資源簡介

新型中考試題及分析
1， 請閱讀下列材料：
問題：已知方程x2+x﹣1=0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．
解：設所求方程的根為y，則y=2x所以x=． 把x=代入已知方程，得（）2+﹣1=0
化簡，得y2+2y﹣4=0 故所求方程為y2+2y﹣4=0．
這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．
請用閱讀村料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：
已知方程x2+x﹣2=0，求一個一元二次方程，使它的根分別為己知方程根的相反數，
則所求方程為：　 　；
（2）己知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不等于零的實數根，求一個一元二次方程，使它的根分別是己知方程根的倒數．
分析：根據所給的材料，設所求方程的根為y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程．
解答：解：（1）設所求方程的根為y，則y=﹣x所以x=﹣y． 把x=﹣y代入已知方程，得y2﹣y﹣2=0，
故所求方程為y2﹣y﹣2=0；
（2）設所求方程的根為y，則y=（x≠0），于是x=（y≠0） 把x=代入方程ax2+bx+c=0，得a（）2+b?+c=0
去分母，得a+by+cy2=0． 若c=0，有ax2+bx=0，于是方程ax2+bx+c=0有一個根為0，不符合題意， ∴c≠0，
故所求方程為cy2+by+a=0（c≠0）．
點評：本題是一道材料題，考查了一元二次方程的應用，以及解法，是一種新型問題，要熟練掌握．
2，如圖，線段AD=5，⊙A的半徑為1，C為⊙A上一動點，CD的垂直平分線分別交CD，AD于點E，B，連接BC，AC，構成△ABC，設AB=x．
（1）求x的取值范圍；
（2）若△ABC為直角三角形，則x=　 　；
（3）設△ABC的面積的平方為W，求W的最大值．
分析：（1）由AD=5，AB=x，BE垂直平分CD，可得BC=BD=5﹣x，又由，⊙A的半徑為1，根據三角形三邊關系，即可求得x的取值范圍；
（2）分別從若AB是斜邊與BC是斜邊去分析，利用勾股定理的知識，借助于方程即可求得x的值；
（3）在△ABC中，作CF⊥AB于F，設CF=h，AF=m，則W=（xh）2=x2h2，由AC2﹣AF2=BC2﹣BF2，則1﹣m2=（5﹣x）2﹣（x﹣m）2，分別從2.4＜x＜3時與2＜x≤2.4去分析，即可求得答案．
解答：解：（1）∵AD=5，AB=x，BE垂直平分CD， ∴BC=BD=5﹣x，在△ABC中，AC=1，
∴（5﹣x）﹣1＜x＜1+（5﹣x）， 解得：2＜x＜3；
（2）∵△ABC為直角三角形， 若AB是斜邊，則AB2=AC2+BC2， 即x2=（5﹣x）2+1， ∴x=2.6；
若BC是斜邊，則BC2=AB2+AC2， 即（5﹣x）2=x2+1， ∴x=2.4． 故答案為：2.4或2.6．
（3）在△ABC中，作CF⊥AB于F，設CF=h，AF=m，則W=（xh）2=x2h2，
①如圖，當2.4＜x＜3時，AC2﹣AF2=BC2﹣BF2，則1﹣m2=（5﹣x）2﹣（x﹣m）2，
得：m=， ∴h2=1﹣m2=，
∴W=x2h2=﹣6x2+30x﹣36， 即W=﹣6（x﹣）2+， 當x=2.5時（滿足2.4＜x＜3），W取最大值1.5
②當2＜x≤2.4時，同理可得：W=﹣6x2+30x﹣36=﹣6（x﹣）2+， 當x=2.4時，W取最大值1.44＜1.5，
綜合①②得，W的最大值為1.5．
點評：此題考查了三角形三邊關系，線段垂直平分線的性質，直角三角形的性質以及二次函數的最值問題等知識．此題綜合性很強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合與分類討論思想的應用．
3， 如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形．取BC邊中點E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四邊形EDAF，它的面積記作S1；取BE中點E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四邊形E1D1FF1，它的面積記作S2．照此規律作下去，則S2011=　 ．
分析：先根據△ABC是等邊三角形可求出△ABC的高，再根據三角形中位線定理可求出S1的值，進而可得出S2的值，找出規律即可得出S2011的值．
解答：解：∵△ABC是邊長為1的等邊三角形，
∴△ABC的高=AB?sin∠A=1×=， ∵DF、EF是△ABC的中位線， ∴AF=， ∴S1=××=；
同理可得，S2=×；… ∴Sn=（）n﹣1；∴S2011=?（表示為?亦可）．故答案為：S2011=?（表示為?亦可）．
點評：本題考查的是相似多邊形的性質，涉及到等邊三角形的性質、銳角三角函數的定義、特殊角的三角函數值及三角形中位線定理，熟知以上知識是解答此題的關鍵．
4，在正方形ABCD的邊AB上任取一點E，作EF⊥AB交BD于點F，取FD的中點G，連接EG、CG，如圖（1），易證 EG=CG且EG⊥CG．
（1）將△BEF繞點B逆時針旋轉90°，如圖（2），則線段EG和CG有怎樣的數量關系和位置關系？請直接寫出你的猜想．
（2）將△BEF繞點B逆時針旋轉180°，如圖（3），則線段EG和CG又有怎樣的數量關系和位置關系？請寫出你的猜想，并加以證明．
分析：從圖（1）中尋找證明結論的思路：延長FE交DC延長線于M，連MG．構造出△GFE≌△GMC．易得結論；在圖（2）、（3）中借鑒此解法證明．
解答：解：（1） EG=CG，EG⊥CG． （2）EG=CG，EG⊥CG．
證明：延長FE交DC延長線于M，連MG． ∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四邊形BEMC是矩形．∴BE=CM，∠EMC=90°，又∵BE=EF，∴EF=CM．∵∠EMC=90°，FG=DG，∴MG=FD=FG． ∵BC=EM，BC=CD，∴EM=CD．∵EF=CM，∴FM=DM，∴∠F=45°．又FG=DG，∠CMG=∠EMC=45°， ∴∠F=∠GMC． ∴△GFE≌△GMC． ∴EG=CG， ∠FGE=∠MGC．
∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，∴MG⊥FD， ∴∠FGE+∠EGM=90°，∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，∴EG⊥CG．
點評：此題綜合考查了旋轉的性質及全等三角形的判斷和性質，如何構造全等的三角形是難點，因此難度較大．
5，（本題滿分10分）
在平面直角坐標系中，點P從原點O出發，每次向上平移2個單位長度或向右平移1個單位長度．
（1）實驗操作：
在平面直角坐標系中描出點P從點O出發，平移1次后，2次后，3次后可能到達的點，并把相應點的坐標填寫在表格中：
[來源:中+國教+育出+版網]
[來源:z|zs|tep.com]
[來源:21世紀教育網21世紀教育網]
（2）觀察發現：[來源:中*國教*育出*版網]
任一次平移，點P可能到達的點在我們學過的一種函數的圖象上，如：平移1次后在函數 的圖象上；平移2次后在函數 的圖象上……由此我們知道，平移次后在函數 的圖象上．（請填寫相應的解析式）[來源:21世紀教育網]
（3）探索運用：
點P從點O出發經過次平移后，到達直線上的點Q，且平移的路徑長不小于50，不超過56，求點Q的坐標．
教網]解析：（1）（說明：描點正確得1分，坐標填寫正確得1分）
[來源:21世紀教育網]
[來源:中#教#網z#z#s#tep]
（2）；；．育出&版網]
（3）設點Q的坐標為，依題意， 解這個方程組，得到點Q的坐標為．
∵平移的路徑長為，∴50≤≤56． ∴37.5≤≤42．
而點Q的坐標為正整數，因此點Q的坐標為，．
6，問題情境:已知矩形的面積為a（a為常數，a＞0），當該矩形的長為多少時，它的周長最小？最小值是多少？
數學模型:設該矩形的長為x，周長為y，則y與x的函數關系式為．
探索研究:⑴我們可以借鑒以前研究函數的經驗，先探索函數的圖象性質．
填寫下表，畫出函數的圖象：
x
……
1
2
3
4
……
y
……
……
②觀察圖象，寫出該函數兩條不同類型的性質；
③在求二次函數y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值時，除了通過觀察圖象，還
可以通過配方得到．請你通過配方求函數(x＞0)的最小值．
解決問題:⑵用上述方法解決“問題情境”中的問題，直接寫出答案．
【答案】 解:⑴①
x
……
1
2
3
4
……
y
……
2
……
函數的圖象如圖． ②本題答案不唯一，下列解法供參考．
當時，隨增大而減小；當時,隨增大而增大；當時函數的最小值為2．
③== =
當=0，即時，函數的最小值為2．
⑵仿⑴③== = 當=0，即時，函數的最小值為．
⑵當該矩形的長為時，它的周長最小，最小值為．
7，某課題研究小組就圖形面積問題進行專題研究，他們發現如下結論：
（1）有一條邊對應相等的兩個三角形面積之比等于這條邊上的對應高之比；
（2）有一個角對應相等的兩個三角形面積之比等于夾這個角的兩邊乘積之比；
現請你繼續對下面問題進行探究，探究過程可直接應用上述結論．（S表示面積）
問題1：如圖1，現有一塊三角形紙板ABC，P1，P2三等分邊AB，R1，R2三等分邊AC．
經探究知＝S△ABC，請證明．

問題2：若有另一塊三角形紙板，可將其與問題1中的拼合成四邊形ABCD，如圖2，Q1，Q2三等分邊DC．請探究與S四邊形ABCD之間的數量關系．
問題3：如圖3，P1，P2，P3，P4五等分邊AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分邊DC．若S四邊形ABCD＝1，求．
問題4：如圖4，P1，P2，P3四等分邊AB，Q1，Q2，Q3四等分邊DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3
將四邊形ABCD分成四個部分，面積分別為S1，S2，S3，S4．請直接寫出含有S1，S2，S3，S4的一個等式．
【答案】解：問題1：∵P1，P2三等分邊AB，R1，R2三等分邊AC，
∴P1R1∥P2R2∥BC．∴△AP1 R1∽△AP2R2∽△ABC，且面積比為1:4:9．
∴＝S△ABC＝S△ABC
問題2：連接Q1R1，Q2R2，如圖，由問題1的結論，可知
∴＝S△ABC ，＝S△ACD
∴＋＝S四邊形ABCD
由∵P1，P2三等分邊AB，R1，R2三等分邊AC，Q1，Q2三等分邊DC，
可得P1R1:P2R2＝Q2R2:Q1R1＝1:2，且P1R1∥P2R2，Q2R2∥Q1R1．
∴∠P1R1A＝∠P2R2A，∠Q1R1A＝∠Q2R2A．∴∠P1R1Q1＝∠P2R2 Q2．
由結論（2），可知＝．
∴＝＋＝S四邊形ABCD．
問題3：設＝A，＝B，設＝C，
由問題2的結論，可知A＝，B＝．
A＋B＝(S四邊形ABCD＋C)＝(1＋C)． 又∵C＝(A＋B＋C)，即C＝[(1＋C)＋C]．
整理得C＝，即＝ 問題4：S1＋S4＝S2＋S3．
【分析】問題1：由平行和相似三角形的判定，再由相似三角形面積比是對應邊的比的平方的性質可得。
問題2：由問題1的結果和所給結論（2）有一個角對應相等的兩個三角形面積之比等于夾這個角的兩邊乘積之比，可得。
問題3：由問題2的結果經過等量代換可求。 問題4：由問題2可知S1＋S4＝S2＋S3＝。
8，已知：如圖1，圖形①滿足AD=AB，MD=MB，∠A=72°，∠M=144°．圖形②與圖形①恰好拼成一個菱形（如圖2）．記AB的長度為a，BM的長度為b．
（1）圖形①中∠B=　 　°，圖形②中∠E=　 　°；
（2）小明有兩種紙片各若干張，其中一種紙片的形狀及大小與圖形①相同，這種紙片稱為“風箏一號”；另一種紙片的形狀及大小與圖形②相同，這種紙片稱為“飛鏢一號”．
①小明僅用“風箏一號”紙片拼成一個邊長為b的正十邊形，需要這種紙片　 　張；
②小明若用若干張“風箏一號”紙片和“飛鏢一號”紙片拼成一個“大風箏”（如圖3），其中∠P=72°，∠Q=144°，且PI=PJ=a+b，IQ=JQ．請你在圖3中畫出拼接線并保留畫圖痕跡．（本題中均為無重疊、無縫隙拼接）
分析：（1）連接AM，根據三角形ADM和三角形ABM的三邊對應相等，得到兩三角形全等，根據全等三角形的對應角相等得到角B和角D相等，根據四邊形的內角和為360°，由角DAB和角DMB的度數，即可求出角B的度數；根據菱形的對邊平行，得到AB與DC平行，得到同旁內角互補，即角A加角ADB加角MDC等于180°，由角A和角ADB的度數即可求出角FEC的度數；
（2）①由題意可知，“風箏一號”紙片中的點A與正十邊形的中心重合，由角DAB為72°，根據周角為360°，利用360°除以72°即可得到需要“風箏一號”紙片的張數；
②以P為圓心，a長為半徑畫弧，與PI和PJ分別交于兩點，然后以兩交點為圓心，以b長為半徑在角IPJ的內部畫弧，兩弧交于一點，連接這點與點Q，畫出滿足題意的拼接線．
解答：解：（1）連接AM，如圖所示：
∵AD=AB，DM=BM，AM為公共邊， ∴△ADM≌△ABM， ∴∠D=∠B，
又因為四邊形ABMD的內角和等于360°，∠DAB=72°，∠DMB=144°，
∴∠B==72°； 在圖2中，因為四邊形ABCD為菱形，所以AB∥CD，
∴∠A+∠ADC=∠A+∠ADM+∠CEF=180°，∠A=72°，∠ADM=72°， ∴∠CEF=180°﹣72°﹣72°=36°；
（2）①用“風箏一號”紙片拼成一個邊長為b的正十邊形， 得到“風箏一號”紙片的點A與正十邊形的中心重合，又∠A=72°， 則需要這種紙片的數量==5；
②根據題意可知：“風箏一號”紙片用兩張和“飛鏢一號”紙片用一張， 畫出拼接線如圖所示：
故答案為：（1）72°；36°；（2）①、5．
點評：此題考查掌握菱形的性質，靈活運用兩三角形的全等得到對應的角相等，掌握密鋪地面的秘訣，鍛煉學生的動手操作能力，培養學生的發散思維，是一道中檔題．
9，(本題滿分10分)十一屆全國人大常委會第二十次會議審議的個人所得稅法修正案草案 (簡稱“個稅法草案”)，擬將現行個人所得稅的起征點由每月2000元提高到3000元，并將9級超額累進稅率修改為7級，兩種征稅方法的1～5級稅率情況見下表：
稅級
現行征稅方法
草案征稅方法
月應納稅額x
稅率
速算扣除數
月應納稅額x
稅率
速算扣除數
1
x≤500
5％
0
x≤1 500
5％
0
2
50010％
25
150010％
▲
3
200015％
125
450020％
▲
4
500020％
375
900025％
975
5
2000025％
1375
3500030％
2725
注：“月應納稅額”為個人每月收入中超出起征點應該納稅部分的金額．
“速算扣除數”是為快捷簡便計算個人所得稅而設定的一個數．
例如：按現行個人所得稅法的規定，某人今年3月的應納稅額為2600元，他應繳稅款可以用下面兩種方法之一來計算：
方法一：按1～3級超額累進稅率計算，即500×5％+1500×10％十600×15％=265(元)．
方法二：用“月應納稅額x適用稅率一速算扣除數”計算，即2600×15％一l25=265(元)。
(1)請把表中空缺的“速算扣除數”填寫完整；
(2)甲今年3月繳了個人所得稅1060元，若按“個稅法草案”計算，則他應繳稅款多少元?
(3)乙今年3月繳了個人所得稅3千多元，若按“個稅法草案”計算，他應繳的稅款恰好不變，那么乙今年3月所繳稅款的具體數額為多少元?
【答案】（1）75 ……………………1分 525； ……………………3分
（2）設甲的月應納稅所得額為x元，根據題意得20%x－375＝1060 ……………………4分
解得x＝7175，∴甲這個月的應納稅所得額是7175元 ……………………………5分
若按“個稅法草案”計算，則他應繳稅款為(7175－1000)×20%－525＝710(元) 6分
（3）設乙的月應納稅所得額為x元，根據題意得20%x－375＝25%( x－1000)－975， 8分
解得x＝17000……………………………………………………………………………9分
∴乙今年3月所繳稅款的具體數額為17000×20%－375＝3025(元) ……………10分
10，某課題學習小組在一次活動中對三角形的內接正方形的有關問題進行了探討：
定義：如果一個正方形的四個頂點都在一個三角形的邊上，那么我們就把這個正方形叫做三角形的內接正方形.
結論：在探討過程中，有三位同學得出如下結果：
甲同學：在鈍角、直角、不等邊銳角三角形中分別存在____個、________個、_______個大小不同的內接正方形.
乙同學：在直角三角形中，兩個頂點都在斜邊上的內接正方形的面積較大.
丙同學：在不等邊銳角三角形中，兩個頂點都在較大邊上的內接正方形的面積反而較小.
任務：（1）填充甲同學結論中的數據；
（2）乙同學的結果正確嗎？若不正確，請舉出一個反例并通過計算給予說明，若正確，請給出證明；
（3）請你結合（2）的判定，推測丙同學的結論是否正確，并證明（如圖，設銳角△ABC的三條邊分別為不妨設，三條邊上的對應高分別為，內接正方形的邊長分別為.若你對本小題證明有困難，可直接用“”這個結論，但在證明正確的情況下扣1分）.

.解析: （１）1,2,3. （２）乙同學的結果不正確. 例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，則. 如圖①，四邊形DEFB是只有一個頂點在斜邊上的內接正方
形.設它的邊長為a,則依題意可得：，∴. 如圖②，四邊形DEFH兩個頂點都在斜上的內接正方形.設它的邊長為,則依題意可得：，∴. ∴.
（３）丙同學的結論正確.
設△ABC的三條邊分別為不妨設，三條邊上的對應高分別為，內接
方形的邊長分別為. 依題意可得：， ∴.同理 .
∵
=
=
=
又∵， ∴， ∴，即.
∴在不等邊銳角三角形中，兩個頂點都在較大邊上的內接正方形的面積反而較小.
11，依據下列解方程的過程，請在前面的括號內填寫變形步驟，在后面的括號內填寫變形依據。
解：原方程可變形為 (__________________________)
去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (__________________________)
去括號，得9x+15=4x-2. （____________________________）
(____________________),得9x-4x=-15-2. (____________________________)
合并，得5x=-17. (合并同類項)
（____________________）,得x=. （_________________________）
【答案】解：原方程可變形為 (__分式的基本性質_________)
去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (_____等式性質2________________)
去括號，得9x+15=4x-2. （___去括號法則或乘法分配律_________）
(______移項_______),得9x-4x=-15-2. (__等式性質1__________)
合并，得5x=-17. (合并同類項)
（_______系數化為1____）,得x=. （__等式性質2________）
12，根據給出的下列兩種情況，請用直尺和圓規找到一條直線，把△ABC恰好分割成兩個等腰三角形（不寫做法，但需保留作圖痕跡）；并根據每種情況分別猜想：∠A與∠B有怎樣的數量關系時才能完成以上作圖？并舉例驗證猜想所得結論。
（1）如圖①△ABC中，∠C=90°，∠A=24°
①作圖：
②猜想：
③驗證：
（2）如圖②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°.
①作圖：
②猜想：
③驗證：
【答案】
(1)①作圖：痕跡能體現作線段AB(或AC、或BC)的垂直平分線，或作∠ACD=∠A(或∠BCD=∠B)兩類方法均可，
在邊AB上找出所需要的點D，則直線CD即為所求
②猜想：∠A+∠B=90°
③驗證：如在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°時，有∠A+∠B=90°，此時就能找到一條把△ABC恰好分割成兩個等腰三角形的直線。
（2）答：①作圖：痕跡能體現作線段AB(或AC、或BC)的垂直平分線，或作∠ACD=∠A或在線段CA上截取CD=CB三種方法均可。在邊AB上找出所需要的點D，則直線CD即為所求
②猜想：∠B=3∠A
③驗證：如在△ABC中，∠A=32°，∠B=96，有∠B=3∠A，此時就能找到一條把△ABC恰好分割成兩個等腰三角形的直線。
13●觀察計算
當，時， 與的大小關系是__________．當，時， 與的大小關系是__________．
●探究證明
如圖所示，為圓O的內接三角形，為直徑，過C作于D，設，BD=b．
（1）分別用表示線段OC，CD；
（2）探求OC與CD表達式之間存在的關系（用含a，b的式子表示）．
●歸納結論
根據上面的觀察計算、探究證明，你能得出與的大小關系是：____________．
●實踐應用
要制作面積為1平方米的長方形鏡框，直接利用探究得出的結論，求出鏡框周長的最小值．
解析；
●觀察計算:>， =.
●探究證明：
（1），
∴ AB為⊙O直徑, ∴.
，， ∴∠A=∠BCD.
∴△∽△.
∴. 即, ∴.
（2）當時,, =；時,, >． ●結論歸納: ．
●實踐應用
設長方形一邊長為米,則另一邊長為米,設鏡框周長為l米，則 ≥ ． 當,即（米）時,鏡框周長最小． 此時四邊形為正方形時,周長最小為4 米.
14，如圖，用錘子以相同的力將鐵釘垂直釘入木塊，隨著鐵釘的深入，鐵釘所受的阻力也越來越大．當鐵釘未進入木塊部分長度足夠時，每次釘入木塊的鐵釘長度是前一次的，已知這個鐵釘被敲擊3次后全部進入木塊（木塊足夠厚），且第一次敲擊后，鐵釘進入木塊的長度是a cm，若鐵釘總長度為6cm，則a的取值范圍是（ ）
,分析：由題意得敲擊2次后鐵釘進入木塊的長度是a+a，而此時還要敲擊1次，所以兩次敲打進去的長度要小于6，經過三次敲打后全部進入，所以三次敲打后進入的長度要大于等于6，列出不等式組即可得出答案．
解答：解：∵每次釘入木塊的釘子長度是前一次的．已知這個鐵釘被敲擊3次后全部進入木塊（木塊足夠厚），且第一次敲擊后鐵釘進入木塊的長度是acm，
根據題意得：敲擊2次后鐵釘進入木塊的長度是a+a═a（cm） 而此時還要敲擊1次，
∵a的最大長度為：6cm， 故a＜6，
第三次敲擊進去最大長度是前一次的，也就是第二次的=a（cm），
∴， ∴a的取值范圍是：≤a＜． 故答案為：≤a＜，
點評：此題主要考查了一元一次不等式的應用，正確的分析得出兩次敲打進去的長度和三次敲打進去的長度是解決問題的關鍵．
15，如圖所示，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（﹣3，0），（0，1），點D是線段BC 上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線交折線OAB于點E．
（1）記△ODE的面積為S，求S與b的函數關系式；
（2）當點E在線段0A上時，且．若矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為四邊形O1A1B1C1，試探究四邊形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由．
,分析：（1）要表示出△ODE的面積，要分兩種情況討論，①如果點E在OA邊上，只需求出這個三角形的底邊OE長（E點橫坐標）和高（D點縱坐標），代入三角形面積公式即可；②如果點E在AB邊上，這時△ODE的面積可用長方形OABC的面積減去△OCD、△OAE、△BDE的面積；
（2）重疊部分是一個平行四邊形，由于這個平行四邊形上下邊上的高不變，因此決定重疊部分面積是否變化的因素就是看這個平行四邊形落在OA邊上的線段長度是否變化．
解答：解：（1）∵四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（﹣3，0），（0，1），
∴B（﹣3，1），
若直線經過點A（﹣3，0）時，則b=，
若直線經過點B（﹣3，1）時，則b=， 若直線經過點C（0，1）時，則b=1，
①若直線與折線OAB的交點在OA上時，即1＜b≤，如圖1， 此時E（2b，0）， ∴S=OE?CO=×2b×1=b；
②若直線與折線OAB的交點在BA上時，即＜b＜，如圖2
此時E（﹣3，），D（2b﹣2，1）， ∴S=S矩﹣（S△OCD+S△OAE+S△DBE）
=3﹣[（2b﹣2）×1+×（5﹣2b）?（﹣b）+×3（b﹣）] =b﹣b2，∴S=；
（2）如圖3，設O1A1與CB相交于點M，OA與C1B1相交于點N，則矩形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積 由題意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四邊形DNEM為平行四邊形， 根據軸對稱知，∠MED=∠NED，
又∠MDE=∠NED， ∴∠MED=∠MDE， ∴MD=ME， ∴平行四邊形DNEM為菱形． 過點D作DH⊥OA，垂足為H，
由題易知，=，DH=1， ∴HE=2， 設菱形DNEM的邊長為a，
則在Rt△DHN中，由勾股定理知：a2=（2﹣a）2+12， ∴a=， ∴S四邊形DNEM=NE?DH=．
∴矩形OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積不發生變化，面積始終為．
點評：本題是一個動態圖形中的面積是否變化的問題，看一個圖形的面積是否變化，關鍵是看決定這個面積的幾個量是否變化，本題題型新穎是個不可多得的好題，有利于培養學生的思維能力，但難度較大，
16， 問題提出
我們在分析解決某些數學問題時，經常要比較兩個數或代數式的大小，而解決問題的策略一般要進行一定的轉化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所謂“作差法”：就是通過作差、變形，并利用差的符號確定他們的大小，即要比較代數式M、N的大小，只要作出它們的差M﹣N，若M﹣N＞0，則M＞N；若M﹣N=0，則M=N；
若M﹣N＜0，則M＜N．
問題解決
如圖1，把邊長為a+b（a≠b）的大正方形分割成兩個邊長分別是a、b的小正方形及兩個矩形，試比較兩個小正
方形面積之和M與兩個矩形面積之和N的大小．
解：由圖可知：M=a2+b2，N=2ab． ∴M﹣N=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2．
∵a≠b，∴（a﹣b）2＞0． ∴M﹣N＞0． ∴M＞N．
類別應用
（1）已知小麗和小穎購買同一種商品的平均價格分別為元/千克和元/千克（a、b是正數，且a≠b），試比較小麗和小穎所購買商品的平均價格的高低．
（2）試比較圖2和圖3中兩個矩形周長M1、N1的大小（b＞c）．
聯系拓廣
小剛在超市里買了一些物品，用一個長方體的箱子“打包”，這個箱子的尺寸如圖4所示（其中b＞a＞c＞0），售貨員分別可按圖5、圖6、圖7三種方法進行捆綁，問哪種方法用繩最短？哪種方法用繩最長？請說明理由．
分析：類比應用（1）首先得出﹣=，進而比較得出大小關系；
（2）由圖形表示出M1=2（a+b+c+b）=2a+4b+2c，N1=2（a﹣c+b+3c）=2a+2b+4c，利用兩者之差求出即可．
聯系拓廣：分別表示出圖5的捆綁繩長為L1，則L1=2a×2+2b×2+4c×2=4a+4b+8c，
圖6的捆綁繩長為L2，則L2=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c，
圖7的捆綁繩長為L3，則L3=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c，進而表示出它們之間的差，即可得出大小關系．
解答：解：類比應用
（1）﹣=， ∵a、b是正數，且a≠b， ∴＞0，
∴＞， ∴小麗所購買商品的平均價格比小穎的高；
（2）由圖知，M1=2（a+b+c+b）=2a+4b+2c， N1=2（a﹣c+b+3c）=2a+2b+4c，
M1﹣N1=2a+4b+2c﹣（2a+2b+4c）=2（b﹣c）， ∵b＞c，∴2（b﹣c）＞0，
即：M1﹣N1＞0，∴M1＞N1， ∴第一個矩形大于第二個矩形的周長．
聯系拓廣
設圖5的捆綁繩長為L1，則L1=2a×2+2b×2+4c×2=4a+4b+8c，
設圖6的捆綁繩長為L2，則L2=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c，
設圖7的捆綁繩長為L3，則L3=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c，
∵L1﹣L2=4a+4b+8c﹣（4a+4b+4c）=4c＞0， ∴L1＞L2，
∵L3﹣L2=6a+4b+6c﹣（4a+4b+4c）=2a+2c＞0， ∴L3﹣L1=6a+4b+6c﹣（4a+4b+8c）=2（a﹣c）， ∵a＞c，
∴2（a﹣c）＞0， ∴L3＞L1． ∴第二種方法用繩最短，第三種方法用繩最長．
點評：此題主要考查了整式的混合運算以及不等式的性質，根據已知表示出繩長再利用繩長之差比較是解決問題的關鍵．
17，如圖，ABCD是一張矩形紙片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的邊AB上取一點M，在CD上取一點N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點K，得到△MNK．
（1）若∠1=70°，求∠MKN的度數；
（2）△MNK的面積能否小于？若能，求出此時∠1的度數；若不能，試說明理由；
（3）如何折疊能夠使△MNK的面積最大？請你用備用圖探究可能出現的情況，求最大值．
分析：（1）根據矩形的性質和折疊的性質求出∠KNM，∠KMN的度數，根據三角形內角和即可求解；
（2）過M點作ME⊥DN，垂足為E，通過證明NK≥1，由三角形面積公式可得△MNK的面積不可能小于；
（3）分情況一：將矩形紙片對折，使點B與D重合，此時點K也與D重合；情況二：將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕即為AC兩種情況討論求解．
解答：解：（1）∵ABCD是矩形， ∴AM∥DN． ∴∠KNM=∠1． ∵∠1=70°， ∴∠KNM=∠KMN=70°，
∴∠MKN=40°．
（2）不能．
過M點作ME⊥DN，垂足為E，則ME=AD=1． ∵∠KNM=∠KMN， ∴MK=NK，又MK≥ME， ∴NK≥1．
∴△MNK的面積=NK?ME≥． ∴△MNK的面積不可能小于．
（3）分兩種情況：
情況一：將矩形紙片對折，使點B與D重合，此時點K也與D重合． MK=MD=x，則AM=5﹣x．
由勾股定理得12+（5﹣x）2=x2， 解得x=2.6． ∴MD=ND=2.6． S△MNK=S△MND==1.3．
情況二：將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕即為AC． MK=AK=CK=x，則DK=5﹣x．
同理可得MK=NK=2.6． ∵MD=1 ∴S△MNK=S△MND==1.3． △MNK的面積最大值為1.3．
點評：本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質，勾股定理，三角形的面積計算，注意分類思想的運用，綜合性較強，有一點的難度．
18，知識背景：恩施來鳳有一處野生古楊梅群落，其野生楊梅是一種具特殊價值的綠色食品．在當地市場出售時，基地要求“楊梅”用雙層上蓋的長方體紙箱封裝（上蓋紙板面積剛好等于底面面積的2倍，如圖）
（1）實際運用：如果要求紙箱的高為0.5米，底面是黃金矩形（寬與長的比是黃金比，取黃金比為0.6），體積為0.3立方米．
①按方案1（如圖）做一個紙箱，需要矩形硬紙板A1B1C1D1的面積是多少平方米？
②小明認為，如果從節省材料的角度考慮，采用方案2（如圖）的菱形硬紙板A2B2C2D2做一個紙箱比方案1更優，你認為呢？請說明理由．
（2）拓展思維：北方一家水果商打算在基地購進一批“野生楊梅”，但他感覺（1）中的紙箱體積太大，搬運吃力，要求將紙箱的底面周長、底面面積和高都設計為原來的一半，你認為水果商的要求能辦到嗎？請利用函數圖象驗證．
分析：（1）①利用寬與長的比是黃金比，取黃金比為0.6，假設底面長為x，寬就為0.6x，再利用圖形得出QM=+0.5+1+0.5+=3，FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，進而求出即可；
②根據菱形的性質得出，對角線乘積的一半絕對小于矩形邊長乘積即可得出答案；
（2）根據相似三角形的性質面積比等于相似比的平方得出即可．
解答：解：（1）①∵紙箱的高為0.5米，底面是黃金矩形（寬與長的比是黃金比，取黃金比為0.6），體積為0.3立方米，
∴假設底面長為x，寬就為0.6x， ∴體積為：0.6x?x?0.5=0.3， 解得：x=1， ∴AD=1，CD=0.6，
DW=KA=DT=JC=0.5，FT=JH=CD=0.3， WQ=MK=AD=， ∴QM=+0.5+1+0.5+=3，
FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2， ∴矩形硬紙板A1B1C1D1的面積是3×2.2=6.6平方米；
②從節省材料的角度考慮，采用方案2（如圖）的菱形硬紙板A2B2C2D2做一個紙箱比方案1更優，
∵如圖可知△MAE，△NBG，△HCF，△FDQ面積相等，且和為2個矩形FDQD1，
又∵菱形的性質得出，對角線乘積的一半絕對小于矩形邊長乘積；
∴從節省材料的角度考慮，采用方案2（如圖）的菱形硬紙板A2B2C2D2做一個紙箱比方案1更優，
（2）∵將紙箱的底面周長、底面面積和高都設計為原來的一半時，
∴邊長為：0.5，0.3，底面積將變為：0.3×0.5=0.15，將變為原來的，高再變為原來的一半時，
體積將變為原來的， ∴水果商的要求不能辦到．
點評：此題主要考查了一元二次方程的應用以及正方形性質與菱形性質等知識，根據題意得出DW=KA=DT=JC=0.5，FT=JH=CD=0.3，WQ=MK=AD=是解決問題的關鍵．
19，如圖，在平面直角坐標系中，直線AC：與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=ax2+bx+c過點A、點C，且與x軸的另一交點為B（x0，0），其中x0＞0，又點P是拋物線的對稱軸l上一動點．
（1）求點A的坐標，并在圖1中的l上找一點P0，使P0到點A與點C的距離之和最小；
（2）若△PAC周長的最小值為，求拋物線的解析式及頂點N的坐標；
（3）如圖2，在線段CO上有一動點M以每秒2個單位的速度從點C向點O移動（M不與端點C、O重合），過點M作MH∥CB交x軸于點H，設M移動的時間為t秒，試把△P0HM的面積S表示成時間t的函數，當t為何值時，S有最大值，并求出最大值；
（4）在（3）的條件下，當時，過M作x軸的平行線交拋物線于E、F兩點，問：過E、F、C三點的圓與直線CN能否相切于點C？請證明你的結論．（備用圖圖3）
分析：（1）由題意A、B點關于拋物線對稱，則BC所在直線與對稱軸的交點即為P0；
（2）由（1）所求可知該題周長最小即為 AC+BC的長，從而求出x0，而解得；
（3）由在三角形OBC∽三角形CMN，得到高關于t的式子，因為MH∥BC，得到三角形MHP0三角形底邊關于t的表達式，根據t的取值范圍，從而求得S的最大值．
（4）把S的取值代入（3）中表達式中求得t，從而得到點M的坐標，從而證明各點．
解答：解：（1）由題意直線AC與x軸的交點為A， 所以當y=0，則x=﹣6， 所以點A（﹣6，0）．
同理點C（0，8）， 由題意，A、B是拋物線y=ax2+bx+8與x軸的交點，
∴﹣6，x0是一元二次方程ax2+bx+8=0的兩個根， ∴﹣6+x0=﹣，﹣6x0=， ∴a=﹣，b=﹣+．
∵A、B點關于拋物線對稱，∴BC所在直線與對稱軸的交點即為P0．
設直線BC的解析式為y=mx+n，則n=8，mx0+n=0， ∴m=﹣，n=8． ∴BC的解析式為y=﹣x+8．
∴當x=﹣=時，y=+4， ∴P0的坐標為（，+4）；
（2）由（1）可知三角形PAC最小即為AC+BC=10， +=10，
解得x0=10或x0=﹣10（不符舍去）， 則點B（10，0），
由點A，B，C三點的二次函數式為y==﹣
（x﹣2）2+． 頂點N（2，）；
（3）如圖，作MN⊥BC與N， 則在三角形OBC∽三角形CMN，
所以， 即h=．因為MH∥BC， 所以，
解得MH==，
S==，
因為每秒移動2個單位， 則當t=2時符合范圍0＜t＜4， 所以當t為2時S最大；
（4）把S的取值代入（3）中表達式中求得t， 從而得到點M的坐標，，即
則解得t=2， 則由題意知CEF三點所在圓半徑為4， 所以直線CN與CFE所在圓相切．
點評：本題考查了二次函數的綜合應用，知道三點求二次函數式，考查一次函數與二次函數的結合求三角形面積，知道面積求點，很好結合，是道好題．
20，（2011?十堰）如圖，己知拋物線y=x2+bx+c與x 軸交于點A（1，0）和點 B，與y軸交丁點C （0，﹣3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖（1），己知點H（0，﹣1）．問在拋物線上是否存在點G （點G在y軸的左側），使得S△GHC=S△GHA？若存在，求出點G的坐標，若不存在，請說明理由：
（3）如圖（2），拋物線上點D在x軸上的正投影為點E（﹣2，0），F是OC的中點，連 接DF，P為線段BD上的一點，若∠EPF=∠BDF，
求線段PE的長．
分析：（1）由拋物線y=x2+bx+c與x 軸交于點A（1，0）和點 B，與y軸交丁點C （0，﹣3），利用待定系數法即可求得二次函數的解析式；
（2）分別從GH∥AC與GH與AC不平行去分析，注意先求得直線GH的解析式，根據交點問題即可求得答案，小心不要漏解；
（3）利用待定系數法求得直線DF的解析式，即可證得△PBE∽△FDP，由相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．
解答：解：（1）由題意得：， 解得：， ∴拋物線的解析式為：y=x2+2x﹣3；
（2）解法一： 假設在拋物線上存在點G，設G（m，n），顯然，當n=﹣3時，△AGH不存在．
①當n＞﹣3時， 可得S△GHA=﹣++，S△GHC=﹣m， ∵S△GHC=S△GHA， ∴m+n+1=0，
由，
解得：或，
∵點G在y軸的左側， ∴G（﹣，）；
②當﹣4≤n＜﹣3時， 可得S△GHA=﹣﹣﹣，S△GHC=﹣m，
∵S△GHC=S△GHA， ∴3m﹣n﹣1=0，
由， 解得：或， ∵點G在y軸的左側， ∴G（﹣1，﹣4）．
∴存在點G（﹣，）或G（﹣1，﹣4）．
解法二： ①如圖①，當GH∥AC時，點A，點C到GH的距離相等，
∴S△GHC=S△GHA，可得AC的解析式為y=3x﹣3，
∵GH∥AC，得GH的解析式為y=3x﹣1， ∴G（﹣1，﹣4）；
②如圖②，當GH與AC不平行時， ∵點A，C到直線GH的距離相等，
∴直線GH過線段AC的中點M（，﹣）．∴直線GH的解析式為y=﹣x﹣1，
∴G（﹣，）， ∴存在點G（﹣，）或G（﹣1，﹣4）．
（3）如圖③，∵E（﹣2，0），∴D的橫坐標為﹣2， ∵點D在拋物線上，
∴D（﹣2，﹣3）， ∵F是OC中點， ∴F（0，﹣），
∴直線DF的解析式為：y=x﹣， 則它與x軸交于點Q（2，0），
則QB=QD，得∠QBD=∠QDB，∠BPE+∠EPF+∠FPD=∠DFP+∠PDF+∠FPD=180°，
∵∠EPF=∠PDF， ∴∠BPE=∠DFP， ∴△PBE∽△FDP，
∴， 得：PB?DP=， ∵PB+DP=BD=，
∴PB=，即P是BD的中點，連接DE，∴在Rt△DBE中，PE=BD=．
點評：此題考查了待定系數法求二次函數的解析式，直線與二次函數的交點問題以及三角形面積問題的求解等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用。
21，如圖1，Rt△ABC兩直角邊的邊長為AC＝1，BC＝2．
（1）如圖2，⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點X，與邊CB相切于點Y．請你在圖2中作出并標明⊙O的圓心O；（用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
（2）P是這個Rt△ABC上和其內部的動點,以P為圓心的⊙P與Rt△ABC的兩條邊相切．設⊙P的面積為s，你認為能否確定s的最大值？若能，請你求出s的最大值;若不能,請你說明不能確定s的最大值的理由．
解析；
(1)（標出了圓心，沒有作圖痕跡的評1分）看見垂足為Y（X）的一?條?垂?線?(或?者∠ABC的平分線)即評1分，
(2)①當⊙P與Rt△ABC的邊?AB和BC相切時，由角平分線的性質，動點P是∠ABC的平分線BM上的點.
如圖1，在∠ABC的平分線BM上任意確定點P1??(不為∠ABC的頂點)，
∵?OX?＝BOsin∠ABM, P1Z＝BP1sin∠ABM．
當?BP1＞BO?時?，P1Z＞OX,即P與B的距離越大，⊙P的面積越大．
這時，BM與AC的交點P是符合題意的、BP長度最大的點.
如圖2，∵∠BPA＞90°，過點P作PE⊥AB，垂足為E，則E在邊AB上.
∴以P為圓心、PC為半徑作圓，則⊙P與邊CB相切于C，與邊AB相切于E，
即這時的⊙P是符合題意的圓. 這時⊙P的面積就是S的最大值.
∵∠A＝∠A，∠BCA＝∠AEP＝90°,∴?Rt△ABC∽Rt△APE，
∴. ∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝.
設PC＝x，則PA＝AC－PC＝1－x, PC＝PE，
∴， ∴x＝?．
②如圖3，同理可得：當⊙P與Rt△ABC的邊AB和AC相切時，設PC＝y，則?， ∴y=?. 網21世紀教育網]
③如圖4，同理可得：當⊙P與Rt△ABC的邊BC和AC相切時，
設PF＝z，則， ∴z=.
由①，②，③可知：∵??＞2，∴?＋2＞＋1＞3，
∵當分子、分母都為正數時，若分子相同，則分母越小，這個分數越大，
(或者:∵x=?=2-4, y=?=?5,
∴y-x=>0, ∴y>x. ∵z-y=>0)
∴2， ∴?z＞y＞x. ∴⊙P的面積S的最大值為.
22．數學課堂上，徐老師出示一道試題：
如圖（十）所示，在正三角形ABC中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠ACP的平分線上一點．若∠AMN＝60°，求證：AM＝MN．
(1)經過思考，小明展示了一種正確的證明過程．請你將證明過程補充完整．
證明：在AB上截取EA＝MC，連結EM，得△AEM．
∵∠1＝180°－∠AMB－∠AMN，∠2＝180°－∠AMB－∠B，∠AMN＝∠B＝60°，∴∠1＝∠2．
又CN平分∠ACP，∠4＝∠ACP＝60°．∴∠MCN＝∠3＋∠4＝120°…………①
又∵BA＝BC，EA＝MC，∴BA－EA＝BC－MC，即BE＝BM．
∴△BEM為等邊三角形．∴∠6＝60°．∴∠5＝180°－∠6＝120°．………②
∴由①②得∠MCN＝∠5．
在△AEM和△MCN中，∵∠1＝∠2． AE=MC ， ∠MCN＝∠5．
∴△AEM≌△MCN (ASA)．∴AM＝MN．
(2)若將試題中的“正三角形ABC”改為“正方形A1B1C1D1”（如圖），N1是∠D1C1P1的平分線上一點，則當∠A1M1N1＝90°時，結論A1M1＝M1N1．是否還成立？（直接寫出答案，不需要證明）
【答案】：成立 在上截取
(3) 若將題中的“正三角形ABC”改為“正多邊形AnBnCnDn…Xn”，請你猜想：當∠AnMnNn＝ °時，結論AnMn＝MnNn仍然成立？（直接寫出答案，不需要證明）

【解題思路】：∠AMN=60°＝ （3－2）/3 ×180°∠A1M1N1=90°＝（4－2）/4 ×180°
∠AnMnNn= （n－2）/n ×180°
【點評】：本題考察了三角形全等的判定，當全等三角形不明確時構建全等三角形是本題的主旨，如何構建就是個人長期學習練習形成的，難度較大的是第三問，這里如果能快速判定該角度數是180的若干倍，且這個倍數與正多邊形的邊數有內在聯系將容易分析。難度較大
23，,九（1）班數學課題學習小組，為了研究學習二次函數問題，他們經歷了實踐—— 應用 ---探究的過程：
（1）實踐：他們對一條公路上橫截面的單向雙車道的隧道（如圖①）進行測量，測得一隧道的路面寬為10m，隧道頂部最高處距地面6.25m，并畫出了隧道截面圖，建立了如圖②所示的直角坐標系，請你求出拋物線的解析式。
解：根據題意可知：拋物線的頂點坐標為(5，6.25)，∴設函數解析式為y=a(x－5)2+6.25.
又拋物線經過原點（0，0），∴0=a(0-5)2+6.25. 解得：a=－
∴函數解析式為y=－(x－5)2+6.25 （0≤x≤10）
（2）應用：規定機動車輛通過隧道時，車頂部于隧道在豎直方向上的高度差至少為0.5m，為了確保安全，問該隧道能否讓最寬3m，最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛（兩車并列行駛時不考慮兩車的空隙）？
解：,設并行的兩車為矩形ABCD，∴AB=3×2=6,AD=3.5 ∴A點橫坐標為2，代入y=－(x－5)2+6.25
∴y=－(2－5)2+6.25=4＞3.5 所以該隧道能讓最寬3m，最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛
（3）探究：該課題學習小組為進一步探拋物線的有關知識，他們借助上述拋物線模型，提出了一下兩個問題，請予解答：
1、如圖，在拋物線內作矩形ABCD，使頂點C、D落在拋物線上，頂點A、B落在x軸上設矩形ABCD的周長為l，求l的最大值。
解：設A點橫坐標為m，則AB=10-2m，D（m，）
∴矩形ABCD的周長為l=2（AD+AB）=2（10-2m+）==
∵a=－＜0，拋物線開口向下， ∴當m=1，矩形ABCD的周長l的最大值為
2、如圖，過原點作一條y=x的直線OM，交拋物線于點M，交拋物線對稱軸于點N，P為直線OM上一動點，過P點作x軸的垂線交拋物線于點Q。問在直線OM上是否存在點P，使以P、N、Q為頂點的三角形是等腰直角三角形？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由。
解：存在這樣的點P，使得△PNQ為等腰直角三角形。
直線OM：y=x與對稱軸的交點N（5，5）,與直線段PQ交于點P，顯然當Q點縱坐標為5時,QN//x軸,∠ONQ=∠NOx=45°,△PQN為等腰直角三角形。
此時，5=，解得：m=5± ∴當P(5-，5-)或P(5+，5+)時，△PQN為等腰直角三角形。
24，如圖1，AD和AE分別是△ABC的BC邊上的高和中線，點D是垂足，點E是BC的中點，規定：λA=．特別地，當點D、E重合時，規定：λA=0．另外，對λB、λC作類似的規定．
（1）如圖2，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求λA、λC；
（2）在每個小正方形邊長均為1的4×4的方格紙上，畫一個△ABC，使其頂點在格點（格點即每個小正方形的頂點）上，且λA=2，面積也為2；
（3）判斷下列三個命題的真假（真命題打“√”，假命題打“×”）：
①若△ABC中λA＜1，則△ABC為銳角三角形；　 　
②若△ABC中λA=1，則△ABC為銳角三角形；　 　
③若△ABC中λA＞1，則△ABC為鈍角三角形．　 　．
分析：（1）根據直角三角形斜邊中線、高的特點進行轉換即可得出答案，
（2）根據題目要求即可畫出圖象， （3）根據真假命題的定義即可得出答案．
解答：解：（1）如圖，作BC邊上的中線AD，又AC⊥DC， ∴λA==1，
過點C分別作AB邊上的高CE和中線CF，∵∠ACB=90°，∴AF=CF，∴∠ACF﹣∠CAF=30°，∴∠CFE=60°，
∴λC===cos60°=，
（2）如圖：
（3）①×，②√，③√．
點評：本題主要考查了直角三角形斜邊中線、高的性質以及特殊角的三角函數值，同時考查了畫圖，真假命題的判斷，比較復雜，難度較大．

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