資源簡介

(共28張PPT)
菱形的性質
1
北師版九年級上冊
復習導入
回憶一下，什么是平行四邊形，它有哪些性質？
定義：
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
復習導入
性質：
邊：平行四邊形的對邊平行且相等.
角：平行四邊形的對角相等，鄰角互補.
對角線：平行四邊形的對角線互相平分.
對稱性：平行四邊形是中心對稱圖形.
回憶一下，什么是平行四邊形，它有哪些性質？
觀察平行四邊形圖形的變化，你有什么發現？
菱形的定義：
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
—— 探究新知 ——
下面幾幅圖片中都含有一些平行四邊形，觀察這些平行四邊形，你能發現它們有什么樣的共同特征？
你能舉出一些生活中菱形的例子嗎？與同伴交流。
動手操作，兩人一組，將課前準備好的平行四邊形剪成菱形.
探索并掌握菱形的定義
測量
折疊
重合
平行四邊形
一組鄰邊相等
菱形
（1）菱形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質。你能列舉一些這樣的性質嗎？
想一想
菱形的對邊平行且相等，
對角相等，對角線互相平分。
（2）菱形還具有哪些特殊的性質？與同伴交流。
想一想
1.菱形的四條邊都相等.
2.菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.
3.菱形是軸對稱圖形
做一做
用菱形紙片折一折，回答下列問題：
（1）菱形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？對稱軸之間有什么位置關系？
菱形是軸對稱圖形；
有兩條對稱軸；
兩條對稱軸互相垂直。
做一做
用菱形紙片折一折，回答下列問題：
（2）菱形中有哪些相等的線段？
菱形的四條邊相等。
類比平行四邊形的性質，從邊、角、對角線、對稱性四方面有條理的將結論進行歸納.
邊
角
對角線
對稱性
四條邊都相等
對邊平行
對角相等
對角線互相垂直
對角線互相平分
每一條對角線平分一組對角
既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形
已知：如圖，在菱形ABCD 中，AB=AD, 對角
線 AC 與 BD 相交于點O.
求證: （1）AB=BC=CD=AD;（2）AC⊥BD.
證明:（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=CD,AD=BC（菱形的對邊相等）.
又∵AB=AD, ∴AB=BC=CD=AD.
已知：如圖，在菱形ABCD 中，AB=AD, 對角
線 AC 與 BD 相交于點O.
求證: （1）AB=BC=CD=AD;（2）AC⊥BD.
又∵四邊形ABCD是菱形,
（2）∵AB=AD,
∴ △ABD是等腰三角形.
∴OB=OD（菱形的對角線互相平分）.
在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD,
∴ AO⊥BD，即AC⊥BD.
定理
菱形的四條邊都相等.
菱形的對角線互相垂直.
例1 如圖，在菱形 ABCD 中，對角線 AC 與 BD相交于點 O, ∠BAD = 60°，BD = 6，求菱形的邊長 AB 和對角線 AC 的長。
解：∵四邊形 ABCD 是菱形，
∴AB=AD（菱形的四條邊相等），
AC⊥BD（菱形的對角線互相垂直），
OB=OD= BD= =3（菱形的對角線互相平分）.
在等腰三角形 ABD 中，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形.
∴AB=BD=6.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
OA2 + OB2 = AB2，
∴OA= .
∴AC=2OA= （菱形的對角線互相平分）
1.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD 相交于點O. 已知AB=5cm，AO=4cm ，求 BD 的長.
【選自教材P4頁 隨堂練習】
—— 達標檢測 ——
解：∵四邊形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD（菱形的對角線互相垂直），
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
OA2 + OB2 = AB2，
∴BO =
∵四邊形ABCD 是菱形，
∴BD=2BO= 2×3=6（菱形的對角線互相平分）.
∴BD 的長為 6 cm.
1.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD 相交于點O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求 BD 的長.
【選自教材P4頁 隨堂練習】
—— 達標檢測 ——
2.已知：如圖，在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B.求證：△ABC是等邊三角形.
【選自教材P4頁 習題1.1 第1題】
證明：∵四邊形ABCD是菱形
∴AD∥BC，∴∠BAD+∠B=180°，
又∵∠BAD=2∠B, ∴∠B=60°，
∵AB =BC，∴△ABC是等邊三角形.
3.如圖，在菱形ABCD 中，BD=6，AC=8，求菱形ABCD的周長.
【選自教材P4頁 習題1.1 第2題】
證明：∵四邊形ABCD是菱形
∴AC⊥BD（菱形的對角線互相垂直）
AO=OC，BO=DO（菱形的對角線互相平分）.
在Rt△AOD中，AO=4，DO=3，∴AD=5.
∴菱形 ABCD 的周長為 20.
4.已知：如圖，在菱形ABCD 中，對角線 AC 與 BD 相交于點 O.求證：AC平分∠BAD 和∠BCD，BD 平分∠ABC和∠ADC.
【選自教材P4頁 習題1.1 第3題】
證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD ，BO=DO，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，
同理： AC平分∠BCD，
BD平分∠ABC和∠ADC.
5.如圖，在菱形ABCD 中，對角線 AC 與 BD 相交于點 O.圖中有多少個等腰三角形和直角三角形？
【選自教材P5頁 習題1.1 第4題】
有4個等腰三角形，分別是△ABC、△ADC、△ABD、△BCD.
有4個直角三角形，分別是△AOB、△AOD、△BOC、△COD.
—— 課堂小結 ——
有一組鄰邊相等
具有平行四邊形的所有性質
特殊性質
對角線
邊
軸對稱圖形(共19張PPT)
菱形的判定
1
北師版九年級上冊
菱形的定義和性質？
說一說
復習導入
定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
邊：四條邊相等，對邊平行.
角：對角相等.
對角線：對角線互相垂直平分.
復習導入
菱形
平行四邊形
滿足？條件
探究新知
根據菱形的定義，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.除此之外，你認為還有什么條件可以判斷一個平行四邊形是菱形？先想一想，再與同伴交流.
菱形
平行四邊形
滿足？條件
對角線
邊
角
探究菱形的判定條件
平行四邊形的對角線滿足什么條件時，它就是菱形了？
猜想：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
你能證明嗎？
已知:如圖,在□ABCD 中,對角線 AC 與 BD 交于點 O,
AC⊥BD. 求證: □ABCD 是菱形
證明:∵四邊形 ABCD 是平行四邊形
∴OA = OC
又∵AC⊥BD
∴BD是線段 AC 的垂直平分線
∴BA = BC
∴四邊形 ABCD 是菱形(菱形定義)
定理
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，
AC⊥BD，
∴四邊形 ABCD是菱形。
已知線段AC，你能用尺規作圖的方法作一個菱形ABCD，使AC為菱形的一條對角線嗎？
議一議
如圖，分別以 A，C 為圓心，以大于 AC 為半徑作弧，兩弧交于 B、D，依次連接 A，B，C，D，四邊形 ABCD 看上去是菱形.
菱形
平行四邊形
滿足？條件
對角線
邊
角
探究菱形的判定條件
平行四邊形的邊滿足什么條件時，它就是菱形了？
猜想：四邊相等的四邊形是菱形.
已知：如圖，在四邊形 ABCD 中 AB=BC=CD=DA,
求證：四邊形 ABCD 是菱形。
證明：∵AB=CD，BC=DA,
∴四邊形 ABCD 是平行四邊形，
又∵AB = BC，
∴四邊形 ABCD 是菱形（菱形的定義）
定理
四邊相等的四邊形是菱形.
∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，
AB=BC=CD=DA，
∴四邊形 ABCD是菱形。
做一做
你能用折紙等辦法得到一個菱形嗎？動手試一試！
例2 已知：如圖，在□ABCD 中，對角線 AC 與 BD 相交于點 O，AB = ，OA=2，OB=1.
求證：□ABCD 是菱形.
證明：在△AOB 中，
∵AB = ，OA=2，OB=1，
∴AB2 = AO2 + OB2.
∴△AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角.
∴AC⊥BD.
∴□ABCD 是菱形（對角線垂直的平行四邊形是菱形）.
1.畫一個菱形，使它的兩條對角線的長分別為 4 cm 和 6 cm.
[教材P7 隨堂練習]
達標檢測
（1）作AC=6cm，取AC的中點O,
（2）作BD⊥AC，OB=OD=2cm，
（3）依次連接點A，B，C，D.
2.已知：如圖，在□ABCD 中，對角線 AC 的垂直平分線分別與 AD，AC，BC 相交于點 E，O，F. 求證：四邊形 AFCE 是菱形.
[教材P7 習題1.2 第1題]
證明：在□ABCD 中，AD∥BC，即 AE∥FC.
又∵EF為 AC 的垂直平分線，
∴AC⊥EF，AO = OC，
即∠AOE=∠COF=90°，∠EAO=∠FCO.
∴△FOC≌△EOA，即AE=FC.
∴四邊形 AFCE 為平行四邊形.
又∵AC⊥EF，∴四邊形 AFCE 是菱形.
3.已知：如圖，在菱形ABCD 中，對角線 AC與 BD 相交于點 O ，點 E，F，G，H 分別是 OA，OB，OC，OD 的中點. 求證：四邊形 EFGH 是菱形.
[教材P7 習題1.2 第2題]
證明：∵四邊形 ABCD 是菱形，∴AD CB，AC⊥BD.
又點E，F，G，H 分別為 OA，OB，OC，OD 的中點，
∴HE∥AD且 HE= AD，FG∥BC且 FG = BC，
∴HE GF，即四邊形 EFGH 為平行四邊形.
又∵AC⊥BD，∴四邊形 EFGH 是菱形.
∥
=
∥
=
4.如圖，在四邊形紙片 ABCD 中，AD∥BC，AD > CD，將紙片沿過點 D 的直線折疊，使點 C 落在 AD 上的點 C′ 處，折痕 DE 交 BC 于點 E，連接 C′E. 你能確定四邊形 CDC′E 的形狀嗎？證明你的結論.
[教材P7 習題1.2 第3題]
四邊形 CDC′E 是菱形.
證明：連接 CC′ ，交 DE 于點 O.
由題意可知，OC=OC′，CD=C′D，CE=C′E.
又∵AD∥BC，∠EOC=∠DOC′，
∴△COE≌△C′OD，即 EC=C′D.
又∵C′D=CD，∴C′D=CD=EC=C′E，
∴四邊形 CDC′E 是菱形.
課堂小結
菱形的判定定理
菱形的定義
有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
四邊相等的四邊形是菱形.(共16張PPT)
菱形的性質與判定的綜合運用
北師版九年級上冊
情景導入
如圖所示：在□ABCD 中添加一個條件使其成為菱形：
添加方式1：_________________ .
添加方式2：_________________ .
一組鄰邊相等
AC⊥ BD
☆回憶：菱形有哪些判定？
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
四邊相等的四邊形是菱形.
新課導入
例3 如圖，四邊形ABCD 是邊長為 13cm 的菱形，其中對角線 BD 長為 10 cm.
求：(1)對角線 AC 的長度；
(2)菱形 ABCD 的面積.
解：(1)∵四邊形 ABCD 是菱形，AC 與 BD 相交于點 E，
∴∠AED = 90°（菱形對角線互相垂直），
DE = BD = ×10 = 5（cm）（菱形對角線互相平分）.
∴AE = = = 12（cm）.
∴AC = 2AE = 2×12 = 24（cm）（菱形的對角線互相平分）.
(2) 菱形ABCD 的面積
= △ABD 的面積 + △CBD 的面積
= 2×△ABD 的面積
= 2 × × BD × AE
= 2 × × 10 × 12
= 120 （cm2）.
如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊部分 ABCD 是菱形嗎？為什么？
做一做
證明：∵等寬紙條對邊平行，
∴AD∥BC， AB∥CD，∴□ABCD 是平行四邊形，
從 A點作AM⊥DC 交于點 M,
作AN⊥BC交于點 N,
∵是兩張等寬的紙，∴AM = AN.
∵□ABCD 是平行四邊形，∴∠ABN=∠ADM，
∵AM⊥DC ，AN⊥BC，∴∠ANB =∠AMD = 90°，
∴△ABN≌△ ADM，∴AB = AD,
∴四邊形 ABCD 是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）
如圖你能用一張銳角三角形紙片 ABC 折出一個菱形，使∠A成為菱形一個內角嗎？
先沿著紅色線對折，使AB與AC重合；
再沿著藍色線對折；
最后沿著綠色線對折。
【選自教材P9 隨堂練習 第1題】
達標檢測
1.菱形 ABCD 的周長為 40 cm，它的一條對角線BD 長 10 cm.
（1）求這個菱形的每一個內角的度數；
（2）求這個菱形另一條對角線的長.
解：（1）∵菱形 ABCD 的周長為 40 cm，
∴AB = BC = CD = DA = 10（cm）,
又∵BD = 10（cm），
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠BAD = 60°，∴∠BCD = 60°，
∠ABC =∠CDA = 120°.
【選自教材P9 隨堂練習 第1題】
1.菱形 ABCD 的周長為 40 cm，它的一條對角線BD 長 10 cm.
（1）求這個菱形的每一個內角的度數；
（2）求這個菱形另一條對角線的長.
（2）∵△AEB是直角三角形，
AB =10（cm），BE = 5（cm），
AE = = = （cm）.
AC = 2AE = （cm）
【選自教材P9 隨堂練習 第2題】
2. 已知，如圖，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∠BAC = 60°，
BC 的垂直平分線分別交 BC 和 AB 于點 D、E，點 F 在 DE 延長線上，且 AF = CE, 求證：四邊形 ACEF 是菱形.
證明：由題意知，∠BCA=90°，∠BAC=60°.
又∵ DE 為 BC 垂直平分線，
∴ DF∥AC，∠ECD=∠B=30°，即∠ECA=60°，∴CA = CE =AE.
又∵AF = CE，∴AF = AE.
∵∠FEA =∠EAC= 60°=∠F，∴ EF = AF = AE，
∴AF=EF=CE=CA，∴四邊形 ACEF 是菱形.
【選自教材P9 習題1.3 第1題】
3.已知：如圖，在菱形 ABCD 中，E、F 分別是 AB 和 BC 上的點，且 BE = BF，
求證：(1)△ADE≌CDF； (2) ∠DEF=∠DFE.
證明: (1)在菱形ABCD中, ∠C=∠A,
AD = DC = BC = AB.
∵BE = BF ,∴AE = CF,
∴△ADE≌△CDF .
(2)由(1)可知, DE = DF.
∴∠DEF =∠DFE.
【選自教材P9 習題1.3 第2題】
4. 證明：菱形的面積等于其對角線長的乘積的一半.
證明: 如圖，∵四邊形 ABCD為菱形.
∴AC⊥BD，AO = CO，BO = DO.
∵S菱形ABCD = S△AOB + S△BOC + S△COD + S△DOA
= OA·OB + OB ·OC + OC ·OD + OD ·OA
= OB ·AC + OD ·AC
= AC ·BD，
即菱形的面積等于其對角線乘積的一半.
【選自教材P9 習題1.3 第3題】
5. 如圖，在菱形 ABCD ，對角線 AC 與 BD 相交于點 O，且 AC = 16，BD = 12，求菱形 ABCD 的高 DH .
解: ∵ AB·DH = AC·BD，
而 AC = 16，BD = 12，AB = 10，
∵ DH = ×16×12÷10 = 9.6.
【選自教材P9 習題1.3 第4題】
6. 已知：如圖，在四邊形 ABCD 中，AD = BC，點 E，F，G，H 分別是 AB，CD，AC，BD 的中點. 求證：四邊形 EGFH 是菱形.
證明: ∵點 E, F, G, H 分別是 AB, CD, AC, BD 的中點,
∴FG＝EH ＝ AD , GE ＝ HF ＝ BC．
∵AD ＝ BC, ∴ FG ＝ GE＝ EH ＝ HF．
∴四邊形 EGFH 是菱形．
課堂小結
菱形的面積等于其對角線乘積的一半.
有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
四邊相等的四邊形是菱形.
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
菱形的定義
定理
定理
面積

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