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典型問題與易錯問題

典型問題
1．在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，，則△ABC的形狀為（ B ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
2.“”是“”的 條件。（答：充分非必要條件）
3．已知平面上三點A、B、C滿足的值等于（ C ）A．25 B．24 C．－25 D．－24
4.函數的圖象按向量平移后，所得函數的解析式是，則＝________（答：）
5、已知兩圓方程分別為：，，則兩圓的公切線方程為（A）
A、 B、 C、 D、
6、已知動點滿足，為坐標原點，則的取值范圍是_______
16、對正整數，設拋物線，過任作直線交拋物線于，兩點，則數列的前項和為__—n(n+1)________
7．正實數x1，x2及函數，f (x)滿足，則的最小值為 （ B ）
A．4 B． C．2 D．
8．已知函數，則“b > 2a”是“f (－2) < 0”的（ A ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
9．橢圓與直線交于A、B兩點，過原點與線段AB中點的直線的斜率為的值為 （ A ）
A． B． C． D．
10.已知：是直線，是平面，給出下列四個命題：（1）若垂直于內的兩條直線，則；（2）若，則平行于內的所有直線；（3）若且則；（4）若且則；（5）若且則。其中正確命題的個數是 （ B ）
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
11．如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1的側面AB1內
有一動點P到平面A1C1的距離是直線BC的距離的2
倍，點M是棱BB1的中點，則動點P所在曲線的大致
形狀為 （ C ）
12．一次研究性課堂上，老師給出函數，三位同學甲、乙、丙在研究此函數時分別給出命題：
甲：函數f (x)的值域為（－1，1）； 乙：若x1≠x2，則一定有f (x1)≠f (x2)；
丙：若規定對任意恒成立.
你認為上述三個命題中正確的個數有（ D ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
13.已知函數在區間上是增函數，則的取值范圍是____(答：))；
14. 在△ABC中，E、F分別為AB、AC上的點，若=m，=n，則
= mn. 拓展到空間：在三棱錐S-ABC中，D、E、F分別是側棱SA、SB、SC上的點，若= m，=n，= p，則= .
15．已知雙曲線的右焦點為F，右準線與一條漸近線交于點A，
△OAF的面積為(O為坐標原點)，則雙曲線的兩條漸近線的夾角為 60°
16．直角坐標系中橫坐標、縱坐標均為整數的點稱為格點，如果函數f (x)的圖象恰好通過k個格點，則稱函數f (x)為k階格點函數.下列函數：①；②；③；④其中是一階格點函數的有 ①②④ .（填上所有滿足題意的序號）
17．已知△ABC，若對任意t∈R，≥，則C
A．∠A=900 B．∠B＝900 C．∠C＝900 D．∠A＝∠B＝∠C＝600
18．等差數列的前項和為，公差. 若存在正整數，使得，則當（）時，有（填“>”、“<”、“=”）．
(6)設等差數列{an}的前n項和為Sn，已知S12＞0，S13＜0，則 ，，…， 中最大的是 （B）
(A)  (B)  (C)  (D) 
19．定義在N*上的函數滿足：f(0) = 2，f(1) = 3，且．
（Ⅰ）求f(n)（n(N*）；（Ⅱ）求．
（Ⅰ）由題意：，所以有：，又，所以，即，故．
（Ⅱ）．
20．已知數列{an}滿足a1=1，a2=－13，
（Ⅰ）設的通項公式；
（Ⅱ）求n為何值時，最小（不需要求的最小值）
解：（I）
即數列{bn}的通項公式為
（Ⅱ）若an最小，則
注意n是正整數，解得8≤n≤9
∴當n=8或n=9時，an的值相等并最小
21．已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c關于點(1,1)成中心對稱，且f '(1)=0．
　 （Ⅰ)求函數f(x)的表達式； （Ⅱ)設數列{an}滿足條件：a1∈(1,2)，an+1=f (an)
求證：(a1－ a2)·(a3－1)+(a2－ a3)·(a4－1)+…+(an－ an+1)·(an+2－1)＜1
解：(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c關于點(1,1)成中心對稱，所以
x3+ax2+bx+c+(2－x)3+a(2－x)2+b(2－x)+c=2
對一切實數x恒成立．得：a=－3，b+c=3，對由f '(1)=0，得b=3，c=0，
故所求的表達式為：f(x)= x3－3x2+3x．
(Ⅱ) an+1=f (an)= an 3－3 an 2+3 an (1)
令bn=an－1，0∴ 1＞bn ＞bn+1 ＞0
(a1－a2)·(a3－1)+(a2－a3)·(a4－1)+…+(an－an+1)·(an+2－1)=
＜=b1-bn+1＜b1＜1。
22．設函數．
（Ⅰ）如果,點P曲線上一個動點,求以P為切點的切線其斜率取最小值時的切線方程；
（Ⅱ）若時,恒成立,求的取值范圍．
．解(Ⅰ)設切線斜率為則當時最小值為．
所以切線方程為即
(Ⅱ)由>0 <0得．
函數在為增函數,在減函數
(1),無解； (2) 無解；
(3)，解得．綜上所述 ．
23.已知O為坐標原點，點E、F的坐標分別為（-1，0）、（1，0），動點A、M、N滿足（），，，．
（Ⅰ）求點M的軌跡W的方程；
（Ⅱ）點在軌跡W上，直線PF交軌跡W于點Q，且，若，求實數的范圍．
解：（Ⅰ）∵，，∴ MN垂直平分AF．
又，∴ 點M在AE上，∴ ，，
∴ ， ∴ 點M的軌跡W是以E、F為焦點的橢圓，且半長軸，半焦距， ∴ ．
∴ 點M的軌跡W的方程為（）．
（Ⅱ）設∵ ，，
∴ ∴
由點P、Q均在橢圓W上，
∴
消去并整理，得，由及，解得．
24．已知函數的定義域為，導數滿足0＜＜2 且，常數為方程的實數根，常數為方程的實數根．
（Ⅰ）若對任意，存在，使等式成立．試問：方程有幾個實數根；
（Ⅱ）求證：當時，總有成立；
（Ⅲ）對任意，若滿足，求證：。
21、（I）假設方程有異于的實根m，即．則有
成立 ．
因為，所以必有，但這與≠1矛盾，
因此方程不存在異于c1的實數根．
∴方程只有一個實數根．
（II）令，∴函數為減函數．
又，∴當時，，即成立．
（III）不妨設，為增函數，
即．又，∴函數為減函數
即．，
即．，
．
25、平面直角坐標系中，已知、、，滿足向量
與向量共線，且點都在斜率為6的同一條直線上．
（1）試用與n來表示；
（2）設，且12＜a≤15，求數列中的最小值的項．
解：（1）點都在斜率為6的同一條直線上，
，即，于是數列是等差數列，故．
，，又與共線，


．
當n＝1時，上式也成立．所以an．
（2）把代入上式，
得
12＜a≤15，，
當n=4時，取最小值， 最小值為a4=18－2a．
26．已知二次函數為偶函數，函數f（x）的圖象與直線y=x相切.
（1）求f（x）的解析式
（2）若函數上是單調減函數，求k的取值范圍.
（1）∵f（x+1）為偶函數，∴
恒成立，
即（2a+b）x=0恒成立，∴2a+b=0∴b=－2a∴
∵函數f（x）的圖象與直線y=x相切，∴二次方程有兩相等實數根，
∴
（2）∵
故k的取值范圍為
27．已知AB是拋物線的任一弦，F為拋物線的焦點，l為準線.m是過點A且以向量為方向向量的直線.
（1）若過點A的拋物線的切線與y軸相交于點C，求證：|AF|=|CF|；
（2）若異于原點），直線OB與m相交于點P，求點P的軌跡方程；
（3）若AB過焦點F，分別過A，B的拋物線兩切線相交于點T，求證：且T在直線l上.
解：（1）設A（，因為導數，
則直線AC的方程：
由拋物線定義知，|AF|=+，又|CF|=－（－）=+，故|AF|=|CF|.
（2）設
由
得. ① 直線OB方程： ②
直線m的方程:， ③由①②③得y=－p，故點P的軌跡方程為y=－p（x≠0）.
（3）設則
因為AB是焦點弦，設AB的方程為：
得
由（1）知直線AT方程：
同理直線BT方程：
所以直線AB方程：，
又因為AB過焦點，，故T在準線上.
28． 如圖，已知直線l與半徑為1的⊙D相切于點C，動點P到直線l的距離為d，若
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）若軌跡上的點P與同一平面上的點G、M分別滿足
，
求以P、G、D為項點的三角形的面積.
解：（Ⅰ）
∴點P的軌跡是D為焦點，l為相應準線的橢圓.
由
以CD所在直線為x軸，以CD與⊙D的另一個交點O為坐標原點建立直角坐標系.
∴所求點P的軌跡方程為
（Ⅱ）G為橢圓的左焦點.
又
由題意，（否則P、G、M、D四點共線與已經矛盾）

又∵點P在橢圓上，
又
29．設無窮數列{an}具有以下性質：①a1=1；②當
（Ⅰ）請給出一個具有這種性質的無窮數列，使得不等式 對于任意的都成立，并對你給出的結果進行驗證（或證明）；
（Ⅱ）若，其中，且記數列{bn}的前n項和Bn，證明：
解：（Ⅰ）令，
則無窮數列{an}可由a1 = 1，給出.
顯然，該數列滿足，且

（Ⅱ）

又




30、已知函數為偶函數，且其
圖像上相鄰的一個最高點和最低點之間的距離為。
（1）求函數f(x)的解析式；
（2）若 的值。
31．設分別為的重心和外心，，且。
（I）求點的軌跡的方程；
（II）若是過點且垂直于軸的直線，是否存在直線，使得與曲線交于兩個不同的點，且恰被平分？若存在，求出的斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由。
13．解：（I）設，則，因為 ，可得；又由，
可得點的軌跡的方程為。
（II）假設存在直線，代入并整理得，
設，則 又
，解得或
特別地，若，代入得，，此方程無解，即。
綜上，的斜率的取值范圍是或。
18．已知△ABC中，三個內角是A、B、C的對邊分別是a、b、c，其中c=10，且
（I）求證：△ABC是直角三角形；
（II）設圓O過A、B、C三點，點P位于劣弧AC上，∠PAB=60°,.求四邊形ABCP的面積.
18．解：（Ⅰ）證明：根據正弦定理得，
整理為，sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B.
∴2A=2B或2A+2B= ∴.
∴舍去A=B. ∴即.
故△ABC是直角三角形.
（Ⅱ）解：由（1）可得：a=6，b=8.
在Rt△ACB中，
∴
=
=
連結PB，在Rt△APB中，AP=AB·cos∠PAB=5.
∴四邊形ABCP的面積
=24+=18+.
32.已知三次函數在和時取極值，且．
(1) 求函數的表達式；
(2) 求函數的單調區間和極值；
(3) 若函數在區間上的值域為，試求、應滿足的條件．
解：(1) ，
由題意得，是的兩個根，
解得，．
再由可得．
∴．
(2) ，
當時，；當時，；當時，；當時，；當時，．
∴函數在區間上是增函數；在區間上是減函數；在區間上是增函數．函數的極大值是，極小值是．
(3) 函數的圖象是由的圖象向右平移個單位，向上平移4個單位得到的，
所以，函數在區間上的值域為（）．
而，∴，即．
于是，函數在區間上的值域為．
令得或．
由的單調性知，，即．
綜上所述，、應滿足的條件是：，且．
易錯問題
1.定義在上的偶函數滿足，且在上是減函數，若是銳角三角形的兩個內角，則的大小關系為____ (答：)；
2.函數的圖象與軸的交點個數有____個(答：2)
3.如若函數是偶函數，則函數的對稱軸方程是__ (答：)．
4.(1)設成等差數列，成等比數列，則的取值范圍是____________.（答：）。
(2)設成等差數列，成等比數列，則的取值范圍是____________.（答：）。
5.已知函數過點作曲線的切線，求此切線的方程（答：或）。
6.已知函數在區間[－1,2 ]上是減函數，那么b＋c有最__值__答：大，）
7.函數處有極小值10，則a+b的值為____（答：－7）
8.已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是______（答：或且）；
9.若點是的外心，且，則的內角為____（答：）；

10.設集合，，，則_____（答：）　
11.，如果，求的取值。（答：a≤0）
已知函數在區間上至少存在一個實數，使，求實數的取值范圍。　（答：）
12．已知O是△ABC所在平面內的一定點，動點P滿足,，則動點P的軌跡一定通過△ABC的 （D）
A．內心 B．垂心 C．外心 D．重心
13．如圖，從雙曲線的左焦
點F引圓的切線，切點為T，延長FT交
雙曲線右支于P點，若M為線段FP的中點，O為坐標
原點，則|MO|－|MT|與b－a的大小關系為 （B ）
A．|MO|－|MT| > b－a
B．|MO|－|MT| = b－a
C．|MO|－|MT| < b－a
D．不確定
14．如圖，所在的平面和四邊形所在的平面垂直，且， ， ，，，則點在平面內的軌跡是 （A ）
A．圓的一部分 B．橢圓的一部分
C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分
15若函數的導函數為，則函數的單調遞減區間是（C ）
（A） （B） （C） （D）
16．定義在R上的函數，它同時滿足具有下述性質：
①對任何
②對任何則 0 .
17．設數列{an}是等比數列，，則a4與a10的等比中項為 （ ）
A． B． C． D．
18.已知數列的前項和為非零常數），則數列為（ ）
（A）等差數列 （B）等比數列
（C）既不是等差數列，又不是等比數列 （D）既是等差數列又是等比數列
19．已知全集U=R，集合，則
A． B．
C．{（1，－2）} D．（ ）
20. 已知橢圓的左右焦點分別為F1與F2，點P在直線l：上，
當取最大值時，點P的坐標為 （-10，-4）或（-2，4） 。
21．橢圓的左右焦點分別為F1、F2，點P在橢圓上，若P，F1、F2是一個直角三角形的三個頂點，則P到X軸距離為 1或 .
22．過軸上一點，向圓作切線，切點分別為，則面積的最大值為 。
已知向量是兩個不共線的非零向量, 向量滿足.則向量用向量一定可以表示為 （C）
A. 且. B.
C. D. , 或
（5）若數列中，，且對任意的正整數、都有，則
（A） （B） （C） （D） ( C)
16.已知x∈N*，f(x)= ，其值域設為D，給出下列數值：-26，-1，9，14，27，65，則其中屬于集合D的元素 ___14,65 _ _.(寫出所有可能的數值)
23、如圖，垂直正方形所在的平面，，動點在線段上，則二面角的取值范圍是
A、 B、 C、 D、
24．在△OAB（O為原點）中，，若，則S△AOB的值為 （ ）
A． B． C． D．
25．若y＝3|x|(x∈[a，b])的值域為[1，9]，則a2＋b2－2a的取值范圍是（　　）
A．[2，4]　 B．[4，16]　　C．[2，2]　　D．[4，12]
26.在等比數列中,,前項和為,若數列也是等比數列,
則等于（ C ）
(A) (B) (C) (D)
27、點P在平面上作勻速直線運動，速度向量=（4，－3）（即點P的運動方向與相同，且每秒移動的距離為||個單位.設開始時點P的坐標為（－10，10），則5秒后點P的坐標為（ D ）
（A）（－2，4） （B）（－30，25） （C）（5，－10） （D）（10，－5）
28、已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的點，則點P到AC、BC
的距離乘積的最大值是 3 。
29、若函數內為增函數，則實數a的取值范圍（A ）
A． B． C． D．
30、如圖，平面內的兩條相交直線和將該平面分割成四個部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ (不包括邊界）. 若，且點落在第Ⅲ部分，則實數滿足( B )
(A) . (B) .
(C) . (D) .
31．已知雙曲線的焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線上且|PF1| =4|PF2|，則雙曲線離心率的最大值為（ B ）
A． B． C．2 D．
8、某班有48名學生，某次數學考試，算術平均分為70分，標準差為s，后來發現成績記錄有誤，某甲得80分卻誤記為50分，某乙得70分卻誤記為100分，更正后計算得標準差為s1，則s1和s之間的大小關系為　　…………………………………………………（D　　）
(A) s1＞s (B) s1＝s (C) s＋5＜s1 (D) s＞s1
15．在ABC中，若：= = ,則COSA等于___________.
4、已知等差數列{an}的首項a1=120，d=－4，記Sn= a1＋a2＋…＋an，若Sn≤an（n＞1），則n最小值為………………………………………………………………………………（B　　）
(A)60 (B)62 (C)63 (D)70
7．二元函數定義域為，則函數的定義域所表示的平面區域是（B）
9、一條走廊寬 2 m, 長 8 m, 用 6 種顏色的 11 m的整塊地磚來鋪設(每塊地磚都是單色的, 每種顏色的地磚都足夠多), 要求相鄰的兩塊地磚顏色不同, 那么所有的不同拼色方法有 （ D）
(A)個 (B) 個 C. 個 (D) 個
(18)已知等比數列{an}的前n項和為Sn.
(Ⅰ)若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差數列，證明am，am＋2，am＋1成等差數列；
(Ⅱ)寫出(Ⅰ)的逆命題，判斷它的真偽，并給出證明.
證 (Ⅰ) ∵Sm＋1＝Sm＋am＋1，Sm＋2＝Sm＋am＋1＋am＋2．
由已知2Sm＋2＝Sm＋Sm＋1，∴ 2(Sm＋am＋1＋am＋2)＝Sm＋(Sm＋am＋1)，
∴am＋2＝－am＋1，即數列{an}的公比q＝－.
∴am＋1＝－am，am＋2＝am，∴2am＋2＝am＋am＋1，∴am，am＋2，am＋1成等差數列.
(Ⅱ) (Ⅰ)的逆命題是：若am，am＋2，am＋1成等差數列，則Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差數列.
設數列{an}的公比為q，∵am＋1＝amq，am＋2＝amq2．
由題設，2am＋2＝am＋am＋1，即2amq2＝am＋amq，即2q2－q－1＝0，∴q＝1或q＝－.
當q＝1時，A≠0，∴Sm， Sm＋2， Sm＋1不成等差數列.
逆命題為假.
19. (12分)設某物體一天中的溫度T是時間t的函數，，其中溫度的單位是，時間的單位是小時。t=0表示12:00, t取正值表示12:00點以后。若測得該物體在8:00的溫度為8,12:00的溫度為60,13:00的溫度為58,且已知該物體的溫度在8:00和16:00有相同的變化率。
（1）寫出該物體的溫度T關于時間t的函數關系式；
（2）該物體在10:00到14:00這段時間中（包括10:00,14:00）何時溫度最高？并求出最高溫度。
（1）依題意得
解得：a=1,b=0,c=－3,d=60 故T(t)=t3-3t+60
（2）=0,得：
比較T（－2）,T（－1）,T（1）,T（2）知，在10:0014:00這段時間中，該物體在11:00和14:00的溫度最高，且最高溫度為62.

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