資源簡介

2013高中數學精講精練 第八章 直線和圓的方程
【知識圖解】
【方法點撥】
1．掌握直線的傾斜角，斜率以及直線方程的各種形式，能正確地判斷兩直線位置關系，并能熟練地利用距離公式解決有關問題．注意直線方程各種形式應用的條件．了解二元一次不等式表示的平面區域，能解決一些簡單的線性規劃問題．
2.掌握關于點對稱及關于直線對稱的問題討論方法,并能夠熟練運用對稱性來解決問題.
3．熟練運用待定系數法求圓的方程．
4．處理解析幾何問題時，主要表現在兩個方面：(1)根據圖形的性質，建立與之等價的代數結構;(2)根據方程的代數特征洞察并揭示圖形的性質．
5．要重視坐標法，學會如何借助于坐標系，用代數方法研究幾何問題，體會這種方法所體現的數形結合思想．
6.要善于綜合運用初中幾何有關直線和圓的知識解決本章問題；還要注意綜合運用三角函數、平面向量等與本章內容關系比較密切的知識．
第1課　直線的方程
【考點導讀】
理解直線傾斜角、斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握直線方程的幾種形式，能根據條件，求出直線的方程．
高考中主要考查直線的斜率、截距、直線相對坐標系位置確定和求在不同條件下的直線方程，屬中、低檔題，多以填空題和選擇題出現，每年必考.
【基礎練習】
1. 直線xcosα＋y＋2＝0的傾斜角范圍是
2. 過點，且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線方程是
3.直線l經過點（3，-1），且與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形，則直線l的方程為
4.無論取任何實數，直線必經過一定點P，則P的坐標為（2，2）
【范例導析】
例1.已知兩點A（－1，2）、B（m，3）
（1）求直線AB的斜率k；
（2）求直線AB的方程；
（3）已知實數m，求直線AB的傾斜角α的取值范圍．
分析：運用兩點連線的子斜率公式解決，要注意斜率不存在的情況.
解:（1）當m=－1時，直線AB的斜率不存在．
當m≠－1時，，
（2）當m=－1時，AB：x=－1，
當m≠1時，AB：.
（3）①當m=－1時，；
②當m≠－1時，
∵
∴
故綜合①、②得，直線AB的傾斜角
點撥：本題容易忽視對分母等于0和斜率不存在情況的討論.
例2.直線l過點P(2,1),且分別交x軸、y軸的正半軸于點A、B、O為坐標原點.
(1)當△AOB的面積最小時,求直線l的方程;
(2)當|PA|·|PB|取最小值時,求直線l的方程.
分析： 引進合適的變量,建立相應的目標函數,通過尋找函數最值的取得條件來求l的方程.
解 （1）設直線l的方程為y-1=k(x-2),則點A(2-,0),B(0,1-2k),且2->0, 1-2k>0,即k<0.
△AOB的面積S=(1-2k)(2-)=[(-4k)++4]≥4,當-4k=,即k=時, △AOB的面積有最小值4,則所求直線方程是x+2y-4=0.
(2)解法一:由題設,可令直線方程l為y-1=k(x-2).
分別令y=0和x=0,得A(2-,0),B(0,1-2k),
∴|PA|·|PB|=,當且僅當k2=1,即k=±1時, |PA|·|PB|取得最小值4.又k<0, ∴k=-1,這是直線l的方程是x+y-3=0.
解法二:如下圖,設∠BAO=θ,由題意得θ∈(0,),且|PA|·|PB|=
當且僅當θ=時, |PA|·|PB|取得最小值4,此時直線l的斜率為-1, 直線l的方程是x+y-3=0.
點評 ①求直線方程的基本方法包括利用條件直接求直線的基本量和利用待定系數法求直線的基本量.②在研究最值問題時，可以從幾何圖形開始，找到取最值時的情形，也可以從代數角度出發，構建目標函數，利用函數的單調性或基本不等式等知識來求最值.
例3.直線l被兩條直線l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的線段中點為P（－1，2）.求直線l的方程.
分析 本題關鍵是如何使用好中點坐標，對問題進行適當轉化.
解：解法一 設直線l交l1于A（a，b），則點（－2－a，4－b）必在l2，所以有
，解得
直線l過A(-2,5),P(-1,2),它的方程是3x＋y＋1＝0.
解法二 由已知可設直線l與l1的交點為A（－1＋m，2＋n），則直線l與l2的交點為B（－1－m，2－n），且l的斜率k＝，∵A,B兩點分別l1和l2上，∴，消去常數項得－3m＝n，所以k＝－3，
從而直線l的方程為3x＋y＋1＝0.
解法三 設l1、l2與l的交點分別為A,B，則l1關于點P（－1，2）對稱的直線m過點B，利用對稱關系可求得m的方程為4x＋y＋1＝0，因為直線l過點B，故直線l的方程可設為3x－5y－5＋λ（4x＋y＋1）＝0.由于直線l點P（－1，2），所以可求得λ＝－18，從而l的方程為3x－5y－5－18（4x＋y＋1）＝0，即3x＋y＋1＝0.
點評 本題主要復習有關線段中點的幾種解法，本題也可以先設直線方程，然后求交點，再根據中點坐標求出直線l的斜率，但這種解法思路清晰，計算量大，解法一和解法二靈活運用中點坐標公式，使計算簡化，對解法二還可以用來求已知中點坐標的圓錐曲線的弦所在直線方程，解法三是利用直線系方程求解，對學生的思維層次要求較高。
【反饋練習】
1.已知下列四個命題①經過定點P0(x0,y0)的直線都可以用方程y-y0＝k(x-x0)表示；②經過任意兩個不同點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直線都可以用方程(y-y1)(x2-x1)＝(x-x1)(y2-y1)表示；③不經過原點的直線都可以用方程+＝1表示；④經過定點A(0，b)的直線都可以用方程y＝kx+b表示，其中正確的是①③④
2.設直線l的方程為,當直線l的斜率為-1時，k值為__5__,當直線l 在x軸、y軸上截距之和等于0時，k值為1或3
3.設直線 ax+by+c=0的傾斜角為，且sin+cos=0，則a,b滿足的關系式為
4.若直線l：y＝kx與直線2x＋3y－6＝0的交點位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是
5.若直線4x-3y-12＝0被兩坐標軸截得的線段長為，則c的值為
6．若直線(m2─1)x─y─2m+1=0不經過第一象限，則實數m的取值范圍是
7.已知兩直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交點為P（2，3），求過兩點Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直線方程
分析：利用點斜式或直線與方程的概念進行解答
解：∵P（2，3）在已知直線上，∴ 2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0
∴2（a1－a2）+3（b1－b2）=0，即=－∴所求直線方程為y－b1=－（x－a1）
∴2x+3y－（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=0
點撥：1.由已知求斜率; 2.運用了整體代入的思想，方法巧妙.
8.一條直線經過點P（3，2），并且分別滿足下列條件，求直線方程：
（1）傾斜角是直線x－4y+3=0的傾斜角的2倍；
（2）與x、y軸的正半軸交于A、B兩點，且△AOB的面積最小（O為坐標原點）
解：（1）設所求直線傾斜角為θ，已知直線的傾斜角為α，則θ＝2α，且tanα＝，tanθ＝tan2α＝，
從而方程為8x－15y+6=0
（2）設直線方程為＋＝1，a＞0，b＞0，
代入P（3，2），得＋＝1≥2，得ab≥24，
從而S△AOB＝ab≥12，
此時＝，∴k＝－＝－
點撥：此題（2）也可以轉化成關于a或b的一元函數后再求其最小值
第2課　兩條直線的位置關系
【考點導讀】
1.掌握兩條直線平行與垂直的條件，能根據直線方程判定兩條直線的位置關系，會求兩條相交直線的交點，掌握點到直線的距離公式及兩平行線間距離公式.
2.高考數學卷重點考察兩直線平行與垂直的判定和點到直線的距離公式的運用，有時考察單一知識點,有時也和函數三角不等式等結合，題目難度中等偏易.
【基礎練習】
1.已知過點A(-2，m)和B(m，4)的直線與直線2x+y-1=0平行，則m的值為-8
2.過點（－1，3）且垂直于直線x－2y+3=0的直線方程為2x+y－1=0
3.若三條直線和相交于一點，則k的值等于 .
【范例導析】
例1.已知兩條直線:x+m2y+6=0, :(m-2)x+3my+2m=0，當m為何值時, 與
（1） 相交；（2）平行；（3）重合？
分析：利用垂直、平行的充要條件解決.
解:當ｍ＝0時，：x＋６＝０，：x＝０，∴∥，
當ｍ＝2時，：x＋４y＋６＝０，：３y＋２＝０
∴與相交；
當m≠０且m≠２時，由得m＝－１或m＝３，由得m＝3
故（１）當m≠－１且m≠３且m≠０時與相交。
（２）m＝－１或m＝０時∥，
（３）當m＝３時與重合。
點撥：判斷兩條直線平行或垂直時，不要忘了考慮兩條直線斜率是否存在.
例2.已知直線經過點P（3，1），且被兩平行直線：x+y+1=0和：x+y+6=0截得的線段之長為5。求直線的方程。
分析：可以求出直線與兩平行線的交點坐標，運用兩點距離公式求出直線斜率
解法一：:若直線的斜率不存在，則直線的方程為x=3，此時與、的交點分別是A1（3，-4）和
B1（3，-9），截得的線段AB的長|AB|=|-4+9|=5，符合題意。若直線的斜率存在，則設的方程為y=k（x-3）+1，
解方程組得A（－）
解方程組 得B（，－）
由|AB|=5得
+=25，
解之，得k=0，即所求的直線方程為y=1。
綜上可知，所求的方程為x=3或y=1。
解法二.設直線與、分別相交于A（x1，y1）、B（x2，y2），則x1+y1+1=0，
x2+y2+6=0。兩式相減，得（x1-x2）+（y1-y2）=5 ①
又（x1-x2）2+（y1-y2）2=25 ②
聯立① ②，可得或
由上可知，直線的傾斜角為0°或90°，又由直線過點P（3，1），故所求的方程為x=3或y=1。
點撥：用待定系數法求直線方程時，要注意對斜率不存在的情況的討論.
【反饋練習】
1.已知直線在軸上的截距為1，且垂直于直線，則的方程是
2.若直線與互相垂直，則 -3或1
3.若直線l1：ax+2y+6=0與直線l2：x+（a－1）y+（a2－1）=0平行，則a的值是___-1___.
4.已知，且點到直線的距離等于，則等于
5. 經過直線與的交點，且平行于直線的直線方程是3x+6y-2=0
6.線過點，過點，∥，且與之間的距離等于5，求與的方程。
解：與的方程分別為：12x-5y-60=0,12x-5y+5=0或x=5,x=0
7.已知ABC的三邊方程分別為AB:，BC:，CA:.
求：（1）AB邊上的高所在直線的方程；（2）∠BAC的內角平分線所在直線的方程.
解：（1）AB邊上的高斜率為且過點C，解方程組得點C（，2）所以AB邊上的高方程為.
（2）設P為∠BAC的內角平分線上任意一點，則解得或，由圖形知即為所求.
第3課　圓的方程
【考點導讀】
1.掌握圓的標準方程與一般方程，能根據問題的條件選擇適當的形式求圓的方程；理解圓的標準方程與一般方程之間的關系，會進行互化。
2.本節內容主要考查利用待定系數法求圓的方程，利用三角換元或數形結合求最值問題，題型難度以容易題和中檔題為主.
【基礎練習】
1.已知點A(3，－2)，B(－5，4)，以線段AB為直徑的圓的方程為(x + 1)2 + (y－1)2 = 25
2.過點A（1，－1）、B（－1，1）且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是（x－1）2＋（y－1）2＝4
3.已知圓C的半徑為2，圓心在軸的正半軸上，直線與圓C相切，則圓C的方程為
4.圓與y軸交于A、B兩點，圓心為P，若∠APB=120°，則實數c值為_-11__
5.如果方程所表示的曲線關于直線對稱，那么必有__D=E__
【范例導析】
【例1】 設方程，若該方程表示一個圓，求m的取值范圍及這時圓心的軌跡方程。
分析:配成圓的標準方程再求解
解：配方得： 該方程表示圓，則有，得，此時圓心的軌跡方程為，消去m，得，由得x=m+3所求的軌跡方程是，
注意：方程表示圓的充要條件，求軌跡方程時，一定要討論變量的取值范圍，如題中
變式1：方程表示圓，求實數a的取值范圍，并求出其中半徑最小的圓的方程。
解：原方程可化為
當a時，原方程表示圓。
又
當，所以半徑最小的圓方程為
例2 求半徑為4，與圓相切，且和直線相切的圓的方程．
分析：根據問題的特征，宜用圓的標準方程求解．
解：則題意，設所求圓的方程為圓．
圓與直線相切，且半徑為4，則圓心的坐標為或．
又已知圓的圓心的坐標為，半徑為3．
若兩圓相切，則或．
(1)當時，，或(無解)，故可得．
∴所求圓方程為，或．
(2)當時，，或(無解)，故．
∴所求圓的方程為，或．
【反饋練習】
1.關于x,y的方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示一個圓的充要條件是B=0且A=C≠0,D2+E2-4AF＞0
2.過點P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三點的圓的圓心坐標是(5，-1)
3.若兩直線y=x+2k與y=2x+k+1的交點P在圓x2+y2=4的內部，則k的范圍是
4.已知圓心為點（2，-3），一條直徑的兩個端點恰好落在兩個坐標軸上，則這個圓的方程是
5.直線y=3x+1與曲線x2+y2=4相交于A、B兩點，則AB的中點坐標是
6.方程表示的曲線是_兩個半圓
7.圓關于直線的對稱圓的方程是
8.如果實數x、y滿足等式，那么的最大值是
9.已知點和圓，求一束光線從點A經x軸反射到圓周C的最短路程為___8___
10．求經過點A(5,2),B(3,2),圓心在直線2x─y─3=0上的圓的方程;
解：設圓心P(x0,y0),則有,
解得 x0=4, y0=5,
∴半徑r=,
∴所求圓的方程為(x─4)2+(y─5)2=10
11. 一圓與y軸相切，圓心在直線x－3y=0上，且直線y=x截圓所得弦長為2，求此圓的方程
解：因圓與y軸相切，且圓心在直線x－3y=0上，
故設圓方程為
又因為直線y=x截圓得弦長為2，
則有+=9b2，
解得b=±1故所求圓方程為
或
點撥:（1）確定圓方程首先明確是標準方程還是一般方程；（2）待定系數法;（3）盡量利用幾何關系求a、b、r或D、E、F.
第4課　直線與圓的位置關系
【考點導讀】
能利用代數方法和幾何方法判定直線與圓的位置關系；熟練運用圓的有關性質解決直線與圓、圓與圓的綜合問題，運用空間直角坐標系刻畫點的位置，了解空間中兩點間的距離公式及其簡單應用.
【基礎練習】
1.若直線4x-3y-2=0與圓x2+y2-2ax+4y+a2-12=0總有兩個不同交點，則a的取值范圍是-6＜a＜4
2.直線x-y+4=0被圓x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦長等于
3.過點P(2，1)且與圓x2+y2-2x+2y+1=0相切的直線的方程為 x=2或3x-4y-2=0 .
【范例導析】
例1.已知圓C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.
（1）證明：不論m取什么實數，直線l與圓恒交于兩點；
（2）求直線被圓C截得的弦長最小時l的方程.
分析：直線過定點，而該定點在圓內，此題便可解得.
（1）證明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.
由得 即l恒過定點A（3，1）.
∵圓心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半徑）， ∴點A在圓C內，從而直線l恒與圓C相交于兩點.
（2）解：弦長最小時，l⊥AC，由kAC＝－， ∴l的方程為2x－y－5=0.
點撥:直線與圓相交截得弦長的最小值時,可以從垂徑定理角度考慮,充分利用圓的幾何性質.
例2.已知圓O: ，圓C: ，由兩圓外一點引兩圓切線PA、PB，切點分別為A、B，滿足|PA|=|PB|.求實數a、b間滿足的等量關系.
解：連結PO、PC，∵|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1
∴|PO|2=|PC|2，從而
化簡得實數a、b間滿足的等量關系為: .
例3.已知圓C與兩坐標軸都相切，圓心C到直線的距離等于.
求圓C的方程.
解：設圓C半徑為，由已知得： ∴，或
∴圓C方程為.
例4.如圖，在平面直角坐標系xOy中，平行于x軸且過點A(3，2)的入射光線l1被直線l：y=x反射．反射光線l2交y軸于B點，圓C過點A且與l1, l2都相切.
(1)求l2所在直線的方程和圓C的方程；
(2)設P，Q分別是直線l和圓C上的動點，求PB+PQ的最小值及此時點P的坐標．
解：（1）直線設.
的傾斜角為，反射光線所在的直線方程為
. 即.
已知圓C與,
圓心C在過點D且與垂直的直線上， ,又圓心C在過點A且與垂直的直線上，,，圓C的半徑r=3，
故所求圓C的方程為.
（2）設點關于的對稱點，則，得,固定點Q可發現，當共線時，最小，
故的最小值為.此時由,得.
【反饋練習】
1.圓x2+y2-4x=0在點P(1,)處的切線方程為
2.已知直線過點，當直線與圓有兩個交點時，其斜率k的取值范圍是
3.設m>0,則直線(x+y)+1+m=0與圓x2+y2=m的位置關系為相切或相離
解析：圓心到直線的距離為d=,圓半徑為.
∵d-r=-=(m-2+1)=(-1)2≥0,∴直線與圓的位置關系是相切或相離.
4.圓(x-3)2+(y-3)2=9上到直線3x+4y-11=0的距離等于1的點有個數為3
5.點P從(1,0)出發,沿單位圓逆時針方向運動弧長到達Q點,則Q的坐標為
6.若圓與直線相切，且其圓心在軸的左側，則的值為
7.設P為圓上的動點，則點P到直線的距離的最小值為 1 .
8.已知平面區域恰好被面積最小的圓及其內
部所覆蓋．
(1)試求圓的方程.
(2)若斜率為1的直線與圓C交于不同兩點滿足,求直線的方程.
解:(1)由題意知此平面區域表示的是以構成的三角形及其內部,且△是直角三角形, 所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓,故圓心是(2,1),半徑是,所以圓的方程是.
(2)設直線的方程是:.
因為,
所以圓心到直線的距離是,
即
解得:.所以直線的方程是:.
點
中點坐標
兩點間距離
圓
位置關系
點與圓的位置關系
直線與圓的位置關系
圓與圓的位置關系
方程形式
標準方程
一般方程
點到直線的距離
直
線
直線斜率與傾斜角
兩條直線位置關系
平行
相交
垂直
方程形式
點斜式
斜截式
兩點式
截距式
一般式
點與直線位置關系
直線與圓的方程
空間直角坐標系
y
x
O
P
E
F
B
A
例2圖
例2
x
y
O
A
B
l2
l1
l
例42012高中數學精講精練 第九章 圓錐曲線
【知識圖解】
【方法點撥】
解析幾何是高中數學的重要內容之一，也是銜接初等數學和高等數學的紐帶。而圓錐曲線是解析幾何的重要內容，因而成為高考考查的重點。研究圓錐曲線，無外乎抓住其方程和曲線兩大特征。它的方程形式具有代數的特性，而它的圖像具有典型的幾何特性，因此，它是代數與幾何的完美結合。高中階段所學習和研究的圓錐曲線主要包括三類：橢圓、雙曲線和拋物線。圓錐曲線問題的基本特點是解題思路比較簡單清晰，解題方法的規律性比較強，但是運算過程往往比較復雜，對學生運算能力，恒等變形能力，數形結合能力及綜合運用各種數學知識和方法的能力要求較高。
1. 一要重視定義，這是學好圓錐曲線最重要的思想方法，二要數形結合，既熟練掌握方程組理論，又關注圖形的幾何性質.
2.著力抓好運算關，提高運算與變形的能力，解析幾何問題一般涉及的變量多，計算量大，解決問題的思路分析出來以后，往往因為運算不過關導致半途而廢，因此要尋求合理的運算方案，探究簡化運算的基本途徑與方法，并在克服困難的過程中，增強解決復雜問題的信心，提高運算能力.
3.突出主體內容，要緊緊圍繞解析幾何的兩大任務來學習：一是根據已知條件求曲線方程，其中待定系數法是重要方法，二是通過方程研究圓錐曲線的性質，往往通過數形結合來體現，應引起重視.
4.重視對數學思想如方程思想、函數思想、數形結合思想的歸納提煉，達到優化解題思維、簡化解題過程
第1課　橢圓A
【考點導讀】
1. 掌握橢圓的第一定義和幾何圖形,掌握橢圓的標準方程,會求橢圓的標準方程,掌握橢圓簡單的幾何性質;
2. 了解運用曲線方程研究曲線幾何性質的思想方法；能運用橢圓的標準方程和幾何性質處理一些簡單的實際問題.
【基礎練習】
1．已知△ABC的頂點B、C在橢圓上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是
2.橢圓的離心率為
3.已知橢圓中心在原點，一個焦點為F（－2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標準方程是
4. 已知橢圓的離心率，則的值為
【范例導析】
例1.（1）求經過點，且與橢圓有共同焦點的橢圓方程。
（2）已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸長是短軸長的3倍，點P（3,0）在該橢圓上，求橢圓的方程。
【分析】由所給條件求橢圓的標準方程的基本步驟是：①定位,即確定橢圓的焦點在哪軸上；②定量，即根據條件列出基本量a、b、c的方程組，解方程組求得a、b的值;③寫出方程.
解：（1）∵橢圓焦點在軸上，故設橢圓的標準方程為（），
由橢圓的定義知，
，
∴，又∵，∴，
所以，橢圓的標準方程為。
（2）方法一：①若焦點在x軸上，設方程為，
∵點P（3,0）在該橢圓上∴即又，∴∴橢圓的方程為.
②若焦點在y軸上，設方程為，
∵點P（3,0）在該橢圓上∴即又，∴∴橢圓的方程為
方法二：設橢圓方程為.∵點P（3,0）在該橢圓上∴9A=1，即,又∴，∴橢圓的方程為或.
【點撥】求橢圓標準方程通常采用待定系數法，若焦點在x軸上，設方程為，若焦點在y軸上，設方程為，有時為了運算方便，也可設為，其中
.
例2.點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，。
（1）求點P的坐標；
（2）設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離的最小值。
【分析】①列方程組求得P坐標；②解幾中的最值問題通常可轉化為函數的最值來求解，要注意橢圓上點坐標的范圍.
解：（1）由已知可得點A(－6,0),F(0,4)
設點P(,),則=（+6, ）,=（－4, ）,由已知可得
則2+9－18=0, =或=－6.
由于>0,只能=,于是=. ∴點P的坐標是(,)
(2) 直線AP的方程是－+6=0. 設點M(,0),則M到直線AP的距離是.
于是=,又－6≤≤6,解得=2. 橢圓上的點(,)到點M的距離有
,
由于－6≤≤6, ∴當=時,d取得最小值
點撥:本題考查了二次曲線上的動點與定點的距離范圍問題，通常轉化為二次函數值域問題.
【反饋練習】
1.如果表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數k的取值范圍是（0，1）
2.設橢圓的兩個焦點分別為F1、、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是
3.橢圓=1的焦點為F1和F2，點P在橢圓上.如果線段PF1的中點在y軸上，那么|PF1|是|PF2|的7倍
4.若橢圓的離心率,則的值為
5.．橢圓的右焦點到直線的距離為
6.與橢圓具有相同的離心率且過點（2，-）的橢圓的標準方程是或
7.橢圓上的點到直線的最大距離是
8. 已知點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點到兩焦點的距離分別為和，過點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程．
分析：討論橢圓方程的類型，根據題設求出和（或和）的值．從而求得橢圓方程．
解：設兩焦點為、，且，．
從橢圓定義知．即．
從知垂直焦點所在的對稱軸，所以在中，，
可求出，，從而．
∴所求橢圓方程為或．
第2課　橢圓B
【考點導讀】
1. 掌握橢圓的第二定義,能熟練運用兩個定義解決橢圓的有關問題;
2. 能解決橢圓有關的綜合性問題.
【基礎練習】
1.曲線與曲線的（D）
A 焦點相同 B 離心率相等 C準線相同 D 焦距相等
2.如果橢圓上的點A到右焦點的距離等于4,那么點A 到兩條準線的距離分別是
3 離心率，一條準線為的橢圓的標準方程是
【范例導析】
例1.橢圓（a>b>0）的二個焦點F1(-c，0)，F2(c，0)，M是橢圓上一點，且。
求離心率e的取值范圍.
分析:離心率與橢圓的基本量a、b、c有關，所以本題可以用基本量表示橢圓上點的坐標，再借助橢圓橢圓上點坐標的范圍建立關于基本量的不等式，從而確定離心率的范圍.
解：設點M的坐標為(x，y)，則，。由，得x2-c2+y2=0，即x2-c2=-y2。 ①
又由點M在橢圓上，得y2=b2，代入①，得x2-c2，即。
∵0≤≤，∴0≤≤，即0≤≤1，0≤≤1，解得≤≤1。
又∵0＜＜1，∵≤≤1.
例2.如圖，已知某橢圓的焦點是F1(－4，0)、F2(4，0)，過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數列.
(1)求該弦橢圓的方程；
(2)求弦AC中點的橫坐標.
分析：第一問直接可有第一定義得出基本量a，從而寫出方程；第二問涉及到焦半徑問題，可以考慮利用第二定義的得出焦半徑表達式，結合等差數列的定義解決.
解：(1)由橢圓定義及條件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3.
故橢圓方程為=1.
(2)由點B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|=.因為橢圓右準線方程為x=,離心率為，根據橢圓定義，有|F2A|=(－x1),|F2C|=(－x2)，
由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數列，得(－x1)+(－x2)=2×,由此得出：x1+x2=8.
設弦AC的中點為P(x0,y0),則x0==4.
【反饋練習】
1.在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為
2．已知F1、F2為橢圓的兩個焦點，過F1作傾斜角為的弦AB，則△F2AB的面積為
3.已知正方形，則以為焦點，且過兩點的橢圓的離心率為
4.橢圓上的點P到它的左準線的距離是10，那么點P 到它的右焦點的距離是 12
5.橢圓上不同三點，，與焦點的距離成等差數列．
求證:；
證明：由橢圓方程知，，．
由圓錐曲線的統一定義知：，∴ ．
同理 ．
∵ ，且，
∴ ，即 ．
第3課　雙曲線
【考點導讀】
1. 了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程,了解其幾何性質
2. 能用雙曲線的標準方程和幾何性質解決一些簡單的實際問題.
【基礎練習】
1.雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則
2. 方程表示雙曲線，則的范圍是
3．已知中心在原點，焦點在y軸的雙曲線的漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為
4. 已知焦點，雙曲線上的一點到的距離差的絕對值等于，則雙曲線的標準方程為
【范例導析】
例1. (1) 已知雙曲線的焦點在軸上，并且雙曲線上兩點坐標分別為，求雙曲線的標準方程;
（2）求與雙曲線共漸近線且過點的雙曲線方程及離心率．
分析：由所給條件求雙曲線的標準方程的基本步驟是：①定位,即確定雙曲線的焦點在哪軸上；②定量，即根據條件列出基本量a、b、c的方程組，解方程組求得a、b的值;③寫出方程.
解：（1）因為雙曲線的焦點在軸上，所以設所求雙曲線的標準方程為①；
∵點在雙曲線上，∴點的坐標適合方程①。
將分別代入方程①中，得方程組：
將和看著整體，解得，
∴即雙曲線的標準方程為。
點評：本題只要解得即可得到雙曲線的方程，沒有必要求出的值；在求解的過程中也可以用換元思想，可能會看的更清楚。
（2）解法一：雙曲線的漸近線方程為：
當焦點在x軸時，設所求雙曲線方程為
∵，∴ ①
∵在雙曲線上
∴ ②
由①－②，得方程組無解
當焦點在y軸時，設雙曲線方程為
∵，∴ ③
∵在雙曲線上，∴ ④
由③④得，
∴所求雙曲線方程為：且離心率
解法二：設與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為：
∵點在雙曲線上，∴
∴所求雙曲線方程為：，即．
點評：一般地，在已知漸近線方程或與已知雙曲線有相同漸近線的條件下，利用雙曲線系方程求雙曲線方程較為方便．通常是根據題設中的另一條件確定參數．
例2. 某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s. 已知各觀測點到該中心的距離都是1020m. 試確定該巨響發生的位置.(假定當時聲音傳播的速度為340m/ s :相關各點均在同一平面上)
解：如圖:
以接報中心為原點O，正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標系.設A、B、C分別是西、東、北觀測點，則A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
設P（x,y）為巨響為生點，由A、C同時聽到巨響聲，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=－x，因B點比A點晚4s聽到爆炸聲，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線上，
依題意得a=680, c=1020，
用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,
答：巨響發生在接報中心的西偏北450距中心處.
例3.雙曲線的焦距為2c，直線過點（a，0）和（0，b），且點（1，0）到直線的距離與點（－1，0）到直線的距離之和求雙曲線的離心率e的取值范圍.
解：直線的方程為，即
由點到直線的距離公式，且，得到點（1，0）到直線的距離，
同理得到點（－1，0）到直線的距離
由 即
于是得
解不等式，得 由于所以的取值范圍是
點撥：本小題主要考查點到直線距離公式，雙曲線的基本性質以及綜合運算能力.
【反饋練習】
1.雙曲線的漸近線方程為
2.已知雙曲線的離心率為，焦點是，，則雙曲線方程為
3.已知雙曲線的兩個焦點為，，P是此雙曲線上的一點，且，，則該雙曲線的方程是
4. 設P是雙曲線上一點，雙曲線的一條漸近線方程為，、分別是雙曲線左右焦點，若=3,則=7
5.與橢圓共焦點且過點的雙曲線的方程
6. （1）求中心在原點，對稱軸為坐標軸經過點且離心率為的雙曲線標準方程．
（2）求以曲線和的交點與原點的連線為漸近線，且實軸長為12的雙曲線的標準方程．
解：（1）設所求雙曲線方程為：，則，
∴，∴，∴所求雙曲線方程為
（2）∵，∴或，∴漸近線方程為
當焦點在軸上時，由且，得．
∴所求雙曲線方程為
當焦點在軸上時，由，且，得．
∴所求雙曲線方程為
7.設雙曲線的半焦距為，直線過、兩點，且原點到直線的距離為，求雙曲線的離心率．
分析：由兩點式得直線的方程，再由雙曲線中、、的關系及原點到直線的距離建立等式，從而解出的值．
解：由過兩點，，得的方程為．
由點到的距離為，得．
將代入，平方后整理，得．
令，則．解得或．
而，有．故或．
因，故，
所以應舍去．故所求離心率．
說明：此題易得出錯誤答案：或．其原因是未注意到題設條件，從而離心率．而，故應舍去．
8.已知雙曲線的中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為，且過點．
（1）求雙曲線方程；（2）若點在雙曲線上，求證：；
（3）對于（2）中的點，求的面積．
解：（1）由題意，可設雙曲線方程為，又雙曲線過點，解得
∴ 雙曲線方程為；
（2）由（1）可知，，， ∴ ，
∴ ，， ∴ ，
又點在雙曲線上， ∴ ，
∴ ， 即；
（3） ∴的面積為6．
第4課　拋物線
【考點導讀】
1.了解拋物線的定義,掌握拋物線標準方程的四種形式和拋物線的簡單幾何性質.
2.會用拋物線的標準方程和幾何性質解決簡單的實際問題.
【基礎練習】
1.焦點在直線x－2y－4=0上的拋物線的標準方程是
2.若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為
3.拋物線的焦點坐標是__(a,0)_
4.拋物線上與焦點的距離等于9的點的坐標是
5．點是拋物線上一動點，則點到點的距離與到直線的距離和的最小值
【范例導析】
例1. 給定拋物線y2=2x，設A（a，0），a＞0，P是拋物線上的一點，且｜PA｜=d，試求d的最小值．
解：設P（x0，y0）（x0≥0），則y02=2x0，
∴d=｜PA｜=
==．
∵a＞0，x0≥0，
∴（1）當0＜a＜1時，1－a＞0，
此時有x0=0時，dmin==a．
（2）當a≥1時，1－a≤0，
此時有x0=a－1時，dmin=．
例2.如圖所示，直線和相交于點M，⊥，點，以A、B為端點的曲線段C上的任一點到的距離與到點N的距離相等，若△AMN為銳角三角形，，，且，建立適當的坐標系，求曲線段C的方程．
分析：因為曲線段C上的任一點是以點N為焦點，以為準線的拋物線的一段，所以本題關鍵是建立適當坐標系，確定C所滿足的拋物線方程．
解：以為x軸，MN的中點為坐標原點O，建立直角坐標系．
由題意，曲線段C是N為焦點，以為準線的拋物線的一段，其中A、B分別為曲線段的兩端點．
∴設曲線段C滿足的拋物線方程為：其中、為A、B的橫坐標
令則，
∴由兩點間的距離公式，得方程組： 解得或
∵△AMN為銳角三角形，∴，則，
又B在曲線段C上，
則曲線段C的方程為
【反饋練習】
1.拋物線的準線方程是
2.拋物線的焦點到其準線的距離是
3.設O為坐標原點，F為拋物線的焦點，A為拋物線上的一點，若，則點A的坐標為
4.拋物線上的點到直線距離的最小值是
5.若直線l過拋物線(a>0)的焦點，并且與y軸垂直，若l被拋物線截得的線段長為4，則a=
6.某拋物線形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長的支柱的長.
解：以拱頂為原點，水平線為x軸，建立坐標系，
如圖，由題意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐標分別為(－10，－4）、(10，－4）
設拋物線方程為x2=－2py,將A點坐標代入，得100=－2p×(－4),解得p=12.5,
于是拋物線方程為x2=－25y.
由題意知E點坐標為(2，－4)，E′點橫坐標也為2，將2代入得y=－0.16,從而|EE′|=
(－0.16)－(－4)=3.84.故最長支柱長應為3.84米.
7.已知拋物線的頂點在原點，焦點F在x軸的正半軸，且過點P（2,2），過F的直線交拋物線于A，B兩點.（1）求拋物線的方程；
（2）設直線l是拋物線的準線，求證：以AB為直徑的圓與直線l相切．
分析：可設拋物線方程為．用待定系數法求得方程，對于第二問的證明只須證明，則以AB為直徑的圓，必與拋物線準線相切.
解：（1）設拋物線的方程，將（2，2）代入得∴所求拋物線方程為
（2）證明：作于于．M為AB中點，作于，則由拋物線的定義可知：
在直角梯形中：
，故以AB為直徑的圓，必與拋物線的準線相切．
點撥：類似有：以橢圓焦點弦為直徑的圓與相對應的準線相離，以雙曲線焦點弦為直徑的圓與相應的準線相交．
第5課　圓錐曲線的統一定義
【考點導讀】
1. 了解圓錐曲線的第二定義.
2. 能用第二定義解決簡單的圓錐曲線問題.
【基礎練習】
1.拋物線的焦點的坐標是, 準線方程是
2..如果雙曲線的兩個焦點分別為、，一條漸近線方程為，那么它的兩條準線間的距離是2
3.若雙曲線上的點到左準線的距離是到左焦點距離的，則=
4.點M與點F的距離比它到直線:的距離小1,則點的軌跡方程是
【范例導析】
例1.已知雙曲線的漸近線方程為，兩條準線間的距離為，求雙曲線標準方程．
分析：（可根據雙曲線方程與漸近線方程的關系，設出雙曲線方程，進而求出雙曲線標準方程．
解：∵雙曲線漸近線方程為，∴設雙曲線方程為
①若，則，
∴準線方程為：，∴，∴
②若，則，
∴準線方程為：，∴，∴
∴所求雙曲線方程為：或
點撥：求圓錐曲線方程時，一般先由條件設出所求方程，然后再根據條件列出基本的方程組解方程組得出結果.
例2.已知點，，在雙曲線上求一點，使的值最小．
解：∵，，∴，∴
設點到與焦點相應準線的距離為則
∴，∴
至此，將問題轉化成在雙曲線上求一點，
使到定點的距離與到準線距離和最小．
即到定點的距離與準線距離和最小為直線垂直于準線時，
解之得，點．
點撥：靈活巧妙地運用雙曲線的比值定義于解題中，將會帶給我們意想不到的方便和簡單．教學中應著重培養學生靈活運用知識的能力．
【反饋練習】
1.若雙曲線上的點到左準線的距離是到左焦點距離的，則
2.在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為
3.已知雙曲線的一條準線為，則該雙曲線的離心率為
4　雙曲線右支點上的一點P到右焦點的距離為2，則P點到左準線的距離為 8
第6課　圓錐曲線綜合
【考點導讀】
1. 在理解和掌握圓錐曲線的定義和簡單幾何性質的基礎上,把握有關圓錐曲線的知識內在聯系,靈活地運用解析幾何的常用方法解決問題.
2. 通過問題的解決,理解函數與方程、等價轉化、數形結合、分類討論等數學思想.
3. 能夠抓住實際問題的本質建立圓錐曲線的數學模型,實現實際問題向數學問題的轉化,并運用圓錐曲線知識解決實際問題.
【基礎練習】
1. 給出下列四個結論：
①當a為任意實數時，直線恒過定點P，則過點P且焦點在y軸上的拋物線的標準方程是；
②已知雙曲線的右焦點為（5，0），一條漸近線方程為，則雙曲線的標準方程是；
③拋物線；
④已知雙曲線，其離心率，則m的取值范圍是（－12，0）。
其中所有正確結論的個數是4
2.設雙曲線以橢圓長軸的兩個端點為焦點，其準線過橢圓的焦點，則雙曲線的漸近線的斜率為
3.如果橢圓的弦被點(4，2)平分，則這條弦所在的直線方程是
【范例導析】
例1. 已知拋物線的焦點為F，A、B是熱線上的兩動點，且過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M。
（I）證明為定值；
（II）設的面積為S，寫出的表達式，并求S的最小值。
解：（1）F點的坐標為(0,1)設A點的坐標為 B點的坐標為
由可得
因此
過A點的切線方程為 (1)
過B點的切線方程為 (2)
解(1)( 2)構成的方程組可得點M的坐標,從而得到=0 即為定值
（2）=0可得三角形面積
所以
當且僅當時取等號
點撥：本題主要考察共線向量的關系,曲線的切線方程,直線的交點以及向量的數量積等知識點
涉及均值不等式,計算較復雜.難度很大
【反饋練習】
1.已知雙曲線的中心在原點，離心率為.若它的一條準線與拋物線的準線重合，則該雙曲線與拋物線的交點到原點的距離是
2.設分別是雙曲線的左、右焦點．若點在雙曲線上，且，則
3.設P是橢圓上一點，、 是橢圓的兩個焦點，則的最小值是
4.已知以F1（2,0），F2（2,0）為焦點的橢圓與直線有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為
5. 雙曲線C與橢圓的焦點相同，離心率互為倒數，則雙曲線C的漸近線的方程是
6.已知橢圓與雙曲線在第一象限內的交點為，則點到橢圓右焦點的距離等于__2 _
7.如圖，點A是橢圓C：的短軸位于x軸下方的端點，過A作斜率為1的直線交橢圓于B點，點P在y軸上，且BP∥x軸，＝9,若點P的坐標為(0，1)，求橢圓C的方程.
8.在平面直角坐標系中，已知圓心在第二象限、半徑為的圓與直線相切于坐標原點．橢圓與圓的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為．求圓的方程.
解：設圓心坐標為(m，n)（m<0，n>0）,則該圓的方程為(x-m)2+(y-n)2=8已知該圓與直線y=x相切，那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則
=2
即=4 ①
又圓與直線切于原點，將點(0，0)代入得
m2+n2=8 ②
聯立方程①和②組成方程組解得
故圓的方程為(x+2)2+(y-2)2=8
9.已知動圓過定點，且與直線相切，其中,求動圓圓心的軌跡的方程.
解：如圖，設為動圓圓心，為記為，過點作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動點到定點與定直線的距離相等
由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準線
所以軌跡方程為；
定義
標準方程
橢圓
幾何性質
標準方程
定義
幾何性質
圓錐曲線
圓錐曲線應用
雙曲線
標準方程
定義
拋物線
幾何性質
例2
y
x
o
A
B
C
P
例2
例2
第6題
第9題2013高中數學精講精練 第二章 函數
【知識導讀】
【方法點撥】
函數是中學數學中最重要，最基礎的內容之一，是學習高等數學的基礎．高中函數以具體的冪函數，指數函數，對數函數和三角函數的概念，性質和圖像為主要研究對象，適當研究分段函數，含絕對值的函數和抽象函數；同時要對初中所學二次函數作深入理解．
1.活用“定義法”解題．定義是一切法則與性質的基礎，是解題的基本出發點．利用定義，可直接判斷所給的對應是否滿足函數的條件，證明或判斷函數的單調性和奇偶性等．
2.重視“數形結合思想”滲透．“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”．當你所研究的問題較為抽象時，當你的思維陷入困境時，當你對雜亂無章的條件感到頭緒混亂時，一個很好的建議：畫個圖像！利用圖形的直觀性，可迅速地破解問題，乃至最終解決問題．
3.強化“分類討論思想”應用．分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法．進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”．
4.掌握“函數與方程思想”．函數與方程思想是最重要，最基本的數學思想方法之一，它在整個高中數學中的地位與作用很高．函數的思想包括運用函數的概念和性質去分析問題，轉化問題和解決問題．
第1課 函數的概念
【考點導讀】
1.在體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型的基礎上，通過集合與對應的語言刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用；了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域．
2.準確理解函數的概念，能根據函數的三要素判斷兩個函數是否為同一函數．
【基礎練習】
1．設有函數組：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中表示同一個函數的有___②④⑤___．
2.設集合，，從到有四種對應如圖所示：
其中能表示為到的函數關系的有_____②③____．
3.寫出下列函數定義域：
(1) 的定義域為______________； (2) 的定義域為______________；
(3) 的定義域為______________； (4) 的定義域為_________________．
4．已知三個函數:(1)； (2)； (3)．寫出使各函數式有意義時，，的約束條件：
(1)______________________； (2)______________________； (3)______________________________．
5.寫出下列函數值域：
(1) ，；值域是．
(2) ； 值域是．
(3) ，． 值域是．
【范例解析】
例1.設有函數組：①，；②，；
③，；④，．其中表示同一個函數的有③④．
分析：判斷兩個函數是否為同一函數，關鍵看函數的三要素是否相同．
解：在①中，的定義域為，的定義域為，故不是同一函數；在②中，的定義域為，的定義域為，故不是同一函數；③④是同一函數．
點評：兩個函數當它們的三要素完全相同時，才能表示同一函數．而當一個函數定義域和對應法則確定時，它的值域也就確定，故判斷兩個函數是否為同一函數，只需判斷它的定義域和對應法則是否相同即可．
例2.求下列函數的定義域：① ； ② ；
解：（1）① 由題意得：解得且或且，
故定義域為．
② 由題意得：，解得，故定義域為．
例3.求下列函數的值域：
（1），；
（2）；
（3）．
分析：運用配方法，逆求法，換元法等方法求函數值域．
（1） 解：，，函數的值域為；
（2） 解法一：由，，則，，故函數值域為．
解法二：由，則，，，，故函數值域為．
（3）解：令，則，，
當時，，故函數值域為．
點評：二次函數或二次函數型的函數求值域可用配方法；逆求法利用函數有界性求函數的值域；用換元法求函數的值域應注意新元的取值范圍．
【反饋演練】
1．函數f(x)＝的定義域是___________．
2．函數的定義域為_________________．
3. 函數的值域為________________．
4. 函數的值域為_____________．
5．函數的定義域為_____________________．
6.記函數f(x)=的定義域為A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定義域為B．
(1) 求A；
(2) 若BA，求實數a的取值范圍．
解：(1)由2－≥0，得≥0，x<－1或x≥1， 即A=(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ．
(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0．
∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a，a+1) ．
∵BA， ∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥或a≤－2，而a<1，
∴≤a<1或a≤－2，故當BA時， 實數a的取值范圍是(－∞,－2]∪[,1)．
第2課 函數的表示方法
【考點導讀】
1.會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖像法，列表法，解析法）表示函數．
2.求解析式一般有四種情況：（1）根據某個實際問題須建立一種函數關系式；（2）給出函數特征，利用待定系數法求解析式；（3）換元法求解析式；（4）解方程組法求解析式．
【基礎練習】
1.設函數，，則_________；__________．
2.設函數，,則_____3_______；；．
3.已知函數是一次函數，且，,則__15___．
4.設f(x)＝，則f[f()]＝_____________．
5.如圖所示的圖象所表示的函數解析式為__________________________．
【范例解析】
例1.已知二次函數的最小值等于4，且，求的解析式．
分析：給出函數特征，可用待定系數法求解．
解法一：設，則解得
故所求的解析式為．
解法二：，拋物線有對稱軸．故可設．
將點代入解得．故所求的解析式為．
解法三：設，由，知有兩個根0，2，
可設，，
將點代入解得．故所求的解析式為．
點評：三種解法均是待定系數法，也是求二次函數解析式常用的三種形式：一般式，頂點式，零點式．
例2.甲同學家到乙同學家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km，甲10時出發前往乙家．如圖，表示甲從出發到乙家為止經過的路程y（km）與時間x（分）的關系．試寫出的函數解析式．
分析：理解題意，根據圖像待定系數法求解析式．
解：當時，直線方程為，當時，直線方程為，
點評：建立函數的解析式是解決實際問題的關鍵，把題中文字語言描述的數學關系用數學符號語言表達．要注意求出解析式后，一定要寫出其定義域．
【反饋演練】
1．若，，則（ D ）
　　Ａ． 　　　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　Ｄ．
2．已知，且，則m等于________．
3. 已知函數f(x)和g(x)的圖象關于原點對稱，且f(x)＝x2＋2x．求函數g(x)的解析式．
解：設函數的圖象上任意一點關于原點的對稱點為，
則
∵點在函數的圖象上
∴．
第3課 函數的單調性
【考點導讀】
1.理解函數單調性，最大（小）值及其幾何意義；
2.會運用單調性的定義判斷或證明一些函數的增減性．
【基礎練習】
1.下列函數中：
①； ②； ③； ④．
其中，在區間(0，2)上是遞增函數的序號有___②___．
2.函數的遞增區間是___ R ___．
3.函數的遞減區間是__________．
4.已知函數在定義域R上是單調減函數，且，則實數a的取值范圍__________．
5.已知下列命題：
①定義在上的函數滿足，則函數是上的增函數；
②定義在上的函數滿足，則函數在上不是減函數；
③定義在上的函數在區間上是增函數，在區間上也是增函數，則函數在上是增函數；
④定義在上的函數在區間上是增函數，在區間上也是增函數，則函數在上是增函數．
其中正確命題的序號有_____②______．
【范例解析】
例 . 求證：（1）函數在區間上是單調遞增函數；
（2）函數在區間和上都是單調遞增函數．
分析：利用單調性的定義證明函數的單調性，注意符號的確定．
證明：（1）對于區間內的任意兩個值，，且，
因為
，
又，則，，得，
故，即，即．
所以，函數在區間上是單調增函數．
（2）對于區間內的任意兩個值，，且，
因為，
又，則，，得，
故，即，即．
所以，函數在區間上是單調增函數．
同理，對于區間，函數是單調增函數；
所以，函數在區間和上都是單調增函數．
點評：利用單調性定義證明函數的單調性，一般分三步驟：（1）在給定區間內任意取兩值，；（2）作差，化成因式的乘積并判斷符號；（3）給出結論．
例2.確定函數的單調性．
分析：作差后，符號的確定是關鍵．
解：由，得定義域為．對于區間內的任意兩個值，，且，
則
又，，
，即．
所以，在區間上是增函數．
點評：運用有理化可以對含根號的式子進行符號的確定．
【反饋演練】
1．已知函數，則該函數在上單調遞__減__，（填“增”“減”）值域為_________．
2．已知函數在上是減函數，在上是增函數，則__25___.
3. 函數的單調遞增區間為.
4. 函數的單調遞減區間為．
5. 已知函數在區間上是增函數，求實數a的取值范圍．
解：設對于區間內的任意兩個值，，且，
則，
，，得，，，即．
第4課 函數的奇偶性
【考點導讀】
1.了解函數奇偶性的含義，能利用定義判斷一些簡單函數的奇偶性；
2.定義域對奇偶性的影響：定義域關于原點對稱是函數為奇函數或偶函數的必要但不充分條件；不具備上述對稱性的，既不是奇函數，也不是偶函數．
【基礎練習】
1.給出4個函數：①；②；③；④．
其中奇函數的有___①④___；偶函數的有____②____；既不是奇函數也不是偶函數的有____③____．
2. 設函數為奇函數，則實數 －1 ．
3.下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是減函數的是（ A ）
A. B. C. D.
【范例解析】
例1.判斷下列函數的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）
分析：判斷函數的奇偶性，先看定義域是否關于原點對稱，再利用定義判斷．
解：（1）定義域為，關于原點對稱；,
所以為偶函數．
（2）定義域為，關于原點對稱；，
，故為奇函數．
（3）定義域為，關于原點對稱；，且，
所以既為奇函數又為偶函數．
（4）定義域為，不關于原點對稱；故既不是奇函數也不是偶函數．
（5）定義域為，關于原點對稱；，，則且，故既不是奇函數也不是偶函數．
（6）定義域為，關于原點對稱；
，又，
，故為奇函數．
點評：判斷函數的奇偶性，應首先注意其定義域是否關于原點對稱；其次，利用定義即或判斷，注意定義的等價形式或．
例2. 已知定義在上的函數是奇函數，且當時，，求函數的解析式，并指出它的單調區間．
分析：奇函數若在原點有定義，則．
解：設，則，．
又是奇函數，，．
當時，．
綜上，的解析式為．
作出的圖像，可得增區間為，，減區間為，．
點評：（1）求解析式時的情況不能漏；（2）兩個單調區間之間一般不用“”連接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通過“”實現轉化；（4）根據圖像寫單調區間．
【反饋演練】
1．已知定義域為R的函數在區間上為減函數，且函數為偶函數，則（ D ）
A． B． C． D．
2. 在上定義的函數是偶函數，且，若在區間是減函數，則函數（ B ）
A.在區間上是增函數，區間上是增函數
B.在區間上是增函數，區間上是減函數
C.在區間上是減函數，區間上是增函數
D.在區間上是減函數，區間上是減函數
3. 設，則使函數的定義域為R且為奇函數的所有的值為____1，3 ___．
4．設函數為奇函數，則________．
5．若函數是定義在R上的偶函數，在上是減函數，且，則使得的x的取
值范圍是（－2，2）．
6. 已知函數是奇函數．又，,求a，b，c的值；
解：由，得，得．又，得，
而，得，解得．又，或1．
若，則，應舍去；若，則．
所以，．
綜上，可知的值域為．
第5 課 函數的圖像
【考點導讀】
1.掌握基本初等函數的圖像特征，學會運用函數的圖像理解和研究函數的性質；
2.掌握畫圖像的基本方法：描點法和圖像變換法．
【基礎練習】
1.根據下列各函數式的變換，在箭頭上填寫對應函數圖像的變換：
（1） ；
（2） ．
2.作出下列各個函數圖像的示意圖：
（1）； （2）； （3）．
解：（1）將的圖像向下平移1個單位，可得的圖像．圖略；
（2）將的圖像向右平移2個單位，可得的圖像．圖略；
（3）由，將的圖像先向右平移1個單位，得的圖像，再向下平移1個單位，可得的圖像．如下圖所示：
3.作出下列各個函數圖像的示意圖：
（1）； （2）； （3）； （4）．
解：（1）作的圖像關于y軸的對稱圖像，如圖1所示；
（2）作的圖像關于x軸的對稱圖像，如圖2所示；
（3）作的圖像及它關于y軸的對稱圖像，如圖3所示；
（4）作的圖像，并將x軸下方的部分翻折到x軸上方，如圖4所示．
4. 函數的圖象是 （ B ）
【范例解析】
例1.作出函數及，，，，的圖像．
分析：根據圖像變換得到相應函數的圖像．
解：與的圖像關于y軸對稱；
與的圖像關于x軸對稱；
將的圖像向左平移2個單位得到的圖像；
保留的圖像在x軸上方的部分，將x軸下方的部分關于x軸翻折上去，并去掉原下方的部分；
將的圖像在y軸右邊的部分沿y軸翻折到y軸的左邊部分替代原y軸左邊部分，并保留在y軸右邊部分．圖略．
點評：圖像變換的類型主要有平移變換，對稱變換兩種．平移變換：左“+”右“－”，上“+”下“－”；對稱變換：與的圖像關于y軸對稱；
與的圖像關于x軸對稱；與的圖像關于原點對稱；
保留的圖像在x軸上方的部分，將x軸下方的部分關于x軸翻折上去，并去掉原下方的部分；
將的圖像在y軸右邊的部分沿y軸翻折到y軸的左邊部分替代原y軸左邊部分，并保留在y軸右邊部分．
例2.設函數.
（1）在區間上畫出函數的圖像；
（2）設集合. 試判斷集合和之間的關系，并給出證明.
分析：根據圖像變換得到的圖像，第（3）問實質是恒成立問題．
解：（1）
（2）方程的解分別是和，由于在和上單調遞減，在和上單調遞增，因此.
由于.
【反饋演練】
1．函數的圖象是（ B ）
2. 為了得到函數的圖象，可以把函數的圖象向右平移1個單位長度得到．
3．已知函數的圖象有公共點A，且點A的橫坐標為2，則=．
4．設f(x)是定義在R上的奇函數，且y=f (x)的圖象關于直線對稱，則
f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ ．
5. 作出下列函數的簡圖：
（1）； （2）； （3）．
第6課 二次函數
【考點導讀】
1.理解二次函數的概念，掌握二次函數的圖像和性質；
2.能結合二次函數的圖像判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，從而了解函數的零點與方程根的聯系．
【基礎練習】
1. 已知二次函數,則其圖像的開口向__上__；對稱軸方程為；頂點坐標為 ，與軸的交點坐標為，最小值為．
2. 二次函數的圖像的對稱軸為,則__－2___，頂點坐標為，遞增區間為，遞減區間為．
3. 函數的零點為．
4. 實系數方程兩實根異號的充要條件為；有兩正根的充要條件為；有兩負根的充要條件為．
5. 已知函數在區間上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是__________．
【范例解析】
例1.設為實數，函數，．
（1）討論的奇偶性；
（2）若時，求的最小值．
分析：去絕對值．
解：（1）當時，函數
此時，為偶函數．
當時，，，
，．
此時既不是奇函數，也不是偶函數．
（2）
由于在上的最小值為，在內的最小值為．
故函數在內的最小值為．
點評：注意分類討論；分段函數求最值，先求每個區間上的函數最值，再確定最值中的最值．
例2.函數在區間的最大值記為，求的表達式．
分析：二次函數在給定區間上求最值，重點研究其在所給區間上的單調性情況．
解：∵直線是拋物線的對稱軸，∴可分以下幾種情況進行討論：
（1）當時，函數，的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由知在上單調遞增，故；
（2）當時，，，有=2；
（3）當時，，函數，的圖象是開口向下的拋物線的一段，
若即時，，
若即時，，
若即時，．
綜上所述，有=．
點評：解答本題應注意兩點：一是對時不能遺漏；二是對時的分類討論中應同時考察拋物線的開口方向，對稱軸的位置及在區間上的單調性．
【反饋演練】
1．函數是單調函數的充要條件是．
2．已知二次函數的圖像頂點為，且圖像在軸上截得的線段長為8，則此二次函數的解析式為．
3. 設，二次函數的圖象為下列四圖之一：
則a的值為 （ B ）
A．1 B．－1 C． D．
4．若不等式對于一切成立，則a的取值范圍是．
5.若關于x的方程在有解，則實數m的取值范圍是．
6.已知函數在有最小值，記作．
（1）求的表達式；
（2）求的最大值．
解：（1）由知對稱軸方程為，
當時，即時，；
當，即時，；
當，即時，；
綜上，．
（2）當時，；當時，；當時，．故當時，的最大值為3．
7. 分別根據下列條件,求實數a的值：
（1）函數在在上有最大值2；
（2）函數在在上有最大值4．
解：（1）當時，，令，則；
當時，，令，（舍）；
當時，，即．
綜上，可得或．
（2）當時，，即，則；
當時，，即，則．
綜上，或．
8. 已知函數．
（1）對任意，比較與的大小；
（2）若時，有，求實數a的取值范圍．
解：（1）對任意，，
故．
（2）又，得，即，
得，解得．
第7課 指數式與對數式
【考點導讀】
1.理解分數指數冪的概念，掌握分數指數冪的運算性質；
2.理解對數的概念，掌握對數的運算性質；
3.能運用指數，對數的運算性質進行化簡，求值，證明，并注意公式成立的前提條件；
4.通過指數式與對數式的互化以及不同底的對數運算化為同底對數運算．
【基礎練習】
1.寫出下列各式的值：
； ____4____； ；
___0_____； ____1____； __－4__．
2.化簡下列各式：
（1）；
（2）．
3.求值：（1）___－38____；
（2）____1____；
（3）_____3____．
【范例解析】
例1. 化簡求值：
（1）若，求及的值；
（2）若，求的值．
分析：先化簡再求值．
解：（1）由，得，故；
又，；，故．
（2）由得；則．
點評：解條件求值問題：（1）將已知條件適當變形后使用；（2）先化簡再代入求值．
例2.（1）求值：；
（2）已知，，求．
分析：化為同底．
解：（1）原式=；
（2）由，得；所以．
點評：在對數的求值過程中，應注意將對數化為同底的對數．
例3. 已知，且，求c的值．
分析：將a，b都用c表示．
解：由，得，；又，則，
得．，．
點評：三個方程三個未知數，消元法求解．
【反饋演練】
1．若，則．
2．設，則．
3．已知函數，若，則－b．
4．設函數若，則x0的取值范圍是（－∞，－1）∪（1，+∞）．
5．設已知f (x6) = log2x，那么f (8)等于．
6．若，，則k =__－1__．
7．已知函數，且．
（1）求實數c的值；
（2）解不等式．
解：（1）因為，所以，
由，即，．
（2）由（1）得：
由得，當時，解得．
當時，解得，
所以的解集為．
第8課 冪函數、指數函數及其性質
【考點導讀】
1.了解冪函數的概念，結合函數，，，，的圖像了解它們的變化情況；
2.理解指數函數的概念和意義，能畫出具體指數函數的圖像，探索并理解指數函數的單調性；
3.在解決實際問題的過程中，體會指數函數是一類重要的函數模型．
【基礎練習】
1.指數函數是R上的單調減函數，則實數a的取值范圍是．
2.把函數的圖像分別沿x軸方向向左，沿y軸方向向下平移2個單位，得到的圖像，則．
3.函數的定義域為___R__；單調遞增區間；值域．
4.已知函數是奇函數，則實數a的取值．
5.要使的圖像不經過第一象限，則實數m的取值范圍．
6.已知函數過定點，則此定點坐標為．
【范例解析】
例1.比較各組值的大小：
（1），，，；
（2），，，其中；
（3），．
分析：同指不同底利用冪函數的單調性，同底不同指利用指數函數的單調性．
解：（1），而，
．
（2）且，．
（3）．
點評：比較同指不同底可利用冪函數的單調性，同底不同指可利用指數函數的單調性；另注意通過0，1等數進行間接分類．
例2.已知定義域為的函數是奇函數,求的值；
解：因為是奇函數，所以=0，即
又由f（1）= －f（－1）知
例3.已知函數，求證：
（1）函數在上是增函數；
（2）方程沒有負根．
分析：注意反證法的運用．
證明：（1）設，，
，，又，所以，，，則
故函數在上是增函數．
（2）設存在，滿足，則．又，
即，與假設矛盾，故方程沒有負根．
點評：本題主要考察指數函數的單調性，函數和方程的內在聯系．
【反饋演練】
1．函數對于任意的實數都有（ C ）
A． B．
C． D．
2．設，則（ A ）
A．－23．將y=2x的圖像 ( D ) 再作關于直線y=x對稱的圖像，可得到函數的圖像．
A．先向左平行移動1個單位 B．先向右平行移動1個單位
C．先向上平行移動1個單位 D． 先向下平行移動1個單位
4．函數的圖象如圖，其中a、b為常數，則下列結論正確的是（ C ）
A． B．
C． D．
5．函數在上的最大值與最小值的和為3，則的值為___2__．
6．若關于x的方程有實數根，求實數m的取值范圍．
解：由得，，
7．已知函數．
（1）判斷的奇偶性；
（2）若在R上是單調遞增函數，求實數a的取值范圍．
解：（1）定義域為R，則，故是奇函數．
（2）設，，
當時，得，即；
當時，得，即；
綜上，實數a的取值范圍是．
第9課 對數函數及其性質
【考點導讀】
1.理解對數函數的概念和意義，能畫出具體對數函數的圖像，探索并理解對數函數的單調性；
2.在解決實際問題的過程中，體會對數函數是一類重要的函數模型；
3.熟練運用分類討論思想解決指數函數，對數函數的單調性問題．
【基礎練習】
1. 函數的單調遞增區間是．
2. 函數的單調減區間是．
【范例解析】
例1. （1）已知在是減函數，則實數的取值范圍是_________．
（2）設函數，給出下列命題：
①有最小值； ②當時，的值域為；
③當時，的定義域為；
④若在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是．
則其中正確命題的序號是_____________．
分析：注意定義域，真數大于零．
解：（1），在上遞減，要使在是減函數，則；又在上要大于零，即，即；綜上，．
（2）①有無最小值與a的取值有關；②當時，，成立；
③當時，若的定義域為，則恒成立，即，即成立；④若在區間上單調遞增，則解得，不成立．
點評：解決對數函數有關問題首先要考慮定義域，并能結合對數函數圖像分析解決．
例3.已知函數，求函數的定義域，并討論它的奇偶性和單調性.
分析：利用定義證明復合函數的單調性．
解：x須滿足所以函數的定義域為（－1，0）∪（0，1）.
因為函數的定義域關于原點對稱，且對定義域內的任意x，有
，所以是奇函數.
研究在（0，1）內的單調性，任取x1、x2∈（0，1），且設x1得>0，即在（0，1）內單調遞減，
由于是奇函數，所以在（－1，0）內單調遞減.
點評：本題重點考察復合函數單調性的判斷及證明，運用函數性質解決問題的能力．
【反饋演練】
1．給出下列四個數：①；②；③；④.其中值最大的序號是___④___.
2．設函數的圖像過點，，則等于___5_ _．
3．函數的圖象恒過定點，則定點的坐標是．
4．函數上的最大值和最小值之和為a，則a的值為．
5．函數的圖象和函數的圖象的交點個數有___3___個.
6．下列四個函數：①； ②；③；
④.其中，函數圖像只能是如圖所示的序號為___②___.
7．求函數,的最大值和最小值．
解：
令，，則，
即求函數在上的最大值和最小值．
故函數的最大值為0，最小值為．
8．已知函數．
（1）求的定義域；（2）判斷的奇偶性；（3）討論的單調性，并證明．
解：（1）解：由 ，故的定義域為．
（2），故為奇函數．
（3）證明：設，則，
．
當時，，故在上為減函數；同理在上也為減函數；
當時，，故在，上為增函數．
第10課 函數與方程
【考點導讀】
1.能利用二次函數的圖像與判別式的正負，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，了解函數零點與方程根的聯系．
2.能借助計算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的實質．
3.體驗并理解函數與方程的相互轉化的數學思想方法．
【基礎練習】
1.函數在區間有_____1 ___個零點．
2.已知函數的圖像是連續的，且與有如下的對應值表：
1 2 3 4 5 6
－2.3 3.4 0 －1.3 －3.4 3.4
則在區間上的零點至少有___3__個．
【范例解析】
例1.是定義在區間[－c，c]上的奇函數，其圖象如圖所示：令，
則下列關于函數的結論：
①若a<0，則函數的圖象關于原點對稱；
②若a=－1，－2③若a≠0，，則方程=0有兩個實根；
④若，，則方程=0有三個實根．
其中，正確的結論有___________．
分析：利用圖像將函數與方程進行互化．
解：當且時，是非奇非偶函數，①不正確；當，時，是奇函數，關于原點對稱，③不正確；當，時，，由圖知，當時，才有三個實數根，故④不正確；故選②．
點評：本題重點考察函數與方程思想，突出考察分析和觀察能力；題中只給了圖像特征，因此，應用其圖，察其形，舍其次，抓其本．
例2.設，若，，．
求證：（1）且；
（2）方程在內有兩個實根．
分析：利用，，進行消元代換．
證明：（1），，由，得，代入得：
，即，且，即，即證．
（2），又，．則兩根分別在區間，內，得證．
點評：在證明第（2）問時，應充分運用二分法求方程解的方法，選取的中點來考察的正負是首選目標，如不能實現，則應在區間內選取其它的值．本題也可選，也可利用根的分布來做．
【反饋演練】
1． 設，為常數．若存在，使得，則實數a的取值范圍是 ．
2．設函數若，，則關于x的方程解的個數為 （ C ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知，且方程無實數根，下列命題：
①方程也一定沒有實數根；②若，則不等式對一切實數都成立；
③若，則必存在實數，使
④若，則不等式對一切實數都成立．
其中正確命題的序號是 ①②④ ．
4．設二次函數，方程的兩根和滿足．求實數的取值范圍．
解：令，
則由題意可得．
故所求實數的取值范圍是．
5．已知函數是偶函數,求k的值；
解： 是偶函數，
由于此式對于一切恒成立，
6．已知二次函數．若a>b>c，　且f（1）=0，證明f（x）的圖象與x軸有2個交點.
證明：
的圖象與x軸有兩個交點.
第11課 函數模型及其應用
【考點導讀】
1.能根據實際問題的情境建立函數模型，結合對函數性質的研究，給出問題的解答．
2.理解數據擬合是用來對事物的發展規律進行估計的一種方法，會根據條件借助計算工具解決一些簡單的實際問題．
3.培養學生數學地分析問題，探索問題，解決問題的能力．
【基礎練習】
1今有一組實驗數據如下：
1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
1.5 4.04 7.5 12 18.01
現準備用下列函數中的一個近似地表示這些數據滿足的規律，
① ② ③ ④
其中最接近的一個的序號是______③_______．
2.某摩托車生產企業，上年度生產摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛.本年度為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0 < x < 1)，則出廠價相應的提高比例為0.75x，同時預計年銷售量增加的比例為0.6x.已知年利潤 = (出廠價－投入成本)×年銷售量.
(Ⅰ)寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式；
(Ⅱ)為使本年度的年利潤比上年有所增加，問投入成本增加的比例x應在什么范圍內？
解：（Ⅰ）由題意得y = [ 1.2×(1+0.75x)－1×(1 + x) ] ×1000×( 1+0.6x )（0 < x < 1）
整理得 y = －60x2 + 20x + 200（0 < x < 1）.
（Ⅱ）要保證本年度的利潤比上年度有所增加，當且僅當
即 解不等式得.
答：為保證本年度的年利潤比上年度有所增加，投入成本增加的比例x應滿足0 < x < 0.33.
【范例解析】
例. 某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內，西紅柿市場售價與上市時間的關系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖二的拋物線段表示．
(Ⅰ)寫出圖一表示的市場售價與時間的函數關系式p=f(t)；寫出圖二表示的種植成本與時間的函數關系式Q=g(t)；
(Ⅱ)認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？
(注：市場售價和種植成本的單位：元/102kg，時間單位：天)
解：(Ⅰ)由圖一可得市場售價與時間的函數關系為
由圖二可得種植成本與時間的函數關系為
g(t)= (t－150)2+100，0≤t≤300．
(Ⅱ)設t時刻的純收益為h(t)，則由題意得
h(t)=f(t)－g(t)，
即
當0≤t≤200時，配方整理得
h(t)=－(t－50)2+100，
所以，當t=50時，h(t)取得區間[0，200]上的最大值100；
當200所以，當t=300時，h(t)取得區間（200，300]上的最大值87.5．
綜上:由100>87.5可知，h(t)在區間[0，300]上可以取得最大值100，此時t=50，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大
【反饋演練】
1．把長為12cm的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，則這兩個正三角形面積之和的最小值是___________．
2．某地高山上溫度從山腳起每升高100m降低0.7℃，已知山頂的溫度是14.1℃，山腳的溫度是26℃，則此山的高度為_____17_____m．
3．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤（單位：萬元）分別為L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2 x，其中x為銷售量（單位：輛）.若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為____45.6___萬元．
4．某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x，y(單位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架圍成的總面積8cm2. 問x、y分別為多少時用料最省
解：由題意得 xy+x2=8，∴y==(0則框架用料長度為l=2x+2y+2()=(+)x+≥4.
當(+)x=,即x=8－4時等號成立.
此時，x=8－4，，
故當x為8－4m，y為m時，用料最省.
映射
特殊化
函數
具體化
一般化
概念
圖像
表 示 方 法
定義域 值域
單調性 奇偶性
基本初等函數Ⅰ
冪函數
指數函數
對數函數
二次函數
指數
對數
互 逆
函數與方程
應用問題
y
1
2
2
x
O
②
1
2
2
x
y
O
①
1
2
2
x
O
③
y
1
2
2
x
O
④
y
且且
第5題
(0≤x≤2)
x
y
O
1
2
3
4
10
20
30
40
50
60
例2
向上平移3個單位
向右平移1個單位
向右平移3個單位
作關于y軸對稱的圖形
O
y
x
1
－1
－1
O
y
x
圖1
－1
O
y
x
圖2
－1
O
y
x
圖4
－1
O
y
x
圖3
1
A
1
x
y
O
B
1
x
y
O
C
1
x
y
O
D
1
x
y
O
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
O
y
1
1
B．
x
O
y
x
1
1
A．
O
y
－1
1
D．
x
O
y
x
－1
1
C．
1
O
－1
1
x
y
第4題
第6題
第4題
x
y2013高中數學精講精練 第七章 立體幾何初步
【知識圖解】
【方法點撥】
立體幾何研究的是現實空間，認識空間圖形，可以培養學生的空間想象能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力。空間的元素是點、線、面、體，對于線線、線面、面面的位置關系著重研究它們之間的平行與垂直關系，幾何體著重研究棱柱、棱錐和球。在復習時我們要以下幾點：
1．注意提高空間想象能力。在復習過程中要注意：將文字語言轉化為圖形，并明確已知元素之間的位置關系及度量關系；借助圖形來反映并思考未知的空間形狀與位置關系；能從復雜圖形中邏輯的分析出基本圖形和位置關系，并借助直觀感覺展開聯想與猜想，進行推理與計算。
2．歸納總結，分門別類。從知識上可以分為：平面的基本性質、線線、線面、面面的平行與垂直、空間中角與距離的計算。
3．抓主線，攻重點。針對一些重點內容加以訓練，平行和垂直是位置關系的核心，而線面垂直又是核心的核心，角與距離的計算已經降低要求。
4．復習中要加強數學思想方法的總結與提煉。立體幾何中蘊含著豐富的思想方法，如：將空間問題轉化成平面圖形來解決、線線、線面與面面關系的相互轉化、空間位置關系的判斷及角與距離的求解轉化成空間向量的運算。
第1課 空間幾何體
【考點導讀】
1．觀察認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構；
2．能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二側法畫出它們的直觀圖；
3．通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式；
4.了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式。
【基礎練習】
1．一個凸多面體有8個頂點，①如果它是棱錐，那么它有 14 條棱， 8 個面；②如果它是棱柱，那么它有 12 條棱 6 個面。
2.（1）如圖，在正四面體A－BCD中，E、F、G分別是三角形ADC、ABD、BCD的中心，則△EFG在該正四面體各個面上的射影所有可能的序號是 ③④ 。
（2）如圖，E、F分別為正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是圖的 ②③ （要求：把可能的圖的序號都填上）.
【范例導析】
例1．下列命題中，假命題是 （1）（3） 。（選出所有可能的答案）
（1）有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形的多面體是棱柱
（2）四棱錐的四個側面都可以是直角三角形
（3）有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺
（4）若一個幾何體的三視圖都是矩形，則這個幾何體是長方體
分析：準確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結構特征是解決概念題的關鍵。
（1）中將兩個斜棱柱對接在一起就是反例。（3）中是不是棱臺還要看側棱的延長線是否交于一點。
例2．是正△ABC的斜二測畫法的水平放置圖形的直觀圖，若的面積為，那么△ABC的面積為_______________。
解析：。
點評：該題屬于斜二測畫法的應用，解題的關鍵在于建立實物圖元素與直觀圖元素之間的對應關系。特別底和高的對應關系。
例3．（1）畫出下列幾何體的三視圖
（2）某物體的三視圖如下，試判斷該幾何體的形狀
分析：三視圖是從三個不同的方向看同一物體得到的三個視圖。
解析：（1）這兩個幾何體的三視圖分別如下：
（2）該幾何體為一個正四棱錐。
點評：畫三視圖之前，應把幾何體的結構弄清楚，選擇一個合適的主視方向。一般先畫主視圖，其次畫俯視圖，最后畫左視圖。畫的時候把輪廓線要畫出來，被遮住的輪廓線要畫成虛線。物體上每一組成部分的三視圖都應符合三條投射規律。主視圖反映物體的主要形狀特征，主要體現物體的長和高，不反映物體的寬。而俯視圖和主視圖共同反映物體的長要相等。左視圖和 俯視圖共同反映物體的寬要相等。據此就不難得出該幾何體的形狀。
【反饋演練】
1．一個圓柱的側面積展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側面積的比是。
2．如圖，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個半徑為r的實心鐵球，水面高度恰好升高r，則=。
解析：水面高度升高r，則圓柱體積增加πR2·r。恰好是半徑為r的實心鐵球的體積，因此有πr3=πR2r。故。答案為。
點評：本題主要考查旋轉體的基礎知識以及計算能力和分析、解決問題的能力。
3．在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如圖所示），若將△ABC繞直線BC旋轉一周，則所形成的旋轉體的體積是。
4．空間四邊形中，，，分別是邊上的點，且為平行四邊形，則四邊形的周長的取值范圍是__。
5．三棱錐中，，其余棱長均為1。
（1）求證：；
（2）求三棱錐的體積的最大值。
解：（1）取中點，∵與均為正三角形，
∴，
∴平面。
∴
(2)當平面時，三棱錐的高為，
此時
6．已知圓錐的側面展開圖是一個半圓，它被過底面中心O1且平行于母線AB的平面所截，若截面與圓錐側面的交線是焦參數（焦點到準線的距離）為p的拋物線.
（1）求圓錐的母線與底面所成的角；
（2）求圓錐的全面積．
解: （1）設圓錐的底面半徑為R，母線長為l，
由題意得：,
即,
所以母線和底面所成的角為
(2)設截面與圓錐側面的交線為MON，
其中O為截面與AC的交點，則OO1//AB且
在截面MON內，以OO1所在有向直線為y軸，O為原點，建立坐標系，
則O為拋物線的頂點，所以拋物線方程為x2=－2py，
點N的坐標為（R，－R），代入方程得：R2=－2p（－R），
得：R=2p，l=2R=4p.
∴圓錐的全面積為.
說明：將立體幾何與解析幾何相鏈接, 頗具新意, 預示了高考命題的新動向.
第2課 平面的性質與直線的位置關系
【考點導讀】
1．掌握平面的基本性質，能夠畫出空間兩條直線的各種位置關系，能夠根據圖形想象它們之間的位置關系。
2．掌握兩條直線之間的平行與垂直的有關問題，并能進行解決和證明相關問題。
3．理解反證法證明的思路，會用反證法進行相關問題的證明。
【基礎練習】
1 下面是一些命題的敘述語,其中命題和敘述方法都正確的是 （3） 。
（1）∵，∴． （2）∵，∴．
（3）∵，∴． （4）∵，∴．
2．下列推斷中，錯誤的是 （4） 。
（1）
（2），A,B,C不共線重合
（3）
（4）
3．判斷下列命題的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）空間三點可以確定一個平面 （ ）
（2）兩個平面若有不同的三個公共點，則兩個平面重合（ ）
（3）兩條直線可以確定一個平面（ ）
（4）若四點不共面，那么每三個點一定不共線（ ）
（5）兩條相交直線可以確定一個平面（ ）
（6）三條平行直線可以確定三個平面（ ）
（7）一條直線和一個點可以確定一個平面（ ）
（8）兩兩相交的三條直線確定一個平面（ ）
⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×
4．如右圖，點E是正方體的棱的中點，則過點E與直線和都相交的直線的條數是： 1 條
5．完成下列證明，已知直線a、b、c不共面，它們相交于點P，Aa，Da，Bb，Ec
求證：BD和AE是異面直線
證明：假設__ 共面于，則點A、E、B、D都在平面_ _內
Aa，Da，∴__γ. Pa，∴P__.
Pb，Bb，Pc，Ec ∴_ _， __，這與____矛盾
∴BD、AE__________
答案：假設BD、AE共面于，則點A、E、B、D都在平面 內。
∵Aa，Da，∴ a . ∵Pa，P .
∵Pb，Bb，Pc，Ec. ∴ b ，c ，這與a、b、c不共面矛盾
∴BD、AE是異面直線
【范例導析】
例1．已知，從平面外一點引向量
，
（1）求證：四點共面；（2）平面平面．
分析 ：證明四點共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理證明，
也可以轉化為直線共面的條件即幾何證法。
解：法一：（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，
∵，
∴共面；
（2）∵，又∵，
∴
所以，平面平面．
法二：（1）
∴
∴ 同理 又 ∴
∴共面；
（2）由（1）知：，從而可證
同理可證，所以，平面平面．
點評：熟練掌握定理是證明的關鍵，要學會靈活運用。
例2．已知空間四邊形ABCD.
(1)求證：對角線AC與BD是異面直線;
(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分別這四條邊AB,BC,CD,DA的中點,試判斷四邊形EFGH的形狀;
(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出異面直線AC與BD的公垂線段.
分析：證明兩條直線異面通常采用反證法。
證明：(1)（反證法）假設AC與BD不是異面直線，則AC與BD共面，
所以A、B、C、D四點共面
這與空間四邊形ABCD的定義矛盾
所以對角線AC與BD是異面直線
(2)解：∵E,F分別為AB,BC的中點,∴EF//AC,且EF=AC.
同理HG//AC,且HG=AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四邊形.
又∵F,G分別為BC,CD的中點,∴FG//BD,∴∠EFG是異面直線AC與BD所成的角.
∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.
(3)作法取BD中點E,AC中點F,連EF,則EF即為所求.
點評：在空間四邊形中我們通常會遇到上述類似的問題，取中點往往是很有效的方法，特別是遇到等腰三角形的時候。
例3．如圖，已知E，F分別是正方體的棱和棱上的點，且，求證：四邊形是平行四邊形
簡證：由可以證得≌
所以 又可以由正方體的性質證明
所以四邊形是平行四邊形
例4：如圖，已知平面，且是垂足．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）若，試判斷平面與平面的位置關系，并證明你的結論．
解：（Ⅰ）因為，所以．
同理．
又，故平面．
（Ⅱ）平面平面。證明如下：設與平面的交點為，
連結、．因為平面，所以，
所以是二面角的平面角．
又，所以，即．
在平面四邊形中，，
所以．故平面平面．
【反饋演練】
1．判斷題（對的打“√”，錯的打“×”）
（1）垂直于兩條異面直線的直線有且只有一條 （ ）
（2）兩線段AB、CD不在同一平面內，如果AC=BD，AD=BC，則AB⊥CD（ ）
（3）在正方體中，相鄰兩側面的一對異面的對角線所成的角為60 （ ）
（4）四邊形的一邊不可能既和它的鄰邊垂直，又和它的對邊垂直 （ ）
答案：（1）× （2）× （3）√ （4）×
2．定點P不在△ABC所在平面內，過P作平面α，使△ABC的三個頂點到α的距離相等，這樣的平面共有 4 個。
3．給出以下四個命題：（1）若空間四點不共面，則其中無三點共線；（2）若直線上有一點在平面外，則該直線在平面外；（3）若直線a,b,c中，a與b共面且b與c共面，則a與c共面；（4）兩兩相交的三條直線共面。其中所有正確命題的序號是 (1)(2) 。
4．如圖，已知（A,B不重合）
過A在平面α內作直線AC，過B在平面β內作直線BD。
求證：AC和BD是異面直線。
證明：（反證法）若AC和BD不是異面直線，
設確定平面γ，則由題意可知：平面α和γ都過AC和AC外一點B，所以兩平面重合。
同理可證平面β和γ也重合，所以平面α和β也重合。
這與已知條件平面α和β相交矛盾。
所以AC和BD是異面直線。
第3課 空間中的平行關系
【考點導讀】
1．掌握直線和平面平行、兩個平面平行的判定定理和性質定理。
2．明確定義與定理的不同，定義是可逆的，既是判定也是性質，而判定定理與性質定理多是不可逆的。
3．要能靈活的對“線線平行”、“線面平行”和“面面平行”進行轉化。
【基礎練習】
1．若為異面直線，直線c∥a，則c與b的位置關系是 異面或相交 。
2．給出下列四個命題:
①垂直于同一直線的兩條直線互相平行. ②垂直于同一平面的兩個平面互相平行.
③若直線與同一平面所成的角相等,則互相平行.
④若直線是異面直線,則與都相交的兩條直線是異面直線.
其中假命題的個數是 4 個。
3．對于任意的直線l與平面a,在平面a內必有直線m,使m與l 垂直 。
4. 已知a、b、c是三條不重合的直線，α、β、r是三個不重合的平面，下面六個命題：
①a∥c，b∥ca∥b；②a∥r，b∥ra∥b；③α∥c，β∥cα∥β；
④α∥r，β∥rα∥β；⑤a∥c，α∥ca∥α；⑥a∥r，α∥ra∥α．
其中正確的命題是 ①④ 。
【范例導析】
例1．如圖，在四面體ABCD中，截面EFGH是平行四邊形．
求證：AB∥平面EFG．
證明 ：∵面EFGH是截面．
∴點E，F，G，H分別在BC，BD，DA，AC上．
∴EH 面ABC，GF 面ABD，
由已知，EH∥GF．∴EH∥面ABD．
又 ∵EH 面BAC，面ABC∩面ABD=AB
∴EH∥AB．
∴AB∥面EFG．
例2． 如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，并且CM=DN.
求證:MN∥平面AA1B1B.
分析：“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”是可以互相轉化的。本題可以采用任何一種轉化方式。
簡證：法1：把證“線面平行”轉化為證“線線平行”。
即在平面ABB1A1內找一條直線與MN平行，如圖所示作平行線即可。
法2：把證“線面平行”轉化為證“線線平行”。連CN并延長交直線BA于點P，
連B1P，就是所找直線，然后再設法證明MN∥B1P.
法3：把證“線面平行”轉化為證“面面平行”。
過M作MQ//BB1交BC于B1，連NQ,則平面MNQ與平面ABB1A1平行，
從而證得MN∥平面ABB1A1.
點評：證明線面或面面平行的時候一定要注意相互的轉化，非常靈活。
【反饋演練】
1．對于平面和共面的直線、下列命題中真命題是（3）。
（1）若則　　　 　（2）若則
（3）若則　　 　　 （4）若、與所成的角相等，則
2. 設a、b是兩條異面直線，那么下列四個命題中的假命題是 （2） 。
（1）經過直線a有且只有一個平面平行于直線b
（2）經過直線a有且只有一個平面垂直于直線b
（3）存在分別經過直線a和b的兩個互相平行的平面
（4）存在分別經過直線a和b的兩個互相垂直的平面
3．關于直線a、b、l及平面M、N，下列命題中正確的是（4） 。
（1）若a∥M，b∥M，則a∥b （2）若a∥M，b⊥a，則b⊥M
（3）若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，則l⊥M （4）若a⊥M，a∥N，則M⊥N
4．“任意的，均有”是“任意，均有”的 充要條件 。
5.在正方體AC1中，過A1C且平行于AB的截面是 面A1B1CD .
6．在長方體ABCD—A1B1C1D1中，經過其對角線BD1的平面分別與棱AA1,CC1相交于E,F兩點，則四邊形EBFD!的形狀為 平行四邊形 。
7. 已知Ｐ為平行四邊形ＡＢＣＤ所在平面外一點，Ｍ為ＰＢ的中點，
求證：ＰＤ∥平面ＭＡＣ．
證明 連ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，連ＭＯ，
則ＭＯ為△ＰＢＤ的中位線，
∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ，
∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ．
8．如圖，已知是平行四邊形所在平面外一點，、分別是、的中點（1）求證：平面；（2）若，， 求異面直線與所成的角的大小
略證：（1）取PD的中點H，連接AH，
為平行四邊形
(2): 連接AC并取其中點為O，連接OM、ON，則OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以就是異面直線與所成的角，由，得，OM=2，ON=
所以，即異面直線與成的角
9．兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求證：MN∥平面BCE。
證法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足，
則MP∥AB，NQ∥AB。
∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，
∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°
∴Rt△MCP≌Rt△NBQ
∴MP=NQ，故四邊形MPQN為平行四邊形
∴MN∥PQ
∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外，
∴MN∥平面BCE。
證法二：如圖過M作MH⊥AB于H，則MH∥BC，
∴
連結NH，由BF=AC，FN=AM，得
∴ NH//AF//BE
由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE
∴MN∥平面BCE。
第4課 空間中的垂直關系
【考點導讀】
1．掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質定理，并能用它們證明和解決有關問題。
2．線面垂直是線線垂直與面面垂直的樞紐，要理清楚它們之間的關系，學會互相轉化，善于利用轉化思想。
【基礎練習】
1．“直線垂直于平面內的無數條直線”是“”的 必要 條件。
2．如果兩個平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面的位置關系是 平行或相交 。
3．在正方體中，與正方體的一條對角線垂直的面對角線的條數是 6 。
4．兩個平面互相垂直，一條直線和其中一個平面平行，則這條直線和另一個平面的位置關系是平行、相交或在另一個平面內 。
5．在正方體中，寫出過頂點A的一個平面__AB1D1_____，使該平面與正方體的12條棱所在的直線所成的角均相等(注：填上你認為正確的一個平面即可，不必考慮所有可能的情況)。
【范例導析】
例1．如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是正方形,側棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點,作EF⊥PB交PB于點F.
（1）證明PA//平面EDB； （2）證明PB⊥平面EFD.
解析：本小題考查直線與平面平行,直線與平面垂直基礎知識,考查空間想象能力和推理論證能力.
證明：（1）連結AC,AC交BD于O,連結EO.
∵底面ABCD是正方形,∴點O是AC的中點
在中,EO是中位線,∴PA // EO
而平面EDB且平面EDB,
所以,PA // 平面EDB
（2）∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD,∴
∵PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜邊PC的中線,
∴. ①
同樣由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC.
而平面PDC,∴. ②
由①和②推得平面PBC. 而平面PBC,∴
又且,所以PB⊥平面EFD.
例2．如圖，△ABC 為正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中點，
求證：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；
（3）平面DEA ⊥平面ECA。
分析：（1）證明DE ＝DA ，可以通過圖形分割，證明△DEF ≌△DBA。（2）證明面面垂直的關鍵在于尋找平面內一直線垂直于另一平面。由（1）知DM ⊥EA ，取AC 中點N ，連結MN 、NB ，易得四邊形MNBD 是矩形。從而證明DM ⊥平面ECA。
證明：（1）如圖，取EC 中點F ，連結DF。
∵ EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC 。
∴ DB ⊥AB ，EC ⊥BC。
∵ BD ∥CE ，BD ＝CE ＝FC ，
則四邊形FCBD 是矩形，DF ⊥EC。
又BA ＝BC ＝DF ，∴ Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以DE ＝DA。
（2）取AC 中點N ，連結MN 、NB ，
∵ M 是EA 的中點，∴ MN EC。
由BD EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四邊形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN。
∵ DE ＝DA ，M 是EA 的中點，∴ DM ⊥EA ．又EA MN ＝M ，
∴ DM ⊥平面ECA ，而DM 平面BDM ，則平面ECA ⊥平面BDM。
（3）∵ DM ⊥平面ECA ，DM 平面DEA ，
∴ 平面DEA ⊥平面ECA。
點評：面面垂直的問題常常轉化為線面垂直、線線垂直的問題解決。
例3．如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，
∠ACB ＝90°，AA1 ＝，D 是A1B1 中點．
（1） 求證C1D ⊥平面A1B ；（2）當點F 在BB1 上什么位置時，
會使得AB1 ⊥平面C1DF ？并證明你的結論。
分析：（1）由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要證明C1D 垂直交線A1B1 ，由直線與平面垂直判定定理可得C1D ⊥平面A1B。（2）由（1）得C1D ⊥AB1 ，只要過D 作AB1 的垂線，它與BB1 的交點即為所求的F 點位置。
證明：（1）如圖，∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱，
∴ A1C1 ＝B1C1 ＝1，且∠A1C1B1 ＝90°。又 D 是A1B1 的中點，
∴ C1D ⊥A1B1 .∵ AA1 ⊥平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ，
∴ AA1 ⊥C1D ，∴ C1D ⊥平面AA1B1B。
（2）解：作DE ⊥AB1 交AB1 于E ，延長DE 交BB1 于F ，連結C1F ，則AB1 ⊥平面C1DF ，點F 即為所求。
∵ C1D ⊥平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ，
∴ C1D ⊥AB1 ．又AB1 ⊥DF ，DF C1D ＝D ，∴ AB1 ⊥平面C1DF 。
點評：本題（1）的證明中，證得C1D ⊥A1B1 后，由ABC—A1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 ⊥平面AA1B1B ，立得C1D ⊥平面AA1B1B。（2）是開放性探索問題，注意采用逆向思維的方法分析問題。
【反饋演練】
1．下列命題中錯誤的是 （3） 。
（1）若一直線垂直于一平面，則此直線必垂直于這一平面內所有直線
（2）若一平面經過另一平面的垂線，則兩個平面互相垂直
（3）若一條直線垂直于平面內的一條直線，則此直線垂直于這一平面
（4）若平面內的一條直線和這一平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直
2．設是空間的不同直線或不同平面，且直線不在平面內，下列條件中能保證“若
，且”為真命題的是 ①③④ （填所有正確條件的代號）
①x為直線，y，z為平面 ②x，y，z為平面
③x，y為直線，z為平面 ④x，y為平面，z為直線
⑤x，y，z為直線
3．在三棱錐的四個面中，直角三角形最多可以有___4__個。
4．若的中點到平面的距離為，點到平面的距離為，則點到平面 的距離為_2或14________。
5．命題A：底面為正三角形，且頂點在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐。
命題A的等價命題B可以是：底面為正三角形，且 的三棱錐是正三棱錐。
答案：側棱相等（或側棱與底面所成角相等……）
6．α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線.給出四個論斷：
①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α
以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題： 。
答案：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β
7．在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=，在線段SA上取一點E（不含端點）使EC=AC，截面CDE與SB交于點F。
（1）求證：四邊形EFCD為直角梯形；
（2）設SB的中點為M，當的值是多少時，能使△DMC為直角三角形？請給出證明.
解：（1）∵　CD∥AB，AB平面SAB ∴CD∥平面SAB
面EFCD∩面SAB=EF，
∴CD∥EF ∵
又面
∴ 平面SAD，∴又
為直角梯形
(2)當時，為直角三角形 .
,
平面平面.
在中，為SB中點，.
平面平面 為直角三角形。
空間幾何體
構成幾何體
的基本元素
柱、錐、臺、球的特征
直觀認識線面平行與垂直
表面積與體積
中心投影與平行投影
直觀圖與三視圖的畫法
點、線、面之間的位置關系
平面的基本性質
確定平面的位置關系
空間中的平行關系
直線與直線的平行關系
直線與平面平行的判斷及性質
平面與平面平行的判斷及性質
空間中的垂直關系
直線與平面垂直的判斷及性質
平面與平面垂直的判斷及性質
直線與直線的垂直關系
① ② ③ ④
（2）
P
A
B
C
M
α
β
D
B
C
A
A
B
C
D
N
F
E
M
A11
B11
D11
C112013高中數學精講精練 第十章 算法初步與框圖
【知識圖解】
【方法點撥】
1.學習算法要理解算法的含義.明確建立算法就是設計完成一件事的操作步驟.一般地說，這樣的操作步驟應該具有通用性，能處理一類問題.
2.掌握算法的三種基本結構.順序結構、條件結構和循環結構是算法的三種基本結構.要通.具體實例了解三種基本結構的使用范圍，通過流程圖認識它們的基本特征.
3.掌握流程圖的畫法.用流程圖表示算法具有、清晰的特點，也是高考重點考查的內容，要予以重視.特別是循環結構的流程圖，對判斷框中的條件與前測試還是后測試之間的關系一定要弄清楚.
4.熟悉建立算法的基本操作程序.建立算法的操作程序一般為：先探尋解決問題的方法，并用通俗的語言進行表述，再將通俗的算法語言用流程圖直觀表示，最后根據流程圖選擇適當的算法語句用偽代碼表示算法過程.
第1課 算法的含義
【考點導讀】
正確理解算法的含義.掌握用自然語言分步驟表達算法的方法. 高考要求對算法的含義有最基本的認識，并能解決相關的簡單問題.
【基礎練習】
1．下列語句中是算法的個數為 3個
①從濟南到巴黎：先從濟南坐火車到北京，再坐飛機到巴黎；
②統籌法中“燒水泡茶”的故事；
③測量某棵樹的高度，判斷其是否是大樹；
④已知三角形的一部分邊長和角，借助正余弦定理求得剩余的邊角，再利用三角形的面積公式求出該三角
形的面積.
2．早上從起床到出門需要洗臉刷牙（5 min）、刷水壺（2 min）、燒水（8 min）、泡面（3 min）、吃飯（10 min）、
聽廣播（8 min）幾個步驟.從下列選項中選最好的一種算法 　③　　.
①S1洗臉刷牙、S2刷水壺、S3燒水、S4泡面、S5吃飯、S6聽廣播
②S1刷水壺、S2燒水同時洗臉刷牙、S3泡面、S4吃飯、S5聽廣播
③S1刷水壺、S2燒水同時洗臉刷牙、S3泡面、S4吃飯同時聽廣播
④S1吃飯同時聽廣播、S2泡面、S3燒水同時洗臉刷牙、S4刷水壺
3．寫出交換兩個大小相同的杯子中的液體（A水、B酒）的兩個算法.
答案：解析：算法1：
S1.再找一個大小與A相同的空杯子C；
S2.將A中的水倒入C中；
S3.將B中的酒倒入A中；
S4.將C中的水倒入B中，結束.
算法2：
S1.再找兩個空杯子C和D；
S2.將A中的水倒入C中，將B中的酒倒入D中；
S3.將C中的水倒入B中，將D中的酒倒入A中，結束.
注意：一個算法往往具有代表性，能解決一類問題，如，可以引申為：交換兩個變量的值.
4．寫出求1＋2＋3＋4＋5＋6＋7的一個算法.
解析：本例主要是培養學生理解概念的程度，了解解決數學問題都需要算法
算法一：按照逐一相加的程序進行.
第一步　計算1＋2，得到3；
第二步　將第一步中的運算結果3與3相加，得到6；
第三步　將第二步中的運算結果6與4相加，得到10；
第四步　將第三步中的運算結果10與5相加，得到15；
第五步　將第四步中的運算結果15與6相加，得到21；
第六步　將第五步中的運算結果21與7相加，得到28.
算法二：可以運用公式1＋2＋3＋…＋n＝直接計算.
第一步　取n＝7；第二步　計算；第三步　輸出運算結果.
點評：本題主要考查學生對算法的靈活準確應用和自然語言表達一個問題的算法的方法.算法不同，解決問題的繁簡程度也不同，我們研究算法，就是要找出解決問題的最好的算法.
【范例解析】
例1 下列關于算法的說法，正確的有 .
（1）求解某一類問題的算法是惟一的 （2）算法必須在有限步驟操作之后停止
（3）算法的每一操作必須是明確的，不能有歧義或模糊（4）算法執行后一定產生確定的結果
解 由于算法具有可終止性，明確性和確定性，因而（2）（3）（4）正確，而解決某類問題的算法不一定是惟一的，從而（1）錯.
例2.寫出解方程x2-2x-3=0的一個算法.
分析 本題是求一元二次方程的解的問題，方法很多，下面利用配方法，求根公式法寫出這個問題的兩個算法
算法一：
（1）移項，得x2-2x=3； ①
（2）①兩邊同加1并配方，得(x-1)2=4 ②
（3）②式兩邊開方，得x-1=2; ③
（4）解③，得x=3或x=-1.
算法二：（1）計算方程的判別式，判斷其符號：
（2）將a=1，b=-2,c= -3,代入求根公式，得
點評 比較兩種算法，算法二更簡單，步驟最少，由此可知，我們只要有公式可以利用，利用公式解決問題是最理想，合理的算法.因此在尋求算法的過程中，首先是利用公式.下面我們設計一個求一般的一元二次方程的ax2+bx+c=0根的算法如下：
(1)計算（2）若（3）方程無實根;（4）若（5）方程根
例3：一個人帶三只狼和三只羚羊過河.只有一條船，同船可以容一個人和兩只動物.沒有人在的時候，如果狼的數量不少于羚羊的數量，狼就會吃掉羚羊.
（1）設計安全渡河的算法;
（2）思考每一步算法所遵循的相同原則是什么.
解析：（1）S1　人帶兩只狼過河.
S2　人自己返回.
S3　人帶兩只羚羊過河.
S4　人帶一只狼返回.
S5　人帶一只羚羊過河.
S6　人自己返回.
S7　人帶兩只狼過河.
（2）在人運送動物過河的過程中，人離開岸邊時必須保證每個岸邊的羚羊數目要大于狼的數目.
點評 這是一個實際問題，生活中解決任何問題都需要算法，我們要在處理實際問題的過程中理解算法的含義，體會算法設計的思想方法.
【反饋演練】：
1．下面對算法描述正確的一項是 C 　　.
A．算法只能用偽代碼來描述 B．算法只能用流程圖來表示
C．同一問題可以有不同的算法 D．同一問題不同的算法會得到不同的結果
解析：自然語言、圖形和偽代碼都可以表示算法，只要是同一問題，不同的算法也應該有相同的結果.
2．計算下列各式中的S的值，能設計算法求解的是　①　③ .
①；②；③
解析：因為算法步驟具有“有限性”特點，故②不可用算法求解.
3．已知一個學生的語文成績為89，數學成績為96，外語成績為99，求他的總分和平均成績的一個算法為：
第一步　取A＝89，B＝96，C＝99;
第二步　　　　①　　　；
第三步　　　　②　　　；
第四步　輸出D，E.
請將空格部分（兩個）填上適當的內容
答案：①計算總分D＝A+B+C　②計算平均成績E＝
4．寫出1×2×3×4×5×6的一個算法.
答案：解析：按照逐一相乘的程序進行.
第一步　計算1×2，得到2；
第二步　將第一步中的運算結果2與3相乘，得到6；
第三步　將第二步中的運算結果6與4相乘，得到24；
第四步　將第三步中的運算結果24與5相乘，得到120；
第五步　將第四步中的運算結果120與6相乘，得到720；
第六步　輸出結果.
5．已知一個三角形的三邊邊長分別為2、3、4，設計一個算法，求出它的面積.
答案：解析：可利用公式
S＝求解.
第一步　取a＝2，b＝3，c＝4；
第二步　計算p＝；
第三步　計算三角形的面積S＝；
第四步　輸出S的值.
6. 求1734，816，1343的最大公約數.
分析：三個數的最大公約數分別是每個數的約數，因此也是任意兩個數的最大公約數的約數，也就是說三個數的最大公約數是其中任意兩個數的最大公約數與第三個數的最大公約數.
解：用“輾轉相除法”.
先求1734和816的最大公約數，
1734=816×2+102；
816=102×8；
所以1734與816的最大公約數為102.
再求102與1343的最大公約數，
1343=102×13+17；102=17×6.
所以1343與102的最大公約數為17，即1734，816，1343的最大公約數為17.
7. 寫出用二分法求關于x的方程x2－2＝0的根（精確到0.005）的算法.
第一步 令f(x)=x2-2，因為f(1)<0，f(2)>0，所以設x1=1，x2=2
第二步 令m=(x1+x2)/2，判斷f(m)是否為0，若是，則m為所求，否則，則繼續判斷f(x1)·f(m)大于0還是小于0.
第三步 若f(x1)·f(m) >0則令x1=m，否則x2=m.
第四步 判斷|x1-x2|<0.005是否成立？若是則x1、x2之間的任意值均為滿足條件的近似值；否則返回第二步.
點評 .區間二分法是求方程近似解的常用算法，其解法步驟為
S1　取［a，b］的中點x0=（a+b）/2；
S2　若f(x0)=0，則x0就是方程的根，否則
若f(a)f(x0)>0，則a←x0；否則b←x0；
S3　若|a－b|第2課 流程圖
【考點導讀】
了解常用流程圖符號的意義，能用流程圖表示順序，選擇，循環這三種基本結構，并能識別簡單的流程圖所描述的算法.高考要求對流程圖有最基本的認識，并能解決相關的簡單問題.
【基礎練習】
1.算法的三種基本結構是 順序結構、選擇結構、循環結構 .
2.流程圖中表示判斷框的是 菱形框 .
3．根據題意，完成流程圖填空：
這是一個輸入兩個數，輸出這兩個數差的絕對值的一個算法.
請將空格部分填上適當的內容
（1） a>b ；（2）　b-a　 　　　
【范例解析】
例1.已知梯形的上底、下底和高分別為5、8、9，寫出求梯形的面積的算法，畫出流程圖.
解 算法如下
S1 a←5；
S2　b←8；
S3　h←9；
S4　S←（a+b）×h/2；
S5　輸出S.
流程圖為 ：
點評 本題中用的是順序結構是最簡單的算法結構，是任何一個算法都離不開的基本結構.
例2 .設計求解不等式ax＋b＞0（a≠0）的一個算法，并用流程圖表示.
解：第一步 輸入a，b；
第二步
第三步 若a＞0，那么輸出x>x0,否則輸出x流程圖為：
點評 解決此類不等式問題時，因涉及到對一次
項系數的討論一般采用條件結構設計算法.
【反饋演練】
1．如圖表示的算法結構是 順序 結構．
2．下面的程序執行后的結果是 4，1 .
解析：由題意得，故執行到第三步時，把的值給，這時，第四步，把的值給，這時.
3 輸入x的值，通過函數y=求出y的值，
現給出此算法流程圖的一部分，請將空格部分填上適當的內容
①　 x　　　　　
②　1≤x<10　　　
③　　3x－11　　
4 如圖所示,給出的是計算的值的一個程序框圖，其中判斷框內應填入的條件是 i>20 .
5. 給出以下一個算法的程序框圖（如圖所示）.該程序框圖的功能是 求出a,b,c三數中的最小數 .
6.根據下面的算法畫出相應的流程圖.
算法：
S1　T←0；
S2　I←2；
S3　T←T+I；
S4　I←I+2；
S5　如果I不大于200，轉S3；
S6　輸出T .
答案：解：這是計算2+4+6+…+200的一個算法.
流程圖如下：
第3課 算法語句A
【考點導讀】
會用偽代碼表述四種基本算法語句：輸入輸出語句，賦值語句，條件語句和循環語句.會用上述基本語句描述簡單問題的算法過程.高考要求對算法語句有最基本的認識，并能解決相關的簡單問題.
【基礎練習】
1 .下列賦值語句中，正確的是 （1） .
2．條件語句表達的算法結構為 ② .
①．順序結構 ②．選擇結構 ③．循環結構 ④．以上都可以
解析：條件語句典型的特點是先判斷再執行，對應的是選擇結構.
3．關于循環說法錯誤的是 ④ .
①．在循環中，循環表達式也稱為循環體
②．在循環中，步長為1，可以省略不寫，若為其它值，則不可省略
③．使用循環時必須知道終值才可以進行
④．循環中控制結束一次循環，開始一次新循環
解析：循環中是指整個循環結束，而不是一次循環結束
【范例解析】
例1．試寫出解決求函數y=的函數值這一問題的偽代碼．
解：　　　　Read x
If x<2 Then
y ← x2-1
Else
y ← -x2+1
End If
Print y
點評 分段函數問題是考查If語句一個重要的載體，因此，我們要注意此類問題可以先根據語言敘說，讓學生先列出函數關系式，再寫出相應的偽代碼．
例2.已知S＝5+10+15+…+1500，請用流程圖描述求S的算法并用偽代碼表示.
解 流程圖如下圖所示：
從流程圖可以看出這是一個循環結構，我們可以運用循環語句來實現.
S←5
For I from 10 to 1500 step 5
S←S+I
End For
Print S
點評 在準確理解算法的基礎上，學會循環語句的使用.循環語句包括for循環、While循環.解題時要根據需要靈活運用.
循環語句包括if…then，if…then…else，并且if…then…else可以嵌套，解題時要根據需要靈活運用.
例3. 青年歌手大獎賽有10名選手參加，并請了12名評委.為了減少極端分數的影響，通常去掉一個最高分和一個最低分后再求平均分.請用算法語句表示：輸入12名評委所打的分數ai，用函數Max(a1,a2,…,a12)和Min (a1,a2,…,a12) 分別求出中ai(i=1,2,…,12)的最大值和最小值，最后輸出該歌手的成績.
解
S←0
For I from 1 to 12
Read ai
S←S+ai
End For
G←(S - Max(a1,a2,…,a12)- Min (a1,a2,…,a12))/10
Print G
【反饋演練】
1.下圖中程序執行后輸出的結果是_____7___________.
2.寫出下面流程圖所表述的算法的功能并用偽代碼表示.
(第2題)
答案：解：輸出兩個不同的數中小的一個數.用偽代碼表示為
Read a，b
If a>b then
Print b
Else
Print a
End if
第4課 算法語句B
【考點導讀】
1.循環結構的算法用循環語句表示.
2理解“While循環”和“For循環”，前者是前測試的當當型循環，后者是在循環次數已知時使用的循環.
【基礎練習】
1．下列偽代碼中的循環次數為 9 ．
s←0
For I from 1 to 25 step 3
s←s+I
End for
Print s
2.要使以下For循環執行20次，循環變量的初值應該是 14 .(For k From To -5 Step -1)
3.下面這段偽代碼的功能 計算其中小于0數的個數 .
4．下面是一個算法的偽代碼．如果輸出的y的值是20，則輸入的x的值是 2或6 .
解析：若，由，則；若，由，得.
【范例解析】
例1.設計算法，求的值.
解 偽代碼：
s←1
For I from 2 to 100
End for
Print s
點評 本題是連乘求積的問題，自然想到用循環語句設計算法，算法的設計又帶有靈活性和通用性，熟練地掌握這一類題的解法，對于解決與此相關的問題有很大幫助.
例3.某城市現有人口總數為100萬人，如果年自然增長率為1.2%，試解答下面的問題：
（1）寫出該城市人口數y（萬人）與年份x（年）的函數關系式；
（2）用偽代碼寫出計算10年以后該城市人口總數的算法；
（3）用偽代碼寫出計算大約多少年以后該城市人口將達到120萬人.
解：（1）y=100×（1+0.012）x.
（2）10年后該城市人口總數為y=100×（1+0.012）10.
算法如下：
y←100
t←1.012
For I from 1 to 10
y←y×t
End for
Print y
End
（3）設x年后該城市人口將達到120萬人，即100×（1+0.012）x=120.
算法如下：
S←100
I←1.012
T←0
While S<120
S←S×I
T←T+1
End while
Print T
End
【反饋演練】
1．如果執行下面的程序框圖，那么輸出的 2550 .
3．下圖是一個循環結構的算法，下列說法中：(1)①是循環變量的初始化，循環將要開始；(2)②為循環體；(3)③是判斷是否繼續循環的條件；(4)①可以省略不寫．其中正確的的是 ① ② ③ ．
4．在如下程序框圖中，輸入f0(x)=cosx，則輸出的是 cosx ．
5. 當 x=2 時 ，下面程序運行結果是 15 .
While
End while
Print s
End
6．依據不同條件，給出下面的流程圖的運行結果：
（1）當箭頭a指向①時，輸出 6 ；
（2）當箭頭a指向②時，輸出 20 .
；
7.已知數列中，，且，求這個數列的第m項的值.現給出此算法流程圖的一部分，請將空格部分（兩個）填上適當的內容① 2
② m+1
算法
算法的描述
流程圖
偽代碼
自然語言
條 件 結 構
循 環 結 構
順 序 結 構
條 件 結 構
循 環 結 構
輸入(出)語句
順 序 結 構
順 序 結 構
順 序 結 構
（第3題）
開始
①
輸入a,b
結束
輸出a-b
輸出 ②
N
Y
（第1題）
（第2題）
開始
a>0
輸入a,b
結束
輸出x>x0
輸出xN
Y
(第3題)
(第5題)
結束
輸出a
開始
a=b
輸出a,b,c
a>b
a>c
a=c
Y
Y
N
N
結束
輸出s
開始
s=0,n=2,i=1
s=s+1/n
n=n+2
i=i+1
Y
N
(第4題)
(第6題)
I1
For n from 1 to 11 step 2
I2I+1
If I>20 Then
II－20
End if
End for
Print I
（第2題）
n0
Read x1,x2…x10
For i from 1 to10
If xi<0 then
nn+1
End if
End for
Print n
(第3題)
Read x
If x≤5 Then
y←10x
Else
y←2.5x+5
End If
Print y
(第4題)
N
Y
開始
輸入f0(x)
i←0
i←i+1
fi (x)←f’i-1 (x)
i=2008
輸出fi(x)
結束
(第4題)
開始
？
是
否
輸出
結束
開始
n←1
a←15n
輸出a
n←n+1
n>66
結束
Y
N
①
③
②
(第3題)
(第5題)
Y
輸入m
S←T+S
N
Y
T≥ ②
結束
輸出m,S
開始
T←T+1
S←2，T← ①
(第7題)
開始
①
②
a
輸出S
N
結束
Y
(第6題)2013高中數學精講精練 第三章 三角函數
【知識導讀】
【方法點撥】
三角函數是一種重要的初等函數，它與數學的其它部分如解析幾何、立體幾何及向量等有著廣泛的聯系，同時它也提供了一種解決數學問題的重要方法——“三角法”．這一部分的內容，具有以下幾個特點：
1．公式繁雜.公式雖多，但公式間的聯系非常密切，規律性強.弄清公式間的相互聯系和推導體系，是記住這些公式的關鍵.
2．思想豐富.化歸、數形結合、分類討論和函數與方程的思想貫穿于本單元的始終，類比的思維方法在本單元中也得到充分的應用.如將任意角的三角函數值的問題化歸為銳角的三角函數的問題，將不同名的三角函數問題化成同名的三角函數的問題，將不同角的三角函數問題化成同角的三角函數問題等.
3．變換靈活.有角的變換、公式的變換、三角函數名稱的變換、三角函數次數的變換、三角函數表達形式的變換及一些常量的變換等，并且有的變換技巧性較強.
4．應用廣泛.三角函數與數學中的其它知識的結合點非常多，它是解決立體幾何、解析幾何及向量問題的重要工具，并且這部分知識在今后的學習和研究中起著十分重要的作用，比如在物理學、天文學、測量學及其它各門科學技術都有廣泛的應用.
第1課 三角函數的概念
【考點導讀】
1． 理解任意角和弧度的概念，能正確進行弧度與角度的換算．
　　角的概念推廣后，有正角、負角和零角；與終邊相同的角連同角本身，可構成一個集合；把長度等于半徑的圓弧所對的圓心角定義為1弧度的角，熟練掌握角度與弧度的互換，能運用弧長公式及扇形的面積公式＝（為弧長）解決問題.
2． 理解任意角的正弦、余弦、正切的定義.
角的概念推廣以后，以角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸的正半軸，建立直角坐標系，在角的終邊上任取一點（不同于坐標原點），設（），則的三個三角函數值定義為：．
從定義中不難得出六個三角函數的定義域：正弦函數、余弦函數的定義域為R；正切函數的定義域為．
3． 掌握判斷三角函數值的符號的規律，熟記特殊角的三角函數值．
由三角函數的定義不難得出三個三角函數值的符號，可以簡記為：一正（第一象限內全為正值），二正弦（第二象限內只有正弦值為正），三切（第三象限只有正切值為正），四余弦（第四象限內只有余弦值為正）．另外，熟記、、、、的三角函數值，對快速、準確地運算很有好處.
4． 掌握正弦線、余弦線、正切線的概念．
　　在平面直角坐標系中，正確地畫出一個角的正弦線、余弦線和正切線，并能運用正弦線、余弦線和正切線理解三角函數的性質、解決三角不等式等問題．
【基礎練習】
1． 化成的形式是　　　 　　．
2．已知為第三象限角，則所在的象限是 ．
3．已知角的終邊過點，則=　　　， =　　　　 ．
4．的符號為 ．
5．已知角的終邊上一點（），且，求，的值．
解：由三角函數定義知，，當時，，；
當時，，．
【范例解析】
例1.（1）已知角的終邊經過一點，求的值；
（2）已知角的終邊在一條直線上，求，的值．
分析：利用三角函數定義求解．
解：（1）由已知，．當時，，，，則；
當時，，，，則．
（2）設點是角的終邊上一點，則；
當時，角是第一象限角，則；
當時，角是第三象限角，則．
點評：要注意對參數進行分類討論．
例2.（1）若，則在第_____________象限．
（2）若角是第二象限角，則，，，，中能確定是正值的有____個．
解：（1）由，得，同號，故在第一，三象限．
（2）由角是第二象限角，即，得，，故僅有為正值．
點評：準確表示角的范圍，由此確定三角函數的符號．
例3. 一扇形的周長為，當扇形的圓心角等于多少時，這個扇形的面積最大？最大面積是多少？
分析：選取變量，建立目標函數求最值．
解：設扇形的半徑為x㎝，則弧長為㎝，故面積為，
當時，面積最大，此時，，，
所以當弧度時，扇形面積最大25．
點評：由于弧度制引入，三角函數就可以看成是以實數為自變量的函數．
【反饋演練】
1．若且則在第_______象限．
2．已知，則點在第________象限．
3．已知角是第二象限，且為其終邊上一點，若，則m的值為_______．
4．將時鐘的分針撥快，則時針轉過的弧度為　　　　　　．
5．若，且與終邊相同，則= ．
6．已知1弧度的圓心角所對的弦長2，則這個圓心角所對的弧長是_______，這個圓心角所在的扇形的面積是___________．
7．（1）已知扇形的周長是6cm，該扇形中心角是1弧度，求該扇形面積．
（2）若扇形的面積為8，當扇形的中心角為多少弧度時，該扇形周長最小．
簡解：（1）該扇形面積2；
（2），得，當且僅當時取等號．此時，，．
第2課 同角三角函數關系及誘導公式
【考點導讀】
1.理解同角三角函數的基本關系式；同角的三角函數關系反映了同一個角的不同三角函數間的聯系．
2.掌握正弦，余弦的誘導公式；誘導公式則揭示了不同象限角的三角函數間的內在規律，起著變名，變號，變角等作用．
【基礎練習】
1. tan600°=______．
2. 已知是第四象限角，，則______．
3.已知，且，則tan＝______．
4.sin15°cos75°+cos15°sin105°=___1___．
【范例解析】
例1.已知，求，的值．
分析：利用誘導公式結合同角關系，求值．
解：由，得，是第二，三象限角．
若是第二象限角，則，；
若是第三象限角，則，．
點評：若已知正弦，余弦，正切的某一三角函數值，但沒有確定角所在的象限，可按角的象限進行分類，做到不漏不重復．
例2.已知是三角形的內角，若，求的值．
分析：先求出的值，聯立方程組求解．
解：由兩邊平方，得，即．
又是三角形的內角，，．
由，又，得．
聯立方程組，解得，得．
點評：由于，因此式子，，三者之間有密切的聯系，知其一，必能求其二．
【反饋演練】
1．已知,則的值為_____．
2．“”是“A=30 ”的必要而不充分條件．
3．設,且，則的取值范圍是
4．已知，且，則的值是 ．
5．（1）已知，且，求的值．
（2）已知，求的值．
解：（1）由，得．
原式=．
（2），
．
6．已知，求
（I）的值；
（II）的值．
解：（I）∵ ；所以==．
（II）由，
于是．
第3課 兩角和與差及倍角公式（一）
【考點導讀】
1.掌握兩角和與差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它們的內在聯系；
2.能運用上述公式進行簡單的恒等變換；
3.三角式變換的關鍵是條件和結論之間在角，函數名稱及次數三方面的差異及聯系，然后通過“角變換”，“名稱變換”，“升降冪變換”找到已知式與所求式之間的聯系；
4.證明三角恒等式的基本思路：根據等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應用化繁為簡，左右歸一，變更命題等方法將等式兩端的“異”化“同”．
【基礎練習】
1. ___________．
2. 化簡_____________．
3. 若f(sinx)＝3－cos2x，則f(cosx)＝___________ ．
4.化簡：___________ ．
【范例解析】
例 .化簡：（1）；
（2）．
（1）分析一：降次，切化弦．
解法一：原式=．
分析二：變“復角”為“單角”．
解法二：原式．
（2）原式=
，，，原式=．
點評：化簡本質就是化繁為簡，一般從結構，名稱，角等幾個角度入手．如：切化弦，“復角”變“單角”，降次等等．
【反饋演練】
1．化簡．
2．若，化簡_________．
3．若0＜α＜β＜，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b，則與的大小關系是_________．
4．若，則的取值范圍是___________．
5．已知、均為銳角，且，則= 1 .
6．化簡：．
解：原式=．
7．求證：．
證明：左邊==右邊．
8．化簡：．
解：原式=
．
第4課 兩角和與差及倍角公式（二）
【考點導讀】
1.能熟練運用兩角和與差公式，二倍角公式求三角函數值；
2.三角函數求值類型：“給角求值”，“給值求值”，“給值求角” ．
【基礎練習】
1．寫出下列各式的值：
（1）_________； （2）_________；
（3）_________； （4）____1_____．
2．已知則=_________．
3．求值：（1）_______；（2）_________．
4．求值：____1____．
5．已知，則________．
6．若，則_________．
【范例解析】
例1.求值：（1）；
（2）．
分析：切化弦，通分．
解：（1）原式==
．
（2），又．
原式=．
點評：給角求值，注意尋找所給角與特殊角的聯系，如互余，互補等，利用誘導公式，和與差公式，二倍角公式進行轉換．
例2.設，，且，，求，．
分析：， ．
解：由，，得，同理，可得
，同理，得．
點評：尋求“已知角”與“未知角”之間的聯系，如：，等．
例3.若，，求的值．
分析一：．
解法一：，，
又，，．
，，．
所以，原式=．
分析二：．
解法二：原式=
又，
所以，原式．
點評：觀察“角”之間的聯系以尋找解題思路．
【反饋演練】
1．設，若，則=__________．
2．已知tan =2，則tanα的值為_______，tan的值為___________　．
3．若，則=___________．
4．若，則　　　　．
5．求值：_________．
6．已知．求的值
解：
又
從而，
第5課 三角函數的圖像和性質（一）
【考點導讀】
1.能畫出正弦函數，余弦函數，正切函數的圖像，借助圖像理解正弦函數，余弦函數在，正切函數在上的性質；
2.了解函數的實際意義，能畫出的圖像；
3.了解函數的周期性，體會三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型．
【基礎練習】
1. 已知簡諧運動的圖象經過點(0，1)，則該簡諧運動的最小正周期_____6____；初相__________．
2. 三角方程2sin(－x)=1的解集為_______________________．
3. 函數的部分圖象如圖所示，則函數表達式為
______________________．
4. 要得到函數的圖象，只需將函數的圖象向右平移__________個單位．
【范例解析】
例1.已知函數．
（Ⅰ）用五點法畫出函數在區間上的圖象，長度為一個周期；
（Ⅱ）說明的圖像可由的圖像經過怎樣變換而得到．
分析：化為形式．
解：（I）由
．
列表，取點，描圖：
1 1 1
故函數在區間上的圖象是：
（Ⅱ）解法一：把圖像上所有點向右平移個單位，得到的圖像，再把的圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到的圖像，然后把的圖像上所有點縱坐標伸長到原來的倍（橫坐標不變），得到的圖像，再將的圖像上所有點向上平移1個單位，即得到的圖像．
解法二：把圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到的圖像，再把圖像上所有點向右平移個單位，得到的圖像，然后把的圖像上所有點縱坐標伸長到原來的倍（橫坐標不變），得到的圖像，再將的圖像上所有點向上平移1個單位，即得到的圖像．
例2.已知正弦函數的圖像如右圖所示．
（1）求此函數的解析式；
（2）求與圖像關于直線對稱的曲線的解析式；
（3）作出函數的圖像的簡圖．
分析：識別圖像，抓住關鍵點．
解：（1）由圖知，，，，即．
將，代入，得，解得，即．
（2）設函數圖像上任一點為，與它關于直線對稱的對稱點為，
得解得代入中，得．
（3），簡圖如圖所示．
點評：由圖像求解析式，比較容易求解，困難的是待定系數求和，通常利用周期確定，代入最高點或最低點求．
【反饋演練】
1．為了得到函數的圖像，只需把函數，的圖像上所有的點
①向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）；
②向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）；
③向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變）；
④向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變）．
其中，正確的序號有_____③______．
2．為了得到函數的圖象，可以將函數的圖象向右平移____個單位長度．
3．若函數，（其中，）的最小正周期是，且，則__2____；__________．
4．在內，使成立的取值范圍為____________________．
5．下列函數：
①； ②；
③； ④．
其中函數圖象的一部分如右圖所示的序號有_____④_____．
6．如圖，某地一天從6時至14時的溫度變化曲線近似滿足函數
（1）求這段時間的最大溫差；
（2）寫出這段時間的函數解析式．
解：（1）由圖示，這段時間的最大溫差是℃
（2）圖中從6時到14時的圖象是函數的半個周期
∴，解得
由圖示，　　
這時，
將代入上式，可取
綜上，所求的解析式為（）
7．如圖，函數的圖象與軸相交于點，且該函數的最小正周期為．
（1）求和的值；
（2）已知點，點是該函數圖象上一點，點是的中點，
當，時，求的值．
解：（1）將，代入函數得，
因為，所以．
又因為該函數的最小正周期為，所以，
因此．
（2）因為點，是的中點，，
所以點的坐標為．
又因為點在的圖象上，所以．
因為，所以，
從而得或．
即或．
第6課 三角函數的圖像和性質（二）
【考點導讀】
1.理解三角函數，，的性質，進一步學會研究形如函數的性質；
2.在解題中體現化歸的數學思想方法，利用三角恒等變形轉化為一個角的三角函數來研究．
【基礎練習】
1.寫出下列函數的定義域：
（1）的定義域是______________________________；
（2）的定義域是____________________．
2．函數f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________．
3．函數 的最小正周期是_______．
4. 函數y=sin(2x+)的圖象關于點_______________對稱．
5. 已知函數 在（－，）內是減函數，則的取值范圍是______________．
【范例解析】
例1.求下列函數的定義域：
（1）；（2）．
解：（1）即，
故函數的定義域為且
（2）即
故函數的定義域為．
點評：由幾個函數的和構成的函數，其定義域是每一個函數定義域的交集；第（2）問可用數軸取交集．
例2．求下列函數的單調減區間：
（1）； （2）；
解：（1）因為，故原函數的單調減區間為．
（2）由，得，
又，
所以該函數遞減區間為，即．
點評：利用復合函數求單調區間應注意定義域的限制．
例3．求下列函數的最小正周期：
（1）；（2） ．
解：（1）由函數的最小正周期為，得的周期．
（2）
．
點評：求三角函數的周期一般有兩種：（1）化為的形式特征，利用公式求解；（2）利用函數圖像特征求解．
【反饋演練】
1．函數的最小正周期為 _____________．
2．設函數，則在上的單調遞減區間為___________________．
3．函數的單調遞增區間是________________．
4．設函數，則的最小正周期為_______________．
5．函數在上的單調遞增區間是_______________．
6．已知函數．
（Ⅰ）求的定義域；
（Ⅱ）若角在第一象限且，求．
解：（Ⅰ） 由得，即．
故的定義域為．
（Ⅱ）由已知條件得．
從而
．
7． 設函數圖像的一條對稱軸是直線．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求函數的單調增區間；
（Ⅲ）畫出函數在區間上的圖像
解：（Ⅰ）的圖像的對稱軸，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由題意得
所以函數
（Ⅲ）由
x 0
y －1 0 1 0
故函數
第7課 三角函數的值域與最值
【考點導讀】
1.掌握三角函數的值域與最值的求法，能運用三角函數最值解決實際問題；
2.求三角函數值域與最值的常用方法：（1）化為一個角的同名三角函數形式，利用函數的有界性或單調性求解；（2）化為一個角的同名三角函數形式的一元二次式，利用配方法或圖像法求解；（3）借助直線的斜率的關系用數形結合求解；（4）換元法．
【基礎練習】
1.函數在區間上的最小值為 1 ．
2.函數的最大值等于 ．
3.函數且的值域是___________________．
4.當時，函數的最小值為 4 ．
【范例解析】
例1.（1）已知，求的最大值與最小值．
（2）求函數的最大值．
分析：可化為二次函數求最值問題．
解：（1）由已知得：，，則．
，當時，有最小值；當時，有最小值．
（2）設，則，則，當時，有最大值為．
點評：第（1）小題利用消元法，第（2）小題利用換元法最終都轉化為二次函數求最值問題；但要注意變量的取值范圍．
例2.求函數的最小值．
分析：利用函數的有界性求解．
解法一：原式可化為，得，即，
故，解得或（舍），所以的最小值為．
解法二：表示的是點與連線的斜率，其中點B在左半圓上，由圖像知，當AB與半圓相切時，最小，此時，所以的最小值為．
點評：解法一利用三角函數的有界性求解；解法二從結構出發利用斜率公式，結合圖像求解．
例3.已知函數，．
（I）求的最大值和最小值；
（II）若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．
分析：觀察角，單角二次型，降次整理為形式．
解：（Ⅰ）
．
又，，即，
．
（Ⅱ），，
且，
，即的取值范圍是．
點評：第（Ⅱ）問屬于恒成立問題，可以先去絕對值，利用參數分離轉化為求最值問題．本小題主要考查三角函數和不等式的基本知識，以及運用三角公式、三角函數的圖象和性質解題的能力．
【反饋演練】
1．函數的最小值等于____－1_______．
2．當時，函數的最小值是______4 _______．
3．函數的最大值為_______，最小值為________.
4．函數的值域為 .
5．已知函數在區間上的最小值是，則的最小值等于_________．
6．已知函數．
（Ⅰ）求函數的最小正周期；
（Ⅱ）求函數在區間上的最小值和最大值．
解：（Ⅰ）．
因此，函數的最小正周期為．
（Ⅱ）因為在區間上為增函數，在區間上為減函數，又，，，
故函數在區間上的最大值為，最小值為．
第８課 解三角形
【考點導讀】
1.掌握正弦定理，余弦定理，并能運用正弦定理，余弦定理解斜三角形；
2.解三角形的基本途徑：根據所給條件靈活運用正弦定理或余弦定理，然后通過化邊為角或化角為邊，實施邊和角互化．
【基礎練習】
1．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，則AC＝　　　　.
2．在中，若，則的大小是______________.
3．在中，若，，，則 ．
【范例解析】
例1. 在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊，已知，，．
（1）求的值；（2）求的值．
分析：利用轉化為邊的關系．
解：（1）由．
（2）由得．由余弦定理
得： ，解得：或，
若，則，得，即矛盾，故．
點評：在解三角形時，應注意多解的情況，往往要分類討論．
例2.在三角形ABC中，已知，試判斷該三角形的形狀．
解法一：(邊化角)由已知得：，
化簡得，
由正弦定理得：，即，
又，，．
又，或，即該三角形為等腰三角形或直角三角形．
解法二：(角化邊)同解法一得：，
由正余弦定理得：，
整理得：，即或，
即該三角形為等腰三角形或直角三角形．
點評：判斷三角形形狀主要利用正弦或余弦定理進行邊角互化，從而利用角或邊判定三角形形狀．
例3.如圖，D是直角△ABC斜邊BC上一點，AB=AD，記∠CAD=，∠ABC=.
（1）證明：；
（2）若AC=DC，求．
分析：識別圖中角之間的關系，從而建立等量關系.
（1）證明：，，，
（2）解：AC=DC，.
，，.
點評：本題重點是從圖中尋找到角之間的等量關系，從而建立三角函數關系，進而求出的值.
【反饋演練】
1．在中，則BC =_____________．
2．的內角∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c成等比數列，且，則_____．
3．在中，若，，則的形狀是____等邊___三角形．
4．若的內角滿足，則= ．
5．在中，已知，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
解：（Ⅰ）在中，，由正弦定理，
．所以．
（Ⅱ）因為，所以角為鈍角，從而角為銳角，于是
，
，
．
．
6．在中，已知內角，邊．設內角，周長為．
（1）求函數的解析式和定義域；（2）求的最大值．
解：（1）的內角和，由得．
應用正弦定理，知，
． 因為，
所以，
（2）因為
，
所以，當，即時，取得最大值．
7．在中，，．
（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大邊的邊長為，求最小邊的邊長．
解：（Ⅰ），．
又，．
（Ⅱ），邊最大，即．
又，角最小，邊為最小邊．
由且，
得．由得：．
所以，最小邊．
第9課 解三角形的應用
【考點導讀】
1.運用正余弦定理等知識與方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題．
2.綜合運用三角函數各種知識和方法解決有關問題，深化對三角公式和基礎知識的理解，進一步提高三角變換的能力．
【基礎練習】
1．在200高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°，60°，則塔高為_________．
2．某人朝正東方向走x km后，向右轉150°，然后朝新方向走3km，結果他離出發點恰好km，那么x的值為_______________ km．
3．一船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔B在北偏東，行駛4h后，船到達C處，看到這個燈塔在北偏東，這時船與燈塔的距離為 km．
4．如圖，我炮兵陣地位于A處，兩觀察所分別設于B，D，已知為邊長等于的正三角形，當目標出現于C時，測得，，求炮擊目標的距離
解：在中，由正弦定理得：
∴
在中，由余弦定理得：
∴
答：線段的長為．
【范例解析】
例 .如圖，甲船以每小時海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當甲船位于處時，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海里，當甲船航行分鐘到達處時，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海里，問乙船每小時航行多少海里？
分析：讀懂題意，正確構造三角形，結合正弦定理或余弦定理求解．
解法一：如圖(2)，連結，由已知，
，，
又，是等邊三角形，
，
由已知，，，
在中，由余弦定理，
．
．因此，乙船的速度的大小為（海里/小時）．
答：乙船每小時航行海里．
解法二：如圖（3），連結，
由已知，，，
，
．
在中，由余弦定理，
．
．
由正弦定理，
，即，．
在中，由已知，由余弦定理，
．
，乙船的速度的大小為（海里/小時）．
答：乙船每小時航行海里．
點評：解法二也是構造三角形的一種方法，但計算量大，通過比較二種方法，學生要善于利用條件簡化解題過程．
【反饋演練】
1．江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯角分別為和，而且兩條船與炮臺底部連線成角，則兩條船相距____________m．
2．有一長為1km的斜坡，它的傾斜角為，現要將傾斜角改為，則坡底要伸長____1___km．
3．某船上的人開始看見燈塔在南偏東方向，后來船沿南偏東方向航行45海里后，看見燈塔在正西方向，則此時船與燈塔的距離是__________海里．
4．把一根長為30cm的木條鋸成兩段，分別作鈍角三角形的兩邊和，且，則第三條邊的最小值是____________cm．
5．設是某港口水的深度y（米）關于時間t（時）的函數，其中.下表是該港口某一天
從0時至24時記錄的時間t與水深y的關系：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
經長期觀察，函數的圖象可以近似地看成函數的圖象.下面的函數中,
最能近似表示表中數據間對應關系的函數是 （ A ）
A． B．
C． D．
任意角
的概念
角度制與
弧度制
任意角的
三角函數
弧長與扇形
面積公式
三角函數的
圖象和性質
和 角
公 式
差 角
公 式
幾個三角
恒等式
倍 角
公 式
同角三角函數關系
誘 導公 式
正弦定理與余弦定理
解斜三角形及其應用
化簡、計算、求值
與證明
第二或第四象限
正
二
三
－
3＋cos2x
－
第3題
－2
2
x=8
x
y
O
2
4
x
y
O
－4
12
第5題
第6題
A
第7題
（，0）
，
B
D
C
α
β
A
例4
2或
A
B
C
D
第4題
北
乙
甲
例1（1）
北
甲
乙
例1（2）
北
乙
甲
例1（3）2013高中數學精講精練 第六章 不等式
【知識圖解】
【方法點撥】
不等式是高中數學的重要內容之一，不等式的性質是解、證不等式的基礎，兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的定理及其變形在不等式的證明和解決有關不等式的實際問題中發揮著重要的作用.解不等式是研究方程和函數的重要工具，不等式的概念和性質涉及到求最大（小）值，比較大小，求參數的取值范圍等，不等式的解法包括解不等式和求參數，不等式的綜合題主要是不等式與集合、函數、數列、三角函數、解析幾何、導數等知識的綜合，綜合性強，難度較大，是高考命題的熱點，也是高考復習的難點.
1. 掌握用基本不等式求解最值問題，能用基本不等式證明簡單的不等式，利用基本不等式求最值時一定要緊扣“一正、二定、三相等”這三個條件。
2. 一元二次不等式是一類重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系和相互轉化。
3. 線性規劃問題有著豐富的實際背景，且作為最優化方法之一又與人們日常生活密切相關，對于這部分內容應能用平面區域表示二元一次不等式組，能解決簡單的線性規劃問題。同時注意數形結合的思想在線性規劃中的運用。
第1課　基本不等式
【考點導讀】
1. 能用基本不等式證明其他的不等式，能用基本不等式求解簡單的最值問題。
2. 能用基本不等式解決綜合形較強的問題。
【基礎練習】
1.“a>b>0”是“ab<”的充分而不必要條件(填寫充分而不必要條件、必要而不充分條件、充分必要條件、既不充分也不必要條件)
2.的最小值為
3.已知，且，則的最大值為
4.已知，則的最小值是2
【范例導析】
例1.已知，求函數的最大值.
分析：由于，所以首先要調整符號.
解：∵∴
∴y=4x-2+=≤-2+3=1
當且僅當，即x=1時，上式成立，故當x=1時，.
例2.（1）已知a，b為正常數，x、y為正實數，且，求x+y的最小值。
（2） 已知，且，求的最大值．
分析：問題（1）可以采用常數代換的方法也可以進行變量代換從而轉化為一元函數再利用基本不等式求解；問題（2）既可以直接利用基本不等式將題目中的等式轉化為關于的不等式，也可以采用變量代換轉換為一元函數再求解.
解:(1)法一：直接利用基本不等式：≥當且僅當，即時等號成立
法二：
由得
∵ x>0，y>0，a>0 ∴ 由>0得y-b>0 ∴ x+y≥
當且僅當，即時，等號成立
（2）法一：由，可得，．
注意到．可得，．
當且僅當，即時等號成立，代入中得，故的最大值為18．
法二：，，
代入中得：
解此不等式得．下面解法見解法一，下略．
點撥：求條件最值的問題，基本思想是借助條件化二元函數為一元函數，代入法是最基本的方法，也可考慮通過變形直接利用基本不等式解決.
【反饋練習】
1.設a＞1,且,則的大小關系為m＞p＞n
2.已知下列四個結論：
①若則； ②若,則；
③若則； ④若則。
其中正確的是④
3.已知不等式對任意正實數恒成立，則正實數的最小值為6
4.（1）已知：，且：，求證：，并且求等號成立的條件．
（2）設實數x，y滿足y+x2=0，0解： （1）分析：由已知條件，可以考慮使用均值不等式，但所求證的式子中有，無法利用，故猜想先將所求證的式子進行變形，看能否出現型，再行論證．
證明：
等號成立
當且僅當時．
由以上得
即當時等號成立．
說明：本題是基本題型的變形題．在基本題型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，這容易形成思維定式．本題中是利用條件將所求證的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意靈活運用均值不等式．
（2）∵ ≥，
≤，0∴ ≥ ∴ ≥
∴ ≤
第2課　一元二次不等式
【考點導讀】
1. 會解一元二次不等式，了解一元二次不等式與相應函數、方程之間的聯系和轉化。
2. 能運用一元二次不等式解決綜合性較強的問題.
【基礎練習】
1.解不等式：
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）原不等式化為，解集為
（2）原不等式化為，解集為R
（3）原不等式化為，解集為
（4）由
得
點撥：解一元二次不等式要注意二次項系數的符號、對應方程的判斷、以及對應方程兩根大小的比較.
2. 函數的定義域為
3..二次函數y=ax2+bx+c(x∈R)的部分對應值如下表：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
則不等式ax2+bx+c>0的解集是
4.若不等式的解集是，則b=__-2____ c=__-3____.
【范例導析】
例.解關于ｘ的不等式
分析：本題可以轉化為含參的一元二次不等式，要注意分類討論.
解:原不等式等價于∵∴等價于：
（*）
a>１時，（*）式等價于>0∵<１∴x<或x>２
a<１時，（*）式等價于<0由２－＝知：
當0２，∴２當a<0時，<２，∴當a＝0時，當＝２，∴x∈φ
綜上所述可知：當a<0時，原不等式的解集為（，2）；當a＝0時，原不等式的解集為φ；當0１時，原不等式的解集為（－∞，）∪（2，＋∞）。
思維點撥:含參數不等式,應選擇恰當的討論標準對所含字母分類討論,要做到不重不漏.
【反饋練習】
1.若關于x的不等式的解集為R，則的取值范圍是
2.不等式解集為，則ab值分別為-12，-2
3.若函數f(x) = 的定義域為R，則的取值范圍為
4.已知M是關于x的不等式2x2+(3a－7)x+3＋a－2a2<0解集，且M中的一個元素是0，求實數a的取值范圍，并用a表示出該不等式的解集.
解：原不等式即(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由適合不等式故得，所以，或.
若，則，∴，
此時不等式的解集是；
若，由，∴，
此時不等式的解集是。
第3課　線性規劃
【考點導讀】
1. 會在直角坐標系中表示二元一次不等式、二元一次不等式組對應的區域，能由給定的平面區域確定所對應的二元一次不等式、二元一次不等式組.
2. 能利用圖解法解決簡單的線性規劃問題，并從中體會線性規劃所體現的用幾何圖形研究代數問題的思想.
【基礎練習】
1.原點（0,0）和點P（1,1）在直線的兩側，則a的取值范圍是02. 設集合，則A所表示的平面區域(不含邊界的陰影部分)是( A )
A B C D
3.下面給出四個點中，位于表示的平面區域內的點是（　C　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4.由直線x+y+2=0，x+2y+1=0，2x+y+1=0圍成的三角形區域（不含邊界）用不等式表示為
5.在坐標平面上，不等式組所表示的平面區域的面積為
【范例導析】
例1.設x,y滿足約束條件,求目標函數z=6x+10y的最大值，最小值。
分析：求目標函數的最值，必須先畫出準確的可行域，然后把線性目標函數轉化為一族平行直線，這樣就把線性規劃問題轉化為一族平行直線與一平面區域有交點，直線在y軸上截距的最大值與最小值問題.
解：先作出可行域，如圖所示中的區域，
且求得A(5,2),B(1,1),C(1,)
作出直線L0：6x+10y=0，再將直線L0平移
當L0的平行線過B點時，可使z=6x+10y達到最小值
當L0的平行線過A點時，可使z=6x+10y達到最大值
所以zmin=16;zmax=50
點撥：幾個結論：(1)、線性目標函數的最大（小）值一般在可行域的頂點處取得，也可能在邊界處取得。
（2）、求線性目標函數的最優解，要注意分析線性目標函數所表示的幾何意義——在y軸上的截距或其相反數。
例2.已知，
（1） 求的最大和最小值。
（2） 求的取值范圍。
（3） 求的最大和最小值。
解析：注意目標函數是代表的幾何意義.
解：作出可行域。
（1），作一組平行線l：，解方程組得最優解B（3，1），。解得最優解C（7，9），
（2）表示可行域內的點（x,y）與（0，0）的連線的斜率。從圖中可得，，又，。
（3）表示可行域內的點（x,y）到（0，0）的距離的平方。從圖中易得，，（OF為O到直線AB的距離），。，，，。
點撥：關鍵要明確每一目標函數的幾何意義，從而將目標函數的最值問題轉化為某幾何量的取值范圍.
例3．本公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為元/分鐘和200元/分鐘，規定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？
分析：本例是線性規劃的實際應用題，其解題步驟是：（1）設出變量，列出約束條件及目標函數；（2）畫出可行域（3）觀察平行直線系的運動，求出目標函數的最值.
解：設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為分鐘和分鐘，總收益為元，由題意得
目標函數為．
二元一次不等式組等價于
作出二元一次不等式組所表示的平面區域，即可行域．
如圖：
作直線，
即．
平移直線，從圖中可知，當直線過點時，目標函數取得最大值．
聯立解得．
點的坐標為．
（元）
答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元．
【反饋練習】
1.不等式組表示的平面區域是一個三角形，則的取值范圍是
2.已知點P（x，y）在不等式組表示的平面區域上運動，則z＝x－y的取值范圍是[－1，2]
3.設、滿足約束條件則使得目標函數的最大的點是（2,3）．
4.已知實數滿足則的取值范圍是
5.畫出以A（3，－1）、B（－1，1）、C（1，3）為頂點的△ABC的區域（包括各邊），寫出該區域所表示的二元一次不等式組，并求以該區域為可行域的目標函數z=3x－2y的最大值和最小值.
分析：本例含三個問題：①畫指定區域；②寫所畫區域的代數表達式——不等式組；③求以所寫不等式組為約束條件的給定目標函數的最值
解：如圖，連結點A、B、C，則直線AB、BC、CA所圍成的區域為所求△ABC區域
直線AB的方程為x+2y－1=0，BC及CA的直線方程分別為x－y+2=0，2x+y－5=0
在△ABC內取一點P（1，1），
分別代入x+2y－1，x－y+2，2x+y－5
得x+2y－1>0，x－y+2>0，2x+y－5<0
因此所求區域的不等式組為
x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0
作平行于直線3x－2y=0的直線系3x－2y=t（t為參數），即平移直線y=x，觀察圖形可知：當直線y=x－t過A（3，－1）時，縱截距－t最小此時t最大，tmax=3×3－2×（－1）=11；當直線y=x－t經過點B（－1，1）時，縱截距－t最大，此時t有最小值為tmin= 3×（－1）－2×1=－5
因此，函數z=3x－2y在約束條件x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0下的最大值為11，最小值為－5
。
第4課　不等式綜合
【考點導讀】
能利用不等式性質、定理、不等式解法及證明解決有關數學問題和實際問題，如最值問題、恒成立問題、最優化問題等.
【基礎練習】
1.若函數，則與的大小關系是
2.函數在區間上恒為正，則的取值范圍是0＜a＜2
3.當點在直線上移動時，的最小值是7
4.對于0≤m≤4的m，不等式x2+mx＞4x+m－3恒成立，則x的取值范圍是x＞3或x＜－1
【范例導析】
例1、已知集合，函數的定義域為Q
（1）若，求實數a的取值范圍。
（2）若方程在內有解，求實數a的取值范圍。
分析：問題（1）可轉化為在內有有解；從而和問題（2）是同一類型的問題，既可以直接構造函數角度分析，亦可以采用分離參數.
解：（1）若，在內有有解
令 當時，
所以a>-4,所以a的取值范圍是
（2）方程在內有解， 則在內有解。
當時，
所以時，在內有解
點撥：本題用的是參數分離的思想.
例2.甲、乙兩地相距，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度的平方成正比，且比例系數為；固定部分為元．
（1）把全程運輸成本元表示為速度的函數，并指出這個函數的定義域；
（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？
分析：需由實際問題構造函數模型，轉化為函數問題求解
解：（1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用的時間為，全程運輸成本為
．故所求函數為，定義域為．
（2）由于都為正數，
故有，即．
當且僅當，即時上式中等號成立．
若時，則時，全程運輸成本最小；
當，易證，函數單調遞減，即時，．
綜上可知，為使全程運輸成本最小，
在時，行駛速度應為；
在時，行駛速度應為．
點撥：本題主要考查建立函數關系式、不等式性質（公式）的應用．也是綜合應用數學知識、思想和方法解決實際問題的一道優秀試題．
【反饋練習】
1.設，函數，則使的的取值范圍是
2.如果函數的單調遞增區間是(-∞，a]，那么實數a的取值范圍是____ a<-1____
3.若關于的不等式對任意恒成立，則實數的取值范圍為
4已知二次函數f (x)=,設方程f (x)=x的兩個實根為x1和x2．如果x1<2＜x2<4，且函數f (x)的對稱軸為x=x0，求證：x0＞—1．
證明：設g(x)= f (x)—x=，且g(4)>0，即
∴
不等式
一元二次不等式
基本不等式
二元一次不等式組
應用
解法
應用
幾何意義
應用
證明
例1圖
0
100
200
300
100
200
300
400
500
y
x
l
M
例3
第10題2013高中數學精講精練 第二章 函數
【知識導讀】
【方法點撥】
函數是中學數學中最重要，最基礎的內容之一，是學習高等數學的基礎．高中函數以具體的冪函數，指數函數，對數函數和三角函數的概念，性質和圖像為主要研究對象，適當研究分段函數，含絕對值的函數和抽象函數；同時要對初中所學二次函數作深入理解．
1.活用“定義法”解題．定義是一切法則與性質的基礎，是解題的基本出發點．利用定義，可直接判斷所給的對應是否滿足函數的條件，證明或判斷函數的單調性和奇偶性等．
2.重視“數形結合思想”滲透．“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”．當你所研究的問題較為抽象時，當你的思維陷入困境時，當你對雜亂無章的條件感到頭緒混亂時，一個很好的建議：畫個圖像！利用圖形的直觀性，可迅速地破解問題，乃至最終解決問題．
3.強化“分類討論思想”應用．分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法．進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”．
4.掌握“函數與方程思想”．函數與方程思想是最重要，最基本的數學思想方法之一，它在整個高中數學中的地位與作用很高．函數的思想包括運用函數的概念和性質去分析問題，轉化問題和解決問題．
第1課 函數的概念
【考點導讀】
1.在體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型的基礎上，通過集合與對應的語言刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用；了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域．
2.準確理解函數的概念，能根據函數的三要素判斷兩個函數是否為同一函數．
【基礎練習】
1．設有函數組：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中表示同一個函數的有___②④⑤___．
2.設集合，，從到有四種對應如圖所示：
其中能表示為到的函數關系的有_____②③____．
3.寫出下列函數定義域：
(1) 的定義域為______________； (2) 的定義域為______________；
(3) 的定義域為______________； (4) 的定義域為_________________．
4．已知三個函數:(1)； (2)； (3)．寫出使各函數式有意義時，，的約束條件：
(1)______________________； (2)______________________； (3)______________________________．
5.寫出下列函數值域：
(1) ，；值域是．
(2) ； 值域是．
(3) ，． 值域是．
【范例解析】
例1.設有函數組：①，；②，；
③，；④，．其中表示同一個函數的有③④．
分析：判斷兩個函數是否為同一函數，關鍵看函數的三要素是否相同．
解：在①中，的定義域為，的定義域為，故不是同一函數；在②中，的定義域為，的定義域為，故不是同一函數；③④是同一函數．
點評：兩個函數當它們的三要素完全相同時，才能表示同一函數．而當一個函數定義域和對應法則確定時，它的值域也就確定，故判斷兩個函數是否為同一函數，只需判斷它的定義域和對應法則是否相同即可．
例2.求下列函數的定義域：① ； ② ；
解：（1）① 由題意得：解得且或且，
故定義域為．
② 由題意得：，解得，故定義域為．
例3.求下列函數的值域：
（1），；
（2）；
（3）．
分析：運用配方法，逆求法，換元法等方法求函數值域．
（1） 解：，，函數的值域為；
（2） 解法一：由，，則，，故函數值域為．
解法二：由，則，，，，故函數值域為．
（3）解：令，則，，
當時，，故函數值域為．
點評：二次函數或二次函數型的函數求值域可用配方法；逆求法利用函數有界性求函數的值域；用換元法求函數的值域應注意新元的取值范圍．
【反饋演練】
1．函數f(x)＝的定義域是___________．
2．函數的定義域為_________________．
3. 函數的值域為________________．
4. 函數的值域為_____________．
5．函數的定義域為_____________________．
6.記函數f(x)=的定義域為A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定義域為B．
(1) 求A；
(2) 若BA，求實數a的取值范圍．
解：(1)由2－≥0，得≥0，x<－1或x≥1， 即A=(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ．
(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0．
∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a，a+1) ．
∵BA， ∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥或a≤－2，而a<1，
∴≤a<1或a≤－2，故當BA時， 實數a的取值范圍是(－∞,－2]∪[,1)．
第2課 函數的表示方法
【考點導讀】
1.會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖像法，列表法，解析法）表示函數．
2.求解析式一般有四種情況：（1）根據某個實際問題須建立一種函數關系式；（2）給出函數特征，利用待定系數法求解析式；（3）換元法求解析式；（4）解方程組法求解析式．
【基礎練習】
1.設函數，，則_________；__________．
2.設函數，,則_____3_______；；．
3.已知函數是一次函數，且，,則__15___．
4.設f(x)＝，則f[f()]＝_____________．
5.如圖所示的圖象所表示的函數解析式為__________________________．
【范例解析】
例1.已知二次函數的最小值等于4，且，求的解析式．
分析：給出函數特征，可用待定系數法求解．
解法一：設，則解得
故所求的解析式為．
解法二：，拋物線有對稱軸．故可設．
將點代入解得．故所求的解析式為．
解法三：設，由，知有兩個根0，2，
可設，，
將點代入解得．故所求的解析式為．
點評：三種解法均是待定系數法，也是求二次函數解析式常用的三種形式：一般式，頂點式，零點式．
例2.甲同學家到乙同學家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km，甲10時出發前往乙家．如圖，表示甲從出發到乙家為止經過的路程y（km）與時間x（分）的關系．試寫出的函數解析式．
分析：理解題意，根據圖像待定系數法求解析式．
解：當時，直線方程為，當時，直線方程為，
點評：建立函數的解析式是解決實際問題的關鍵，把題中文字語言描述的數學關系用數學符號語言表達．要注意求出解析式后，一定要寫出其定義域．
【反饋演練】
1．若，，則（ D ）
　　Ａ． 　　　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　Ｄ．
2．已知，且，則m等于________．
3. 已知函數f(x)和g(x)的圖象關于原點對稱，且f(x)＝x2＋2x．求函數g(x)的解析式．
解：設函數的圖象上任意一點關于原點的對稱點為，
則
∵點在函數的圖象上
∴．
第3課 函數的單調性
【考點導讀】
1.理解函數單調性，最大（小）值及其幾何意義；
2.會運用單調性的定義判斷或證明一些函數的增減性．
【基礎練習】
1.下列函數中：
①； ②； ③； ④．
其中，在區間(0，2)上是遞增函數的序號有___②___．
2.函數的遞增區間是___ R ___．
3.函數的遞減區間是__________．
4.已知函數在定義域R上是單調減函數，且，則實數a的取值范圍__________．
5.已知下列命題：
①定義在上的函數滿足，則函數是上的增函數；
②定義在上的函數滿足，則函數在上不是減函數；
③定義在上的函數在區間上是增函數，在區間上也是增函數，則函數在上是增函數；
④定義在上的函數在區間上是增函數，在區間上也是增函數，則函數在上是增函數．
其中正確命題的序號有_____②______．
【范例解析】
例 . 求證：（1）函數在區間上是單調遞增函數；
（2）函數在區間和上都是單調遞增函數．
分析：利用單調性的定義證明函數的單調性，注意符號的確定．
證明：（1）對于區間內的任意兩個值，，且，
因為
，
又，則，，得，
故，即，即．
所以，函數在區間上是單調增函數．
（2）對于區間內的任意兩個值，，且，
因為，
又，則，，得，
故，即，即．
所以，函數在區間上是單調增函數．
同理，對于區間，函數是單調增函數；
所以，函數在區間和上都是單調增函數．
點評：利用單調性定義證明函數的單調性，一般分三步驟：（1）在給定區間內任意取兩值，；（2）作差，化成因式的乘積并判斷符號；（3）給出結論．
例2.確定函數的單調性．
分析：作差后，符號的確定是關鍵．
解：由，得定義域為．對于區間內的任意兩個值，，且，
則
又，，
，即．
所以，在區間上是增函數．
點評：運用有理化可以對含根號的式子進行符號的確定．
【反饋演練】
1．已知函數，則該函數在上單調遞__減__，（填“增”“減”）值域為_________．
2．已知函數在上是減函數，在上是增函數，則__25___.
3. 函數的單調遞增區間為.
4. 函數的單調遞減區間為．
5. 已知函數在區間上是增函數，求實數a的取值范圍．
解：設對于區間內的任意兩個值，，且，
則，
，，得，，，即．
第4課 函數的奇偶性
【考點導讀】
1.了解函數奇偶性的含義，能利用定義判斷一些簡單函數的奇偶性；
2.定義域對奇偶性的影響：定義域關于原點對稱是函數為奇函數或偶函數的必要但不充分條件；不具備上述對稱性的，既不是奇函數，也不是偶函數．
【基礎練習】
1.給出4個函數：①；②；③；④．
其中奇函數的有___①④___；偶函數的有____②____；既不是奇函數也不是偶函數的有____③____．
2. 設函數為奇函數，則實數 －1 ．
3.下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是減函數的是（ A ）
A. B. C. D.
【范例解析】
例1.判斷下列函數的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）
分析：判斷函數的奇偶性，先看定義域是否關于原點對稱，再利用定義判斷．
解：（1）定義域為，關于原點對稱；,
所以為偶函數．
（2）定義域為，關于原點對稱；，
，故為奇函數．
（3）定義域為，關于原點對稱；，且，
所以既為奇函數又為偶函數．
（4）定義域為，不關于原點對稱；故既不是奇函數也不是偶函數．
（5）定義域為，關于原點對稱；，，則且，故既不是奇函數也不是偶函數．
（6）定義域為，關于原點對稱；
，又，
，故為奇函數．
點評：判斷函數的奇偶性，應首先注意其定義域是否關于原點對稱；其次，利用定義即或判斷，注意定義的等價形式或．
例2. 已知定義在上的函數是奇函數，且當時，，求函數的解析式，并指出它的單調區間．
分析：奇函數若在原點有定義，則．
解：設，則，．
又是奇函數，，．
當時，．
綜上，的解析式為．
作出的圖像，可得增區間為，，減區間為，．
點評：（1）求解析式時的情況不能漏；（2）兩個單調區間之間一般不用“”連接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通過“”實現轉化；（4）根據圖像寫單調區間．
【反饋演練】
1．已知定義域為R的函數在區間上為減函數，且函數為偶函數，則（ D ）
A． B． C． D．
2. 在上定義的函數是偶函數，且，若在區間是減函數，則函數（ B ）
A.在區間上是增函數，區間上是增函數
B.在區間上是增函數，區間上是減函數
C.在區間上是減函數，區間上是增函數
D.在區間上是減函數，區間上是減函數
3. 設，則使函數的定義域為R且為奇函數的所有的值為____1，3 ___．
4．設函數為奇函數，則________．
5．若函數是定義在R上的偶函數，在上是減函數，且，則使得的x的取
值范圍是（－2，2）．
6. 已知函數是奇函數．又，,求a，b，c的值；
解：由，得，得．又，得，
而，得，解得．又，或1．
若，則，應舍去；若，則．
所以，．
綜上，可知的值域為．
第5 課 函數的圖像
【考點導讀】
1.掌握基本初等函數的圖像特征，學會運用函數的圖像理解和研究函數的性質；
2.掌握畫圖像的基本方法：描點法和圖像變換法．
【基礎練習】
1.根據下列各函數式的變換，在箭頭上填寫對應函數圖像的變換：
（1） ；
（2） ．
2.作出下列各個函數圖像的示意圖：
（1）； （2）； （3）．
解：（1）將的圖像向下平移1個單位，可得的圖像．圖略；
（2）將的圖像向右平移2個單位，可得的圖像．圖略；
（3）由，將的圖像先向右平移1個單位，得的圖像，再向下平移1個單位，可得的圖像．如下圖所示：
3.作出下列各個函數圖像的示意圖：
（1）； （2）； （3）； （4）．
解：（1）作的圖像關于y軸的對稱圖像，如圖1所示；
（2）作的圖像關于x軸的對稱圖像，如圖2所示；
（3）作的圖像及它關于y軸的對稱圖像，如圖3所示；
（4）作的圖像，并將x軸下方的部分翻折到x軸上方，如圖4所示．
4. 函數的圖象是 （ B ）
【范例解析】
例1.作出函數及，，，，的圖像．
分析：根據圖像變換得到相應函數的圖像．
解：與的圖像關于y軸對稱；
與的圖像關于x軸對稱；
將的圖像向左平移2個單位得到的圖像；
保留的圖像在x軸上方的部分，將x軸下方的部分關于x軸翻折上去，并去掉原下方的部分；
將的圖像在y軸右邊的部分沿y軸翻折到y軸的左邊部分替代原y軸左邊部分，并保留在y軸右邊部分．圖略．
點評：圖像變換的類型主要有平移變換，對稱變換兩種．平移變換：左“+”右“－”，上“+”下“－”；對稱變換：與的圖像關于y軸對稱；
與的圖像關于x軸對稱；與的圖像關于原點對稱；
保留的圖像在x軸上方的部分，將x軸下方的部分關于x軸翻折上去，并去掉原下方的部分；
將的圖像在y軸右邊的部分沿y軸翻折到y軸的左邊部分替代原y軸左邊部分，并保留在y軸右邊部分．
例2.設函數.
（1）在區間上畫出函數的圖像；
（2）設集合. 試判斷集合和之間的關系，并給出證明.
分析：根據圖像變換得到的圖像，第（3）問實質是恒成立問題．
解：（1）
（2）方程的解分別是和，由于在和上單調遞減，在和上單調遞增，因此.
由于.
【反饋演練】
1．函數的圖象是（ B ）
2. 為了得到函數的圖象，可以把函數的圖象向右平移1個單位長度得到．
3．已知函數的圖象有公共點A，且點A的橫坐標為2，則=．
4．設f(x)是定義在R上的奇函數，且y=f (x)的圖象關于直線對稱，則
f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ ．
5. 作出下列函數的簡圖：
（1）； （2）； （3）．
第6課 二次函數
【考點導讀】
1.理解二次函數的概念，掌握二次函數的圖像和性質；
2.能結合二次函數的圖像判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，從而了解函數的零點與方程根的聯系．
【基礎練習】
1. 已知二次函數,則其圖像的開口向__上__；對稱軸方程為；頂點坐標為 ，與軸的交點坐標為，最小值為．
2. 二次函數的圖像的對稱軸為,則__－2___，頂點坐標為，遞增區間為，遞減區間為．
3. 函數的零點為．
4. 實系數方程兩實根異號的充要條件為；有兩正根的充要條件為；有兩負根的充要條件為．
5. 已知函數在區間上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是__________．
【范例解析】
例1.設為實數，函數，．
（1）討論的奇偶性；
（2）若時，求的最小值．
分析：去絕對值．
解：（1）當時，函數
此時，為偶函數．
當時，，，
，．
此時既不是奇函數，也不是偶函數．
（2）
由于在上的最小值為，在內的最小值為．
故函數在內的最小值為．
點評：注意分類討論；分段函數求最值，先求每個區間上的函數最值，再確定最值中的最值．
例2.函數在區間的最大值記為，求的表達式．
分析：二次函數在給定區間上求最值，重點研究其在所給區間上的單調性情況．
解：∵直線是拋物線的對稱軸，∴可分以下幾種情況進行討論：
（1）當時，函數，的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由知在上單調遞增，故；
（2）當時，，，有=2；
（3）當時，，函數，的圖象是開口向下的拋物線的一段，
若即時，，
若即時，，
若即時，．
綜上所述，有=．
點評：解答本題應注意兩點：一是對時不能遺漏；二是對時的分類討論中應同時考察拋物線的開口方向，對稱軸的位置及在區間上的單調性．
【反饋演練】
1．函數是單調函數的充要條件是．
2．已知二次函數的圖像頂點為，且圖像在軸上截得的線段長為8，則此二次函數的解析式為．
3. 設，二次函數的圖象為下列四圖之一：
則a的值為 （ B ）
A．1 B．－1 C． D．
4．若不等式對于一切成立，則a的取值范圍是．
5.若關于x的方程在有解，則實數m的取值范圍是．
6.已知函數在有最小值，記作．
（1）求的表達式；
（2）求的最大值．
解：（1）由知對稱軸方程為，
當時，即時，；
當，即時，；
當，即時，；
綜上，．
（2）當時，；當時，；當時，．故當時，的最大值為3．
7. 分別根據下列條件,求實數a的值：
（1）函數在在上有最大值2；
（2）函數在在上有最大值4．
解：（1）當時，，令，則；
當時，，令，（舍）；
當時，，即．
綜上，可得或．
（2）當時，，即，則；
當時，，即，則．
綜上，或．
8. 已知函數．
（1）對任意，比較與的大小；
（2）若時，有，求實數a的取值范圍．
解：（1）對任意，，
故．
（2）又，得，即，
得，解得．
第7課 指數式與對數式
【考點導讀】
1.理解分數指數冪的概念，掌握分數指數冪的運算性質；
2.理解對數的概念，掌握對數的運算性質；
3.能運用指數，對數的運算性質進行化簡，求值，證明，并注意公式成立的前提條件；
4.通過指數式與對數式的互化以及不同底的對數運算化為同底對數運算．
【基礎練習】
1.寫出下列各式的值：
； ____4____； ；
___0_____； ____1____； __－4__．
2.化簡下列各式：
（1）；
（2）．
3.求值：（1）___－38____；
（2）____1____；
（3）_____3____．
【范例解析】
例1. 化簡求值：
（1）若，求及的值；
（2）若，求的值．
分析：先化簡再求值．
解：（1）由，得，故；
又，；，故．
（2）由得；則．
點評：解條件求值問題：（1）將已知條件適當變形后使用；（2）先化簡再代入求值．
例2.（1）求值：；
（2）已知，，求．
分析：化為同底．
解：（1）原式=；
（2）由，得；所以．
點評：在對數的求值過程中，應注意將對數化為同底的對數．
例3. 已知，且，求c的值．
分析：將a，b都用c表示．
解：由，得，；又，則，
得．，．
點評：三個方程三個未知數，消元法求解．
【反饋演練】
1．若，則．
2．設，則．
3．已知函數，若，則－b．
4．設函數若，則x0的取值范圍是（－∞，－1）∪（1，+∞）．
5．設已知f (x6) = log2x，那么f (8)等于．
6．若，，則k =__－1__．
7．已知函數，且．
（1）求實數c的值；
（2）解不等式．
解：（1）因為，所以，
由，即，．
（2）由（1）得：
由得，當時，解得．
當時，解得，
所以的解集為．
第8課 冪函數、指數函數及其性質
【考點導讀】
1.了解冪函數的概念，結合函數，，，，的圖像了解它們的變化情況；
2.理解指數函數的概念和意義，能畫出具體指數函數的圖像，探索并理解指數函數的單調性；
3.在解決實際問題的過程中，體會指數函數是一類重要的函數模型．
【基礎練習】
1.指數函數是R上的單調減函數，則實數a的取值范圍是．
2.把函數的圖像分別沿x軸方向向左，沿y軸方向向下平移2個單位，得到的圖像，則．
3.函數的定義域為___R__；單調遞增區間；值域．
4.已知函數是奇函數，則實數a的取值．
5.要使的圖像不經過第一象限，則實數m的取值范圍．
6.已知函數過定點，則此定點坐標為．
【范例解析】
例1.比較各組值的大小：
（1），，，；
（2），，，其中；
（3），．
分析：同指不同底利用冪函數的單調性，同底不同指利用指數函數的單調性．
解：（1），而，
．
（2）且，．
（3）．
點評：比較同指不同底可利用冪函數的單調性，同底不同指可利用指數函數的單調性；另注意通過0，1等數進行間接分類．
例2.已知定義域為的函數是奇函數,求的值；
解：因為是奇函數，所以=0，即
又由f（1）= －f（－1）知
例3.已知函數，求證：
（1）函數在上是增函數；
（2）方程沒有負根．
分析：注意反證法的運用．
證明：（1）設，，
，，又，所以，，，則
故函數在上是增函數．
（2）設存在，滿足，則．又，
即，與假設矛盾，故方程沒有負根．
點評：本題主要考察指數函數的單調性，函數和方程的內在聯系．
【反饋演練】
1．函數對于任意的實數都有（ C ）
A． B．
C． D．
2．設，則（ A ）
A．－23．將y=2x的圖像 ( D ) 再作關于直線y=x對稱的圖像，可得到函數的圖像．
A．先向左平行移動1個單位 B．先向右平行移動1個單位
C．先向上平行移動1個單位 D． 先向下平行移動1個單位
4．函數的圖象如圖，其中a、b為常數，則下列結論正確的是（ C ）
A． B．
C． D．
5．函數在上的最大值與最小值的和為3，則的值為___2__．
6．若關于x的方程有實數根，求實數m的取值范圍．
解：由得，，
7．已知函數．
（1）判斷的奇偶性；
（2）若在R上是單調遞增函數，求實數a的取值范圍．
解：（1）定義域為R，則，故是奇函數．
（2）設，，
當時，得，即；
當時，得，即；
綜上，實數a的取值范圍是．
第9課 對數函數及其性質
【考點導讀】
1.理解對數函數的概念和意義，能畫出具體對數函數的圖像，探索并理解對數函數的單調性；
2.在解決實際問題的過程中，體會對數函數是一類重要的函數模型；
3.熟練運用分類討論思想解決指數函數，對數函數的單調性問題．
【基礎練習】
1. 函數的單調遞增區間是．
2. 函數的單調減區間是．
【范例解析】
例1. （1）已知在是減函數，則實數的取值范圍是_________．
（2）設函數，給出下列命題：
①有最小值； ②當時，的值域為；
③當時，的定義域為；
④若在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是．
則其中正確命題的序號是_____________．
分析：注意定義域，真數大于零．
解：（1），在上遞減，要使在是減函數，則；又在上要大于零，即，即；綜上，．
（2）①有無最小值與a的取值有關；②當時，，成立；
③當時，若的定義域為，則恒成立，即，即成立；④若在區間上單調遞增，則解得，不成立．
點評：解決對數函數有關問題首先要考慮定義域，并能結合對數函數圖像分析解決．
例3.已知函數，求函數的定義域，并討論它的奇偶性和單調性.
分析：利用定義證明復合函數的單調性．
解：x須滿足所以函數的定義域為（－1，0）∪（0，1）.
因為函數的定義域關于原點對稱，且對定義域內的任意x，有
，所以是奇函數.
研究在（0，1）內的單調性，任取x1、x2∈（0，1），且設x1得>0，即在（0，1）內單調遞減，
由于是奇函數，所以在（－1，0）內單調遞減.
點評：本題重點考察復合函數單調性的判斷及證明，運用函數性質解決問題的能力．
【反饋演練】
1．給出下列四個數：①；②；③；④.其中值最大的序號是___④___.
2．設函數的圖像過點，，則等于___5_ _．
3．函數的圖象恒過定點，則定點的坐標是．
4．函數上的最大值和最小值之和為a，則a的值為．
5．函數的圖象和函數的圖象的交點個數有___3___個.
6．下列四個函數：①； ②；③；
④.其中，函數圖像只能是如圖所示的序號為___②___.
7．求函數,的最大值和最小值．
解：
令，，則，
即求函數在上的最大值和最小值．
故函數的最大值為0，最小值為．
8．已知函數．
（1）求的定義域；（2）判斷的奇偶性；（3）討論的單調性，并證明．
解：（1）解：由 ，故的定義域為．
（2），故為奇函數．
（3）證明：設，則，
．
當時，，故在上為減函數；同理在上也為減函數；
當時，，故在，上為增函數．
第10課 函數與方程
【考點導讀】
1.能利用二次函數的圖像與判別式的正負，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，了解函數零點與方程根的聯系．
2.能借助計算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的實質．
3.體驗并理解函數與方程的相互轉化的數學思想方法．
【基礎練習】
1.函數在區間有_____1 ___個零點．
2.已知函數的圖像是連續的，且與有如下的對應值表：
1 2 3 4 5 6
－2.3 3.4 0 －1.3 －3.4 3.4
則在區間上的零點至少有___3__個．
【范例解析】
例1.是定義在區間[－c，c]上的奇函數，其圖象如圖所示：令，
則下列關于函數的結論：
①若a<0，則函數的圖象關于原點對稱；
②若a=－1，－2③若a≠0，，則方程=0有兩個實根；
④若，，則方程=0有三個實根．
其中，正確的結論有___________．
分析：利用圖像將函數與方程進行互化．
解：當且時，是非奇非偶函數，①不正確；當，時，是奇函數，關于原點對稱，③不正確；當，時，，由圖知，當時，才有三個實數根，故④不正確；故選②．
點評：本題重點考察函數與方程思想，突出考察分析和觀察能力；題中只給了圖像特征，因此，應用其圖，察其形，舍其次，抓其本．
例2.設，若，，．
求證：（1）且；
（2）方程在內有兩個實根．
分析：利用，，進行消元代換．
證明：（1），，由，得，代入得：
，即，且，即，即證．
（2），又，．則兩根分別在區間，內，得證．
點評：在證明第（2）問時，應充分運用二分法求方程解的方法，選取的中點來考察的正負是首選目標，如不能實現，則應在區間內選取其它的值．本題也可選，也可利用根的分布來做．
【反饋演練】
1． 設，為常數．若存在，使得，則實數a的取值范圍是 ．
2．設函數若，，則關于x的方程解的個數為 （ C ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知，且方程無實數根，下列命題：
①方程也一定沒有實數根；②若，則不等式對一切實數都成立；
③若，則必存在實數，使
④若，則不等式對一切實數都成立．
其中正確命題的序號是 ①②④ ．
4．設二次函數，方程的兩根和滿足．求實數的取值范圍．
解：令，
則由題意可得．
故所求實數的取值范圍是．
5．已知函數是偶函數,求k的值；
解： 是偶函數，
由于此式對于一切恒成立，
6．已知二次函數．若a>b>c，　且f（1）=0，證明f（x）的圖象與x軸有2個交點.
證明：
的圖象與x軸有兩個交點.
第11課 函數模型及其應用
【考點導讀】
1.能根據實際問題的情境建立函數模型，結合對函數性質的研究，給出問題的解答．
2.理解數據擬合是用來對事物的發展規律進行估計的一種方法，會根據條件借助計算工具解決一些簡單的實際問題．
3.培養學生數學地分析問題，探索問題，解決問題的能力．
【基礎練習】
1今有一組實驗數據如下：
1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
1.5 4.04 7.5 12 18.01
現準備用下列函數中的一個近似地表示這些數據滿足的規律，
① ② ③ ④
其中最接近的一個的序號是______③_______．
2.某摩托車生產企業，上年度生產摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛.本年度為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0 < x < 1)，則出廠價相應的提高比例為0.75x，同時預計年銷售量增加的比例為0.6x.已知年利潤 = (出廠價－投入成本)×年銷售量.
(Ⅰ)寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式；
(Ⅱ)為使本年度的年利潤比上年有所增加，問投入成本增加的比例x應在什么范圍內？
解：（Ⅰ）由題意得y = [ 1.2×(1+0.75x)－1×(1 + x) ] ×1000×( 1+0.6x )（0 < x < 1）
整理得 y = －60x2 + 20x + 200（0 < x < 1）.
（Ⅱ）要保證本年度的利潤比上年度有所增加，當且僅當
即 解不等式得.
答：為保證本年度的年利潤比上年度有所增加，投入成本增加的比例x應滿足0 < x < 0.33.
【范例解析】
例. 某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內，西紅柿市場售價與上市時間的關系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖二的拋物線段表示．
(Ⅰ)寫出圖一表示的市場售價與時間的函數關系式p=f(t)；寫出圖二表示的種植成本與時間的函數關系式Q=g(t)；
(Ⅱ)認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？
(注：市場售價和種植成本的單位：元/102kg，時間單位：天)
解：(Ⅰ)由圖一可得市場售價與時間的函數關系為
由圖二可得種植成本與時間的函數關系為
g(t)= (t－150)2+100，0≤t≤300．
(Ⅱ)設t時刻的純收益為h(t)，則由題意得
h(t)=f(t)－g(t)，
即
當0≤t≤200時，配方整理得
h(t)=－(t－50)2+100，
所以，當t=50時，h(t)取得區間[0，200]上的最大值100；
當200所以，當t=300時，h(t)取得區間（200，300]上的最大值87.5．
綜上:由100>87.5可知，h(t)在區間[0，300]上可以取得最大值100，此時t=50，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大
【反饋演練】
1．把長為12cm的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，則這兩個正三角形面積之和的最小值是___________．
2．某地高山上溫度從山腳起每升高100m降低0.7℃，已知山頂的溫度是14.1℃，山腳的溫度是26℃，則此山的高度為_____17_____m．
3．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤（單位：萬元）分別為L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2 x，其中x為銷售量（單位：輛）.若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為____45.6___萬元．
4．某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x，y(單位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架圍成的總面積8cm2. 問x、y分別為多少時用料最省
解：由題意得 xy+x2=8，∴y==(0則框架用料長度為l=2x+2y+2()=(+)x+≥4.
當(+)x=,即x=8－4時等號成立.
此時，x=8－4，，
故當x為8－4m，y為m時，用料最省.
映射
特殊化
函數
具體化
一般化
概念
圖像
表 示 方 法
定義域 值域
單調性 奇偶性
基本初等函數Ⅰ
冪函數
指數函數
對數函數
二次函數
指數
對數
互 逆
函數與方程
應用問題
y
1
2
2
x
O
②
1
2
2
x
y
O
①
1
2
2
x
O
③
y
1
2
2
x
O
④
y
且且
第5題
(0≤x≤2)
x
y
O
1
2
3
4
10
20
30
40
50
60
例2
向上平移3個單位
向右平移1個單位
向右平移3個單位
作關于y軸對稱的圖形
O
y
x
1
－1
－1
O
y
x
圖1
－1
O
y
x
圖2
－1
O
y
x
圖4
－1
O
y
x
圖3
1
A
1
x
y
O
B
1
x
y
O
C
1
x
y
O
D
1
x
y
O
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
O
y
1
1
B．
x
O
y
x
1
1
A．
O
y
－1
1
D．
x
O
y
x
－1
1
C．
1
O
－1
1
x
y
第4題
第6題
第4題
x
y2013高中數學精講精練 第五章 數列
【知識圖解】
【方法點撥】
1．學會從特殊到一般的觀察、分析、思考，學會歸納、猜想、驗證．
2．強化基本量思想，并在確定基本量時注重設變量的技巧與解方程組的技巧．
3．在重點掌握等差、等比數列的通項公式、求和公式、中項等基礎知識的同時，會針對可化為等差（比）數列的比較簡單的數列進行化歸與轉化．
4．一些簡單特殊數列的求通項與求和問題，應注重通性通法的復習．如錯位相減法、迭加法、迭乘法等．
5．增強用數學的意識，會針對有關應用問題，建立數學模型，并求出其解．
第1課　數列的概念
【考點導讀】
1． 了解數列（含等差數列、等比數列）的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式），了解數列是一種特殊的函數；
2． 理解數列的通項公式的意義和一些基本量之間的關系；
3． 能通過一些基本的轉化解決數列的通項公式和前項和的問題。
【基礎練習】
1.已知數列滿足，則=。
分析:由a1=0,得 由此可知: 數列是周期變化的,且三個一循環,所以可得:
2．在數列中，若，，則該數列的通項 2n-1 。
3．設數列的前n項和為， ，且，則____2__.
4．已知數列的前項和，則其通項 ．
【范例導析】
例1．設數列的通項公式是，則
（1）70是這個數列中的項嗎？如果是，是第幾項？
（2）寫出這個數列的前5項，并作出前5項的圖象；
（3）這個數列所有項中有沒有最小的項？如果有，是第幾項？
分析：70是否是數列的項，只要通過解方程就可以知道；而作圖時則要注意數列與函數的區別，數列的圖象是一系列孤立的點；判斷有無最小項的問題可以用函數的觀點來解決，一樣的是要注意定義域問題。
解：（1）由得：或
所以70是這個數列中的項，是第13項。
（2）這個數列的前5項是；（圖象略）
（3）由函數的單調性：是減區間，是增區間，
所以當時，最小，即最小。
點評：該題考察數列通項的定義，會判斷數列項的歸屬，要注重函數與數列之間的聯系，用函數的觀點解決數列的問題有時非常方便。
例2．設數列的前n項和為，點均在函數y＝3x－2的圖像上,求數列的通項公式。
分析：根據題目的條件利用與的關系： ，（要特別注意討論n=1的情況）求出數列的通項。
解：依題意得，即。
當n≥2時，;
當n=1時， 所以。
例3．已知數列｛a｝滿足,
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）若數列滿足,證明：是等差數列;
分析：本題第1問采用構造等比數列來求通項問題，第2問依然是構造問題。
解：（I）
是以為首項，2為公比的等比數列。
即　
（II）
　　①
　　　　　②；
②－①，得 即③
∴　④
③－④，得　 即　是等差數列。
點評：本小題主要考查數列、不等式等基本知識，考查化歸的數學思想方法，考查綜合解題能力。
【反饋演練】
1．若數列前8項的值各異，且對任意n∈N*都成立，則下列數列中可取遍 前8項值的數列為 （2） 。
（1） （2） （3） （4）
2．設Sn是數列的前n項和，且Sn=n2，則是 等差數列，但不是等比數列 。
3．設f（n）=（n∈N），那么f（n+1）－f（n）等于 。
4．根據市場調查結果，預測某種家用商品從年初開始的n個月內累積的需求量Sn（萬件）近似地滿足Sn=（21n－n2－5）（n=1，2，……，12）.按此預測，在本年度內，需求量超過1.5萬件的月份是 7月、8月 。
5．在數列中，則 505 。
6．數列中，已知，
（1）寫出，，； （2）是否是數列中的項？若是，是第幾項？
解：（1）∵，∴，
，；
（2）令，解方程得，
∵，∴， 即為該數列的第15項。
第2課　等差、等比數列
【考點導讀】
1． 掌握等差、等比數列的通項公式、前項和公式，能運用公式解決一些簡單的問題；
2． 理解等差、等比數列的性質，了解等差、等比數列與函數之間的關系；
3． 注意函數與方程思想方法的運用。
【基礎練習】
1．在等差數列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，首項a1= -2 ，公差d= 3 。
2．一個等比數列的第3項與第4項分別是12與18，則它的第1項是，第2項是 8 。
3．設是公差為正數的等差數列，若，，則。
4．公差不為0的等差數列{an}中，a2，a3，a6依次成等比數列，則公比等于 3 。
【范例導析】
例1．（1）若一個等差數列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數列有
13 項。
（2）設數列{an}是遞增等差數列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項是 2 。
解：（1）答案：13
法1：設這個數列有n項
∵ ∴
∴n＝13
法2：設這個數列有n項
∵
∴ ∴
又 ∴n＝13
（2）答案：2 因為前三項和為12，∴a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝＝4
又a1·a2·a3＝48， ∵a2＝4，∴a1·a3＝12，a1＋a3＝8，
把a1，a3作為方程的兩根且a1＜a3，
∴x2－8x＋12＝0，x1＝6，x2＝2，∴a1＝2，a3＝6，∴選B.
點評：本題考查了等差數列的通項公式及前n項和公式的運用和學生分析問題、解決問題的能力。
例2．（1）已知數列為等差數列，且
（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）證明
分析：（1）借助通過等差數列的定義求出數列的公差，再求出數列的通項公式，（2）求和還是要先求出數列的通項公式，再利用通項公式進行求和。
解：（1）設等差數列的公差為d，
由 即d=1。
所以即
（II）證明：因為，
所以
點評：該題通過求通項公式，最終通過通項公式解釋復雜的不等問題，屬于綜合性的題目，解題過程中注意觀察規律。
例3．已知數列的首項（是常數，且），（），數列的首項，（）。
（1）證明：從第2項起是以2為公比的等比數列；
（2）設為數列的前n項和，且是等比數列，求實數的值。
分析：第（1）問用定義證明，進一步第（2）問也可以求出。
解：（1）∵ ∴
(n≥2)
由得，，∵，∴ ，
即從第2項起是以2為公比的等比數列。
（2）
當n≥2時，
∵是等比數列, ∴(n≥2)是常數， ∴3a+4=0，即 。
點評：本題考查了用定義證明等比數列，分類討論的數學思想，有一定的綜合性。
【反饋演練】
1．已知等差數列中，，則前10項的和＝ 210 。
2．在等差數列中，已知則＝ 42 。
3．已知等差數列共有10項，其中奇數項之和15，偶數項之和為30，則其公差是 3 。
4．如果成等比數列，則 3 ， -9 。
5．設等差數列{an}的前n項和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范圍；
(2)指出S1、S2、…、S12中哪一個值最大，并說明理由.
解：(1)依題意有：
解之得公差d的取值范圍為－＜d＜－3.
(2)解法一：由d＜0可知a1>a2>a3>…>a12>a13,因此，在S1，S2，…，S12中Sk為最大值的條件為：ak≥0且ak+1＜0,即
∵a3=12, ∴， ∵d＜0, ∴2－＜k≤3－
∵－＜d＜－3,∴＜－＜4,得5.5＜k＜7.
因為k是正整數，所以k=6,即在S1，S2，…，S12中，S6最大.
解法二：由d＜0得a1>a2>…>a12>a13，
因此若在1≤k≤12中有自然數k,使得ak≥0,且ak+1＜0,則Sk是S1，S2，…，S12中的最大值。又2a7=a1+a13=S13＜0, ∴a7＜0, a7+a6=a1+a12=S12>0, ∴a6≥－a7>0
故在S1，S2，…，S12中S6最大.
解法三：依題意得：
最小時，Sn最大；
∵－＜d＜－3, ∴6＜(5－)＜6.5.
從而，在正整數中，當n=6時，［n－ (5－)］2最小，所以S6最大.
點評：該題的第(1)問通過建立不等式組求解屬基本要求，難度不高，入手容易.
第(2)問難度較高，為求{Sn}中的最大值Sk（1≤k≤12）：思路之一是知道Sk為最大值的充要條件是ak≥0且ak+1＜0；而思路之二則是通過等差數列的性質等和性探尋數列的分布規律，找出“分水嶺”，從而得解；思路之三是可視Sn為n的二次函數，借助配方法可求解，它考查了等價轉化的數學思想、邏輯思維能力和計算能力，較好地體現了高考試題注重能力考查的特點.
第3課　數列的求和
【考點導讀】
對于一般數列求和是很困難的，在推導等差、等比數列的和時出現了一些方法可以遷移到一般數列的求和上，掌握數列求和的常見方法有：
（1）公式法：⑴ 等差數列的求和公式，⑵ 等比數列的求和公式
（2）分組求和法：在直接運用公式求和有困難時常，將“和式”中的“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和（如：通項中含因式，周期數列等等）
（3）倒序相加法：如果一個數列｛a｝，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，則可用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到了一個常數列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2
（4）錯項相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列與一個等比數列的對應項相乘所組成，此時求和可采用錯位相減法。
（5）裂項相消法：把一個數列的各項拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前n項之和變成首尾若干少數項之和。
【基礎練習】
1．已知公差不為0的正項等差數列｛an｝中,Sn為前n項之和,lga1、lga2、lga4成等差數列，若a5=10,
則S5 = 30 。
2．已知數列｛an｝是等差數列,且a2=8,a8=26,從｛an｝中依次取出第3項,第9項,第27項…,第3n項,按原來的順序構成一個新的數列｛bn｝, 則bn=__3n+1+2___
3．若數列滿足：，2，3….則.
【范例導析】
例1.已知等比數列分別是某等差數列的第5項、第3項、第2項，且
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）設，求數列
解：（I）依題意
（II）
點評：本題考查了等比數列的基本性質和等差數列的求和，本題還考查了轉化的思想。
例2．數列前項之和滿足：
（1） 求證：數列是等比數列；
（2） 若數列的公比為,數列滿足：，求數列的通項公式；
（3） 定義數列為，，求數列的前項之和。
解：（1）由得：
兩式相減得：　即,
∴數列是等比數列。
（2），則有 ∴。
（3），
∴
點評：本題考查了與之間的轉化問題，考查了基本等差數列的定義，還有裂項相消法求和問題。
例3．已知數列滿足，．
（Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）設，求數列的前項和；
（Ⅲ）設，數列的前項和為．求證：對任意的，．
分析：本題所給的遞推關系式是要分別“取倒”再轉化成等比型的數列，對數列中不等式的證明通常是放縮通項以利于求和。
解：（Ⅰ），，
又，數列是首項為，公比為的等比數列．
，　 即.　　　　　　　　 　　
（Ⅱ）．
．
（Ⅲ）， ．
當時，則
．
， 對任意的，．
點評：本題利用轉化思想將遞推關系式轉化成我們熟悉的結構求得數列的通項，第二問分組求和法是非常常見的方法，第三問不等式的證明要用到放縮的辦法，放縮的目的是利于求和，所以通常會放成等差、等比數列求和，或者放縮之后可以裂項相消求和。
【反饋演練】
1．已知數列的通項公式，其前項和為，則數列的前10項的和為 75 。
2．已知數列的通項公式，其前項和為，則 377 。
3．已知數列的前項和為，且，則數列的通項公式為。
4．已知數列中，且有，則數列的通項公式為
，前項和為。
5．數列{an}滿足a1=2，對于任意的n∈N*都有an＞0, 且(n+1)an2+an·an+1－nan+12=0，
又知數列{bn}的通項為bn=2n－1+1.
(1)求數列{an}的通項an及它的前n項和Sn；
(2)求數列{bn}的前n項和Tn；
解：(1）可解得，從而an=2n，有Sn=n2+n，
(2)Tn=2n+n－1.
6．數列{an}中，a1=8,a4=2且滿足an+2=2an+1－an,(n∈N*).
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設Sn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜,求Sn;
(3)設bn=(n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整數m，使得對任意n∈N*均有Tn＞成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.
解：(1）由an+2=2an+1－anan+2－an+1=an+1－an可知{an}成等差數列，
d==－2,∴an=10－2n.
(2)由an=10－2n≥0可得n≤5，當n≤5時，Sn=－n2+9n，當n＞5時，Sn=n2－9n+40，
故Sn=
(3)bn=
；要使Tn＞總成立，需＜T1=成立，即m＜8且m∈Z，故適合條件的m的最大值為7.
第4課　數列的應用
【考點導讀】
1．能在具體的問題情景中發現數列的等差、等比關系，并能用有關知識解決相應的問題。
2．注意基本數學思想方法的運用，構造思想：已知數列構造新數列，轉化思想：將非等差、等比數列轉化為等差、等比數列。
【基礎練習】
1．若數列中，，且對任意的正整數、都有，則 .
2．設等比數列的公比為，前項和為，若成等差數列，則的值為 。
3．已知等差數列的公差為2，若成等比數列，則 。
【范例導析】
例1．已知正數組成的兩個數列，若是關于的方程的兩根
（1）求證：為等差數列；
（2）已知分別求數列的通項公式；
（3）求數。
（1）證明：由的兩根得：
是等差數列
（2）由（1）知
∴　　　又也符合該式，
（3） ①
②
①—②得
.
點評：本題考查了等差、等比數列的性質，數列的構造，數列的轉化思想，乘公比錯項相減法求和等。
例2．設數列滿足 ，且數列是等差數列，數列是等比數列。
（I）求數列和的通項公式；
（II）是否存在，使，若存在，求出，若不存在，說明理由。
解：由題意得：
＝ ；
由已知得公比
（2）
，所以當時，是增函數。
又， 所以當時，
又， 所以不存在，使。
【反饋演練】
1．制造某種產品，計劃經過兩年要使成本降低，則平均每年應降低成本 。
2．等比數列的前項和為，，則 54 。
3．設為等差數列，為數列的前項和，已知，為數列｛｝的前項和，則．
4.已知數列
（1）求數列的通項公式； （2）求證數列是等比數列；
（3）求使得的集合.
解：（1）設數列，由題意得：
解得：
（2）由題意知：，
為首項為2，公比為4的等比數列
（3）由
5.已知數列的各項均為正數，為其前項和，對于任意，滿足關系.
證明：是等比數列；
證明：∵ ① ∴ ②
②－①，得
∵
故:數列{an}是等比數列
函 數
數 列
一般數列
通項
前項 和
特殊數列
等差數列
等比數列
通項公式
中項性質
前項和公式
公式
通項公式
中項性質
前項和公式
公式2013高中數學精講精練 第四章 平面向量與復數
【知識圖解】
Ⅰ.平面向量知識結構表
Ⅱ.復數的知識結構表
【方法點撥】
由于向量融形、數于一體，具有幾何形式與代數形式的“雙重身份”，使它成為了中學數學知識的一個重要交匯點，成為聯系眾多知識內容的媒介。所以，向量成為了“在知識網絡交匯處設計試題”的很好載體。從高考新課程卷來看，對向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，將向量與解析幾何、向量與三角等內容相結合，在知識交匯點處命題，既是當今高考的熱點，又是重點。
復習鞏固相關的平面向量知識，既要注重回顧和梳理基礎知識，又要注意平面向量與其他知識的綜合運用，滲透用向量解決問題的思想方法，從而提高分析問題與綜合運用知識解決問題的能力，站在新的高度來認識和理解向量。
1. 向量是具有大小和和方向的量，具有“數”和“形”的特點，向量是數形結合的橋梁，在處理向量問題時注意用數形結合思想的應用.
2. 平面向量基本定理是處理向量問題的基礎，也是平面向量坐標表示的基礎，它表明同一平面內任意向量都可以表示為其他兩個不共線向量的線性組合.
3. 向量的坐標表示實際上是向量的代數形式，引入坐標表示，可以把幾何問題轉化為代數問題解決.
4. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解決平面幾何及解析幾何中的簡單問題的方法.
第1課　向量的概念及基本運算
【考點導讀】
1. 理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示.
2. 掌握向量的加法、減法、數乘的運算，并理解其幾何意義.
3. 了解平面向量基本定理及其意義.
【基礎練習】
1.出下列命題：①若，則；②若A、B、C、D是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；③若，則；④的充要條件是且；⑤若，，則。其中，正確命題材的序號是②③
2. 化簡得
3.在四邊形ABCD中，=a+2b，=－4a－b，=－5a－3b，其中a、b不共線，則四邊形ABCD為梯形
4.如圖，設點P、Q是線段AB的三等分點，
若＝a，＝b，則＝，
＝ (用a、b表示)
【范例導析】
例1 .已知任意四邊形ABCD的邊AD和BC的中點分別為E、F，
求證：.
分析:構造三角形,利用向量的三角形法則證明.
證明：如圖，連接EB和EC ，
由和可得， （1）
由和可得， （2）
（1）+（2）得， （3）
∵E、F分別為AD和BC的中點，∴，，
代入（3）式得，
點撥:運用向量加減法解決幾何問題時,需要發現或構造三角形或平行四邊形.
例2.已知不共線，,求證：A,P,B三點共線的充要條件是
分析：證明三點共線可以通過向量共線來證明.
解：先證必要性：若A,P,B三點共線，則存在實數，使得,即,∴∵,∴，∴
再證充分性：若則==,∴
與共線，∴A,P,B三點共線.
點撥:向量共線定理是向量知識中的一個基本定理,通常可以證明三點共線、直線平行等問題.
【反饋練習】
1．已知向量a和b反向，則下列等式成立的是（C）
A. |a|－|b|=|a－b| B. |a|－|b|=|a+b| C.|a|＋|b|=|a－b| D. |a|＋|b|=|a+b|
2.設四邊形ABCD中，有則這個四邊形是（C）
A.平行四邊形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
3.設A、B、C、D、O是平面上的任意五點，試化簡：
①， ②， ③。
解析：①原式= ；
②原式= ；
③原式= 。
4.設為未知向量， 、為已知向量，滿足方程2(5+34)+3=0，
則=（用、表示）
5.在四面體O-ABC中，為BC的中點，E為AD的中點，則=（用a，b，c表示）
6如圖平行四邊形OADB的對角線OD,AB相交于點C，線段BC上有一點M滿足BC=3BM,線段CD上有一點N滿足CD＝3CN,設
解：
.
第2課　向量的數量積
【考點導讀】
1. 理解平面向量數量積的含義及幾何意義.
2. 掌握平面向量數量積的性質及運算律.
3. 掌握平面向量數量積的坐標表達式.
4. 能用平面向量數量積處理有關垂直、角度、長度的問題.
【基礎練習】
1.已知均為單位向量，它們的夾角為，那么
2.在直角坐標系中，分別是與軸，軸平行的單位向量，若直角三角形中，，，則的可能值個數為2個
3. 若,，與的夾角為，若，則的值為
4.若，且，則向量與的夾角為 120°
【范例導析】
例1.已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角的余弦值。
分析:利用及求解.
解：由題意，，且與的夾角為，所以，，，同理可得 而，設為與的夾角，則
點評：向量的模的求法和向量間的乘法計算可見一斑。
例2.已知平面上三個向量、、的模均為1，它們相互之間的夾角均為120°，
（1）求證：⊥；（2）若，求的取值范圍.
分析:問題（1）通過證明證明,問題（2）可以利用
解：（1）∵ ，且、、之間的夾角均為120°，
∴
∴
（2）∵ ，即
也就是
∵ ，∴
所以 或．
解:對于有關向量的長度、夾角的求解以及垂直關系的判斷通常是運用平面向量的數量積解決.
例3.如圖，在直角△ABC中，已知，若長為的線段以點為中點，問的夾角取
何值時的值最大？并求出這個最大值
分析:本題涉及向量較多,可通過向量的加減法則得
,再結合直角三
角形和各線段長度特征法解決問題
解：
點撥:運用向量的方法解決幾何問題,充分體現了向量的工具性,對于大量幾何問題,不僅可以用向量語言加以敘述,而且完全可以借助向量的方法予以證明和求解,從而把抽象的問題轉化為具體的向量運算.
【反饋練習】
1.已知向量滿足則與的夾角為
2.如圖，在四邊形ABCD中，
，則的值為4
3.若向量滿足,的夾角為60°，則=
4.若向量,則
5.已知| a|=4,|b|=5,|a+b|= ,求：① a·b ；②(2a－b) ·(a+3b)
解：（1）|a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2=|a|2+2a·b+|b|2，∴
（2）（2a－b）·（a+3b）=2a2+5a·b－3b2=2|a|2+5a·b－3|b|2=2×42+5×（－10）－3×52=－93.
6.已知a與b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，求a與b的夾角.
解：∵且a+3b與7a-5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，
∴（a+3b）·（7a-5b）=0，（a－4b）·（7a－2b）=0 ∴7a2＋16 a·b－15 b2=0，7a2－30 a·b＋8 b2=0，
∴b2=2 a·b，|a|=|b| ∴ ∴
第3課　向量的坐標運算
【考點導讀】
1. 掌握平面向量的正交分解及坐標表示.
2. 會用坐標表示平面向量的加減及數乘、數量積運算.
3.掌握平面向量平行的充要條件的坐標表示,并利用它解決向量平行的有關問題.
【基礎練習】
1若=，=，則=
2平面向量中，若，=1，且，則向量=
3.已知向量，且A、B、C三點共線，則k=
4.已知平面向量，，且，則1
【范例導析】
例1.平面內給定三個向量，回答下列問題：
（1）求滿足的實數m,n；
（2）若，求實數k；
（3）若滿足，且，求
分析:本題主要考察向量及向量模的坐標表示和向量共線的充要條件.
解：（1）由題意得
所以，得
（2）
（3）設，則
由題意得
得或∴
點撥:根據向量的坐標運算法則及兩個向量平等行的充要條件、模的計算公式，建立方程組求解。
例2.已知△ABC的頂點分別為A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC邊上的高為AD，求及點D的坐標、
分析:注意向量坐標法的應用,及平行、垂直的充要條件.
解：設點D的坐標為(x,y)
∵AD是邊BC上的高，
∴AD⊥BC，∴⊥
又∵C、B、D三點共線，
∴∥
又=(x－2,y－1), =(－6,－3)
=(x－3,y－2)
∴
解方程組，得x=,y=
∴點D的坐標為(，)，的坐標為(－，)
點撥:在解題中要注意綜合運用向量的各種運算解決問題.
例3．已知向量且
求（1）及；（2）若的最小值是，求的值。
分析:利用向量的坐標運算轉化為函數的最值問題求解.
解：（1）
，
。
（2）
（1） 當時，
（2） 當時，
（3） 當時，
綜上所述：。
點撥:注意運用不同章節知識綜合處理問題,對于求二次函數得分最值問題,注意分類討論.
【反饋練習】
1．已知向量，，則與 （A）
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
2.與向量a=b=的夾解相等，且模為1的向量是
3.已知向量且則向量等于
4.已知向量120°
5.若，試判斷則△ABC的形狀____直角三角形_____
6.已知向量，向量，則的最大值是 4
7.若是非零向量且滿足， ，則與的夾角是
8.已知： 、、是同一平面內的三個向量，其中 =（1，2）
（1）若||，且，求的坐標；
（2）若||=且與垂直，求與的夾角.
解：（1）設，由和可得：
∴ 　或
∴，或
（2） 即
∴ ， 所以
∴ ∵
∴ .
9.已知點是且試用.
解：以O為原點，OC，OB所在的直線為軸和軸建立如圖3所示的坐標系.
由OA=2，，所以，
易求，設
.
第4課　 向量綜合應用
【考點導讀】
1. 能綜合運用所學向量知識及有關數學思想方法解決向量知識內部綜合問題和與函數、不等式、三角函數、數列等知識的綜合問題.
2. 能從實際問題中提煉概括數學模型,了解向量知識的實際應用.
【基礎練習】
1.已知a＝（5，4），b＝（3，2），則與2a－3b平行的單位向量為
2.已知＝1，＝1，a與b的夾角為60°，x＝2a－b,y＝3b－a，則x與y的夾角的余弦值為
【范例導析】
例1.已知平面向量a＝(，－1)，b＝(, ).
(1) 若存在實數k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，試求函數的關系式k＝f（t）；
(2) 根據(1)的結論，確定k＝f(t)的單調區間。
分析:利用向量知識轉化為函數問題求解.
解:（1）法一：由題意知x＝(,), y＝(t－k，t＋k)，又x⊥y
故x · y＝×（t－k）＋×(t＋k)＝0。
整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝t3－t.
法二：∵a＝(，－1)，b＝(, ), ∴. ＝2，＝1且a⊥b
∵x⊥y，∴x · y＝0，即－k2＋t(t2－3)2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝t3－t
(2) 由(1)知：k＝f(t) ＝t3－t ∴k ＝f (t) ＝t2－,
令k ＜0得－1＜t＜1；令k ＞0得t＜－1或t＞1.
故k＝f(t)的單調遞減區間是(－1, 1 )，單調遞增區間是（－∞，－1）和（1，＋∞）.
點撥:第1問中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見的方法：一是先利用向量的坐標運算分別求得兩個向量的坐標，再利用向量垂直的充要條件；二是直接利用向量的垂直的充要條件，其過程要用到向量的數量積公式及求模公式，達到同樣的求解目的（但運算過程大大簡化，值得注意）。第2問中求函數的極值運用的是求導的方法，這是新舊知識交匯點處的綜合運用。
例2.已知兩個力（單位：牛）與的夾角為，其中，某質點在這兩個力的共同作用下，由點移動到點（單位：米）
（1） 求；
（2） 求與的合力對質點所做的功
分析:理解向量及向量數量積的物理意義,將物理中的求力和功的問題轉化為向量問題解決.
點撥:學習向量要了解向量的實際背景,并能用向量的知識解決方一些簡單的實際問題.
【反饋練習】
1.平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A(3, 1)，B(－1, 3)， 若點C滿足，其中，∈R且+=1，則點C的軌跡方程為x＋2y－5=0
2.已知a,b是非零向量且滿足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，則a與b的夾角是
3. 已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A、B兩點,且|+|=|-|,其中O為原點,則實數a的值為2或-2
4.已知向量a=()，向量b=()，則|2a－b|的最大值是 4
5．如圖， ，
（1）若∥，求x與y間的關系；
（2）在（1）的條件下，若有，求x,y的值及四邊形ABCD的面積.
解（1）又∥
①
（2）由⊥，得（x－2）(6＋x)＋(y－3)·(y＋1)＝0,②
即x2＋y2＋4x－2y－15＝0 由①，②得或
第5課　復數的概念和運算
【考點導讀】
1.了解數系的擴充的基本思想,了解引入復數的必要性.
2.理解復數的有關概念,掌握復數的代數表示和幾何意義.
【基礎練習】
1.設、、、，若為實數，則
2.復數的共軛復數是
3.在復平面內，復數＋(1＋i)2對應的點位于第二象限
4.若復數滿足方程，則
【范例導析】
例 .m取何實數時，復數（1）是實數？（2）是虛數？（3）是純虛數？
分析：本題是判斷復數在何種情況下為實數、虛數、純虛數．由于所給復數z已寫成標準形式，即，所以只需按題目要求，對實部和虛部分別進行處理，就極易解決此題．
解：（1）當即 ∴時，z是實數．
（2）當即 ∴當且時，z是虛數．
（3）當即∴當或時，z是純虛數．
點撥：研究一個復數在什么情況下是實數、虛數或純虛數時，首先要保證這個復數的實部、虛部是有意義的，這是一個前提條件，學生易忽略這一點．如本題易忽略分母不能為0的條件，丟掉，導致解答出錯．
【反饋練習】
1.如果復數是實數，則實數
2.已知復數z滿足（＋3i）z＝3i，則z＝
3.若復數Z=，則Z+Z+1+i的值為0
4.設、為實數，且，則+=4.
向量的加、減法
向量的概念
向量
向量的運算
兩個向量垂直的充要條件件件
兩個向量平行的充要條件件件
向量的數量積
實數與向量的積
向量的運用
數系的擴充與
復數的引入
復數的概念
復數的運算
數系的擴充
O
A
P
Q
B
a
b
第4題
D
C
E F
A B
例1
第6題
例3
第2題
例2
第9題
第5題

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