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第十八章 平行四邊形【知識梳理】
第18章 平行四邊形
18.1 平行四邊形
三角形中位線定理
（1）三角形中位線定理：
三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．
（2）幾何語言：
如圖，∵點D、E分別是AB、AC的中點
平行四邊形的性質
（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．
（2）平行四邊形的性質：
①邊：平行四邊形的對邊相等．
②角：平行四邊形的對角相等．
③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．
（3）平行線間的距離處處相等．
（4）平行四邊形的面積：
①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．
②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．
平行四邊形的判定
（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．
（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB=DC，AD=BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．
（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
符號語言：∵AB∥DC，AB=DC∴四邊行ABCD是平行四邊形．
（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．
符號語言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四邊行ABCD是平行四邊形．
（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵OA=OC，OB=OD∴四邊行ABCD是平行四邊形．
平行四邊形的判定與性質的作用
平行四邊形對應邊相等，對應角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個四邊形的對邊或對角的位置上，通過證明四邊形是平行四邊形達到上述目的．
運用定義，也可以判定某個圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要忘記平行四邊形的定義，有時用定義判定比用其他判定定理還簡單．
凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應直接運用平行四邊形的性質和判定去解決問題．
平行線之間的距離
（1）平行線之間的距離
從一條平行線上的任意一點到另一條直線作垂線，垂線段的長度叫兩條平行線之間的距離．
（2）平行線間的距離處處相等．
18.2 特殊的平行四邊形
直角三角形斜邊上的中線
（1）性質：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）
（2）定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．
該定理可以用來判定直角三角形．
菱形的性質
（1）菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．
（2）菱形的性質
①菱形具有平行四邊形的一切性質；
②菱形的四條邊都相等；
③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；
④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．
（3）菱形的面積計算
①利用平行四邊形的面積公式．
菱形的判定
①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）；
②四條邊都相等的四邊形是菱形．
幾何語言：∵AB=BC=CD=DA∴四邊形ABCD是菱形；
③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．
幾何語言：∵AC⊥BD，四邊形ABCD是平行四邊形∴平行四邊形ABCD是菱形
菱形的判定與性質
（1）依次連接四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形．不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點四邊形的形狀始終是平行四邊形．
（2）菱形的中點四邊形是矩形（對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形定為矩形，對角線相等的四邊形的中點四邊形定為菱形．）（3）菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質和不同于平行四邊形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四邊相等的圖形不只是正方形．
矩形的性質
（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．
（2）矩形的性質
①平行四邊形的性質矩形都具有；
②角：矩形的四個角都是直角；
③邊：鄰邊垂直；
④對角線：矩形的對角線相等；
⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．
（3）由矩形的性質，可以得到直角三角形的一個重要性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；
②有三個角是直角的四邊形是矩形；
③對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）
（2）①證明一個四邊形是矩形，若題設條件與這個四邊形的對角線有關，通常證這個四邊形的對角線相等．
②題設中出現多個直角或垂直時，常采用“三個角是直角的四邊形是矩形”來判定矩形．
矩形的判定與性質
（1）關于矩形，應從平行四邊形的內角的變化上認識其特殊性：一個內角是直角的平行四邊形，進一步研究其特有的性質：是軸對稱圖形、內角都是直角、對角線相等．同時平行四邊形的性質矩形也都具有．
在處理許多幾何問題中，若能靈活運用矩形的這些性質，則可以簡捷地解決與角、線段等有關的問題．
（2）下面的結論對于證題也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC；③點O到三個頂點的距離都相等．
正方形的性質
（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．
（2）正方形的性質
①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；
②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；
③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質．
④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．
正方形的判定方法：
①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；
②先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形有一個角為直角．
③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定．
正方形的判定與性質
（1）正方形的性質：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質．
正方形的判定沒有固定的方法，只要判定既是矩形又是

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