資源簡介

保溫特訓(一)　集合、邏輯用語、算法、推理與證明
基礎回扣訓練(限時30分鐘)
1．設集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|x2－3x＋2≤0，x∈Z}，則A∩B等于
(　　)．
A．(－1,3) B．[1,2]
C．{0,1,2} D．{1,2}
2．復數z滿足(－1＋i)z＝(1＋i)2，其中i為虛數單位，則在復平面上復數z對應的點位于
(　　)．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．關于命題p：A∩?＝?，命題q：A∪?＝A，則下列說法正確的是
(　　)．
A．(綈p)∨q為假
B．(綈p)∧(綈q)為真
C．(綈p)∨(綈q)為假
D．(綈p)∧q為真
4．“α＝”是“cos 2α＝”的
(　　)．
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
5．已知i為虛數單位，復數為純虛數，則實數a等于
(　　)．
A．－2 B．－
C. D．2
6．下列命題中真命題的個數是
(　　)．
①“?x∈R，x2－x>0”的否定是“?x∈R，x2－x<0”；②若|2x－1|>1，則0<<1或<0；③?x∈N*,2x4＋1是奇數．
A．0 B．1 C．2 D．3
7．設A＝{x|x2－4x－5<0}，B＝{x||x－1|>1}，則A∩B＝
(　　)．
A．{x|－1B．{x|－1C．{x|－1D．{x|x<0或x>2}
8．如果復數(其中i為虛數單位，b為實數)的實部和虛部互為相反數，那么b等于
(　　)．
A．－ B.
C. D．2
9．已知二次函數f(x)＝ax2＋bx，則“f(2)≥0”是“函數f(x)在(1，＋∞)單調遞增”的
(　　)．
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
10．下列有關命題的說法正確的是
(　　)．
A．命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為：“若x2＝1，則；x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分條件
C．命題“?x∈R，使得：x2＋x＋1<0”的否定是：“?x∈R，均有x2＋x＋1<0”
D．命題“若x＝y，則sin x＝sin y”的逆否命題為真命題
11．利用如圖所示程序框圖在直角坐標平面上打印一系列點，則打印的點落在坐標軸上的個數是
(　　)．
A．0 B．1 C．2 D．3
12．給出30個數：1,2,4,7,11，…，要計算這30個數的和，現已給出了該問題的程序框圖如圖所示，那么框圖中判斷①處和執行框②處應分別填入(　　)．
A．i≤30？和p＝p＋i－1
B．i≤31？和p＝p＋i＋1
C．i≤31？和p＝p＋i
D．i≤30？和p＝p＋i
13．設p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)內單調遞增，q：m≥對任意x>0恒成立，則p是q的
(　　)．
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
14．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由歸納推理可得：若定義在R上的函數f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導函數，則g(－x)＝
(　　)．
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
15．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，則集合?U(A∪B)＝________.
16．設復數z滿足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虛數單位)，則z的實部是________．
17．設n≥2，n∈N，n－n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，將|ak|(0≤k≤n)的最小值記為Tn，則T2＝0，T3＝－，T4＝0，T5＝－，…，Tn，…，其中Tn＝________.
18．如圖是一個算法流程圖，則輸出的S的值是________．(注：框圖中的賦值符號“←”也可以寫成“＝”或“：＝”)
臨考易錯提醒
1．不能正確理解集合的表示中元素的意義，數集與點集混淆、函數的定義域與值域混淆、圖形集與點集混淆等，如{x|y＝}、{y|y＝}以及{(x，y)|y＝}分別表示函數y＝的定義域、值域以及函數圖象上的點集．
2．容易忽視兩個集合的基本運算中端點值的取舍導致增解或漏解，求解集合的補集時由于錯誤否定條件導致錯解，如已知A＝，誤把集合A的補集寫為導致漏解．
3．易把命題的否定與否命題混淆，否定含有一個量詞的命題時忽視量詞的改變導致出錯．
4．易混淆充要條件的判斷中“甲是乙的什么條件”與“甲的一個什么條件是乙”導致誤判．
5．不能正確分析程序框圖的實際意義是什么，也就是這個框圖要計算的是什么，這個計算是從什么時候開始，中間按照什么規律進行，最后計算到什么位置．尤其是循環結構的條件判斷不準導致出錯．
6．對復數的概念不清，運算法則特別是除法法則不熟練，幾何定義不明確等，導致概念與運算類試題出錯，復數中的最值問題無法利用數形結合的思想進行解決．
7．類比不當、歸納不準致使合情推理錯誤．歸納與類比中，“合情推理”是其主要特征，即我們作出的歸納首先要適合“部分”，其次歸納的結論要體現“部分”的發展規律，而類比要注意“對應”，如平面上的三角形對應空間的三棱錐(四面體)，平面上的面積對應空間的體積等．
8．歸納假設使用不當致誤．數學歸納法的兩個步驟缺一不可，前者是基礎，后者是遞推的依據，在證明第二步時，必須用上歸納假設的命題，否則證明無法傳遞下去，無法得到正確的命題．
參考答案
保溫特訓(一)
1．D　[B＝{1,2}，A∩B＝{1,2}．]
2．D　[(－1＋i)z＝(1＋i)2＝2i，則z＝＝＝－i(i＋1)＝1－i，所以復數z在復平面上對應的點為(1，－1)，則這個點位于第四象限．]
3．C　[由題意得命題p，q均是真命題，又復合命題的真假判斷可知C項正確．]
4．A　[當α＝，則cos 2α＝cos＝成立，但是cos 2α＝得到α＝＋kπ，k∈Z不一定可以推出α＝，因此“α＝”是“cos 2α＝”的充分不必要條件．”]
5．A　[由于＝＝為純虛數，所以＝0，≠0，即a＝－2.]
6．C　[①錯誤，應為“x2－x≤0”；②正確，解|2x－1|>1得x>1或x<0與“0<<1或<0”等價；③正確．]
7．A　[∵x2－4x－5<0，∴(x－5)(x＋1)<0，解得A＝{x|－11，解得x－1>1或x－1<－1，∴B＝{x|x>2或x<0}．∴A∩B＝{x|－18．A　[＝＝，
∴＋＝0，∴b＝－.]
9．C　[函數f(x)在(1，＋∞)單調遞增，則a>0，x＝－≤1，所以b≥－2a.這與f(2)≥0等價．而f(2)≥0，不能確定函數f(x)在(1，＋∞)單調遞增．]
10．D　[對于A：命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題應為“若x2≠1，則x≠1”，故錯誤．對于B：因為x＝－1?x2－5x－6＝0，應為充分條件，故錯誤．對于C：命題“?x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定應為?x∈R，均有x2＋x＋1≥0.故錯誤．由排除法得到D正確．]
11．B　[i＝3，打印點(－2,6)，
x＝－1，y＝5，
i＝3－1＝2；
i＝2，打印點(－1,5)，
x＝0，y＝4，
i＝2－1＝1；
i＝1，打印點(0,4)，
x＝1，y＝3，
i＝1－1＝0，結束運行．]
12．D　[該程序框圖功能是計算30個數的和，所以判斷框內應填入i≤30，由1,2,4,7,11，…這個數列的特征和，循環體中應填p＝p＋i.]
13．B　[f(x)在(－∞，＋∞)內單調遞增，則f′(x)≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x2＋4x＋m≥0對任意x恒成立，故Δ≤0，即m≥；m≥對任意x>0恒成立，即x>0時，m≥max，而＝≤＝2，故m≥2.當p成立時q不一定成立，即p不是q的充分條件，但如果p不成立，即m<時，q一定不成立，即p是q的必要條件，故選B.]
14．D　[觀察可知，偶函數f(x)的導函數g(x)都是奇函數，所以g(－x)＝－g(x)，故選D.]
15．解析　∵A＝{1,2}，∴B＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,4}，
∴?U(A∪B)＝{3,5}．
答案　{3,5}
16．解析　因為z＝－1＝1＋3i，所以z的實部是1.
答案　1
17．解析　根據已知條件，總結規律，進而可得
Tn＝
答案　
18．解析　由算法流程圖知，當n＝1時，S＝1＋21＝3；當n＝2時，S＝3＋22＝7；當n＝3時，S＝7＋23＝15；當n＝4時，S＝15＋24＝31；當n＝5時，S＝31＋25＝63>33，循環結束，故輸出S的值是63.
答案　63
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保溫特訓(二)　函數與導數
基礎回扣訓練(限時30分鐘)
1．設曲線y＝ax2在點(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，則a＝
(　　)．
A．1 B. C．－ D．－1
2．函數f(x)＝定義域為
(　　)．
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)
3．下列各式中錯誤的是
(　　)．
A．0.83>0.73 B．log0.50.4>log0.50.6
C．0.75－0.1<0.750.1 D．lg 1.6>lg 1.4
4．函數f(x)＝－＋log2 x的一個零點落在下列哪個區間
(　　)．
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
5．設f(x)＝lg是奇函數，且在x＝0處有意義，則該函數
(　　)．
A．(－∞，＋∞)上的減函數
B．(－∞，＋∞)上的增函數
C．(－1,1)上的減函數
D．(－1,1)上的增函數
6．函數y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)的圖象可能是下列圖象中的
(　　)．
7．若f(x)＝則f(2 012)等于
(　　)．
A．1 B．2
C. D.
8．函數f(x)在定義域內可導，若f(x)＝f(2－x)，且當x∈(－∞，1)時，(x－1)·f′(x)<0，設a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，則
(　　)．
A．aC．c9．下列函數中，在(0,1)上有零點的函數是(　　)．
A．f(x)＝ex－x－1 B．f(x)＝xln x
C．f(x)＝ D．f(x)＝sin2x＋ln x
10．在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標均為整數的點稱為整點，如果函數f(x)的圖象恰好通過n(n∈N*)個整點，則稱函數f(x)為n階整點函數．有下列函數：
①f(x)＝x＋(x>0)； ②g(x)＝x3；
③h(x)＝x； ④φ(x)＝ln x.
其中是一階整點函數的是
(　　)．
A．①②③④ B．①③④
C．④ D．①④
11．已知f(x)＝則f的值為________．
12．已知定義域為R的函數f(x)＝是奇函數，則a＝________.
13．函數f(x)＝(x2＋x＋1)ex(x∈R)的單調減區間為________．
14．設曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸交點的橫坐標為xn，令an＝lg xn，則a1＋a2＋…＋a99的值為________．
15．已知函數f(x)＝ax3＋bx＋c在點x＝2處取得極值c－16.
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)有極大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．
臨考易錯提醒
1．易忽視函數的定義域或求錯函數的定義域，如求函數f(x)＝的定義域時，只考慮到x>0，x≠0，而忽視ln x≠0的限制．
2．應注意函數奇偶性的定義，不要忽視函數定義域關于坐標原點對稱的限制條件．
3．求函數的單調區間時忽視函數定義域，如求函數f(x)＝ln(x2－3x＋2)的單調區間時，只考慮到t＝x2－3x＋2與函數y＝ln t的單調性，忽視t>0的限制條件．
4．不能準確記憶基本初等函數的圖象，不能準確利用函數圖象平移、伸縮變換得到所需函數的圖象，如畫出函數f(x)＝lg(1－x)的圖象時，不能通過對y＝lg x的圖象正確進行變換得到．
5．不能準確把握常見的函數模型，導致函數建模出錯，易忽視函數實際應用中的定義域等．
6．不能準確理解導函數的幾何意義，易忽視切點(x0，f(x0))既在切線上，又在函數圖象上，導致某些求導數的問題不能正確解出．
7．易記錯基本初等函數的導數以及錯用函數求導法則，導致錯求函數的導數．
8．易混淆函數的極值與最值、導函數等于0的點的概念．
9．易忽視函數與導函數定義域可能不同，利用導數解決函數問題時，直接利用導函數的定義域代替函數的定義域．
10．易混淆求函數的單調區間與已知函數的單調區間求參數的取值范圍兩類問題，求解函數的單調區間直接轉化為f′(x)>0或f′(x)<0的解集；而已知函數在區間M上單調遞增(減)，則要轉化為f′(x)≥0或f′(x)≤0的恒成立問題．
參考答案
保溫特訓(二)
1．A　[由y′＝2ax，又點(1，a)在曲線y＝ax2上，依題意得k＝y′|x＝1＝2a＝2，解得a＝1.]
2．D　[由∴x>0且x≠1，故選D.]
3．C　[構造相應函數，再利用函數的性質解決，對于A，構造冪函數y＝x3，為增函數，故A對；對于B、D，構造對數函數y＝log0.5x為減函數，y＝lg x為增函數，B、D都正確；對于C，構造指數函數y＝0.75x，為減函數，故C錯．]
4．B　[根據函數的實根存在定理得f(1)f(2)<0.]
5．D　[由題意可知f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，解得a＝－1，故f(x)＝lg，函數f(x)的定義域是(－1,1)，在此定義域內f(x)＝lg＝lg(1＋x)－lg(1－x)，函數y1＝lg(1＋x)是增函數，函數y2＝lg(1－x)是減函數，故f(x)＝y1－y2是增函數．選D.]
6．C　[y＝是偶函數，故排除A，令f(x)＝x－sin x，x∈(0，π)，則f′(x)＝1－cos x，x∈(0，π)，易知f′(x)≥0在x∈(0，π)恒成立，所以fmin(x)>f(0)＝0，x∈(0，π)，∴y＝>1，故選C.]
7．C　[當x>0時，f(x)＝f(x－4)，所以f(x＋4)＝f(x)，此時4是f(x)的周期，所以f(2 012)＝f(0)＝20＋＝，選C.]
8．C　[由于函數滿足f(x)＝f(2－x)，則說明函數關于直線x＝1對稱，且當x∈(－∞，1)時，由不等式(x－1)f′(x)<0，可知函數f′(x)>0，說明函數在x∈(－∞，1)上單調遞增，則在(1，＋∞)時，函數單調遞減．x＝3離對稱軸的距離為最遠，則最小值為f(3)，因為0<<1在單調遞增區間上，所以a9．D　[對于A，注意到當x∈(0,1)時，f′(x)＝ex－1>0，f(x)為增函數，f(0)＝0，因此有當x∈(0,1)時，f(x)>0，于是可知，該函數在(0,1)上不存在零點．
對于B，注意到f′(x)＝ln x＋1，當0時，f′(x)>0，因此f(x)在上是減函數，在上是增函數，當x無限接近于零(且大于零)時，f(x)的值為負，且f(1)＝0，于是可知該函數在(0,1)上不存在零點．
對于C，注意到當x∈(0,1)時，有f(x)>0，于是可知，該函數在(0,1)上不存在零點．
對于D，注意到函數f(x)在(0,1)上是增函數，且f(1)>0；當x無限接近于零(且大于零)時，f(x)的值為負(注：此時ln x的值為負且其絕對值可無限大；sin x的值無限接近于零)，因此該函數在(0,1)上存在零點．
綜上所述，選D.]
10．D　[g(x)＝x3通過點(1,1)，(2,8)等，故不是一階整點函數；h(x)＝x通過點(－1,3)，(－2,9)等，故不是一階整點函數．選D.]
11．解析　f＝f＋1＝f＋1＝sin＋1＝－＋1＝.
答案　
12．解析　由f(－1)＝－f(1)，易得a＝2.
答案　2
13．解析　因f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝(x2＋3x＋2)ex，令f′(x)≤0，則x2＋3x＋2≤0解得－2≤x≤－1.
答案　[－2，－1]
14．解析　因為y′＝(n＋1)xn，所以切線斜率為n＋1，切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)，所以xn＝1－＝，所以a1＋a2＋…＋a99＝lg x1＋lg x2＋…＋lg x99＝lg x1·x2·…·x99＝lg··…··＝lg＝－2.
答案　－2
15．(1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b，
由于f(x)在點x＝2處取得極值c－16，
故有即
化簡得
解得a＝1，b＝－12.
(2) 由(1)知f(x)＝x3－12x＋c；
f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
當x∈(－∞，－2)時，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－2)上為增函數；
當x∈(－2,2)時，f′(x)<0，故f(x)在(－2,2)上為減函數；
當x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0，故f(x)在(2，＋∞)上為增函數．
由此可知f(x)在x1＝－2處取得極大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x1＝2處取得極小值f(2)＝c－16.
由題設條件知16＋c＝28得c＝12.
此時f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4，
因此f(x)在[－3,3]上的最小值為f(2)＝－4.
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保溫特訓(三)　三角函數與平面向量
基礎回扣訓練(限時30分鐘)
1．已知函數f(x)＝2 cos2x－3，則下列選項正確的是
(　　)．
A．f(x)在上遞增
B．f(x)的圖象關于原點對稱
C．f(x)的最小正周期為2π
D．f(x)的值域為[－3，－1]
2．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,2)，若a⊥b，則|b|＝
(　　)．
A. B．2
C．5 D．20
3．函數y＝2sincos圖象的一條對稱軸是
(　　)．
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝π
4．設向量a，b滿足：|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝0，則a與b的夾角是
(　　)．
A．30° B．60°
C．90° D．120°
5．函數f(x)＝Asin(2x＋φ)(A，φ∈R)的部分圖象如圖所示，那么f(0)＝
(　　)．
A．－ B．－1
C．－ D．－
6．函數y＝sin x＋sin具有性質
(　　)．
A．圖象關于點對稱，最大值為1
B．圖象關于點對稱，最大值為2
C．圖象關于直線x＝－對稱，最大值為2
D．圖象關于直線x＝－對稱，最大值為1
7．在△ABC中，a＝4，b＝，5cos(B＋C)＋3＝0，則角B的大小為
(　　)．
A. B.
C. D.π
8．若△ABC的外接圓半徑R和△ABC的面積都等于1，則sin Asin Bsin C的值為
(　　)．
A. B.
C. D.
9．已知△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，若＋＝2，且||＝||，則向量在向量方向上的射影的數量為
(　　)．
A. B.
C．3 D．－
10．在△ABC中，若2＝·＋·＋·，則△ABC是
(　　)．
A．等邊三角形 B．銳角三角形
C．鈍角三角形 D．直角三角形
11．已知cos α＝－，且α∈，則tan＝________.
12．已知|a|＝|b|＝|a－b|＝2，則|3a－2b|＝________.
13．在△ABC中，已知·＝4，·＝－12，則||＝________.
14．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知4sin2－cos 2C＝，且c＝，則△ABC的面積的最大值為________．
15．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，向量p＝，q＝(cos 2A,2sin A)，且p∥q.
(1)求sin A的值；
(2)若b＝2，△ABC的面積為3，求a.
臨考易錯提醒
1．應注意角的集合的表示形式不是唯一的，如終邊在y軸的負半軸上的角的集合可以表示為，也可以表示為.
2．應注意所有周期函數不一定都有最小正周期，例如，常函數就不存在最小正周期．求函數y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期時，如果沒有ω>0的限制條件，則其最小正周期是；求函數y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期時，如果沒有ω>0的限制條件，則其最小正周期是.
3．易混淆y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的變換順序，不清楚每一次變換都是對自變量而言的，要看自變量的變化，而不是看ω，φ的變化．
4．應注意正弦型函數y＝Asin(ωx＋φ)的對稱中心是函數圖象與x軸的交點，對稱軸是過函數圖象的最高點或者最低點與x軸垂直的直線；正切型函數y＝Atan(ωx＋φ)的圖象是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，其對稱中心是函數圖象與x軸的交點以及在定義域內被排除掉的點．
5．注意向量加法的三角形法則適用于任意兩個非零向量相加，并且可以推廣到兩個以上的非零向量相加．向量的減法是被減向量加上減向量的相反向量，特別要注意對平面上任意一點O，向量＝＋(加法的三角形法則)＝－(減法的三角形法則)．
6．易混淆向量共線與直線共線的區別，向量共線是指向量所在的直線平行或者重合，而直線共線是指它們重合．
7．應注意向量與它的坐標之間是一一對應的關系，即向量確定，則坐標唯一；坐標確定，則向量唯一，但表示向量的有向線段不唯一，根據＝(xB－xA，yB－yA)，無論向量在平面上如何移動，向量的坐標是唯一的．
8．要特別注意零向量帶來的問題：0的模是0，方向任意，并不是沒有方向；0與任意非零向量平行；λ00，而不是等于0，0與任意向量的數量積等于0，即0·a＝0.
9．易誤認向量的數量積的運算定律與實數相同，實際上在一般情況下(a·b)·c≠a·(b·c)；a·b＝0時未必有a＝0或b＝0.
10．已知兩邊及其中一邊的對角解三角形時，應注意對解的情況進行討論，討論的根據一是所求的正弦值是否大于1，當正弦值小于或等于1時，還應判斷各角之和與180°的關系，二是兩邊的大小關系．
參考答案
保溫特訓(三)
1．D　[當cos x＝0時，f(x)取最小值，f(x)min＝－3；當cos x＝±1時，f(x)取最大值，f(x)max＝－1，所以函數f(x)的值域為[－3，－1]．]
2．B　[因為a⊥b，所以a·b＝x－4＝0，解得x＝4，所以|b|＝＝2，選B.]
3．B　[y＝2sincos
＝2sinsin＝2sin2
＝1－cos＝1＋sin 2x，
∵x＝時，y＝1＋1＝2，
∴x＝是函數圖象的一條對稱軸．]
4．D　[由a·(a＋b)＝0得a·a＋a·b＝0，即|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0，將已知數據代入解得cos〈a，b〉＝－，
∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°.]
5．B　[由題圖可知，函數的最大值為2，因此A＝2.又因為函數經過點，則2sin＝2，即2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z.f(0)＝2sin φ＝2sin＝－1.]
6．A　[因為y＝sin x＋sin＝sin x＋sincos x－cossin x＝sin，所以最大值為1，又當x＝－時，y＝0，故選A.]
7．A　[由5cos(B＋C)＋3＝0得cos A＝，則sin A＝，＝，sin B＝.又a>b，B必為銳角，所以B＝.]
8．D　[根據三角形面積公式和正弦定理S＝absin C＝2Rsin A·2Rsin B·sin C＝2R2sin Asin Bsin C，將R＝1和S＝1代入得sin Asin Bsin C＝.]
9．A　[由已知可知，△ABC的外接圓的圓心在線段BC的中點O處，因此△ABC是直角三角形．且A＝，又因為||＝||，∴C＝，B＝，∴AB＝，AC＝1，故在上的射影||cos＝.]
10．D　[∵2＝·＋·＋·，∴2－·＝·＋·，∴(－)＝·(－)，∴·＝2，∴·(＋)＝0，
∴·＝0，∴AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形．]
11．解析　∵cos α＝－且α∈，∴sin α＝.
∴tan α＝－.∴tan＝＝.
答案　
12．解析　因為|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝4＋4－2a·b＝4，所以解得a·b＝2，所以|3a－2b|2＝9|a|2＋4|b|2－12a·b＝36＋16－24＝28，故|3a－2b|＝2.
答案　2
13．解析　∵·＝4，∴bc cos A＝＝4，∴b2＋c2－a2＝8，同理a2＋c2－b2＝24，∴c2＝16，∴c＝4.
答案　4
14．解析　因為4sin2－cos 2C＝，
所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1＝，
2＋2cos C－2cos2C＋1＝，
即cos2C－cos C＋＝0，解得cos C＝.
由余弦定理得cos C＝＝，ab＝a2＋b2－7≥2ab－7，ab≤7.(當且僅當a＝b＝時，“＝”成立)
從而S＝absin C≤·7·＝，即S的最大值為.
答案　
15．解　(1)∵p∥q，∴cos 2A＝(1－sin A)·2sin A，
∴6(1－2sin2A)＝7sin A(1－sin A)，
5sin2A＋7sin A－6＝0，
∴sin A＝，sin A＝－2(舍)．
(2)由S△ABC＝bcsin A＝3，b＝2，得c＝5，
又cos A＝±＝±，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋25－2×2×5cos A
＝29－20cos A.
當cos A＝時，a2＝13，a＝；
當cos A＝－時，a2＝45，a＝3.
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保溫特訓(四)　數列、不等式
基礎回扣訓練(限時40分鐘)
1．公差不為零的等差數列第2,3,6項構成等比數列，則公比為
(　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若<<0，則下列不等式：①a＋b|b|；③a(　　)．
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
3．設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S10∶S5＝1∶2，則S15∶S5＝
(　　)．
A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3
4．已知實數x，y滿足約束條件則z＝x＋3y的最大值等于
(　　)．
A．9 B．12 C．27 D．36
5．已知{an}為等差數列，其公差為－2，且a7是a3與a9的等比中項，Sn為{an}的前n項和，則S10的值為
(　　)．
A．－110 B．－90
C．90 D．110
6．已知各項均為正數的等比數列{an}，a1a2a3＝5，a4a5a6＝5，則a7a8a9＝(　　)．
A．10 B．2 C．8 D.
7．設數列{an}滿足a1＋2a2＝3，且對任意的n∈N*，點列{Pn(n，an)}恒滿足
PnPn＋1＝(1,2)，則數列{an}的前n項和Sn為
(　　)．
A．n B．n
C．n D．n
8．如果數列a1，，，…，，…是首項為1，公比為－的等比數列，則a5等于
(　　)．
A．32 B．64
C．－32 D．－64
9．若a，b∈(0，＋∞)，且a，b的等差中項為，α＝a＋，β＝b＋，則α＋β的最小值為
(　　)．
A．3 B．4
C．5 D．6
10．已知平面直角坐標系xOy上的區域D由不等式組給定，若M(x，y)為D上的動點，點A的坐標為(，1)，則z＝·的最大值為
(　　)．
A．3 B．4
C．3 D．4
11．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是________．
12．在等差數列{an}中，a5＝1，a3＝a2＋2，則S11＝________.
13．正項數列{an}滿足a1＝2，(an－2)2＝8Sn－1(n≥2)，則{an}的通項公式an＝________.
14．已知點A(m，n)在直線x＋2y－1＝0上，則2m＋4n的最小值為________．
15．已知點是函數f(x)＝ax(a>0且a≠1)圖象上的一點，等比數列{an}的前n項和為f(n)－c，數列{bn}(bn>0)的首項為c，且前n項和Sn滿足Sn－Sn－1＝＋(n≥2)．
(1)求數列{an}和{bn}的通項公式；
(2)若數列的前n項和為Tn，問使Tn>的最小正整數n是多少？
(3)若cn＝－an·bn，求數列{cn}的前n項和．
臨考易錯提醒
1．易忽視數列通項公式中n的取值范圍導致數列中的單調性與函數的單調性混淆，如數列{an}的通項公式是an＝n＋，求其最小項，則不能直接利用均值不等式求解最值，因為n不能取，所以既要考慮函數的單調性，又要注意n的取值限制．
2．已知數列的前n項和求an時，易忽視n＝1的情況，直接用Sn－Sn－1表示an；應注意an，Sn的關系中是分段的，即an＝
3．等差數列中不能熟練利用數列的性質轉化已知條件，靈活利用整體代換等方法進行基本運算，如等差數列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，已知＝，求時，無法正確賦值求解結果．
4．易忽視等比數列的性質，導致增解、漏解現象，如忽視等比數列的奇數項或偶數項符號相同而造成增解；在等比數列求和問題中忽視公比為1的情況導致漏解，在等比數列中Sn＝
5．不能正確利用不等式的性質進行同解變形，導致利用已知條件求解取值范圍時范圍擴大或縮小，如同向不等式相加、異向不等式相減、不等式兩邊同乘一個數時忽視該數的符號變化導致出錯等．
6．解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0時，易忽視系數a的討論導致漏解或錯解，要注意分a>0，a<0進行討論．
7．應注意求解分式不等式時正確進行同解變形，不能把≤0直接轉化為f(x)·g(x)≤0，而忽視g(x)≠0.
8．易忽視使用基本不等式求最值的條件，即“一正、二定、三相等”導致錯解，如求函數f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函數y＝x＋(x<0)時應先轉化為正數再求解．
9．求解線性規劃問題時，不能準確把握目標函數的幾何意義導致錯解，如是指已知區域內的點與點(－2,2)連線的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知區域內的點到點(1,1)的距離的平方等．
10．解決不等式恒成立問題的常規求法是：借助相應函數的單調性求解，其中的主要技巧有數形結合法、變量分離法、主元法，通過最值產生結論．應注意恒成立與存在性問題的區別，如對?x∈[a，b]，都有f(x)≤g(x)成立，即f(x)－g(x)≤0的恒成立問題，但對?x∈[a，b]，使f(x)≤g(x)成立，則為存在性問題，即f(x)min≤g(x)max，應特別注意兩函數中的最大值與最小值的關系．
參考答案
保溫特訓(四)
1．C　[設公差為d，由題意知：a＝a2a6，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，解得d＝－2a1，所以公比為＝＝3，選C.]
2．B　[由<<0，得a<0，b<0，故a＋b<0且ab>0，所以a＋b，兩邊同乘|ab|，得|b|>|a|，故②錯誤；由①②知|b|>|a|，a<0，b<0，所以a>b，即③錯誤，選B.]
3．A　[∵{an}是等比數列，∴S5，S10－S5，S15－S10也構成等比數列，記S5＝2k(k≠0)，則S10＝k，可得S10－S5＝－k，進而得S15－S10＝k，于是S15＝k，故S15∶S5＝k∶2k＝3∶4.]
4．B　[作出實數x、y滿足的可行域，結合圖形可知，當直線y＝－過點(3,3)時，目標函數z＝x＋3y取得最大值12.]
5．D　[a7是a3與a9的等比中項，公差為－2，所以a＝a3·a9，所以a＝(a7＋8)(a7－4)，所以a7＝8，所以a1＝20，所以S10＝10×20＋10××(－2)＝110.]
6．A　[因為a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數列，公比為，所以a7a8a9＝10，選A.]
7．A　[設Pn＋1(n＋1，an＋1)，則＝(1，an＋1－an)＝(1,2)，即an＋1－an＝2，所以數列{an}是以2為公差的等差數列．又a1＋2a2＝3，所以a1＝－，所以Sn＝n，選A.]
8．A　[a5＝a1××××＝aq1＋2＋3＋4＝(－)10＝32.]
9．C　[由題意知a＋b＝1，α＋β＝a＋＋b＋＝1＋＋＝1＋，由a，b∈(0，＋∞)，得a＋b≥2，又a＋b＝1，因而ab≤，則α＋β的最小值為5.]
10．B　[畫出區域D，如圖中陰影部分所示，
而z＝·＝x＋y，∴y＝－x＋z，
令l0：y＝－x，將l0平移到過點(，2)時，
截距z有最大值，故zmax＝×＋2＝4.]
11．解析　依題意得(x＋1)(2y＋1)＝9，(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝6，x＋2y≥4，即x＋2y的最小值是4.
答案　4
12．解析　d＝2，a6＝3，S11＝＝11a6＝33.
答案　33
13．解析　因為(an－2)2＝8Sn－1(n≥2)，所以(an＋1－2)2＝8Sn，兩式相減得：
8an＝a－a＋4an－4an＋1，整理得：
4(an＋1＋an)＝(an＋1－an)(an＋1＋an)，
因為{an}是正項數列，所以an＋1－an＝4，所以{an}是以4為公差，2為首項的等差數列，所以an＝2＋4(n－1)＝4n－2.
答案　4n－2
14．解析　點A(m，n)在直線x＋2y－1＝0上，則m＋2n＝1；
2m＋4n＝2m＋22n≥2＝2＝2.
答案　2
15．解　(1)∵f(1)＝a＝，∴f(x)＝x.
∴a1＝f(1)－c＝－c，
a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－，
a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－.
又數列{an}成等比數列，
a1＝＝＝－＝－c，∴c＝1.
又公比q＝＝，
∴an＝－n－1＝－，n∈N*.
Sn－Sn－1＝(－)(＋)
＝＋(n≥2)．
又∵bn>0，>0，∴－＝1.
數列{}構成一個首項為1，公差為1的等差數列，
＝1＋(n－1)×1＝n，Sn＝n2.
當n≥2時，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，當n＝1時，b1＝1也適合該通項公式，∴bn＝2n－1(n∈N*)．
(2)Tn＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝＝.
由Tn＝>，得n>，滿足Tn>的最小正整數為91.
(3)cn＝－an·bn＝－··(2n－1)＝·(2n－1)，設數列{cn}的前n項和為Pn，則
Pn＝c1＋c2＋…＋cn＝1·＋3·＋5·＋…＋(2n－3)·＋(2n－1)·，①
則3Pn＝1＋3·＋5·＋…＋(2n－1)·，②
②－①得：
2Pn＝1＋2·＋2·＋…＋2·－(2n－1)·
＝1＋2－(2n－1)·
＝1＋2·－(2n－1)·
＝2－.
∴Pn＝1－，
即{cn}的前n項和為1－.
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保溫特訓(五)　立體幾何
基礎回扣訓練(限時40分鐘)
1．如圖，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、P為其所
在棱的中點，則異面直線MP、AB在正(主)視圖中的
位置關系是
(　　)．
A．相交 B．平行
C．異面 D．不確定
2．已知a、b、c為三條不重合的直線，下面有三個結論：①若a⊥b，a⊥c則b∥c；②若a⊥b，a⊥c則b⊥c；③若a∥b，b⊥c則a⊥c.其中正確的個數為
(　　)．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．如圖所示，一個空間幾何體的正(主)視圖和俯視圖 都是邊長為1的正方形，側(左)視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的表面積為
(　　)．
A．4π B．3π
C．2π D.π
4．設m、n是不同的直線，α、β是不同的平面，下列四個命題中正確的是
(　　)．
A．若m∥α，n∥α，則m∥n
B．若m⊥β，n⊥β，則m∥n
C．若α⊥β，m?α，則m⊥β
D．若m?α，n ?α，m∥β，n∥β，則α∥β
5．如圖是某一幾何體的三視圖，則這個幾何體的體積為
(　　)．
A．4 B．8 C．16 D．20
6．如圖是一幾何體的直觀圖、正(主)視圖和俯視圖．
在正(主)視圖右側，按照畫三視圖的要求畫出
的該幾何體的側(左)視圖是
(　　)．
7．某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是
(　　)．
A．8－ B．8－
C．8－2π D.
8．若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是
(　　)．
9．一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________ m3.
10．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的表面積為________．
11．如圖所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的
中點，AA1∶AB＝∶1，則異面直線AB1與BD所
成的角為________．
12．對于四面體ABCD，給出下列四個命題：
①若AB＝AC，BD＝CD，則BC⊥AD；
②若AB＝CD，AC＝BD，則BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD；
④若AB⊥CD，AC⊥BD，則BC⊥AD.
其中正確的是________．
13．如圖所示，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，點E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.
(1)證明：PA⊥平面ABCD；
(2)求二面角E－AC－D的大小；
(3)棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結論．
臨考易錯提醒
1．易對特殊平面圖形的性質把握不準，導致不能正確判斷幾何體的結構特征，如幾類特殊的四邊形——平行四邊形、菱形、矩形、正方形的結論不能靈活運用；正多邊形的概念不清，只注意邊長相等而忽視其內角也相等的限制條件．
2．幾何體的結構特征把握不準，如容易忽視幾何體中的線面垂直關系導致空間線面關系判斷失誤．
3．應注意根據幾何體的三視圖確定幾何體的形狀和數量特征，尤其是側視圖中的數據與幾何體中的數據之間的對應．
4．易混淆球的簡單組合體中幾何體度量之間的關系，如棱長為a的正方體的外接球，內切球，棱切球的半徑應分別為a，，a.
5．易混淆幾何體的表面積與側面積的區別，幾何體的表面積是幾何體的側面積與所在底面面積之和，不能漏掉幾何體的底面積．
6．應注意錐體體積公式為V＝Sh，在求解錐體體積時，不能漏掉.
7．易把平面幾何中的相關結論成立的前提誤當做空間中的結論直接利用，如平面內垂直于同一條直線的兩條直線相互平行，這個結論在空間中是不成立的．
8．不清楚空間線面平行與垂直關系中的判斷和性質定理，忽視判定定理和性質定理中的條件，導致判斷出錯，如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易誤得出m⊥β的結論，就是因為忽視面面垂直的性質定理中m?α的限制條件．
9．應注意利用空間向量證明線面關系，應抓住直線的方向向量與平面的法向量之間的關系，如直線的方向向量與平面的法向量共線時，直線和平面垂直；直線的方向向量與平面的法向量垂直時，直線和平面平行或直線在平面內．
10．空間向量求角時，易忽視向量的夾角與所求角之間的關系，如求解二面角時，不能根據幾何體判斷二面角的范圍，忽視法向量的方向，誤以為兩個法向量的夾角就是所求的二面角，導致出錯．
參考答案
保溫特訓(五)
1．B　[正方體的正(主)視圖如圖，
異面直線MP、AB在正(主)視圖中平行．]
2．B　[①b，c可能異面；②b，c可能異面，也可能平行．]
3．D　[這是一個橫放的圓柱體，其底面半徑r＝，高h＝1，底面面積S底＝πr2＝，側面積S側＝2πrh＝π，故S表＝2S底＋S側＝.]
4．B　[A選項中m，n可能相交或異面；C選項中m不一定垂直α與β的交線，所以不成立；D選項中m，n不是相交直線時，α與β有可能相交．]
5．C　[由三視圖我們易判斷這個幾何體是一個四棱錐，又由側(左)視圖我們易判斷四棱錐底面的寬為2，棱錐的高為4，由俯視圖我們易判斷四棱錐底面的一邊長為6，代入棱錐的體積公式，易得V＝×6×2×4＝16.]
6．B　[由題意知所求的圖形是側(左)視圖，所以根據三視圖的知識可知選B.]
7．A　[圓錐的底面半徑為1，高為2，該幾何體體積為正方體體積減去圓錐體積，即V＝22×2－×π×12×2＝8－π.]
8．B　[所給選項中，A、C選項的正(主)視圖、俯視圖不符合，D選項的側(左)視圖不符合，只有選項B符合．]
9．解析　由三視圖可知該幾何體是組合體，下面是長方體，長、寬、高分別為3、2、1，上面是一個圓錐，底面圓半徑為1，高為3，所以該幾何體的體積為3×2×1＋π×12×3＝6＋π(m3)．
答案　6＋π
10．解析　根據題目所給的三視圖可知該幾何體為一個直三棱柱，且底面是一直角三角形，兩直角邊長度分別為3,4，斜邊長度為5，直三棱柱的高為5，所以表面積為3×4＋3×5＋4×5＋5×5＝72.
答案　72
11．解析　在平面ABC內，過A作DB的平行線AE，過B作BH⊥AE于H，連接B1H，
則在Rt△AHB1中，∠B1AH為AB1與BD所成角，
設AB＝1，則A1A＝，∴B1A＝，AH＝BD＝，
∴cos∠B1AH＝＝，由于∠B1AH∈(0°，90°]，
∴∠B1AH＝60°.
答案　60°
12．解析　取線段BC的中點E，連接AE，DE，∵AB＝AC，BD＝CD，∴BC⊥AE，BC⊥DE，∴BC⊥平面ADE，∵AD?平面ADE，∴BC⊥AD，故①正確．設點O為點A在平面BCD上的射影，連接OB，OC，OD，∵AB⊥CD，AC⊥BD，∴OB⊥CD，OC⊥BD，∴點O為△BCD垂心，∴OD⊥BC，∴BC⊥AD，故④正確，易知②③不正確，填①④.
答案　①④
13．(1)證明　∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
且PA＝AC＝a，
∴AB＝AD＝a，又PB＝PD＝a，
∴PA2＋AB2＝PB2，PA2＋AD2＝PD2，
∴PA⊥AB且PA⊥AD.
∴PA⊥平面ABCD.
(2)解　連接BD，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，設AC∩BD＝O，∴以O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則各點坐標分別為：
A，B，
C，D，P，
∵點E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，
∴＝3，即＝3(－)．
∴＝，
即點E的坐標為.
又平面DAC的一個法向量為n1＝(0,0,1)，設平面EAC的一個法向量為n2＝(x，y，z)，＝，＝.
由??
可令x＝1，得n2＝(1,0，)，
∴cos〈n1，n2〉＝＝?〈n1，n2〉＝，
∴由圖可知二面角E-AC-D的大小為.
(3)證明　假設在PC上存在點F滿足題設條件，
設＝λ(0≤λ≤1)，得
＝＋λ＝，
∴＝－
＝－＝.
依題意，BF∥平面AEC，則有⊥n2，
∴·(1,0，)＝0?－a＋λa＝0?λ＝.
∴當點F為PC中點時，有BF∥平面AEC.
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保溫特訓(六)　解析幾何
基礎回扣訓練(限時40分鐘)
1．已知b>0，直線(b2＋1)x＋ay＋2＝0與直線x－b2y－1＝0互相垂直，則ab的最小值等于
(　　)．
A．1 B．2 C．2 D．2
2．在平面直角坐標系內，若曲線C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的點均在第二象限內，則實數a的取值范圍為
(　　)．
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
3．以坐標軸為對稱軸，原點為頂點，且過圓x2＋y2－2x＋6y＋9＝0圓心的拋物線方程是
(　　)．
A．y＝3x2或y＝－3x2
B．y＝3x2
C．y2＝－9x或y＝3x2
D．y＝－3x2或y2＝9x
4．以拋物線y2＝4x的焦點為圓心，且過坐標原點的圓的方程為
(　　)．
A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0
C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0
5．若點P(1,1)為圓(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中點，則弦MN所在直線方程為
(　　)．
A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0
C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0
6．如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線l交
拋物線于點A、B，交其準線于點C，若|BC|＝2|BF|，
且|AF|＝3，則此拋物線方程為
(　　)．
A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
7．以雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點F為圓心，作半徑為b的圓F，則圓F與雙曲線的漸近線
(　　)．
A．相交 B．相離
C．相切 D．不確定
8．已知實數4，m,9構成一個等比數列，則圓錐曲線＋y2＝1的離心率為
(　　)．
A. B.
C.或 D.或7
9．已知圓C：(x－1)2＋y2＝8，過點A(－1,0)的直線l將圓C分成弧長之比為1∶2的兩段圓弧，則直線l的方程為____________．
10．以拋物線y2＝20x的焦點為圓心，且與雙曲線－＝1的兩條漸近線都相切的圓的方程為________．
11．已知F1，F2為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左右焦點，過點F2作此雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為M，滿足|＝3||，則此雙曲線的漸近線方程為______________．
12．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點F向其一條漸近線作垂線，垂足為M，已知∠MFO＝30°(O為坐標原點)，則該雙曲線的離心率為________．
13．已知一條曲線C在y軸右邊，C上任一點到點F(1,0)的距離減去它到y軸距離的差都是1.
(1)求曲線C的方程；
(2)是否存在正數m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A、B的任一直線，都有·<0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
臨考易錯提醒
1．不能準確區分直線傾斜角的取值范圍以及斜率與傾斜角的關系，導致由斜率取值范圍確定傾斜角的范圍時出錯．
2．易忽視直線方程的幾種形式的限制條件，如根據直線在兩軸上的截距相等設方程時，忽視截距為0的情況，直接設為＋＝1；再如，過定點P(x0，y0)的直線往往忽視斜率不存在的情況直接設為y－y0＝k(x－x0)等．
3．討論兩條直線的位置關系時，易忽視系數等于零時的討論導致漏解．
4．求解兩條平行線之間的距離時，易忽視兩直線系數不相等，而直接代入公式，導致錯解．
5．圓的標準方程中誤把r2當成r；一般方程中忽視方程表示圓的條件．
6．討論直線和圓的位置關系時，不能靈活運用圓的有關性質轉化條件導致運算繁雜而失誤．
7．易誤認兩圓相切為兩圓外切，忽視兩圓內切的情況導致漏解．
8．易混淆橢圓的標準方程與雙曲線的標準方程，尤其是方程中a，b，c三者之間的關系，導致計算錯誤．
9．已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率時，易忽視討論焦點所在坐標軸導致漏解．
10．求解圓錐曲線的有關最值問題時易忽視橢圓、雙曲線、拋物線自身取值范圍的限制條件，導致錯解．
參考答案
保溫特訓(六)
1．B　[由于a＝0時兩直線不垂直，故a≠0.由兩條直線垂直的充要條件可得：－·＝－1，解得a＝，所以ab＝＝b＋.又b>0，∴b＋≥2 ＝2，當且僅當b＝，即b＝1時取“＝”．]
2．D　[曲線C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0，即(x＋a)2＋(y－2a)2＝4表示以(－a,2a)為圓心，2為半徑的圓，當－a<－2且2a>2，即a>2時，曲線C上所有的點均在第二象限內．]
3．D　[由x2＋y2－2x＋6y＋9＝0可知圓心坐標為(1，－3)，設拋物線方程為x2＝－2py或y2＝2px(p>0)，將點(1，－3)分別代入得y＝－3x2或y2＝9x.]
4．D　[拋物線y2＝4x的焦點坐標為(1,0)，故以(1,0)為圓心，且過坐標原點的圓的半徑為r＝，所以圓的方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.]
5．D　[圓心C(3,0)，kPC＝－，則kMN＝2，∴MN的方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.]
6．C　[如圖，∵|BC|＝2|BF|，
∴由拋物線的定義可知∠BCD＝30°，
|AE|＝|AF|＝3，∴|AC|＝6.即F為AC
的中點，∴p＝|FF′|＝|EA|＝，故
拋物線方程為y2＝3x.]
7．C　[左焦點F為(－c,0)，漸近線方程為y＝x即bx－ay＝0，∴圓心到直線的距離為＝b，所以相切．]
8．C　[實數4，m,9構成一個等比數列，則m2＝36，即m＝±6；當m＝6時，曲線方程＋y2＝1表示焦點在x軸上的橢圓，根據a＝，b＝1，c＝，則e＝＝＝；
當m＝－6時，曲線方程y2－＝1表示焦點在y軸上的雙曲線，根據a＝1，b＝，c＝則e＝＝＝.選C.]
9．解析　設直線l的方程為y＝k(x＋1)，直線l將圓C分成弧長之比為1∶2的兩段，則劣弧的度數為120°，因此圓心到直線的距離為，即＝，解得k＝±1，所以直線l的方程為x＋y＋1＝0，x－y＋1＝0.
答案　x＋y＋1＝0，x－y＋1＝0
10．解析　由已知，拋物線的焦點坐標為(5,0)，雙曲線的漸近線方程為y＝±x，則所求圓的圓心為(5,0)，利用圓心到直線3x－4y＝0的距離為半徑r，則有r＝＝3，故圓的方程為(x－5)2＋y2＝9.
答案　(x－5)2＋y2＝9
11．解析　如圖，由雙曲線的性質
可推得|2|＝b，則||＝3b，在
△MF1O中，||＝a，||＝c，
cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知
＝－，
又c2＝a2＋b2，
可得a2＝2b2，即＝，因此漸近線方程為y＝±x.
答案　y＝±x
12．解析　由已知得點F的坐標為(c,0)(c＝)，其中一條漸近線方程為bx－ay＝0，則|MF|＝＝b，由∠MFO＝30°可得＝＝cos 30°＝，所以＝，所以e＝＝2.
答案　2
13．解　(1)設P(x，y)是曲線C上任意一點，那么點P(x，y)滿足－x＝1(x>0)，化簡得y2＝4x(x>0)．
(2)設過點M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)．
設l的方程為x＝ty＋m，由得
y2－4ty－4m＝0，
Δ＝16(t2＋m)>0，于是 ①
又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
·<0?(x1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2<0. ②
又x＝，于是不等式②等價于
·＋y1y2－＋1<0?＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1<0， ③
由①式，不等式③等價于m2－6m＋1<4t2， ④
對任意實數t,4t2的最小值為0，所以不等式④對于一切t成立等價于m2－6m＋1<0，即3－2由此可知，存在正數m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有·<0，且m的取值范圍是(3－2，3＋2)．
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保溫特訓(七)　計數原理、概率與統計
基礎回扣訓練(限時40分鐘)
1．某學校有教師150人，其中高級教師15人，中級教師45人，初級教師90人．現按職稱分層抽樣選出30名教師參加教工代表大會，則選出的高、中、初級教師的人數分別為
(　　)．
　A．5,10,15 B．3,9,18
C．3,10,17 D．5,9,16
2．已知x、y取值如下表：
x
0
1
4
5
6
8
y
1.3
1.8
5.6
6.1
7.4
9.3
從所得的散點圖分析可知：y與x線性相關，且＝0.95x＋a，則a＝
(　　)．
A．1.30 B．1.45
C．1.65 D．1.80
3．設隨機變量ξ服從正態分布N(16，σ2)，若P(ξ>17)＝0.35，則P(15<ξ<16)＝
(　　)．
A．0.35 B．0.85
C．0.3 D．0.15
4．二項式10的展開式中的常數項是
(　　)．
A．第10項 B．第9項
C．第8項 D．第7項
5．先后擲兩次正方體骰子(骰子的六個面分別標有點數1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的點數分別為m，n，則mn是奇數的概率是
(　　)．
A. B.
C. D.
6．為了調查某校學生喜歡數學課的人數比例，采用如下調查方法：
(1)在該校中隨機抽取100名學生，并編號1,2,3，…，100；
(2)在箱內放置兩個白球和三個紅球，讓抽取的100名學生分別從箱中隨機摸出一球，記住其顏色并放回；
(3)請下列兩類學生舉手：(i)摸到白球且號數為偶數的學生；(ii)摸到紅球且不喜歡數學課的學生．
如果總共有26名學生舉手，那么用概率與統計的知識估計，該校學生中喜歡數學課的人數比例大約是
(　　)．
A．88% B．90%
C．92% D．94%
7．如圖，在一花壇A，B，C，D四個區域種花，
現有4種不同的花供選種，要求在每塊地里種
1種花，且相鄰的兩塊種不同的花，則不同的種法總數為
(　　)．
A．48 B．60 C．72 D．84
8．一個袋子中有5個大小相同的球，其中3個白球與2個黑球，現從袋中任意取出一個球，取出后不放回，然后再從袋中任意取出一個球，求第一次為白球第二次為黑球的概率為
(　　)．
A. B.
C. D.
9．在三次獨立重復試驗中，事件A在每次試驗中發生的概率相同，若事件A至少發生一次的概率為，則事件A恰好發生一次的概率為
(　　)．
A. B.
C. D.
10．為了調查某地區老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區調查了200位老年人，結果如下：
　 性別
是否需要志愿者　　　　　　　
男
女
需要
70
40
不需要
30
60
附：
K2＝
參照附表，得到的正確結論是
(　　)．
A．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“該地區的老年人是否需要需要志愿者提供幫助與性別有關”
B．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“該地區的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別無關”
C．最多有99%的把握認為“該地區的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關”
D．最多有99%的把握認為“該地區的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別無關”
11．已知函數f(x)＝－3x2＋ax＋b，若a，b都是在區間[0,4]內任取一個數，則f(1)>0的概率為________．
12．在樣本的頻率分布直方圖中共有9個小長方形，若第一個長方形的面積為0.02，前五個與后五個長方形的面積分別成等差數列且公差是互為相反數，若樣本容量為1 600，則(即第五組)的頻數為________．
13．若袋中裝有大小相同且形狀一樣的四個球，四個球上分別標有“2”、“3”、“4”、“6”這四個數．現從中隨機選取三個球，則所選的三個球上的數恰好能構成一個等差數列的概率是________．
14．如果(＋2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013，那么(a1＋a3＋a5＋…＋a2 013)2－(a0＋a2＋a4＋…＋a2 012)2＝________.
15．對某校高一年級學生參加社區服務次數進行統計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區服務的次數．根據此數據作出了頻數與頻率的統計表如下：
分組
頻數
頻率
[10,15)
5
0.25
[15,20)
12
n
[20,25)
m
0.1
[25,30]
1
0.05
合計
M
1
(1)求出表中M、m及n的值；
(2)若該校高一學生有360人，試估計他們參加社區服務的次數在區間[15,20)內的人數；
(3)學校決定對參加社區服務的學生進行表彰，對參加活動次數在[25,30)區間的學生發放價值80元的學習用品，對參加活動次數在[20,25)區間的學生發放價值60元的學習用品，對參加活動次數在[15,20)區間的學生發放價值40元的學習用品，對參加活動次數在[10,15)區間的學生發放價值20元的學習用品，在所取樣本中，任意取出2人，并設X為此二人所獲得用品價值之差的絕對值，求X的分布列與數學期望E(X)．
臨考易錯提醒
1．解答排列、組合問題時必須心思細膩，考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題．
常見的解題策略有以下幾種：
(1)特殊元素優先安排的策略；
(2)合理分類與準確分步的策略；
(3)排列、組合混合問題先選后排的策略；
(4)正難則反、等價轉化的策略；
(5)相鄰問題捆綁處理的策略；
(6)不相鄰問題插空處理的策略；
(7)定序問題除法處理的策略；
(8)分排問題直接處理的策略；
(9)“小集團”排列問題中先整體后局部的策略；
(10)構造模型的策略．
2．在二項式(a＋b)n的展開式中，其通項Tr＋1＝Can－rbr是指展開式的第r＋1項，因此展開式中第1,2,3，…，n項的二項式系數分別是C，C，C，…，C，而不是C，C，C，…，C.而項的系數是二項式系數與其他數字因數的積．注意不要將項的系數與二項式系數混淆．
3．概率與頻率的關系不清．概率的定義是：在大量重復進行同一試驗時，事件A發生的頻率總是接近某個常數，在它附近擺動，這時就把這個常數叫做事件A的概率．這個常數是客觀存在的，它不依賴于某次試驗事件發生的頻率，它是在大量的重復同一個試驗時事件發生的頻率的一個穩定值．要特別注意隨機事件發生的概率的客觀存在性和確定性．
4．混淆事件的互斥與對立．不可能同時發生的兩個事件叫做互斥事件，必有一個發生的兩個互斥事件叫做對立事件．兩個事件互斥不一定對立，對立一定互斥(即不互斥就一定不對立)．如果用集合來表示兩個事件，互斥事件的兩個集合的交集是空集，如果其并集是全集，則這兩個互斥事件也是對立事件．在解答與這兩個事件有關的問題時一定要仔細斟酌，全面考慮，防止出現錯誤．
5．古典概型中的等可能性事件的概率是最常見的一種概率問題，解決這類問題的重要前提是求基本事件的總數，這些基本事件必須是等可能的．同時應注意：在涉及拋擲骰子的問題中，將一枚骰子連續拋擲兩次和將兩枚骰子拋擲一次是一樣的．但出現的點數為(a，b)和(b，a)卻是兩種不同的情況，應作為兩個基本事件．
6．易混淆古典概型與幾何概型，對度量的標準把握不準導致求解錯誤．
7．易混淆系統抽樣與分層抽樣導致樣本數據計算錯誤．
8．誤把頻率分布直方圖縱軸的幾何意義當做頻率，導致樣本數據的頻率求錯；不能準確讀出莖葉圖中的數據導致樣本數據的數字特征計算錯誤．
9．解決概率類綜合解答題，首先要注意把一個“大的隨機事件”拆成若干個“小的互斥的隨機事件的和”，再把每個“小的隨機事件”分成若干個相互獨立事件乘積，在解決過程中要做到分類時“不重不漏”，分步時“過程完整”，只有這樣才能正確地解答關于這類概率的綜合計算題，在分拆的過程中要時時刻刻對照互斥事件、相互獨立事件的概念，核查分拆結果．
10．二項分布概率模型的特點是“獨立性”和“重復性”，事件的發生都是獨立的、相互之間沒有影響，事件又是在相同的條件之下重復發生．要記住二項分布概率模型的這個特點，在解題時把符合這種特點的概率問題歸結到二項分布模型上面，直接根據二項分布概率模型的公式解決．有的問題是局部的二項分布概率模型問題，解題時要注意這種特殊情況．
11．概率模型判斷不準致誤．解決概率問題時，要反復閱讀題目，收集題目中的各種信息，理解題意，正確判斷各個事件之間的關系，并分析應用所學概率模型(如互斥事件、相互獨立事件、獨立重復試驗、條件概率等)的公式進行解答．
參考答案
保溫特訓(七)
1．B　[由于分層抽樣選出30名教師占總數的，因此選出的高級教師的人數為15×＝3，選出的中級教師的人數為45×＝9，選出的初級教師的人數為90×＝18.]
2．B　[代入中心點(，)，可知a＝1.45.]
3．D　[由正態分布的對稱性知，P(ξ>16)＝0.5，
又P(ξ>17)＝0.35，
所以P(16<ξ<17)＝0.5－0.35＝0.15.
于是P(15<ξ<16)＝P(16<ξ<17)＝0.15.]
4．B　[展開式的通項公式Tr＋1＝2rC ，令20－r＝0，得r＝8，展開式中常數項是第9項．]
5．C　[先后擲兩次正方體骰子總共有36種可能，要使mn是奇數，則m，n都是奇數，因此有以下幾種可能：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9種可能．因此P＝＝.]
6．B　[摸到白球且號數為偶數的學生應有50×＝20人，則摸到紅球且不喜歡數學課的學生有6人，而在100名學生中，摸到紅球的學生人數應有100×＝60，這說明不喜歡數學課的學生占10%.]
7．D　[當A與C同色時有4×3×3＝36種不同的涂法，當A與C不同色時有4×3×2×2＝48種不同的涂法，∴共有36＋48＝84.]
8．B　[第一次為白球的概率為＝，第二次為黑球的概率＝，則第一次為白球第二次為黑球的概率×＝.]
9．C　[設事件A在每次試驗中發生的概率為x，由題意有1－C(1－x)3＝，得x＝，則事件A恰好發生一次的概率為C2＝.]
10．A　[K2＝≈18.18>10.828.所以在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“該地區的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關”．]
11．解析　如圖所示，a，b滿足的范圍就是邊長為4的
正方形，而f(1)>0，即a＋b>3，表示的直線的右上方，
即陰影部分的區域．故所求的概率為
1－＝.
答案　
12．解析　設前五個長方形面積的公差為d，由9個長方形的面積為1，可得d＝，中間一組的頻數為1 600×(0.02＋4d)＝360.
答案　360
13．解析　總的取法是4種，能構成等差數列的有{2,3,4}，{2,4,6}2組，故所求概率為P＝＝.
答案　
14．解析　設(＋2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013＝f(x)，則：
(a1＋a3＋a5＋…＋a2 013)2－(a0＋a2＋a4＋…＋a2 012)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 012＋a2 013)(a1－a0＋a3－a2＋…＋a2 013－a2 012)
＝－f(1)·f(－1)
＝－(＋2)2 013·(－2)2 013
＝－[(＋2)(－2)]2 013
＝1.
答案　1
15．解　(1)由題可知＝0.25，＝n，
又5＋12＋m＋1＝M，
解得M＝20，n＝0.6，m＝2.
(2)由(1)知，參加服務次數在區間[15,20)上的人數為360×0.6＝216人．
(3)所取出兩人所獲得學習用品價值之差的絕對值可能為0元、20元、40元、60元，則
P(0)＝＝＝，
P(20)＝＝＝，
P(40)＝＝＝，
P(60)＝＝.
所以X的分布列為
X
0
20
40
60
P




E(X)＝0·P(x＝0)＋20·P(x＝20)＋40·P(x＝40)＋60·P(x＝60)
＝0×＋20×＋40×＋60×＝.
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