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專題復習九----統計、統計案例及概率
§9.1 隨機抽樣
一、要點梳理
1．簡單隨機抽樣
(1)定義：設一個總體含有N個個體，從中____________抽取n個個體作為樣本(n ≤N)，如果每次抽取時，總體內的各個個體被抽到的機會都________，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．
(2)最常用的簡單隨機抽樣的方法：__________和______________．
2．系統抽樣的步驟
假設要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本．
(1)先將總體的N個個體________；
(2)確定______________，對編號進行________，當(n是樣本容量)是整數時，取k＝；
(3)在第1段用__________________確定第一個個體編號l (l ≤k)；
(4)按照一定的規則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號____________，再加k得到第3個個體編號________，依次進行下去，直到獲取整個樣本．
3．分層抽樣
(1)定義：在抽樣時，將總體分成____________的層，然后按照____________，從各層獨立地抽取一定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．
(2)分層抽樣的應用范圍：
當總體是由________________________組成時，往往選用分層抽樣．
二、難點正本　疑點清源
1．簡單隨機抽樣的特點
總體中的個體性質相似，無明顯層次；總體容量較小，尤其是樣本容量較小；用簡單隨機抽樣法抽出的個體帶有隨機性，個體間無固定間距．
2．系統抽樣的特點
適用于元素個數很多且均衡的總體；各個個體被抽到的機會均等；總體分組后，在起始部分抽樣時，采用簡單隨機抽樣．
3．分層抽樣的特點
適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況；分層后，在每一層抽樣時可采用簡單隨機抽樣或系統抽樣．
三、基礎自測
1．一支籃球隊有男運動員56人，女運動員42人，用分層抽樣的方法從全體運動員中抽出一個容量為14的樣本，則男、女運動員各抽取的人數為____．
2．某高校甲、乙、丙、丁四個專業分別有150、150、400、300名學生．為了解學生的就業傾向，用分層抽樣的方法從該校這四個專業共抽取40名學生進行調查，應在丙專業抽取的學生人數為________．
3．大、中、小三個盒子中分別裝有同一種產品120個、60個、20個，現在需從這三個盒子中抽取一個樣本容量為25的樣本，較為恰當的抽樣方法
為________________．
4．為了調查某產品的銷售情況，銷售部門從下屬的92家銷售連鎖店中抽取30家了解情況．若用系統抽樣法，則抽樣間隔和隨機剔除的個體數分別
為 (　　)
A．3,2 B．2,3 C．2,30 D．30,2
5．某高中在校學生2 000人．為了響應“陽光體育運動”號召，學校舉行了跑步和登山比賽活動．每人都參加而且只參與了其中一項比賽，各年級參與比賽人數情況如下表：
高一
年級
高二
年級
高三
年級
跑步
a
b
c
登山
x
y
Z
其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校參與登山的人數占總人數的.為了了解學生對本次活動的滿意程度，從中抽取一個200人的樣本進行調查，則高二年級參與跑步的學生中應抽取 (　　)
A．36人 B．60人 C．24人 D．30人
四、題型分類 深度剖析
題型一　簡單隨機抽樣
例1　第十六屆亞洲運動會于2010年11月12日在廣州舉行，廣州某大學為了支持亞運會，從報名的60名大三學生中選10人組成志愿小組，請用抽簽法和隨機數表法設計抽樣方案．
探究提高：(1)一個抽樣試驗能否用抽簽法，關鍵看兩點：一是抽簽是否方便；二是號簽是否易攪勻，一般地，當總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法．
(2)隨機數表中共隨機出現0,1,2，…，9十個數字，也就是說，在表中的每個位置上出現各個數字的機會都是相等的．在使用隨機數表時，如遇到三位數或四位數時，可從選擇的隨機數表中的某行某列的數字計起，每三個或每四個作為一個單位，自左向右選取，有超過總體號碼或出現重復號碼的數字舍去．
變式訓練1 有一批瓶裝“山泉”牌礦泉水，編號為1,2,3，…，112，為調查該批礦泉水的質量問題，打算抽取10瓶入樣，問此樣本若采用簡單隨機抽樣方法將如何獲得？
題型二　系統抽樣
例2　某工廠有1 003名工人，從中抽取10人參加體檢，試用系統抽樣進行具體實施．
探究提高：系統抽樣時，如果總體中的個數不能被樣本容量整除時，可以先用簡單隨機抽樣從總體中剔除幾個個體，然后再按系統抽樣進行．
變式訓練2 一個總體中的1 000個個體編號為0,1,2，…，999，并依次將其分為10個小組，組號為0,1,2，…，9，要用系統抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規定如果在第0組隨機抽取的號碼為x，那么依次錯位地得到后面各組的號碼，即第k組中抽取的號碼的后兩位數為x＋33k的后兩位數，
(1)當x＝24時，寫出所抽取樣本的10個號碼；
(2)若所抽取樣本的10個號碼中有一個的后兩位數是87，求x的取值范圍．
題型三　分層抽樣
例3　某單位最近組織了一次健身活動，活動分為登山組和游泳組，且每個職工至多參加其中一組．在參加活動的職工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山組的職工占參加活動總人數的，且該組中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.為了了解各組不同年齡層次的職工對本次活動的滿意程度，現用分層抽樣方法從參加活動的全體職工中抽取一個容量為200的樣本．試確定：
(1)游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例；
(2)游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應抽取的人數．
探究提高：分層抽樣的操作步驟及特點
(1)操作步驟
①將總體按一定標準進行分層；
②計算各層的個體數與總體數的比，按各層個體數占總體數的比確定各層應抽取的樣本容量；
③在每一層進行抽樣(可用簡單隨機抽樣或系統抽樣)．
(2)特點
①適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況；
②更充分地反映了總體的情況；
③等可能抽樣，每個個體被抽到的可能性都是.
變式訓練3 某校有高一學生400人，高二學生302人，高三學生250人，現在按年級分層抽樣，從所有學生中抽取一個容量為190人的樣本，應該在高________學生中剔除人，高一、高二、高三抽取的人數依次是______________．
五、解題思想方法示范（五審圖表數據找規律）
試題：(12分)某單位有2 000名職工，老年、中年、青年分布在管理、技術開發、營銷、生產各部門中，如下表所示：
人數
管理
技術開發
營銷
生產
共計
老年
40
40
40
80
200
中年
80
120
160
240
600
青年
40
160
280
720
1 200
小計
160
320
480
1 040
2 000
(1)若要抽取40人調查身體狀況，則應怎樣抽樣？
(2)若要開一個25人的討論單位發展與薪金調整方面的座談會，則應怎樣抽選出席人？
(3)若要抽20人調查對廣州亞運會舉辦情況的了解，則應怎樣抽樣？
審題路線圖　
抽取40人調查身體狀況
↓(觀察圖表中的人數分類統計情況)
樣本人群應受年齡影響
↓(表中老、中、青分類清楚，人數確定)
要以老、中、青分層，用分層抽樣
↓
要開一個25人的座談會
↓(討論單位發展與薪金調整)
樣本人群應受管理、技術開發、營銷、生產方面的影響
↓(表中管理、技術開發、營銷、生產分類清楚、人數確定)
要以管理、技術開發、營銷、生產人員分層、用分層抽樣
要抽20人調查對廣州亞運會舉辦情況了解
↓(可認為亞運會是大眾體育盛會，一個單位人員對情況了解相當)
將單位人員看作一個整體
↓(從表中數據看總人數為2 000人)
人員較多，可采用系統抽樣
規范解答
解：(1)按老年、中年、青年分層，用分層抽樣法抽取， [1分]
抽取比例為＝. [2分]
故老年人，中年人，青年人各抽取4人，12人，24人， [4分]
(2)按管理、技術開發、營銷、生產分層，用分層抽樣法抽取， [5分]
抽取比例為＝， [6分]
故管理，技術開發，營銷，生產各抽取2人，4人，6人，13人． [8分]
(3)用系統抽樣
對全部2 000人隨機編號，號碼從1～2000，每100號分為一組，從第一組中用隨機抽樣抽取一個號碼，然后將這個號碼分別加100,200，…，1 900，共20人組成一個樣本． [12分]
點評：(1)本題審題的關鍵有兩點，一是對圖表中的人員分類情況和數據要審視清楚；二是對樣本的功能要審視準確．
(2)本題易錯點是，對于第(2)問，由于對樣本功能審視不準確，按老、中、青三層分層抽樣.
六、思想方法 感悟提高
方法與技巧
1．簡單隨機抽樣是系統抽樣和分層抽樣的基礎，是一種等概率的抽樣，由定義應抓住以下特點：(1)它要求總體個數較少；(2)它是從總體中逐個抽取的；(3)它是一種不放回抽樣．
2．系統抽樣又稱等距抽樣，號碼序列一確定，樣本即確定了，但要求總體中不能含有一定的周期性，否則其樣本的代表性是不可靠的，甚至會導致明顯的偏向．
3．抽樣方法經常交叉使用，比如系統抽樣中的第一均衡部分，可采用簡單隨機抽樣，分層抽樣中，若每層中個體數量仍很大時，則可輔之以系統抽樣．
失誤與防范
分析總體特征、選擇合理的抽樣方法．§9.1 隨機抽樣
A組　專項基礎訓練
一、選擇題
1．某校選修乒乓球課程的學生中，高一年級有30名，高二年級有40名．現用分層抽樣的方法在這70名學生中抽取一個樣本，已知在高一年級的學生中抽取了6名，則在高二年級的學生中應抽取的人數為 (　　)
　 A．6 B．8 C．10 D．12
2．某單位共有老、中、青職工430人，其中有青年職工160人，中年職工人數是老年職工人數的2倍．為了解職工身體狀況，現采用分層抽樣方法進行調查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本的老年職工抽取人數為 (　　)
A．9 B．18 C．27 D．36
3．某工廠生產A、B、C三種不同型號的產品，產品的數量之比依次為3∶4∶7，現在用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，樣本中A型號產品有15件，那么樣本容量n為 (　　)
A．50 B．60 C．70 D．80
4．某初級中學有學生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現要利用抽樣方法抽取10人參加某項調查，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統抽樣三種方案，使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學生按一、二、三年級依次統一編號為1,2，…，270，使用系統抽樣時，將學生統一隨機編號為1,2，…，270，并將整個編號依次分為10段，如果抽得號碼有下列四種情況：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270
關于上述樣本的下列結論中，正確的是 (　　)
A．②、③都不能為系統抽樣 B．②、④都不能為分層抽樣
C．①、④都可能為系統抽樣 D．①、③都可能為分層抽樣
二、填空題
5．課題組進行城市空氣質量調查，按地域把24個城市分成甲、乙、丙三組，對應的城市數分別為4,12,8，若用分層抽樣抽取6個城市，則丙組中應抽取的城市數為______．
6．一個總體中有100個個體，隨機編號為0,1,2，…，99，依編號順序平均分成10個小組，組號依次為1,2,3，…，10.現用系統抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規定如果在第1組隨機抽取的號碼為m，那么在第k小組中抽取的號碼個位數字與
m＋k的個位數字相同．若m＝6，則在第7組中抽取的號碼是________．
7．某公司在甲、乙、丙、丁四個地區分別有150個、120個、180個、150個銷售點．公司為了調查產品銷售的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調查為①；在丙地區中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調查其銷售收入和售后服務情況，記這項調查為②.則完成①、②這兩項調查宜采用的抽樣方法依次是______________________________________．
三、解答題
8．某單位有職工550人，現為調查職工的健康狀況，先決定將職工分成三類：青年人、
中年人、老年人，經統計后知青年人的人數恰是中年人的人數的兩倍，而中年人的人數
比老年人的人數多50人．若采用分層抽樣，從中抽取22人的樣本，則青年人、中年人、
老年人應該分別抽取多少人？
B組　專項能力提升
一、選擇題
1．某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測．若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種類之和是 (　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
2．用系統抽樣法(按等距離的規則)，要從160名學生中抽取容量為20的樣本，將160名學生從1～160編號．按編號順序平均分成20組(1～8號，9～16號，…，153～160號)，若第16組應抽出的號碼為125，則第一組中按此抽簽方法確定的號碼
是 (　　)
A．7 B．5 C．4 D．3
3．(1)某學校為了了解2011年高考數學學科的考試成績，在高考后對1 200名學生進行抽樣調查，其中文科400名考生，理科600名考生，藝術和體育類考生共200名，從中抽取120名考生作為樣本．(2)從10名家長中抽取3名參加座談會．
Ⅰ.簡單隨機抽樣法　 Ⅱ.系統抽樣法 Ⅲ.分層抽樣法．
問題與方法配對正確的是 (　　)
A．(1)Ⅲ，(2)Ⅰ B．(1)Ⅰ，(2)Ⅱ
C．(1)Ⅱ，(2)Ⅲ D．(1)Ⅲ，(2)Ⅱ
4．將參加夏令營的600名學生編號為：001,002，…，600.采用系統抽樣方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003.這600名學生分住在三個營區，從001到 300在第Ⅰ營區，從301到495在第Ⅱ營區，從496到600在第Ⅲ營區，三個營區被抽中的人數依次為 (　　)
A．26,16,8 B．25,17,8
C．25,16,9 D．24,17,9
二、填空題
5．某校高級職稱教師26人，中級職稱教師104人，其他教師若干人．為了了解該校教師的工資收入情況，按分層抽樣從該校的所有教師中抽取56人進行調查，已知從其他教師中共抽取了16人，則該校共有教師________人．
6．200名職工年齡分布如圖所示，從中隨機抽40名
職工作樣本，采用系統抽 樣方法，按1～200編號
為40組，分別為1～5，6～10，…，196～200，第5
組抽取號碼為22，第8組抽取號碼為 .若采
用分層抽樣，40歲以下年齡段應抽取 人．
7．一個總體中有90個個體，隨機編號0,1,2，…，89，依從小到大的編號順序平均分成9個小組，組號依次為1,2,3，…，9.現用系統抽樣方法抽取一個容量為9的樣本，規定如果在第1組隨機抽取的號碼為m，那么在第k組中抽取的號碼個位數字與
m＋k的個位數字相同，若m＝8，則在第8組中抽取的號碼是________．
三、解答題
8．某政府機關有在編人員100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人，工人
20人．上級機關為了了解政府機構改革意見，要從中抽取一個容量為20的樣本，試確
定用何種方法抽取，請具體實施抽取．
§9.1 隨機抽樣 答案
要點梳理
1．(1)逐個不放回地　相等 (2)抽簽法　隨機數法
2．(1)編號　(2)分段間隔k　分段 (3)簡單隨機抽樣　(4)(l＋k)　(l＋2k)
3．(1)互不交叉　一定的比例 (2)差異明顯的幾個部分
基礎自測
1．8、6　2.16 3．簡單隨機抽樣　4.A　5.A
題型分類·深度剖析
例1　解　抽簽法：
第一步：將60名志愿者編號，編號為1,2,3，…，60；
第二步：將60個號碼分別寫在60張外形完全相同的紙條上，并揉成團，制成號簽；
第三步：將60個號簽放入一個不透明的盒子里，充分攪勻；
第四步：從盒子中逐個抽取10個號簽，并記錄上面的編號；
第五步：所得號碼對應的志愿者，就是志愿小組的成員．
隨機數表法：
第一步：將60名志愿者編號，編號為01,02,03，…，60；
第二步：在隨機數表中任選一數作為開始，按任意方向讀數，比如第8行第29列的數7開始，向右讀；
第三步：從數7開始，向右讀，每次取兩位，凡不在01～60中的數，或已讀過的數，都跳過去不作記錄，依次可得到12,58,07,44,39,52,38,33,21,34；
第四步：找出以上號碼對應的志愿者，就是志愿小組的成員．
變式訓練1　解：　方法一　(抽簽法)：把每瓶礦泉水都編上號碼001,002,003，…，112，并制作112個號簽，把112個形狀、大小相同的號簽放在同一個箱子里，進行均勻攪拌，抽簽時，每次從中抽出1個號簽，連續抽取10次，就得到一個容量為10的樣本．
方法二：　(隨機數表法)：第一步，將原來的編號調整為001,002,003，…，112.
第二步，在隨機數表中任選一數作為開始，任選一方向作為讀數方向．比如：選第9行第7列的數3，向右讀．
第三步，從選定的數3開始向右讀，每次讀取三位，凡不在001～112中的數跳過去不讀，前面已經讀過的也跳過去不讀，依次可得到074,100,094,052,080,003,105,107,083,092.
第四步，對應原來編號74,100,94,52,80,3,105,107,83,92的瓶裝礦泉水便是要抽取的對象．
例2　解：　(1)將每個人編一個號由0001至1003；
(2)利用簡單隨機抽樣法找到3個號將這3名工人剔除；
(3)將剩余的1 000名工人重新編號0001至1000；
(4)分段，取間隔k＝＝100，將總體平均分為10段，每段含100名工人；
(5)從第一段即為0001號到0100號中隨機抽取一個號l；
(6)按編號將l,100＋l,200＋l，…，900＋l共10個號選出，
這10個號所對應的工人組成樣本．
變式訓練2　解：(1)當x＝24時，按規則可知所抽取的樣本的10個號碼依次為：24,157,290,323,456,589,622,755,888,921.
(2)當k＝0,1,2，…，9時，33k的值依次為0,33,66,99,132,165,198,231,264,297；又抽取樣本的10個號碼中有一個的后兩位數是87，從而x可以為87,54,21,88,55,22,89,56,23,90，所以x的取值范圍是{21,22,23,54,55,56,87,88,89,90}．
例3　解：　(1)設登山組人數為x，游泳組中青年人、中年人、老年人各占比例分別為
a、b、c，則有＝47.5%，
＝10%，解得b＝50%，c＝10%，則a＝40%，
即游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為40%、50%、10%.
(2)游泳組中，抽取的青年人數為200××40%＝60(人)；
抽取的中年人數為200××50%＝75(人)；
抽取的老年人數為200××10%＝15(人)．
變式訓練3　二　80、60、50
A組　專項基礎訓練
1．B　2．B　3．C　4．D　5．2 6．63 7．分層抽樣、簡單隨機抽樣
8．解　設該單位職工中老年人的人數為x，
則中年人的人數為x＋50，青年人的人數為2(x＋50)．
∴x＋x＋50＋2(x＋50)＝550，
∴x＝100，x＋50＝150,2(x＋50)＝300.
所以該單位有青年人300人、中年人150人、老年人100人．
由題意知抽樣比例為＝，
所以青年人、中年人、老年人應分別抽取12人、6人、4人．
B組　專項能力提升
C　2．B　3．A　4．B　5．182 6．37　20 7．76
8．解　用分層抽樣方法抽取．
具體實施抽取如下：
(1)∵20∶100＝1∶5，
∴＝2，＝14，＝4，
∴從副處級以上干部中抽取2人，從一般干部中抽取14人，從工人中抽取4人．
(2)因副處級以上干部與工人的人數較少，他們分別按1～10編號與1～20編號，然后采用抽簽法分別抽取2人和4人；對一般干部70人采用00,01,02，…，69編號，然后用隨機數表法抽取14人．
(3)將2人，4人，14人的編號匯合在一起就取得了容量為20的樣本．
§9.2 用樣本估計總體
一、要點梳理
1．頻率分布直方圖
(1)通常我們對總體作出的估計一般分成兩種，一種是___________________，另一種是用________________________________．
(2)在頻率分布直方圖中，縱軸表示________，數據落在各小組內的頻率用________________________表示，各小長方形的面積總和等于______．
(3)連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖．隨著______________的增加，作圖時所分的________增加，組距減小，相應的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑的曲線，統計中稱之為__________________，它能夠更加精細的反映出________________________________________．
(4)當樣本數據較少時，用莖葉圖表示數據的效果較好，它不但可以
，而且__________________，給數據的________和________都帶來方便．
2．用樣本的數字特征估計總體的數字特征
(1)眾數、中位數、平均數
眾數：在一組數據中，出現次數________的數據叫做這組數據的眾數．
中位數：將一組數據按大小依次排列，把處在__________位置的一個數據(或最中間兩個數據的平均數)叫做這組數據的中位數．
平均數：樣本數據的算術平均數，即_______________________________.
在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該________．
(2)樣本方差、標準差
標準差s＝ ，
其中x n是樣本數據的第n項，n是________，是______________________．
__________是反映總體波動大小的特征數，樣本方差是標準差________．通常用樣本方差估計總體方差，當________________________________時，樣本方差很接近總體方差．
二、難點正本　疑點清源
1．作頻率分布直方圖的步驟
(1)求極差；(2)確定組距和組數；(3)將數據分組；(4)列頻率分布表；(5)畫頻率分布直方圖．
頻率分布直方圖能很容易地表示大量數據，非常直觀地表明分布的形狀．
2．對標準差與方差的理解
標準差、方差描述了一組數據圍繞平均數波動的大小．標準差、方差越大，數據的離散程度越大，標準差、方差越小，數據的離散程度越小，因為方差與原始數據的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標準差在刻畫樣本數據的分散程度上是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差．
三、基礎自測
1．一個容量為20的樣本，已知某組的頻率為0.25，則該組的頻數為________．
2．已知數據a，a，b，c，d，b，c，c，且a3．某老師從星期一到星期五收到的信件數分別為10,6,8,5,6，則該組數據的方差s2＝________.
4．一個容量為20的樣本，數據的分組及各組的頻數如下：[10,20),2；[20,30),
3；[30,40)，x；[40,50),5；[50,60),4；[60,70),2；則x＝________；根據樣本的頻率分布估計，數據落在[10,50)的概率約為________．
5．若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數據的中位數和平均數分別是 (　　)
8
9
7
9
3
1
6
4
0
2
A．91.5和91.5　 B．91.5和92
C．91和91.5 D．92和92
四、題型分類 深度剖析
題型一　頻率分布直方圖的繪制與應用
例1　某中學高一女生共有450人，為了了解高一女生的身高情況，隨機抽取部分高一女生測量身高，所得數據整理后列出頻率分布表如下：
組別
頻數
頻率
145.5～149.5
8
0.16
149.5～153.5
6
0.12
153.5～157.5
14
0.28
157.5～161.5
10
0.20
161.5～165.5
8
0.16
165.5～169.5
m
n
合計
M
N
(1)求出表中字母m、n、M、N所對應的數值；
(2)在給出的直角坐標系中畫出頻率分布直方圖；
(3)估計該校高一女生身高在149.5～165.5 cm范圍內有多少人？
探究提高:　用頻率分布直方圖解決相關問題時，應正確理解圖表中各個量的意義，識圖掌握信息是解決該類問題的關鍵．頻率分布直方圖有以下幾個要點：(1)縱軸表示頻率/組距；(2)頻率分布直方圖中各長方形高的比也就是其頻率之比；(3)直方圖中每一個矩形的面積是樣本數據落在這個區間上的頻率，所有的小矩形的面積之和等于1，即頻率之和為1.
變式訓練1 從全校參加科技知識競賽的學生試卷
中抽取一個樣本，考察競賽的成績分布．將樣本分成
5組，繪成頻率分布直方圖(如圖)，圖中從左到右各小
組的小長方形的高的比是1∶3∶6∶4∶2，最右邊一
組的頻數是6. 請結合頻率分布直方圖提供的信息，解
答下列問題：
(1)樣本的容量是多少？ (2)列出頻率分布表；
(3)成績落在哪個范圍內的人數最多？并求該小組的頻數、頻率；
(4)估計這次競賽中，成績不低于60分的學生占總人數的百分比．
題型二　莖葉圖的應用
例2　某班甲、乙兩學生的高考備考成績如下：
甲：512　554　528　549　536　556　534　541　522　538
乙：515　558　521　543　532　559　536　548　527　531
(1)用莖葉圖表示兩學生的成績；
(2)分別求兩學生成績的中位數和平均數．
探究提高:　(1)莖葉圖的優點是保留了原始數據，便于記錄及表示，能反映數據在各段上的分布情況．
(2)莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖給出的數據求出數據 的數字特征，進一步估計總體情況．
變式訓練2 某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A.將其與原有的一個優良品種B進行對照試驗．兩種小麥各種植了25畝，所得畝產數據(單位：千克)如下：
品種A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,
430,434,443, 445,445,451,454
品種B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,
407,410,412,415,416,422,430
(1)作出數據的莖葉圖；
(2)用莖葉圖處理現有的數據，有什么優點？
(3)通過觀察莖葉圖，對品種A與B的畝產量及其穩定性進行比較，寫出統計結論．
題型三　用樣本的數字特征估計總體的數字特征
例3　甲乙二人參加某體育項目訓練，近期的五次測試成績得分情況如圖．
(1)分別求出兩人得分的平均數與方差；
(2)根據圖和上面算得的結果，對兩人的訓練成績作出評價．
探究提高:　(1)平均數與方差都是重要的數字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數、中位數、眾數描述其集中趨勢，方差和標準差描述其波動大小．
(2)平均數、方差的公式推廣
①若數據x1，x2，…，x n的平均數為，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，m x n＋a的平均數是m＋a.
②數據x1，x2，…，xn的方差為s2.
a．s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]；
b．數據x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；
c．數據ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.
變式訓練3甲、乙兩名戰士在相同條件下各射靶10次，每次命中的環數分別是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分別計算兩組數據的平均數； (2)分別計算兩組數據的方差；
(3)根據計算結果，估計一下兩名戰士的射擊水平誰更好一些．
五、易錯題（統計圖表中概念不清、識圖不準致誤）
試題：(5分)如圖所示是某公司(共有員工300人)2011年員工年薪情況的頻率分布直方圖，由此可知，員工中年薪在1.4萬元～1.6萬元之間的共有________人．
學生常誤解為：　180
審題視角　(1)計算1.4萬元～1.6萬元之間的頻率．(2)由頻率和總人數求年薪在1.4萬元～1.6萬元之間的人數．
正確答案　72
批閱筆記：　解本題容易出現的錯誤是審題不細，對所給圖形觀察不細心，認為員工中年薪在1.4萬元～1.6萬元之間的頻率為1－(0.02＋0.08＋0.10)×2＝0.60，從而得到員工中年薪在1.4萬元～1.6萬元之間的共有300×0.60＝180(人)的錯誤答案.
六、思想方法 感悟提高
方法與技巧
1．用樣本頻率分布來估計總體分布的重點是頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計總體分布，難點是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應用．在計數和計算時一定要準確，在繪制小矩形時，寬窄要一致．通過頻率分布表和頻率分布直方圖可以對總體作出估計．
2．若取值x1，x2，…，xn的頻率分別為p1，p2，…，p n，則其平均值為
x1p1＋x2p2＋…＋xn p n；若x1，x2，…，xn的平均數為，方差為s2，則
ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均數為a＋b，方差為a2s2.
失誤與防范
1．不要把直方圖錯以為條形圖，兩者的區別在于條形圖是離散隨機變量，縱坐標刻度為頻數或頻率，直方圖是連續隨機變量，縱坐標刻度為頻率/組距，這是密度．連續隨機變量在某一點上是沒有頻率的．
2．幾種表示頻率分布的方法的優點與不足：
(1)頻率分布表在數量表示上比較確切，但不夠直觀、形象，分析數據分布的總體態勢不太方便．
(2)頻率分布直方圖能夠很容易地表示大量數據，非常直觀地表明分布的形狀，使我們能夠看到在分布表中看不清楚的數據模式．但從直方圖本身得不出原始的數據內容，也就是說，把數據表示成直方圖后，原有的具體數據信息就被抹掉了．
(3)頻率分布折線圖的優點是它反映了數據的變化趨勢，如果樣本容量不斷增大，分組的組距不斷縮小，那么折線圖就趨向于總體分布的密度曲線．
(4)用莖葉圖的優點是原有信息不會被抹掉，能夠展示數據的分布情況，但當樣本數據較多或數據位數較多時，莖葉圖就顯得不太方便了．§9.2 用樣本估計總體
A組　專項基礎訓練
一、選擇題
1．如右圖是某電視臺綜藝節目舉辦的挑戰
主持人大賽上，七位評委為某選手打出的分數的莖
葉圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數
據的平均數和方差分別為 (　　)
A．84, 4.84 B．84, 1.6 C．85, 4 D．85, 1.6
2．為了了解高三學生的數學成績，抽取了某班60名學生，將所得數據整理后，畫出其頻率分布直方圖(如圖)，已知從左到右各長方形高的比為2∶3∶5∶6∶3∶1，則該班學生數學成績在(80,100)之間的學生人數是 (　　)
A．32 B．27 C．24 D．33
3．為了了解某校高三學生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如圖所示．由于不慎將部分數據丟失，但知道前4組的頻數成等比數列，后6組的頻數成等差數列，設最大頻率為a，視力在4.6到5.0之間的學生數為b，則a，b的值分別為 (　　)
A．0.27,78 B．0.27,83 C．2.7,78 D．2.7,83
二、填空題
4．從某小學隨機抽取100名學生，將他們的身高(單位：厘米)數據繪制成頻率分布直方圖(如圖)．由圖中數據可知a＝________.若要從身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三組內的學生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在[140,150]內的學生中選取的人數應為________．
5．在樣本的頻率分布直方圖中，共有4個小長方形，這4個小長方形的面積由小到大構成等比數列{an}，已知a2＝2a1，且樣本容量為300，則小長方形面積最大的一組的頻數為________．
6．某路段檢查站監控錄像顯示，在某時段內，有1 000輛汽車通過該站，現在隨機抽取其中的200輛汽車進行車速分析，分析的結果表示為如圖所示的頻率分布直方圖，則估計在這一時段內通過該站的汽車中車速不小于90 km/h的約有________輛．(注：分析時車速均取整數)
三、解答題
7．某市統計局就某地居民的月收入調查了10 000人，并根據所得數據畫出樣本的頻率分布直方圖(每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示收入在[1 000,1 500))．
(1)求居民收入在[3 000,3 500)的頻率；
(2)根據頻率分布直方圖算出樣本數據的中位數；
(3)為了分析居民的收入與年齡、職業等方面的關系，必須按月收入再從這10 000人中按分層抽樣方法抽出100人作進一步分析，則月收入在[2 500，3 000)的這段應抽取多少人？
B組　專項能力提升
一、選擇題
1．甲、乙兩名同學在5次數學考試中，成績統計用莖葉圖表示如圖所示，若甲、乙兩人的平均成績分別用甲、乙表示，則下列結論正確的是 (　　)
A．甲>乙，且甲比乙成績穩定 B．甲>乙，且乙比甲成績穩定
C．甲<乙，且甲比乙成績穩定 D．甲<乙，且乙比甲成績穩定
2．某工廠對一批產品進行了抽樣檢測，如圖是根
據抽樣檢測后的產品凈重(單位：克)數據繪制的
頻率分布直方圖，其中產品凈重的范圍是[96,106]，
樣本數據分組為[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知樣本中產品凈重小于100克的個數是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的個數是 (　　)
A．90 B．75 C．60 D．45
3．一個樣本a,3,5,7的平均數是b，且a、b是方程x2－5x＋4＝0的兩根，則這個樣本的方差是 (　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空題
4．某校甲、乙兩個班級各有5名編號為1,2,3,4,5的學生進行投籃練習，每人投10次，投中的次數如下表：
學生
1號
2號
3號
4號
5號
甲班
6
7
7
8
7
乙班
6
7
6
7
9
則以上兩組數據的方差中較小的一個為s2＝___ ___.
5．某人5次上班途中所花的時間(單位：分鐘)分別為x，y,10,11,9.已知這組數據的平均數為10，方差為2，則|x－y|的值為________．
6．已知總體的各個體的值由小到大依次為2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且總體的中位數為10.5，若要使該總體的方差最小，則a、b的取值分別是________、________.
三、解答題
7．某地區100位居民的人均月用水量(單位：t)的分組及各組的頻數如下：
[0,0.5),4；[0.5,1),8；[1,1.5),15；[1.5,2),22；[2,2.5),25；[2.5,3),14；[3,3.5),6；[3.5,4),4；[4,4.5),2.
(1)列出樣本的頻率分布表；
(2)畫出頻率分布直方圖，并根據直方圖估計這組數據的平均數、中位數、眾數；
(3)當地政府制定了人均月用水量為3t的標準，若超出標準加倍收費，當地政府說，85%以上的居民不超過這個標準，這個解釋對嗎？為什么？
§9.2 用樣本估計總體 答案
要點梳理
1．(1)樣本的頻率分布估計總體的分布　樣本的數字特征估計總體的數字特征　(2)　各小長方形的面積　1　(3)樣本容量 組數　總體密度曲線　總體在各個范圍內取值的百分比　(4)保留所有信息　可以隨時記錄　 記錄 　表示
2．(1)最多　最中間　(x1＋x2＋…＋xn)　相等　(2)樣本容量　平均數　標準差 平方　樣本容量接近總體容量
基礎自測
1．5　2.c　　 3．3.2 　4.4　0.7　 5.A
題型分類·深度剖析
例1　解　(1)由題意M＝＝50，落在區間165.5～169.5內數據頻數
m＝50－(8＋6＋14＋10＋8)＝4，
頻率為n＝0.08，總頻率N＝1.00.
(2)頻率分布直方圖如下圖：
(3)該所學校高一女生身高在149.5～165.5 cm之間的比例為
0.12＋0.28＋0.20＋0.16＝0.76，則該校高一女生在此范圍內的人數為
450×0.76＝342(人)．
變式訓練1　解：　(1)由于各組的組距相等，所以各組的頻率與各小長方形的高成正比且各組頻率的和等于1，那么各組的頻率分別為，，，，.設該樣本容量為n，則＝，所以樣本容量為n＝48.
(2)由以上得頻率分布表如下：
成績
頻數
頻率
[50.5,60.5)
3

[60.5,70.5)
9

[70.5,80.5)
18

[80.5,90.5)
12

[90.5,100.5)
6

合計
48
1
(3)成績落在[70.5,80.5)之間的人數最多，該組的頻數和頻率分別是18和.
(4)不低于60分的學生占總人數的百分比約為×100%＝93.75%.
例2　解　(1)兩學生成績的莖葉圖如圖所示．
(2)將甲、乙兩學生的成績從小到大排列為：
甲：512　522　528　534　536　538　541　549　554　556
乙：515　521　527　531　532　536　543　548　558　559
從以上排列可知甲學生成績的中位數為＝537，
乙學生成績的中位數為＝534.
甲學生成績的平均數為500＋＝537，
乙學生成績的平均數為500＋ ＝537.
變式訓練2　解　(1)如下圖
(2)由于每個品種的數據都只有25個，樣本不大，畫莖葉圖很方便；此時莖葉圖不僅清晰明了地展示了數據的分布情況，便于比較，沒有任何信息損失，而且還可以隨時記錄新的數據．
(3)通過觀察莖葉圖可以看出：①品種A的畝產平均數(或均值)比品種B高；②品種A的畝產標準差(或方差)比品種B大，故品種A的畝產穩定性較差．
例3　解　(1)由圖象可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為
甲：10分，13分，12分，14分，16分；
乙：13分，14分，12分，12分，14分．
甲＝＝13，
乙＝＝13
s＝[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，
s＝[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.
(2)由s>s可知乙的成績較穩定．
從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高．
變式訓練3　解　(1)甲＝(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(環)，
乙＝(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(環)．
(2)由方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]可求得s2甲＝3.0(環2)，
s2乙＝1.2(環2)．
(3)由甲＝乙，說明甲、乙兩戰士的平均水平相當；
又∵s2甲>s2乙，說明甲戰士射擊情況波動大，因此乙戰士比甲戰士射擊情況穩定．
A組　專項基礎訓練
1．D　2.D　3.A　4.0.030　3　5.160 6．300
7．解　(1)月收入在[3 000,3 500)的頻率為0．000 3×(3 500－3 000)＝0.15.
(2)∵0.000 2×(1 500－1 000)＝0.1，
0．000 4×(2 000－1 500)＝0.2，
0．000 5×(2 500－2 000)＝0.25，
0．1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5，
∴樣本數據的中位數為2 000＋＝2 000＋400＝2 400(元)．
(3)居民月收入在[2 500,3 000)的頻數為0.25×10 000＝2 500(人)，再從10 000人中用分層抽樣方法抽出100人，
則月收入在[2 500,3 000)的這段應抽取100×＝25(人)．
B組　專項能力提升
A　2．A　3．C　4. 5．4 6．10.5　10.5
7．解　(1)頻率分布表
分組
頻數
頻率
[0,0.5)
4
0.04
[0.5,1)
8
0.08
[1,1.5)
15
0.15
[1.5,2)
22
0.22
[2,2.5)
25
0.25
[2.5,3)
14
0.14
[3,3.5)
6
0.06
[3.5,4)
4
0.04
[4,4.5)
2
0.02
合計
100
1
(2)頻率分布直方圖如圖：
眾數：2.25，中位數：2.02，平均數：2.02.
(3)人均月用水量在3t以上的居民所占的比例為6%＋4%＋2%＝12%，即大約是12%
的居民月用水量在3t以上，88%的居民月用水量在3t以下，因此政府的解釋是正確的．
§9.3 變量間的相關關系
一、要點梳理
1．兩個變量的線性相關
(1)正相關
在散點圖中，點散布在從__________到__________的區域，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為正相關．
(2)負相關
在散點圖中，點散布在從__________到__________的區域，兩個變量的這種相關關系稱為負相關．
(3)線性相關關系、回歸直線
如果散點圖中點的分布從整體上看大致在__________，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線．
2．回歸方程
(1)最小二乘法
求回歸直線，使得樣本數據的點到它的________________________的方法叫做最小二乘法．
(2)回歸方程
方程＝x＋ 是兩個具有線性相關關系的變量的一組數據，，…，的回歸方程，其中 ， 是待定參數．
= =
= .
二、難點正本　疑點清源
1．相關關系與函數關系的區別
相關關系與函數關系不同．函數關系中的兩個變量間是一種確定性關系．例如正方形面積S與邊長x之間的關系S＝x2就是函數關系．相關關系是一種非確定性關系，即相關關系是非隨機變量與隨機變量之間的關系．例如商品的銷售額與廣告費是相關關系．兩個變量具有相關關系是回歸分析的前提．
2．對回歸分析的理解
回歸分析是處理變量相關關系的一種數學方法，它主要解決三個問題：
(1)確定兩個變量之間是否有相關關系，如果有就找出它們之間貼近的數學表達式；
(2)根據一組觀察值，預測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢；
(3)求出線性回歸方程．
三、基礎自測
1．有一個同學家開了一個小賣部，賣出的熱飲杯數與氣溫變化的回歸方程為
＝－2.352x＋147.767，則當氣溫為2℃時，大約可賣出熱飲的杯數為_____．
2．已知x、y的取值如下表：
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
從所得的散點圖分析，y與x線性相關，且 ＝0.95x＋ ，則 ＝________.
3．調查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關關系，并由調查數據得到y對x的線性回歸方程： ＝0.254x＋0.321.由線性回歸方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加______萬元．
4．已知x，y之間的一組數據如下表：
x
2
3
4
5
6
y
3
4
6
8
9
對于表中數據，現給出如下擬合直線：①y＝x＋1；②y＝2x－1；③y＝x－；④y＝x，則根據最小二乘法的思想得擬合程度最好的直線是_____(填序號)．
5．下表提供了某廠節能降耗技術改造后在生產A產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸)的幾組對應數據：
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
根據上表提供的數據，求出y關于x的線性回歸方程為 ＝0.7x＋0.35，那么表中t 的值為 （ ）
A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5
四、題型分類 深度剖析
題型一　利用散點圖判斷兩個變量的相關關系
例1　山東魯潔棉業公司的科研人員在7塊并排、形狀大小相同的試驗田上對某棉花新品種進行施化肥量x對產量y影響的試驗，得到如下表所示的一組數據(單位：kg)．
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
棉花產量y
330
345
365
405
445
450
455
(1)畫出散點圖；
(2)判斷是否具有相關關系．
探究提高：　散點圖是由大量數據點分布構成的，是定義在具有相關關系的兩個變量基礎之上的，對于性質不明確的兩組數據可先作散點圖，直觀地分析它們有無關系及關系的密切程度．
變式訓練1 在某地區的12～30歲居民中隨機抽取了10個人的身高和體重的統計資料如下表：
身高(cm)
143
156
159
172
165
171
177
161
164
160
體重(kg)
41
49
61
79
68
69
74
69
68
54
根據上述數據，畫出散點圖并判斷居民的身高和體重之間是否有相關關系．
題型二　求線性回歸方程
例2　某地10戶家庭的年收入和年飲食支出的統計資料如下：
年收入
x(萬元)
2
4
4
6
6
6
7
7
8
10
年飲食支
出y(萬元)
0.9
1.4
1.6
2.0
2.1
1.9
1.8
2.1
2.2
2.3
(1)根據表中數據，確定家庭的年收入和年飲食支出是否具有相關關系；
(2)若(1)具有線性相關關系，求出y關于x的線性回歸方程．
探究提高：從本題可以看出，求線性回歸方程，關鍵在于正確求出系數 ， ，由于計算量較大，所以計算時要仔細謹慎，分層進行，避免因計算產生失誤，特別注意，只有在散點圖大體呈線性時，求出的線性回歸方程才有意義．
變式訓練2 在2011年春節期間，某市物價部門對本市五個商場銷售的某商品一天的銷售量及其價格進行調查，五個商場的售價x元和銷售量y件之間的一組數據如下表所示：
價格x
9
9.5
10
10.5
11
銷售量y
11
10
8
6
5
通過分析，發現銷售量y與商品的價格x具有線性相關關系，則銷售量y關于商品的價格x的線性回歸方程為____________．(參考公式：
＝， ＝－ )
題型三　利用線性回歸方程對總體進行估計
例3　某種產品的宣傳費支出x與銷售額y(單位：萬元)之間有如下對應數據：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
(1)畫出散點圖；
(2)求線性回歸方程；
(3)試預測宣傳費支出為10萬元時，銷售額多大？
探究提高：利用線性回歸方程可以對總體進行預測估計，線性回歸方程將部分觀測值所反映的規律進行延伸，是我們對有線性相關關系的兩個變量進行分析和控制的依據，依據自變量的取值估計和預報因變量的值，在現實生活中有廣泛的應用．
變式訓練3 下表提供了某廠節能降耗技術改造后在生產甲產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸標準煤)的幾組對照數據．
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)請畫出上表數據的散點圖；
(2)請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程
＝ x＋ ；
(3)已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤．試根據(2)求出的線性回歸方程，預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤？(參考數值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
五、解題思想方法示范（線性回歸分析問題）
試題：(12分)一臺機器使用時間較長，但還可以使用．它按不同的轉速生產出來的某機械零件有一些會有缺點，每小時生產有缺點零件的多少，隨機器運轉的速度而變化，下表為抽樣試驗結果：
轉速x(轉/秒)
16
14
12
8
每小時生產有
缺點的零件數y(件)
11
9
8
5
(1)對變量y與x進行相關性檢驗；
(2)如果y與x有線性相關關系，求線性回歸方程；
(3)若實際生產中，允許每小時的產品中有缺點的零件最多為10個，那么，機器的運轉速度應控制在什么范圍內？(結果保留整數)
審題視角　(1)對變量y與x進行相關性檢驗；(2)在確定具有線性相關性的前提下，求線性回歸方程；(3)利用線性回歸方程進行相關分析．規范解答
解：　(1)＝12.5，＝8.25，xi y i＝438，
4 ＝412.5，x2i＝660，y2i＝291， [4分]
所以r＝＝
＝≈≈0.995.
因為r>0.75，所以y與x有很強的線性相關關系． [6分]
(2) ＝≈0.728 6，
 ＝－ ＝8.25－0.728 6×12.5＝－0.857 5，
∴所求線性回歸方程為 ＝0.728 6x－0.857 5. [10分]
(3)要使 ≤10?0.728 6x－0.857 5≤10，
所以x≤14.901 9≈15.
所以機器的轉速應控制在15轉/秒以下． [12分]
答題模板
第一步：判斷兩個變量的線性相關性；
第二步：求線性回歸方程的斜率和截距；
第三步：確定線性回歸方程；
第四步：根據線性回歸方程對隨機變量作出預測；
第五步：反思回顧，查看關鍵點，易錯點和答題規范．
批閱筆記：　(1)本題易錯點有兩個，一是忽略對變量間的相關性進行檢驗；二是計算易出錯．
(2)如果不先作線性相關性檢驗，我們雖然也可以求出x與y的線性回歸方程，但這時的線性回歸方程也許沒有任何實際價值，它也就不能確定地反映變量x與y之間的變化規律，只有在x與y之間具有相關關系時，求得的線性回歸方程才具有實際意義。
六、思想方法 感悟提高
方法與技巧
1．求回歸方程，關鍵在于正確求出系數 ， ，由于 ， 的計算量大，計算時應仔細謹慎，分層進行，避免因計算而產生錯誤．(注意線性回歸方程中一次項系數為 ，常數項為 ，這與一次函數的習慣表示不同．)
2．回歸分析是處理變量相關關系的一種數學方法．主要解決：(1)確定特定量之間是否有相關關系，如果有就找出它們之間貼近的數學表達式；(2)根據一組觀察值，預測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢；(3)求出線性回歸方程．
失誤與防范
1．回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性時，求出的線性回歸方程才有實際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無意義．
2．根據回歸方程進行預報，僅是一個預報值，而不是真實發生的值．
§9.3 變量間的相關關系
A組　專項基礎訓練
一、選擇題
1．對變量x，y有觀測數據 (i＝1,2，…，10)，得散點圖(1)；對變量u、v有觀測數據 (i＝1,2，…，10)，得散點圖(2)．由這兩個散點圖可以判斷 (　　)
　
　　　 (1) (2)
A．變量x與y正相關，u與v正相關
B．變量x與y正相關，u與v負相關
C．變量x與y負相關，u與v正相關
D．變量x與y負相關，u與v負相關
2．某商品銷售量y(件)與銷售價格x(元/件)負相關，則其回歸方程可能是 (　　)
A. ＝－10x＋200 B. ＝10x＋200
C. ＝－10x－200 D. ＝10x－200
3．某產品的廣告費用x與銷售額y的統計數據如下表：
廣告費用x(萬元)
4
2
3
5
銷售額y(萬元)
49
26
39
54
根據上表可得線性回歸方程 ＝ x＋ 中的 為9.4，據此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為 (　　)
A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元
二、填空題
4．人的身高與手的拃長存在相關關系，且滿足 ＝0.303x－31.264(x為身高，y為拃長，單位：cm)，則當拃長為24.8 cm時，身高約為__________ cm.
5．某肉食雞養殖小區某種病的發病雞只數呈上升趨勢，統計近4個月這種病的新發病雞只數的線性回歸分析如下表所示：
月份
(xi)
該月新發病
雞只數(yi)
＝6.5，＝2 540.25，
＝ ＝94.7，
＝－ ＝1 924.7
5
2 400
6
2 491
7
2 586
8
2 684
如果不加控制，仍按這個趨勢發展下去，請預測從9月初到12月底的4個月時間里，該養殖小區這種病的新發病雞總數約為________只．
6．某單位為了了解用電量y度與氣溫x℃之間的關系，隨機統計了某4天的用電量與當天氣溫，并制作了對照表：
氣溫(℃)
18
13
10
－1
用電量(度)
24
34
38
64
由表中數據得線性回歸方程 ＝ x＋ 中 ＝－2，預測當氣溫為－4℃時，用電量的度數約為________．
7．在研究硝酸鈉的可溶性程度時，對于不同的溫度觀測它在水中的溶解度，得觀測結果如下：
溫度(x)
0
10
20
50
70
溶解度(y)
66.7
76.0
85.0
112.3
128.0
由此得到回歸直線的斜率 是__________．(結果保留兩位小數)
三、解答題
8．為了分析某個高三學生的學習狀態，對其下一階段的學習提供指導性建議．現對他前7次考試的數學成績x、物理成績y進行分析．下面是該生7次考試的成績：
數學
88
83
117
92
108
100
112
物理
94
91
108
96
104
101
106
(1)他的數學成績與物理成績哪個更穩定？請給出你的證明；
(2)已知該生的物理成績y與數學成績x是線性相關的，若該生的物理成績達到115分，請你估計他的數學成績大約是多少？并請你根據物理成績與數學成績的相關性，給出該生在學習數學、物理上的合理性建議．
B組　專項能力提升
一、選擇題
1．兩個相關變量滿足如下表：
x
10
15
20
25
30
y
1 003
1 005
1 010
1 011
1 014
兩變量的線性回歸方程為 (　　)
A. ＝0.56x＋997.4 B. ＝0.63x－231.2
C. ＝50.2x＋501.4 D. ＝60.4x＋400.7
2．設，，…，是變量想x和y的n個樣本點，直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖)，以下結論中正確的是 (　　)
A．x和y的相關系數為直線l的斜率
B．x和y的相關系數在0到1之間
C．當n為偶數時，分布在l兩側的樣本點的個數一定相同
D．直線l過點(，)
3．工人月工資(元)依勞動生產率(千元)變化的線性回歸方程為 ＝60＋90x，下列判斷正確的是 (　　)
A．勞動生產率為1 000元時，工資為50元
B．勞動生產率提高1 000元時，工資提高150元
C．勞動生產率提高1 000元時，工資提高90元
D．勞動生產率為1 000元時，工資為90元
二、填空題
4．某服裝商場為了了解毛衣的月銷售量y(件)與月平均氣溫x(℃)之間的關系，隨機統計了4個月的月銷售量與當月平均氣溫，其數據如下表：
月平均氣溫x(℃)
17
13
8
2
月銷售量y(件)
24
33
40
55
由表中數據算出線性回歸方程 ＝ x＋ 中的 ≈－2.氣象部門預測下個月的月平均氣溫為6℃，則毛衣的銷售量約為________件．
5．已知三點(3,10)，(7,20)，(11,24)的橫坐標x與縱坐標y具有線性相關關系，則其線性回歸方程是______ __________．
6．(2011·廣東)某數學老師身高176 cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173 cm、170 cm和182 cm.因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為________ cm.
三、解答題
7．某企業上半年產品產量與單位成本資料如下：
月份
產量(千件)
單位成本(元)
1
2
73
2
3
72
3
4
71
4
3
73
5
4
69
6
5
68
且已知產量x與成本y具有線性相關關系．
(1)求出線性回歸方程；
(2)指出產量每增加1 000件時，單位成本平均變動多少？
(3)假定產量為6 000件時，單位成本為多少元？
8．現隨機抽取了一個學校10名學生在入學考試中的數學成績x與入學后的第一次考試數學成績y，得到如下數據：
學生
號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
120
108
117
104
103
110
104
105
99
108
y
84
64
84
68
69
68
69
46
57
71
這10名學生的兩次數學考試成績具有線性相關關系，求出線性回歸方程，并計算當
x＝118時，y的估計值．
§9.3 變量間的相關關系 答案
要點梳理
1．(1)左下角　右上角　(2)左上角　右下角　(3)一條直線附近
2．(1)距離的平方和最小
(2)  　 － 
基礎自測
1．143　 2. 2.6　 3. 0.254　 4. ③　 5. A　
題型分類·深度剖析
例1　解　(1)散點圖如圖所示
(2)由散點圖知，各組數據對應點大致都在一條直線附近，所以施化肥量x與產量y具有線性相關關系．
變式訓練1　解　以x軸表示身高，y軸表示體重，可得到相應的散點圖如圖所示：
由散點圖可知，兩者之間具有相關關系，且為正相關．
例2　解　(1)由題意知，年收入x為解釋變量，年飲食支出y為預報變量，作散點圖如圖所示．
從圖中可以看出，樣本點呈條狀分布，年收入和年飲食支出具有線性相關關系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關系．
(2)∵＝6，＝1.83，x＝406，xiyi＝117.7，∴ ＝≈0.172，
 ＝－ ＝1.83－0.172×6＝0.798.
從而得到線性回歸方程為 ＝0.172x＋0.798.
變式訓練2:　＝－3.2x＋40
例3　解　(1)根據表中所列數據可得散點圖如圖所示：
(2)計算得：＝＝5，＝＝50，
x2i＝145，x iyi＝1 380.
于是可得 ＝＝＝6.5，
 ＝－ ＝50－6.5×5＝17.5，
因此，所求線性回歸方程是 ＝6.5x＋17.5.
(3)由上面求得的線性回歸方程可知，當宣傳費支出為10萬元時，
 ＝6.5×10＋17.5＝82.5(萬元)，即這種產品的銷售額大約為82.5萬元．
變式訓練3　解:　(1)散點圖如下圖：
(2)＝＝4.5， ＝＝3.5，
xi yi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x＝32＋42＋52＋62＝86，
∴ ＝＝＝0.7，
 ＝－ ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
∴所求的線性回歸方程為 ＝0.7x＋0.35.
(3)現在生產100噸甲產品用煤 ＝0.7×100＋0.35＝70.35(噸)，
∴90－70.35＝19.65(噸)．
∴比技改前大約降低19.65噸標準煤．
A組　專項基礎訓練
1．C　 2.A　 3.B　 4．185.03　 5.11 676　 6.68　 7.0.88
8．解　(1)＝100＋＝100；
＝100＋＝100；
∴s＝＝142，∴s＝，
從而s>s，∴物理成績更穩定．
(2)由于x與y之間具有線性相關關系，根據回歸系數公式得到
 ＝＝＝0.5， ＝－ ＝100－0.5×100＝50，
∴線性回歸方程為 ＝0.5x＋50.
當y＝115時，x＝130，即該生物理成績達到115分時，他的數學成績大約為130分．
建議：進一步加強對數學的學習，提高數學成績的穩定性，將有助于物理成績的進一步提高．
B組　專項能力提升
1．A　 2. D　 3. C　 4. 46 5.  ＝x＋　 6. 185
7．解:　(1)n＝6，＝3.5，＝71，
x＝79，xi yi＝1 481，
 ＝＝≈－1.82，
 ＝－ ＝71＋1.82×3.5＝77.37，
∴線性回歸方程為 ＝ ＋ x＝77.37－1.82x.
(2)因為單位成本平均變動 ＝－1.82<0，且產量x的計量單位是千件，所以根據回歸系數b的意義有：產量每增加一個單位即1 000件時，單位成本平均減少1.82元．
(3)當產量為6 000件時，即x＝6，代入線性回歸方程，得
 ＝77.37－1.82×6＝66.45(元)
∴當產量為6 000件時，單位成本大約為66.45元．
8．解:　由所給數據可求得：
＝(120＋108＋117＋…＋99＋108)＝107.8，
＝(84＋64＋…＋57＋71)＝68，
x＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116 584，
y＝842＋642＋…＋572＋712＝47 384，
xi yi＝120×84＋108×64＋…＋108×71＝73 796.
 ＝＝≈1.309 9，
 ＝－ ≈68－1.309 9×107.8≈－73.207，
∴ ＝1.309 9x－73.207.
∴當x＝118時， ＝1.309 9×118－73.207≈81.361(分)．
§9.4 統計案例
一、要點梳理
1．回歸分析
(1)定義：對具有____________的兩個變量進行統計分析的一種常用方法．
(2)樣本點的中心
對于一組具有線性相關關系的數據，，…，，其回歸直線＝x＋ 的斜率和截距的最小二乘估計分別為：
＝________________， ＝____________.
其中＝____________，＝____________，__________稱為樣本點的中心．
(3)相關系數
①r＝＝；
②當r>0時，表明兩個變量__________；
當r<0時，表明兩個變量__________．
r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關性________．r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間________________________________．通常|r|大于________時，認為兩個變量有很強的線性相關性．
(4)相關指數
R2＝________________________________.
R2的值越大，說明殘差平方和________，也就是說模型的擬合效果________．在線性回歸模型中，R2表示解釋變量對于預報變量變化的貢獻率，R2越接近于1，表示回歸的效果越好．
2．獨立性檢驗
(1)分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的______________，像這類變量稱為分類變量．
(2)列聯表：列出兩個分類變量的__________，稱為列聯表．假設有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為和，其樣本頻數列聯表(稱為2×2列聯表)為
2×2列聯表
y1
y2
總計
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
總計
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
構造一個隨機變量K2＝____________________，其中n＝____________為樣本容量．
(3)獨立性檢驗
利用隨機變量________來判斷“兩個分類變量__________”的方法稱為獨立性檢驗．
二、難點正本　疑點清源
獨立性檢驗是本節內容的重點．獨立性檢驗的一般步驟為：(1)根據樣本數據制成2×2列聯表；(2)根據公式計算K2的值；(3)比較K2與臨界值的大小關系作統計推斷．值得注意的是，使用K2統計量作2×2列聯表的獨立性檢驗時，要求表中的4個數據都要大于5，所以，在選取樣本容量時一定要注意．
三、基礎自測
1．對于回歸分析，下列說法錯誤的是 (　　)
A．在回歸分析中，變量間的關系若是非確定性關系，那么因變量不能由自變量唯一確定
B．線性相關系數可以是正的或負的
C．回歸分析中，如果r2＝1或r＝±1，說明x與y之間完全線性相關
D．樣本相關系數r∈(－1,1)
2．兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關指數R2如下，其中擬合效果最好的模型是 (　　)
A．模型1的相關指數R2為0.98 B．模型2的相關指數R2為0.80
C．模型3的相關指數R2為0.50 D．模型4的相關指數R2為0.25
3．下列說法：
①將一組數據中的每個數據都加上或減去同一個常數后，方差恒不變；
②設一個回歸方程 ＝3－5x，變量x增加1個單位時，y平均增加5個單位；
③線性回歸方程＝b x＋a必過(，)；
④曲線上的點與該點的坐標之間具有相關關系；
⑤在一個2×2列聯表中，由計算得K2＝13.079，則其兩個變量間有關系的可能性是90%.
其中錯誤的個數是 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
4．通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯表：
男
女
總計
愛好
40
20
60
不愛好
20
30
50
總計
60
50
110
由K2＝算得，K2＝≈7.8.
附表：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
參照附表，得到的正確結論是 (　　)
A．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”
B．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”
C．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”
D．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”四、題型分類 深度剖析
題型一　線性回歸分析
例1　假設關于某種設備的使用年限x(年)與所支出的維修費用y(萬元)有如下統計資料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
已知x＝90，y＝140.8，xiyi＝112.3， ≈8.9，≈1.4.
(1)求，； (2)對x，y進行線性相關性檢驗；
(3)如果x與y具有線性相關關系，求出線性回歸方程；
(4)估計使用年限為10年時，維修費用約是多少？
探究提高:　在解決具體問題時，要先進行相關性檢驗，通過檢驗確認兩個變量是否具有線性相關關系．若它們之間具有相關關系，再求回歸方程，否則，即使求出回歸方程也是毫無意義的，而且用其估計和預測的量也是不可信的．
變式訓練1 許多因素都會影響貧窮，教育也是其中之一，在研究這兩個因素的關系時收集了美國50個州的成年人受過9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方規定的貧困線的人數占本州人數的百分比(y)的數據，建立的線性回歸方程為 ＝0.8x＋4.6，斜率的估計值等于0.8說明____________________________________________________，成年人受過9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方規定的貧困線的人數占本州人數的百分比(y)之間的相關系數________(填“大于0”或“小于0”)．
題型二　獨立性檢驗
例2　在調查的480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲，分別利用圖形和獨立性檢驗的方法來判斷色盲與性別是否有關？你所得到的結論在什么范圍內有效？
探究提高:　利用圖形來判斷兩個變量之間是否有關系，可以畫出等高條形圖，但從圖形上只可以粗略地估計兩個分類變量的關系，它不能給出我們兩個分類變量有關或無關的精確的可信程度，若要作出精確的判斷，應該進行獨立性檢驗的有關計算．作圖時應注意單位統一、圖形準確．
變式訓練2 某學生對其30位親屬的飲食習慣進行了一次調查，并用莖葉圖表示30人的飲食指數．說明：下圖中飲食指數低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數高于70的人，飲食以肉類為主．
(1)根據莖葉圖，幫助這位同學說明其親屬30人的飲食習慣；
(2)根據以上數據完成2×2列聯表：
主食蔬菜
主食肉類
合計
50歲以下
50歲以上
合計
(3)能否有99%的把握認為其親屬的飲食習慣與年齡有關，并寫出簡要分析．
附：K2＝
下表
P(K2≥k0)
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
題型三　獨立性檢驗的綜合應用
例3　為調查某地區老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區調查了500位老年人，結果如下：
　　　 性別
是否需要志愿者　
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
(1)估計該地區老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例．
(2)能否有99%的把握認為該地區的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？
(3)根據(2)的結論，能否提出更好的調查方法來估計該地區的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理由．
附：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K2＝
探究提高:　(1)根據樣本估計總體是抽樣分析的一個重要內容．要使估計的結論更加準確，抽樣取得的樣本很關鍵．
(2)根據獨立性檢驗知，需要提供服務的老人與性別有關，因此在調查時，采取男、女分層抽樣的方法更好，從而看出獨立性檢驗的作用．
變式訓練3為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關，對本班50人進行了問卷調查得到了如下的列聯表：
喜愛打籃球
不喜愛打籃球
合計
男生
5
女生
10
合計
50
已知在全部50人中隨機抽取1人抽到喜愛打籃球的學生的概率為.
(1)請將上面的列聯表補充完整；
(2)是否有99.5%的把握認為喜愛打籃球與性別有關？說明你的理由；
(3)已知喜愛打籃球的10位女生中，A1，A2，A3，A4，A5還喜歡打羽毛球，B1，B2，B3還喜歡打乒乓球，C1，C2還喜歡踢足球，現再從喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、喜歡踢足球的女生中各選出1名進行其他方面的調查，求B1和C1不全被選中的概率．
下面的臨界值表供參考：
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(參考公式K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)
五、解題思想方法示范（統計中的數形結合思想）
試題：(12分)下面是水稻產量與施化肥量的一組觀測數據：
施化肥量　15　20　25　30　35　40　45
水稻產量　320 330 360 410 460 470 480
(1)將上述數據制成散點圖；
(2)你能從散點圖中發現施化肥量與水稻產量近似成什么關系嗎？水稻產量會一直隨施化肥量的增加而增長嗎？
審題視角　(1)分析觀測數據、制圖．(2)分析散點圖，給出結果．
規范解答
解:　(1)散點圖如下：
[6分]
(2)①從圖中可以發現施化肥量與水稻產量具有線性相關關系，當施化肥量由小到大變化時，水稻產量由小變大，圖中的數據點大致分布在一條直線的附近，因此施化肥量和水稻產量近似成線性相關關系．②不會，水稻產量只是在一定范圍內隨著化肥施用量的增加而增長． [12分]
批閱筆記:　(1)在統計中，用樣本的頻率分布表、頻率分布直方圖、統計圖表中的莖葉圖、折線圖、條形圖，去估計總體的相關問題，以及用散點圖判斷相關變量的相關性等都體現了數與形的完美結合．借助于形的直觀，去統計數據，分析數據，無不體現了數形結合的思想．(2)本題利用散點圖分析兩變量間的相關關系，充分體現了數形結合思想的應用．(3)本題易錯點為：散點圖畫的不準確，導致判斷錯誤.
六、思想方法 感悟提高
方法與技巧
1．線性回歸分析以散點圖為基礎，具有很強的直觀性，有散點圖作比較時，擬合效果的好壞可由直觀性直接判斷，沒有散點圖時，只須套用公式求r，R2，再作判斷即可．
2．獨立性檢驗沒有直觀性，必須依靠K2的觀測值k作判斷．
失誤與防范
1．r的大小只說明是否相關并不能說明擬合效果的好壞，R2才是判斷擬合效果好壞的依據．
2．獨立性檢驗的隨機變量K2＝2.706是判斷是否有關系的臨界值，K2<2.706應判斷為沒有充分證據顯示X與Y有關系，而不能作為小于90%的量化值來判斷．
§9.4 統計案例
A組　專項基礎訓練
一、選擇題
1．若回歸方程中的回歸系數 ＝0時，則相關系數為 (　　)
A．r＝1 B．r＝－1
C．r＝0 D．無法確定
2．相關系數度量 (　　)
A．兩個變量之間線性相關關系的強度 B．散點圖是否顯示有意義的模型
C．兩個變量之間是否存在因果關系 D．兩個變量之間是否存在關系
3．在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中，下列說法正確的是 (　　)
①若K2的觀測值滿足K2≥6.635，我們有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺病；②從獨立性檢驗可知有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系時，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺病；③從統計量中得知有95%的把握認為吸煙與患肺病有關系，是指有5%的可能性使得推斷出現錯誤．
A．① B．①③ C．③ D．②
4．在第29屆北京奧運會上，中國健兒取得了51金、21銀、28銅的好成績，穩居金牌榜榜首，由此許多人認為中國進入了世界體育強國之列，也有許多人持反對意見，有網友為此進行了調查，在參加調查的2 548名男性中有1 560名持反對意見，2 452名女性中有1 200名持反對意見，在運用這些數據說明性別對判斷“中國進入了世界體育強國之列”是否有關系時，用什么方法最有說服力 (　　)
A．平均數與方差 B．線性回歸方程
C．獨立性檢驗 D．概率
二、填空題
5．①若r>0，則x增大時，y也相應增大；②若r<0，則x增大時，y也相應增大；③若r＝1或r＝－1，則x與y的關系完全對應(有函數關系)，在散點圖上各個點均在一條直線上．
上面是關于相關系數r的幾種說法，其中正確的序號是________．
6．為了判斷高中三年級學生是否選修文科與性別的關系，現隨機抽取50名學生，得到如下2×2列聯表：
理科
文科
男
13
10
女
7
20
已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.
根據表中數據，得到k＝≈4.844.
則認為選修文科與性別有關系出錯的可能性為________．
7．某研究小組為了研究中學生的身體發育情況，在某學校隨機抽出20名15至16周歲的男生，將他們的身高和體重制成2×2列聯表，根據列聯表的數據，可以有________的把握認為該學校15至16周歲的男生的身高和體重之間有關系.
超重
不超重
合計
偏高
4
1
5
不偏高
3
12
15
合計
7
13
20
獨立性檢驗界值表
P(K2≥k0)
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
5.024
6.635
7.879
10.828
獨立性檢驗隨機變量K2值的計算公式：K2＝.
三、解答題
8．對某校學生進行心理障礙測試，得到如下列聯表.
焦慮
說謊
懶惰
總計
女生
5
10
15
30
男生
20
10
50
80
總計
25
20
65
110
試說明在這三種心理障礙中哪一種與性別關系最大？
B組　專項能力提升
一、選擇題
1．(2011·江西)變量X與Y相對應的一組數據為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；變量U與V相對應的一組數據為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示變量Y與X之間的線性相關系數，r2表示變量V與U之間的線性相關系數，則(　　)
A．r2C．r2<02．以下四個命題，其中正確的是 (　　)
①從勻速傳遞的產品生產流水線上，質檢員每20分鐘從中抽取一件產品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；
②兩個隨機變量相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1 ；
③在線性回歸方程 ＝0.2x＋12中，當解釋變量x每增加一個單位時，預報變量 平均增加0.2個單位；
④對分類變量X與Y，它們的隨機變量K2的觀測值k來說，k越小，“X與Y有關系”的把握程度越大．
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
3．若變量y與x之間的相關系數r＝－0.936 2，則變量y與x之間(　　)
A．不具有線性相關關系 B．具有線性相關關系
C．它們的線性相關關系還要進一步確定 D．不確定
二、填空題
4．在一項打鼾與患心臟病的調查中，共調查了1 671人，經過計算K2的觀測值k＝27.63，根據這一數據分析，我們有理由認為打鼾與患心臟病是________的(有關，無關)．
5．對196個接受心臟搭橋手術的病人和196個接受血管清障手術的病人進行了3年的跟蹤研究，調查他們是否又發作過心臟病，調查結果如下表所示：
又發作過
心臟病
未發作過
心臟病
合計
心臟搭橋手術
39
157
196
血管清障手術
29
167
196
合計
68
324
392
試根據上述數據計算K2≈____________(保留兩位小數)，比較這兩種手術對病人又發作心臟病的影響有沒有差別_________________________________________________
__________________________.
6．某醫療研究所為了檢驗某種血清預防感冒的作用，把500名使用血清的人與另外500名未用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設H0：“這種血清不能起到預防感冒的作用”，利用2×2列聯表計算得K2≈3.918，經查對臨界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.對此，四名同學作出了以下的判斷：
p：有95%的把握認為“這種血清能起到預防感冒的作用”；
q：若某人未使用該血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；
r：這種血清預防感冒的有效率為95%；
s：這種血清預防感冒的有效率為5%.
則下列結論中，正確結論的序號是________．(把你認為正確的命題序號都填上)
①p∧綈q； ②綈p∧q； ③(綈p∧綈q)∧(r∨s)； ④(p∨綈r)∧(綈q∨s)．
三、解答題
7．某班主任對全班50名學生的學習積極性和對待班級工作的態度進行了調查，統計數據如下表所示：
積極參加
班級工作
不太主動參
加班級工作
合計
學習積極性高
18
7
25
學習積極性一般
6
19
25
合計
24
26
50
(1)如果隨機抽查這個班的一名學生，那么抽到積極參加班級工作的學生的概率是多少？抽到不太主動參加班級工作且學習積極性一般的學生的概率是多少？
(2)試運用獨立性檢驗的思想方法分析：學生的學習積極性與對待班級工作的態度是否有關？并說明理由．
§9.4 統計案例 答案
要點梳理
1．(1)相關關系　(2)　 － 　xi　yi　(，)
(3)②正相關　負相關　越強　幾乎不存在線性相關關系　0.75　(4)1－　越小　越好
2．(1)不同類別　(2)頻數表 　a＋b＋c＋d (3)K2　有關系
基礎自測 1．D　 2.A 　3.C　 4.A
題型分類·深度剖析
例1　解　(1)＝＝4，
＝＝5.
(2)xiyi－5 ＝112.3－5×4×5＝12.3，
x－52＝90－5×42＝10，
y－52＝140.8－125＝15.8，
∴r＝＝≈0.979.
∵r>0.75，
所以認為x與y之間具有線性相關關系，求線性回歸方程是有意義的．
(3) ＝＝＝1.23，
 ＝－ ＝5－1.23×4＝0.08，
所以線性回歸方程為 ＝1.23x＋0.08.
(4)當x＝10時， ＝1.23×10＋0.08＝12.38(萬元)，即估計使用年限為10年時，維修費用約為12.38萬元．
變式訓練1　一個地區受9年或更少教育的百分比每增加1%，收入低于官方規定的貧困線的人數占本州人數的百分比將增加0.8%左右　大于0
例2　解:　根據題目所給的數據作出如下的列聯表：
色盲
不色盲
總計
男
38
442
480
女
6
514
520
總計
44
956
1 000
根據列聯表作出相應的等高條形圖，如圖所示．
從等高條形圖來看，男性患色盲的頻率要高一些，因此直觀上可以認為色盲與性別有關．
根據列聯表中所給的數據可以有
a＝38，b＝442，c＝6，d＝514，a＋b＝480，c＋d＝520，
a＋c＝44，b＋d＝956，n＝1 000，
代入公式K2＝，
得K2＝≈27.1.
由于K2＝27.1>10.828，所以我們有99.9%的把握認為性別與患色盲有關．
這個結論只對所調查的480名男人和520名女人有效．
變式訓練2　解:　(1)30位親屬中50歲以上的人多以食蔬菜為主，50歲以下的人多以食肉為主．
(2)如表所示.
主食蔬菜
主食肉類
合計
50歲以下
4
8
12
50歲以上
16
2
18
合計
20
10
30
(3)K2＝＝＝10>6.635.
∴有99%的把握認為其親屬的飲食習慣與年齡有關．
例3　解　(1)調查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例的估計值為×100%＝14%.
(2)K2＝≈9.967.
由于9.967>6.635，所以有99%的把握認為該地區的老年人是否需要幫助與性別有關．
(3)由(2)的結論知，該地區老年人是否需要幫助與性別有關，并且從樣本數據能看出該地區男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調查時，先確定該地區老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法，比采用簡單隨機抽樣方法更好．
變式訓練3　解:　(1)列聯表補充如下：
喜愛打籃球
不喜愛打籃球
合計
男生
20
5
25
女生
10
15
25
合計
30
20
50
(2)∵K2＝≈8.333>7.879，∴有99.5%的把握認為喜愛打籃球與性別有關．
(3)從10位女生中選出喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、喜歡踢足球的各1名，其一切可能的結果組成的基本事件如下：
(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)，(A4，B1，C1)，(A4，B1，C2)，(A4，B2，C1)，(A4，B2，C2)，(A4，B3，C1)，(A4，B3，C2)，(A5，B1，C1)，(A5，B1，C2)，(A5，B2，C1)，(A5，B2，C2)，(A5，B3，C1)，(A5，B3，C2)，
基本事件的總數為30.
用M表示“B1，C1不全被選中”這一事件，則其對立事件表示“B1，C1全被選中”這一事件，由于由(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，(A4，B1，C1)，(A5，B1，C1)共5個基本事件組成，所以P()＝＝.
由對立事件的概率公式得
P(M)＝1－P()＝1－＝.
A組　專項基礎訓練
1．C　2.A　3.C　4.C 5．①③ 6．5% 7．97.5%
8．解　對于上述三種心理障礙分別構造三個隨機變量K21，K22，K23.
由表中數據可得
K21＝≈0.863<2.706，
K22＝≈6.366>5.024，
K23＝≈1.410<2.706.
所以沒有充分的證據顯示焦慮與性別有關，有97.5%的把握認為說謊與性別有關，沒有充分的證據顯示懶惰與性別有關．
B組　專項能力提升
1．C　2.D　3．B　4．有關 5．1.78　不能作出這兩種手術對病人又發作心臟病的影響有差別的結論 6．①④
7．解　(1)隨機抽查這個班的一名學生，有50種不同的抽查方法，由于積極參加班級工作的學生有18＋6＝24(人)，所以有24種不同的抽法，因此由古典概型的計算公式可得抽到積極參加班級工作的學生的概率是P1＝＝，又因為不太主動參加班級工作且學習積極性一般的學生有19人，所以抽到不太主動參加班級工作且學習積極性一般的學生的概率是P2＝.
(2)由K2統計量的計算公式得
K2＝≈11.538，
由于11.538>10.828，所以有99.9%的把握認為“學生的學習積極性與對待班級工作的態度有關系”．
§9.5 隨機事件的概率
一、要點梳理
1．隨機事件和確定事件
(1)在條件S下，一定會發生的事件叫做相對于條件S的____________．
(2)在條件S下，一定不會發生的事件叫做相對于條件S的________________．
(3)________________________________統稱為確定事件．
(4)________________________________的事件，叫做隨機事件．
(5)_____________和_________統稱為事件，一般用大寫字母A，B，C…表示．
2．頻率與概率
(1)在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數為事件A出現的頻數，稱事件A出現的比例fn(A)＝________為事件A出現的頻率．
(2)對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數的增加，事件A發生的________fn(A)穩定在某個__________上，把這個________記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率．
3．事件的關系與運算
定義
符號表示
包含關系
如果事件A發生，則事件B一定發生，這時稱事件B________事件A(；或稱事件A包含
于事件B)
________
(或A?B)
相等關系
若B?A且A?B
________
并事件(和事件)
若某事件發生當且僅當A發生或事件B發生，稱此事件為事件A與事件B的________(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
交事件
(積事件)
若某事件發生當且僅當__________且__________，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B為不可能事件，則事件A與事件B
互斥
A∩B＝?
對立事件
若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件
P(A∪B)＝
P(A)＋P(B)＝1
4．概率的幾個基本性質
(1)概率的取值范圍：__________. (2)必然事件的概率P(E)＝______.
(3)不可能事件的概率P(F)＝______.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝___________________________.
②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)____________________________
二、難點正本　疑點清源
1．隨機事件和隨機試驗是兩個不同的概念
在一定的條件下可能發生也可能不發生的事件叫隨機事件，條件每實現一次，叫做一次試驗，如果試驗結果預先無法確定，這種試驗就是隨機試驗．
2．對概率定義的進一步理解
(1)頻率與概率有本質的區別，不可混為一談．頻率隨著試驗次數的改變而變概率靠近，只要次數足夠多，所得頻率就可以近似地當作隨機事件的概率．
(2)概率意義下的“可能性”是大量隨機事件現象的客觀規律，與我們日常所說的“可能”“估計”是不同的，也就是說，單獨一次結果的不肯定性與積累結果的有規律性，才是概率意義下的“可能性”，事件A的概率是事件A的本質屬性．
(3)概率從數量上反映了一個事件發生的可能性的大小；概率的定義實際上也是求一個事件的概率的基本方法．
3．互斥事件與對立事件的區別與聯系
互斥事件與對立事件都是兩個事件的關系，互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發生外，還要求二者之一必須有一個發生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要但不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分但不必要條件．
三、基礎自測
1．(1)在標準大氣壓下，把水加熱到100℃，沸騰；(2)導體通電，發熱；
(3)同性電荷，互相吸引； (4)實心鐵塊丟入水中，鐵塊浮起；
(5)買一張福利彩票，中獎； (6)擲一枚硬幣，正面朝上．
上述事件中是確定性事件的是__________，是隨機事件的是________．
2．拋擲一粒骰子，觀察擲出的點數，設事件A為出現奇數點，事件B為出現2點，已知P(A)＝，P(B)＝，則出現奇數點或2點的概率為________．
3．給出下列三個命題，其中正確命題有________ 個．
①有一大批產品，已知次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品；②做7次拋硬幣的試驗，結果3次出現正面，因此正面出現的概率是；③隨機事件發生的頻率就是這個隨機事件發生的概率．
4．某射手的一次射擊中，射中10環、9環、8環的概率分別為0.2、0.3、0.1，則此射手在一次射擊中不超過8環的概率為 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．0.5 B．0.3 C．0.6 D．0.9
四、題型分類 深度剖析
題型一　事件的分類與事件關系的判斷
例1　一口袋內裝有5個白球和3個黑球，從中任取兩球．記“取到一白一黑”為事件A1，“取到兩白球”為事件A2，“取到兩黑球”為事件A3.
解答下列問題：
(1)記“取到2個黃球”為事件M，判斷事件M是什么事件？
(2)記“取到至少1個白球”為事件A，試分析A與A1、A2、A3的關系．
探究提高:　在分析事件的關系時，要特別注意試驗前提，關注“試驗”和“事件”是解決概率問題的關鍵．
變式訓練1 某城市有甲、乙兩種報紙供居民們訂閱，記事件A為“只訂甲報紙”，事件B為“至少訂一種報紙”，事件C為“至多訂一種報紙”，事件D為“不訂甲報紙”，事件E為“一種報紙也不訂”．判斷下列每對事件是不是互斥事件；如果是，再判斷它們是不是對立事件．
(1)A與C；(2)B與E；(3)B與C；(4)C與E.
題型二　隨機事件的頻率與概率
例2　某射擊運動員在同一條件下進行練習，結果如下表所示：
射擊次數n
10
20
50
100
200
500
擊中10環次數m
8
19
44
93
178
453
擊中10環頻率
(1)計算表中擊中10環的各個頻率；
(2)這位射擊運動員射擊一次，擊中10環的概率為多少？
探究提高:　利用概率的統計定義求事件的概率是求一個事件概率的基本方法，通過大量的重復試驗，事件發生的頻率會逐漸趨近于某一個常數，就用事件發生的頻率趨近的常數作為事件的概率．
變式訓練2 某企業生產的乒乓球被2012年倫敦奧運會指定為乒乓球比賽專用球，目前有關部門對某批產品進行了抽樣檢測，檢查結果如下表所示：
抽取球數n
50
100
200
500
1 000
2 000
優等品數m
45
92
194
470
954
1 902
優等品頻率
(1)計算表中乒乓球優等品的頻率；
(2)從這批乒乓球產品中任取一個，質量檢查為優等品的概率是多少？(結果保留到小數點后三位)
題型三　互斥事件、對立事件的概率
例3　某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1 000張
獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A、B、C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1張獎券的中獎概率；
(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．
探究提高:(1)解決此類問題，首先應結合互斥事件和對立事件的定義分析出是不是互斥事件或對立事件，再選擇概率公式進行計算．
(2)求復雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的求和公式計算；二是間接求法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即運用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”、“至少”型題目，用間接求法就顯得較簡便．
變式訓練3 國家射擊隊的隊員為在世界射擊錦標賽上取得優異成績，正在加緊備戰，經過近期訓練，某隊員射擊一次命中7～10環的概率如表所示：
命中環數
10環
9環
8環
7環
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
求該射擊隊員射擊一次
(1)射中9環或10環的概率； (2)至少命中8環的概率；
(3)命中不足8環的概率．
五、易錯題(忽略概率加法公式的前提條件致誤)
試題：(12分)拋擲一枚骰子，事件A表示“朝上一面的點數是奇數”，事件B表示“朝上一面的點數不超過2”．
求：(1)P(A)；(2)P(B)；(3)P(A∪B)．
學生易錯解為：（3）P(A∪B)= P(A)+ P(B)=
審題視角　(1)基本事件總數為6，事件A包括3個基本事件，事件B包括2個基本事件．(2)事件A與事件B并不互斥，事件A∪B包括4個基本事件．
規范解答
解：　基本事件總數為6個． [2分]
(1)事件A包括出現1,3,5，共三個基本事件，
∴P(A)＝＝. [4分]
(2)事件B包括出現1,2，共兩個基本事件，
∴P(B)＝＝. [8分]
(3)事件A∪B包括出現1,2,3,5，共四個基本事件，
∴P(A∪B)＝＝. [12分]
批閱筆記：　(1)本題重點考查了隨機事件的概率，尤其是事件間的關系．(2)本題易錯原因是學生錯用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)來解決，因為這個公式的前提條件是A、B彼此互斥，而本題中的事件A、B并不互斥．所以在應用公式時，要特別注意是否具備應用公式的條件.
六、思想方法 感悟提高
方法與技巧
1．必然事件、不可能事件、隨機事件是在一定條件下發生的，當條件變化時，事件的性質也發生變化．
2．必然事件與不可能事件可看作隨機事件的兩種特殊情況，因此，任何事件發生的概率都滿足：0≤P(A)≤1.
3．隨機事件在相同條件下進行大量試驗時，呈現規律性，且頻率總是接近于常數P(A)，稱P(A)為事件A的概率．
4．求某些較復雜的概率問題時，通常有兩種方法：一是將其分解為若干個彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A的對立事件的概率，然后利用P(A)＝1－P()可得解．
失誤與防范
1．正確區別互斥事件與對立事件的關系：對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件．
2．從集合的角度看，幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結果組成的集合彼此互不相交，事件A的對立事件所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集．
3．需準確理解題意，特別留心“至多……”，“至少……”，“不少于……”語句的含義．
§9.5 隨機事件的概率
A組　專項基礎訓練
一、選擇題
1．從1,2，…，9中任取2個數，其中
①恰有1個是偶數和恰有1個是奇數；②至少有1個是奇數和2個都是奇數；③至少有1個是奇數和2個都是偶數；④至少有1個是奇數和至少有1個是偶數．
上述事件中，是對立事件的是 (　　)
　　A．① B．②④ C．③ D．①③
2．一個人打靶時連續射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 (　　)
A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶
C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶
3．從一籃子雞蛋中任取1個，如果其重量小于30克的概率為0.3，重量在[30,40]克的概率為0.5，那么重量不小于30克的概率為 (　　)
A．0.3 B．0.5 C．0.8 D．0.7
二、填空題
4．已知某臺紡紗機在1小時內發生0次、1次、2次斷頭的概率分別是0.8,0.12,0.05，則這臺紡紗機在1小時內斷頭不超過兩次的概率和斷頭超過兩次的概率分別為__________和________．
5．現有語文、數學、英語、物理和化學共5本書，從中任取1本，取出的是理科書的概率為________．
6．一只袋子中裝有7個紅玻璃球，3個綠玻璃球，從中無放回地任意抽取兩次，每次只取一個，取得兩個紅球的概率為，取得兩個綠球的概率為，則取得兩個同顏色的球的概率為________；至少取得一個紅球的概率為________．
三、解答題
7．射手在一次射擊訓練中，射中10環、9環、8環、7環的概率分別為0.21、0.23、0.25、0.28，計算這個射手在一次射擊中：
(1)射中10環或7環的概率；
(2)不夠7環的概率．
8．某公務員去開會，他乘火車、輪船、汽車、飛機去的概率分別為0.3、0.2、0.1、0.4.
(1)求他乘火車或乘飛機去開會的概率；
(2)求他不乘輪船去開會的概率；
(3)如果他乘某種交通工具去開會的概率為0.5，請問他有可能是乘何種交通工具去開會的？
B組　專項能力提升
一、選擇題
1．袋中有紅色、黃色、綠色球各一個，每次任取一個，有放回地抽取三次，球的顏色全相同的概率是 (　　)
A. B. C. D.
2．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是對立事件．那么 (　　)
A．甲是乙的充分但不必要條件 B．甲是乙的必要但不充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件
3．在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件A、B、C、D的概率分別是0.2、0.2、0.3、0.3，則下列說法正確的是 (　　)
A．A＋B與C是互斥事件，也是對立事件
B．B＋C與D是互斥事件，也是對立事件
C．A＋C與B＋D是互斥事件，但不是對立事件
D．A與B＋C＋D是互斥事件，也是對立事件
二、填空題
4．向三個相鄰的軍火庫各投一枚炸彈．擊中第一個軍火庫的概率是0.025，擊中另兩個軍火庫的概率各為0.1，并且只要擊中一個，另兩個也爆炸，則軍火庫爆炸的概率
為________．
5．口袋內裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率為0.42，摸出白球的概率是0.28，若紅球有21個，則黑球有______個．
6．某學校成立了數學、英語、音樂3個課外
興趣小組，3個小組分別有39、32、33個
成員，一些成員參加了不止一個小組，具
體情況如圖所示． 現隨機選取一個成員，
他屬于至少2個小組的概率是 ，他
屬于不超過2個小組的概率是 .
7．甲盒子中裝有3個編號分別為1,2,3的小球，乙盒子中裝有5個編號分別為1,2,3,4,5的小球，從甲、乙兩個盒子中各隨機取一個小球，則取出兩個小球編號之積為奇數的概率為________．
三、解答題
8．袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率為，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率是，試求得到黑球、黃球、綠球的概率各是多少？
§9.5 隨機事件的概率 答案
要點梳理
1．(1)必然事件　(2)不可能事件　(3)必然事件與不可能事件　(4)在條件S下可能發生也可能不發生　(5)確定事件　隨機事件
2．(1)　(2)頻率　 常數　 常數
3．包含　B?A　A＝B　并事件　事件A發生　事件B發生
4．(1)0≤P(A)≤1　 (2)1　 (3)0 (4)①P(A)＋P(B)　②1－P(B)
基礎自測
1．(1)(2)(3)(4)　 (5)(6)　 2.　 3.0　 4.A
題型分類·深度剖析
例1　解：　(1)事件M不可能發生，故為不可能事件．
(2)事件A1或A2發生，則事件A必發生，故A1?A，A2?A，且A＝A1＋A2.又A∩A3為不可能事件，A∪A3為必然事件，故A與A3對立．
變式訓練1　解　(1)由于事件C“至多訂一種報紙”中有可能“只訂甲報紙”，即事件A與事件C有可能同時發生，故A與C不是互斥事件．
(2)事件B“至少訂一種報紙”與事件E“一種報紙也不訂”是不可能同時發生的，故B與E是互斥事件．由于事件B不發生可導致事件E一定發生，且事件E不發生會導致事件B一定發生，故B與E還是對立事件．
(3)事件B“至少訂一種報紙”中有這些可能：“只訂甲報紙”、“只訂乙報紙”、“訂甲、乙兩種報紙”，事件C“至多訂一種報紙”中有這些可能：“什么報紙也不訂”、“只訂甲報紙”、“只訂乙報紙”，由于這兩個事件可能同時發生，故B與C不是互斥事件．
(4)由(3)的分析，事件E“一種報紙也不訂”只是事件C的一種可能，即事件C與事件E有可能同時發生，故C與E不是互斥事件．
例2　解：　(1)擊中10環的頻率依次為0.8,0.95,0.88,0.93,0.89,0.906.
(2)這位射擊運動員射擊一次，擊中10環的概率約為0.9.
變式訓練2　解：　(1)表中乒乓球優等品的頻率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.
(2)由(1)知，抽取的球數n不同，計算得到的頻率值不同，但隨著抽取球數的增多，頻率在常數0.950的附近擺動，所以質量檢查為優等品的概率約為0.950.
例3　解　(1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.
故事件A，B，C的概率分別為，，.
(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設“1張獎券中獎”這個事件為M，
則M＝A∪B∪C.
∵A、B、C兩兩互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝.
故1張獎券的中獎概率為.
(3)設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為.
變式訓練3　解：　記事件“射擊一次，命中k環”為A k (k ∈N，k≤10)，則事件A k彼此互斥．
(1)記“射擊一次，射中9環或10環”為事件A，那么當A9，A10之一發生時，事件A發生，由互斥事件的加法公式得
P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.
(2)設“射擊一次，至少命中8環”的事件為B，那么當A8，A9，A10之一發生時，事件B發生．由互斥事件概率的加法公式得
P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.
(3)由于事件“射擊一次，命中不足8環”是事件B：“射擊一次，至少命中8環”的對立事件，即表示事件“射擊一次，命中不足8環”．
∴P()＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.
A組　專項基礎訓練
1．C　2．D　3.D 4．0.97　 0.03 5.  6. 　 
7．解　(1)記：“射中10環”為事件A，記“射中7環”為事件B，由于在一次射擊中 ，A與B不可能同時發生，故A與B是互斥事件．“射中10環或7環”的事件為
A＋B.
故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.
(2)記“不夠7環”為事件E，則事件為“射中7環或8環或9環或10環”，由(1)可知“射中7環”“射中8環”等是彼此互斥事件．
∴P()＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，
從而P(E)＝1－P()＝1－0.97＝0.03. 所以不夠7環的概率為0.03.
8．解　(1)記“他乘火車去開會”為事件A1，“他乘輪船去開會”為事件A2，“他乘汽車去開會”為事件A3，“他乘飛機去開會”為事件A4，這四個事件不可能同時發生，故它們是彼此互斥的．
故P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.
(2)設他不乘輪船去開會的概率為P，則P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8.
(3)由于0.3＋0.2＝0.5,0.1＋0.4＝0.5，
1－(0.3＋0.2)＝0.5,1－(0.1＋0.4)＝0.5，
故他有可能乘火車或輪船去開會，也有可能乘汽車或飛機去開會．
B組　專項能力提升
1．B　[P＝＝.] 2．B　3．D　4．0.225 5．15 6.　 7.
8．解　分別記得到紅球、黑球、黃球、綠球為事件A、B、C、D.由于A、B、C、D為互斥事件，根據已知得到
解得
∴得到黑球、黃球、綠球的概率分別為，，.
§9.6 古典概型
一、要點梳理
1．基本事件的特點
(1)任何兩個基本事件是________的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成______________的和．
2．古典概型
具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．
(1)試驗中所有可能出現的基本事件______________．
(2)每個基本事件出現的可能性________．
3．如果一次試驗中可能出現的結果有n個，而且所有結果出現的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是______；如果某個事件A包括的結果有m個，那么事件A的概率P(A)＝______.
4．古典概型的概率公式
P(A)＝________________________.
二、難點正本　疑點清源
對古典概型的理解
1．一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征——有限性和等可能性，只有同時具備這兩個特點的概型才是古典概型．正確的判斷試驗的類型是解決概率問題的關鍵．
2．古典概型是一種特殊的概率模型，但并不是所有的試驗都是古典概型．
3．從集合的角度去看待概率，在一次試驗中，等可能出現的全部結果組成一個集合I，基本事件的個數n就是集合I的元素個數，事件A是集合I的一個包含m個元素的子集．
故P(A)＝＝.
三、基礎自測
1．在20瓶飲料中，有2瓶已過了保質期．從中任取1瓶，取到已過保質期的飲料的概率是________．
2．一個骰子連續投2次，點數和為4的概率為________．
3．從1,2,3,4,5,6這6個數字中，任取2個數字相加，其和為偶數的概率
是________．
4．(2011·新課標全國)有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
5．一個口袋內裝有2個白球和3個黑球，則先摸出1個白球后放回的條件下，再摸出1個白球的概率是 (　　)
A. B. C. D.
四、題型分類 深度剖析
題型一　基本事件及事件的構成
例1　有兩顆正四面體的玩具，其四個面上分別標有數字1,2,3,4，下面做投擲這兩顆正四面體玩具的試驗：用(x，y)表示結果，其中x表示第1顆正四面體玩具出現的點數， y表示第2顆正四面體玩具出現的點數．試寫出：
(1)試驗的基本事件；
(2)事件“出現點數之和大于3”；
(3)事件“出現點數相等”．
探究提高：解決古典概型問題首先要搞清所求問題是否是古典概型問題，其判斷依據是：(1)試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；(2)每個基本事件出現的可能性相等．其次要搞清基本事件的總數以及所求事件中包含的基本事件的個數，然后利用古典概型的概率公式求解．
變式訓練1 盒中有3只燈泡，其中2只是正品，1只是次品．
(1)從中取出1只，然后放回，再取1只，求①連續2次取出的都是正品所包含的基本事件總數；②兩次取出的一個為正品，一個為次品所包含的基本事件總數；
(2)從中一次任取出2只，求2只都是正品的概率．
題型二　古典概型的概率問題
例2　現有8名世博會志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通曉日語，B1、B2、
B3通曉俄語，C1、C2通曉韓語．從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個小組．
(1)求A1被選中的概率；
(2)求B1和C1不全被選中的概率．
探究提高：解決古典概型的關鍵是：列出所有的基本事件，并且確定構成事件的基本事件．第(2)問既可以轉化為求事件和的概率，也可以運用對立事件求解．一般涉及“至多”、“至少”等事件的概率計算問題時，可以考慮求其對立事件的概率，從而簡化運算．
變式訓練2 甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結果，并求選出的2名教師性別相同的概率；
(2)若從報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結果，并求選出的2名教師來自同一學校的概率．
題型三　古典概型概率的綜合應用
例3　某日用品按行業質量標準分成五個等級，等級系數X依次
為1,2,3,4,5.現從一批該日用品中隨機抽取20件，對其等級系數進行統計分析，得到頻率分布表如下：
X
1
2
3
4
5
f
a
0.2
0.45
b
c
(1)若所抽取的20件日用品中，等級系數為4的恰有3件，等級系數為5的恰有2件，求a，b，c的值；
(2)在(1)的條件下，將等級系數為4的3件日用品記為x1，x2，x3，等級系數為5的2件日用品記為y1，y2，現從x1，x2，x3，y1，y2這5件日用品中任取兩件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，寫出所有可能的結果，并求這兩件日用品的等級系數恰好相等的概率．
探究提高：在古典概型條件下，當基本事件總數為n時，每一個基本事件發生的概率均為，要求事件A的概率，關鍵是求出基本事件總數n和事件A中所含基本事件數m，再由古典概型概率公式P(A)＝求出事件A的概率．
變式訓練3 為了解學生身高情況，某校以10%的比例對全校700名學生按性別進行分層抽樣調查，測得身高情況的統計圖如下：
(1)估計該校男生的人數；
(2)估計該校學生身高在170～185 cm之間的概率；
(3)從樣本中身高在180～190 cm之間的男生中任選2人，求至少有1人身高在185～190 cm之間的概率．
五、解題思想方法示范（注意細節，完善過程）
試題：(12分)一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.
(1)從袋中隨機取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；
(2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求n審題路線圖
(1)基本事件為取兩個球
↓(兩球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示)
把取兩個球的所有結果列舉出來
↓
{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}
↓兩球編號之和不大于4
(注意：和不大于4，應為小于4或等于4)
↓{1,2}，{1,3}
利用古典概型概率公式P＝＝
(2)兩球分兩次取，且有放回
↓(兩球的編號記錄是有次序的，用坐標的形式表示)
基本事件的總數可用列舉法表示
↓(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)
↓(注意細節，m是第一個球的編號，n是第2個球的編號)
n↓計算n≥ m＋2的概率
↓n≥ m＋2的所有情況為(1,3)(1,4)(2,4)
↓P1＝
↓
n規范解答
解：(1)從袋中隨機取兩個球，其一切可能的結果組成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6個．
從袋中取出的球的編號之和不大于4的事件共有{1,2}，{1,3}兩個．
因此所求事件的概率P＝＝. [6分]
(2)先從袋中隨機取一個球，記下編號為m，放回后，再從袋中隨機取一個球，記下編號為n，其一切可能的結果(m，n)有：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，
(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個． [8分]
又滿足條件n≥ m＋2的事件為(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個，
所以滿足條件n≥ m＋2的事件的概率為P1＝. [10分]
故滿足條件n點評：(1)本題在審題時，要特別注意細節，使解題過程更加完善．如第(1)問注意，兩球一起取，實質上是不分先后，再如兩球編號之和不大于4等；第(2)問，有次序．
(2)在列舉基本事件空間時，可以利用列舉、畫樹狀圖等方法，以防遺漏．同時要注意細節，如用列舉法，第(1)問應寫成{1,2}的形式，表示無序，第(2)問應寫成(1,2)的形式，表示有序．(3)本題解答時，存在格式不規范，思維不流暢的嚴重問題．如在解答時，缺少必要的文字說明，沒有按要求列出基本事件．在第(2)問中，由于不能將事件n六、思想方法 感悟提高
方法與技巧
1．用列舉法把古典概型試驗的基本事件一一列出來，然后再求出事件A中的基本事件，利用公式P(A)＝求出事件A的概率．這是一個形象、直觀的好方法，但列舉時必須按照某一順序做到不重復、不遺漏．
2．事件A的概率的計算方法，關鍵要分清基本事件總數n與事件A包含的基本事件數m.因此必須解決以下三個方面的問題：第一，本試驗是否是等可能的；第二，本試驗的基本事件有多少個；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少個．回答好這三個方面的問題，解題才不會出錯．
失誤與防范
1．古典概型的重要思想是事件發生的等可能性，一定要注意在計算基本事件總數和事件包括的基本事件個數時，他們是否是等可能的．
2．概率的一般加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A∪B的概率，當A∩B＝?時，A、B互斥，此時P(A∩B)＝0，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(2)要計算P(A∪B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是把握事件A∩B，并求其概率；(3)該公式可以看作一個方程，知三可求一．
§9.6 古典概型
A組　專項基礎訓練
一、選擇題
1．從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數為a，從{1,2,3}中隨機選取一個數為b，則b>a的概率是 (　　)
A. B. C. D.
2．一個袋子中有5個大小相同的球，其中有3個黑球與2個紅球，如果從中任取兩個球，則恰好取到兩個同色球的概率是 (　　)
A. B. C. D.
3．從正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，則以它們作為頂點的四邊形是矩形的概率為 (　　)
A. B. C. D.
二、填空題
4．從1,2,3,4這四個數中一次隨機地取兩個數，則其中一個數是另一個數的兩倍的概率是________．
5．從長度分別為2、3、4、5的四條線段中任意取出三條，則以這三條線段為邊可以構成三角形的概率是________．
6．若以連續擲兩次骰子分別得到的點數m、n作為點P的橫、縱坐標，則點P在直線x＋y＝5下方的概率為________．
三、解答題
7．袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個，現依次有放回地隨機摸取3次，每次摸取一個球．
(1)試問：一共有多少種不同的結果？請列出所有可能的結果；
(2)若摸到紅球時得2分，摸到黑球時得1分，求3次摸球所得總分為5的概率．
8．將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，求：
(1)兩數之和為5的概率；
(2)兩數中至少有一個奇數的概率；
(3)以第一次向上的點數為橫坐標x，第二次向上的點數為縱坐標y的點(x，y)在圓x2＋y2＝15內部的概率．
B組　專項能力提升
一、選擇題
1．從甲、乙、丙三人中任選兩名代表，甲被選中的概率為 (　　)
A. B. C. D．1
2．從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的概率是 (　　)
A. B. C. D.
3．在一次讀書活動中，一同學從4本不同的科技書和2本不同的文藝書中任選3本，則所選的書中既有科技書又有文藝書的概率為 (　　)
A. B. C. D.
二、填空題
4．已知關于x的二次函數f(x)＝ax2－4bx＋1.設集合P＝{－1,1,2,3,4,5}，
Q={-2，-1,1,2,3,4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數作為a和b，則函數y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函數的概率為________．
5．如圖在平行四邊形ABCD中，O是AC與BD
的交點，P、Q、M、N分別是線段OA、OB、OC、OD
的中點．在A、P、M、C中任取一點記為E，在B、Q、
N、D中任取一點記為F.設G為滿足向量=+的點，
則在上述的點G組成的集合中的點，落在平行四邊形
ABCD外(不含邊界)的概率為 .
6．若集合A＝{a|a≤100，a＝3k，k ∈N*}，集合B＝{b|b≤100，b＝2k，k ∈N*}，在A∪B中隨機地選取一個元素，則所選取的元素恰好在A∩B中的概率為________．
三、解答題
7．在3件產品中，有2件正品，記為a1，a2，有1件次品，記為b1，從中任取2件，每次取1件產品．
(1)若每次取出后不放回，求取出的兩件產品中恰有一件次品的概率；
(2)若每次取出后再放回，求兩次取出的產品中恰有一次是次品的概率．
8．為積極配合深圳2011年第26屆世界大運會志愿者招募工作，某大學數學學院擬成立由4名同學組成的志愿者招募宣傳隊，經過初步選定，2名男同學，4名女同學共6名同學成為候選人，每位候選人當選宣傳隊隊員的機會是相同的．
(1)求當選的4名同學中恰有1名男同學的概率；
(2)求當選的4名同學中至少有3名女同學的概率．
§9.6 古典概型 答案
要點梳理
1．(1)互斥　(2)基本事件 2．(1)只有有限個　(2)相等
3.  　　 4. 
基礎自測
1. 　 2. 　 3. 　 4. A　 5. C
題型分類·深度剖析
例1　解　(1)這個試驗的基本事件為：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(2)事件“出現點數之和大于3”包含以下13個基本事件：
(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(3)事件“出現點數相等”包含以下4個基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．
變式訓練1　解：　(1)將燈泡中2只正品記為a1，a2,1只次品記為b1，
則第一次取1只，第二次取1只，基本事件總數為9個，
a1a1b1a2　　a2a1b1a2　　b1a1b1a2
①連續2次取出的都是正品所包含的基本事件為(a1，a1)，(a1，a2)，(a2，a1)，(a2，a2)共4個基本事件；
②兩次取出的一個為正品，一個為次品所包含的基本事件為(a1，b1)，(a2，b1)，
(b1，a1)，(b1，a2)共4個基本事件．
(2)“從中一次任取2只”得到的基本事件總數是3，即a1a2，a1b1，a2b1，“2只都是正品”的基本事件數是1，所以其概率為P＝.
例2　解：　(1)從8人中選出日語、俄語和韓語志愿者各1名，其一切可能的結果組成的基本事件集合Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}由18個基本事件組成．由于每一個基本事件被抽取的機會均等，因此這些基本事件的發生是等可能的．
用M表示“A1恰被選中”這一事件，則M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，
事件M由6個基本事件組成，因而P(M)＝＝.
(2)用N表示“B1和C1不全被選中”這一事件，由于＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件由3個基本事件組成，所以P()＝＝，由對立事件的概率公式得P(N)＝1－P()＝1－＝.
變式訓練2　解：(1)甲校兩男教師分別用A、B表示，女教師用C表示；乙校男教師用D表示，兩女教師分別用E、F表示．
從甲校和乙校報名的教師中各任選1名的所有可能的結果為：
(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9種．
從中選出的2名教師性別相同的結果為：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4種．
所以選出的2名教師性別相同的概率為.
(2)從甲校和乙校報名的教師中任選2名的所有可能的結果為：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15種．
從中選出的2名教師來自同一學校的結果為：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，
(D，F)，(E，F)，共6種．
所以選出的2名教師來自同一學校的概率為＝.
例3　解：(1)由頻率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35.
因為抽取的20件日用品中，等級系數為4的恰有3件，所以b＝＝0.15.
等級系數為5的恰有2件，
所以c＝＝0.1. 從而a＝0.35－b－c＝0.1，
所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.
(2)從日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取兩件，所有可能的結果為：{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}．
設事件A表示“從日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取兩件，其等級系數相等”，則A包含的基本事件為{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，共4個．
又基本事件的總數為10，
故所求的概率P(A)＝＝0.4.
變式訓練3　解：
(1)樣本中男生人數為40，由分層抽樣比例為10%估計全校男生人數為400.
(2)由統計圖知，樣本中身高在170～185 cm之間的學生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，樣本容量為70，所以樣本中學生身高在170～185 cm之間的頻率f＝＝0.5.故由f估計該校學生身高在170～185 cm之間的概率p＝0.5.
(3)樣本中身高在180～185 cm之間的男生有4人，設其編號為①②③④，樣本中身高在185～190 cm之間的男生有2人，設其編號為⑤⑥.
從上述6人中任選2人的樹狀圖為：
故從樣本中身高在180～190 cm之間的男生中任選2人的所有可能結果數為15，至少有1人身高在185～190 cm之間的可能結果數為9，因此，所求概率p2==.
A組　專項基礎訓練
1．D　 2.C　 3.D　 4.　 5.　 6. 
7．解：(1)一共有8種不同的結果，列舉如下：(紅、紅、紅)、(紅、紅、黑)、
(紅、黑、紅)、(紅、黑、黑)、(黑、紅、紅)、(黑、紅、黑)、(黑、黑、紅)、
(黑、黑、黑)．
(2)記“3次摸球所得總分為5”為事件A，事件A包含的基本事件為：(紅、紅、黑)、(紅、黑、紅)、(黑、紅、紅)，即事件A包含的基本事件數為3，由(1)可知，基本事件總數為8，所以事件A的概率為P(A)＝.
8．解：將一顆骰子先后拋擲2次，此問題中含有36個等可能基本事件．
(1)記“兩數之和為5”為事件A，則事件A中含有4個基本事件：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，所以P(A)＝＝.
答兩數之和為5的概率為.
(2)記“兩數中至少有一個奇數”為事件B，則事件B與“兩數均為偶數”為對立事件，兩數均為偶數包含9個基本條件：(2,2)，(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)．
所以P(B)＝1－＝.
答兩數中至少有一個奇數的概率為.
(3)基本事件總數為36，點(x，y)在圓x2＋y2＝15的內部記為事件C，則C包含8個．基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，
所以P(C)＝＝.
答點(x，y)在圓x2＋y2＝15內部的概率為.
B組　專項能力提升
1．C　2.D　3.D 4.　5.　6.
7．解：(1)取后不放回，所有可能結果組成的基本事件為：(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，取出的兩件中，恰有一件次品的事件包括：(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，所以P(A)＝＝.
(2)每次取后放回，所有可能結果為：(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(a1，a1)，(a2，a2)，(b1，b1)，兩件中恰好只有一件是次品的事件B包括：(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，
所以P(B)＝.
8．解：　(1)將2名男同學和4名女同學分別編號為1,2,3,4,5,6(其中1,2是男同學，3,4,5,6是女同學)，該學院6名同學中有4名當選的情況有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，(3,4,5,6)，共15種，當選的4名同學中恰有1名男同學的情況有(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，共8種，
故當選的4名同學中恰有1名男同學的概率為P(A)＝.
(2)當選的4名同學中至少有3名女同學包括3名女同學當選(恰有1名男同學當選),4名女同學當選這兩種情況，而4名女同學當選的情況只有(3,4,5,6)，則其概率為
P(B)＝，又當選的4名同學中恰有1名男同學的概率為P(A)＝，
故當選的4名同學中至少有3名女同學的概率為P＝＋＝.
§9.7 幾何概型
一、要點梳理
1．幾何概型
如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的________(_____或______)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為____________．
2．幾何概型中，事件A的概率計算公式
P(A)＝_____________________________________________________.
3．要切實理解并掌握幾何概型試驗的兩個基本特點
(1)無限性：在一次試驗中，可能出現的結果有無限多個；
(2)等可能性：每個結果的發生具有等可能性．
4．幾何概型的試驗中，事件A的概率P(A)只與子區域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關．
5．求試驗中幾何概型的概率，關鍵是求得事件所占區域和整個區域Ω的幾何度量，然后代入公式即可求解．
二、難點正本　疑點清源
1．古典概型與幾何概型的異同點
幾何概型與古典概型是最為接近的一種概率模型，兩者的共同點是基本事件是等可能的，不同點是基本事件數一個是有限的，一個是無限的，基本事件可以抽象為點．對于幾何概型，這些點盡管是無限的，但它們所占據的區域是有限的，根據等可能性，這個點落在區域的概率與該區域的幾何度量成正比，而與該區域的位置和形狀無關．
2．解決幾何概型的關鍵是準確理解問題的“測度”．幾何概型問題易錯的根本原因是找不準“測度”．
三、基礎自測
1．如圖所示，邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區
域，在正方形中隨機撒一粒豆子，它落在陰影區域內的概率為
，則陰影區域的面積為 .
2．在區間[－1,2]上隨機取一個數x，則x∈[0，1]的概率為________．
3．點A為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧AB的長度小于1的概率為________．
4．如圖，矩形ABCD中，點E為邊CD的中點，若在矩
形ABCD內部隨機取一個點Q，則點Q取自△ABE內部的
概率等于(　　)
A. B. C. D.
5．在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1內任取一點P，則點P到點A的距離小于等于a的概率為 (　　)
A. B. π C. D. π
四、題型分類 深度剖析
題型一　與長度有關的幾何概型
例1　有一段長為10米的木棍，現要截成兩段，每段不小于3米的概率有多大？
探究提高：從該題可以看出，我們將每個事件理解為從某個特定的幾何區域內隨機地取一點，該區域中每一點被取到的機會都一樣．而一個隨機事件的發生則理解為恰好取到上述區域內的某個指定區域中的點，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解．
變式訓練1 在半徑為1的圓內一條直徑上任取一點，過這個點作垂直于直徑的弦，則弦長超過圓內接等邊三角形邊長的概率是________．
題型二　與面積有關的幾何概型
例2　在可行域內任取一點，規則如程序框圖所示，求能輸出數對(x，y)的概率．
探究提高：數形結合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法．用圖解題的關鍵：用圖形準確表示出試驗的全部結果所構成的區域，由題意將已知條件轉化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發生的區域，通用公式：
P(A)＝.
變式訓練2 設關于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
若a是從區間[0,3]任取的一個數，b是從區間[0,2]任取的一個數，求上述方程有實根的概率．
題型三　與角度有關的幾何概型
例3　如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝，BC＝1，以
A為圓心，1為半徑作四分之一個圓弧DE，在∠DAB內任
作射線AP，求射線AP與線段BC有公共點的概率．
探究提高：幾何概型的關鍵是選擇“測度”，如本例以角
度為“測度”．因為射線AD落在∠DAB內的任意位置是等可能的，所以選擇“角度”為“測度”是解決本題的關鍵．
變式訓練3 如圖所示，在△ABC中，∠B＝60°，
∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC內作射線AM
交BC于點M，求BM<1的概率．
五、解題思想方法示范（.轉化與化歸思想在幾何概型中的應用）
試題：(12分)甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應等候另一人一刻鐘，過時即可離去．求兩人能會面的概率．
審題視角　(1)考慮甲、乙兩人分別到達某處的時間．在平面直角坐標系內用x軸表示甲到達約會地點的時間，y軸表示乙到達約會地點的時間，用0分到60分表示6時到7時的時間段，則橫軸0到60與縱軸0到60的正方形中任一點的坐標(x，y)就表示甲、乙兩人分別在6時到7時時間段內到達的時間．(2)兩人能會面的時間必須滿足：|x－y|≤15.這就將問題化歸為幾何概型問題．
規范解答
解：　以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達約定
地點的時間，則兩人能夠會面的充要條件是
|x-y|≤15. [4分]
在如圖所示平面直角坐標系下，(x，y)的所有可能結
果是邊長為60的正方形區域，而事件A“兩人能夠會
面”的可能結果由圖中的陰影部分表示． [8分]
由幾何概型的概率公式得：
P(A)＝＝＝＝. [11分]
所以，兩人能會面的概率是. [12分]
批閱筆記：(1)本題的難點是把兩個時間分別用x，y兩個坐標表示，構成平面內的點(x，y)，從而把時間是一段長度問題轉化為平面圖形的二維面積問題，進而轉化成面積型幾何概型的問題．
(2)本題錯誤的主要原因，是不能將問題化歸為幾何概型問題，找不到問題的切入點．所以要注意體會和應用轉化與化歸思想在解決幾何概型中的作用．
六、思想方法 感悟提高
方法與技巧
1．幾何概型也是一種概率模型，它與古典概型的區別是試驗的可能結果不是有限個．它的特點是試驗結果在一個區域內均勻分布，所以隨機事件的概率大小與隨機事件所在區域的形狀位置無關，只與該區域的大小有關．
2．幾何概型的“約會問題”已經是程序化的方法與技巧，必須熟練掌握．
失誤與防范
1．計算幾何概型問題的關鍵是怎樣把具體問題(如時間問題等)轉化為相應類型的幾何概型問題．
2．幾何概型中，線段的端點、圖形的邊框是否包含在事件之內不影響所求結果．
§9.7 幾何概型
A組　專項基礎訓練
一、選擇題
1．ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點，在長方形ABCD內隨機取一點，取到的點到O的距離大于1的概率為 (　　)
　A. B．1－ C. D．1－
2．函數f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一點x0∈[－5，5]，使f(x0)≤0的概率是(　　)
A．1 B. C. D.
3．在區間[－1,1]上隨機取一個數x，則sin 的值介于－與之間的概率為 (　　)
A. B. C. D.
4．蜜蜂在一個棱長為3的正方體內自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為(　　)
A. B. C. D.
二、填空題
5．在區間[－π，π]內隨機取兩個數分別記為a，b，則使得函數f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點的概率為________．
6．設p在[0,5]上隨機地取值，則方程x2＋p x＋＋＝0有實根的概率為________．
7．已知圓C：x2＋y2＝12，直線l：4x＋3y＝25.
(1)圓C的圓心到直線l的距離為________；
(2)圓C上任意一點A到直線l的距離小于2的概率為________．
三、解答題
8．拋擲一個質地均勻的、每個面上標有一個數字的正方體玩具，它的六個面中，有兩個面標的數字是0，兩個面標的數字是2，兩個面標的數字是4，將此玩具連續拋擲兩次，以兩次朝上一面的數字分別作為點P的橫坐標和縱坐標．
(1)求點P落在區域C：x2＋y2≤10內的概率；
(2)若以落在區域C上的所有點為頂點作面積最大的多邊形區域M，在區域C上隨機撒一粒豆子，求豆子落在區域M上的概率．
B組　專項能力提升
一、選擇題
1．如圖所示，設M是半徑為R的圓周上一
個定點，在圓周上等可能地任取一點N，
連接MN，則弦MN的長超過R的概率為 (　　)
A. B. C. D.
2．在區間(0,1)上任取兩個數，則兩個數之和小于的概率是 (　　)
A. B. C. D.
3．在區間[0,1]上任取兩個數a，b，則函數f(x)＝x2＋ax＋b2無零點的概率為(　　)
A. B. C. D.
二、填空題
4．已知區域Ω＝{(x，y)|x＋y≤10，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x－y≥0，x≤5，y≥0}，若向區域Ω上隨機投1個點，則這個點落入區域A的概率P(A)＝________.
5．已知正三棱錐S—ABC的底面邊長為4，高為3，則在正三棱錐內任取一點P，使得VP—ABC<VS—ABC的概率是________．
6．如圖所示，在單位圓O的某一直徑上隨
機的取一點Q，則過點Q且與該直徑垂
直的弦長長度不超過1的概率是________．
三、解答題
7．已知關于x的一次函數y＝m x＋n.
(1)設集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分別從集合P和Q中隨機取一個數作為m和n，求函數y＝m x＋n是增函數的概率；
(2)實數m，n滿足條件，求函數y＝m x＋n的圖像經過第一、二、 三象限的概率．
8．設AB＝6，在線段AB上任取兩點(端點A、B除外)，將線段AB分成了三條線段，
(1)若分成的三條線段的長度均為正整數，求這三條線段可以構成三角形的概率；
(2)若分成的三條線段的長度均為正實數，求這三條線段可以構成三角形的概率．
§9.7 幾何概型 答案
要點梳理
1．長度　面積　體積　幾何概型
2.
基礎自測
1. 　 2. 　 3.  4．C 　5．D　
題型分類·深度剖析
例1　解：　記“剪得兩段都不小于3米”為事件A，從木棍的兩端各度量出3米，這樣中間就有10－3－3＝4(米)．在中間的4米長的木棍處剪都能滿足條件，
所以P(A)＝＝＝0.4.
變式訓練1 　
例2　解：　由題意，求輸出的數對(x，y)的概率，
即求x2＋y2≤所表示的平面區域與不等式組
所表示的平面區域面積的比．
如圖所示，所求概率P(A)＝＝.
變式訓練2　解：　設事件A為“方程x2+2ax+b2=0有實根”．
當a≥0，b≥0時，方程x2+2ax+b2=0有實根的充要條件為a≥b.
試驗的全部結果所構成的區域為{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，構成事件A的區域為{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，
所以所求的概率為P(A)＝＝.
例3　解：　因為在∠DAB內任作射線AP，則等可能基本事件為“∠DAB內作射線AP”，所以它的所有等可能事件所在的區域D是∠DAB，當射線AP與線段BC有公共點時，射線AP落在∠CAB內，區域d為∠CAB，所以射線AP與線段BC有公共點的概率為＝＝.
變式訓練3　解：　∵∠B＝60°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝75°，
在Rt △ADB中，AD＝，∠B＝60°，
∴BD＝＝1，∠BAD＝30°.
記事件N為“在∠BAC內作射線AM交BC于點M，使BM<1”，則可得∠BAM<∠BAD時事件N發生．由幾何概型的概率公式得P(N)＝＝.
A組　專項基礎訓練
1．B　 2.C　 3.D　 4.D　 5.  6.  7．(1)5　 (2)
8．解：　(1)以0、2、4為橫、縱坐標的點P共有
(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、
(4,2)、(4,4)共9個，而這些點中，落在區域C
內的點有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4個，
∴所求概率為P=.
(2)∵區域M的面積為4，而區域C的面積為10π，
∴所求概率為P＝＝.
B組　專項能力提升
1．D 　2．D　 3．C　 4.  5.  6．1－
7．解：　(1)抽取的全部結果的基本事件有：
(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10個基本事件，設使函數為增函數的事件為A，則A包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6個基本事件，所以，P(A)＝＝.
(2) m、n滿足條件
的區域如圖所示．
要使函數的圖像過第一、二、三象限，則m>0，n>0，故使函數圖像過第一、二、三象限的(m，n)的區域為第一象限的陰影部分，
∴所求事件的概率為P＝＝.
8．解：　(1)若分成的三條線段的長度均為正整數，則三條線段的長度所有可能情況是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3種情況，其中只有三條線段長為2,2,2時，能構成三角形，故構成三角形的概率為P＝.
(2)設其中兩條線段長度分別為x、y，則第三條線段長度為6－x－y，故全部試驗結果所構成的區域為
，即，
所表示的平面區域為△OAB.
若三條線段x，y,6－x－y能構成三角形，
則還要滿足，
即為，
所表示的平面區域為△DEF，
由幾何概型知，所求概率為P＝＝.
專題九 統計、統計案例及概率綜合測試題
本試卷分為第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，
考試時間120分鐘．
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，答案直接填寫到答題卡相應位置）
1．下列說法不正確的是 ( )
A．不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1
B．某人射擊10次，擊中靶心8次，則他擊中靶心的頻率是0，8
C．“直線過點(-1，0)”是必然事件
D．先后拋擲兩枚大小一樣的硬幣，兩枚都出現反面的概率是
2．對某商店一個月內每天的顧客人數進行了統計，得到樣本的莖葉圖（如圖所示），則改樣本的中位數、眾數、極差分別是 （ ）
A．46，45，56 B．46，45，53
C．47，45，56 D．45，47，53
3．在一組樣本數據（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1,x2,…,x n不全相等）的
散點圖中，若所有樣本點（xi，y i）（i=1,2,…,n）都在直線y=x+1上，則這組樣本數據
的樣本相關系數為 （ ）
A．－1 B．0 C． D．1
4.在樣本的頻率分布直方圖中，共有11個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其它10個小長方形的面積和的，且樣本容量為160，則中間一組的頻數為 （ ）
A．32 B．0.2 C．40 D．0.25
5.對變量x, y 有觀測數據理力爭（，）（i=1,2,…，10），得散點圖1；對變量u ，v 有觀測數據（，）（i=1,2,…，10）,得散點圖2. 由這兩個散點圖可以判斷 （ ）
A.變量x 與y 正相關，u 與v 正相關 B.變量x 與y 正相關，u 與v 負相關
C.變量x 與y 負相關，u 與v 正相關 D.變量x 與y 負相關，u 與v 負相關
6. 如圖，矩形ABCD中，點E為邊CD的中點，若在矩形ABCD內部隨機取一個點Q，則點Q取自△ABE內部的概率等于 （ ）
A． B．
C． D．
7．甲射手擊中靶心的概率為，乙射手擊中靶心的概率為，甲、乙兩人各射一次，那么等于 (　　)
A．甲、乙都擊中靶心的概率 B．甲、乙恰好有一人擊中靶心的概率
C．甲、乙至少有一人擊中靶心的概率 D．甲、乙不全擊中靶心的概率
8 ．（2012安徽文）袋中共有6個除了顏色外完全相同的球,其中有1個紅球,2個白球和3個黑球,從袋中任取兩球,兩球顏色為一白一黑的概率等于 （　　）
A． B． C． D．
9．右圖是某小組在一次測驗中的數學成績的莖葉圖，
則中位數是 （　　）
A．81　　 B．82　　
C．83 D．87
10．從3名男同學，2名女同學中任選2人參加體能測試，則選到的2名同學中至少有一名男同學的概率是 （ ）
A． B． C． D．
11．采用系統抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調查，為此將他們隨機編號為1,2，…，
960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9．抽到的32人中，編號
落入區間的人做問卷，編號落入區間的人做問卷，其余的人做
問卷．則抽到的人中，做問卷的人數為 （ ）
A．7 B．9 C．10 D．15
12.（2012.四川理）有一個容量為66的樣本，數據的分組及各組的頻數如下：
[11．5，15．5） 2 [15．5,19．5） 4 [19．5，23．5） 9 [23．5,27．5） 18
[27．5，31．5） 1l [31．5，35．5） 12 [35．5．39．5） 7 [39．5,43．5） 3
根據樣本的頻率分布估計，數據落在[31．5，43．5）的概率約是 ( )
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：（本大題共6小題，每小題5分，共30分．請把答案直接填寫在答題卡相應位置上．）
13．某個年級有男生560人，女生420人，用分層抽樣的方法從該年級全體學生中抽取一個容量為280的樣本，則此樣本中男生人數為___________.
14．下圖是根據部分城市某年6月份的平均氣溫（單位：℃）數據得到的樣本頻率分布直方圖，其中平均氣溫的范圍是［20．5，26．5］，樣本數據的分組為，，，，，．已知樣本中平均氣溫低于22．5℃的城市個數為11，則樣本中平均氣溫不低于25．5℃的城市個數為 .
15．現有10個數，它們能構成一個以1為首項，為公比的等比數列，若從這10個數中隨機抽取一個數，則它小于8的概率是 ；
16.（2012遼寧理）調查了某地若干戶家庭的年收入x（單位：萬元）和年飲食支出y（單位：萬元），調查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關關系，并由調查數據得到y對x的回歸直線方程：.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加____________萬元.
17.【2012北京海淀區期末文】甲和乙兩個城市去年上半年每月的平均氣溫（單位：）用莖葉圖記錄如下，根據莖葉圖可知，兩城市中平均溫度較高的城市是_____________，氣溫波動較大的城市是____________.
18．某射手射擊1次，擊中目標的概率是0.9 .她連續射擊4次，且各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響.有下列結論：①他第3次擊中目標的概率是0.9；②他恰好擊中目標3次的概率是；③他至少擊中目標1次的概率是.其中正確結論的序號是___________。（寫出所有正確結論的序號）.
答題卡
一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
答案
題號
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空題
13． ； 14. ；
15. ； 16. ；
17. ； 18. .
三、解答題：（本大題共5小題，每小題12分，共60分，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
19.為加強大學生實踐、創新能力和團隊精神的培養，促進高等教育教學改革，教育部門主辦了全國大學生智能汽車競賽. 該競賽分為預賽和決賽兩個階段，參加決賽的隊伍按照抽簽方式決定出場順序.通過預賽，選拔出甲、乙、丙三支隊伍參加決賽.
（Ⅰ）求決賽中甲、乙兩支隊伍恰好排在前兩位的概率；
（Ⅱ）求決賽中甲、乙兩支隊伍出場順序相鄰的概率.
20．某校100位學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖4所示,其中成績分組區間是:、、、、.
(Ⅰ)求圖中的值;
(Ⅱ)根據頻率分布直方圖,估計這100名學生語文成績的平均分;
(Ⅲ)若這100名學生的語文成績某些分數段的人數()與數學成績相應分數段的人數()之比如下表所示,求數學成績在之外的人數.
分數段
21．（2012北京文）近年來,某市為了促進生活垃圾的分類處理,將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類,并分別設置了相應的垃圾箱,為調查居民生活垃圾分類投放情況,現隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾,數據統計如下(單位:噸):
“廚余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
廚余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
(1)試估計廚余垃圾投放正確的概率;
(2)試估計生活垃圾投放錯誤的概率;
(3)假設廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為,其中,.當數據的方差最大時,寫出的值(結論不要求證明),并求此時的值.
(注:方差,其中為的平均數)

22．有一枚正方體骰子，六個面分別寫1.2.3.4.5.6的數字，規定“拋擲該枚骰子得到的數字是拋擲后，面向上的那一個數字”。已知b和c是先后拋擲該枚骰子得到的數字，函數=。
(1) 若先拋擲骰子得到的數字是3，求再次拋擲骰子時，使函數有零點的概率；
(2) 求函數在區間（—3，+∞）是增函數的概率
23.在本次考試中共有12道選擇題，每道選擇題有4個選項，其中只有一個是正確的。評分標準規定：‘每題只選一項，答對得5分，不答或答錯得0分。’某考生每道題都給出一個答案。某考生已確定有9道題的答案是正確的，而其余題中，有1道題可判斷出兩個選項是錯誤的，有一道可以判斷出一個選項是錯誤的，還有一道因不了解題意只能亂猜。試求出該考生：
（Ⅰ）選擇題得60分的概率；
（Ⅱ）選擇題所得分數的數學期望
專題九 統計、統計案例及概率綜合測試題 答案
一、選擇題 DADAC CDBCA CB
二、填空題
13. 160 14. 9 15. 16. 0.254 17.乙， 乙 18. ①③
三、解答題
19.解：基本事件空間包含的基本事件有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，
丙乙甲”.
（Ⅰ）設“甲、乙兩支隊伍恰好排在前兩位”為事件，事件包含的基本事件有“甲乙丙，乙甲丙”，則 .
所以 甲、乙兩支隊伍恰好排在前兩位的概率為
（Ⅱ）設“甲、乙兩支隊伍出場順序相鄰”為事件，事件包含的基本事件
有“甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”，則
所以甲、乙兩支隊伍出場順序相鄰的概率為.
20.解：(Ⅰ)由,解得.
(Ⅱ).
(Ⅲ)這100位學生語文成績在、、、的分別有5人、40人、30人、20人,按照表中所給比例,數學成績在、、、的分別有5人、20人、40人、25人,共90人,所以數學成績在之外的人數有10人.
21.解：
(1)廚余垃圾投放正確的概率約為
=
(2)設生活垃圾投放錯誤為事件A,則事件表示生活垃圾投放正確.
事件的概率約為“廚余垃圾”箱里廚余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量與“其他垃圾”箱里其他垃圾量的總和除以生活垃圾總量,即P(),約為.所以P(A)約為1-0.7=0,3.
(3)當,時,取得最大值.因為,
所以.
22.解：（1）記“函數=有零點”為事件A
由題意知：，基本事件總數為：（3，1）.（3，2）.(3，3）.
（3，4）.（3，5）.（3，6）共6個
∵函數=有零點， ∴方程有實數根
即 ∴ ∴
即事件“函數=有零點”包含2個基本事件
故函數=有零點的概率P（A）=
(2）由題意可知：數對表示的基本事件：（1，1）.（1，2）.（1，3）.（1，4）.（1，5）.（1，6）.（2，1）……（6，5）.（6，6），所以基本事件總數為36。
記“函數在區間（—3，+∞）是增函數”為事件B。由拋物線的開口向上，使函數在區間（—3，+∞）是增函數，只需 ∴
∴
所以事件B包含的基本事件個數為1×6=6個
∴函數在區間（—3，+∞）是增函數的概率P（B）=
23.解：（1）得60分，12道題必須全做對．在其余的3道題中，有1道題答對的概率為，有1道題答對的概率為，還有1道答對的概率為，所以得分為60分的概率為：

（2）依題意，該考生得分的范圍為｛45，50，55，60｝.
得分為45分表示只做對了9道題，其余各題都做錯，所以概率為
得分為50分的概率為：

同理求得得分為55分的概率為： 得分為60分的概率為：
所以得分的分布列為
45
50
55
60
數學期望

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