m＝－，此時·＝.
②當直線AB與x軸垂直時，此時點A，B的坐標分別為A、B，
當m＝－時，亦有·＝.
綜上，在x軸上存在定點M，使·為常數．
變式訓練3　(1)＋＝1
(2)證明　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯立得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0.
則 ①
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋m k(x1＋x2)＋m2＝.
∵橢圓的右頂點為A2(2,0)，AA2⊥BA2，
∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，
∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，
∴＋＋＋4＝0，∴7m2＋16mk＋4k2＝0，
解得m1＝－2k，m2＝－，
由①，得3＋4k2－m2>0，
當m1＝－2k時，l的方程為y＝k(x－2)，直線過定點(2,0)，與已知矛盾．
當m2＝－時，l的方程為y＝k，直線過定點，
∴直線l過定點，定點坐標為
【例4】　(1)2＋(y±)2＝
(2)點G橫坐標的取值范圍為
變式訓練4　(1)＋＝1　 (2) (3)(，)
A組　專項基礎訓練
1．D　 2.D　 3.C　 4．　 5.2　 6.m≥1且m≠5
7．(1)－2＋
8．解　(1)依題意可設橢圓方程為＋y2＝1，
則右焦點F(，0)，由題設得＝3，
解得a2＝3.故所求橢圓的方程為＋y2＝1.
(2)設P為弦MN的中點，由得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，
∵直線與橢圓相交，
∴Δ＝(6mk)2－4(3k2＋1)×3(m2－1)>0 得m2<3k2＋1. ①
∴x P＝＝－，從而y P＝k x P＋m＝，
∴k AP＝＝－，
又∵|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，
則－＝－，即2m＝3k2＋1. ②
把②代入①得m2<2m，解得0由②得k2＝>0，解得m>.
綜上求得m的取值范圍是B組　專項能力提升
1．C　 2.A　 3.C　 4.10 5.　 6.y2＝3x
7．解　(1)由已知得c＝2，＝.
解得a＝2，又b2＝a2－c2＝4.
所以橢圓G的方程為＋＝1.
(2)設直線l的方程為y＝x＋m. 由，
得4x2＋6mx＋3m2－12＝0. ①
設A、B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2) (x1則x0＝＝－，y0＝x0＋m＝；
因為AB是等腰△PAB的底邊，所以PE⊥AB.
所以PE的斜率k＝＝－1.
解得m＝2.此時方程①為4x2＋12x＝0.
解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.
所以|AB|＝3.此時，點P(－3,2)到直線AB：x－y＋2＝0的距離
d＝＝，
所以△PAB的面積S＝|A B| ·d＝.
專題八 解析幾何綜合測試題
本試卷分為第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，
考試時間120分鐘．
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，答案直接填寫到答題卡相應位置）
1.“”是“直線和直線平行”的 （ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
2.（2012陜西文）已知圓,過點的直線,則 （ ）
A．與相交 B．與相切
C．與相離 D．以上三個選項均有可能
3.拋物線的焦點到準線的距離是 （ ）
A． 1 B．2 C．4 D．8
4.（2012廣東文）在平面直角坐標系中,直線與圓相交于、兩點,則弦的長等于 （ ）
A． B． C． D．1
5.已知點，則軸上與點、距離之和最短的點的坐標是（ ）
A. (-1,0) B. (1,0) C. D.
6.（2012新課標文）等軸雙曲線的中心在原點,焦點在軸上,與拋物線的準線交于、兩點,=,則的實軸長為 （ ）
A． B． C．4 D．8
7．圓與圓的位置關系為 （ ）
A．內切 B．相交 C．外切 D．相離
8.拋物線與直線交于、兩點，其中點的坐標為，設拋物線的焦點為，則等于 （ ）
A．7 B． C．6 D．5
9.【2012唐山市高三上學期期末】已知雙曲線的漸近線為，焦點坐標為（-4，0
（4，0），則雙曲線方程為（ ）
A． B． C． D．
10.設集合U={(,)｜∈R,∈R},A={(,)｜2-+>0},B={(,)｜+-≤0}，那么點P(2，3)∈A ∩(CUB)的充要條件是 （ ）
A．>－1且<5 B．<－1且<5
C．>－1且>5 D．<－1且>5
11.（2012新課標文）設,是橢圓:=1(>>0)的左、右焦點,為直線 上一點,△是底角為的等腰三角形,則的離心率為 （ ）
A． B． C． D．
12.【2012武昌區高三年級元月調研文】已知拋物線方程為，直線的方程為，在拋物線上有一動點P到y軸的距離為，P到直線的距離為，則 的最小值為 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：（本大題共6小題，每小題5分，共30分．請把答案直接填寫在答題卡相應位置上．）
13. 點在直線上，則的最小值是_______________.
14．（2012天津文）設,若直線與軸相交于點,與軸相交于,且與圓相交所得弦的長為2,為坐標原點,則面積的最小值
為________.
15．已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,且的右焦點為,則______,_______.
16．已知兩點A(1,0)，B(b,0)，若拋物線y2＝4x上存在點C使△ABC為等邊三角形，則
b＝________.
17.【2012黃岡市高三上學期期末考試文】已知直線與雙曲線的一條漸近線平行，則這兩條平行直線之間的距離是 .
18．（2012四川文）橢圓為定值,且的左焦點為,直線與橢圓相交于點、,的周長的最大值是12,則該橢圓的離心率是______.
答題卡
一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
答案
題號
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空題
13． ； 14. ；
15. ； 16. ；
17. ； 18. .
三、解答題：（本大題共5小題，每小題12分，共60分，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
19．在平面直角坐標系中,已知橢圓:()的左焦點為且點在上.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設直線同時與橢圓和拋物線:相切,求直線的方程.
20. 雙曲線，過右焦點F1作斜率為的直線交雙曲線于P、Q兩點，F2為左焦點，若，求雙曲線方程.
21．已知圓C :(x－1)2＋(y－2)2＝2，點P坐標為(2，－1)，過點P作圓C的切線，切點為A，B．
(1)求直線PA，PB的方程；(2)求過P點的圓的切線長；
(3)求直線AB的方程．
22. 若橢圓：的離心率等于，拋物線：的焦點在橢圓的頂點上。
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）過的直線與拋物線交、兩點，又過、作拋物線的切線、，當時，求直線的方程.
23. 已知F1、F2分別是雙曲線的兩個焦點，O為坐標原點，圓O是以F1F2為直徑的圓，直線與圓O相切，并與雙曲線交于A、B兩點.
（1）根據條件求出b和k滿足的關系式；
（2）若，求直線的方程.
專題八 解析幾何綜合測試題 答案
一、選擇題 AACBB CBADA CD
二、填空題
13. 8 14. 3 15. 1, 2 16. 5或－ 17. 18.
三、解答題
19.解： (Ⅰ)由左焦點可知,點在上,所以,即,
所以,于是橢圓的方程為.
(Ⅱ)顯然直線的斜率存在,假設其方程為.
聯立,消去,可得,
由可得①.聯立,消去,
可得,由可得②.由①②,解得或,所以直線方程為或.
20.解F1（，0），F2（－，0），過F1斜率為的直線方程為=（－），代入雙
曲線方程整理得：（7－3）+6－3－7=0，
設P（，）、Q（，），則有＋=,=……①
由得：＋＋（＋）＋=0，
即：8－（＋）＋8=0 ……②
①代入②整理得：3＋4－4=0，又=＋3，聯立此兩式解得：=1。
∴雙曲線方程為：。
21.解 (1)設過P點圓的切線方程為y＋1＝k(x－2)，即k x―y―2k―1＝0．
因為圓心(1，2)到直線的距離為，＝， 解得k＝7，或k＝－1．
故所求的切線方程為7x―y―15＝0，或x＋y－1＝0．
(2)在R t△PCA中，因為|PC|＝＝，|CA|＝，
所以|PA|2＝|PC|2－|CA|2＝8．所以過點P的圓的切線長為2．
(3)容易求出k PC＝－3，所以k AB＝．
如圖，由CA2＝CD·PC，可求出CD＝＝．
設直線AB的方程為y＝x＋b，即x－3y＋3b＝0．
由＝解得b＝1或b＝(舍)．
所以直線AB的方程為x－3y＋3＝0．
22.解 (1)由橢圓方程得，，所以，
由題意得：拋物線的焦點應為橢圓的上頂點，即
所以 拋物線方程為
(2) 可判斷直線的斜率存在，設直線的方程為
設、坐標為 聯立
整理得 所以
由 得 所以
由 所以直線的方程為
23.解（1）雙曲線=1的兩個焦點分別是F1（，0），F2（，0），
從而圓O的方程為由于直線與圓O相切，所以有
即為所求.
（2）設則由 消去y并整理得，
根據韋達定理，得
從而

又由（1）知
即
所以直線的方程為

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