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王金戰(zhàn)數(shù)學(xué)
第1講:因?yàn)閿?shù)學(xué)很美，所以我愛上了她
先講一個(gè)我親身經(jīng)歷的故事. 那是2004年秋天，我和我的同學(xué)到山東省平邑縣的一個(gè)度假村旅游.當(dāng)時(shí)，某師范學(xué)院美術(shù)系的學(xué)生正好在這里寫生.晚飯后，我見有六個(gè)大學(xué)生圍在一個(gè)圓桌前閑聊，就過去跟她們搭話.她們問我是干什么的，我說我是某中學(xué)的老師.她們聽說我是中學(xué)老師，感到有點(diǎn)親切.聊了一會(huì)，她們又問我教什么課？我沒有直接回答.憑我的經(jīng)驗(yàn)，藝術(shù)類的學(xué)生一般都不喜歡數(shù)學(xué)，我也想驗(yàn)證一下我的想法，就說：“我教的這門課你們可能不大喜歡.”沒想到她們六個(gè)人竟異口同聲地脫口而出：“數(shù)學(xué)！！”我狂暈！她們連想都沒想，就準(zhǔn)確地定格到數(shù)學(xué)上了.幸好我有心理準(zhǔn)備，否則我真要當(dāng)場(chǎng)暈過去了！現(xiàn)實(shí)中，不喜歡數(shù)學(xué)的又何止是藝術(shù)類的學(xué)生.不喜歡數(shù)學(xué)不是學(xué)生的錯(cuò)，而是我們的教育出現(xiàn)了問題.從社會(huì)到學(xué)校，從教師到家長，從考試制度到教學(xué)模式，無處不充滿著考試的壓力.當(dāng)一門課程成了考試升學(xué)的拐杖時(shí)，還會(huì)有多少人真正喜歡呢？喜歡的學(xué)科不敢全力去學(xué)，不喜歡的學(xué)科卻不敢絲毫懈怠，一切都不是學(xué)生說了算，結(jié)果就是興趣大大喪失.我們都知道，數(shù)學(xué)是我們每個(gè)人都應(yīng)該掌握的一種技能，是人類智慧的結(jié)晶，是人類文明的重要標(biāo)志.數(shù)學(xué)還是人們藉以訓(xùn)練多種特殊技能，如計(jì)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力、推理論證能力的最主要工具.從數(shù)學(xué)的作用來說，數(shù)學(xué)作為一門必修的課程是必然的，各國都是如此.有人也許會(huì)問，你為什么喜愛數(shù)學(xué)？我也說不很清楚.只覺得數(shù)學(xué)很有意思.代數(shù)里的運(yùn)算、變形，到處透著智慧的光芒；幾何里各種各樣的圖形真是美不勝收，嚴(yán)謹(jǐn)而富于思考的推理證明令人嘆為觀止；三角函數(shù)里變換無窮的公式，雖然有點(diǎn)令人望而生畏，可是其萬變不離其宗的技巧、優(yōu)美的函數(shù)曲線，又讓我愛不釋手……一句話：因?yàn)閿?shù)學(xué)很美，所以我愛上了她！
第2講：反思“曹沖稱象”，對(duì)解題過程的優(yōu)化
相傳曹操獲得一頭大象，與大家一邊看一邊議論，“大象到底有多重呢?”由于當(dāng)時(shí)沒有這么大的秤桿，又沒有現(xiàn)代化的儀器，怎么辦？曹操的眾多謀士就提出了不同水平的“問題解決”．這時(shí)有人提議把大象宰了，一塊一塊地稱，這是一種“化整為零”的策略，重量雖然出來了，但珍貴的大象卻不復(fù)存在了．曹操的兒子曹沖才7歲，他提出一個(gè)聰明的辦法：先把大象趕到一艘大船上，看船身下沉多少，就沿著水面，在船舷上畫一條線．然后，把大象趕上岸，往船上裝石頭，直至船下沉到畫線的地方為止．最后，稱一稱船上的石頭，石頭有多重，就知道大象有多重了．我們來從數(shù)學(xué)解題層面上分析曹沖的“問題解決”過程，可以形象地繪出下面的轉(zhuǎn)化圖：一頭大象————一堆石塊? ↓大象重量————稱出石塊總重量這個(gè)過程主要有兩個(gè)步驟：第1步，把“整體”的大象對(duì)應(yīng)為等價(jià)物：“零散”石頭(化整為零);第2步，稱一小塊一小塊石頭，得出大象的重量(集零為整)．請(qǐng)注意，曹沖先“化整為零”、再“集零為整”的做法，與愚蠢的“宰象”方案有思想方法上的共同性，曹沖的聰明之處在于，既從別人的不成功想法中吸取了合理成分，又用等價(jià)物代替大象．（這里有一個(gè)思維亮點(diǎn)：通過物理知識(shí)找出等價(jià)物）現(xiàn)在我們?cè)龠M(jìn)一步反思曹沖方案．曹沖方案的大前提是“把大象趕上船、再趕上岸”，這當(dāng)中若有一次大象不愿走動(dòng)，那么抬大象的困難與稱大象的困難是類似的．大象自已走上走下對(duì)我們抬石頭、稱石頭能帶來什么啟示呢?就此，我曾在一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上跟學(xué)生進(jìn)行了如下的對(duì)話．教師：假如我們這塊地方是個(gè)平地，全是黃土，沒有石頭，你怎么辦?學(xué)生：那我就把黃土挑上船，直至船沉到畫線的地方，然后稱黃土的重量．教師：挑黃土上船、下船，既費(fèi)工又費(fèi)時(shí)，有沒有既省工又省時(shí)的更簡單辦法?學(xué)生：用電子秤直接稱大象．教師：這不行，不能改變當(dāng)時(shí)的技術(shù)條件．學(xué)生：組織圍觀的人代替黃土，讓人自己走上船、自己走下船過秤，既省工又省時(shí)，要不，趕一群羊上船也可以．這段反思發(fā)現(xiàn)這個(gè)辦法確實(shí)比曹沖的強(qiáng)．可以得出3個(gè)啟示：①即使是“智慧典范”的解題過程也有創(chuàng)新的空間．②注重解題過程的分析與啟引，也能開發(fā)出解題智慧來．③找回被浪費(fèi)的重要信息是解題分析獲得進(jìn)展的一個(gè)有效途徑．在曹沖方案中，“大象自己上船、下船”本已存在，只不過是在使用石頭等價(jià)物時(shí)被浪費(fèi)了，參與交流的學(xué)生無非是“找回被浪費(fèi)的重要信息”．下面是一個(gè)學(xué)生袁宵亮向我請(qǐng)教的一道一元二次方程試題時(shí)的交流實(shí)錄，我愿意跟大家分享互相交流的心路歷程：例1 設(shè)x1、x2 是一元二次方程x2+4x－3＝0的兩個(gè)根，2x1(x22+5x2－3)+a ＝2，則a＝ ．袁宵亮同學(xué)感到求解有困難，向我請(qǐng)教：“老師，這里x1，x2能求，但求出來不是有理數(shù)根!走這條道路顯然運(yùn)算量會(huì)很大，且要花費(fèi)大量時(shí)間，我覺得這樣的思路好像行不通？”很顯然，他在常規(guī)解法“先求方程的根，再代入求值”思路上發(fā)生了困難，能夠知難而退，懂得求助，我首先肯定了他的質(zhì)疑精神，為了能一步步引導(dǎo)他自己發(fā)現(xiàn)思路，我先問：“你認(rèn)真觀察2x1(x22+5x2－3)+a ＝2的特點(diǎn)，有何發(fā)現(xiàn)？”他觀察了一會(huì)，“小括號(hào)內(nèi)跟x2代入方程得到的x22+4x2-3＝0有點(diǎn)相似，但一次項(xiàng)系數(shù)不同．”“很好，能把x22+5x2－3改寫一下嗎？”他想了一下，“x22+5x2－3＝x22+4x2+x2 -3”，說到這兒，突然眼前一亮，說“有了，有x22+4x2-3＝0，變形得x22+4x2＝3，代入2x1(x22+4x2+x2-3) +a ＝2，于是2x1·x2+a＝2，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，代入求出應(yīng)該能求出a了.”我向他豎起大拇指，“一下子走到頭了，祝賀！寫出來我看看．”他迅速表達(dá)如下：變形x22+5x2-3＝x22+4x2-3+x2，由一元二次方程的定義有x22+4x2-3＝0，變形得x22+4x2＝3，代入2x1(x22+4x2+x2-3) +a ＝2，于是2x1·x2+a＝2，由根與系數(shù)的關(guān)系，x1·x2＝-3，代入求出a＝8.看著他長噓一口氣，一種解題的愉悅流露在面容．我認(rèn)真看了他演算的過程，暗示他過程中仍然有“思維回路”值得優(yōu)化，他疑惑的觀察了一會(huì)，重新寫出比較精減的過程如下：變形x22+5x2-3＝x22+4x2-3+x2，由一元二次方程定義有x22+4x2-3＝0，代入2x1(x22+4x2-3+x2) +a ＝2，所以 2x1·x2+a＝2，再由根與系數(shù)的關(guān)系，x1·x2＝-3，即a＝8.我隨即在他“完美”的解答上點(diǎn)評(píng)：這里有目的地變形，特別是對(duì)“x22+4x2-3＝0”的整體認(rèn)識(shí)，使得問題獲得突破．看著他滿意而興奮的離去，我暗自慶幸：授人以魚，不如授人以漁！
第3講：升華—?jiǎng)?chuàng)造性思維的形成
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由此可以看出，搞點(diǎn)創(chuàng)新也并不是什么高不可攀的事情，只要你有了一定的知識(shí)基礎(chǔ)，有了愛動(dòng)腦動(dòng)手的好習(xí)慣，你一樣可以得出創(chuàng)造性的成果來.
第4講：品味京劇《華容道》，看活動(dòng)方案的優(yōu)化
2010年11月16日京劇被列入“人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄”．我接觸京劇5年，酷愛京劇藝術(shù)，京劇《華容道》更為喜歡，久聽不厭．該劇取材于《三國演義》第五十回 “諸葛亮智算華容 關(guān)云長義釋曹操”．曹操兵臨赤壁，為周瑜施火攻所敗，全軍覆沒，狼狽北逃．
曹操北逃第一關(guān)“烏林”．曹操笑周郎計(jì)不高．這頭一笑叫趙云殺的好跑．
北逃第二關(guān)“葫蘆口”時(shí)，曹操“心中實(shí)服了妖道孔明”，但有了第二笑被張飛趕了一個(gè)魂魄飄．無奈只能趕往第三關(guān)“華容道”．
華容道，無法過關(guān)．諸葛亮安排關(guān)云長把守，云長重于信義，曹操苦苦哀求并陳以往日款待之義，云長因見其憐，果為所動(dòng)，慨然允諾而釋之，曹操始得逃脫．
京劇《華容道》充分展示了諸葛亮的深謀遠(yuǎn)慮，這里至少有多個(gè)層次的深度，一是曹操北逃的三關(guān)都做到精準(zhǔn)的研判，二是第三關(guān)“華容道”安排了關(guān)云長，放曹操北逃，這是因?yàn)槌啾谥畱?zhàn)已經(jīng)重創(chuàng)了曹操，這個(gè)時(shí)候把他放走符合長期利益，安排關(guān)羽在華容道就是因?yàn)橹T葛亮知道關(guān)羽為人重義，肯定不會(huì)殺對(duì)他有未報(bào)大恩的曹操，換了趙云或者張飛就不會(huì)這樣了．這是符合當(dāng)初“隆中對(duì)”之長遠(yuǎn)規(guī)劃的．
這個(gè)京劇的意境我在解題教學(xué)時(shí)，曾多次跟學(xué)生提過，在很多解題方案的優(yōu)化上都有體現(xiàn)，下面是一節(jié)“勾股定理逆定理”數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，對(duì)一個(gè)活動(dòng)方案“怎樣判定石碑面上的角是直角？”的優(yōu)化，大家來看看當(dāng)時(shí)的課堂實(shí)錄：
公園里有一塊刻有花紋的石碑，有一個(gè)面形似長方形(如圖1)，但不知道這個(gè)面上的角是不是直角.你能想出辦法來證明∠C是不是直角嗎？
/?? 志剛：這好辦，用量角器量一下不就得了．
老師：這個(gè)辦法很好，如果利用本節(jié)所學(xué)的知識(shí)你還能想出其他的方法嗎?
慧敏：老師，我想起來了，可以用剛學(xué)的三邊平方的關(guān)系來判定．
如圖2，我可以先量出BC 和CD的長，再量出對(duì)角線BD的長，然后再計(jì)算一下BC的平方與CD的平方和是否等于BD的平方，若相等，那么△BCD就是直角三角形，∠C就是直角；若不相等，那么△BCD就不是直角三角形，∠C就不是直角．
智強(qiáng)：老師，我覺得這種方法并不可行，也不切合實(shí)際.假如這塊石碑很高很大，要測(cè)量這三條邊的長會(huì)很困難.我有更好的方法．我可以在BC、CD上分別取兩條較短的線段CE和CF（如圖3），再連接EF，然后分別測(cè)量它們的長，再利用勾股定理的逆定理就可以進(jìn)行判斷.這樣做就減少了計(jì)算量，簡化了計(jì)算．
老師： 你的想法比上位同學(xué)的想法更好，有其可行性、可操作性．但是，當(dāng)你測(cè)量的邊長是小數(shù)時(shí)，計(jì)算起來不也是很麻煩嗎？大家能不能把他的方法再改進(jìn)一下？
靈芝：老師，我有更好的辦法.對(duì)CE、CF的長取整數(shù)可以了.我們剛剛學(xué)習(xí)了“勾股數(shù)”，我們可以用最簡單的一組“勾股數(shù)”來解決這個(gè)問題．
老師： 你說說看.
靈芝：如圖4 ，我可以在BC上取一點(diǎn)E，使CE ＝3㎝，在CD上取一點(diǎn)F，使CF＝4㎝，因?yàn)?、4、5是一組勾股數(shù)，然后我只要測(cè)量EF的長是否等于5㎝就行了．
老師(總結(jié))：我們學(xué)數(shù)學(xué)是為了做數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的知識(shí)來解決身邊的實(shí)際問題.剛才大家在解決這個(gè)問題時(shí)采用了不同的方案，都實(shí)現(xiàn)了問題的解決，但這里涉及的是最優(yōu)化的問題，很顯然，隨著大家不斷探究和深入，靈芝同學(xué)最后一種方案顯然最優(yōu)．
金戰(zhàn)數(shù)學(xué)第5講：化動(dòng)為靜巧解含參不等式（或組）
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第6講：導(dǎo)數(shù)——函數(shù)問題的得力工具
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第7講：構(gòu)圖巧解三角題
?? 三角函數(shù)的定義是建立在三角形、單位圓（用三角函數(shù)線）等基礎(chǔ)之上的，因此許多三角問題能運(yùn)用幾何方法通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形予以巧妙地解決.雖然考試中較少用到這些方法，但對(duì)于開闊視野來說，還是很有價(jià)值的。
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