資源簡介

(共24張PPT)
矩形的性質(zhì)
1
北師版九年級上冊
創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課
平行四邊形有哪些性質(zhì)？
對邊平行且相等
對角相等
對角線互相平分
中心對稱圖形
邊
角
對角線
對稱性
利用一個(gè)活動的平行四邊形教具演示,使平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角變化，請同學(xué)們注意觀察：
幾何畫板.GSP
點(diǎn)擊播放
不變：
變：
對邊仍保持相等，對邊仍分別平行，所以仍然是平行四邊形.
角的大小.
探究新知，經(jīng)歷過程
矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.
矩形是生活中常見的圖形，你能舉出一些生活中矩形的例子嗎？與同伴交流.
矩形與四邊形、平行四邊形的關(guān)系
四邊形
平行
四邊形
兩組對邊
分別平行
一個(gè)角
是直角
矩形
你能用集合表示它們之間的關(guān)系嗎？
四邊形
平行四邊形
矩 形
既然矩形是平行四邊形,那么它具有平行四邊形的哪些性質(zhì)？
想一想
性質(zhì) 邊 角 對角線 對稱性
矩形
對邊平行
且相等
對角相等
對角線互相平分
中心對稱圖形
（1）請同學(xué)們以小組為單位，測量身邊的矩形（如書本，課桌，鉛筆盒等）的四條邊長度、四個(gè)角度數(shù)和對角線的長度及夾角度數(shù)，并記錄測量結(jié)果；
（2）根據(jù)測量的結(jié)果，猜想結(jié)論。當(dāng)矩形的大小不斷變化時(shí)，發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？
（3）通過測量、觀察和討論，你能得到矩形的特殊性質(zhì)嗎？
探索活動
點(diǎn)擊播放
幾何畫板.GSP
定理
矩形的四個(gè)角都是直角.
矩形的對角線相等.
定理
你能證明這兩個(gè)定理嗎？
已知：如圖，四邊形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，對角線 AC
與 DB 相交于點(diǎn) O。
求證（1）∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°；（2）AC = BD.
證明：（1）∵四邊形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC=∠CDA，
∠BCD=∠DAB（矩形的對角相等），
AB∥DC（矩形的對邊平行）.
∴∠ABC +∠BCD = 180°.
又∵∠ABC = 90°，∴∠BCD = 90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB = 90°.
已知：如圖，四邊形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，對角線 AC
與 DB 相交于點(diǎn) O。
求證（1）∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°；（2）AC = BD.
（2）∵四邊形 ABCD 是矩形，
∴AB = DC（矩形的對邊相等），
在△ABC 和 △DCB 中，
∵AB = DC,∠ABC = ∠DCB，BC = CB.
∴△ABC ≌∠DCB.
∴AC = DB.
請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的矩形紙片，折一折，觀察并思考。
（1）矩形是不是中心對稱圖形？ 如果是，那么對稱中心是什么？
（2）矩形是不是軸對稱圖形？如果是，那么對稱軸有幾條？
矩形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點(diǎn)
點(diǎn)擊播放
請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的矩形紙片，折一折，觀察并思考。
（1）矩形是不是中心對稱圖形？ 如果是，那么對稱中心是什么？
（2）矩形是不是軸對稱圖形？如果是，那么對稱軸有幾條？
矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸。
點(diǎn)擊播放
矩形的性質(zhì)
矩形的對邊平行且相等.
角
對角線
邊
矩形的對角線相等.
矩形的對角線互相平分.
矩形的四個(gè)角都是直角.
矩形的對角相等.
對稱性
矩形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.
（1） 矩形的兩條對角線可以把矩形分成幾個(gè)直角三角形？ （2）在直角三角形ABC中，你能找到它的一條特殊線段嗎？ （3）你能發(fā)現(xiàn)它有什么特殊的性質(zhì)嗎？
（4）你能借助于矩形加以證明嗎？
議一議
定理：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半.
證明：∵四邊形 ABCD 是矩形，
∴AB = DC（矩形的對邊相等），
∴BE = DE = AE = CE,
在Rt△ABC 中，
AC為斜邊，BE 為斜邊上中線，
∴BE = AC.
例1 如圖，在矩形 ABCD 中，兩條對角線相交于點(diǎn) O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求這個(gè)矩形對角線的長.
解：∵四邊形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD（矩形的對角線相等）
OA = OC = AC，OB = OD = BD，
∴OA = OD。
∵∠AOD = 120°，
∴∠ODA =∠OAD = (180°-120°) = 30°。
∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5.
1. 如圖，在矩形 ABCD 中，兩條對角線 AC 與BD 相交于
點(diǎn) O，AB=6，OA=4. 求 BD 與 AD 的長.
【選自教材P13 隨堂練習(xí)】
鞏固練習(xí)，深化提高
解：∵四邊形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD（矩形的對角線相等），
∴BD = 2AO = 8，
在 Rt△ABD 中，AD2 + AB2 = BD2，
AD2 + 62 = 82，
∴AD = .
【選自教材P13 習(xí)題1.4 第1題】
2. 一個(gè)矩形的對角線長為 6 ，對角線與一邊的夾角是 45°，
求這個(gè)矩形的各邊長.
解：∵四邊形 ABCD 是矩形，
∴ ∠A = 90°，
又∵∠ABD = 45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB = AD，AB2 + AD2 = 62，
∴AB = AD = BC = CD = .
【選自教材P13 習(xí)題1.4 第2題】
3. 一個(gè)矩形的兩條對角線的一個(gè)夾角為 60°，對角線長
為 15，求這個(gè)矩形較短邊的長.
解：∵四邊形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD = 15，∴OD = OC = 7.5，
又∵∠COD = 60，
∴△COD是等邊三角形，
∴ CD = 7.5 .
【選自教材P13 習(xí)題1.4 第3題】
4. 如圖，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D為 AB 的中點(diǎn)，AE∥CD，CE∥AB，試判斷四邊形 ADCE 的形狀，并證明你的結(jié)論.
解：四邊形 ADCE 是菱形，
證明：∵ AE∥CD，CE∥AB，
∴四邊形 ADCE 為平行四邊形.
又∵在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，
D 為 AB 中點(diǎn)，
∴ AD = CD . ∴四邊形 ADCE 為菱形.
【選自教材P134 習(xí)題1.4 第4題】
5. 證明：如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半，
那么這個(gè)三角形是直角三角形.
證明：如圖，在△ABC 中，AC邊的中線 BD 等于 AC 的一半，則 AD = BD = DC，
∴∠1=∠A，∠2=∠C.
又∵∠1+∠A+∠2+∠C = 180°，
∴2（∠1+∠2）=180°，即∠ABC = 90°，
故△ABC 為直角三角形.
課堂小結(jié)
這節(jié)課你們都學(xué)會了哪些知識？
矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形.
矩形的性質(zhì)：
具有平行四邊形的一切特征.
四個(gè)角都是直角.
對角線相等且平分.
直角三角形的一個(gè)性質(zhì)：
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.(共17張PPT)
矩形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用
1
北師版九年級上冊
創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課
矩形的定義
矩形判定定理
矩形判定定理
有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.
有一個(gè)角是直角的平行四邊形.
對角線相等的平行四邊形是矩形.
如圖，矩形 ABCD 的兩條對角線相交于點(diǎn) O，已知∠AOD = 120°，AB = 2.5cm，則∠DAO = ______，AC=______cm，
30°
5
如圖，四邊形 ABCD 是平行四邊形，添加一個(gè)條件__________________，可使它成為矩形。
∠ABC = 90°或 AC = BD
探究新知，經(jīng)歷過程
例3 如圖，在矩形 ABCD 中，AD = 6，對角線 AC 與 BD 交于點(diǎn) O，AE ⊥ BD，垂足為 E，ED = 3BE. 求 AE 的長.
解∵ 四邊形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD = 90°（矩形的四個(gè)都是直角），
AC = BD（矩形的對角線相等）
AO = CO = AC，BO = DO = BD（矩形的對角線互相平分）.
∴AO = BO = DO = BD.
∵ED = 3BE，∴BE = OE，
又∵AE⊥BD，∴AB = AO. ∴AB = AO = BO，
即 △ABO是等邊三角形. ∴∠ABO = 60°.
∴∠ADB = 90°-∠ABO = 90°- 60°= 30°.
∴AE = AD = ×6 = 3.
例4 如圖，在△ABC 中，AB = AC，AD 為∠BAC 的平分線，AN 為△ABC 外角∠CAM 的平分線，CE⊥AN，垂足為 E. 求證：四邊形 ADCE 是矩形.
證明：∵AD 平分∠BAC，AN 平分∠CAM，
∴∠CAD = ∠BAC，∠CAN = ∠CAM.
∴∠DAE =∠CAD +∠CAN
= （∠BAC +∠CAM）
= ×180°
= 90°.
在△ABC中，∵AB = AC，AD為∠BAC 的平分線，
∴AD⊥BC. ∴∠ADC = 90°.
又∵CE⊥AN，∴∠CEA = 90° .
∴四邊形 ADCE 為矩形（有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形）.
想一想
在例題4 中，若連接 DE，交 AC 于點(diǎn) F.
（1）試判斷四邊形 ABDE 的形狀，并證明你的結(jié)論.
四邊形 ABDE 是平行四邊形，
證明：∵△ABC 是等腰三角形且 AD⊥BC，
∴BD = CD,
又∵ADCE是矩形，∴AE = CD，AE∥CD，
∴BD=AE, BD∥AE,
∴四邊形 ABDE 是平行四邊形.
想一想
在例題4 中，若連接 DE，交 AC 于點(diǎn) F.
（2）線段 DF 與 AB 有怎樣的關(guān)系？請證明你的結(jié)論.
DF∥AB，DF = AB.
證明：四邊形 ABDE 是平行四邊形，
∴AC = DE, ∴DF = AC.
又∵AB = AC，∴ DF = AB.
∴DF∥AB.
∵四邊形 ABDE 是平行四邊形.
已知：如圖，四邊形 ABCD 由兩個(gè)全等的等邊三角形 ABD 和 CBD 組成，M，N 分別是 BC 和 AD 的中點(diǎn). 求證：四邊形BMDN是矩形.
【選自教材P18 隨堂練習(xí)】
鞏固練習(xí)，深化提高
證明:∵ △ABD ≌ △CBD ,且△ABD ，△CBD 為等邊三角形，M ，N 分別為 BC，AD 中點(diǎn)，
∴ MD ⊥BC，BN ⊥AD ,
∠DMB＝ 90°,∠DNB ＝ 90°,
∠DBM ＝60°,∠DBN ＝30°,
即∠NBM ＝90°, 得證四邊形 BMDN 是矩形．
【選自教材P18 習(xí)題1.6 第1題】
2. 如圖，在矩形 ABCD 中，對角線 AC 與 BD 相交于點(diǎn) O，
∠ACB = 30°，BD = 4，求矩形 ABCD 的面積.
解: ∵∠ACB ＝ 30°, AC＝BD ＝4，
∴AB＝2，BC＝ ．
∴S矩形ABCD ＝AB·BC ＝ ．
【選自教材P19 習(xí)題1.6 第2題】
3. 如圖，在矩形 ABCD 中，對角線 AC 與 BD 相交于點(diǎn) O，
過點(diǎn) A 作 BD 的垂線，垂足為 E. 已知∠EAD=3∠BAE，
求∠EAO 的度數(shù).
解:由題意,可得∠EAD ＝ × 90°＝ 67.5°．
∵AE⊥BD ，
∴∠BAE ＝90°－∠EAD ＝∠ADE．
∴∠ADE ＝∠DAO ＝ 22.5°,
則∠EAO ＝ 67.5°－22.5°＝ 45°．
4. 已知：如圖，在△ABC中，AB = AC ，D 為 BC 的中點(diǎn)，四邊形 ABDE 是平行四邊形. 求證：四邊形 ADCE 是矩形.
【選自教材P19 習(xí)題1.6 第3題】
證明: 在△ABC 中, AB＝AC, D 為 BC 的中點(diǎn),
∴∠ADC ＝ 90°, BD ＝ CD ．
又∵四邊形 ABDE 是平行四邊形,
∴ BD AE, 則 CD AE．
∴四邊形 ADCE 為平行四邊形．
又∵∠ADC ＝ 90°,
∴四邊形 ADCE 為矩形．
∥
=
∥
=
5. 如圖，在矩形紙片 ABCD 中，AB = 6 cm，BC = 8 cm，
將矩形紙片折疊，使點(diǎn) C 與點(diǎn) A 重合. 請?jiān)趫D中畫出
折痕的長.
【選自教材P19 習(xí)題1.6 第4題】
解: 如圖,連接 EC．在矩形 ABCD 中,
AB ＝ 6 cm, BC＝ 8 cm,
∴AC ＝ 10 cm, ∴AO＝CO＝ 5 cm．
易證 Rt△AOE ≌ Rt△COE, AE ＝ EC．
由勾股定理,得 ED2＋DC2＝EC2＝AE2, 得 EC＝ cm．
∴OE ＝ cm,折痕長 EF ＝ 2OE ＝ 7.5 cm．
6. 如圖，在矩形紙片 ABCD 中，AB = 3，AD = 4，P 是 AD
上不與 A 與 D 重合的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn) P 分別作 AC 和 BD
的垂線，垂足為 E，F(xiàn). 求 PE + PF 的值.
【選自教材P19 習(xí)題1.6 第5題】
解: 如圖, 連接 PO．在矩形 ABCD 中,
AB＝3, AD ＝4,
∴AC＝ BD ＝5, OA ＝OD ＝ ．
又∵ S△AOD ＝ S△APO ＋ S△DPO ＝ S矩形ABCD ,
即 OA·PE ＋ OD · PF＝ AB·AD ,
∴PE＋PF＝ ．
課堂小結(jié)
這節(jié)課你們都學(xué)會了哪些知識？

矩形的定義
矩形判定定理
矩形判定定理
有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.
有一個(gè)角是直角的平行四邊形.
對角線相等的平行四邊形是矩形.(共20張PPT)
矩形的判定
一
北師版九年級上冊
創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課
有一個(gè)角是直角的平行四邊形.
矩形的定義：
平行四邊形
矩形
有一個(gè)角是直角
性質(zhì) 邊 角 對角線
矩形
矩形的對邊平行且相等.
矩形的兩條對角線相等且互相平分.
矩形的四個(gè)角都是直角.
探究新知，經(jīng)歷過程
探索活動
如圖，是一個(gè)平行四邊形活動框架，拉動一對不相鄰的頂點(diǎn)時(shí)，平行四邊形的形狀會發(fā)生變化.
點(diǎn)擊播放
（1）隨著∠α 的變化兩條對角線的長度將發(fā)生怎樣的變化？
（2）當(dāng)兩條對角線的長度相等時(shí)平行四邊形有什么特征？由此你能得到一個(gè)怎樣的猜想？
猜想：對角線相等的平行四邊形是矩形.
對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？
已知：如圖，在 □ ABCD 中，AC ，DB 是它的兩條對角線，AC = DB. 求證：□ ABCD 是矩形.
證明：四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴AB = DC，AB∥DC.
又∵BC = CB，AC = DB，
∴△ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB.
∵AB∥DC，∴∠ABC+ ∠DCB = 180°.
∴∠ABC=∠DCB= 90°.
∴□ABCD 是矩形（矩形的定義）.
定理
對角線相等的平行四邊形是矩形.
四邊形 ABCD 是矩形
□ ABCD
AC = BD
我們知道，矩形的四個(gè)角都是直角.反過來，一個(gè)四邊形至少有幾個(gè)角是直角時(shí)，這個(gè)四邊形就是矩形呢？請證明你的結(jié)論， 并與同伴交流.
想一想
猜想：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.
有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形嗎
已知:如圖，在四邊形 ABCD, ∠A =∠B=∠C = 90°. 求證: 四邊形 ABCD 是矩形.
證明: ∵∠A =∠B =∠C= 90°,
∴∠A+∠B = 180°, ∠B +∠C=180°.
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴四邊形 ABCD 是平行四邊形.
∴四邊形 ABCD 是矩形.
有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.
定理
∠A =∠B =∠C = 90°
四邊形 ABCD 是矩形
1. 如果僅僅有一根較長的繩子，你怎么判斷一個(gè)四邊形是平行四邊形呢？
議一議
用繩子測量四邊形的兩對邊是否相等，相等則是平行四邊形.
2. 如果僅僅有一根較長的繩子，你怎么判斷一個(gè)四邊形是菱形呢？
議一議
拿繩子測量四邊形的每一個(gè)邊長，如果四邊長度一樣，那么根據(jù)菱形的判定定理：四條邊相等的四邊形是菱形。
3. 如果僅僅有一根較長的繩子，你怎么判斷一個(gè)四邊形是矩形呢？
議一議
先用繩子測量四邊形的兩對邊是否相等，相等則是平行四邊形.
再用繩子測量對角線是否相等.
對角線相等的平行四邊形是矩形.
例2 如圖在 □ ABCD 中，對角線 AC 和 BD 相交于點(diǎn) O，△ABO 是等邊三角形，AB = 4.
求 □ ABCD 的面積.
解: ∵四邊形 ABCD 是平行四邊形,
∴OA = OC,OB = OD.
又∵△ABO 是等邊三角形，
∴OA = OB = AB = 4.
∴OA = OB = OC = OD = 4.
∴AC = BD = 2OA = 2×4 = 8.
∴□ABCD 是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）.
∴∠ABC = 90°（矩形的四個(gè)角都是直角）.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2+BC2 = AC2，
∴BC=
∴S□ABCD = AB·BC = 4× = .
已知：如圖，在 □ ABCD 中，M 是 AD 邊的中點(diǎn)，
且MB = MC. 求證：四邊形 ABCD 是矩形.
【選自教材P16 隨堂練習(xí)】
鞏固練習(xí)，深化提高
證明：在□ ABCD 中，AB = CD，M 是 AD 邊的中點(diǎn)，
∴MA = MD，且 MB = MC，即△ABM≌△DCM，∴∠A =∠D.
又∵∠A +∠D = 180°，
∴∠A =∠D = 90°.
∴四邊形 ABCD 是矩形.
【選自教材P16 習(xí)題1.5 第1題】
2. 如圖，在△ABC中，AD 為 BC 邊上的中線，延長 AD 至 E，使 DE = AD，連接 BE，CE.
（1）試判斷四邊形 ABEC 的形狀；
（2）當(dāng)△ABC 滿足什么條件時(shí)，四邊形 ABEC 是矩形？
解:（1）四邊形 ABEC 是平行四邊形．
（2）當(dāng)△ABC 滿足∠BAC＝90°時(shí),四邊形 ABEC 是矩形．
【選自教材P16 習(xí)題1.5 第2題】
3. 如圖，點(diǎn) B 在 MN 上，過 AB 的中點(diǎn) O 作 MN 的平行線，
分別∠ABM 的平分線和∠ABN 的平分線于點(diǎn) C，D.
試判斷四邊形 ACBD 的形狀，并證明你的結(jié)論.
證明: ∵CD ∥MN , BC, BD 分別為∠MBA ,∠ABN 的平分線,
∴∠ABD ＝∠DBN ＝∠CDB, ∠ABC ＝∠CBM ＝∠DCB,
且∠CBD ＝90°, ∴OC＝OB＝OD ＝OA ．
∵∠AOD ＝∠COB,∴△AOD ≌△COB,
則∠DAO＝∠OBC, AD ∥BC, AD ＝BC,
∴四邊形 ACBD 為平行四邊形．
又∵AB ＝ CD , ∴四邊形 ACBD 為矩形．
4. 如圖，已知菱形 ABCD ，畫一個(gè)矩形，使得 A，B，C，
D 四點(diǎn)分別在矩形的四條邊上，且矩形的面積為菱形
ABCD 面積的 2 倍.
【選自教材P16 習(xí)題1.5 第3題】
課堂小結(jié)
這節(jié)課你們都學(xué)會了哪些知識？
矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形.
定理
對角線相等的平行四邊形是矩形.
有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.
定理

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