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第十九章 一次函數(shù)【知識(shí)梳理】
一次函數(shù)
19.1 函數(shù)
常量與變量
（1）變量和常量的定義：
在一個(gè)變化的過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量；數(shù)值始終不變的量稱為常量．
（2）方法：
①常量與變量必須存在于同一個(gè)變化過程中，判斷一個(gè)量是常量還是變量，需要看兩個(gè)方面：一是它是否在一個(gè)變化過程中；二是看它在這個(gè)變化過程中的取值情況是否發(fā)生變化；
②常量和變量是相對(duì)于變化過程而言的．可以互相轉(zhuǎn)化；
③不要認(rèn)為字母就是變量，例如π是常量．
函數(shù)的概念
函數(shù)的定義：設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x與y，對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一的值與其對(duì)應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，x是自變量．
說明：對(duì)于函數(shù)概念的理解：①有兩個(gè)變量；②一個(gè)變量的數(shù)值隨著另一個(gè)變量的數(shù)值的變化而發(fā)生變化；③對(duì)于自變量的每一個(gè)確定的值，函數(shù)值有且只有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，即單對(duì)應(yīng)．
函數(shù)關(guān)系式
用來表示函數(shù)關(guān)系的等式叫做函數(shù)解析式，也稱為函數(shù)關(guān)系式．
注意：
①函數(shù)解析式是等式．
②函數(shù)解析式中，通常等式的右邊的式子中的變量是自變量，等式左邊的那個(gè)字母表示自變量的函數(shù)．
③函數(shù)的解析式在書寫時(shí)有順序性，例如，y=x+9時(shí)表示y是x的函數(shù)，若寫成x=-y+9就表示x是y的函數(shù)．
函數(shù)自變量的取值范圍
自變量的取值范圍必須使含有自變量的表達(dá)式都有意義．
①當(dāng)表達(dá)式的分母不含有自變量時(shí)，自變量取全體實(shí)數(shù)．例如y=2x+13中的x．
②當(dāng)表達(dá)式的分母中含有自變量時(shí)，自變量取值要使分母不為零．例如y=x+2x-1．
③當(dāng)函數(shù)的表達(dá)式是偶次根式時(shí)，自變量的取值范圍必須使被開方數(shù)不小于零．
④對(duì)于實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系式，自變量的取值除必須使表達(dá)式有意義外，還要保證實(shí)際問題有意義．
函數(shù)值
函數(shù)值是指自變量在取值范圍內(nèi)取某個(gè)值時(shí)，函數(shù)與之對(duì)應(yīng)唯一確定的值．
注意：①當(dāng)已知函數(shù)解析式時(shí)，求函數(shù)值就是求代數(shù)式的值；當(dāng)已知函數(shù)解析式，給出函數(shù)值時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值就是解方程；
②當(dāng)自變量確定時(shí)，函數(shù)值是唯一確定的．但當(dāng)函數(shù)值唯一確定時(shí)，對(duì)應(yīng)的自變量可以是多個(gè)．
函數(shù)的圖象
函數(shù)的圖象定義
對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每一對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形就是這個(gè)函數(shù)的圖象．
注意：①函數(shù)圖形上的任意點(diǎn)（x，y）都滿足其函數(shù)的解析式；②滿足解析式的任意一對(duì)x、y的值，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)一定在函數(shù)圖象上；③判斷點(diǎn)P（x，y）是否在函數(shù)圖象上的方法是：將點(diǎn)P（x，y）的x、y的值代入函數(shù)的解析式，若能滿足函數(shù)的解析式，這個(gè)點(diǎn)就在函數(shù)的圖象上；如果不滿足函數(shù)的解析式，這個(gè)點(diǎn)就不在函數(shù)的圖象上．．
動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象
函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實(shí)際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．
用圖象解決問題時(shí)，要理清圖象的含義即會(huì)識(shí)圖．
函數(shù)的表示方法
函數(shù)的三種表示方法：列表法、解析式法、圖象法．
其特點(diǎn)分別是：列表法能具體地反映自變量與函數(shù)的數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系，在實(shí)際生活中應(yīng)用非常廣泛；解析式法準(zhǔn)確地反映了函數(shù)與自變量之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律，根據(jù)它可以由自變量的取值求出相應(yīng)的函數(shù)值，反之亦然；圖象法直觀地反映函數(shù)值隨自變量的變化而變化的規(guī)律．
注意：①它們分別從數(shù)和形的角度反映了函數(shù)的本質(zhì)；②它們之間可以互相轉(zhuǎn)化．
19.2 一次函數(shù)
一次函數(shù)的定義
（1）一次函數(shù)的定義：
一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常數(shù)）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)．
（2）注意：
①又一次函數(shù)的定義可知：函數(shù)為一次函數(shù) 其解析式為y=kx+b（k≠0，k、b是常數(shù)）的形式．
②一次函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征：k≠0；自變量的次數(shù)為1；常數(shù)項(xiàng)b可以為任意實(shí)數(shù)．
③一般情況下自變量的取值范圍是任意實(shí)數(shù)．
④若k=0，則y=b（b為常數(shù)），此時(shí)它不是一次函數(shù)．
正比例函數(shù)的定義
（1）正比例函數(shù)的定義：
一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)．
注意：正比例函數(shù)的定義是從解析式的角度出發(fā)的，注意定義中對(duì)比例系數(shù)的要求：k是常數(shù)，k≠0，k是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)．
（2）正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)
正比例函數(shù)y=kx（k是常數(shù)，k≠0），我們通常稱之為直線y=kx．
當(dāng)k＞0時(shí)，直線y=kx依次經(jīng)過第三、一象限，從左向右上升，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，直線y=kx依次經(jīng)過第二、四象限，從左向右下降，y隨x的增大而減小．
“兩點(diǎn)法”畫正比例函數(shù)的圖象：經(jīng)過原點(diǎn)與點(diǎn)（1，k）的直線是y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖象．
一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
一次函數(shù)y=kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線．它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是
直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b．
一次函數(shù)的圖象
注意：①使用兩點(diǎn)法畫一次函數(shù)的圖象，不一定就選擇上面的兩點(diǎn)，而要根據(jù)具體情況，所選取的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)盡量取整數(shù)，以便于描點(diǎn)準(zhǔn)確．②一次函數(shù)的圖象是與坐標(biāo)軸不平行的一條直線（正比例函數(shù)是過原點(diǎn)的直線），但直線不一定是一次函數(shù)的圖象．如x=a，y=b分別是與y軸，x軸平行的直線，就不是一次函數(shù)的圖象．
（2）一次函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系：直線y=kx+b，可以看做由直線y=kx平移|b|個(gè)單位而得到．
當(dāng)b＞0時(shí)，向上平移；b＜0時(shí)，向下平移．
注意：①如果兩條直線平行，則其比例系數(shù)相等；反之亦然；
②將直線平移，其規(guī)律是：上加下減，左加右減；
③兩條直線相交，其交點(diǎn)都適合這兩條直線．
一次函數(shù)的性質(zhì)
一次函數(shù)的性質(zhì)：
k＞0，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降．
由于y=kx+b與y軸交于（0，b），當(dāng)b＞0時(shí)，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當(dāng)b＜0時(shí)，（0，b）在y軸的負(fù)半軸，直線與y軸交于負(fù)半軸．
一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系
由于y=kx+b與y軸交于（0，b），當(dāng)b＞0時(shí)，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當(dāng)b＜0時(shí)，（0，b）在y軸的負(fù)半軸，直線與y軸交于負(fù)半軸．
①k＞0，b＞0 y=kx+b的圖象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0 y=kx+b的圖象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0 y=kx+b的圖象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0 y=kx+b的圖象在二、三、四象限．
一次函數(shù)圖象與幾何變換
直線y=kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）
①關(guān)于x軸對(duì)稱，就是x不變，y變成-y：-y=kx+b，即y=-kx-b；
（關(guān)于X軸對(duì)稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)是原來的相反數(shù)）
②關(guān)于y軸對(duì)稱，就是y不變，x變成-x：y=k（-x）+b，即y=-kx+b；
（關(guān)于y軸對(duì)稱，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)是原來的相反數(shù)）
③關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，就是x和y都變成相反數(shù)：-y=k（-x）+b，即y=kx-b．
（關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱，橫、縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)）
待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式
待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式一般步驟是：
（1）先設(shè)出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解析式時(shí)，先設(shè)y=kx+b；
（2）將自變量x的值及與它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；
（3）解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進(jìn)而寫出函數(shù)解析式．
注意：求正比例函數(shù)，只要一對(duì)x，y的值就可以，因?yàn)樗挥幸粋€(gè)待定系數(shù)；而求一次函數(shù)y=kx+b，則需要兩組x，y的值．
一次函數(shù)與一元一次不等式
（1）一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系
從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；
從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．
用畫函數(shù)圖象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
19.3 課題學(xué)習(xí) 選擇方案
根據(jù)實(shí)際問題列一次函數(shù)關(guān)系式
根據(jù)實(shí)際問題確定一次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立一次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題．需要注意的是實(shí)例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．
①描點(diǎn)猜想問題需要?jiǎng)邮植僮鳎@類問題需要真正的去描點(diǎn)，觀察圖象后再判斷是一次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關(guān)的問題．
②函數(shù)與幾何知識(shí)的綜合問題，有些是以函數(shù)知識(shí)為背景考查幾何相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；有些題目是以幾何知識(shí)為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識(shí)建立量與量的等式．
一次函數(shù)的應(yīng)用
1、分段函數(shù)問題
分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對(duì)應(yīng)方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學(xué)合理，又要符合實(shí)際．
2、函數(shù)的多變量問題
解決含有多變量問題時(shí)，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中一個(gè)變量作為自變量，然后根據(jù)問題的條件尋求可以反映實(shí)際問題的函數(shù)．
3、概括整合
（1）簡(jiǎn)單的一次函數(shù)問題：①建立函數(shù)模型的方法；②分段函數(shù)思想的應(yīng)用．
（2）理清題意是采用分段函數(shù)解決問題的關(guān)鍵．
一次函數(shù)綜合題
（1）一次函數(shù)與幾何圖形的面積問題
首先要根據(jù)題意畫出草圖，結(jié)合圖形分析其中的幾何圖形，再求出面積．
（2）一次函數(shù)的優(yōu)化問題
通常一次函數(shù)的最值問題首先由不等式找到x的取值范圍，進(jìn)而利用一次函數(shù)的增減性在前面范圍內(nèi)的前提下求出最值．
（3）用函數(shù)圖象解決實(shí)際問題
從已知函數(shù)圖象中獲取信息，求出函數(shù)值、函數(shù)表達(dá)式，并解答相應(yīng)的問題．

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