資源簡介

(共30張PPT)
正方形的判定
1
北師版九年級上冊
創設情境，導入新課
正方形的定義
正方形的性質
正方形的對角線相等并且互相垂直平分.
有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形，叫做正方形.
正方形的四個角都是直角，四條邊相等.
將一張長方形紙對折兩次，然后剪下一個角，打開. 怎樣剪才能剪出一個正方形？
探究新知，經歷過程
提示：剪口線與折痕成 45°角即可。
有一個角是直角
有一組鄰邊相等
有一組鄰邊相等
有一個角是直角
對角線相等
對角線垂直
如何判定一個四邊形是正方形，一般思考方法是什么？
判斷四邊形是正方形有哪些方法？
1.先說明它是平行四邊形，再說明有一組鄰邊相等，有一個角是直角.（定義法）
2.先說明它是矩形，再說明這個矩形有一組鄰邊相等.
3.先說明它是菱形，再說明這個菱形有一個角是直角.
定理：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.
已知：ABCD 是矩形，且 AB = BC，試證明，ABCD 是正方形.
證明：∵ABCD 是矩形，
∴∠A = 90°，
又∵AB = BC，
∴ABCD 是正方形（正方形的定義）.
定理：對角線互相垂直的矩形是正方形.
已知：ABCD 是矩形， AC ⊥ BD，試證明，ABCD 是正方形.
證明：∵ABCD 是矩形，
∴∠A = 90°，OA = OB = OC = OD
又∵AC ⊥ BD，
∴△AOB ≌ △AOD（SAS）
∴AB = AD
∴ABCD 是正方形（正方形的定義）.
定理：有一個角是直角的菱形是正方形.
已知：ABCD 是菱形， ∠A=90°，試證明，ABCD 是正方形.
證明：∵ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = DA，
又∵∠A = 90° ，
∴ABCD 是正方形（正方形的定義）.
定理：對角線相等的菱形是正方形.
已知：ABCD 是菱形， AC = BD，試證明，ABCD 是正方形.
證明：∵ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD
∴AC⊥BD（菱形對角線互相垂直）
又∵AC = BD ，
∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.
∴∠ABC = 90°.
∴ABCD 是正方形（正方形的定義）.
例2 已知：如圖，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，
求證：四邊形 BECF 是正方形.
證明：∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四邊形 BECF 是平行四邊形.
∵四邊形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC = 90°，∠DCB = 90°.
又∵BE平分∠ABC，CE 平分∠DCB，
∴∠EBC = ∠ABC = 45°，∠ECB = ∠DCB = 45°.
∴∠EBC = ∠ECB. ∴ EB = EC.
∴□ BECF 是菱形（菱形的定義）.
在△EBC 中，∵∠EBC = 45°，∠ECB = 45°，
∴∠BEC = 90°.
∴菱形 BECF 是正方形（有一個角是直角的菱形是正方形）.
例2 已知：如圖，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，
求證：四邊形 BECF 是正方形.
三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半．
如圖，在△ABC 中，EF 為 △ABC 的中位線，
①若∠BEF = 30°，則∠A =______.
②若 EF = 8 cm, 則 AC =______.
你還記得三角形的中位線定理嗎？
30°
16 cm
一般四邊形的中點四邊形
如圖，任意畫一個四邊形，以四邊的中點為頂點組成一個新四邊形，這個新四邊形的形狀有什么特征？
任意四邊形的中點四邊形 是平行四邊形.
幾何畫板.GSP
如果四邊形 ABCD 變為特殊的四邊形，中點四邊形 EFGH 會有怎樣的變化呢？
原四邊形 中點四邊形
一般四邊形 平行四邊形
平行四邊形 ？
矩形 ？
菱形 ？
正方形 ？
平行四邊形的中點四邊形
平行四邊形的中點四邊形會是什么形狀？
平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形.
你能試著證明這個結論嗎？
（提示：連接AC、BD）
幾何畫板.GSP
矩形的中點四邊形
矩形的中點四邊形會是什么形狀？
矩形的中點四邊形是菱形.
你能試著證明這個結論嗎？
幾何畫板.GSP
已知：如圖，點 E，F，G，H 分別是矩形 ABCD 各邊的中點. 求證：四邊形 EFGH 為菱形.
證明：連接 AC，BD，
∵ E，F 分別是 AB 和 BC 邊中點，
∴EF∥AC 且 EF = AC，
同理可證 HG∥AC且HG = AC，
EH∥BD且EH= BD，FG∥BD且FG= BD.
∴四邊形 EFGH 為平行四邊形.
又∵四邊形 ABCD 是矩形
∴AC=BD（矩形的對角線相等），∴EF = EH
∴四邊形 EFGH 是菱形（菱形的定義）
菱形的中點四邊形
菱形的中點四邊形會是什么形狀？
菱形的中點四邊形是矩形.
幾何畫板.GSP
你能試著證明這個結論嗎？
已知：如圖，點 E，F，G，H 分別是菱形 ABCD 各邊的中點. 求證：四邊形 EFGH 為矩形.
證明：連接 AC，BD，
∵ E，F 分別是 AB 和 BC 邊中點，
∴ EF∥AC ，同理可證 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.
∴EF∥HG，EH∥FG，
∴四邊形 EFGH ，PFQO 為平行四邊形.
又∵四邊形 ABCD 是菱形
∴AC⊥BD（菱形的對角線互相垂直），
∴∠1 = 90°，∠2=90°.
∴四邊形 EFGH 是矩形（矩形的定義）
正方形的中點四邊形
正方形的中點四邊形會是什么形狀？
幾何畫板.GSP
原四邊形 中點四邊形
一般四邊形 平行四邊形
平行四邊形 平行四邊形
矩形 菱形
菱形 矩形
正方形 ？
先猜一猜，再證明.
已知：如圖，點 E，F，G，H 分別是正方形 ABCD 各邊的中點. 求證：四邊形 EFGH 為正方形.
證明：連接 AC，BD，
∵ E，F 分別是 AB 和 BC 邊中點，
∴ EF∥AC 且EF = AC，
同理可證 HG∥AC 且 HG = AC，
EH∥BD且 EH = BD，FG∥BD且FG = BD.
∴四邊形 PFQO 為平行四邊形.
又∵四邊形 ABCD 是正方形，
∴AC = BD（正方形的對角線相等）
AC⊥BD（正方形的對角線互相垂直），
∴EF = FG = HG = EH，∠1 = 90°.
∴四邊形 EFGH 是菱形（四邊相等的四邊形是菱形），∠2 = 90°.
∴四邊形 EFGH 為正方形（有一個角是直角的菱形是正方形）.
已知：如圖，點 E，F，G，H 分別是正方形 ABCD 各邊的中點. 求證：四邊形 EFGH 為正方形.
思考：決定中點四邊形形狀的關鍵因素是什么？
對角線
不垂直，
不相等
平行四邊形
對角線
不垂直，
不相等
平行四邊形
對角線相等
菱形
對角線垂直
矩形
對角線相等且垂直
正方形
歸納
決定中點四邊形 EFGH 的形狀的主要因素是原四邊形 ABCD 的對角線的長度和位置關系。
原四邊形對角線關系 不相等、 不垂直 相等 垂直 相等且
垂直
中點四邊形形狀 平行四邊形 菱形 矩形 正方形
已知：如圖，E，F 是正方形 ABCD 的對角線 BD 上的兩點，且 BE = DF. 求證：四邊形 AECF 是菱形.
【選自教材P25 習題1.8 第2題】
鞏固練習，深化提高
證明: 在正方形 ABCD 中,BE ＝DF,
易證△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD ,
即 CE ＝AE ＝AF ＝FC,
∴四邊形 AECF 是菱形．
2. 如圖，在正方形 ABCD 中，E，F，G，H 分別在它的
四條邊上，且 AE = BF = CG = DH. 四邊形 EFGH 是
什么特殊四邊形？你是如何判斷的？
解：四邊形 EFGH 是正方形.
∵在正方形 ABCD 中，AE=BF=CG=DH，
易證 △AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE,
即EH ＝HG＝GF＝FE,且∠AHE＝∠DGH ．
∵∠DGH ＋∠DHG＝90°,
∴∠EHG＝180°－(∠AHE＋∠DHG)＝90°,
∴四邊形 EFGH 是正方形
【選自教材P25 習題1.8 第3題】
3. 如圖，正方形 ABCD 的對角線相交于點 O，正方形A′B′C′O
與正方形 ABCD 的邊長相等. 在正方形A′B′C′O繞點 O 旋轉
的過程中，兩個正方形重疊的部分與正方形ABCD 的面積
有什么關系？請證明你的結論.
【選自教材P25 習題1.8 第4題】
S重疊部分 = S正方形ABCD
幾何畫板.GSP
證明:如圖,正方形 OA′B′C′ 分別交 AB、BC 于點 E、F．
∵OC ＝ OB,
∠C′OA′＝∠COB ＝ 90°,
∠OCB ＝∠OBA ＝ 45°,
∴ ∠COF ＝ ∠BOE,
則△OFC ≌ △OEB．
∴S重疊部分＝ S△OEB+ S△OBF = S△OFC + S△OBF = S△OBC = S正方形ABCD .
E
F
課堂小結
這節課你們都學會了哪些知識？
定理：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.
定理：對角線互相垂直的矩形是正方形.
定理：有一個角是直角的菱形是正方形.
定理：對角線相等的菱形是正方形.
決定中點四邊形 EFGH 的形狀的主要因素是原四邊形 ABCD 的對角線的長度和位置關系。
原四邊形對角線關系 不相等、 不垂直 相等 垂直 相等且
垂直
中點四邊形形狀 平行四邊形 菱形 矩形 正方形(共22張PPT)
正方形的性質
1
北師版九年級上冊
創設情境，導入新課
生活中的正方形
好
好
學
習
天
天
向
上
像矩形
十
年
樹
木
百
年
樹
人
像菱形
矩形變正方形
一組鄰邊相等
點擊播放
幾何畫板.GSP
菱形變正方形
點擊播放
幾何畫板.GSP
一個角是90°
探究新知，經歷過程
圖中的四邊形都是特殊的平行四邊形. 觀察這些特殊的平行四邊形，你能發現它們有什么樣的共同特征？
你能總結出正方形的定義嗎？
正方形定義：
有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.
議一議
（1）正方形是矩形嗎？是菱形嗎？
（2）你認為正方形具有哪些性質？與同伴交流.
正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形與菱形的所有性質.
你能利用下圖理清下面四個特殊的四邊形之間的關系嗎？
有一個角是直角
有一組鄰邊相等
有一組鄰邊相等
有一個角是直角
相關圖形性質的關系
平行四邊形的性質
對邊平行且相等
對角相等
對角線互相平分
菱形的性質
四條邊相等
對角線互相垂直
四個角都是直角
對角線相等
矩形的性質
正方形的性質
正方形的性質
定理：正方形的四個角都是直角，四條邊相等.
定理：正方形的對角線相等并且互相垂直平分.
AB = BC = CD = DA
∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°
AO = BO = CO = DO，AC⊥BD
想一想
正方形有幾條對稱軸？
正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.
正方形有 4 條對稱軸.
例1 如圖，在正方形 ABCD 中，E 為 CD 上一點，F 為BC 邊延長線上一點，且 CE = CF. BE 與 DF 之間有怎樣的關系？請說明理由.
解：BE = DF, 且 BE⊥DF. 理由如下：
（1）∵四邊形 ABCD 是正方形.
∴BC = DC,∠BCE = 90°（正方形的四條邊都
相等，四個角都是直角）.
∴∠DCF = 180°-∠BCE = 180°-90°= 90°.
∴∠BCE =∠DCF.
又∵CE = CF.
∴△BCE≌△DCF. ∴BE = DF.
例1 如圖，在正方形 ABCD 中，E 為 CD 上一點，F 為BC 邊延長線上一點，且 CE = CF. BE 與 DF 之間有怎樣的關系？請說明理由.
（2）延長 BE 交 DF 于點 M.
∵△BCE ≌ △DCF.
∴∠CBE = ∠CDF.
∵∠DCF = 90°.
∴∠CDF +∠F = 90°.
∴∠CBE +∠F = 90°.
∴∠BMF = 90°.
∴BE ⊥ DF.
議一議
平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間有么關系？你能用一個你喜歡的方式直觀地示它們之間的關系嗎 ？與同伴交流.
平行四邊形
矩形
菱形
正方形
如圖，在正方形 ABCD 中，對角線 AC 與 BD 相交于點 O，圖中有多少個等腰三角形？
【選自教材P21 隨堂練習】
鞏固練習，深化提高
解：圖中共有 8 個等腰三角形.
△OAB、△OBC、△OCD、△ODA、△ABC、△BCD、△CDA、△DAB
2. 如圖，在正方形 ABCD 中，點 F 為對角線 AC 上一點，
連接 BF, DF。你能找出圖中的全等三角形嗎？選擇其
中一對進行證明.
解：圖中的全等三角形共有 3 對，
分別是 △ADC 與 △ABC,
△FCD與 △FCB,
△FAD 與 △FAB．
【選自教材P21 隨堂練習】
2. 如圖，在正方形 ABCD 中，點 F 為對角線 AC 上一點，
連接 BF, DF。你能找出圖中的全等三角形嗎？選擇其
中一對進行證明.
選擇△FAD≌△FAB 證明，過程如下：
∵正方形 ABCD,
∴AD = AB,∠DAF =∠BAF,
又∵AF = AF，
∴△FAD≌△FAB.
【選自教材P21 隨堂練習】
【選自教材P22 習題1.7 第1題】
3. 對角線長為 2 cm 的正方形，邊長是多少？
解：∵ABCD 是正方形，
∴AB = BC，∠B = 90°
△ABC是等腰直角三角形，
AB2 + BC2 = AC2 = 4，
∴AB =
【選自教材P22 習題1.7 第2題】
4. 如圖，四邊形 ABCD 是正方形，△CBE 是等邊三角形，
求∠AEB 的度數.
證明: ∵△BEC 是等邊三角形，
∴BE = EC = BC = AB，
∴△ABE 是等腰三角形，
∴ ∠ABE = 90°-60° = 30 °
∴∠AEB = = 75 °
【選自教材P22 習題1.7 第3題】
5. 如圖，A，B，C，D 四家工廠分別坐落在正方形城鎮的四
個角上.倉庫 P 和 Q 分別位于 AD 和 DC 上，且 PD = QC.
證明兩條直路 BP = AQ 且 BP⊥AQ.
證明: 如圖, AQ 與 BP 交于點 O．
在正方形 ABCD 中,
∵PD ＝ QC, ∴DQ ＝ AP ．
又∵AB ＝ AD ,∠D ＝∠PAB ＝ 90°,
∴△ABP ≌△DAQ．
∴BP ＝AQ,∠DAQ＝∠ABP ．
∵∠ABP ＋∠APB＝ 90°＝∠DAQ＋∠APB．
∴∠AOP ＝90°．∴BP ＝AQ 且 BP ⊥ AQ．
6. 在一個正方形的花壇上，欲修建兩條直的小路，使得兩條
直的小路將花壇分成大小、形狀完全相同的四部分（不考
慮道路的寬度）.你有幾種方法？
【選自教材P22 習題1.7 第4題】
課堂小結
這節課你們都學會了哪些知識？
正方形的定義
正方形的性質
正方形的對角線相等并且互相垂直平分.
有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形，叫做正方形.
正方形的四個角都是直角，四條邊相等.

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