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專題復習十----算法、推理與證明及復數
§10.1 算法與程序框圖
一、要點梳理
1．算法通常是指按照一定規則解決某一類問題的________和_______的步驟．
2．程序框圖又稱__________，是一種用________、__________及____________來表示算法的圖形．通常程序框圖由程序框和流程線組成，一個或幾個程序框的組合表示算法中的一個步驟；__________帶方向箭頭，按照算法進行的順序將__________連接起來．
3．三種基本邏輯結構
(1)順序結構是由________________________________組成的，這是任何一個算法都離不開的基本結構．
其結構形式為
(2)條件結構是指算法的流程根據給定的條件是否成立而選擇執行不同的流向的結構形式．
其結構形式為
　
(3)循環結構____________________________________________________．反復執行的處理步驟稱為__________．循環結構又分為______________和____________．
其結構形式為
　
4．算法的五個特征：概括性、邏輯性、有窮性、不惟一性、普遍性．
二、難點正本　疑點清源
1．在數學中，現代意義上“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題的程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內完成的．
2．通俗地說，算法就是計算機解題的過程．在這個過程中，無論是形成解題思路還是編寫程序，都是在實施某種算法，前者是推理實現的算法，后者是操作實現的算法．或者說，算法是解決一個(類)問題的方法和步驟(程序)．
三、基礎自測
1．如圖1，是求實數x的絕對值的算法程序框圖，則判斷框①中可填________．

（圖1） （圖2）
2．閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入的x是2，則輸出的y值為________．
3．若執行如下圖所示的框圖，輸入x1＝1，x2＝2，x3＝4，x4＝8，則輸出的數為________．
4．關于程序框圖的圖形符號的理解，正確的有 (　　)
①任何一個程序框圖都必須有起止框；
②輸入框只能在開始框之后，輸出框只能放在結束框之前；
③判斷框是唯一具有超過一個退出點的圖形符號；
④對于一個程序框圖來說，判斷框內的條件是唯一的．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
5．(2011·新課標卷)執行如圖所示的程序框圖，如果輸入的N是6，那么輸出的p是(　　)
A．120 B．720 C．1 440 D．5 040
四、題型分類 深度剖析
題型一　算法的意義與設計及順序結構的應用
例1　寫出求過兩點M(－2，－1)、N(2,3)的直線與坐標軸圍成面積的一個算法．
探究提高：算法設計要求是：(1)寫出的算法，能解決一類問題，而且能重復使用．(2)使算法盡量簡單，步驟盡量少，且明確有效．(3)要保證算法的正確性，能在計算機上執行．
變式訓練1 f(x)＝x2－2x－3.求f(3)、f(－5)、f(5)，并計算f(3)＋f(－5)＋f(5)的值．設計出解決該問題的一個算法，并畫出程序框圖．
題型二　算法的條件結構
例2　已知函數y＝
寫出求該函數的函數值的算法及程序框圖．
探究提高：利用條件結構解決算法問題時，要引入判斷框，要根據題目的要求引入一個或多個判斷框．而判斷框內的條件不同，對應的下一圖框中的內容和操作也相應地進行變化，故應逐個分析判斷框內的條件．
變式訓練2 如果執行如圖所示的程序框圖，輸入x＝－2，h＝0.5，那么輸出的各個數的和等于 (　　)
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
題型三　算法的循環結構
例3　設計算法求＋＋＋…＋的值，并畫出程序框圖．
探究提高：利用循環結構表示算法，第一要確定是利用當型循環結構，還是直到型循環結構；第二要選擇準確的表示累加變量；第三要注意在哪一步開始循環．
變式訓練3程序框圖如圖3所示，則該程序運行后輸出的k的值是________．

（圖3） （圖4）
五、解題思想方法示范（抓住循環結構中的兩個關鍵點）
試題：(5分)執行如圖4所示的程序框圖，輸出的A為________．
審題視角　(1)計數變量是k，累加變量是A，其規律是2A＋1后再賦值給A.(2)運算次數，即循環結束由判斷條件決定．本題中k>10時就結束循環．
正確答案　2 047
批閱筆記　(1)在解決循環結構問題時，一定要弄明白計數變量和累加變量是用什么字母表示的，再把這兩個變量的變化規律弄明白，就能理解這個程序框圖的功能了，問題也就清楚了．
(2)在解決帶有循環結構的程序框圖問題時，循環結構的終止條件是至關重要的，這也是考生非常容易弄錯的地方，考生一定要根據問題的情境弄清楚這點.
六、思想方法 感悟提高
方法與技巧
1．在設計一個算法的過程中要牢記它的五個特征：概括性、邏輯性、有窮性、不惟一性、普遍性．
2．算法的思想與數學知識的融合會是新高考命題的方向，要注意此方面知識的積累．
失誤與防范
1．注意起止框與輸入、輸出框、判斷框與處理框的區別．
2．注意條件結構與循環結構的聯系．
3．要弄清楚三種基本邏輯結構的構成方式及功能，以免使用時造成混亂或錯誤．§10.1 算法與程序框圖
A組　專項基礎訓練
一、選擇題
1．閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出的結果是 (　　)
　 A．3 B．11 C．38 D．123
　　
　 （第1題圖）　　　　 （第2題圖）
2．閱讀程序框圖，運行相應的程序，若輸入x的值為－4，則輸出y的值為 (　　)
A．0.5 B．1 C．2 D．4
3．某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的k的值是 (　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
　 　
（第3題圖）　　　　　　　　 （第4題圖）
4．執行如圖所示的程序框圖，若輸出的b的值為16，則圖中判斷框內①處應填 (　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空題
5．如下圖所示，程序框圖(流程圖)的輸出結果是________．
6．2010年上海世博會園區每天9∶00開園，20∶00停止入園．在如圖所示的框圖中，S表示上海世博會官方網站在每個整點報道的入園總人數，a表示整點報道前1個小時內入園人數，則空白的執行框內應填________．
　　
（第5題圖）　　　　　　 　 （第6題圖）
7．如圖所示，程序框圖(流程圖)的輸出值x＝______.
8．根據如圖所示的程序框圖，可知輸出的結果i為________．
　　
　 （第7題圖）　　　　　 　 （第8題圖）
B組　專項能力提升
一、選擇題
1．下圖中x1，x2，x3為某次考試三個評閱人對同一道題的獨立評分，p為該題的最終得分．當x1＝6，x2＝9，p＝8.5時，x3等于 (　　)
　 A．11 B．10 C．8 D．7
　
（第1題圖）　　　　　　 （第2題圖）
2．執行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為 (　　)
A．－3 B．－ C. D．2
3．某店一個月的收入和支出總共記錄了N個數據a1，a2，…，a N，其中收入記為正數，支出記為負數．該店用下邊的程序框圖計算月總收入S和月凈盈利V.那么在圖中空白的判斷框和處理框中，應分別填入下列四個選項中的 (　　)
A．A>0，V＝S－T B．A<0，V＝S－T
C．A>0，V＝S＋T D．A<0，V＝S＋T
第3題圖　　　　　　　 第4題圖
二、填空題
4．若執行如上圖所示的程序框圖，輸入x1＝1，x2＝2，x3＝3，＝2，則輸出的數為
___ _．
5．執行如圖所示的程序框圖，輸入l＝2，m＝3，n＝5，則輸出的y的值是________．

（第5題圖） （第6題圖）
6．已知等式3×1 632＝3×2 064中，“”內表示的是同一個一位數字，如圖的程序框圖表示的是求等式中“”表示的數字的算法，其中判斷框內應填________．
7．已知數列{an}的通項公式an＝，計算其前102項和的程序框圖如圖所示，圖中①，②應該填____________，__________.
§10.1 算法與程序框圖 答案
要點梳理
1．明確　有限
2．流程圖　 程序框　 流程線　 文字說明 流程線　 程序框
3．(1)若干個依次執行的步驟 　(3)從某處開始，按照一定條件反復執行某些步驟的情況　循環體　當型(WHILE型) 直到型(UNTIL型)
基礎自測
1．x>0？(或x≥0？)　 2. 1　 3.  4．B　 5．B　
題型分類·深度剖析
例1　解：　第一步，x1＝－2，y1＝－1，x2＝2，y2＝3；
第二步，得出直線方程＝；
第三步，令x＝0，得y； 第四步，令y＝0，得x；
第五步，S＝|x| |y|； 第六步，輸出S.
變式訓練1　解：　算法如下：
第一步，令x＝3. 第二步，把x＝3代入y1＝x2－2x－3.
第三步，令x＝－5. 第四步，把x＝－5代入y2＝x2－2x－3.
第五步，令x＝5. 第六步，把x＝5代入y3＝x2－2x－3.
第七步，把y1，y2，y3的值代入y＝y1＋y2＋y3.
第八步，輸出y1，y2，y3，y的值．
該算法對應的程序框圖如圖所示：
例2　解　算法如下：
第一步：輸入x；
第二步：如果x>0，則y＝－2x；如果x＝0，則y＝0；如果x<0，則y＝2x；
第三步：輸出函數值y.
相應的程序框圖如圖所示．
變式訓練2　B　
例3　解　算法如下：
第一步，令S＝0，i＝1；
第二步，若i≤2 011成立，則執行第三步；否則，輸出S，結束算法；
第三步，S＝S＋；
第四步，i＝i＋1，返回第二步．
程序框圖：
方法一　當型循環程序框圖：
方法二　直到型循環程序框圖：
變式訓練3　 5
A組　專項基礎訓練
1．B　 2.C　 3.A　 4.B　 5．15 6．S＝S＋a 7．12 8．7
B組　專項能力提升
1．C　2.D　3．C　4. 5．68 6．i>9？(或i≥10？) 7．an＝an－4　n＝n＋1
§10.2 基本算法語句
一、要點梳理
1．輸入語句、輸出語句、賦值語句的格式與功能
語句
一般格式
功能
輸入語句
輸出語句
賦值語句
2.條件語句
(1)程序框圖中的____________與條件語句相對應．
(2)條件語句的格式及框圖
①IF—THEN格式
②IF—THEN—ELSE格式
3．循環語句
(1)程序框圖中的____________與循環語句相對應．
(2)循環語句的格式及框圖．
①UNTIL語句
②WHILE語句
二、難點正本　疑點清源
1．關于賦值語句，有以下幾點需要注意：
(1)賦值號左邊只能是變量名字，而不是表達式，例如3＝m是錯誤的．
(2)賦值號左右不能對換，賦值語句是將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量，例如Y＝x，表示用x的值替代變量Y的原先的取值，不能改寫為x＝Y.因為后者表示用Y的值替代變量x的值．
(3)在一個賦值語句中只能給一個變量賦值，不能出現一個或多個“＝”．
2．兩種循環語句的區別
(1)WHILE
當計算機遇到WHILE語句時，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執行WHILE與WEND之間的循環體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執行循環體，這個過程反復進行，直到某一次條件不符合為止．這時，計算機將不執行循環體，直接跳到WEND語句后，接著執行WEND之后的語句．因此，當型循環有時也稱為“前測試型”循環．
(2)UNTIL
當計算機遇到UNTIL語句時，先執行一次循環體，再判斷是否滿足條件，若不滿足，再執行循環體，然后再檢查是否滿足條件，如此反復，直到滿足條件時為止．當滿足條件時，將不執行循環體，直接跳到LOOP UNTIL語句后，執行LOOP UNTIL后的語句．因此，直到型循環又稱為“后測試型”循環．
三、基礎自測
1．下列關于“賦值語句”敘述正確的是 (　　)
A．3.6＝x是賦值語句
B．利用賦值語句可以進行代數式的化簡
C．賦值語句中的等號與數學中的等號意義相同
D．賦值語句的作用是先計算出賦值號右邊表達式的值，然后把該值賦給賦值號左邊的變量，使該變量的值等于表達式的值
2．下列關于循環語句的說法，不正確的是 (　　)
A．算法中的循環結構只能由WHILE語句來實現
B．一般程序設計語言中有當型和直到型兩種循環語句結構
C．循環語句中有當型和直到型兩種語句，即WHILE語句和UNTIL語句
D．算法中的循環結構由循環語句來實現
3．讀下面一段程序，當x＝1時，求y＝______________________________.
INPUT　“x”；x
y＝x^3＋3+3*x^2-24*x+30
PRINT y
END
4．當a＝1，b＝3時，執行完下面一段過程后x的值是________．
IF　a　x＝a＋b
ELSE
　x＝a－b
END　IF
5．執行完下面一段程序后，輸出的結果是________．
i＝1
S＝0
WHILE　i<＝100
　S＝S＋i
　i＝i＋1
WEND
PRINT　S
END
四、題型分類 深度剖析
題型一　輸入、輸出、賦值語句的應用
例1　已知直線方程為Ax＋By＋C＝0 (AB≠0)，試編寫一個程序，輸入符合條件的A、B、C的值，輸出該直線在x軸、y軸上的截距和斜率．
探究提高：　(1)編寫程序的關鍵在于搞清問題的算法，特別是算法的結構，然后確定采取哪一種算法語句．
(2)書寫程序時，要注意在BASIC語言中，常見運算符號的書寫方式：如a^b(ab)；a*b(a×b)；a/b；SQR(x)()；ABS(x)(|x|)等，明確它們的運算規則：先乘除，后加減；乘冪優先于乘除；函數優先于乘冪；同級運算從左向右按順序進行；括號內最優先．
變式訓練1 某企業為職工計算工資時按時間計，每月的總工資＝每月勞動時間×每小時工資，從總工資中扣除15%作為醫療保險金，再以總工資的5‰作為獎金，要求輸入勞動時間和每小時工資數，輸出每位職工應發工資．設計算法并畫出程序框圖，寫出程序．
題型二　條件語句的應用
例2　如圖所示，在邊長為4的正方形ABCD的邊
上有一點P，沿著折線BCDA由點B(起點)向
點A(終點)運動．設點P運動的路程為x，△APB的面積為y，求y與x之間的函數關系式．并畫出程序框圖，寫出程序．
探究提高：條件語句一般用在需要對條件進行判斷的算法設計中，求分段函數的函數值往往用條件語句編寫程序，有時還利用條件語句的嵌套，例如本題就利用了條件語句的嵌套，這就要求區別好兩種格式：IF—THEN—ELSE格式和IF—THEN格式．
變式訓練2 到銀行辦理個人異地匯款時，銀行要收取一定的手續費，匯款額不超過100元，收取1元手續費；超過100元但不超過5 000元，按匯款額的1%收?。怀^5 000元，一律收取50元手續費．試用條件語句描述匯款額為x元時，銀行收取手續費為y元的過程，畫出程序框圖并寫出程序．
題型三　循環語句的應用
例3　高三(1)班共有50名同學參加數學競賽，現已有這50名同學的競賽分數，請設計一個將競賽成績優秀同學的平均分輸出的算法(規定90分以上為優秀)，畫出程序框圖，并設計程序．
探究提高：在解決實際問題時，要正確理解其中的算法思想，根據題目寫出其關系式，再寫出相應的算法．在循環語句中，也可以嵌套條件語句，甚至是循環語句，此時需要注意嵌套這些語句需要保證語句的完整性，否則就會造成程序無法執行．
變式訓練3 (1)閱讀下面兩個算法語句：
i＝1 i＝1
WHILE　i*(i＋1)<20 DO
　i＝i＋1 i＝i＋1
WEND LOOP　UNTIL　i*(i＋1)<20
PRINT　“i＝”；I PRINT　“i＝”；i
END END
圖1　 圖2
執行圖1中語句的結果是輸出________；
執行圖2中語句的結果是輸出________．
(2)如果程序執行后輸出的結果是990，那么在程序中UNTIL后面的“條件”應為__________．
i＝11
S＝1
DO
　S＝S*i
　i＝i－1
LOOP UNTIL　條件
PRINT　SEND
五、易錯警示（對循環語句中的循環終止條件把握不準致誤）
試題：(12分)寫出計算＋＋＋…＋的一個算法程序．
學生錯解展示
程序如下：
S＝0
i＝1
WHILE　i<＝
S＝S＋
i＝i＋1
END　WHILE
PRINT　S
審題視角　(1)計算的是一個累加算式，所以要用到循環語句；
(2)累加次數為100，所以條件應為i≤100；
(3)可以選擇當型，也可以選擇直到型，但應注意條件的變化．
規范解答
解：程序如下：
S＝0
i＝1
WHILE　i<＝100
S＝S＋
i＝i＋1
WEND
PRINT　S
END
批閱筆記：(1)此解法的錯誤在于循環起始終止條件不正確，實際上，在循環結構中，引入循環變量i，一是為了計數，二是為了控制循環，使程序執行后輸出結果與實際結果一致．本題中，循環條件應為i≤100，且后兩行格式有誤．一般地，寫完一個算法程序后，應執行一遍循環體，檢驗一下自己的算法是否符合格式要求和題目要求．(2)本題正解給出了當型循環語句，同學們也可用直到型語句書寫.
六、思想方法 感悟提高
方法與技巧
1．輸出語句是任何一個程序必不可少的語句．
2．賦值語句是一種重要的基本語句，也是一個程序必不可少的語句．利用賦值語句可以實現兩個變量值的互換，方法是引進第三個變量．
3．要區分條件語句的兩種格式：IF—THEN—ELSE格式和IF—THEN格式．
4．條件語句一般用在需要對條件進行判斷的算法設計中，如判斷一個數的正負，確定兩個數的大小等問題都要用到條件語句．
5．循環語句有“直到型”與“當型”兩種，要區別兩者的異同，主要解決遇到需要反復執行的任務時，用循環語句編寫程序．
失誤與防范
1．賦值語句不能與等號相混淆．
2．賦值語句左右兩邊不能對調．
§10.2 基本算法語句
A組　專項基礎訓練
一、選擇題
1．以下程序中，輸出時A的值是輸入時A的值的 (　　)
　 INPUT　A
A＝A＋A
A＝2
PRINT A
END
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
2．當a＝3時，下面的程序段輸出的結果是 (　　)
IF a<10 THEN
　 y＝2*a
ELSE
y=a*a
PRINT y
END
A．9 B．3 C．10 D．6
3．程序的運行結果為 (　　)
i＝0
S＝0
WHILE　S<＝20
　 S＝S＋i
　 i＝i＋1
WEND
PRINT　i
END
A．6 B．7 C．8 D．9
4．下面的程序語句輸出的結果S為 (　　)
i＝1
WHILE i<8
S＝2*i+3
i=i+1
WEND
PRINT S
END
A．17 B．19 C．21 D．23
二、填空題
5．如下圖，程序運算輸出的結果是__________．
a＝5
b＝3
c＝(a＋b)/2
d＝c*c
PRINT　“d＝”，d
END
6．根據所給出的算法語句，可求得f(－3)＋f(2)的值為________．
INPUT　x
IF　x≤0　THEN
f(x)＝4*x
ELSE
f(x)=
END IF
PRINT f(x)
END
7．根據如圖所示的程序，當輸入a，b分別為2,3時，最后輸出的m的值為________．
INPUT　a，b
IF　a>b　THEN
　 m＝a
ELSE
　 m＝b
END IF
PRINT m
END
三、解答題
8．設計算法，根據輸入的x的值，計算y＝ 的值，寫出計算程序．
B組　專項能力提升
一、選擇題
1．讀程序
INPUT　x
IF　x>0　THEN
y＝SQR(x)
ELSE
y＝(0.5)^x－1
END　IF
PRINT　y
END
當輸出的y的范圍大于1時，則輸入的x值的取值范圍是 (　　)
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
2.下面方框中為一個求20個數的平均數的程序，則在橫線上應填的語句為 (　　)
i＝1S＝0
DO
　INPUT x
　S＝S＋x
　i＝i＋1
LOOP　UNTIL 　　　　
a＝S/20
PRINT a
END
　A．i >20 B．i <20
C．i >＝20 D．i <＝20
3．下面程序運行后，輸出的值是 (　　)
i＝0
DO
　i＝i＋1
LOOP UNTIL　i*i>＝2 000
i＝i－1
PRINT　i
END
A．42 B．43 C．44 D．45
二、填空題
4．下述程序的表達式為_____________________________________________________．
i＝1
S＝0
WHILE　i<10
　 S＝S＋1/(2*i+1
i=i+1
WEND
PRINT S
END
5．下面的程序運行后第3個輸出的數是________．
i＝1
x＝1
DO
PRINT　x
i＝i＋1
x＝x＋
LOOP　UNTIL　i＝5
END
6．運行下面的程序，在兩次運行中分別輸入－4和4，則運行結果依次為________．
INPUT　“x＝”；x
IF x>＝2 THEN
y＝3＋x^2
ELSE
　 IF　x>＝0　THEN
y＝2]y＝x/2
　 END IF
END IF
PRINT y＋1
END
7．閱讀下面兩個程序：
其中程序(1)的輸出結果是a＝________，b＝________，c＝________.
程序(2)的輸出結果是x＝________.
a＝－6
b＝2
IF　a<0　THEN
　 a＝－a
END　IF
b＝b2
a＝a＋b
c＝a－2*b
a=a/c
b=b*c+1
PRINT a, b, c
END (1)
x＝
i＝1
WHILE　i<3
　x＝
　i＝i＋1
WENDPRINT　x
END
　　　　　 (2)
三、解答題
8．設計算法求1＋＋＋…＋的值，畫出程序框圖，并編寫程序．
§10.2 基本算法語句 答案
要點梳理
1.
語句
一般格式
功能
輸入語句
INPUT“提示內容”；變量
輸入信息
輸出語句
PRINT“提示內容”；表達式
輸出常量、變量的值和系統信息
賦值語句
變量＝表達式
將表達式代表的值賦給變量
2.(1)條件結構　3.(1)循環結構　
基礎自測
1．D　2.A　3.10　4.4　5.5 050
題型分類·深度剖析
例1　解　令y＝0，得直線在x軸上的截距M＝－；令x＝0，得直線在y軸上的截距N＝－.化成斜截式后可知該直線的斜率k＝－.
程序如下：
INPUT　A，B，C
M＝(－C)/A
N＝(－C)/B
k＝(－A)/B
PRINT“M＝”；M
PRINT“N＝”；N
PRINT“k＝”；k
END
變式訓練1　解　算法如下：
第一步：輸入每月勞動時間t和每小時工資a；
第二步：求每月總工資y＝每月勞動時間t×每小時工資a；
第三步：求應發工資z＝每月總工資y×(1－15%)＋y×5‰；
第四步：輸出應發工資z.
程序框圖：
程序：
INPUT t，a
y＝a*t
z＝0.85*y+0.005*y
PRINT z
END
例2　解　由題意可得
y＝.程序框圖如圖：
程序：
INPUT “x＝”；x
IF　x>＝0 AND x<＝4 THEN
y＝2*x
ELSE
IF x<＝8 THEN
　 y＝8
ELSE
　 y＝2*(12-x)
END IF
END IF
PRINT y
END
變式訓練2　解：　依題意，我們可求手續費y與匯款額之間的關系式為
y＝
依分析可知程序框圖如圖所示：
程序如下：
INPUT　“匯款金額為”；x
IF　x>0　AND　x<＝100　THEN
y＝1
ELSE
IF　x<＝5 000　THEN
　　 y＝0.01*x
ELSE
　　 y＝50
END　IF
END　IF
PRINT　“手續費為”；y
END
例3　解　程序框圖如下：程序為：
S＝0
M＝0
i＝1
WHILE　i<＝50
INPUT x
IF x>90 THEN
　　　 S＝S＋x
　 M＝M＋1
END IF
　 i＝i＋1
WEND
P＝S/M
PRINT P
END
變式訓練3　(1)i＝4　i＝2
(2)i<9(或i<＝8)
A組　專項基礎訓練
1．D　 2.D　 3.B　 4.A　 5．d＝16　 6.－8　 7.3
8．解　算法如下：
第一步，輸入x；
第二步，如果x>2.5，則y＝x2－1；
第三步，如果x≤2.5，則y＝x2＋1；
第四步，輸出y.
程序如下：
INPUT　“x＝”；x
IF　x>2.5　THEN
y＝x^2－1
ELSE
y＝x^2＋1
END　IF
PRINT　“y＝”；y
END
B組　專項能力提升
1．C　 2．A　 3．C　 4． S＝＋＋…＋＋
5．2 6．－1, 20 7．(1)5 　9 　2　 (2)
8．解　程序框圖：
程序：
S＝0
n＝1
i＝1
WHILE　i<＝10
S＝S＋1/n
n＝n＋2
i＝i＋1
WEND
PRINT S

§10.3 合情推理與演繹推理
一、要點梳理
1．合情推理主要包括____________和____________．
合情推理的過程
從具體問題出發 →觀察、分析、比較、聯想 → 歸納、類比 → 提出猜想
(1)歸納推理：由某類事物的____________具有某些特征，推出該類事物的____________都具有這些特征的推理，或者由____________概括出____________的推理，稱為歸納推理(簡稱歸納)．簡言之，歸納推理是由________到________、由________到________的推理．
歸納推理的基本模式：a、b、c ∈M且a、b、c具有某屬性，
結論：?d ∈M，d也具有某屬性．
(2)類比推理：由______________具有某些類似特征和其中____________的某些已知特征，推出______________也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡稱類比)，簡言之，類比推理是由________________的推理．
類比推理的基本模式：A：具有屬性a，b，c，d；
B：具有屬性a′，b′，c′；
結論：B具有屬性d′.
(a，b，c，d與a′，b′，c′，d′相似或相同)
2．演繹推理：從________的原理出發，推出某個____________的結論，我們把這種推理稱為演繹推理．簡言之，演繹推理是由________到__________的推理．
(1)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情況；
③結論——根據一般原理，對特殊情況做出的判斷．
(2)“三段論”可以表示為
①大前提：M是P；
②小前提：S是M；
③結論：S是P.
用集合說明：即若集合M的所有元素都具有性質P，S是M的一個子集，那么S中所有元素也都具有性質P.
二、難點正本　疑點清源
1．合情推理主要包括歸納推理和類比推理，是數學的基本思維過程，也是人們在學習和生活中經常運用的思維方式．在解決問題過程中，合情推理具有猜測和發現結論，探索和提供思路的作用．合情推理的結論可能為真，也可能為假，結論的正確性有待于進一步的證明．
2．應用三段論解決問題時，應首先明確什么是大前提，什么是小前提，如果大前提與推理形式是正確的，結論必定是正確的．如果大前提錯誤，盡管推理形式是正確的，所得結論也是錯誤的．
三、基礎自測
1．下面幾種推理是合情推理的是________．(填序號)
①由圓的性質類比出球的有關性質；
②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內角和是180°，歸納出所有三角形的內角和都是180°；
③張軍某次考試成績是100分，由此推出全班同學的成績都是100分；
④三角形內角和是180°，四邊形內角和是360°，五邊形內角和是540°，由此得凸n邊形內角和是(n－2)·180°.
2．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，則a33＝________.
3．在平面上，若兩個正三角形的邊長比為1∶2，則它們的面積比為1∶4.類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長比為1∶2，則它們的體積比為__________．
4．觀察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
照此規律，第五個等式應為________________________________.
四、題型分類 深度剖析
題型一　歸納推理
例1　已知經過計算和驗證有下列正確的不等式：＋<2，
＋<2，＋<2，根據以上不等式的規律，請寫出一個對正實數m，n都成立的條件不等式 _____________________．
探究提高：　對題設條件給出的不等式，要善于發現其中的數字之間的特點，才能找到規律，得到一般形式．
變式訓練1 觀察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，……，根據以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋<________.
題型二　類比推理
例2　請用類比推理完成下表：
平面
空間
三角形兩邊之和大于第三邊
三棱錐任意三個面的面積之和大于第四個面的面積
三角形的面積等于任意一邊的長度與這邊上高的乘積的一半
三棱錐的體積等于任意一個表面的面積與該表面上的高的乘積的三分之一
三角形的面積等于其內切圓半徑與三角形周長的乘積的一半
探究提高：(1)類比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步驟為：
①找出兩類事物之間的相似性或一致性；
②用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題(猜想)．
(2)類比推理的關鍵是找到合適的類比對象．平面幾何中的一些定理、公式、結論等，可以類比到立體幾何中，得到類似的結論．當然類比時有可能出現錯誤，如：在平面內，直線a、b、c，若a ⊥b，b ⊥c，則a//c；在空間內，三個平面α、β、γ，若α ⊥β，β ⊥γ，但α與γ之間可能平行，也可能相交．
變式訓練2 在R t △ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：＝＋，那么在四面體A—BCD中，類比上述結論，你能得到怎樣的猜想？并說明理由．
題型三　演繹推理
例3　數列{an}的前n項和記為S n，已知a1＝1，an＋1＝·S n (n ∈N*)，
證明：(1)數列是等比數列； (2)S n＋1＝4an.
探究提高:　演繹推理的一般模式為三段論，應用三段論解決問題時，首先應該明確什么是大前提，小前提，然后再找結論．
變式訓練3 已知數列{an}滿足：a1＝，＝，an an+1<0 (n≥1)；數列{b n}滿足：b n＝a2n＋1－a2n (n≥1)．
(1)求數列{an}，{b n}的通項公式；
(2)證明：數列{b n}中的任意三項不可能成等差數列．
五、易錯警示(類比不當致誤)
試題：(10分)在平面上，設ha，hb，hc是三角形ABC三條邊上的高，P為三角形內任一點，P到相應三邊的距離分別為Pa，Pb，Pc，我們可以得到結論：＋＋＝1.把它類比到空間，寫出三棱錐中的類似結論．
學生解答展示
審題視角　(1)由平面圖形類比到空間圖形．(2)三角形內的點到邊的距離與對應邊上的高的比之和為1.要抓住比值之和為1.(3)可以從三角形內的結論的證明進一步聯想．
規范解答
解：　設ha，h b，h c，h d分別是三棱錐A—BCD四個面上的高，P為三棱錐A—BCD內任一點，P到相應四個面的距離分別為Pa，Pb，Pc，Pd，于是我們可以得到結論：
＋＋＋＝1.
批閱筆記：(1)類比推理是一種由此及彼的合情推理，“合乎情理”是這種推理的特征，一般的解答思路是進行對應的類比，如平面上的三角形對應空間的三棱錐(四面體)，平面上的面積對應空間的體積等．類比推理得到的結論不一定正確，故這類題目在得到類比的結論后，還要用類比方法對類比結論的正確性作出證明，例如本題在三角形中的結論是采用等面積法得到的，在三棱錐中就可以根據等體積法得到，這樣不但寫出來類比的結論，而且這個結論還是一個正確的結論．
(2)本題錯誤的原因，是沒有抓住比值的特點，只考慮到了由長度到面積的類比，從而導致錯誤.
六、思想方法 感悟提高
方法與技巧
1．合情推理主要包括歸納推理和類比推理．數學研究中，在得到一個新結論前，合情推理能幫助猜測和發現結論，在證明一個數學結論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向．
2．演繹推理是從一般的原理出發，推出某個特殊情況下的結論的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論．數學問題的證明主要通過演繹推理來進行．
3．合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結論不一定正確．而演繹推理得到的結論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下)．
失誤與防范
1．合情推理是從已知的結論推測未知的結論，發現與猜想的結論都要經過進一步嚴格證明．
2．演繹推理是由一般到特殊的證明，它常用來證明和推理數學問題，注意推理過程的嚴密性，書寫格式的規范性．
3．合情推理中運用猜想時不能憑空想象，要有猜想或拓展依據．
§10.3 合情推理與演繹推理
A組　專項基礎訓練
一、選擇題
1．某同學在電腦上打下了一串黑白圓，如圖所示，○○○●●○○○●●○○○…，按這種規律往下排，那么第36個圓的顏色應是 (　　)
　 A．白色 B．黑色
C．白色可能性大 D．黑色可能性大
2．下面是關于演繹推理的幾種敘述：①演繹推理是由一般到特殊的推理；②演繹推理得出的結論一定是正確的；③演繹推理的一般模式是“三段論”；④“三段論”中的大前提有時可以省略．其中正確的說法個數是 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由歸納推理可得：若定義在R上的函數f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導函數，則g(－x)等于 (　　)
A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)
4．觀察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，則72 011的末兩位數字為 (　　)
A．01 B．43 C．07 D．49
二、填空題
5．觀察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根據上述規律，第四個等式為____________________________ __.
6．用黑白兩種顏色的正方形地磚依照下圖所示的規律拼成若干個圖形，則按此規律，第100個圖形中有白色地磚______塊；現將一粒豆子隨機撒在第100個圖中，則豆子落在白色地磚上的概率是________．
7．仔細觀察下面○和●的排列規律：
○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○　●……
若依此規律繼續下去，得到一系列的○和●，那么在前120個○和●中，●的個數是________．
三、解答題
8．用三段論的形式寫出下列演繹推理．
(1)若兩角是對頂角，則兩角相等，所以若兩角不相等，則兩角不是對頂角；
(2)矩形的對角線相等，正方形是矩形，所以，正方形的對角線相等；
(3)0.是有理數；
(4)y＝sin x(x ∈R)是周期函數．
B組　專項能力提升
一、選擇題
1．如圖是某年元宵花燈展中一款五角星燈連續旋轉閃爍所成的三個圖形，照此規律閃爍，下一個呈現出來的圖形是 (　　)
2．已知函數f(x)＝sin x＋ex＋x2 010，令f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，則f2 011(x)等于 (　　)
A．sin x＋ex B．cos x＋ex
C．－sin x＋ex D．－cos x＋ex
3．數列1,3,6,10,15，…的遞推公式是 (　　)
A. B.
C. D.
二、填空題
4．如圖所示，在平面上，我們如果用一條直線去截正方形的一個角，那么截下的一個直角三角形，按圖形所標的邊長，有c2＝a2＋b2.
設想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時從正方體上截下三條側棱兩兩垂直的三棱錐O—LMN.如果用S1，S2，S3表示三個側面的面積，S4表示底面積，試類比得到一個相應的命題 .
5．已知命題：若數列{an}為等差數列，且am＝a，an＝b (m ≠n，m、n ∈N*)，則
a m +n＝；現已知等比數列{b n} (b≠0，n ∈N*)，b m＝a，b n＝b (m ≠n，m、n ∈N*)，若類比上述結論，則可得到b m+n＝____________.
6．觀察下列等式：
①cos 2α＝2cos2α－1；
②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1；
③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；
④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；
⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.
可以推測，m－n＋p＝________.
7.現有一個關于平面圖形的命題：如圖所示，同一個平面內有兩個邊長都是a的正方形，其中一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為.類比到空間，有兩個棱長均為a的正方體，其中一個的某頂點在另一個的中心，則這
兩個正方體重疊部分的體積恒為 .
三、解答題
8．在銳角三角形ABC中，求證：sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C.
§10.3 合情推理與演繹推理 答案
要點梳理
1．歸納推理　類比推理　(1)部分對象　全部對象　個別事實　一般結論　部分　整體　個別　一般　(2)兩類對象　一類對象 另一類對象　特殊到特殊
2．一般性　特殊情況下　一般　特殊
基礎自測
1．①②④　2.3　3.1∶8 4．5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81
題型分類·深度剖析
例1　＋≤2 (m＋n＝20，m、n均為正實數)
變式訓練1　
例2　三棱錐的體積等于其內切球半徑與三棱錐表面積的乘積的三分之一
變式訓練2　解　如圖①所示，由射影定理知
AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，
AC2＝BC·DC，
∴＝
＝＝. 圖①
又BC2＝AB2＋AC2，
∴＝＝＋.
∴＝＋.
類比AB⊥AC，AD⊥BC猜想：
四面體A—BCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，
AE⊥平面BCD，則＝＋＋.
如圖②，連接BE并延長交CD于F，連接AF. 圖②
∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，
∴AB⊥平面ACD.
而AF?平面ACD，
∴AB⊥AF，
在R t △ABF中，AE⊥BF，∴＝＋.
在R t △ACD中，AF⊥CD，∴＝＋.
∴＝＋＋，故猜想正確．
例3　證明　(1)∵an＋1＝S n＋1－Sn，an＋1＝Sn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
即n Sn＋1＝2(n＋1)Sn.
∴＝2·，又＝1≠0，(小前提)
故是以1為首項，2為公比的等比數列．(結論)
(2)由(1)可知＝4· (n≥2)，
∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an (n≥2)(小前提)
又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
∴對于任意正整數n，都有Sn＋1＝4an.(結論)
(第(2)問的大前提是第(1)問的結論以及題中的已知條件)
變式訓練3　(1)解：　由題意可知，1－a2n＋1＝(1－a2n)．
令cn＝1－a2n，則cn＋1＝cn.
又c1＝1－a21＝，則數列{cn}是首項為c1＝，公比為的等比數列，
即cn＝·n－1.
故1－a2n＝·n－1?a2n＝1－·n－1.
又a1＝>0，an a n＋1<0，
故an＝(－1)n－1 .
b n＝a2n＋1－a2n＝－＝·n－1.
(2)證明　用反證法證明．
假設數列{b n}存在三項b r，b s，b t (rb s>b t，則只可能有2bs＝b r＋b t成立．
∴2·s－1＝r－1＋t－1.
兩邊同乘21－r＝3t－1，
化簡得3t－r＋2t－r＝2·2s－r3t－s.
由于r故數列{b n}中任意三項不可能成等差數列．
A組　專項基礎訓練
1．A　2.C　3.D　4.B　5．13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2 6．503　 7．14
8．解　(1)若兩個角是對頂角，則兩角相等，(大前提)
∠1和∠2不相等，(小前提)
所以∠1和∠2不是對頂角．(結論)
(2)每一個矩形的對角線相等，(大前提)
正方形是矩形，(小前提)
所以正方形的對角線相等．(結論)
(3)所有的循環小數是有理數，(大前提)
0.是循環小數，(小前提)
所以0.是有理數．(結論)
(4)三角函數是周期函數，(大前提)
y＝sin x是三角函數，(小前提)
所以y＝sin x是周期函數．(結論)
B組 專項能力提升
1．A 2．D　3．B　4．S21＋S22＋S23＝S24 5.  6．962 7. 
8．證明　∵△ABC為銳角三角形，
∴A＋B>，∴A>－B，
∵y＝sin x在上是增函數，
∴sin A>sin＝cos B，
同理可得sin B>cos C，sin C>cos A，
∴sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C．
§10.4 直接證明與間接證明
一、要點梳理
1．直接證明
(1)綜合法
①定義：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的__________________，最后推導出所要證明的結論________，這種證明方法叫做綜合法．
②框圖表示：→→→…→(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證明的結論)．
(2)分析法
①定義：從________________________出發，逐步尋求使它成立的____________，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已 知條件、定理、定義、公理等)為止．這種證明方法叫做分析法．
②框圖表示：→→→…→.
2．間接證明
反證法：假設原命題__________，經過正確的推理，最后得出________，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．
二、難點正本　疑點清源
證明數學問題的方法比較多，只是我們比較常用的方法有綜合法、分析法和反證法．在證明問題時，既可獨立運用，又可綜合應用．
(1)對于較復雜問題的解決，往往既使用綜合法又使用分析法，其結合使用的基本格式為：P?P1?P2…?P n?Q m?Q m－1?…?Q1?Q(P是已知的條件、公理、定義、公式，Q則表示要證明的結論．)
(2)反證法是從反面的角度思考的證明方法，即肯定題設而否定結論，從而導出矛盾推理而得．適合使用反證法證明的命題有：①否定性命題；②唯一性命題；③至多、至少型命題；④明顯成立的命題；⑤直接證明有困難的問題．
三、基礎自測
1．用反證法證明命題：“a，b ∈N，a b可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”時，假設的內容應為__________________．
2．要證明“＋<2”可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是________．(填序號)
①反證法 ②分析法 ③綜合法．
3．下列條件：①a b>0，②a b<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使
＋≥2成立的條件的個數是________．
4．已知函數f(x)＝lg ，若f(a)＝b，則f(－a)＝________(用b表示)．
5．設a、b ∈R，若a－|b|>0，則下列不等式中正確的是 (　　)
　 A．b－a>0 B．a3＋b3<0
C．a2－b2<0 D．b＋a>0
四、題型分類 深度剖析
題型一　綜合法
例1　設a，b，c>0，證明：＋＋≥a＋b＋c.
探究提高：綜合法往往以分析法為基礎，是分析法的逆過程，但更要注意從有關不等式的定理、結論或題設條件出發，根據不等式的性質推導證明．
變式訓練1 已知a、b、c為正實數，a＋b＋c＝1.
求證：(1)a2＋b2＋c2≥；
(2)＋＋≤6.
題型二　分析法
例2　已知函數f(x)＝tan x，x∈，若x1，x2∈，且x1≠x2，
求證：[f(x1)＋f(x2)]>f.
探究提高：分析法是數學中常用到的一種直接證明方法，就證明程序來講，它是一種從未知到已知(從結論到題設)的邏輯推理方法．具體地說，即先假設所要證明的結論是正確的，由此逐步推出保證此結論成立的充分條件，而當這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時命題得證．
變式訓練2 (1)用分析法證明：ac＋b d≤·.
(2)已知a>0，－>1，求證：>.
題型三　反證法
例3　實數a，b，c，d滿足a＋b＝c＋d＝1，ac＋b d>1，求證：a，b，c，d中至少有一個為負數．
探究提高：結論若是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的不等式，或直接從正面入手難以尋覓解題的突破口的問題，宜考慮使用反證法．用反證法證明命題時，推導出的矛盾可能多種多樣．有的與已知矛盾，有的與假設矛盾，有的與已知事實相違背等等，推導出的矛盾必須是明顯的．
變式訓練3 等差數列{an}的前n項和為S n，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求數列{an}的通項an與前n項和S n；
(2)設b n＝ (n ∈N*)，求證：數列{b n}中任意不同的三項都不可能成為等比數列．
五、解題思想方法示范（分析法與綜合法的整合）
試題：(12分)已知函數f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c是兩兩不相等的正數，且a，b，c成等比數列，試判斷f(a)＋f(c)與2f(b)的大小關系，并證明你的結論．
審題視角:(1)先判斷它們的大小，可用特例法．(2)用分析法探尋證題思路．(3)用綜合法完成證明．事實上，取a＝1，b＝2，c＝4，
則f(a)＋f(c)＝f(1)＋f(4)＝log23＋log26＝log218,2f(b)＝2f(2)＝2log24＝log216，于是由log218>log216，猜測f(a)＋f(c)>2f(b)．
要證f(a)＋f(c)>2f(b)，則只需證log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)，
即證log2(a＋2)(c＋2)>log2(b＋2)2，也即證(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2.
展開整理得ac＋2(a＋c)>b2＋4b.
因為b2＝ac，所以只要證a＋c>2，顯然是成立的．
規范解答
解:　f(a)＋f(c)>2f(b)． [2分]
證明如下：因為a，b，c是不相等的正數，
所以a＋c>2. [4分]
因為b2＝ac，所以ac＋2(a＋c)>b2＋4b，
即ac＋2(a＋c)＋4>b2＋4b＋4，
從而(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2. [8分]
因為f(x)＝log2x是增函數，
所以log2(a＋2)(c＋2)>log2(b＋2)2， [10分]
即log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)．
故f(a)＋f(c)>2f(b)． [12分]
批閱筆記:(1)綜合法和分析法各有其優缺點，分析法利于思考，綜合法宜于表達，因此，在實際解題時，常常把分析法和綜合法結合起來運用，先以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法表述解答或證明過程．有時要把分析和綜合結合起來交替使用，才能成功．
(2)本題錯誤原因一是不會用分析法分析，找不到解決問題的切入口；二是不用綜合法表述，從而導致解題格式不規范．將分析法和綜合法整合，是證明數學問題的一種重要的思想方法.
六、思想方法 感悟提高
方法與技巧
1．分析法的特點是：從未知看需知，逐步靠攏已知．
2．綜合法的特點是：從已知看可知，逐步推出未知．
3．分析法和綜合法各有優缺點．分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結論，較簡捷地解決問題，但不便于思考．實際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來．
4．應用反證法證明數學命題，一般分下面幾個步驟：
第一步：分清命題“p →q”的條件和結論；
第二步：作出與命題結論q相矛盾的假定綈q；
第三步：由p和綈q出發，應用正確的推理方法，推出矛盾結果；
第四步：斷定產生矛盾結果的原因，在于開始所作的假定綈q不真，于是原結論q成立，從而間接地證明了命題p →q為真．
第三步所說的矛盾結果，通常是指推出的結果與已知公理矛盾、與已知定義矛盾、與已知定理矛盾、與已知條件矛盾、與臨時假定矛盾以及自相矛盾等各種情況．
失誤與防范
1．利用反證法證明數學問題時，要假設結論錯誤，并用假設命題進行推理，沒有用假設命題推理而推出矛盾結果，其推理過程是錯誤的．
2．用分析法證明數學問題時，要注意書寫格式的規范性，常常用“要證(欲證)…”“即要證…”“就要證…”等分析到一個明顯成立的結論P，再說明所要證明的數學問題成立．
§10.4 直接證明與間接證明
A組　專項基礎訓練
一、選擇題
1．若a、b、c是不全相等的正數，給出下列判斷
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0； ②a>b與a③a ≠c，b ≠c，a ≠b不能同時成立．
其中判斷正確的個數是 (　　)
A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3
2．定義一種運算“*”：對于自然數n滿足以下運算性質：(ⅰ)1*1=1.(ii)(n+1)*1=n*1+1,則n*1等于 (　　)
A．n B．n＋1 C．n－1 D．n2
3．為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規則加入相關數據組成傳輸信息．設定原信息為a0a1a2，ai∈{0,1} (i＝0,1,2)，信息為h0a0a1a2h1，其中
h0＝a0D○＋a1，h1＝h0D○＋a2，D○＋運算規則為：0D○＋0＝0,0D○＋1＝1,1
D○＋0＝1,1D○＋1＝0.
例如原信息為111，則傳輸信息為01111，信息在傳輸過程中受到干擾可能導致接收信息出錯，則下列接收信息一定有誤的是 (　　)
A．11010 B．01100 C．10111 D．00011
二、填空題
4．關于x的方程ax＋a－1＝0在區間(0,1)內有實根，則實數a的取值范圍是__________．
5．設a>b>0，m＝－，n＝，則m，n的大小關系是__________．
6．設x，y，z是空間的不同直線或不同平面，且直線不在平面內，下列條件中能保證“若x ⊥z，且y ⊥z，則x ∥y”為真命題的是________．(填寫所有正確條件的代號)
①x為直線，y，z為平面；②x，y，z為平面；
③x，y為直線，z為平面；④x，y為平面，z為直線；
⑤x，y，z為直線．
7．如果a＋b>a＋b，則a、b應滿足的條件是__________________．
三、解答題
8．(1)設x是正實數，求證：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3；
(2)若x ∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請舉出一個使它不成立的x的值．
B組　專項能力提升
一、選擇題
1．已知拋物線y2＝2px (p>0)的焦點為F，點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2＝x1＋x3，則有 (　　)
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
2．命題“如果數列{an}的前n項和S n＝2n2－3n，那么數列{an}一定是等差數列”是否成立 (　　)
A．不成立 B．成立
C．不能斷定 D．能斷定
3．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n ∈N*)，且對任意m，n ∈N*都有：
①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2；②f(m＋1,1)＝2f(m，1)．給出以下三個結論：
(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26.
其中正確結論的個數為 (　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空題
4．若a，b，c為R t △ABC的三邊，其中c為斜邊，那么當n>2，n ∈N*時，an＋bn與cn的大小關系為____________．
5．下面有4個命題：
①當x>0時，2x＋的最小值為2；
②若雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝x，且其一個焦點與拋 物線y2＝8x的焦點重合，則雙曲線的離心率為2；
③將函數y＝sin 2x的圖像向右平移個單位，可以得到函數y＝sin的圖像；
④在R t △ABC中，AC⊥BC，AC＝a，BC＝b，則△ABC的外接圓半徑r＝；
類比到空間，若三棱錐S—ABC的三條側棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，且長度分別為a、b、c，則三棱錐S—ABC的外接球的半徑R＝.
其中錯誤命題的序號為________．
6．凸函數的性質定理為：如果函數f(x)在區間D上是凸函數，則對于區間D內的任意x1，x2，…，xn，有≤f，已知函數y＝sin x在區間(0，π)上是凸函數，則在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值為________．
三、解答題
7．已知f(x)＝x2＋ax＋b.
(1)求：f(1)＋f(3)－2f(2)；(2)求證：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于.
8．已知a>0，求證： －≥a＋－2.
§10.4 直接證明與間接證明 答案
要點梳理
1．(1)①推理論證　成立　(2)①要證明的結論　充分條件 2．不成立　矛盾
基礎自測
1．a，b都不能被5整除　2.② 3．3　4.－b　5.D
題型分類·深度剖析
例1　證明　∵a，b，c>0，根據基本不等式，
有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c.
三式相加：＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)．當且僅當a＝b＝c時取等號．
即＋＋≥a＋b＋c.
變式訓練1　證明　(1)方法一　a2＋b2＋c2－＝(3a2＋3b2＋3c2－1)
＝[3a2＋3b2＋3c2－(a＋b＋c)2]
＝(3a2＋3b2＋3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc)
＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，
∴a2＋b2＋c2≥.
方法二　∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≤a2＋b2＋c2＋a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2，∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，
∴a2＋b2＋c2≥.
方法三　設a＝＋α，b＝＋β，c＝＋γ.
∵a＋b＋c＝1，∴α＋β＋γ＝0.
∴a2＋b2＋c2＝2＋2＋2＝＋(α＋β＋γ)＋α2＋β2＋γ2
＝＋α2＋β2＋γ2≥，
∴a2＋b2＋c2≥.
(2)∵＝≤＝，
同理≤，≤，
∴＋＋≤＝6，∴原不等式成立．
例2　證明　要證[f(x1)＋f(x2)]>f，
即證明(tan x1＋tan x2)>tan，
只需證明>tan ，
只需證明>.
由于x1、x2∈，故x1＋x2∈(0，π)．
∴cos x1cos x2>0，sin(x1＋x2)>0，
1＋cos(x1＋x2)>0，
故只需證明1＋cos(x1＋x2)>2cos x1cos x2，
即證1＋cos x1cos x2－sin x1sin x2>2cos x1cos x2，
即證：cos (x1－x2)<1.
這由x1、x2∈，x1≠x2知上式是顯然成立的．
因此，[f(x1)＋f(x2)]>f.
變式訓練2　證明　(1)①若ac＋b d<0，結論顯然成立；
②若ac＋bd≥0，要證ac＋b d≤·成立，
只需證(ac＋b d)2≤(·)2.
即a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2，∴2abcd≤a2d2＋b2c2，
∴(ad－b c)2≥0顯然成立．
綜上所述：ac＋b d≤·.
(2)要證>成立，
只需證1＋a>，
只需證(1＋a)(1－b)>1 (1－b>0)，
即1－b＋a－a b>1，
∴a－b>a b，
只需證：>1，即－>1.
由已知a>0，－>1成立，
∴>成立．
例3　證明　假設a，b，c，d都是非負數，則由a＋b＝c＋d＝1，
有1＝(a＋b)(c＋d)＝ac＋b d＋ad＋b c ≥a c＋b d，即ac＋bd≤1，這與ac＋b d>1矛盾，故假設不成立．
即a，b，c，d中至少有一個為負數．
變式訓練3　(1)解　由已知得
，∴d＝2，
故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)證明　由(1)得bn＝＝n＋.
假設數列{bn}中存在三項b p，b q，b r(p，q，r互不相等且∈N*)成等比數列，
則b2q＝b p b r.
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)．
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
∵p，q，r ∈N*，∴，
∴2＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r.
與p ≠r矛盾．
所以數列{bn}中任意不同的三項都不可能成等比數列．
A組　專項基礎訓練
1．C　 2.A　 3.C　 4.　 5.m8．(1)證明　x是正實數，由基本不等式知
x＋1≥2，1＋x2≥2x，x3＋1≥2，
故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2·2x·
2＝8x3(當且僅當x＝1時等號成立)．
(2)解　若x ∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立．
由(1)知，當x>0時，不等式成立；
當x≤0時，8x3≤0，
而(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)≥0，
此時不等式仍然成立．
B組　專項能力提升
1．C　 2.B　 3.A　 4．an＋bn7．(1)解　∵f(1)＝a＋b＋1，f(2)＝2a＋b＋4，
f(3)＝3a＋b＋9，∴f(1)＋f(3)－2f(2)＝2.
(2)證明　假設|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于.
則－－∴－1<－2f(2)<1，－1∴－2這與f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾．
∴假設錯誤，即所證結論成立．
8．證明　要證 －≥a＋－2，
只要證 ＋2≥a＋＋.
∵a>0，故只要證2
≥2，
即a2＋＋4＋4
≥a2＋2＋＋2＋2，
從而只要證2≥，
只要證4≥2，
即a2＋≥2，
而上述不等式顯然成立，故原不等式成立．
§10.5 數系的擴充與復數的引入
一、要點梳理
1．復數的有關概念
(1)復數的概念
形如a＋bi ()的數叫做復數，其中a，b分別是它的________和________．若________，則a＋bi為實數，若________，則a＋bi為虛數，若____________，則a＋bi為純虛數．
(2)復數相等：a＋bi＝c＋d i?__________(a，b，c，d ∈R)．
(3)共軛復數：a＋bi與c＋d i共軛?______________(a，b，c，d ∈R)．
(4)復平面
建立直角坐標系來表示復數的平面，叫做復平面．________叫做實軸，________叫做虛軸．實軸上的點都表示________；除原點外，虛軸上的點都表示__________；各象限內的點都表示____________．
(5)復數的模
向量的模r叫做復數z＝a＋bi的模，記作__________或__________，
即|z|＝|a＋bi|＝__________.
2．復數的幾何意義
(1)復數z＝a＋bi復平面內的點Z(a，b)( )．
(2)復數z＝a＋bi()_____________________________.
3．復數的運算
(1)復數的加、減、乘、除運算法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋d i (a，b，c，d ∈R)，則
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋d i)＝________________；
②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋d i)＝________________；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋d i)＝________________；
④除法：＝＝＝________________(c＋di≠0)．
(2)復數加法的運算定律
復數的加法滿足交換律、結合律，即對任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝______，(z1＋z2)＋z3＝__________.
二、難點正本　疑點清源
1．對于復數z＝a＋bi必須滿足a、b均為實數，才能得出實部為a，虛部為b.對于復數相等必須先化為代數形式才能比較實部與虛部．
2．復數問題的實數化是解決復數問題的最基本也是最重要的方法，其依據是復數相等的充要條件和復數的模的運算及性質．應用復數的實數化策略可解決求復系數方程的實數解、求復平面上動點的軌跡等問題．
三、基礎自測
1．若復數(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數，則實數a的值為________．
2．設復數z滿足i(z＋1)＝－3＋2i(i為虛數單位)，則z的實部是________．
3．已知復數z滿足＝1－2i，則復數z＝____________.
4．在復平面內，復數對應的點的坐標為__________．
5．把復數z的共軛復數記作，i為虛數單位．若z＝1＋i，則(1＋z)·等
于 (　　)
A．3－i B．3＋I C．1＋3i D．3
四、題型分類 深度剖析
題型一　復數的分類
例1　已知m ∈R，復數z＝＋(m2＋2m－3)i，當m為何值時，
(1)z ∈R；(2)z是虛數；(3)z是純虛數；(4)＝＋4i.
探究提高：(1)本題考查復數集中各數集的分類，題中給出的復數采用的是標準的代數形式，否則應先化為代數形式，再依據概念求解．(2)若復數的對應點在某些曲線上，還可寫成代數形式的一般表達式．如：對應點在直線x＝1上，則z＝1＋bi (b ∈R)；對應點在直線y＝x上，則z＝a＋a i(a ∈R)，在利用復數的代數形式解題時經常用到這一點．
變式訓練1 當實數m為何值時，z＝＋(m2＋5m＋6)i，(1)為實數；(2)為虛數；(3)為純虛數；(4)復數z對應的點在復平面內的第二象限．
題型二　復數的代數運算
例2　計算：(1)；(2)＋2 010；
(3)6＋；(4)·2 008.
變式訓練2 (1)已知復數z＝，是z的共軛復數，則z·＝________.
(2)復數的值是________．
(3)已知復數z滿足＝2－i，則z＝__________.
題型三　復數的幾何意義
例3　如圖所示，平行四邊形OABC，頂
點O，A，C分別表示0,3＋2i，－2＋4i，試求：
(1)、所表示的復數； (2)對角線所表示的復數；
(3)求B點對應的復數．
變式訓練3 (1)復數z＝(i為虛數單位)在復平面內對應的點所在象限
為 (　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
(2)在復平面內，復數6＋5i，－2＋3i對應的點分別為A，B.若C為線段AB的中點，則點C對應的復數是 (　　)
A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i
五、解題思想方法示范（用待定系數法解決復數問題）
試題：(12分)已知x，y為共軛復數，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.
審題視角　(1)x，y為共軛復數，可用復數的基本形式表示出來；(2)利用復數相等，將復數問題轉化為實數問題．
規范解答
解：設x＝a＋bi (a，b ∈R)，
則y＝a－bi，x＋y＝2a，x y＝a2＋b2， [3分]
代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i， [5分]
根據復數相等得， [7分]
解得或或或. [9分]
故所求復數為
或或或. [12分]批閱筆記:(1)復數問題要把握一點，即復數問題實數化，這是解決復數問題最基本的思想方法．
(2)本題求解的關鍵是先把x、y用復數的形式表示出來，再用待定系數法求解．這是常用的數學方法．
(3)本題易錯原因為想不到利用待定系數法，或不能將復數問題轉化為實數方程求解.
六、思想方法 感悟提高
方法與技巧
1．復數的代數形式的運算主要有加、減、乘、除及求低次方根．除法實際上是分母實數化的過程．
2．在復數的幾何意義中，加法和減法對應向量的三角形法則的方向是應注意的問題，平移往往和加法、減法相結合．
3．要記住一些常用的結果，如i、－＋i的有關性質等可簡化運算步驟提高運算速度．
失誤與防范
1．判定復數是實數，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實部是否有意義．
2．對于復系數(系數不全為實數)的一元二次方程的求解，判別式不再成立．因此解此類方程的解，一般都是將實根代入方程，用復數相等的條件進行求解．
3．兩個虛數不能比較大?。?br/>4．利用復數相等a＋bi＝c＋d i列方程時，注意a，b，c，d ∈R的前提條件．
5．z2<0在復數范圍內有可能成立，例如：當z＝3i時z2＝－9<0.
§10.5 數系的擴充與復數的引入
A組　專項基礎訓練
一、選擇題
1． i為虛數單位，＋＋＋等于 (　　)
A．0 B．2i C．－2i D．4i
2．若復數(a ∈R，i為虛數單位)是純虛數，則實數a的值為 (　　)
A．2 B．4 C．－6 D．6
3．復數z1＝3＋i，z2＝1－i，則復數在復平面內對應的點位于 (　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
二、填空題
4．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且z1＋z2為純虛數，則實數a的值為________．
5．已知復數z與(z＋2)2－8i均是純虛數，則z＝___________________________________
6．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且為純虛數，則實數a的值為________．
7．設復數z滿足z(2－3i)＝6＋4i(i為虛數單位)，則z的模為________．
三、解答題
8．已知復數z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，根據以下要求求實數m的值或范圍：
(1)z是純虛數；
(2)z是實數；
(3)z對應的點在復平面的第二象限．
B組　專項能力提升
一、選擇題
1．對任意復數z＝x＋y i(x，y ∈R)，i為虛數單位，則下列結論正確的是 (　　)
A．|z－|＝2y B．z2＝x2＋y2
C．|z－|≥2x D．|z| ≤|x|＋|y|
2．復數z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，則實數a的取值范圍是 (　　)
A．－11
C．a>0 D．a<－1或a>1
3．在復平面內，向量對應的復數是2＋i，向量對應的復數是－1－3i，則向量對應的復數為 (　　)
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
二、填空題
4．若復數z1＝a＋2i，z2＝1＋bi，a，b∈R，且z1＋z2與z1·z2均為純虛數，
則＝___________.
5．已知復數z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它們所對應的點分別為A，B，C.若
＝x＋y，則x＋y的值是________．
6．已知復數z＝x＋y i，且|z－2|＝，則的最大值為________．
三、解答題
7．已知復數z1滿足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i為虛數單位)，復數z2的虛部為2，且z1·z2是實數，求z2.
8．已知z是復數，z＋2i、均為實數(i為虛數單位)，且復數(z＋ai)2在復平面上對應的點在第一象限，求實數a的取值范圍．
§10.5 數系的擴充與復數的引入 答案
要點梳理
1．(1)實部　虛部　b＝0　b≠0　a＝0且b≠0 (2)a＝c且b＝d　(3)a＝c，b＝－d
(4)x軸　y軸　實數　純虛數　非純虛數 (5)|z|　|a＋bi|　
2．(2)平面向量
3．(1)①(a＋c)＋(b＋d)i?、?a－c)＋(b－d)i?、?ac－b d)＋(ad＋b c)i　
④＋i　 (2)z2＋z1　z1＋(z2＋z3)
基礎自測
1．2　 2.1　 3.－＋I 4．(－1,1)　 5.A
題型分類·深度剖析
例1　解　(1)由z ∈R，
得解得m＝－3.
(2)由z是虛數，得m2＋2m－3≠0，且m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
(3)由z是純虛數，得解得m＝0或m＝－2.
(4)由＝＋4i，
得－(m2＋2m－3)i＝＋4i，
∴
即解得m＝－1.
變式訓練1　解　(1)若z為實數，
則，解得m＝－2.
(2)若z為虛數，則，解得m≠－2且m≠－3.
(3)若z為純虛數，則，解得m＝3.
(4)若z對應的點在第二象限，
則， 即，
∴m<－3或－2例2　解　(1)原式＝＝
＝
＝＝＝－1＋i.
(2)原式＝＋1 005
＝i＋1 005＝i＋i1 005
＝i＋i4×251＋1＝i＋i＝2i.
(3)方法一　原式＝6＋＝i6＋＝－1＋i.
方法二　(技巧解法)
原式＝6＋＝i6＋＝－1＋i.
(4)原式＝1 004＝1 004＝·1＝－1＋i.
變式訓練2　(1)　 (2)－16 (3)－－i
例3　解　(1)＝－，∴所表示的復數為－3－2i.
∵＝，∴所表示的復數為－3－2i.
(2)＝－，∴所表示的復數為
(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)＝＋＝＋，
∴表示的復數為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B點對應的復數為1＋6i.
變式訓練3　(1)D　 (2)C　
A組　專項基礎訓練
1．A　 2.C　 3.A 4．－3 5．－2i 6. 7．2
8．解　(1)由
得　∴m＝3.
(2)由　得m＝－1或－2.
(3)由　得
∴－1B專項能力提升
1．D　 2．A　 3.D 4．－＋I 5．5　 6.
7．解　(z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i.
設z2＝a＋2i，a ∈R，
則z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.
8．解　設z＝x＋y i (x、y ∈R)，
∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由題意得y＝－2.
∵＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i.
由題意得x＝4，∴z＝4－2i.
∴(z＋a i)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
由于(z＋a i)2在復平面上對應的點在第一象限，
∴，解得2∴實數a的取值范圍是(2,6)．
專題十 算法初步、推理與證明及復數綜合測試題
本試卷分為第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，
考試時間60分鐘．
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：（本大題共15小題，每小題4分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）
1．已知全集U＝R，AU，如果命題：∈A∪B，則命題“非”是 （ ）
A．非： A B．非： ∈CUB
C．非： A∩B D．非： ∈（CUA）∩（CUB）
2．（2012新課標）復數z=的共軛復數是（　?。?br/>A． B． C． D．
3．已知數列的前項和為，且，，可歸納猜想出的表達式為 ( ）
A． B． C． D．
4．（2012新課標）如果執行右邊的程序框圖,輸入正整
數(≥2)和實數,,,,輸出,,則
( )
（　　）
A．+為,,,的和
B．為,,,的算術平均數
C．和分別為,,,中的最大數和最小數
D．和分別為,,,中的最小數和最大數
5. 為虛數單位，則=（ ）
A．- B．-1 C． D．1
6．若是關于x的實系數方程的一個復數根,則（　 ?。?br/>A．. B．.
C．. D．.
7.運行如右所示的程序框圖，輸入下列四個函數，則可以輸出的函
數是 （ ）
A． B．
C． D．
8.對任意復數，為虛數單位，
則下列結論正確的是 （ ）
A． B．
C． D．
9.如圖所示的程序框圖運行的結果是 （ ）

A． B． C． D．
10.復數在復平面上對應的點位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．若實數a、b滿足且，則稱a與b互補，記，那么是a與b互補的 （ ）
A．必要而不充分的條件 B．充分而不必要的條件
C．充要條件 D．即不充分也不必要的條件
12．（2012北京理）執行如圖所示的程序框圖,輸出的S值為（　 ?。?br/>A．2 B．4 C．8 D．16

13．復數（是虛數單位）是實數，則x的值為 （ ）
A．3 B．-3 C．0 D．
14．閱讀如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（ ）
A．0 B．
C． D．
15．用秦九韶算法求n 次多項式，當時，求需要算乘方、乘法、加法的次數分別為（ ）
A． B．n, 2n, n
C． 0, 2n, n D．0, n, n
第Ⅱ卷（非選擇題 共40分）
二、填空題：（本大題共10小題，每小題4分，共40分．請把答案直接填寫在答題卡相應位置上．）
16.（安徽理1）設 是虛數單位，復數為純虛數，則實數為 .
17．用數學歸納法證明1＋＋＋…＋1，n∈N*)時，在證明過程的第二步從n＝k到n＝k＋1成立時，左邊增加的項數是________．
18.根據如圖所示的偽代碼，當輸入a，b分別為2，3時，最后輸出的m的值是 .

19.右圖是一個算法的流程圖，則輸出S的值是_____________.
20．（2012江蘇）設,(i為虛數單位),則的值為____.
21．（2012湖北理）閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應的程序,輸出的結果__________.

22．給出如圖所示的流程圖，其功能是________．
23.若復數（為虛數單位），則 .
24.按下圖所示的程序框圖運算：若輸出k＝2，則輸入x的取值范圍是 .
25．設N=2n（n ∈N*，n≥2），將N個數x1,x2,…，x N依次放入編號為1,2，…，N的N個位置，得到排列P0=x1x2…x N．將該排列中分別位于奇數與偶數位置的數取出，并按原順序依次放入對應的前和后個位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，將此操作稱為C變換，將P1分成兩段，每段個數，并對每段作C變換，得到；當2≤i≤n-2時，將Pi分成2i段，每段個數，并對每段C變換，得到Pi+1，例如，當N=8時，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此時x7位于P2中的第4個位置．
（1）當N=16時，x7位于P2中的第_ __個位置；
（2）當N=2n（n≥8）時，x173位于P4中的第_ __個位置．
專題十 算法初步、推理與證明及復數綜合測試題 答案
一、選擇題 DDACB DDDBA CCBBD
二、填空題
16. 2 17. 2 18. 3 19. 63 20.8 21. 9
22. 23. 24. (28,57] 25. （1）6；（2）

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