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第十七章 勾股定理【知識梳理】
勾股定理
17.1 勾股定理
勾股定理:直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。
勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用：
（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊:
已知直角三角形的一邊與另兩邊的關系，求直角三角形的另兩邊
（3）利用勾股定理可以證明線段平方關系的問題
17.2 勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形 ( https: / / baike. / item / %E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2 / 179552" \t "https: / / baike. / item / _blank )就是直角三角形 ( https: / / baike. / item / %E7%9B%B4%E8%A7%92%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2 / 234388" \t "https: / / baike. / item / _blank )。最長邊所對的角為直角。
勾股定理的逆定理是判斷三角形是否為銳角、直角或鈍角三角形的一個簡單的方法。若c為最長邊，且a +b =c ，則△ABC是直角三角形。如果a +b >c ，則△ABC是銳角三角形。如果a +b 鈍角三角形。
注意：要判斷一個角是不是直角，先要構造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．
勾股數
勾股數:滿足a +b =c 的三個正整數，稱為勾股數
說明：
①三個數必須是正整數，例如：2.5、6、6.5滿足a +b =c ，但是它們不是正整數，所以它們不是夠勾股數．
②一組勾股數擴大相同的整數倍得到三個數仍是一組勾股數．
③記住常用的勾股數再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
勾股定理與勾股定理逆定理的區別與聯系
區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；
聯系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，都與直角三角形有關。
勾股定理的應用
（1）在不規則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．
（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．
（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關線段的長度．
②由勾股定理演變的結論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．
③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數學模型解決現實世界的實際問題．
④勾股定理在數軸上表示無理數的應用：利用勾股定理把一個無理數表示成直角邊是兩個正整數的直角三角形的斜邊．
規律方法指導
勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數恒等式的關系相互轉化證明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數量關系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關系的題目。 3．勾股定理在應用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應用過程中易犯的主要錯誤。

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