資源簡介

第1講 高考數(shù)學(xué)選擇題的解題策略
一、知識整合
1．高考數(shù)學(xué)試題中，選擇題注重多個知識點的小型綜合，滲透各種數(shù)學(xué)思想和方法，體現(xiàn)以考查“三基”為重點的導(dǎo)向，能否在選擇題上獲取高分，對高考數(shù)學(xué)成績影響重大.解答選擇題的基本要求是四個字——準(zhǔn)確、迅速.
2．選擇題主要考查基礎(chǔ)知識的理解、基本技能的熟練、基本計算的準(zhǔn)確、基本方法的運(yùn)用、考慮問題的嚴(yán)謹(jǐn)、解題速度的快捷等方面. 解答選擇題的基本策略是：要充分利用題設(shè)和選擇支兩方面提供的信息作出判斷。一般說來，能定性判斷的，就不再使用復(fù)雜的定量計算；能使用特殊值判斷的，就不必采用常規(guī)解法；能使用間接法解的，就不必采用直接解；對于明顯可以否定的選擇應(yīng)及早排除，以縮小選擇的范圍；對于具有多種解題思路的，宜選最簡解法等。解題時應(yīng)仔細(xì)審題、深入分析、正確推演、謹(jǐn)防疏漏；初選后認(rèn)真檢驗，確保準(zhǔn)確。
3．解數(shù)學(xué)選擇題的常用方法，主要分直接法和間接法兩大類.直接法是解答選擇題最基本、最常用的方法；但高考的題量較大，如果所有選擇題都用直接法解答，不但時間不允許，甚至有些題目根本無法解答.因此，我們還要掌握一些特殊的解答選擇題的方法.

二、方法技巧
1、直接法：
直接從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識，通過嚴(yán)密的推理和準(zhǔn)確的運(yùn)算，從而得出正確的結(jié)論，然后對照題目所給出的選擇支“對號入座”作出相應(yīng)的選擇.涉及概念、性質(zhì)的辨析或運(yùn)算較簡單的題目常用直接法.
例1．若sinx>cosx，則x的取值范圍是（ ）
（A）{x|2k－＜x＜2k＋，kZ} （B） {x|2k＋＜x＜2k＋，kZ}
（C） {x|k－＜x＜k＋，kZ } （D） {x|k＋＜x＜k＋，kZ}
解：（直接法）由sinx>cosx得cosx－sinx＜0，
即cos2x＜0，所以：＋kπ＜2x＜＋kπ，選D.
另解：數(shù)形結(jié)合法：由已知得|sinx|>|cosx|，畫出y=|sinx|和y=|cosx|的圖象，從圖象中可知選D.
例2．設(shè)f(x)是(－∞，∞)是的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x，則f(7.5)等于（ ）
（A） 0.5 （B） －0.5 （C） 1.5 （D） －1.5
解：由f(x＋2)＝－f(x)得f(7.5)＝－f(5.5)＝f(3.5)＝－f(1.5)＝f(－0.5)，由f(x)是奇函數(shù)，得
f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，所以選B.
也可由f(x＋2)＝－f(x)，得到周期T＝4，所以f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
例3．七人并排站成一行，如果甲、乙兩人必需不相鄰，那么不同的排法的種數(shù)是（ ）
（A） 1440 （B） 3600 （C） 4320 （D） 4800
解一：（用排除法）七人并排站成一行，總的排法有種，其中甲、乙兩人相鄰的排法有2×種.因此，甲、乙兩人必需不相鄰的排法種數(shù)有：－2×＝3600，對照后應(yīng)選B；
解二：（用插空法）×＝3600.
直接法是解答選擇題最常用的基本方法，低檔選擇題可用此法迅速求解.直接法適用的范圍很廣，只要運(yùn)算正確必能得出正確的答案.提高直接法解選擇題的能力，準(zhǔn)確地把握中檔題目的“個性”，用簡便方法巧解選擇題，是建在扎實掌握“三基”的基礎(chǔ)上，否則一味求快則會快中出錯.
2、特例法：
用特殊值(特殊圖形、特殊位置)代替題設(shè)普遍條件，得出特殊結(jié)論，對各個選項進(jìn)行檢驗，從而作出正確的判斷.常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等.
例4．已知長方形的四個項點A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一質(zhì)點從AB的中點P0沿與AB夾角為的方向射到BC上的點P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點P2、P3和P4（入射解等于反射角），設(shè)P4坐標(biāo)為（的取值范圍是（ ）
（A） （B） （C） （D）
解：考慮由P0射到BC的中點上，這樣依次反射最終回到P0，此時容易求出tan=，由題設(shè)條件知，1＜x4＜2，則tan≠，排除A、B、D，故選C.
另解：（直接法）注意入射角等于反射角，……，所以選C.
例5．如果n是正偶數(shù)，則C＋C＋…＋C＋C＝（ ）
（A） 2 （B） 2 （C） 2 （D） (n－1)2
解：（特值法）當(dāng)n＝2時，代入得C＋C＝2，排除答案A、C；當(dāng)n＝4時，代入得C＋C＋C＝8，排除答案D.所以選B.
另解：（直接法）由二項展開式系數(shù)的性質(zhì)有C＋C＋…＋C＋C＝2，選B.
例6．等差數(shù)列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為（ ）
（A）130 （B）170 （C）210 （D）260
解：（特例法）取m＝1，依題意＝30，＋＝100，則＝70，又{an}是等差數(shù)列，進(jìn)而a3＝110，故S3＝210，選（C）.
例7．若，P=，Q=，R=，則（ ）
（A）RPQ （B）PQ R
（C）Q PR （D）P RQ
解：取a＝100，b＝10，此時P＝，Q＝＝lg，R＝lg55＝lg，比較可知選PQR
當(dāng)正確的選擇對象，在題設(shè)普遍條件下都成立的情況下，用特殊值（取得越簡單越好）進(jìn)行探求，從而清晰、快捷地得到正確的答案，即通過對特殊情況的研究來判斷一般規(guī)律，是解答本類選擇題的最佳策略.近幾年高考選擇題中可用或結(jié)合特例法解答的約占30％左右.
3、篩選法:
從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用定理、性質(zhì)、公式推演，根據(jù)“四選一”的指令，逐步剔除干擾項，從而得出正確的判斷.
例8．已知y＝log(2－ax)在[0，1]上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是（ ）
（A）(0，1) （B）(1，2) （C）(0，2) （D） [2，+∞
解：∵ 2－ax是在[0，1]上是減函數(shù)，所以a>1，排除答案A、C；若a＝2，由2－ax>0得x＜1，這與x∈[0，1]不符合，排除答案D.所以選B.
例9．過拋物線y＝4x的焦點，作直線與此拋物線相交于兩點P和Q，那么線段PQ中點的軌跡方程是（ ）
（A） y＝2x－1 （B） y＝2x－2
（C） y＝－2x＋1 （D） y＝－2x＋2
解：（篩選法）由已知可知軌跡曲線的頂點為(1，0)，開口向右，由此排除答案A、C、D，所以選B；
另解：（直接法）設(shè)過焦點的直線y＝k(x－1)，則，消y得：
kx－2(k＋2)x＋k＝0，中點坐標(biāo)有，消k得y＝2x－2，選B.
篩選法適應(yīng)于定性型或不易直接求解的選擇題.當(dāng)題目中的條件多于一個時，先根據(jù)某些條件在選擇支中找出明顯與之矛盾的，予以否定，再根據(jù)另一些條件在縮小的選擇支的范圍那找出矛盾，這樣逐步篩選，直到得出正確的選擇.它與特例法、圖解法等結(jié)合使用是解選擇題的常用方法，近幾年高考選擇題中約占40％.
4、代入法：
將各個選擇項逐一代入題設(shè)進(jìn)行檢驗，從而獲得正確的判斷.即將各選擇支分別作為條件，去驗證命題，能使命題成立的選擇支就是應(yīng)選的答案.
例10．函數(shù)y=sin(－2x)＋sin2x的最小正周期是（ ）
（A） （B） （C） 2 （D） 4
解：（代入法）f(x＋)＝sin[－2(x＋)]＋sin[2(x＋)]＝－f(x)，而
f(x＋π)＝sin[－2(x＋π)]＋sin[2(x＋π)]＝f(x).所以應(yīng)選B；
另解：（直接法）y＝cos2x－sin2x＋sin2x＝sin(2x＋)，T＝π，選B.
例11．函數(shù)y＝sin（2x＋）的圖象的一條對稱軸的方程是（ ）
（A）x＝－ （B）x＝－ （C）x＝ （D）x＝
解：（代入法）把選擇支逐次代入，當(dāng)x＝－時，y＝－1，可見x＝－是對稱軸，又因為統(tǒng)一前提規(guī)定“只有一項是符合要求的”，故選A.
另解：（直接法） ∵函數(shù)y＝sin（2x＋）的圖象的對稱軸方程為2x＋＝kπ＋，即
x＝－π，當(dāng)k＝1時，x＝－，選A.
代入法適應(yīng)于題設(shè)復(fù)雜，結(jié)論簡單的選擇題。若能據(jù)題意確定代入順序，則能較大提高解題速度。
5、圖解法：
據(jù)題設(shè)條件作出所研究問題的曲線或有關(guān)圖形，借助幾何圖形的直觀性作出正確的判斷.習(xí)慣上也叫數(shù)形結(jié)合法.
例12．在內(nèi)，使成立的的取值范圍是（ ）
（A）　 　（B）　　
（C）　 （D）
解：（圖解法）在同一直角坐標(biāo)系中分別作出y＝sinx與y＝cosx的圖象，便可觀察選C.
另解：（直接法）由得sin（x－）＞0，即2 kπ＜x－＜2kπ＋π，取k＝0即知選C.
例13．在圓x＋y＝4上與直線4x＋3y－12=0距離最小的點的坐標(biāo)是（ ）
（A）（，） （B）(，－)
（C）(－，) （D）(－，－)
解：（圖解法）在同一直角坐標(biāo)系中作出圓x＋y＝4和直線4x＋3y－12=0后，由圖可知距離最小的點在第一象限內(nèi)，所以選A.
直接法先求得過原點的垂線，再與已知直線相交而得.
例14．設(shè)函數(shù) ，若，則的取值范圍是（ ）
（A）（，1） （B）（，）
（C）（，）（0，） （D）（，）（1，）
解：（圖解法）在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)
的圖象和直線，它們相交于（－1，1）
和（1，1）兩點，由，得或.
嚴(yán)格地說，圖解法并非屬于選擇題解題思路范疇，
而是一種數(shù)形結(jié)合的解題策略.但它在解有關(guān)選擇題時
非常簡便有效.不過運(yùn)用圖解法解題一定要對有關(guān)函數(shù)圖象、方程曲線、幾何圖形較熟悉，否則錯誤的圖象反而會導(dǎo)致錯誤的選擇.如：
例15．函數(shù)y=|x2—1|+1的圖象與函數(shù)y=2 x的圖象交點的個數(shù)為（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
本題如果圖象畫得不準(zhǔn)確，很容易誤選（B）；答案為（C）。
數(shù)形結(jié)合，借助幾何圖形的直觀性，迅速作正確的判斷是高考考查的重點之一；歷年高考選擇題直接與圖形有關(guān)或可以用數(shù)形結(jié)合思想求解的題目約占50％左右.
6、割補(bǔ)法
“能割善補(bǔ)”是解決幾何問題常用的方法，巧妙地利用割補(bǔ)法，可以將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，這樣可以使問題得到簡化，從而縮短解題長度.
例16．一個四面體的所有棱長都為，
四個項點在同一球面上，則此球的表面積為（ ）
（A）3 （B）4 （C）3 （D）6
解：如圖，將正四面體ABCD補(bǔ)形成正方體，則正四面體、正方體的中
心與其外接球的球心共一點.因為正四面體棱長為，所以正方體棱長為1，
從而外接球半徑R＝.故S球＝3.
直接法（略）
我們在初中學(xué)習(xí)平面幾何時，經(jīng)常用到“割補(bǔ)法”，在立體幾何推導(dǎo)錐體的體積公式時又一次用到了“割補(bǔ)法”，這些蘊(yùn)涵在課本上的方法當(dāng)然是各類考試的重點內(nèi)容.因此，當(dāng)我們遇到不規(guī)則的幾何圖形或幾何體時，自然要想到“割補(bǔ)法”.
7、極限法:
從有限到無限，從近似到精確，從量變到質(zhì)變.應(yīng)用極限思想解決某些問題，可以避開抽象、復(fù)雜的運(yùn)算，降低解題難度，優(yōu)化解題過程.
例17．對任意θ∈（0，）都有（ ）
（A）sin(sinθ)＜cosθ＜cos(cosθ) （B） sin(sinθ)＞cosθ＞cos(cosθ)
（C）sin(cosθ)＜cos(sinθ)＜cosθ （D） sin(cosθ)＜cosθ＜cos(sinθ)
解：當(dāng)θ0時，sin(sinθ)0，cosθ1，cos(cosθ)cos1，故排除A，B.
當(dāng)θ時，cos(sinθ)cos1，cosθ0，故排除C，因此選D.
例18．不等式組的解集是（ ）
（A）（0，2） （B）（0，2.5） （C）（0，） （D）（0，3）
解：不等式的“極限”即方程，則只需驗證x=2，2.5，和3哪個為方程的根，逐一代入，選C.
例19．在正n棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是（ ）
（A）（π，π） （B）（π，π）
（C）（0，） （D）（π，π）
解：當(dāng)正n棱錐的頂點無限趨近于底面正多邊形中心時，則底面正多邊形便為極限狀態(tài)，此時棱錐相鄰兩側(cè)面所成二面角α→π，且小于π；當(dāng)棱錐高無限大時，正n棱柱便又是另一極限狀態(tài)，此時α→π，且大于π，故選（A）.
用極限法是解選擇題的一種有效方法.它根據(jù)題干及選擇支的特征，考慮極端情形，有助于縮小選擇面，迅速找到答案。
8、估值法
由于選擇題提供了唯一正確的選擇支，解答又無需過程.因此可以猜測、合情推理、估算而獲得.這樣往往可以減少運(yùn)算量，當(dāng)然自然加強(qiáng)了思維的層次.
例20．如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為
3的正方形，EF∥AB，EF，EF與面AC的距離為2，則該多面
體的體積為（ ）
（A） （B）5 （C）6 （D）
解：由已知條件可知，EF∥平面ABCD，則F到平面ABCD的距離為2，
∴VF－ABCD＝·32·2＝6，而該多面體的體積必大于6，故選（D）.
例21．已知過球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球面面積是（ ）（A）π　　　 （B）π　　　　 （C）4π　　　　 （D）π
解∵球的半徑R不小于△ABC的外接圓半徑r＝，
則S球＝4πR2≥4πr2＝π＞5π，故選（D）.
估算，省去了很多推導(dǎo)過程和比較復(fù)雜的計算，節(jié)省了時間，從而顯得快捷.其應(yīng)用廣泛，它是人們發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的一種重要的運(yùn)算方法.
三、總結(jié)提煉
從考試的角度來看，解選擇題只要選對就行，至于用什么“策略”，“手段”都是無關(guān)緊要的.所以人稱可以“不擇手段”.但平時做題時要盡量弄清每一個選擇支正確的理由與錯誤的原因，另外，在解答一道選擇題時，往往需要同時采用幾種方法進(jìn)行分析、推理，只有這樣，才會在高考時充分利用題目自身提供的信息，化常規(guī)為特殊，避免小題大作，真正做到準(zhǔn)確和快速.
總之，解答選擇題既要看到各類常規(guī)題的解題思想原則上都可以指導(dǎo)選擇題的解答，但更應(yīng)該充分挖掘題目的“個性”，尋求簡便解法，充分利用選擇支的暗示作用，迅速地作出正確的選擇.這樣不但可以迅速、準(zhǔn)確地獲取正確答案，還可以提高解題速度，為后續(xù)解題節(jié)省時間.
第2講 高考填空題的常用方法
數(shù)學(xué)填空題是一種只要求寫出結(jié)果，不要求寫出解答過程的客觀性試題，是高考數(shù)學(xué)中的三種常考題型之一，填空題的類型一般可分為：完形填空題、多選填空題、條件與結(jié)論開放的填空題. 這說明了填空題是數(shù)學(xué)高考命題改革的試驗田，創(chuàng)新型的填空題將會不斷出現(xiàn). 因此，我們在備考時，既要關(guān)注這一新動向，又要做好應(yīng)試的技能準(zhǔn)備.解題時，要有合理的分析和判斷，要求推理、運(yùn)算的每一步驟都正確無誤，還要求將答案表達(dá)得準(zhǔn)確、完整. 合情推理、優(yōu)化思路、少算多思將是快速、準(zhǔn)確地解答填空題的基本要求.
數(shù)學(xué)填空題，絕大多數(shù)是計算型(尤其是推理計算型)和概念(性質(zhì))判斷型的試題，應(yīng)答時必須按規(guī)則進(jìn)行切實的計算或者合乎邏輯的推演和判斷。求解填空題的基本策略是要在“準(zhǔn)”、“巧”、“快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、數(shù)行結(jié)合法、等價轉(zhuǎn)化法等。
一、直接法
這是解填空題的基本方法，它是直接從題設(shè)條件出發(fā)、利用定義、定理、性質(zhì)、公式等知識，通過變形、推理、運(yùn)算等過程，直接得到結(jié)果。
例1設(shè)其中i，j為互相垂直的單位向量，又，則實數(shù)m = 。
解：∵，∴∴，而i，j為互相垂直的單位向量，故可得∴。
例2已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是 。
解：，由復(fù)合函數(shù)的增減性可知，在上為增函數(shù)，∴，∴。
例3現(xiàn)時盛行的足球彩票，其規(guī)則如下：全部13場足球比賽，每場比賽有3種結(jié)果：勝、平、負(fù)，13長比賽全部猜中的為特等獎，僅猜中12場為一等獎，其它不設(shè)獎，則某人獲得特等獎的概率為 。
解：由題設(shè)，此人猜中某一場的概率為，且猜中每場比賽結(jié)果的事件為相互獨立事件，故某人全部猜中即獲得特等獎的概率為。
二、特殊化法
當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的不定量用特殊值代替，即可以得到正確結(jié)果。
例4 在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c。若a、b、c成等差數(shù)列，則 。
解：特殊化：令，則△ABC為直角三角形，，從而所求值為。
例5 過拋物線的焦點F作一直線交拋物線交于P、Q兩點，若線段PF、FQ的長分別為p、q，則 。
分析：此拋物線開口向上，過焦點且斜率為k的直線與拋物線均有兩個交點P、Q，當(dāng)k變化時PF、FQ的長均變化，但從題設(shè)可以得到這樣的信息：盡管PF、FQ不定，但其倒數(shù)和應(yīng)為定值，所以可以針對直線的某一特定位置進(jìn)行求解，而不失一般性。
解：設(shè)k = 0，因拋物線焦點坐標(biāo)為把直線方程代入拋物線方程得，∴，從而。
例6 求值 。
分析：題目中“求值”二字提供了這樣信息：答案為一定值，于是不妨令，得結(jié)果為。
三、數(shù)形結(jié)合法
對于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，則往往可以簡捷地解決問題，得出正確的結(jié)果。
例7 如果不等式的解集為A，且，那么實數(shù)a的取值范圍是 。
解：根據(jù)不等式解集的幾何意義，作函數(shù)和
函數(shù)的圖象（如圖），從圖上容易得出實數(shù)a的取
值范圍是。
例8 求值 。
解：，
構(gòu)造如圖所示的直角三角形，則其中的角即為，從而
所以可得結(jié)果為。
例9 已知實數(shù)x、y滿足，則的最大值是 。
解：可看作是過點P（x，y）與M（1，0）的直線的斜率，其中點P的圓上，如圖，當(dāng)直線處于圖中切線位置時，斜率最大，最大值為。
四、等價轉(zhuǎn)化法
通過“化復(fù)雜為簡單、化陌生為熟悉”，將問題等價地轉(zhuǎn)化成便于解決的問題，從而得出正確的結(jié)果。
例10 不等式的解集為（4，b），則a= ，b= 。
解：設(shè)，則原不等式可轉(zhuǎn)化為：∴a > 0，且2與是方程的兩根，由此可得：。
例11 不論k為何實數(shù)，直線與曲線恒有交點，則實數(shù)a的取值范圍是 。
解：題設(shè)條件等價于點（0，1）在圓內(nèi)或圓上，或等價于點（0，1）到圓，∴。
例12 函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為 。
解：易知∵y與y2有相同的單調(diào)區(qū)間，而，∴可得結(jié)果為。
總之，能夠多角度思考問題，靈活選擇方法，是快速準(zhǔn)確地解數(shù)學(xué)填空題的關(guān)鍵。
五、練習(xí)
1 已知函數(shù)，則
講解　由，得，應(yīng)填4.
請思考為什么不必求呢？
集合的真子集的個數(shù)是
講解　，顯然集合M中有90個元素，其真子集的個數(shù)是，應(yīng)填.
快速解答此題需要記住小結(jié)論;對于含有n個元素的有限集合,其真子集的個數(shù)是
3．　若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則
講解　由已知拋物線的對稱軸為,得　，而，有，故應(yīng)填6.
果函數(shù)，那么
　　　　　
講解　容易發(fā)現(xiàn)，這就是我們找出的有用的規(guī)律，于是
原式＝，應(yīng)填
本題是2002年全國高考題，十分有趣的是，2003年上海春考題中也有一道類似題：
設(shè)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和的公式的方法，可求得
　已知點P在第三象限，則角的終邊在第象限.
講解　由已知得
　　　　　　　
從而角的終邊在第二象限，故應(yīng)填二.
不等式（）的解集為.
講解 注意到，于是原不等式可變形為
　　　　　
而，所以，故應(yīng)填
　如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，那么
講解　，其中.
是已知函數(shù)的對稱軸，
，
即　　　　，
于是　　　　　故應(yīng)填 .
在解題的過程中，我們用到如下小結(jié)論：
函數(shù)和的圖象關(guān)于過最值點且垂直于x軸的直線分別成軸對稱圖形.
設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)向量，將按順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則
講解　應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，得
　　　　　
　　　　　　，
于是　　　
故應(yīng)填　
9．設(shè)非零復(fù)數(shù)滿足　，則代數(shù)式　的值是____________.
講解　將已知方程變形為　　，
解這個一元二次方程，得
　　　　　　
顯然有,　而,于是
原式＝
　　＝
　　＝
在上述解法中，“兩邊同除”的手法達(dá)到了集中變量的目的，這是減少變元的一個上策，值得重視.
10．　已知是公差不為零的等差數(shù)列，如果是的前n項和，那么
講解　特別取，有，于是有
　　　　　　　 故應(yīng)填2.
列中， , 則
講解 分類求和，得

，故應(yīng)填．
以下四個命題：
①
②
③凸n邊形內(nèi)角和為④凸n邊形對角線的條數(shù)是
其中滿足“假設(shè)時命題成立，則當(dāng)n=k+1時命題也成立’’.但不滿足“當(dāng)（是題中給定的n的初始值）時命題成立”的命題序號是　　　　　　　.
講解 ①當(dāng)n=3時，，不等式成立；
當(dāng)n=1時，，但假設(shè)n=k時等式成立，則
　　　；
③　，但假設(shè)成立，則
　　　　　　
④　，假設(shè)成立，則
　　　　
故應(yīng)填②③.
　　13．某商場開展促銷活動，設(shè)計一種對獎券，號碼從000000到999999. 若號碼的奇位數(shù)字是不同的奇數(shù)，偶位數(shù)字均為偶數(shù)時，為中獎號碼，則中獎面（即中獎號碼占全部號碼的百分比）為　　　　　　　.
講解 　中獎號碼的排列方法是：　奇位數(shù)字上排不同的奇數(shù)有種方法，偶位數(shù)字上排偶數(shù)的方法有，從而中獎號碼共有種，于是中獎面為
　　　　　　　　　　　　
故應(yīng)填
14． 的展開式中的系數(shù)是
講解　由知，所求系數(shù)應(yīng)為的x項的系數(shù)與項的系數(shù)的和，即有
　　　　　
故應(yīng)填1008.
15． 過長方體一個頂點的三條棱長為3、4、5, 且它的八個頂點都在同一球面上，這個球的表面積是________.
講解　長方體的對角線就是外接球的直徑,　即有
　　　　
從而　　　，故應(yīng)填
16． 若四面體各棱的長是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積是　　　　　　　（只需寫出一個可能的值）．
講解 本題是一道很好的開放題，解題的開竅點是：每個面的三條棱是怎樣構(gòu)造的，依據(jù)“三角形中兩邊之和大于第三邊”，就可否定｛1，1，2｝，從而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三種形態(tài)，再由這三類面構(gòu)造滿足題設(shè)條件的四面體，最后計算出這三個四面體的體積分別為： , ,，故應(yīng)填.、 、 中的一個即可.
17． 如右圖，E、F分別是正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是　　　　　.（要求：把可能的圖的序號都填上）
講解 因為正方體是對稱的幾何體，所以四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可分為：上下、左右、前后三個方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影.
四邊形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如圖所示；
四邊形BFD1E在該正方體對角面的ABC1D1內(nèi)，它在面ADD1A1上的射影顯然是一條線段，如圖所示. 故應(yīng)填.
18 直線被拋物線截得線段的中點坐標(biāo)是___________.
講解　由消去y，化簡得
　　　　　　　　　
設(shè)此方程二根為，所截線段的中點坐標(biāo)為，則
　　　　　　　　
故 應(yīng)填 .
19 橢圓上的一點P到兩焦點的距離的乘積為m，則當(dāng)m取最大值時，點P的坐標(biāo)是_____________________.
講解 記橢圓的二焦點為，有

則知
顯然當(dāng)，即點P位于橢圓的短軸的頂點處時，m取得最大值25.
故應(yīng)填或
20 一只酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的函數(shù)解析式是，在杯內(nèi)放一個玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑r的取值范圍是___________.
講解 依拋物線的對稱性可知，大圓的圓心在y軸上，并且圓與拋物線切于拋物線的頂點，從而可設(shè)大圓的方程為
由
消去x，得 （*）
解出 或
要使（*）式有且只有一個實數(shù)根，只要且只需要即
再結(jié)合半徑，故應(yīng)填
怎樣解數(shù)學(xué)綜合題
第一輪復(fù)習(xí)一般以知識、技能、方法的逐點掃描和梳理為主，綜合運(yùn)用知識為輔，第二輪復(fù)習(xí)以專題性復(fù)習(xí)為主，這一階段所涉及的數(shù)學(xué)問題多半是綜合性問題，提高解數(shù)學(xué)綜合性問題的能力是提高高考數(shù)學(xué)成績的根本保證。解好綜合題對于那些想考一流大學(xué)，并對數(shù)學(xué)成績期望值較高的同學(xué)來說，是一道生命線，往往成也蕭何敗也蕭何；對于那些定位在二流大學(xué)的學(xué)生而言，這里可是放手一搏的好地方。
　　一、綜合題在高考試卷中的位置與作用
　　數(shù)學(xué)綜合性試題常常是高考試卷中把關(guān)題和壓軸題。在高考中舉足輕重，高考的區(qū)分層次和選拔使命主要靠這類題型來完成預(yù)設(shè)目標(biāo)。目前的高考綜合題已經(jīng)由單純的知識疊加型轉(zhuǎn)化為知識、方法和能力綜合型尤其是創(chuàng)新能力型試題。綜合題是高考數(shù)學(xué)試題的精華部分，具有知識容量大、解題方法多、能力要求高、突顯數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用以及要求考生具有一定的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力等特點。
　　二、解綜合性問題的三字訣“三性”：綜合題從題設(shè)到結(jié)論，從題型到內(nèi)容，條件隱蔽，變化多樣，因此就決定了審題思考的復(fù)雜性和解題設(shè)計的多樣性。在審題思考中，要把握好“三性”，即(1)目的性：明確解題結(jié)果的終極目標(biāo)和每一步驟分項目標(biāo)。(2)準(zhǔn)確性：提高概念把握的準(zhǔn)確性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性。(3)隱含性：注意題設(shè)條件的隱含性。審題這第一步，不要怕慢，其實慢中有快，解題方向明確，解題手段合理，這是提高解題速度和準(zhǔn)確性的前提和保證。
　　“三化”：(1)問題具體化(包括抽象函數(shù)用具有相同性質(zhì)的具體函數(shù)作為代表來研究，字母用常數(shù)來代表)。即把題目中所涉及的各種概念或概念之間的關(guān)系具體明確，有時可畫表格或圖形，以便于把一般原理、一般規(guī)律應(yīng)用到具體的解題過程中去。(2)問題簡單化。即把綜合問題分解為與各相關(guān)知識相聯(lián)系的簡單問題，把復(fù)雜的形式轉(zhuǎn)化為簡單的形式。(3)問題和諧化。即強(qiáng)調(diào)變換問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式符合數(shù)或形內(nèi)部固有的和諧統(tǒng)一的特點，或者突出所涉及的各種數(shù)學(xué)對象之間的知識聯(lián)系。
　　“三轉(zhuǎn)”：(1)語言轉(zhuǎn)換能力。每個數(shù)學(xué)綜合題都是由一些特定的文字語言、符號語言、圖形語言所組成。解綜合題往往需要較強(qiáng)的語言轉(zhuǎn)換能力。還需要有把普通語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言的能力。(2)概念轉(zhuǎn)換能力：綜合題的轉(zhuǎn)譯常常需要較強(qiáng)的數(shù)學(xué)概念的轉(zhuǎn)換能力。(3)數(shù)形轉(zhuǎn)換能力。解題中的數(shù)形結(jié)合，就是對題目的條件和結(jié)論既分析其代數(shù)含義又分析其幾何意義，力圖在代數(shù)與幾何的結(jié)合上找出解題思路。運(yùn)用數(shù)形轉(zhuǎn)換策略要注意特殊性，否則解題會出現(xiàn)漏洞。
　　“三思”：(1)思路：由于綜合題具有知識容量大，解題方法多，因此，審題時應(yīng)考慮多種解題思路。(2)思想：高考綜合題的設(shè)置往往會突顯考查數(shù)學(xué)思想方法，解題時應(yīng)注意數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。(3)思辯：即在解綜合題時注意思路的選擇和運(yùn)算方法的選擇。
　　“三聯(lián)”：(1)聯(lián)系相關(guān)知識，(2)連接相似問題，(2)聯(lián)想類似方法。
　　三、反思平時做完綜合練習(xí)后，要注重反思這一環(huán)節(jié)，注意方法的優(yōu)化。要把解題的過程抽象形成思維模塊，注意方法的遷移和問題的拓展。
第4講 函數(shù)與方程的思想方法
一、知識整合
函數(shù)與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程f(x)＝0的解就是函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo)，函數(shù)y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0通過方程進(jìn)行研究。
就中學(xué)數(shù)學(xué)而言，函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易，化繁為簡的目的.許多有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方法解決，反之，許多函數(shù)問題也可以用方程的方法來解決。函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，也是歷年高考的重點。
1．函數(shù)的思想，是用運(yùn)動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察、分析和解決問題。
2．方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決。方程的數(shù)學(xué)是對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題。方程思想是動中求靜，研究運(yùn)動中的等量關(guān)系.
3．(1) 函數(shù)和方程是密切相關(guān)的，對于函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)y＝0時，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)＝0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函數(shù)問題（例如求反函數(shù)，求函數(shù)的值域等）可以轉(zhuǎn)化為方程問題來求解，方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解，如解方程f(x)＝0，就是求函數(shù)y＝f(x)的零點。
(2) 函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)y>0時，就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)>0，借助于函數(shù)圖像與性質(zhì)解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開解不等式。
(3) 數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題十分重要。
(4) 函數(shù)f(x)＝（n∈N*）與二項式定理是密切相關(guān)的，利用這個函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項式定理的問題。
(5) 解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論。
(6) 立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運(yùn)用布列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決。
二、例題解析
Ⅰ．運(yùn)用函數(shù)與方程、表達(dá)式相互轉(zhuǎn)化的觀點解決函數(shù)、方程、表達(dá)式問題。
例1 已知，（a、b、c∈R），則有（ ）
(A) (B) (C) (D)
解析 法一：依題設(shè)有 a·5－b·＋c＝0
∴是實系數(shù)一元二次方程的一個實根；
∴△＝≥0 ∴ 故選(B)
法二：去分母，移項，兩邊平方得：
≥10ac＋2·5a·c＝20ac
∴ 故選(B)
點評解法一通過簡單轉(zhuǎn)化，敏銳地抓住了數(shù)與式的特點，運(yùn)用方程的思想使問題得到解決；解法二轉(zhuǎn)化為b2是a、c的函數(shù)，運(yùn)用重要不等式，思路清晰，水到渠成。
練習(xí)1 已知關(guān)于的方程 －（2 m－8）x +－16 = 0的兩個實根 、 滿足 ＜＜，則實數(shù)m的取值范圍_______________。
答案：；
2 已知函數(shù) 的圖象如下，則（ ）
（A） (B)
(C) (D)
答案：A.
3 求使不等式≤·對大于1的任意x、y恒成立的a的取值范圍。
Ⅱ：構(gòu)造函數(shù)或方程解決有關(guān)問題：
例2 已知，t∈[，8]，對于f(t)值域內(nèi)的所有實數(shù)m，不等式恒成立，求x的取值范圍。
解析∵t∈[，8]，∴f(t)∈[，3]
原題轉(zhuǎn)化為：>0恒成立，為m的一次函數(shù)（這里思維的轉(zhuǎn)化很重要）
當(dāng)x＝2時，不等式不成立。
∴x≠2。令g(m)＝，m∈[，3]
問題轉(zhuǎn)化為g(m)在m∈[，3]上恒對于0，則：；
解得：x>2或x<－1
評析 首先明確本題是求x的取值范圍，這里注意另一個變量m，不等式的左邊恰是m的一次函數(shù)，因此依據(jù)一次函數(shù)的特性得到解決。在多個字母變量的問題中，選準(zhǔn)“主元”往往是解題的關(guān)鍵。
例3 為了更好的了解鯨的生活習(xí)性，某動物保護(hù)組織在受傷的鯨身上裝了電子監(jiān)測裝置，從海洋放歸點A處，如圖（1）所示，把它放回大海，并沿海岸線由西向東不停地對它進(jìn)行了長達(dá)40分鐘的跟蹤觀測，每隔10分鐘踩點測得數(shù)據(jù)如下表（設(shè)鯨沿海面游動），然后又在觀測站B處對鯨進(jìn)行生活習(xí)性的詳細(xì)觀測，已知AB＝15km，觀測站B的觀測半徑為5km。
觀測時刻
t（分鐘）
跟蹤觀測點到放歸
點的距離a（km）
鯨位于跟蹤觀測點正北
方向的距離b（km）
10
1
0.999
20
2
1.413
30
3
1.732
40
4
2.001
(1)據(jù)表中信息：①計算出鯨沿海岸線方向運(yùn)動的速度；②試寫出a、b近似地滿足的關(guān)系式并
畫出鯨的運(yùn)動路線草圖；
（2）若鯨繼續(xù)以（1）－②運(yùn)動的路線運(yùn)動，試預(yù)測，該鯨經(jīng)過多長時間（從放歸時開設(shè)計時）可進(jìn)入前方觀測站B的觀測范圍？并求出可持續(xù)觀測的時間及最佳觀測時刻。（注：≈6.40；精確到1分鐘）
解析（1）由表中的信息可知：
①鯨沿海岸線方向運(yùn)動的速度為：（km/分鐘）
②a、b近似地滿足的關(guān)系式為：運(yùn)動路線如圖
（2）以A為原點，海岸線AB為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)鯨所在
位置點P（x，y），由①、②得：，又B（15，0），
依題意：觀測站B的觀測范圍是：
≤5 （y≥0） 又
∴≤25 解得：11.30≤x≤17.70
由①得：∴該鯨經(jīng)過t＝＝113分鐘可進(jìn)入前方觀測站B的觀測范圍
持續(xù)時間：＝64分鐘
∴該鯨與B站的距離d＝＝
當(dāng)d最小時為最佳觀測時刻，這時x＝＝14.5，t＝145分鐘。
練習(xí)4．已知關(guān)于的方程－2= 0有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍。
（答案：0≤≤4－）
Ⅲ：運(yùn)用函數(shù)與方程的思想解決數(shù)列問題
例4設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知，>0，<0，
（1）求公差d的取值范圍；
（2）指出、、…，中哪一個最大，并說明理由。
解析（1）由得：，
∵＝>0 ＝<0
∴（2）
∵d<0，是關(guān)于n 的二次函數(shù)，對稱軸方程為：x＝
∵三、強(qiáng)化練習(xí)
1．展開式中的系數(shù)為____________.
2．已知方程的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列,則( )
A 1 B C D
3.設(shè)雙曲線的焦點在軸上，兩條漸近線為，則該雙曲線的離心率（ ）
A 5 B C D
4．已知銳角三角形ABC中，。
Ⅰ.求證；
Ⅱ.設(shè)，求AB邊上的高。
5．甲、乙、丙三臺機(jī)床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為。
Ⅰ.分別求甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；
Ⅱ.從甲、乙、丙加工的零件中各取一個進(jìn)行檢驗,求至少有一個是一等品的概率。
6．設(shè)，，曲線在點處切線的傾斜角的取值范圍為，則點Ｐ到曲線對稱軸距離的取值范圍是（　　）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7.設(shè)雙曲線C：與直線相交于兩個不同的點A、B。
Ⅰ.求雙曲線C的離心率的取值范圍；
Ⅱ.設(shè)直線與軸的交點為P，且，求的值。
第5講 數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用
一、知識整合
1．?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，使用數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷。所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合。
2．實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：①實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；②函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；③曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；⑤所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。
3．縱觀多年來的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)”。
4．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域，最值問題中，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要爭取胸中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。
二、例題分析
例1.
分析：
，

例2.
解：法一、常規(guī)解法：



法二、數(shù)形結(jié)合解法：


例3.
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 1個或2個或3個
分析：
出兩個函數(shù)圖象，易知兩圖象只有兩個交點，故方程有2個實根，選（B）。
例4.

分析：

例5.
分析：
構(gòu)造直線的截距的方法來求之。




截距。


例6.
分析：
以3為半徑的圓在x軸上方的部分，（如圖），而N則表示一條直線，其斜率k=1，縱截

例7.
MF1的中點，O表示原點，則|ON|=（ ）

分析：①設(shè)橢圓另一焦點為F2，（如圖），
又注意到N、O各為MF1、F1F2的中點，
∴ON是△MF1F2的中位線，
②若聯(lián)想到第二定義，可以確定點M的坐標(biāo)，進(jìn)而求MF1中點的坐標(biāo)，最后利用兩點間的距離公式求出|ON|，但這樣就增加了計算量，方法較之①顯得有些復(fù)雜。
例8.
分析：


例9.
解法一（代數(shù)法）：，




解法二（幾何法）：




例10.
分析：
轉(zhuǎn)化出一元二次函數(shù)求最值；倘若對式子平方處理，將會把問題復(fù)雜化，因此該題用常規(guī)解法顯得比較困難，考慮到式中有兩個根號，故可采用兩步換元。
解：


第一象限的部分（包括端點）有公共點，（如圖）

相切于第一象限時，u取最大值



三、總結(jié)提煉
數(shù)形結(jié)合思想是解答數(shù)學(xué)試題的的一種常用方法與技巧，特別是在解決選擇、填空題是發(fā)揮著奇特功效，復(fù)習(xí)中要以熟練技能、方法為目標(biāo)，加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度。
四、強(qiáng)化訓(xùn)練
見優(yōu)化設(shè)計。
【模擬試題】
一、選擇題：
1. 方程的實根的個數(shù)為（ ）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
2. 函數(shù)的圖象恰有兩個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
3. 設(shè)命題甲：，命題乙：，則甲是乙成立的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 不充分也不必要條件
4. 適合且的復(fù)數(shù)z的個數(shù)為（ ）
A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 4個
5. 若不等式的解集為則a的值為（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知復(fù)數(shù)的最大值為（ ）
A. B. C. D.
7. 若時，不等式恒成立，則a的取值范圍為（ ）
A. （0，1） B. （1，2） C. （1，2] D. [1，2]
8. 定義在R上的函數(shù)上為增函數(shù)，且函數(shù)的圖象的對稱軸為，則（ ）
A. B.
C. D.
二、填空題：
9. 若復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值為___________。
10. 若對任意實數(shù)t，都有，則、由小到大依次為___________。
11. 若關(guān)于x的方程有四個不相等的實根，則實數(shù)m的取值范圍為___________。
12. 函數(shù)的最小值為___________。
13. 若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是___________。
三、解答題：
14. 若方程上有唯一解，
求m的取值范圍。
15. 若不等式的解集為A，且，求a的取值范圍。
16. 設(shè)，試求下述方程有解時k的取值范圍。

【試題答案】
一、選擇題
1. C
提示：畫出在同一坐標(biāo)系中的圖象，即可。
2. D
提示：畫出的圖象
情形1：
情形2：
3. A
4. C
提示：|Z－1|=1表示以（1，0）為圓心，以1為半徑的圓，顯然點Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)滿足條件，另外，點O對應(yīng)的復(fù)數(shù)O，因其輻角是多值，它也滿足，故滿足條件的z有兩個。
5. B
提示：畫出的圖象，依題意，從而。
6. C
提示：由可知，z2對應(yīng)的點在以（0，0）為圓心，以2為半徑的圓上，
而
表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的距離，
結(jié)合圖形，易知，此距離的最大值為：

7. C
提示：令，
若a>1，兩函數(shù)圖象如下圖所示，顯然當(dāng)時，
要使，只需使，綜上可知
當(dāng)時，不等式對恒成立。
若，兩函數(shù)圖象如下圖所示，顯然當(dāng)時，不等式恒不成立。
可見應(yīng)選C
8. A
提示：f(x+2)的圖象是由f(x)的圖象向左平移2個單位而得到的，又知f(x+2)的圖象關(guān)于直線x=0（即y軸）對稱，故可推知，f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，由f(x)在（）上為增函數(shù)，可知，f(x)在上為減函數(shù)，依此易比較函數(shù)值的大小。
二、填空題：
9.
提示：|Z|=2表示以原點為原心，以2為半徑的圓，即滿足|Z|=2的復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點在圓O上運(yùn)動，（如下圖），而|z+1－i|=|z－（－1+i）|表示復(fù)數(shù)Z與－1+i對應(yīng)的兩點的距離。
由圖形，易知，該距離的最大值為。
10.
提示：由知，f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，又為二次函數(shù)，其圖象是開口向上的拋物線，由f(x)的圖象，易知的大小。
11.
提示：設(shè)，畫出兩函數(shù)圖象示意圖，要使方程有四個不相等實根，只需使
12. 最小值為
提示：對，聯(lián)想到兩點的距離公式，它表示點（x，1）到（1，0）的距離，表示點（x，1）到點（3，3）的距離，于是表示動點（x，1）到兩個定點（1，0）、（3，3）的距離之和，結(jié)合圖形，易得。
13.
提示：y=x－m表示傾角為45°，縱截距為－m的直線方程，而則表示以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方的部分（包括圓與x軸的交點），如下圖所示，顯然，欲使直線與半圓有兩個不同交點，只需直線的縱截距，即。
三、解答題：
14. 解：原方程等價于
令，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫出它們的圖象，
其中注意，當(dāng)且僅當(dāng)兩函數(shù)的圖象在[0，3）上有唯一公共點時，原方程有唯一解，由下圖可見，當(dāng)m=1，或時，原方程有唯一解，因此m的取值范圍為[－3，0]{1}。
注：一般地，研究方程時，需先將其作等價變形，使之簡化，再利用函數(shù)圖象的直觀性研究方程的解的情況。
15. 解：令表示以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓在x軸的上方的部分（包括圓與x軸的交點），如下圖所示，表示過原點的直線系，不等式的解即是兩函數(shù)圖象中半圓在直線上方的部分所對應(yīng)的x值。
由于不等式解集
因此，只需要
∴a的取值范圍為（2，+）。
16. 解：將原方程化為：，
∴
令，它表示傾角為45°的直線系，
令，它表示焦點在x軸上，頂點為（－a，0）（a，0）的等軸雙曲線在x軸上方的部分，
∵原方程有解，
∴兩個函數(shù)的圖象有交點，由下圖，知

∴
∴k的取值范圍為
第6講 分類討論思想在解題中的應(yīng)用
一、知識整合
1.分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想對于簡化研究對象，發(fā)展人的思維有著重要幫助，因此，有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要位置。
2.所謂分類討論，就是當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答。實質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略。
3.分類原則：分類對象確定，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，分層次，不越級討論。
4.分類方法：明確討論對象，確定對象的全體，確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行分類；逐類進(jìn)行討論，獲取階段性成果；歸納小結(jié)，綜合出結(jié)論。
5.含參數(shù)問題的分類討論是常見題型。
6.注意簡化或避免分類討論。
二、例題分析
例1.一條直線過點（5，2），且在x軸，y軸上截距相等，則這直線方程為（ ）
A. B.
C. D.
分析：設(shè)該直線在x軸，y軸上的截距均為a,
當(dāng)a=0時，直線過原點，此時直線方程為；
當(dāng)時，設(shè)直線方程為，方程為。
例2．
分析：
因此，只要根據(jù)已知條件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA時，是一解還是兩解？這一點需經(jīng)過討論才能確定，故解本題時要分類討論。對角A進(jìn)行分類。
解：


這與三角形的內(nèi)角和為180°相矛盾。


例3.已知圓x2+y2=4，求經(jīng)過點P（2，4），且與圓相切的直線方程。
分析：容易想到設(shè)出直線的點斜式方程y-4=k(x-2)再利用直線與圓相切的充要條件：“圓心到切線的距離等于圓的半徑”，待定斜率k，從而得到所求直線方程，但要注意到：過點P的直線中，有斜率不存在的情形，這種情形的直線是否也滿足題意呢？因此本題對過點P的直線分兩種情形：（1）斜率存在時，…（2）斜率不存在…
解（略）：所求直線方程為3x-4y+10=0或x=2
例4.
分析：解對數(shù)不等式時，需要利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，把不等式轉(zhuǎn)化為不含對數(shù)符號的不等式。而對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性因底數(shù)a的取值不同而不同，故需對a進(jìn)行分類討論。
解：



例5.
分析：解無理不等式，需要將兩邊平方后去根號，以化為有理不等式，而根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，只有在不等式兩邊同時為正時，才不改變不等號方向，因此應(yīng)根據(jù)運(yùn)算需求分類討論，對x分類。
解：



例6.
分析：這是一個含參數(shù)a的不等式，一定是二次不等式嗎？不一定，故首先對二次項系數(shù)a分類：（1）a≠0（2）a=0，對于（2），不等式易解；對于（1），又需再次分類：a>0或a<0，因為這兩種情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在兩根之外，還是在兩根之間。而確定這一點之后，又會遇到1與誰大誰小的問題，因而又需作一次分類討論。故而解題時，需要作三級分類。
解：







綜上所述，得原不等式的解集為
；；
；；
。
例7.已知等比數(shù)列的前n項之和為，前n+1項之和為，公比q>0，令。
分析：對于等比數(shù)列的前n項和Sn的計算，需根據(jù)q是否為1分為兩種情形：


故還需對q再次分類討論。
解：




例8.
分析：
解：（1）當(dāng)k=4時，方程變?yōu)?x2=0，即x=0，表示直線；
（2）當(dāng)k=8時，方程變?yōu)?y2=0，即y=0，表示直線；

（i）當(dāng)k<4時，方程表示雙曲線；（ii）當(dāng)4 （iii）當(dāng)k=6時，方程表示圓；（iv）當(dāng)6 （v）當(dāng)k>8時，方程表示雙曲線。
例9. 某車間有10名工人，其中4人僅會車工，3人僅會鉗工，另外三人車工鉗工都會，現(xiàn)需選出6人完成一件工作，需要車工，鉗工各3人，問有多少種選派方案？
分析：如果先考慮鉗工，因有6人會鉗工，故有C63種選法，但此時不清楚選出的鉗工中有幾個是車鉗工都會的，因此也不清楚余下的七人中有多少人會車工，因此在選車工時，就無法確定是從7人中選，還是從六人、五人或四人中選。同樣，如果先考慮車工也會遇到同樣的問題。因此需對全能工人進(jìn)行分類：
（1）選出的6人中不含全能工人；（2）選出的6人中含有一名全能工人；（3）選出的6人中含2名全能工人；（4）選出的6人中含有3名全能工人。
解：

三、總結(jié)提煉
分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是一種數(shù)學(xué)解題策略，對于何時需要分類討論，則要視具體問題而定，并無死的規(guī)定。但可以在解題時不斷地總結(jié)經(jīng)驗。
如果對于某個研究對象，若不對其分類就不能說清楚，則應(yīng)分類討論，另外，數(shù)學(xué)中的一些結(jié)論，公式、方法對于一般情形是正確的，但對某些特殊情形或說較為隱蔽的“個別”情況未必成立。這也是造成分類討論的原因，因此在解題時，應(yīng)注意挖掘這些個別情形進(jìn)行分類討論。常見的“個別”情形略舉以下幾例：
（1）“方程有實數(shù)解”轉(zhuǎn)化為時忽略了了個別情形：當(dāng)a=0時，方程有解不能轉(zhuǎn)化為△≥0；
（2）等比數(shù)列的前項和公式中有個別情形：時，公式不再成立，而是Sn=na1。
設(shè)直線方程時，一般可設(shè)直線的斜率為k，但有個別情形：當(dāng)直線與x軸垂直時，直線無斜率，應(yīng)另行考慮。
(4)若直線在兩軸上的截距相等，常常設(shè)直線方程為，但有個別情形：a=0時，再不能如此設(shè)，應(yīng)另行考慮。
四、強(qiáng)化練習(xí)：見優(yōu)化設(shè)計。
【模擬試題】
一. 選擇題：
1. 若的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D. ；
2. 若，且，則實數(shù)中的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
3. 設(shè)A=（ ）
A. 1 B. C. D.
4. 設(shè)的值為（ ）
A. 1 B. 0 C. 7 D. 0或7
5. 一條直線過點（5，2），且在x軸，y軸上截距相等，則這直線方程為（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 若（ ）
A. 1 B. C. D. 不能確定
7. 已知圓錐的母線為l，軸截面頂角為，則過此圓錐的頂點的截面面積的最大值為（ ）
A. B.
C. D. 以上均不對
8. 函數(shù)的圖象與x軸的交點至少有一個在原點的右側(cè)，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
二. 填空題
9. 若圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為4和2的矩形，則圓柱的體積是______________。
10. 若，則a的取值范圍為________________。
11. 與圓相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為____________。
12. 在50件產(chǎn)品中有4件是次品，從中任抽取5件，至少有3件次品的抽法共有______________種（用數(shù)字作答）
13. 不等式的解集為_____________。
三. 解答題：
14. 已知橢圓的中心在原點，集點在坐標(biāo)軸上，焦距為，另一雙曲線與此橢圓有公共焦點，且其實軸比橢圓的長軸小8，兩曲線的離心率之比為3：7，求此橢圓、雙曲線的方程。
15. 設(shè)a>0且，試求使方程有解的k的取值范圍。
【試題答案】
一. 選擇題
1. C 2. D 3. D 4. D 5. C 6. A 7. D 8. B
提示：1. 欲比較p、q的大小，只需先比較的大小，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。而決定的大小的a值的分界點為使
的a值：a=1，
當(dāng)a>1時，此時
當(dāng)即。
可見，不論a>1還是0q。
2. 若，即
若
可見當(dāng)都有，故選（D）
3. 若
若，則，

4. 由是1的7次方根，可得顯然，1是1的7次方根，故可能；若，則

故選（D）
5. 設(shè)該直線在x軸，y軸上的截距均為a,
當(dāng)a=0時，直線過原點，此時直線方程為；
當(dāng)時，設(shè)直線方程為，方程為
6. 由

于是總有，故選（A）
7. 當(dāng)時，最大截面就是軸截面，其面積為；
當(dāng)時，最大截面是兩母線夾角為的截面，其面積為
可見，最大截面積為，故選（D）
8. 當(dāng)時，滿足題意


綜上可知，
故選（B）
二. 填空題
9.
（提示：若長為4的邊作為圓柱底面圓周的展開圖，，則；若長為2的邊作為圓柱底面圓周的展開圖，則）
10.
（提示：對a分：兩種情況討論）
11.
（提示：分截距相等均不為0與截距相等均為0兩種情形）
12. 4186種
（提示：對抽取5件產(chǎn)品中的次品分類討論：（1）抽取的5件產(chǎn)品中恰好有3件次品；（2）抽取的5件產(chǎn)品中恰好有4件次品，于是列式如下：=4140+46
=4186）
13. 若，則解集為
若，則解集為
（提示：設(shè)
解之得
對a分類：時，
）
三. 解答題
14. 解：（1）若橢圓與雙曲線的焦點在x軸上，可設(shè)它們方程分別為
，依題意

（2）若焦點在y軸上，則可設(shè)橢圓方程為
雙曲線方程為，依題意有


15. 解：原方程可化為
令
則對原方程的解的研究，可轉(zhuǎn)化為對函數(shù)圖象的交點的研究
下圖畫出了的圖象，由圖象可看出
（1）當(dāng)直線時，與雙曲線無交點，此時即當(dāng)時，原方程無解；
（2）當(dāng)直線圖象與雙曲線漸近線重合，顯然直線與雙曲線無交點，即當(dāng)k=0時，原方程無解；
（3）當(dāng)直線的縱截距滿足，即
時，直線與雙曲線總有交點，原方程有解。
綜上所述，當(dāng)
第7講 化歸與轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用
一、知識整合
1．解決數(shù)學(xué)問題時，常遇到一些問題直接求解較為困難，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問題轉(zhuǎn)化為一個新問題（相對來說，對自己較熟悉的問題），通過新問題的求解，達(dá)到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法”。
2．化歸與轉(zhuǎn)化思想的實質(zhì)是揭示聯(lián)系，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化。除極簡單的數(shù)學(xué)問題外，每個數(shù)學(xué)問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知的問題實現(xiàn)的。從這個意義上講，解決數(shù)學(xué)問題就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過程。化歸與轉(zhuǎn)化的思想是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想，解題的過程實際上就是一步步轉(zhuǎn)化的過程。數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如未知向已知轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化，新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維轉(zhuǎn)化，多元向一元轉(zhuǎn)化，高次向低次轉(zhuǎn)化，超越式向代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。
3．轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化。等價轉(zhuǎn)化前后是充要條件，所以盡可能使轉(zhuǎn)化具有等價性；在不得已的情況下，進(jìn)行不等價轉(zhuǎn)化，應(yīng)附加限制條件，以保持等價性，或?qū)λ媒Y(jié)論進(jìn)行必要的驗證。
4．化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)遵循的基本原則：
（1）熟悉化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，以利于我們運(yùn)用熟知的知識、經(jīng)驗和問題來解決。
（2）簡單化原則：將復(fù)雜的問題化歸為簡單問題，通過對簡單問題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)。 （3）和諧化原則：化歸問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或其方法符合人們的思維規(guī)律。（4）直觀化原則：將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解決。（5）正難則反原則：當(dāng)問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設(shè)法從問題的反面去探求，使問題獲解。
二、例題分析
例1．某廠2001年生產(chǎn)利潤逐月增加，且每月增加的利潤相同，但由于廠方正在改造建設(shè)，元月份投入資金建設(shè)恰好與元月的利潤相等，隨著投入資金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建設(shè)資金又恰好與12月的生產(chǎn)利潤相同，問全年總利潤m與全年總投入N的大小關(guān)系是 （ ）
A. m>N B. m在同一坐標(biāo)系中畫出圖象，直觀地可以看出ai≥bi 則＞，即m＞N。 [點評]把一個原本是求和的問題，退化到各項的逐一比較大小，而一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象又是每個學(xué)生所熟悉的。在對問題的化歸過程中進(jìn)一步挖掘了問題的內(nèi)涵，通過對問題的反思、再加工后，使問題直觀、形象，使解答更清新。
例2．如果，三棱錐P—ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂線ED=h．求證三棱錐P—ABC的體積．
分析：如視P為頂點，△ABC為底面，則無論是S△ABC以及高h(yuǎn)都不好求．如果觀察圖形，換個角度看問題，創(chuàng)造條件去應(yīng)用三棱錐體積公式，則可走出困境．
解：如圖，連結(jié)EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC=E，可得PA⊥面ECD．這樣，截面ECD將原三棱錐切割成兩個分別以ECD為底面，以PE、AE為高的小三棱錐，而它們的底面積相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以
VP－ABC=VP－ECD+VA－ECD=S△ECD?AE+S△ECD?PE=S△ECD ?PA=?BC·ED·PA=． 評注：輔助截面ECD的添設(shè)使問題轉(zhuǎn)化為已知問題迎刃而解．
例3．在的展開式中x的系數(shù)為( )．
(A)160 (B)240 (C)360 (D)800
分析與解：本題要求展開式中x的系數(shù)，而我們只學(xué)習(xí)過多項式乘法法則及二項展開式定理，因此，就要把對x系數(shù)的計算用上述兩種思路進(jìn)行轉(zhuǎn)化：
思路1：直接運(yùn)用多項式乘法法則和兩個基本原理求解，則展開式是一個關(guān)于x的10次多項式， =(x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2)，它的展開式中的一次項只能從5個括號中的一個中選取一次項3x并在其余四個括號中均選 擇常數(shù)項2相乘得到，故為·(3x)··24=5×3×16x=240x，所以應(yīng)選(B)．
思路2 利用二項式定理把三項式乘冪轉(zhuǎn)化為二項式定理再進(jìn)行計算，∵x2+3x+2=x2+ (3x+2)=(x2+2)+3x=(x2+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x)，∴這條思路下又有四種不同的化歸與轉(zhuǎn)化方法．①如利用x2+3x+2=x2+(3x+2)轉(zhuǎn)化，可以發(fā)現(xiàn)只有(3x+2)5中會有x項，即(3x)·24=240x，故選(B)；②如利用x2+3x+2= (x2+2)+3x進(jìn)行轉(zhuǎn)化，則只 (x2+2) 4·3x中含有x一次項，即·3x·C44·24=240x；③如利用x2+3x+2=(x2+3x)+2進(jìn)行轉(zhuǎn)化，就只有·(x2+3x)·24中會有x項，即240x；④如選擇x2+3x+2=(1+x)(2+x)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，=×展開式中的一次項x只能由(1+x)5中的一次項乘以(2+x)5展開式中的常數(shù)項加上(2+x)5展開式中的一次項乘以(1+x)5展開式中的常數(shù)項后得到，即為x·25+?24?x??15=160x+80x=240x，故選(B)．
評注：化歸與轉(zhuǎn)化的意識幫我們把未知轉(zhuǎn)化為已知。
例4．若不等式對一切均成立，試求實數(shù)的取值范圍。解：
令，則要使它對均有，只要有
或。點評：在有幾個變量的問題中，常常有一個變元處于主要地位，我們稱之為主元，由于思維定勢的影響，在解決這類問題時，我們總是緊緊抓住主元不放，這在很多情況下是正確的。但在某些特定條件下，此路往往不通，這時若能變更主元，轉(zhuǎn)移變元在問題中的地位，就能使問題迎刃而解。本題中，若視x為主元來處理，既繁且易出錯，實行主元的轉(zhuǎn)化，使問題變成關(guān)于p的一次不等式，使問題實現(xiàn)了從高維向低維轉(zhuǎn)化，解題簡單易行。
三、總結(jié)提煉
1．熟練、扎實地掌握基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法是轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)；豐富的聯(lián)想、機(jī)敏細(xì)微的觀察、比較、類比是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁；培養(yǎng)訓(xùn)練自己自覺的化歸與轉(zhuǎn)化意識需要對定理、公式、法則有本質(zhì)上的深刻理解和對典型習(xí)題的總結(jié)和提煉，要積極主動有意識地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質(zhì)聯(lián)系。“抓基礎(chǔ)，重轉(zhuǎn)化”是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)的金鑰匙。
2．為了實施有效的化歸，既可以變更問題的條件，也可以變更問題的結(jié)論，既可以變換問題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，又可以變換問題的外部形式，既可以從代數(shù)的角度去認(rèn)識問題，又可以從幾何的角度去解決問題。
第8講 高考中常用數(shù)學(xué)的方法
------配方法、待定系數(shù)法、換元法
一、知識整合
配方法、待定系數(shù)法、換元法是幾種常用的數(shù)學(xué)基本方法.這些方法是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn),是解決問題的手段,它不僅有明確的內(nèi)涵,而且具有可操作性,有實施的步驟和作法.
配方法是對數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向的變形技巧,由于這種配成“完全平方”的恒等變形,使問題的結(jié)構(gòu)發(fā)生了轉(zhuǎn)化,從中可找到已知與未知之間的聯(lián)系,促成問題的解決.
待定系數(shù)法的實質(zhì)是方程的思想,這個方法是將待定的未知數(shù)與已知數(shù)統(tǒng)一在方程關(guān)系中,從而通過解方程(或方程組)求得未知數(shù).
換元法是一種變量代換,它是用一種變數(shù)形式去取代另一種變數(shù)形式,從而使問題得到簡化,換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化.
二、例題解析
例1．已知長方體的全面積為11,其12條棱的長度之和為24,則這個長方體的一條對角線長為( ).
(A) (B) (C)5 (D)6
分析及解：設(shè)長方體三條棱長分別為x,y,z,則依條件得：
2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24.而欲求的對角線長為,因此需將對稱式寫成基本對稱式x+y+z及xy+yz+zx的組合形式,完成這種組合的常用手段是配方法.故=62-11=25
∴ ,應(yīng)選C.
例2．設(shè)F1和F2為雙曲線的兩個焦點,點P在雙曲線上且滿足∠F1PF2=90°,則ΔF1PF2的面積是( ).
(A)1 (B) (C)2 (D)
分析及解：欲求 (1),而由已知能得到什么呢？
由∠F1PF2=90°,得 (2),
又根據(jù)雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=4 (3),那么(2)、(3)兩式與要求的三角形面積有何聯(lián)系呢？我們發(fā)現(xiàn)將(3)式完全平方,即可找到三個式子之間的關(guān)系.即,
故∴ ,∴ 選(A).
注：配方法實現(xiàn)了“平方和”與“和的平方”的相互轉(zhuǎn)化.
例3．設(shè)雙曲線的中心是坐標(biāo)原點,準(zhǔn)線平行于x軸,離心率為,已知點P(0,5)到該雙曲線上的點的最近距離是2,求雙曲線方程.
分析及解：由題意可設(shè)雙曲線方程為,∵,∴a=2b,因此所求雙曲線方程可寫成： (1),故只需求出a可求解.
設(shè)雙曲線上點Q的坐標(biāo)為(x,y),則|PQ|= (2),∵點Q(x,y)在雙曲線上,∴(x,y)滿足(1)式,代入(2)得|PQ|= (3),此時|PQ|2表示為變量y的二次函數(shù),利用配方法求出其最小值即可求解.
由(3)式有(y≥a或y≤-a).
二次曲線的對稱軸為y=4,而函數(shù)的定義域y≥a或y≤-a,因此,需對a≤4與a>4分類討論.
(1)當(dāng)a≤4時,如圖(1)可知函數(shù)在y=4處取得最小值,
∴令,得a2=4
∴所求雙曲線方程為.
(2)當(dāng)a>4時,如圖(2)可知函數(shù)在y=a處取得最小值,
∴令,得a2=49,
∴所求雙曲線方程為.
注：此題是利用待定系數(shù)法求解雙曲線方程的,其中利用配方法求解二次函數(shù)的最值問題,由于二次函數(shù)的定義域與參數(shù)a有關(guān),因此需對字母a的取值分類討論,從而得到兩個解,同學(xué)們在解答數(shù)習(xí)題時應(yīng)學(xué)會綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題.
例4．設(shè)f(x)是一次函數(shù),且其在定義域內(nèi)是增函數(shù),又,試求f(x)的表達(dá)式.
分析及解：因為此函數(shù)的模式已知,故此題需用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式.
設(shè)一次函數(shù)y=f(x)=ax+b (a>0),可知 ,
∴.
比較系數(shù)可知：
解此方程組,得 ,b=2,∴所求f(x)=.
例5．如圖,已知在矩形ABCD中,C(4,4),點A在曲線(x>0,y>0)上移動,且AB,BC兩邊始終分別平行于x軸,y軸,求使矩形ABCD的面積為最小時點A的坐標(biāo).
分析及解：設(shè)A(x,y),如圖所示,則(4-x)(4-y) (1)
此時S表示為變量x,y的函數(shù),如何將S表示為一個變量x(或y)的函數(shù)呢？有的同學(xué)想到由已知得x2+y2=9,如何利用此條件？是從等式中解出x(或y),再代入(1)式,因為表達(dá)式有開方,顯然此方法不好.
如果我們將(1)式繼續(xù)變形,會得到S=16-4(x+y)+xy (2)
這時我們可聯(lián)想到x2+y2與x+y、xy間的關(guān)系,即(x+y)2=9+2xy.
因此,只需設(shè)t=x+y,則xy=,代入(2)式得 S=16-4t+(3)S表示為變量t的二次函數(shù),
∵0此時
注：換元前后新舊變量的取值范圍是不同的,這樣才能防止出現(xiàn)不必要的錯誤.
例6．設(shè)方程x2+2kx+4=0的兩實根為x1,x2,若≥3,求k的取值范圍.
解：∵≥3,
以,代入整理得(k2-2)2≥5,又∵Δ=4k2-16≥0,
∴解得k∈(-)∪[,+].
例7．點P(x,y)在橢圓上移動時,求函數(shù)u=x2+2xy+4y2+x+2y的最大值.
解：∵點P(x,y)在橢圓上移動, ∴可設(shè) 于是
=
=
令, ∵,∴|t|≤.
于是u=,(|t|≤).
當(dāng)t=,即時,u有最大值.
∴θ=2kπ+(k∈Z)時,.
例8．過坐標(biāo)原點的直線l與橢圓相交于A,B兩點,若以AB為直徑的圓恰好通過橢圓的左焦點F,求直線l的傾斜角.
解：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)
直線l的方程為y=kx,將它代入橢圓方
程整理得 (*)
由韋達(dá)定理,(1),(2)
又F(1,0)且AF⊥BF,∴, 即 ,
將,代入上式整理得 ,
將(1)式,(2)式代入,解得 . 故直線l的傾斜角為或.
注：本題設(shè)交點坐標(biāo)為參數(shù),“設(shè)而不求”,以這些參數(shù)為橋梁建立斜率為k的方程求解.
例9．設(shè)集合A={}
(1)若A中有且只有一個元素,求實數(shù)a的取值集合B；
(2)當(dāng)a∈B時,不等式x2-5x-6解：(1)令t=2x,則t>0且方程化為t2-2t+a=0 (*),A中有且只有一個元素等價于方程(*)有且只有一個正根,再令f(t)=t2-2t+a,
則Δ=0 或即a=1或a≤0,從而B=(-,0]∪{1}.
(2)當(dāng)a=1時,當(dāng)a≤0,令g(a)=a(x-4)-(x2-5x-6),則當(dāng)a≤0時不等式 恒成立,
即當(dāng)a≤0時,g(a)>0恒成立,故 ≤4.
綜上討論,x的取值范圍是(,4).

第9講 函數(shù)問題的題型與方法
三、函數(shù)的概念
函數(shù)有二種定義，一是變量觀點下的定義，一是映射觀點下的定義．復(fù)習(xí)中不能僅滿足對這兩種定義的背誦，而應(yīng)在判斷是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，兩個函數(shù)關(guān)系是否相同等問題中得到深化，更應(yīng)在有關(guān)反函數(shù)問題中正確運(yùn)用．具體要求是：
1．深化對函數(shù)概念的理解，明確函數(shù)三要素的作用，并能以此為指導(dǎo)正確理解函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系．
2．系統(tǒng)歸納求函數(shù)定義域、值域、解析式、反函數(shù)的基本方法．在熟練有關(guān)技能的同時，注意對換元、待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用．
3．通過對分段定義函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，抽象函數(shù)等的認(rèn)識，進(jìn)一步體會函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)，進(jìn)一步樹立運(yùn)動變化，相互聯(lián)系、制約的函數(shù)思想，為函數(shù)思想的廣泛運(yùn)用打好基礎(chǔ)．
本部分的難點首先在于克服“函數(shù)就是解析式”的片面認(rèn)識，真正明確不僅函數(shù)的對應(yīng)法則，而且其定義域都包含著對函數(shù)關(guān)系的制約作用，并真正以此作為處理問題的指導(dǎo)．其次在于確定函數(shù)三要素、求反函數(shù)等課題的綜合性，不僅要用到解方程，解不等式等知識，還要用到換元思想、方程思想等與函數(shù)有關(guān)概念的結(jié)合．
Ⅰ 深化對函數(shù)概念的認(rèn)識
例1．下列函數(shù)中，不存在反函數(shù)的是　　　　　　　　　　（ ）

分析：處理本題有多種思路．分別求所給各函數(shù)的反函數(shù)，看是否存在是不好的，因為過程太繁瑣．
從概念看，這里應(yīng)判斷對于給出函數(shù)值域內(nèi)的任意值，依據(jù)相應(yīng)的對應(yīng)法則，是否在其定義域內(nèi)都只有惟一確定的值與之對應(yīng)，因此可作出給定函數(shù)的圖象，用數(shù)形結(jié)合法作判斷，這是常用方法。
此題作為選擇題還可采用估算的方法．對于D，y=3是其值域內(nèi)一個值，但若y=3，則可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依據(jù)概念，則易得出D中函數(shù)不存在反函數(shù)．于是決定本題選D．
說明：不論采取什么思路，理解和運(yùn)用函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系是這里解決問題的關(guān)鍵．
由于函數(shù)三要素在函數(shù)概念中的重要地位，那么掌握確定函數(shù)三要素的基本方法當(dāng)然成了函數(shù)概念復(fù)習(xí)中的重要課題．
例1．（重慶市）函數(shù)的定義域是（ D ）
A、 B、 C、 D、
例2．（天津市）函數(shù)（）的反函數(shù)是（ D ）
A、 B、
C、 D、
也有個別小題的難度較大，如
例3．（北京市）函數(shù)其中P、M為實數(shù)集R的兩個非空子集，又規(guī)定，，給出下列四個判斷：
①若，則 ②若，則
③若，則 ④若，則
其中正確判斷有（ B ）
A、 1個 B、 2個 C、 3個 D、 4個
分析：若，則只有這一種可能．②和④是正確的．
Ⅱ 系統(tǒng)小結(jié)確定函數(shù)三要素的基本類型與常用方法
1．求函數(shù)定義域的基本類型和常用方法
由給定函數(shù)解析式求其定義域這類問題的代表，實際上是求使給定式有意義的x的取值范圍．它依賴于對各種式的認(rèn)識與解不等式技能的熟練．這里的最高層次要求是給出的解析式還含有其他字
例2．已知函數(shù)定義域為(0，2)，求下列函數(shù)的定義域：
分析：x的函數(shù)f(x)是由u=x與f(u)這兩個函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，其中x是自變量，u是中間變量．由于f(x)，f(u)是同一個函數(shù)，故(1)為已知0＜u＜2，即0＜x＜2．求x的取值范圍．
解：(1)由0＜x＜2， 得
說明：本例(1)是求函數(shù)定義域的第二種類型，即不給出f(x)的解析式，由f(x)的定義域求函數(shù)f[g(x)]的定義域．關(guān)鍵在于理解復(fù)合函數(shù)的意義，用好換元法．(2)是二種類型的綜合．
求函數(shù)定義域的第三種類型是一些數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系，求其定義域。
2．求函數(shù)值域的基本類型和常用方法
函數(shù)的值域是由其對應(yīng)法則和定義域共同決定的．其類型依解析式的特點分可分三類：(1)求常見函數(shù)值域；(2)求由常見函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見函數(shù)作某些“運(yùn)算”而得函數(shù)的值域．
3．求函數(shù)解析式舉例
例3．已知xy＜0，并且4x-9y=36．由此能否確定一個函數(shù)關(guān)系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定義域和值域；如果不能，請說明理由．
分析： 4x-9y=36在解析幾何中表示雙曲線的方程，僅此當(dāng)然不能確定一個函數(shù)關(guān)系y=f(x)，但加上條件xy＜0呢？
所以
因此能確定一個函數(shù)關(guān)系y=f(x)．其定義域為(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不難得到其值域為(-∞，0)∪(0，＋∞)．
說明：本例從某種程度上揭示了函數(shù)與解析幾何中方程的內(nèi)在聯(lián)系．任何一個函數(shù)的解析式都可看作一個方程，在一定條件下，方程也可轉(zhuǎn)化為表示函數(shù)的解析式．求函數(shù)解析式還有兩類問題：
(1)求常見函數(shù)的解析式．由于常見函數(shù)(一次函數(shù)，二次函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)及反三角函數(shù))的解析式的結(jié)構(gòu)形式是確定的，故可用待定系數(shù)法確定其解析式．這里不再舉例．
(2)從生產(chǎn)、生活中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系的確定．這要把有關(guān)學(xué)科知識，生活經(jīng)驗與函數(shù)概念結(jié)合起來，舉例也宜放在函數(shù)復(fù)習(xí)的以后部分．
四、函數(shù)的性質(zhì)、圖象
(一)函數(shù)的性質(zhì)
函數(shù)的性質(zhì)是研究初等函數(shù)的基石，也是高考考查的重點內(nèi)容．在復(fù)習(xí)中要肯于在對定義的深入理解上下功夫．
復(fù)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)，可以從“數(shù)”和“形”兩個方面，從理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義入手，在判斷和證明函數(shù)的性質(zhì)的問題中得以鞏固，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最值及應(yīng)用問題的過程中得以深化．具體要求是：
1．正確理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，能準(zhǔn)確判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性，能熟練運(yùn)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性．
2．從數(shù)形結(jié)合的角度認(rèn)識函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，深化對函數(shù)性質(zhì)幾何特征的理解和運(yùn)用，歸納總結(jié)求函數(shù)最大值和最小值的常用方法．
3．培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動變化的觀點分析問題，提高學(xué)生用換元、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力．
這部分內(nèi)容的重點是對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的深入理解．
函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論．函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，反映了函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，但不一定是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制．
對函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個等式上，要明確對定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱．這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件．稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立．函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對稱性的反映．
這部分的難點是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運(yùn)用．根據(jù)已知條件，調(diào)動相關(guān)知識，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題，是對學(xué)生能力的較高要求．
1．對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的理解
例4．下面四個結(jié)論：①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；②奇函數(shù)的圖象一定通過原點；③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(x∈R)，其中正確命題的個數(shù)是　　 （　　　 ）
A．1　　　　　　 B．2 C．3　　　　　　 D．4
分析：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，但不一定相交，因此③正確，①錯誤．
奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，但不一定經(jīng)過原點，因此②不正確．
若y=f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，由定義可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④錯誤，選A．
說明：既奇又偶函數(shù)的充要條件是定義域關(guān)于原點對稱且函數(shù)值恒為零．
2．復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)
復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是由函數(shù)u=g(x)和y=f(u)構(gòu)成的，因變量y通過中間變量u與自變量x建立起函數(shù)關(guān)系，函數(shù)u=g(x)的值域是y=f(u)定義域的子集．
復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)由構(gòu)成它的函數(shù)性質(zhì)所決定，具備如下規(guī)律：
(1)單調(diào)性規(guī)律
如果函數(shù)u=g(x)在區(qū)間［m，n］上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)y=f(u)在區(qū)間[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是單調(diào)函數(shù)，那么
若u=g(x)，y=f(u)增減性相同，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]為增函數(shù)；若u=g(x)，y= f(u)增減性不同，則y=f[g(x)]為減函數(shù)．
(2)奇偶性規(guī)律
若函數(shù)g(x)，f(x)，f[g(x)]的定義域都是關(guān)于原點對稱的，則u=g(x)，y=f(u)都是奇函數(shù)時，y=f[g(x)]是奇函數(shù)；u=g(x)，y=f(u)都是偶函數(shù)，或者一奇一偶時，y= f[g(x)]是偶函數(shù)．
例5．若y=log(2-ax)在［0，1］上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是（ 　）
A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，+∞)
分析：本題存在多種解法，但不管哪種方法，都必須保證：①使log(2-ax)有意義，即a＞0且a≠1，2-ax＞0．②使log(2-ax)在[0，1]上是x的減函數(shù)．由于所給函數(shù)可分解為y=logu，u=2-ax，其中u=2-ax在a＞0時為減函數(shù)，所以必須a＞1；③[0，1]必須是y=log(2-ax)定義域的子集．
解法一：因為f(x)在［0，1］上是x的減函數(shù)，所以f(0)＞f(1)，
即log2＞log(2-a)．
解法二：由對數(shù)概念顯然有a＞0且a≠1，因此u=2-ax在［0，1］上是減函數(shù)，y= logu應(yīng)為增函數(shù)，得a＞1，排除A，C，再令
故排除D，選B．
說明：本題為1995年全國高考試題，綜合了多個知識點，無論是用直接法，還是用排除法都需要概念清楚，推理正確．
3．函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合運(yùn)用
例6．甲、乙兩地相距Skm，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c km／h，已知汽車每小時的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(km／h)的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元．
(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(km／h)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；
(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛．
分析：(1)難度不大，抓住關(guān)系式：全程運(yùn)輸成本=單位時間運(yùn)輸成本×全程運(yùn)輸時間，而全程運(yùn)輸時間=(全程距離)÷(平均速度)就可以解決．
故所求函數(shù)及其定義域為
但由于題設(shè)條件限制汽車行駛速度不超過ckm／h，所以(2)的解決需要
論函數(shù)的增減性來解決．
由于vv＞0，v-v＞0，并且
又S＞0，所以即
則當(dāng)v=c時，y取最小值．
說明：此題是1997年全國高考試題．由于限制汽車行駛速度不得超過c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使難度有所增大．
（二）函數(shù)的圖象
1．掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法——描點法和圖象變換法．
2．會利用函數(shù)圖象，進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問題．
3．用數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學(xué)問題．
4．掌握知識之間的聯(lián)系，進(jìn)一步培養(yǎng)觀察、分析、歸納、概括和綜合分析能力．
以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點法和圖象變換法，掌握這兩種方法是本節(jié)的重點．
運(yùn)用描點法作圖象應(yīng)避免描點前的盲目性，也應(yīng)避免盲目地連點成線．要把表列在關(guān)鍵處，要把線連在恰當(dāng)處．這就要求對所要畫圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢等作一個大概的研究．而這個研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是一個難點．用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進(jìn)行變換，以及確定怎樣的變換．這也是個難點．
1．作函數(shù)圖象的一個基本方法
例7．作出下列函數(shù)的圖象(1)y=|x-2|(x＋1)；(2)y=10|lgx|．
分析：顯然直接用已知函數(shù)的解析式列表描點有些困難，除去對其函數(shù)性質(zhì)分析外，我們還應(yīng)想到對已知解析式進(jìn)行等價變形．
解：(1)當(dāng)x≥2時，即x-2≥0時，
當(dāng)x＜2時，即x-2＜0時，
這是分段函數(shù)，每段函數(shù)圖象可根據(jù)二次函數(shù)圖象作出(見圖6)
(2)當(dāng)x≥1時，lgx≥0，y=10|lgx|=10lgx=x；
當(dāng)0＜x＜1時，lgx＜0，
所以
這是分段函數(shù)，每段函數(shù)可根據(jù)正比例函數(shù)或反比例函數(shù)作出．(見圖7)
說明：作不熟悉的函數(shù)圖象，可以變形成基本函數(shù)再作圖，但要注意變形過程是否等價，要特別注意x，y的變化范圍．因此必須熟記基本函數(shù)的圖象．例如：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，及三角函數(shù)、反三角函數(shù)的圖象．
在變換函數(shù)解析式中運(yùn)用了轉(zhuǎn)化變換和分類討論的思想．
2．作函數(shù)圖象的另一個基本方法——圖象變換法．
一個函數(shù)圖象經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q(如平移、伸縮、對稱、旋轉(zhuǎn)等)，得到另一個與之相關(guān)的圖象，這就是函數(shù)的圖象變換．
在高中，主要學(xué)習(xí)了三種圖象變換：平移變換、伸縮變換、對稱變換．
(1)平移變換
函數(shù)y=f(x+a)(a≠0)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|個單位而得到；
函數(shù)y=f(x)+b(b≠0)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|個單位而得到．
(2)伸縮變換
函數(shù)y=Af(x)(A＞0，A≠1)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象上各點的縱坐標(biāo)伸長(A＞1)或縮短(0＜A＜1)成原來的A倍，橫坐標(biāo)不變而得到．
函數(shù)y=f(ωx)(ω＞0，ω≠1)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象上
而得到．
(3)對稱變換
函數(shù)y=-f(x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱的圖形而得到．
函數(shù)y=f(-x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱的圖形而得到．
函數(shù)y=-f(-x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱的圖形而得到．
函數(shù)y=f-1(x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱的圖形而得到。
函數(shù)y=f(|x|)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)在y軸右方的圖象及其與y軸對稱的圖形而得到．
函數(shù)y=|f(x)|的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象，然后把在x軸下方的圖象以x軸為對稱軸翻折到x軸上方，其余部分保持不變而得到．
例8．已知f(x+199)=4x＋4x+3(x∈R)，那么函數(shù)f(x)的最小值為____．
分析：由f(x＋199)的解析式求f(x)的解析式運(yùn)算量較大，但這里我們注意到，y=f(x ＋100)與y=f(x)，其圖象僅是左右平移關(guān)系，它們?nèi)〉?br/>求得f(x)的最小值即f(x＋199)的最小值是2．
說明：函數(shù)圖象與函數(shù)性質(zhì)本身在學(xué)習(xí)中也是密切聯(lián)系的，是“互相利用”關(guān)系，函數(shù)圖象在判斷函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性及求最值等方面都有重要用途．
五、函數(shù)綜合應(yīng)用
函數(shù)的綜合復(fù)習(xí)是在系統(tǒng)復(fù)習(xí)函數(shù)有關(guān)知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行函數(shù)的綜合應(yīng)用:
1．在應(yīng)用中深化基礎(chǔ)知識．在復(fù)習(xí)中基礎(chǔ)知識經(jīng)歷一個由分散到系統(tǒng)，由單一到綜合的發(fā)展過程．這個過程不是一次完成的，而是螺旋式上升的．因此要在應(yīng)用深化基礎(chǔ)知識的同時，使基礎(chǔ)知識向深度和廣度發(fā)展．
2．以數(shù)學(xué)知識為載體突出數(shù)學(xué)思想方法．?dāng)?shù)學(xué)思想方法是觀念性的東西，是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂，同時它又離不開具體的數(shù)學(xué)知識．函數(shù)內(nèi)容最重要的數(shù)學(xué)思想是函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合的思想．此外還應(yīng)注意在解題中運(yùn)用的分類討論、換元等思想方法．解較綜合的數(shù)學(xué)問題要進(jìn)行一系列等價轉(zhuǎn)化或非等價轉(zhuǎn)化．因此本課題也十分重視轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．
3．重視綜合運(yùn)用知識分析問題解決問題的能力和推理論證能力的培養(yǎng)．函數(shù)是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的開始，還不可能在大范圍內(nèi)綜合運(yùn)用知識．但從復(fù)習(xí)開始就讓學(xué)生樹立綜合運(yùn)用知識解決問題的意識是十分重要的．推理論證能力是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，近幾年高考命題中加強(qiáng)對這方面的考查，尤其是對代數(shù)推理論證能力的考查是十分必要的．本課題在例題安排上作了這方面的考慮．
具體要求是：
1．在全面復(fù)習(xí)函數(shù)有關(guān)知識的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深刻理解函數(shù)的有關(guān)概念，全面把握各類函數(shù)的特征，提高運(yùn)用基礎(chǔ)知識解決問題的能力．
2．掌握初等數(shù)學(xué)研究函數(shù)的方法，提高研究函數(shù)的能力，重視數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用和推理論證能力的培養(yǎng)．
3．初步溝通函數(shù)與方程、不等式及解析幾何有關(guān)知識的橫向聯(lián)系，提高綜合運(yùn)用知識解決問題的能力．
4．樹立函數(shù)思想，使學(xué)生善于用運(yùn)動變化的觀點分析問題．
本部分內(nèi)容的重點是：通過對問題的講解與分析，使學(xué)生能較好的調(diào)動函數(shù)的基礎(chǔ)知識解決問題，并在解決問題中深化對基礎(chǔ)知識的理解，深化對函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想的理解與運(yùn)用．
難點是：函數(shù)思想的理解與運(yùn)用，推理論證能力、綜合運(yùn)用知識解決問題能力的培養(yǎng)與提高．
函數(shù)的綜合運(yùn)用主要是指運(yùn)用函數(shù)的知識、思想和方法綜合解決問題．函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系，是對問題本身的數(shù)量本質(zhì)特征和制約關(guān)系的一種刻畫，用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學(xué)對象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系．因此，運(yùn)動變化、相互聯(lián)系、相互制約是函數(shù)思想的精髓，掌握有關(guān)函數(shù)知識是運(yùn)用函數(shù)思想的前提，提高用初等數(shù)學(xué)思想方法研究函數(shù)的能力，樹立運(yùn)用函數(shù)思想解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題的意識是運(yùn)用函數(shù)思想的關(guān)鍵．
1．準(zhǔn)確理解、熟練運(yùn)用，不斷深化有關(guān)函數(shù)的基礎(chǔ)知識
在中學(xué)階段函數(shù)只限于定義在實數(shù)集合上的一元單值函數(shù)，其內(nèi)容可分為兩部分．第一部分是函數(shù)的概念和性質(zhì)，這部分的重點是能從變量的觀點和集合映射的觀點理解函數(shù)及其有關(guān)概念，掌握描述函數(shù)性質(zhì)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等概念；第二部分是七類常見函數(shù)(一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù))的圖象和性質(zhì)．第一部分是理論基礎(chǔ)，第二部分是第一部分的運(yùn)用與發(fā)展．
例9．已知函數(shù)f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的個數(shù)是．（　　　 ）
A．0 B．1 C．0或1 D．1或2
分析：這里首先要識別集合語言，并能正確把集合語言轉(zhuǎn)化成熟悉的語言．從函數(shù)觀點看，問題是求函數(shù)y=f(x)，x∈F的圖象與直線x=1的交點個數(shù)(這是一次數(shù)到形的轉(zhuǎn)化)，不少學(xué)生常誤認(rèn)為交點是1個，并說這是根據(jù)函數(shù)定義中“惟一確定”的規(guī)定得到的，這是不正確的，因為函數(shù)是由定義域、值域、對應(yīng)法則三要素組成的．這里給出了函數(shù)y=f(x)的定義域是F，但未明確給出1與F的關(guān)系，當(dāng)1∈F時有1個交點，當(dāng)1 F時沒有交點，所以選C．
2．掌握研究函數(shù)的方法，提高研究函數(shù)問題的能力
高中數(shù)學(xué)對函數(shù)的研究理論性加強(qiáng)了，對一些典型問題的研究十分重視，如求函數(shù)的定義域，確定函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的奇偶性，判斷或證明函數(shù)在指定區(qū)間的單調(diào)性等，并形成了研究這些問題的初等方法，這些方法對分析問題能力，推理論證能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識能力的培養(yǎng)和發(fā)展是十分重要的．
函數(shù)、方程、不等式是相互聯(lián)系的．對于函數(shù)f(x)與g(x)，令f(x)=g(x)，f(x)＞g(x)或f(x)＜g(x)則分別構(gòu)成方程和不等式，因此對于某些方程、不等式的問題用函數(shù)觀點認(rèn)識是十分有益的；方程、不等式從另一個側(cè)面為研究函數(shù)提供了工具．
例10．方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為（　　　 ）
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，+∞)
分析：在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖2)．它們的交點橫坐標(biāo)，顯然在區(qū)間(1，3)內(nèi)，由此可排除A，D．至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了．實際上這是要比較與2的大小．當(dāng)x=2時，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此＞2，從而判定∈(2，3)，故本題應(yīng)選C．
說明：本題是通過構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間．?dāng)?shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫．不僅要通過圖象直觀估計，而且還要計算的鄰近兩個函數(shù)值，通過比較其大小進(jìn)行判斷．
例11．(1)一次函數(shù)f(x)=kx+h(k≠0)，若m＜n有f(m)＞0，f(n)＞0，則對于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0，試證明之；
(2)試用上面結(jié)論證明下面的命題：
若a，b，c∈R且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，則ab+bc+ca＞-1．
分析：問題(1)實質(zhì)上是要證明，一次函數(shù)f(x)=kx+h(k≠0)， x∈(m， n)．若區(qū)間兩個端點的函數(shù)值均為正，則對于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0．之所以具有上述性質(zhì)是由于一次函數(shù)是單調(diào)的．因此本問題的證明要從函數(shù)單調(diào)性入手．
(1)證明：
當(dāng)k＞0時，函數(shù)f(x)=kx+h在x∈R上是增函數(shù)，m＜x＜n，f(x)＞f(m)＞0；
當(dāng)k＜0時，函數(shù)f(x)=kx+h在x∈R上是減函數(shù)，m＜x＜n，f(x)＞f(n)＞0．
所以對于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0成立．
(2)將ab+bc+ca+1寫成(b+c)a+bc+1，構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1．則
f(a)=(b+c)a+bc+1．
當(dāng)b+c=0時，即b=-c， f(a)=bc+1=-c2+1．
因為|c|＜1，所以f(a)=-c2+1＞0．
當(dāng)b+c≠0時，f(x)=(b+c)x+bc+1為x的一次函數(shù)．
因為|b|＜1，|c|＜1，
f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0， f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)＞0．
由問題(1)對于|a|＜1的一切值f(a)＞0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0．
說明：問題(2)的關(guān)鍵在于“轉(zhuǎn)化”“構(gòu)造”．把證明ab+bc+ca＞-1轉(zhuǎn)化為證明ab+bc+ca+1＞0， 由于式子ab+bc+ca+1中， a，b，c是對稱的，構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1，則f(a)=(b+c)a+bc+1，問題轉(zhuǎn)化為在|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1的條件下證明f(a)＞0．(也可構(gòu)造 f(x)=(a+c)x+ac+1，證明f(b)＞0)。
例12．定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log3且對任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求證f(x)為奇函數(shù)；
(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0對任意x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．
分析：欲證f(x)為奇函數(shù)即要證對任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的問題，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函數(shù)得到證明．
(1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，　　　　　　　　　　　　 ①
令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．
令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，則有
0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)對任意x∈R成立，所以f(x)是奇函數(shù)．
(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，所以f(x)在R上是增函數(shù)，又由(1)f(x)是奇函數(shù)．
f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k·3＜-3+9+2，
3-(1+k)·3+2＞0對任意x∈R成立．
令t=3＞0，問題等價于t-(1+k)t+2＞0對任意t＞0恒成立．
R恒成立．
說明：問題(2)的上述解法是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)．f(x)是奇函數(shù)且在x∈R上是增函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)f(t)=t-(1+k)t+2對于任意t＞0恒成立．對二次函數(shù)f(t)進(jìn)行研究求解．本題還有更簡捷的解法：
分離系數(shù)由k·3＜-3+9+2得
上述解法是將k分離出來，然后用平均值定理求解，簡捷、新穎．
六、強(qiáng)化訓(xùn)練
1．對函數(shù)作代換x=g(t)，則總不改變f(x)值域的代換是 ( ) A． B．
C．g(t)=(t－1)2 D．g(t)=cost
2．方程f(x,y)=0的曲線如圖所示，那么方程f(2－x,y)=0的曲線是 ( )

3．已知命題p：函數(shù)的值域為R，命題q：函數(shù)
是減函數(shù)。若p或q為真命題，p且q為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是
A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)<2 C．14.方程lgx＋x＝3的解所在的區(qū)間為 （ ）
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞)
5.如果函數(shù)f(x)＝x＋bx＋c對于任意實數(shù)t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么（ ）
A. f(2)C. f(2)6.已知函數(shù)y＝f(x)有反函數(shù)，則方程f(x)＝a (a是常數(shù)) （ ）
A.有且僅有一個實根 B.至多一個實根 C.至少一個實根 D.不同于以上結(jié)論
7.已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(，π)，則tanθ的值是 （ ）
A. － B. － C. D.
8.已知等差數(shù)列的前n項和為S，且S＝S (p≠q，p、q∈N)，則S＝_________。
9.關(guān)于x的方程sinx＋cosx＋a＝0有實根，則實數(shù)a的取值范圍是__________。
10.正六棱錐的體積為48,側(cè)面與底面所成的角為45°，則此棱錐的側(cè)面積為___________。
11. 建造一個容積為8m，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，則水池的最低造價為___________。
12．已知函數(shù)滿足：，，則
。
13．已知為正整數(shù)，方程的兩實根為，且，則的最小值為________________________。
14．設(shè)函數(shù)f(x)=lg(ax+2x+1)．
(1)若f(x)的定義域是R，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若f(x)的值域是R，求實數(shù)a的取值范圍．
15．設(shè)不等式2x－1>m(x－1)對滿足|m|≤2的一切實數(shù)m的取值都成立。求x的取值范圍。
16. 設(shè)等差數(shù)列{a}的前n項的和為S，已知a＝12，S>0，S<0 。
①.求公差d的取值范圍；
②.指出S、S、…、S中哪一個值最大，并說明理由。(1992年全國高考)
P MA H B D C
17. 如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，C是圓周上任一點，設(shè)∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求異面直線PB和AC的距離。
18. 已知△ABC三內(nèi)角A、B、C的大小成等差數(shù)列，且tanA·tanC＝2＋，又知頂點C的對邊c上的高等于4,求△ABC的三邊a、b、c及三內(nèi)角。
19. 設(shè)f(x)＝lg，如果當(dāng)x∈(-∞,1]時f(x)有意義，求 實數(shù)a的取值范圍。
20．已知偶函數(shù)f(x)=cos(sinx－sin(x－()+(tan(－2)sinx－sin(的最小值是0，求f(x)的最大值 及此時x的集合．
21．已知，奇函數(shù)在上單調(diào)．
（Ⅰ）求字母應(yīng)滿足的條件；
（Ⅱ）設(shè)，且滿足，求證：．
七、參考答案
1．不改變f(x)值域，即不能縮小原函數(shù)定義域。選項B，C，D均縮小了的定義域，故選A。
2．先作出f(x,y)=0關(guān)于軸對稱的函數(shù)的圖象，即為函數(shù)f(-x,y)=0的圖象，又
f(2－x,y)=0即為，即由f(-x,y)=0向右平移2個單位。故選C。
3．命題p為真時，即真數(shù)部分能夠取到大于零的所有實數(shù)，故二次函數(shù)的判別式，從而；命題q為真時，。
若p或q為真命題，p且q為假命題，故p和q中只有一個是真命題，一個是假命題。
若p為真，q為假時，無解；若p為假，q為真時，結(jié)果為14．圖像法解方程，也可代入各區(qū)間的一個數(shù)（特值法或代入法），選C；
5．函數(shù)f(x)的對稱軸為2，結(jié)合其單調(diào)性，選A；
6．從反面考慮，注意應(yīng)用特例，選B；
7．設(shè)tan＝x (x>0），則＋＝，解出x＝2，再用萬能公式，選A；
8．利用是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)S＝S＝m，＝x，則（,p）、(,q)、
(x，p+q)在同一直線上，由兩點斜率相等解得x＝0，則答案：0；
9．設(shè)cosx＝t，t∈[-1,1]，則a＝t－t－1∈[－,1]，所以答案：[－,1]；
10．設(shè)高h(yuǎn)，由體積解出h＝2，答案：24；
11．設(shè)長x，則寬，造價y＝4×120＋4x×80＋×80≥1760，答案：1760。
12．運(yùn)用條件知：=2，且
==16
13．依題意可知，從而可知，所以有
，又為正整數(shù)，取，則
，所以，從而，所以，又，所以，因此有最小值為。
下面可證時，，從而，所以, 又,所以,所以,綜上可得:的最小值為11。
14．分析:這是有關(guān)函數(shù)定義域、值域的問題，題目是逆向給出的，解好本題要運(yùn)用復(fù)合函數(shù)，把f(x)分解為u=ax+2x+1和y=lgu 并結(jié)合其圖象性質(zhì)求解．
切實數(shù)x恒成立． a=0或a＜0不合題意，
解得a＞1．
當(dāng)a＜0時不合題意； a=0時，u=2x+1，u能取遍一切正實數(shù)；
a＞0時，其判別式Δ=22-4×a×1≥0，解得0＜a≤1．
所以當(dāng)0≤a≤1時f(x)的值域是R．
15．分析：此問題由于常見的思維定勢，易把它看成關(guān)于x的不等式討論。然而，若變換一個角度以m為變量，即關(guān)于m的一次不等式(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2]上恒成立的問題。對此的研究，設(shè)f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）f(m)的值在[-2,2]內(nèi)恒為負(fù)值時參數(shù)x應(yīng)該滿足的條件。
解：問題可變成關(guān)于m的一次不等式：(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2] 恒成立，設(shè)f(m)＝(x－1)m－(2x－1), 則
解得x∈（,）
說明 本題的關(guān)鍵是變換角度，以參數(shù)m作為自變量而構(gòu)造函數(shù)式，不等式問題變成函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題。本題有別于關(guān)于x的不等式2x－1>m(x－1)的解集是[-2,2]時求m的值、關(guān)于x的不等式2x－1>m(x－1)在[-2,2]上恒成立時求m的范圍。
一般地，在一個含有多個變量的數(shù)學(xué)問題中，確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更明朗化。或者含有參數(shù)的函數(shù)中，將函數(shù)自變量作為參數(shù)，而參數(shù)作為函數(shù)，更具有靈活性，從而巧妙地解決有關(guān)問題。
16．分析： ①問利用公式a與S建立不等式，容易求解d的范圍；②問利用S是n的二次函數(shù)，將S中哪一個值最大，變成求二次函數(shù)中n為何值時S取最大值的函數(shù)最值問題。
解：① 由a＝a＋2d＝12,得到a＝12－2d，所以
S＝12a＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d>0，
S＝13a＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d<0。
解得：－② S＝na＋n(n1－1)d＝n(12－2d)＋n(n－1)d
＝[n－(5－)]－[(5－)]
因為d<0，故[n－(5－)]最小時，S最大。由－說明： 數(shù)列的通項公式及前n項和公式實質(zhì)上是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，因此可利用函數(shù)思想來分析或用函數(shù)方法來解決數(shù)列問題。也可以利用方程的思想，設(shè)出未知的量，建立等式關(guān)系即方程，將問題進(jìn)行算式化，從而簡潔明快。由次可見，利用函數(shù)與方程的思想來解決問題，要求靈活地運(yùn)用、巧妙的結(jié)合，發(fā)展了學(xué)生思維品質(zhì)的深刻性、獨創(chuàng)性。
本題的另一種思路是尋求a>0、a<0 ，即：由d<0知道a>a>…>a，由S＝13a<0得a<0，由S＝6(a＋a)>0得a>0。所以，在S、S、…、S中，S的值最大。
17．分析：異面直線PB和AC的距離可看成求直線PB上任意一點到AC的距離的最小值，從而設(shè)定變量，建立目標(biāo)函數(shù)而求函數(shù)最小值。
P MA H B D C
解：在PB上任取一點M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，
設(shè)MH＝x，則MH⊥平面ABC，AC⊥HD 。
∴MD＝x＋[(2r－x)sinθ]＝(sin＋1)x－4rsinθx＋4rsinθ＝(sinθ＋1)[x－]＋
即當(dāng)x＝時，MD取最小值為兩異面直線的距離。
說明：本題巧在將立體幾何中“異面直線的距離”變成“求異面直線上兩點之間距離的最小值”，并設(shè)立合適的變量將問題變成代數(shù)中的“函數(shù)問題”。一般地，對于求最大值、最小值的實際問題，先將文字說明轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言后，再建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)性質(zhì)、重要不等式和有關(guān)知識進(jìn)行解答。比如再現(xiàn)性題組第8題就是典型的例子。
18．分析：已知了一個積式，考慮能否由其它已知得到一個和式，再用方程思想求解。
解： 由A、B、C成等差數(shù)列，可得B＝60°；
由△ABC中tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC，得
tanA＋tanC＝tanB(tanA·tanC－1)＝ (1＋)
設(shè)tanA、tanC是方程x－(＋3)x＋2＋＝0的兩根，解得x＝1，x＝2＋
設(shè)A由此容易得到a＝8，b＝4，c＝4＋4。
說明：本題的解答關(guān)鍵是利用“△ABC中tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC”這一條性質(zhì)得到tanA＋tanC，從而設(shè)立方程求出tanA和tanC的值，使問題得到解決。
19．分析：當(dāng)x∈(-∞,1]時f(x)＝lg有意義的函數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為1＋2＋4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式問題。
解：由題設(shè)可知，不等式1＋2＋4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立，
即：()＋()＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。
設(shè)t＝(), 則t≥， 又設(shè)g(t)＝t＋t＋a，其對稱軸為t＝－
∴ t＋t＋a＝0在[,+∞)上無實根， 即 g()＝()＋＋a>0，得a>－
所以a的取值范圍是a>－。
說明：對于不等式恒成立，引入新的參數(shù)化簡了不等式后，構(gòu)造二次函數(shù)利用函數(shù)的圖像和單調(diào)性進(jìn)行解決問題，其中也聯(lián)系到了方程無解，體現(xiàn)了方程思想和函數(shù)思想。一般地，我們在解題中要抓住二次函數(shù)及圖像、二次不等式、二次方程三者之間的緊密聯(lián)系，將問題進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化。
在解決不等式()＋()＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的問題時，也可使用“分離參數(shù)法”： 設(shè)t＝(), t≥，則有a＝－t－t∈(－∞,－]，所以a的取值范圍是a>－。其中最后得到a的范圍，是利用了二次函數(shù)在某區(qū)間上值域的研究，也可屬應(yīng)用“函數(shù)思想”。
20．解：f(x)=cos(sinx－(sinxcos(－cosxsin()+(tan(－2)sinx－sin(
=sin(cosx+(tan(－2)sinx－sin(
因為f(x)是偶函數(shù)，
所以對任意x(R，都有f(－x)=f(x)，
即sin(cos(－x)+(tan(－2)sin(－x)－sin(=sin(cosx+(tan(－2)sinx－sin(,
即(tan(－2)sinx=0，
所以tan(=2
由
解得或
此時，f(x)=sin((cosx－1).
當(dāng)sin(=時，f(x)=(cosx－1)最大值為0，不合題意最小值為0，舍去；
當(dāng)sin(=時，f(x)=(cosx－1)最小值為0，
當(dāng)cosx=－1時，f(x)有最大值為,
自變量x的集合為{x|x=2k(+(,k(Z}．
21．解：（1）；．，若上是增函數(shù)，則恒成立，即若上是減函數(shù)，則恒成立，這樣的不存在．綜上可得：．
（2）（證法一）設(shè)，由得，于是有，（1）－（2）得：，化簡可得，，，故，即有．
（證法二）假設(shè)，不妨設(shè)，由（1）可知在
上單調(diào)遞增，故，
這與已知矛盾，故原假設(shè)不成立，即有．
第10講 不等式
不等式這部分知識，滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個分支中，有著十分廣泛的應(yīng)用．因此不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性，對數(shù)學(xué)各部分知識融會貫通，起到了很好的促進(jìn)作用．在解決問題時，要依據(jù)題設(shè)與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系、選擇適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式的求解或證明．不等式的應(yīng)用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個中學(xué)數(shù)學(xué)之中．諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問題，最終都可歸結(jié)為不等式的求解或證明。
一、知識整合
1．解不等式的核心問題是不等式的同解變形，不等式的性質(zhì)則是不等式變形的理論依據(jù)，方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解法密切相關(guān)，要善于把它們有機(jī)地聯(lián)系起來，互相轉(zhuǎn)化．在解不等式中，換元法和圖解法是常用的技巧之一．通過換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合，則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖形關(guān)系，對含有參數(shù)的不等式，運(yùn)用圖解法可以使得分類標(biāo)準(zhǔn)明晰．
2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基礎(chǔ)，利用不等式的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性，將分式不等式、絕對值不等式等化歸為整式不等式(組)是解不等式的基本思想，分類、換元、數(shù)形結(jié)合是解不等式的常用方法．方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解密切相關(guān)，要善于把它們有機(jī)地聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化和相互變用．
3．在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一，通過換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關(guān)系，對含有參數(shù)的不等式，運(yùn)用圖解法，可以使分類標(biāo)準(zhǔn)更加明晰．
4．證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點．比較法的一般步驟是：作差(商)→變形→判斷符號(值)．
5．證明不等式的方法多樣，內(nèi)容豐富、技巧性較強(qiáng)．在證明不等式前，要依據(jù)題設(shè)和待證不等式的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法．通過等式或不等式的運(yùn)算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手，經(jīng)過一系列的運(yùn)算而導(dǎo)出待證的不等式，前者是“執(zhí)果索因”，后者是“由因?qū)Ч保瑸闇贤?lián)系的途徑，證明時往往聯(lián)合使用分析綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達(dá)到欲證的目的．
6．不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的綜合性．這類問題大致可以分為兩類：一類是建立不等式、解不等式；另一類是建立函數(shù)式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函數(shù)的最值時，要特別注意“正數(shù)、定值和相等”三個條件缺一不可，有時需要適當(dāng)拼湊，使之符合這三個條件．利用不等式解應(yīng)用題的基本步驟：1.審題，2.建立不等式模型，3.解數(shù)學(xué)問題，4.作答。
7．通過不等式的基本知識、基本方法在代數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等各部分知識中的應(yīng)用，深化數(shù)學(xué)知識間的融匯貫通，從而提高分析問題解決問題的能力．在應(yīng)用不等式的基本知識、方法、思想解決問題的過程中，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)及創(chuàng)新意識．
二、方法技巧
1.解不等式的基本思想是轉(zhuǎn)化、化歸，一般都轉(zhuǎn)化為最簡單的一元一次不等式（組）或一元二次不等式（組）來求解，。
2.解含參數(shù)不等式時，要特別注意數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，分類討論思想的錄活運(yùn)用。
3．不等式證明方法有多種，既要注意到各種證法的適用范圍，又要注意在掌握常規(guī)證法的基礎(chǔ)上，選用一些特殊技巧。如運(yùn)用放縮法證明不等式時要注意調(diào)整放縮的度。
4．根據(jù)題目結(jié)構(gòu)特點，執(zhí)果索因，往往是有效的思維方法。
三、例題分析
b)∈M，且對M中的其它元素(c，d)，總有c≥a，則a=____．
分析：讀懂并能揭示問題中的數(shù)學(xué)實質(zhì)，將是解決該問題的突破口．怎樣理解“對M中的其它元素(c，d)，總有c≥a”？M中的元素又有什么特點？
解：依題可知，本題等價于求函數(shù)x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)
(2)當(dāng)1≤y≤3時，
所以當(dāng)y=1時，= 4．
簡評：題設(shè)條件中出現(xiàn)集合的形式，因此要認(rèn)清集合元素的本質(zhì)屬性，然后結(jié)合條件，揭示
其數(shù)學(xué)實質(zhì)．即求集合M中的元素滿足關(guān)系式
例2．已知非負(fù)實數(shù)，滿足且，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
解：畫出圖象，由線性規(guī)劃知識可得，選D
例3．?dāng)?shù)列由下列條件確定：
（1）證明：對于,
（2）證明：對于．
證明：（1）
（2）當(dāng)時，
=。
例4．解關(guān)于的不等式：
分析：本例主要復(fù)習(xí)含絕對值不等式的解法，分類討論的思想。本題的關(guān)鍵不是對參數(shù)進(jìn)行討論，而是去絕對值時必須對末知數(shù)進(jìn)行討論，得到兩個不等式組，最后對兩個不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。
解：當(dāng)
。
例5．若二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過原點，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范圍．
分析：要求f(-2)的取值范圍，只需找到含人f(-2)的不等式(組)．由于y=f(x)是二次函數(shù)，所以應(yīng)先將f(x)的表達(dá)形式寫出來．即可求得f(-2)的表達(dá)式，然后依題設(shè)條件列出含有f(-2)的不等式(組)，即可求解．
解：因為y=f(x)的圖象經(jīng)過原點，所以可設(shè)y=f(x)=ax2+bx．于是
解法一(利用基本不等式的性質(zhì))
不等式組(Ⅰ)變形得
(Ⅰ)
所以f(-2)的取值范圍是[6，10]．
解法二(數(shù)形結(jié)合)
建立直角坐標(biāo)系aob，作出不等式組(Ⅰ)所表示的區(qū)域，如圖6中的陰影部分．因為f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率為2的直線系．如圖6，當(dāng)直線4a-2b-f(-2)=0過點A(2，1)，B(3，1)時，分別取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范圍是：6≤f(-2)≤10．
解法三(利用方程的思想)
又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而
1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，　　　　　　　　　　　　　　　　 ①
所以　　　 3≤3f(-1)≤6．　　　　　　　　　　　　　　　　 ②
①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．
簡評：(1)在解不等式時，要求作同解變形．要避免出現(xiàn)以下一種錯解：
2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．
(2)對這類問題的求解關(guān)鍵一步是，找到f(-2)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，然后依其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征，揭示其代數(shù)的、幾何的本質(zhì)，利用不等式的基本性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、方程等數(shù)學(xué)思想方法，從不同角度去解決同一問題．若長期這樣思考問題，數(shù)學(xué)的素養(yǎng)一定會迅速提高．
例6．設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象與兩直線y=x，y=x，均不相交.試證明對一切都有.
分析：因為x∈R，故|f(x)|的最小值若存在，則最小值由頂點確定，故設(shè)f(x)=a(x-x0)2+f(x0)．
證明：由題意知，a≠0．設(shè)f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，則
又二次方程ax2+bx+c=±x無實根，故
Δ1=(b+1)2-4ac＜0，Δ2=(b-1)2-4ac＜0．
所以(b+1)2+(b-1)2-8ac＜0，即2b2+2-8ac＜0，即b2-4ac＜-1，所以|b2-4ac|＞1．
簡評：從上述幾個例子可以看出，在證明與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題時，如果針對題設(shè)條件，合理采取二次函數(shù)的不同形式，那么我們就找到了一種有效的證明途徑．
例7．某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同。為了保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？
解：設(shè)2001年末的汽車保有量為，以后每年末的汽車保有量依次為，每年新增汽車萬輛。由題意得
第11講 數(shù)列問題的題型與方法
數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。高考對本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會遺漏。有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和不等式的知識綜合起來，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起。探索性問題是高考的熱點，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。本章中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法。
近幾年來，高考關(guān)于數(shù)列方面的命題主要有以下三個方面；（1）數(shù)列本身的有關(guān)知識，其中有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式及求和公式。（2）數(shù)列與其它知識的結(jié)合，其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合。（3）數(shù)列的應(yīng)用問題，其中主要是以增長率問題為主。試題的難度有三個層次，小題大都以基礎(chǔ)題為主，解答題大都以基礎(chǔ)題和中檔題為主，只有個別地方用數(shù)列與幾何的綜合與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題難度較大。
一、知識整合
1．在掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實踐中的指導(dǎo)作用，靈活地運(yùn)用數(shù)列知識和方法解決數(shù)學(xué)和實際生活中的有關(guān)問題；
2．在解決綜合題和探索性問題實踐中加深對基礎(chǔ)知識、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識，溝通各類知識的聯(lián)系，形成更完整的知識網(wǎng)絡(luò)，提高分析問題和解決問題的能力，
進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題與解決問題的能力．
3．培養(yǎng)學(xué)生善于分析題意，富于聯(lián)想，以適應(yīng)新的背景，新的設(shè)問方式，提高學(xué)生用函數(shù)的思想、方程的思想研究數(shù)列問題的自覺性、培養(yǎng)學(xué)生主動探索的精神和科學(xué)理性的思維方法．
二、方法技巧
1．判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：
(1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù),驗證為同一常數(shù)。
(2)通項公式法：
①若? =?+（n-1）d=?+（n-k）d ，則為等差數(shù)列；
②若? ，則為等比數(shù)列。
(3)中項公式法：驗證中項公式成立。
2. 在等差數(shù)列中,有關(guān)的最值問題——常用鄰項變號法求解：??
(1)當(dāng)>0,d<0時，滿足的項數(shù)m使得取最大值.
(2)當(dāng)<0,d>0時，滿足的項數(shù)m使得取最小值。
在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。
3.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。
三、注意事項
1．證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列常用定義，即通過證明 或而得。
2．在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時，“基本量法”是常用的方法，但有時靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡便，而一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。
3．注意與之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化。如：
= ， =．
4．?dāng)?shù)列極限的綜合題形式多樣，解題思路靈活，但萬變不離其宗，就是離不開數(shù)列極限的概念和性質(zhì)，離不開數(shù)學(xué)思想方法，只要能把握這兩方面，就會迅速打通解題思路．
5．解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質(zhì)，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略．
四、例題解析
例1．已知數(shù)列{a}是公差d≠0的等差數(shù)列，其前n項和為S．
(2)過點Q(1，a)，Q(2，a)作直線12，設(shè)l與l的夾角為θ，
證明：(1)因為等差數(shù)列{a}的公差d≠0，所以
Kpp是常數(shù)(k=2，3，…，n)．
(2)直線l的方程為y-a=d(x-1)，直線l的斜率為d．
例2．已知數(shù)列中，是其前項和，并且，
⑴設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
⑵設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
⑶求數(shù)列的通項公式及前項和。
分析：由于{b}和{c}中的項都和{a}中的項有關(guān)，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入點探索解題的途徑．
解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．(根據(jù)b的構(gòu)造，如何把該式表示成b與b的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強(qiáng)恒等變形能力的訓(xùn)練)
a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b　　　 ①
已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　　 ②
由①和②得，數(shù)列{b}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，故b=3·2．
當(dāng)n≥2時，S=4a+2=2(3n-4)+2；當(dāng)n=1時，S=a=1也適合上式．
綜上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2．
說明：1．本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項與前項和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件得出遞推公式。
2．解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應(yīng)用．
例3．（04年浙江）設(shè)數(shù)列{an}的前項的和Sn=（an-1） (n+),（1）求a1;a2; (2)求證數(shù)列{an}為等比數(shù)列。
解: (Ⅰ)由,得 ∴ 又,即,得.
(Ⅱ)當(dāng)n>1時,
得所以是首項,公比為的等比數(shù)列.
例4、（04年重慶）設(shè)a1=1,a2=,an+2=an+1-an (n=1,2,---),令bn=an+1-an (n=1,2---)求數(shù)列{bn}的通項公式，(2)求數(shù)列{nan}的前n項的和Sn。
解：（I）因
故{bn}是公比為的等比數(shù)列，且
（II）由

注意到可得
記數(shù)列的前n項和為Tn，則
例5．在直角坐標(biāo)平面上有一點列，對一切正整數(shù)，點位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項，為公差的等差數(shù)列。
⑴求點的坐標(biāo)；
⑵設(shè)拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點為，且過點，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：。
⑶設(shè)，等差數(shù)列的任一項，其中是中的最大數(shù)，，求的通項公式。
解：（1）
（2）的對稱軸垂直于軸，且頂點為.設(shè)的方程為：
把代入上式，得，的方程為：。
，
=
（3），
T中最大數(shù).
設(shè)公差為，則，由此得
說明：本例為數(shù)列與解析幾何的綜合題，難度較大（1）、（2）兩問運(yùn)用幾何知識算出，解決（3）的關(guān)鍵在于算出及求數(shù)列的公差。
例6．?dāng)?shù)列中，且滿足
⑴求數(shù)列的通項公式；
⑵設(shè)，求；
⑶設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。
解：（1）由題意，，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，
由題意得，.
（2）若，
時，
故
（3）
若對任意成立，即對任意成立，
的最小值是，的最大整數(shù)值是7。
即存在最大整數(shù)使對任意，均有
說明：本例復(fù)習(xí)數(shù)列通項，數(shù)列求和以及有關(guān)數(shù)列與不等式的綜合問題。.
五、強(qiáng)化訓(xùn)練
（一）用基本量方法解題
1、（04年浙江）已知等差數(shù)列的公差為2，若a1,a3,a4成等比數(shù)列，則a2= （B ）
A －4 B －6 C －8 D －10
（二）用賦值法解題
2、（96年）等差數(shù)列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為（C ）
A 130 B 170 C 210 D 260
3、（01年）設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列， Sn是{an}的前n項和,若{Sn}是等差數(shù)列，則q=__1_
4、設(shè)數(shù)列{an}的前項的和Sn= （對于所有n1），且a4=54,則a1=__2___
（三）用整體化方法解題
5、（00年）已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2+a3+…+a101=0,則有（C ）
A a1+a101>0 B a2+a100<0 C a3+a99=0 D a51=51
6、（02年）若一個等差數(shù)列的前3項和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列的項數(shù)為（A）
A 13 B 12 C 11 D 10
7、（03年上海）在等差數(shù)列{an}中a5=3，a6=-2,a4+a5+…+a10=-49
（四）用函數(shù)方法解題
8、（04年天津）已知數(shù)列{an},那么“對任意的nN+,點Pn(n ,an)都在直線y=x+1上”是“{an}為等差數(shù)列”的（ B）
A必要條件 B 充分條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要條件
9、（99年上海）已知等差數(shù)列{an}滿足3a4=7a7,且a1>0,Sn是{an}的前n項和，Sn取得最大值，則n=___9______.
10、（01年上海）已知數(shù)列{an}中an=2n-7,(nN+),++--+=_153___
（五）用遞推方法解題
11、（03年全國）設(shè){an}是首項為1的正項數(shù)列，且（n+1）a2n+1-nan2+an+1an=0,求它的通項公式是__1/n
12、（04年全國）已知數(shù)列{an}滿足a.1=1,an=a1+2a2+3a3+---+(n-1)an-1 (n>1),則{an}的通項an=______a1=1;an=n2
13、（04年北京）定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。
已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為__3___，這個數(shù)列的前n項和的計算公式為__當(dāng)n為偶數(shù)時，；當(dāng)n為奇數(shù)時，
14. （04年全國）已知數(shù)列{an}中，a1=1，a2k=a2k-1+(-1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3，…。
(1)求a3,a5； （2）求{an}的通項公式
解：（I）a2=a1+(－1)1=0, a3=a2+31=3.a4=a3+(－1)2=4 a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13.
(II) a2k+1=a2k+3k = a2k－1+(－1)k+3k, 所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k,
同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1, a3－a1=3+(－1).
所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)
=(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)],
由此得a2k+1－a1=(3k－1)+[(－1)k－1],
于是a2k+1=a2k= a2k－1+(－1)k=(－1)k－1－1+(－1)k=(－1)k=1.
{an}的通項公式為：
當(dāng)n為奇數(shù)時，an=
當(dāng)n為偶數(shù)時，
第12講 三角函數(shù)
高考試題中的三角函數(shù)題相對比較傳統(tǒng)，難度較低，位置靠前，重點突出。因此，在復(fù)習(xí)過程中既要注重三角知識的基礎(chǔ)性，突出三角函數(shù)的圖象、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性等性質(zhì)。以及化簡、求值和最值等重點內(nèi)容的復(fù)習(xí)，又要注重三角知識的工具性，突出三角與代數(shù)、幾何、向量的綜合聯(lián)系，以及三角知識的應(yīng)用意識。
一、知識整合
1．熟練掌握三角變換的所有公式，理解每個公式的意義，應(yīng)用特點，常規(guī)使用方法等；熟悉三角變換常用的方法——化弦法，降冪法，角的變換法等；并能應(yīng)用這些方法進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡、證明；掌握三角變換公式在三角形中應(yīng)用的特點，并能結(jié)合三角形的公式解決一些實際問題．
2．熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的性質(zhì)，并能用它研究復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)；熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)圖象的形狀、特點，并會用五點畫出函數(shù)的圖象；理解圖象平移變換、伸縮變換的意義，并會用這兩種變換研究函數(shù)圖象的變化．
高考考點分析
2004年各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以選擇題和解答題的形式出現(xiàn)。主要考察內(nèi)容按綜合難度分，我認(rèn)為有以下幾個層次：
第一層次：通過誘導(dǎo)公式和倍角公式的簡單運(yùn)用，解決有關(guān)三角函數(shù)基本性質(zhì)的問題。如判斷符號、求值、求周期、判斷奇偶性等。
第二層次：三角函數(shù)公式變形中的某些常用技巧的運(yùn)用。如輔助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。
第三層次：充分利用三角函數(shù)作為一種特殊函數(shù)的圖象及周期性、奇偶性、單調(diào)性、有界性等特殊性質(zhì)，解決較復(fù)雜的函數(shù)問題。如分段函數(shù)值，求復(fù)合函數(shù)值域等。
三、方法技巧
1.三角函數(shù)恒等變形的基本策略。
（1）常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（2）項的分拆與角的配湊。如分拆項：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配湊角：α=（α+β）－β，β=－等。
（3）降次與升次。（4）化弦（切）法。
（4）引入輔助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號確定，角的值由tan=確定。
2.證明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式進(jìn)行化名，化角，改變運(yùn)算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化為同一形式。
（2）證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數(shù)學(xué)歸納法。
3.證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。
4.解答三角高考題的策略。
（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”。
（2）尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。
（3）合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓剑偈共町惖霓D(zhuǎn)化。
四、例題分析
例1．已知，求（1）；（2）的值.
解：（1）；
(2)
.
說明：利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點（如果不具備，通過構(gòu)造的辦法得到），進(jìn)行弦、切互化，就會使解題過程簡化。
例2．求函數(shù)的值域。
解：設(shè)，則原函數(shù)可化為
，因為，所以
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以，函數(shù)的值域為。
例3．已知函數(shù)。
（1）求的最小正周期、的最大值及此時x的集合；
（2）證明：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱。
解：

(1)所以的最小正周期，因為，
所以，當(dāng)，即時，最大值為；
(2)證明：欲證明函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，只要證明對任意，有成立，
因為，
，
所以成立，從而函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱。
例4． 已知函數(shù)y=cos2x+sinx·cosx+1 （x∈R）,
（1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；
（2）該函數(shù)的圖像可由y=sinx(x∈R)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？
解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x－1)+ +（2sinx·cosx）+1
=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+
=sin(2x+)+
所以y取最大值時，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。
所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時，自變量x的集合為{x|x=+kπ,k∈Z}
（2）將函數(shù)y=sinx依次進(jìn)行如下變換：
（i）把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移，得到函數(shù)y=sin(x+)的圖像；
（ii）把得到的圖像上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像；
（iii）把得到的圖像上各點縱坐標(biāo)縮短到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像；
（iv）把得到的圖像向上平移個單位長度，得到函數(shù)y=sin(2x+)+的圖像。
綜上得到y(tǒng)=cos2x+sinxcosx+1的圖像。
說明：本題是2000年全國高考試題，屬中檔偏容易題，主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。這類題一般有兩種解法：一是化成關(guān)于sinx,cosx的齊次式，降冪后最終化成y=sin (ωx+)+k的形式，二是化成某一個三角函數(shù)的二次三項式。本題（1）還可以解法如下：當(dāng)cosx=0時，y=1；當(dāng)cosx≠0時，y=+1=+1
化簡得：2(y－1)tan2x－tanx+2y－3=0
∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得：≤y≤
∴ymax=，此時對應(yīng)自變量x的值集為{x|x=kπ+,k∈Z}
例5．已知函數(shù)
（Ⅰ）將f(x)寫成的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標(biāo)；
（Ⅱ）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數(shù)f(x)的值域.
解：
（Ⅰ）由=0即
即對稱中心的橫坐標(biāo)為
（Ⅱ）由已知b2=ac
即的值域為.
綜上所述， ， 值域為 .
說明：本題綜合運(yùn)用了三角函數(shù)、余弦定理、基本不等式等知識，還需要利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決函數(shù)值域的問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，對知識進(jìn)行整合的能力。
例6．在中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且，
(1)求的值；
(2)若，且a=c，求的面積。
解：(1)由正弦定理及，有，
即，所以，
又因為，，所以，因為，所以，又，所以。
(2)在中，由余弦定理可得，又，
所以有，所以的面積為
。
例7．已知向量
，且，
(1)求函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若，求的最大值與最小值。
解：(1)，，，又，
所以，
所以，即；
(2)由(1)可得，令導(dǎo)數(shù)，解得，列表如下：
t
－1
(－1，1)
1
(1，3)
導(dǎo)數(shù)
0
－
0
+
極大值
遞減
極小值
遞增
而所以。
例8．已知向量，
求的值；
(2)若的值。
解：(1)因為
所以
又因為，所以，
即；
(2) ，
又因為，所以 ，
，所以，所以
例9．平面直角坐標(biāo)系有點
求向量和的夾角的余弦用表示的函數(shù)；
求的最值.
解：（1），
即
（2） ， 又 ，
， ， .
說明：三角函數(shù)與向量之間的聯(lián)系很緊密，解題時要時刻注意。

第13講 立體幾何
高考立體幾何試題一般共有4道(選擇、填空題3道, 解答題1道), 共計總分27分左右,考查的知識點在20個以內(nèi). 選擇填空題考核立幾中的計算型問題, 而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問題, 當(dāng)然, 二者均應(yīng)以正確的空間想象為前提. 隨著新的課程改革的進(jìn)一步實施,立體幾何考題正朝著“多一點思考,少一點計算”的發(fā)展.從歷年的考題變化看, 以簡單幾何體為載體的線面位置關(guān)系的論證,角與距離的探求是常考常新的熱門話題.
一、知識整合
1．有關(guān)平行與垂直(線線、線面及面面)的問題，是在解決立體幾何問題的過程中，大量的、反復(fù)遇到的，而且是以各種各樣的問題(包括論證、計算角、與距離等)中不可缺少的內(nèi)容，因此在主體幾何的總復(fù)習(xí)中，首先應(yīng)從解決“平行與垂直”的有關(guān)問題著手，通過較為基本問題，熟悉公理、定理的內(nèi)容和功能，通過對問題的分析與概括，掌握立體幾何中解決問題的規(guī)律——充分利用線線平行(垂直)、線面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互轉(zhuǎn)化的思想，以提高邏輯思維能力和空間想象能力．
判定兩個平面平行的方法：
（1）根據(jù)定義——證明兩平面沒有公共點；
（2）判定定理——證明一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面；
（3）證明兩平面同垂直于一條直線。
3．兩個平面平行的主要性質(zhì)：
⑴由定義知：“兩平行平面沒有公共點”。
⑵由定義推得：“兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面。
⑶兩個平面平行的性質(zhì)定理：“如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那
么它們的交線平行”。
⑷一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。
⑸夾在兩個平行平面間的平行線段相等。
⑹經(jīng)過平面外一點只有一個平面和已知平面平行。
以上性質(zhì)⑵、⑷、⑸、⑹在課文中雖未直接列為“性質(zhì)定理”，但在解題過程中均可直接作為性質(zhì)定理引用。
4．空間的角和距離是空間圖形中最基本的數(shù)量關(guān)系，空間的角主要研究射影以及與射影有關(guān)的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解這類問題的基本思路是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解決．
空間的角，是對由點、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關(guān)系進(jìn)行定量分析的一個重要概念，由它們的定義，可得其取值范圍，如兩異面直線所成的角θ∈(0，]，直線與平面所成的角θ∈，二面角的大小，可用它們的平面角來度量，其平面角θ∈0，π．
對于空間角的計算，總是通過一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的角，并把它置于一個平面圖形，而且是一個三角形的內(nèi)角來解決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平行與垂直來實現(xiàn)的，因此求這些角的過程也是直線、平面的平行與垂直的重要應(yīng)用．通過空間角的計算和應(yīng)用進(jìn)一步培養(yǎng)運(yùn)算能力、邏輯推理能力及空間想象能力．
如求異面直線所成的角常用平移法（轉(zhuǎn)化為相交直線）與向量法；求直線與平面所成的角常利用射影轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；而求二面角(－l－(的平面角（記作(）通常有以下幾種方法：
(1) 根據(jù)定義；
(2) 過棱l上任一點O作棱l的垂面(，設(shè)(∩(＝OA，(∩(＝OB，則∠AOB＝( ；
(3) 利用三垂線定理或逆定理，過一個半平面(內(nèi)一點A，分別作另一個平面(的垂線AB(垂足為B),或棱l的垂線AC(垂足為C)，連結(jié)AC，則∠ACB＝( 或∠ACB＝(－(；
(4) 設(shè)A為平面(外任一點，AB⊥(，垂足為B，AC⊥(，垂足為C，則∠BAC＝(或∠BAC＝(－(；
(5) 利用面積射影定理，設(shè)平面(內(nèi)的平面圖形F的面積為S，F(xiàn)在平面(內(nèi)的射影圖形的面積為S(，則cos(＝.
5.空間的距離問題，主要是求空間兩點之間、點到直線、點到平面、兩條異面直線之間（限于給出公垂線段的）、平面和它的平行直線、以及兩個平行平面之間的距離．
求距離的一般方法和步驟是：一作——作出表示距離的線段；二證——證明它就是所要求的距離；三算——計算其值．此外，我們還常用體積法求點到平面的距離．
6．棱柱的概念和性質(zhì)
⑴理解并掌握棱柱的定義及相關(guān)概念是學(xué)好這部分知識的關(guān)鍵，要明確“棱柱 直棱柱 正棱柱”這一系列中各類幾何體的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別。
⑵平行六面體是棱柱中的一類重要的幾何體，要理解并掌握“平行六面體 直平行六面體 長方體 正四棱柱 正方體”這一系列中各類幾何體的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別。
⑶須從棱柱的定義出發(fā)，根據(jù)第一章的相關(guān)定理對棱柱的基本性質(zhì)進(jìn)行分析推導(dǎo)，以求更好地理解、掌握并能正確地運(yùn)用這些性質(zhì)。
⑷關(guān)于平行六面體，在掌握其所具有的棱柱的一般性質(zhì)外，還須掌握由其定義導(dǎo)出的一些其特有的性質(zhì)，如長方體的對角線長定理是一個重要定理并能很好地掌握和應(yīng)用。還須注意，平行六面體具有一些與平面幾何中的平行四邊形相對應(yīng)的性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)及解題思路去解平行六面體的問題是一常用的解題方法。
⑸多面體與旋轉(zhuǎn)體的問題離不開構(gòu)成幾何體的基本要素點、線、面及其相互關(guān)系，因此，很多問題實質(zhì)上就是在研究點、線、面的位置關(guān)系，與《直線、平面、簡單幾何體》第一部分的問題相比，唯一的差別就是多了一些概念，比如面積與體積的度量等．從這個角度來看，點、線、面及其位置關(guān)系仍是我們研究的重點．
７．經(jīng)緯度及球面距離
⑴根據(jù)經(jīng)線和緯線的意義可知，某地的經(jīng)度是一個二面角的度數(shù)，某地的緯度是一個線面角的度數(shù)，設(shè)球O的地軸為NS，圓O是0°緯線，半圓NAS是0°經(jīng)線，若某地P是在東經(jīng)120°，北緯40°，我們可以作出過P的經(jīng)線NPS交赤道于B，過P的緯線圈圓O1交NAS于A，那么則應(yīng)有：∠AO1P=120°(二面角的平面角) ，∠POB=40°（線面角）。
⑵兩點間的球面距離就是連結(jié)球面上兩點的大圓的劣弧的長，因此，求兩點間的球面距離的關(guān)鍵就在于求出過這兩點的球半徑的夾角。
例如，可以循著如下的程序求A、P兩點的球面距離。
線段AP的長 ∠AOP的弧度數(shù) 大圓劣弧AP的長
８．球的表面積及體積公式
S球表=4πR2 V球=πR3
⑴球的體積公式可以這樣來考慮：我們把球面分成若干個邊是曲線的小“曲邊三角形”；以球心為頂點，以這些小曲邊三角形的頂點為底面三角形的頂點，得到若干個小三棱錐，所有這些小三棱錐的體積和可以看作是球體積的近似值.當(dāng)小三棱錐的個數(shù)無限增加，且所有這些小三棱錐的底面積無限變小時，小三棱錐的體積和就變成球體積，同時小三棱錐底面面積的和就變成球面面積,小三棱錐高變成球半徑.由于第n個小三棱錐的體積＝Snhn（Sn為該小三棱錐的底面積,hn為小三棱錐高），所以V球＝S球面·R＝·4πR2·R＝πR3.
⑵球與其它幾何體的切接問題，要仔細(xì)觀察、分析、弄清相關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選擇最佳角度作出截面，以使空間問題平面化。
二、注意事項
須明確《直線、平面、簡單幾何體》中所述的兩個平面是指兩個不重合的平面。
２．三種空間角，即異面直線所成角、直線與平面所成角。平面與平面所成二面角。它們的求法一般化歸為求兩條相交直線的夾角，通常“線線角抓平移，線面角找射影，面面角作平面角”而達(dá)到化歸目的，有時二面角大小出通過cos=來求。
３．有七種距離，即點與點、點到直線、兩條平行直線、兩條異面直線、點到平面、平行于平面的直線與該平面、兩個平行平面之間的距離，其中點與點、點與直線、點到平面的距離是基礎(chǔ)，求其它幾種距離一般化歸為求這三種距離，點到平面的距離有時用“體積法”來求。
三、例題分析
例1、⑴已知水平平面內(nèi)的兩條相交直線a, b所成的角為，如果將角的平分線繞著其頂點，在豎直平面內(nèi)作上下轉(zhuǎn)動， 轉(zhuǎn)動到離開水平位值的處，且與兩條直線a,b都成角，則與的大小關(guān)系是 （ ）
A. 或 B. >或 <
C. > D. <
⑵已知異面直線a,b所成的角為70,則過空間一定點O,與兩條異面直線a,b都成60角的直線有 ( )條.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
⑶異面直線a,b所成的角為,空間中有一定點O,過點O有3條直線與a,b所成角都是60,則的取值可能是 ( ).
A. 30 B. 50 C. 60 D. 90
分析與解答:
⑴ 如圖1所示,易知直線上點Ａ在平面上的射影是ι上的點B,過點B作BC⊥b,
則AC⊥b. 在Rt△OBC和Rt△OAC中，tg=,tg=.顯然，AC>BC,
∴tan> tan,又、（0，，∴ ＞.故選C.　　　　　　　　　　　　　　　　

ι

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（２）Ｄ（３）Ｃ
圖１
例2、已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點.
（1）求證：MN⊥AB；
（2）設(shè)平面PDC與平面ABCD所成的二面角為銳角θ，問能否確定θ使直線MN是異
面直線AB與PC的公垂線？若能，求出相應(yīng)θ的值；若不能，說明理由.
解：（1）∵PA⊥矩形ABCD，BC⊥AB，∴PB⊥BC，PA⊥AC，即△PBC和△PAC都是
以PC為斜邊的直角三角形，，又M為AB的中點，∴MN⊥AB.
（2）∵AD⊥CD，PD⊥CD.∴∠PDA為所求二面角的平面角，即∠PDA=θ.
設(shè)AB=a，PA=b，AD=d，則，
設(shè)PM=CM則由N為PC的中點，∴MN⊥PC由（1）可知MN⊥AB，
∴MN為PC與AB的公垂線，這時PA=AD，∴θ=45°。
例3、如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C點到AB1的距離為CE=，D為AB的中點.
（1）求證：AB1⊥平面CED；
（2）求異面直線AB1與CD之間的距離；
（3）求二面角B1—AC—B的平面角.
解:（1）∵D是AB中點，△ABC為等腰直角三角形，
∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1.
∴CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1，
∴AB1⊥平面CDE；
（2）由CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥DE
∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1,
∴DE是異面直線AB1與CD的公垂線段
∵CE=，AC=1 , ∴CD=∴；
（3）連結(jié)B1C，易證B1C⊥AC，又BC⊥AC ,
∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角.
在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,∴∠B1AC=600
∴， ∴,
∴ , ∴.
說明：作出公垂線段和二面角的平面角是正確解題的前提, 當(dāng)然, 準(zhǔn)確地作出應(yīng)當(dāng)有嚴(yán)格的邏輯推理作為基石.
例4、在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=，在線段SA上取一點E（不含端點）使EC=AC，截面CDE與SB交于點F。
（1）求證：四邊形EFCD為直角梯形；
（2）求二面角B-EF-C的平面角的正切值；
（3）設(shè)SB的中點為M，當(dāng)?shù)闹凳嵌嗌贂r，能使△DMC
為直角三角形？請給出證明.
解：（1）∵　CD∥AB，AB平面SAB ∴CD∥平面SAB
面EFCD∩面SAB=EF，
∴CD∥EF ∵
又面
∴ 平面SAD，∴又
為直角梯形
（2）平面∥平面SAD
即為二面角D—EF—C的平面角
中
而且
為等腰三角形，
(3)當(dāng)時，為直角三角形 .
,
平面平面.
在中，為SB中點，.
平面平面 為直角三角形。
例5．如圖，在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，AC與BD交于點E，CB與CB1交于點F.
（I）求證：A1C⊥平BDC1；
（II）求二面角B—EF—C的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.
解法一：（Ⅰ）∵A1A⊥底面ABCD，則AC是A1C在底面ABCD的射影.
∵AC⊥BD.∴A1C⊥BD.
同理A1C⊥DC1,又BD∩DC1=D,
∴A1C⊥平面BDC1.
（Ⅱ）取EF的中點H，連結(jié)BH、CH，
又E、F分別是AC、B1C的中點，
解法二：（Ⅰ）以點C為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0).
D(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,1,1),C1(0,0,1),D1(1,0,1)
（Ⅱ）同（I）可證，BD1⊥平面AB1C.
第14講 解析幾何問題的題型與方法
一、知識整合
高考中解析幾何試題一般共有4題(2個選擇題, 1個填空題, 1個解答題)，共計30分左右，考查的知識點約為20個左右。 其命題一般緊扣課本，突出重點，全面考查。選擇題和填空題考查直線、圓、圓錐曲線、參數(shù)方程和極坐標(biāo)系中的基礎(chǔ)知識。解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點，通過知識的重組與鏈接，使知識形成網(wǎng)絡(luò)，著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，求解有時還要用到平幾的基本知識和向量的基本方法，這一點值得強(qiáng)化。
能正確導(dǎo)出由一點和斜率確定的直線的點斜式方程；從直線的點斜式方程出發(fā)推導(dǎo)出直線方程的其他形式，斜截式、兩點式、截距式；能根據(jù)已知條件，熟練地選擇恰當(dāng)?shù)姆匠绦问綄懗鲋本€的方程，熟練地進(jìn)行直線方程的不同形式之間的轉(zhuǎn)化，能利用直線的方程來研究與直線有關(guān)的問題了.
2.能正確畫出二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域，知道線性規(guī)劃的意義，知道線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念，能正確地利用圖解法解決線性規(guī)劃問題，并用之解決簡單的實際問題，了解線性規(guī)劃方法在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用；會用線性規(guī)劃方法解決一些實際問題.
理解“曲線的方程”、“方程的曲線”的意義，了解解析幾何的基本思想，掌握求曲線的方程的方法.
4．掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（r＞0），明確方程中各字母的幾何意義，能根據(jù)圓心坐標(biāo)、半徑熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中熟練地求出圓心坐標(biāo)和半徑，掌握圓的一般方程：，知道該方程表示圓的充要條件并正確地進(jìn)行一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，能根據(jù)條件，用待定系數(shù)法求出圓的方程，理解圓的參數(shù)方程（θ為參數(shù)），明確各字母的意義，掌握直線與圓的位置關(guān)系的判定方法.
5．正確理解橢圓、雙曲線和拋物線的定義，明確焦點、焦距的概念；能根據(jù)橢圓、雙曲線和拋物線的定義推導(dǎo)它們的標(biāo)準(zhǔn)方程；記住橢圓、雙曲線和拋物線的各種標(biāo)準(zhǔn)方程；能根據(jù)條件，求出橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點、離心率、準(zhǔn)線（雙曲線的漸近線）等，從而能迅速、正確地畫出橢圓、雙曲線和拋物線；掌握a、b、c、p、e之間的關(guān)系及相應(yīng)的幾何意義；利用橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)，確定橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并解決簡單問題；理解橢圓、雙曲線和拋物線的參數(shù)方程，并掌握它的應(yīng)用；掌握直線與橢圓、雙曲線和拋物線位置關(guān)系的判定方法.
二、近幾年高考試題知識點分析
2004年高考，各地試題中解析幾何內(nèi)容在全卷的平均分值為27.1分，占18．1％；2001年以來，解析幾何內(nèi)容在全卷的平均分值為29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析幾何內(nèi)容，值得我們在二輪復(fù)習(xí)中引起足夠的重視．高考試題中對解析幾何內(nèi)容的考查幾乎囊括了該部分的所有內(nèi)容，對直線、線性規(guī)劃、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等內(nèi)容都有涉及．
1．選擇、填空題
1．1 大多數(shù)選擇、填空題以對基礎(chǔ)知識、基本技能的考查為主，難度以容易題和中檔題為主
（1）對直線、圓的基本概念及性質(zhì)的考查
例1 （04江蘇）以點(1，2)為圓心，與直線4x+3y-35=0相切的圓的方程是_________．
（2）對圓錐曲線的定義、性質(zhì)的考查
例2（04遼寧）已知點、，動點P滿足. 當(dāng)點P的縱坐標(biāo)是時，點P到坐標(biāo)原點的距離是
（A） （B） （C） （D）2
1．2 部分小題體現(xiàn)一定的能力要求能力，注意到對學(xué)生解題方法的考查
例3（04天津文）若過定點且斜率為的直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有交點，則的取值范圍是
（A） （B）
（C） （D）
2．解答題
解析幾何的解答題主要考查求軌跡方程以及圓錐曲線的性質(zhì)．以中等難度題為主，通常設(shè)置兩問，在問題的設(shè)置上有一定的梯度，第一問相對比較簡單．
例4(04江蘇）已知橢圓的中心在原點，離心率為，一個焦點是F（-m,0）(m是大于0的常數(shù)).
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q是橢圓上的一點，且過點F、Q的直線與y軸交于點M. 若，求直線l的斜率．
本題第一問求橢圓的方程，是比較容易的，對大多數(shù)同學(xué)而言，是應(yīng)該得分的；而第二問，需要進(jìn)行分類討論，則有一定的難度，得分率不高．
解：（I）設(shè)所求橢圓方程是
由已知，得 所以.
故所求的橢圓方程是
（II）設(shè)Q（），直線
當(dāng)由定比分點坐標(biāo)公式，得

.
于是 故直線l的斜率是0，.
例5（04全國文科Ⅰ）設(shè)雙曲線C：相交于兩個不同的點A、B.
（I）求雙曲線C的離心率e的取值范圍：
（II）設(shè)直線l與y軸的交點為P，且求a的值.
解：（I）由C與t相交于兩個不同的點，故知方程組

有兩個不同的實數(shù)解.消去y并整理得 （1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①
雙曲線的離心率
（II）設(shè)
由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，
例6（04全國文科Ⅱ）給定拋物線C：F是C的焦點，過點F的直線與C相交于A、B兩點.
（Ⅰ）設(shè)的斜率為1，求夾角的大小；
（Ⅱ）設(shè)，求在軸上截距的變化范圍.
解：（Ⅰ）C的焦點為F（1，0），直線l的斜率為1，所以l的方程為
將代入方程，并整理得
設(shè)則有
所以夾角的大小為
（Ⅱ）由題設(shè) 得
即
由②得， ∵ ∴③
聯(lián)立①、③解得，依題意有
∴又F（1，0），得直線l方程為

當(dāng)時，l在方程y軸上的截距為
由 可知在[4，9]上是遞減的，
∴
直線l在y軸上截距的變化范圍為
從以上3道題我們不難發(fā)現(xiàn)，對解答題而言，橢圓、雙曲線、拋物線這三種圓錐曲線都有考查的可能，而且在歷年的高考試題中往往是交替出現(xiàn)的，以江蘇為例，01年考的是拋物線，02年考的是雙曲線，03年考的是求軌跡方程（橢圓），04年考的是橢圓．
三、熱點分析與2005年高考預(yù)測
1．重視與向量的綜合
在04年高考文科12個省市新課程卷中，有6個省市的解析幾何大題與向量綜合，主要涉及到向量的點乘積（以及用向量的點乘積求夾角）和定比分點等，因此，與向量綜合，仍是解析幾何的熱點問題，預(yù)計在05年的高考試題中，這一現(xiàn)狀依然會持續(xù)下去．
例7（02年新課程卷）平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知兩點A（3，1），B（－1，3），若點C滿足，其中(、(∈R，且(＋(=1，則點C的軌跡方程為
（A）（x－1）2＋（y－2）2=5 （B）3x＋2y－11=0
（C）2x－y=0 （D）x＋2y－5=0
例8（04遼寧）已知點、，動點，則點P的軌跡是
（A）圓 （B）橢圓 （C）雙曲線 （D）拋物線

2．考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系幾率較高
在04年的15個省市文科試題（含新、舊課程卷）中，全都“不約而同”地考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，因此，可以斷言，在05年高考試題中，解析幾何的解答題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的概率依然會很大．
3．與數(shù)列相綜合
在04年的高考試題中，上海、湖北、浙江解析幾何大題與數(shù)列相綜合，此外，03年的江蘇卷也曾出現(xiàn)過此類試題，所以，在05年的試題中依然會出現(xiàn)類似的問題．
例9（04年浙江卷）如圖，ΔOBC的在個頂點坐標(biāo)分別為（0,0）、（1,0）、（0,2）,設(shè)P為線段BC的中點,P2為線段CO的中點,P3為線段OP1的中點,對于每一個正整數(shù)n,Pn+3為線段PnPn+1的中點,令Pn的坐標(biāo)為(xn,yn),
（Ⅰ）求及;
（Ⅱ）證明
（Ⅲ）若記證明是等比數(shù)列.
解：(Ⅰ)因為，所以，又由題意可知，
∴== ∴為常數(shù)列.∴
(Ⅱ)將等式兩邊除以2，得
又∵，∴
（Ⅲ）∵

又∵
∴是公比為的等比數(shù)列.
4．與導(dǎo)數(shù)相綜合
近幾年的新課程卷也十分注意與導(dǎo)數(shù)的綜合，如03年的天津文科試題、04年的湖南文理科試題，都分別與向量綜合．
例10（04年湖南文理科試題）如圖，過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P（0,m）(m>0)作直線與拋物線交于A,B兩點，點Q是點P關(guān)于原點的對稱點。
（I）設(shè)點P分有向線段所成的比為，證明:
（II）設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0，過A,B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程.
解：（Ⅰ）依題意，可設(shè)直線AB的方程為 代入拋物線方程得 ①
設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別是 、、x2是方程①的兩根.
所以
由點P（0，m）分有向線段所成的比為，得
又點Q是點P關(guān)于原點的對稱點，故點Q的坐標(biāo)是（0，－m），從而.


所以
（Ⅱ）由 得點A、B的坐標(biāo)分別是（6，9）、（－4，4）.
由 得 所以拋物線 在點A處切線的斜率為
設(shè)圓C的方程是則
解之得
所以圓C的方程是 即
5．重視應(yīng)用
在歷年的高考試題中，經(jīng)常出現(xiàn)解析幾何的應(yīng)用題，如01年的天津理科試題、03年的上海文理科試題、03年全國文科舊課程卷試題、03年的廣東試題及江蘇的線性規(guī)劃題等，都是有關(guān)解析幾何的應(yīng)用題．
例11（04年廣東試題）某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s. 已知各觀測點到該中心的距離都是1020m. 試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當(dāng)時聲音傳播的速度為340m/ s :相關(guān)各點均在同一平面上)
解：如圖，以接報中心為原點O，正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測點，則A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
設(shè)P（x,y）為巨響為生點，由A、C同時聽到巨響聲，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=－x，因B點比A點晚4s聽到爆炸聲，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線上，
依題意得a=680, c=1020，
用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,
答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北450距中心處.
（二）05年高考預(yù)測
1．難度：解析幾何內(nèi)容是歷年來高考數(shù)學(xué)試題中能夠拉開成績差距的內(nèi)容之一，該部分試題往往有一定的難度和區(qū)分度，預(yù)計這一形式仍將在05年的試題中得到體現(xiàn)．此外，從04年分省（市）命題的情況來看，在文科類15份試卷（含文理合用的試卷）中，有9分試卷（占3/5）用解析幾何大題作為最后一道壓軸題，預(yù)計這一現(xiàn)狀很有可能在05年試卷中繼續(xù)重現(xiàn)．
2．命題內(nèi)容：從今年各地的試題以及前幾年的試題來看，解答題所考查的內(nèi)容基本上是橢圓、雙曲線、拋物線交替出現(xiàn)的，所以，今年極有可能考雙曲線的解答題．此外，從命題所追求的目標(biāo)來看，小題所涉及的內(nèi)容一定會注意到知識的覆蓋，兼顧到對能力的要求．
3．命題的熱點：
（1）與其他知識進(jìn)行綜合，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計試題（如與向量綜合，與數(shù)列綜合、與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及不等式綜合等）；
（2）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，由于該部分內(nèi)容體現(xiàn)解析幾何的基本思想方法——用代數(shù)的手段研究幾何問題，因此該部分內(nèi)容一直是考試的熱點，相信，在05年的考試中將繼續(xù)體現(xiàn)；
（3）求軌跡方程．
（4）應(yīng)用題．
四、二輪復(fù)習(xí)建議
1．根據(jù)學(xué)生的實際，有針對性地進(jìn)行復(fù)習(xí)，提高復(fù)習(xí)的有效性
由于解析幾何通常有2－3小題和1大題，約占28分左右，而小題以考查基礎(chǔ)為主、解答題的第一問也較容易，因此，對于全市的所有不同類型的學(xué)校，都要做好該專題的復(fù)習(xí)，千萬不能認(rèn)為該部分內(nèi)容較難而放棄對該部分內(nèi)容的專題復(fù)習(xí)，并且根據(jù)生源狀況有針對性地進(jìn)行復(fù)習(xí)，提高復(fù)習(xí)的有效性．
2．重視通性通法，加強(qiáng)解題指導(dǎo)，提高解題能力
在二輪復(fù)習(xí)中，不能僅僅復(fù)習(xí)概念和性質(zhì)，還應(yīng)該以典型的例題和習(xí)題（可以選用04年的各地高考試題和近兩年的各地高考模擬試題）為載體，在二輪復(fù)習(xí)中強(qiáng)化各類問題的常規(guī)解法，使學(xué)生形成解決各種類型問題的操作范式．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的過程，解題能力只有通過學(xué)生的自主探究才能掌握．所以，在二輪復(fù)習(xí)中，教師的作用是對學(xué)生的解題方法進(jìn)行引導(dǎo)、點撥和點評，只有這樣，才能夠?qū)嵤┯行?fù)習(xí)．
3．注意強(qiáng)化思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，力求規(guī)范解題，盡可能少丟分
在解解析幾何的大題時，有不少學(xué)生常出現(xiàn)因解題不夠規(guī)范而丟分的現(xiàn)象，因此，要通過平時的講評對易出現(xiàn)錯誤的相關(guān)步驟作必要的強(qiáng)調(diào)，減少或避免無畏的丟分．
例14（04全國文科Ⅰ）設(shè)雙曲線C：相交于兩個不同的點A、B.
（I）求雙曲線C的離心率e的取值范圍：
（II）設(shè)直線l與y軸的交點為P，且求a的值.
解：（I）由C與t相交于兩個不同的點，故知方程組
有兩個不同的實數(shù)解.消去y并整理得
（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①
雙曲線的離心率
還有，在設(shè)直線方程為點斜式時，就應(yīng)該注意到直線斜率不存在的情形；又如，在求軌跡方程時，還要注意到純粹性和完備性等．
五、參考例題
例1、若直線mx+y+2=0與線段AB有交點，其中A(-2, 3)，B(3,2)，求實數(shù)m的取值范圍。
解：直線mx+y+2=0過一定點C(0, -2)，直線mx+y+2=0實際上表示的是過定點(0, -2)的直線系，因為直線與線段AB有交點，則直線只能落在∠ABC的內(nèi)部，設(shè)BC、CA這兩條直線的斜率分別為k1、k2，則由斜率的定義可知，直線mx+y+2=0的斜率k應(yīng)滿足k≥k1或k≤k2， ∵A(-2, 3) B(3, 2)
∴
∴-m≥或-m≤ 即m≤或m≥
說明：此例是典型的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來解題的問題，這里要清楚直線mx+y+2=0的斜率-m應(yīng)為傾角的正切，而當(dāng)傾角在(0°,90°)或(90°,180°)內(nèi)，角的正切函數(shù)都是單調(diào)遞增的，因此當(dāng)直線在∠ACB內(nèi)部變化時，k應(yīng)大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，當(dāng)A、B兩點的坐標(biāo)變化時，也要能求出m的范圍。
例2、已知x、y滿足約束條件
x≥1，
x-3y≤-4，
3x+5y≤30，
求目標(biāo)函數(shù)z=2x-y的最大值和最小值.
解：根據(jù)x、y滿足的約束條件作出可行域，即如圖所示的陰影部分（包括邊界）.
作直線：2x-y=0，再作一組平行于的直線：2x-y=t，t∈R.
可知，當(dāng)在的右下方時，直線上的點（x，y）滿足2x-y＞0，即t＞0，而且直線往右平移時，t隨之增大.當(dāng)直線平移至的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點B，此時所對應(yīng)的t最大；當(dāng)在的左上方時，直線上的點（x，y）滿足2x-y＜0，即t＜0，而且直線往左平移時，t隨之減小.當(dāng)直線平移至的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點C，此時所對應(yīng)的t最小.
x-3y+4=0，
由 解得點B的坐標(biāo)為（5，3）；
3x+5y-30=0，
x=1，
由 解得點C的坐標(biāo)為（1，）.
3x+5y-30=0，
所以，=2×5-3=7；=2×1-=.
例3、 已知⊙M：軸上的動點，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點，（1）如果，求直線MQ的方程；
（2）求動弦AB的中點P的軌跡方程.
解:（1）由，可得由射影定理，得 在Rt△MOQ中，
，
故，
所以直線AB方程是
（2）連接MB，MQ，設(shè)由
點M，P，Q在一直線上，得
由射影定理得
即 把（*）及（**）消去a，
并注意到，可得
說明：適時應(yīng)用平面幾何知識，這是快速解答本題的要害所在。
例4、已知雙曲線的離心率，過的直線到原點的距離是（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線交雙曲線于不同的點C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值.
解：∵（1）原點到直線AB：的距離.
故所求雙曲線方程為
（2）把中消去y，整理得 .
設(shè)的中點是，則


即
故所求k=±.
說明：為了求出的值, 需要通過消元, 想法設(shè)法建構(gòu)的方程.
例5、已知橢圓的長、短軸端點分別為A、B，從此橢圓上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點，向量與是共線向量。
（1）求橢圓的離心率e；
（2）設(shè)Q是橢圓上任意一點， 、分別是左、右焦點，求∠ 的取值范圍；
解：（1）∵，∴。
∵是共線向量，∴，∴b=c,故。
（2）設(shè)
當(dāng)且僅當(dāng)時，cosθ=0，∴θ。
說明：由于共線向量與解析幾何中平行線、三點共線等具有異曲同工的作用，因此，解析幾何中與平行線、三點共線等相關(guān)的問題均可在向量共線的新情景下設(shè)計問題。求解此類問題的關(guān)鍵是：正確理解向量共線與解析幾何中平行、三點共線等的關(guān)系，把有關(guān)向量的問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題。
第15講 排列組合二項式定理和概率
一、知識整合
二、考試要求：
1．掌握分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題.
2．理解排列的意義，掌握排列數(shù)計算公式，并能用它解決一些簡單的應(yīng)用問題.
3．理解組合的意義，掌握組合數(shù)計算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡單的應(yīng)用問題.
4．掌握二項式定理和二項展開式的性質(zhì)，并能用它們計算和證明一些簡單的問題.
5．了解隨機(jī)事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機(jī)事件概率的意義.
6．了解等可能性事件的概率的意義，會用排列組合的基本公式計算一些等可能性事件的概率.
7．了解互斥事件、相互獨立事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式與相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率.
8．會計算事件在n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率.
Ⅰ、隨機(jī)事件的概率
例1 某商業(yè)銀行為儲戶提供的密碼有0，1，2，…，9中的6個數(shù)字組成.
(1)某人隨意按下6個數(shù)字，按對自己的儲蓄卡的密碼的概率是多少？
(2)某人忘記了自己儲蓄卡的第6位數(shù)字，隨意按下一個數(shù)字進(jìn)行試驗，按對自己的密碼的概率是多少？
解 （1）儲蓄卡上的數(shù)字是可以重復(fù)的，每一個6位密碼上的每一個數(shù)字都有0，1，2，…，9這10種，正確的結(jié)果有1種，其概率為，隨意按下6個數(shù)字相當(dāng)于隨意按下個，隨意按下6個數(shù)字相當(dāng)于隨意按下個密碼之一，其概率是.
(2)以該人記憶自己的儲蓄卡上的密碼在前5個正確的前提下，隨意按下一個數(shù)字，等可能性的結(jié)果為0，1，2，…，9這10種，正確的結(jié)果有1種，其概率為.
例2 一個口袋內(nèi)有m個白球和n個黑球，從中任取3個球，這3個球恰好是2白1黑的概率是多少？（用組合數(shù)表示）
解 設(shè)事件I是“從m個白球和n個黑球中任選3個球”，要對應(yīng)集合I1，事件A是“從m個白球中任選2個球，從n個黑球中任選一個球”，本題是等可能性事件問題，且Card(I1)= ，于是P(A)=.
Ⅱ、互斥事件有一個發(fā)生的概率
例3在20件產(chǎn)品中有15件正品，5件次品，從中任取3件，求：
（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.
解 （1）從20件產(chǎn)品中任取3件的取法有，其中恰有1件次品的取法為。
恰有一件次品的概率P=.
(2)法一 從20件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有1件次品為事件A1,恰有2件次品為事件A2，3件全是次品為事件A3,則它們的概率
P(A1)= =,,,
而事件A1、A2、A3彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率
P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= .
法二 記從20件產(chǎn)品中任取3件，3件全是正品為事件A，那么任取3件，至少有1件次品為，根據(jù)對立事件的概率加法公式P()=
例4 1副撲克牌有紅桃、黑桃、梅花、方塊4種花色，每種13張，共52張，從1副洗好的牌中任取4張，求4張中至少有3張黑桃的概率.
解 從52張牌中任取4張，有種取法.“4張中至少有3張黑桃”，可分為“恰有3張黑桃”和“4張全是黑桃”，共有種取法
注 研究至少情況時，分類要清楚。
Ⅲ、相互獨立事件同時發(fā)生的概率
例5 獵人在距離100米處射擊一野兔，其命中率為0.5，如果第一次射擊未中，則獵人進(jìn)行第二次射擊，但距離150米. 如果第二次射擊又未中，則獵人進(jìn)行第三次射擊，并且在發(fā)射瞬間距離為200米. 已知獵人的命中概率與距離的平方成反比，求獵人命中野兔的概率.
解 記三次射擊依次為事件A，B，C，其中,由，求得k=5000。
,命中野兔的概率為
例6 要制造一種機(jī)器零件，甲機(jī)床廢品率為0.05，而乙機(jī)床廢品率為0.1，而它們的生產(chǎn)是獨立的，從它們制造的產(chǎn)品中，分別任意抽取一件，求：
（1）其中至少有一件廢品的概率； （2）其中至多有一件廢品的概率.
解： 設(shè)事件A為“從甲機(jī)床抽得的一件是廢品”；B為“從乙機(jī)床抽得的一件是廢品”.
則P（A）=0.05, P(B)=0.1,
（1）至少有一件廢品的概率
（2）至多有一件廢品的概率
Ⅳ、概率內(nèi)容的新概念較多，本課時就學(xué)生易犯錯誤作如下歸納總結(jié)：
類型一 “非等可能”與“等可能”混同
例1 擲兩枚骰子，求所得的點數(shù)之和為6的概率．
錯解 擲兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和2，3，4，…，12共11種基本事件，所以概率為P=
剖析 以上11種基本事件不是等可能的，如點數(shù)和2只有(1，1)，而點數(shù)之和為6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5種．事實上，擲兩枚骰子共有36種基本事件，且是等可能的，所以“所得點數(shù)之和為6”的概率為P=．
類型二 “互斥”與“對立”混同
例2 把紅、黑、白、藍(lán)4張紙牌隨機(jī)地分給甲、乙、丙、丁4個人，每個人分得1張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是（ ）
A．對立事件 B．不可能事件 C．互斥但不對立事件 D．以上均不對
錯解 A
剖析 本題錯誤的原因在于把“互斥”與“對立”混同，二者的聯(lián)系與區(qū)別主要體現(xiàn)在 ：
(1)兩事件對立，必定互斥，但互斥未必對立；(2)互斥概念適用于多個事件，但對立概念只適用于兩個事件；(3)兩個事件互斥只表明這兩個事件不能同時發(fā)生，即至多只能發(fā)生其中一個，但可以都不發(fā)生；而兩事件對立則表示它們有且僅有一個發(fā)生．
事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是不能同時發(fā)生的兩個事件，這兩個事件可能恰有一個發(fā)生，一個不發(fā)生，可能兩個都不發(fā)生，所以應(yīng)選C．
類型三 “互斥”與“獨立”混同
例3 甲投籃命中率為O．8，乙投籃命中率為0.7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少?
錯解 設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，則兩人都恰好投中兩次為事件A+B，P(A+B)=P(A)+P(B)：
剖析 本題錯誤的原因是把相互獨立同時發(fā)生的事件當(dāng)成互斥事件來考慮，將兩人都恰好投中2次理解為“甲恰好投中兩次”與“乙恰好投中兩次”的和．互斥事件是指兩個事件不可能同時發(fā)生；兩事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生與否沒有影響，它們雖然都描繪了兩個事件間的關(guān)系，但所描繪的關(guān)系是根本不同．
解： 設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，且A，B相互獨立，
則兩人都恰好投中兩次為事件A·B，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 0.169
四、高考題選講
1 甲、乙二人參加普法知識競賽，共有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4個，甲、乙二人依次各抽一題.
（Ⅰ）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少？
（Ⅱ）甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？(2000年新課程卷)
2 如圖,用A、B、C三類不同的元件連接成兩個系統(tǒng)N1、N2.當(dāng)元件A、B、C都正常工作時,系統(tǒng)N1正常工作；當(dāng)元件A正常工作且元件B、C至少有一個正常工作時,系統(tǒng)N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90.分別求系統(tǒng)N1、N2正常工作的概率P1、P2. (2001年新課程卷)
3 某單位6個員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作，每個員工上網(wǎng)的概率都是0.5（相互獨立）.
（Ⅰ）求至少3人同時上網(wǎng)的概率；
（Ⅱ）至少幾人同時上網(wǎng)的概率小于0.3？(2002年新課程卷)
4 有三種產(chǎn)品，合格率分別是0.90，0.95和0.95，各抽取一件進(jìn)行檢驗.
（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；
（Ⅱ）求至少有兩件不合格的概率.（精確到0.001） (2003年新課程卷)
5. 從10位同學(xué)（其中6女，4男）中隨機(jī)選出3位參加測驗.每位女同學(xué)能通過測驗的概率均為，每位男同學(xué)能通過測驗的概率均為.試求：
（Ⅰ）選出的3位同學(xué)中，至少有一位男同學(xué)的概率；
（Ⅱ）10位同學(xué)中的女同學(xué)甲和男同學(xué)乙同時被選中且通過測驗的概率.
(2004年全國卷Ⅰ)
解：本小題主要考查組合，概率等基本概念，獨立事件和互斥事件的概率以及運(yùn)用概率知識
解決實際問題的能力，滿分12分.
解：（Ⅰ）隨機(jī)選出的3位同學(xué)中，至少有一位男同學(xué)的概率為
1－；………………6分
（Ⅱ）甲、乙被選中且能通過測驗的概率為
；………………12分
6. 已知8支球隊中有3支弱隊,以抽簽方式將這8支球隊分為A、B兩組,每組4支.求：
（Ⅰ）A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊的概率；
（Ⅱ）A組中至少有兩支弱隊的概率. (2004年全國卷Ⅱ)
解：（Ⅰ）解法一：三支弱隊在同一組的概率為
故有一組恰有兩支弱隊的概率為
解法二：有一組恰有兩支弱隊的概率
（Ⅱ）解法一：A組中至少有兩支弱隊的概率
解法二：A、B兩組有一組至少有兩支弱隊的概率為1，由于對A組和B組來說，至少有兩支弱隊的概率是相同的，所以A組中至少有兩支弱隊的概率為
7.某同學(xué)參加科普知識競賽，需回答3個問題.競賽規(guī)則規(guī)定：答對第一、二、三問題分別得100分、100分、200分，答錯得零分.假設(shè)這名同學(xué)答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8、0.7、0.6，且各題答對與否相互之間沒有影響.
（Ⅰ）求這名同學(xué)得300分的概率；
（Ⅱ）求這名同學(xué)至少得300分的概率. (2004年全國卷Ⅲ)
8. 從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽.
（Ⅰ）求所選3人都是男生的概率；
（Ⅱ）求所選3人中恰有1名女生的概率；
（Ⅲ）求所選3人中至少有1名女生的概率. (2004年天津卷)
9. 某地區(qū)有5個工廠，由于用電緊缺，規(guī)定每個工廠在一周內(nèi)必須選擇某一天停電
（選哪一天是等可能的）.假定工廠之間的選擇互不影響.
（Ⅰ）求5個工廠均選擇星期日停電的概率；
（Ⅱ）求至少有兩個工廠選擇同一天停電的概率. (2004年浙江卷)
10. 甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測試，至少答對2題才算合格.
（Ⅰ）分別求甲、乙兩人考試合格的概率；
（Ⅱ）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率. (2004年福建卷)
11. 甲、乙、丙三臺機(jī)床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為,乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為,甲、丙兩臺機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為.
（Ⅰ）分別求甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工零件是一等品的概率；
（Ⅱ）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率.
(2004年湖南卷)
12.為防止某突發(fā)事件發(fā)生，有甲、乙、丙、丁四種相互獨立的預(yù)防措施可供采用，單獨采用甲、乙、丙、丁預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率（記為P）和所需費(fèi)用如下:
預(yù)防措施
甲
乙
丙
丁
P
0.9
0.8
0.7
0.6
費(fèi)用（萬元）
90
60
30
10
預(yù)防方案可單獨采用一種預(yù)防措施或聯(lián)合采用幾種預(yù)防措施，在總費(fèi)用不超過120萬元的前
提下,請確定一個預(yù)防方案，使得此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大.(2004年湖北卷)
解：方案1：單獨采用一種預(yù)防措施的費(fèi)用均不超過120萬元.由表可知，采用甲措施，可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大，其概率為0.9.
方案2：聯(lián)合采用兩種預(yù)防措施，費(fèi)用不超過120萬元，由表可知.聯(lián)合甲、丙兩種預(yù)防措施可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大，其概率為1—(1—0.9)(1—0.7)=0.97.
方法3：聯(lián)合采用三種預(yù)防措施，費(fèi)用不超過120萬元，故只能聯(lián)合乙、丙、丁三種預(yù)防措施，此時突發(fā)事件不發(fā)生的概率為1—（1—0.8）(1—0.7)(1—0.6)=1—0.024=0.976.
綜合上述三種預(yù)防方案可知，在總費(fèi)用不超過120萬元的前提下，聯(lián)合使用乙、丙、丁三種預(yù)防措施可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大.
13. 設(shè)甲、乙、丙三人每次射擊命中目標(biāo)的概率分別為0.7、0.6和0.5.
（Ⅰ）三人各向目標(biāo)射擊一次，求至少有一人命中目標(biāo)的概率及恰有兩人命中目標(biāo)概率；（Ⅱ）若甲單獨向目標(biāo)射擊三次，求他恰好命中兩次的概率. (2004年重慶卷)
14．從數(shù)字1，2，3，4，5，中，隨機(jī)抽取3個數(shù)字（允許重復(fù)）組成一個三位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于9的概率為 （ D ）
A． B． C． D．
15．（本小題滿分12分）
一接待中心有A、B、C、D四部熱線電話，已知某一時刻電話A、B占線的概率均為0.5，電話C、D占線的概率均為0.4，各部電話是否占線相互之間沒有影響.假設(shè)該時刻有ξ部電話占線.試求隨機(jī)變量ξ的概率分布和它的期望.
解：本小題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念.考查運(yùn)用概率知識解決實際問題的能力.滿分12分.
解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.
P(ξ=1)= ×0.52×0.62+ ×0.52×0.4×0.6=0.3
P(ξ=2)= ×0.52×0.62+×0.52×0.4×0.6+ ×0.52×0.42=0.37.
P(ξ=3)= ×0.52×0.4×0.6+×0.52×0.42=0.2
P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04
于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布列為：
ξ
0
1
2
3
4
P
0.09
0.3
0.37
0.2
0.04
所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.
16．從1，2，……，9這九個數(shù)中，隨機(jī)抽取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)的和為偶數(shù)的概率是（C ）
A． B． C． D．
17．在由數(shù)字1，2，3，4，5組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145且小于43521
的數(shù)共有 （ C ）
A．56個 B．57個 C．58個 D．60個
18.某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為n的樣本，樣本中A種型號產(chǎn)品有16件.那么此樣本的容量n= .(答案: 80)
19．標(biāo)號為1，2，…，10的10個球放入標(biāo)號為1，2，…，10的10個盒子內(nèi)，每個盒內(nèi)放一個球，則恰好有3個球的標(biāo)號與其所在盒子的標(biāo)號不一致的放入方法共有 240
種.（以數(shù)字作答）
20.某校有老師200人，男學(xué)生1200人，女學(xué)生1000人.現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有師生中抽取一個容量為n的樣本；已知從女學(xué)生中抽取的人數(shù)為80人，則n= 192 .
第16講 概率與統(tǒng)計
概率內(nèi)容的新概念較多，相近概念容易混淆，本課時就學(xué)生易犯錯誤作如下歸納總結(jié)：
類型一 “非等可能”與“等可能”混同
例1 擲兩枚骰子，求所得的點數(shù)之和為6的概率．
錯解 擲兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和2，3，4，…，12共11種基本事件，所以概率為P=
剖析 以上11種基本事件不是等可能的，如點數(shù)和2只有(1，1)，而點數(shù)之和為6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5種．事實上，擲兩枚骰子共有36種基本事件，且是等可能的，所以“所得點數(shù)之和為6”的概率為P=．
類型二 “互斥”與“對立”混同
例2 把紅、黑、白、藍(lán)4張紙牌隨機(jī)地分給甲、乙、丙、丁4個人，每個人分得1張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是（ ）
A．對立事件 B．不可能事件 C．互斥但不對立事件 D．以上均不對
錯解 A
剖析 本題錯誤的原因在于把“互斥”與“對立”混同，二者的聯(lián)系與區(qū)別主要體現(xiàn)在 ：
(1)兩事件對立，必定互斥，但互斥未必對立；(2)互斥概念適用于多個事件，但對立概念只適用于兩個事件；(3)兩個事件互斥只表明這兩個事件不能同時發(fā)生，即至多只能發(fā)生其中一個，但可以都不發(fā)生；而兩事件對立則表示它們有且僅有一個發(fā)生．
事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是不能同時發(fā)生的兩個事件，這兩個事件可能恰有一個發(fā)生，一個不發(fā)生，可能兩個都不發(fā)生，所以應(yīng)選C．
類型三 “互斥”與“獨立”混同
例3 甲投籃命中率為O．8，乙投籃命中率為0.7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少?
錯解 設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，則兩人都恰好投中兩次為事件A+B，P(A+B)=P(A)+P(B)：
剖析 本題錯誤的原因是把相互獨立同時發(fā)生的事件當(dāng)成互斥事件來考慮，將兩人都恰好投中2次理解為“甲恰好投中兩次”與“乙恰好投中兩次”的和．互斥事件是指兩個事件不可能同時發(fā)生；兩事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生與否沒有影響，它們雖然都描繪了兩個事件間的關(guān)系，但所描繪的關(guān)系是根本不同．
解： 設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，且A，B相互獨立，
則兩人都恰好投中兩次為事件A·B，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 0.169
類型四 “條件概率P(B / A)”與“積事件的概率P(A·B)”混同
例4 袋中有6個黃色、4個白色的乒乓球，作不放回抽樣，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黃色球的概率．
錯解 記“第一次取到白球”為事件A，“第二次取到黃球”為事件B,”第二次才取到黃球”為事件C,所以P(C)=P(B/A)=.
剖析 本題錯誤在于P(AB)與P(B/A)的含義沒有弄清, P(AB)表示在樣本空間S中,A與B同時發(fā)生的概率；而P（B/A）表示在縮減的樣本空間SA中，作為條件的A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率。
解: P（C）= P(AB)=P（A）P（B/A）=.
備用
1. 某班數(shù)學(xué)興趣小組有男生和女生各３名，現(xiàn)從中任選２名學(xué)生去參加校數(shù)學(xué)競賽，求
（I） 恰有一名參賽學(xué)生是男生的概率；
（II）至少有一名參賽學(xué)生是男生的概率；
（Ⅲ）至多有一名參賽學(xué)生是男生的概率。
解：基本事件的種數(shù)為=15種
（Ⅰ）恰有一名參賽學(xué)生是男生的基本事件有=9種 所求事件概率P1==0.6
（Ⅱ）至少有一名參賽學(xué)生是男生這一事件是由兩類事件構(gòu)成的，即恰有一名參賽學(xué)生是男生和兩名參賽學(xué)生都是男生,所求事件概率P2=
（Ⅲ）至多有一名參賽學(xué)生是男生這一事件也是由兩類事件構(gòu)成的，即參賽學(xué)生沒有男生和恰有一名參賽學(xué)生是男生,所求事件概率P3=
2. 已知兩名射擊運(yùn)動員的射擊水平，讓他們各向目標(biāo)靶射擊10次，其中甲擊中目標(biāo)7次，乙擊中目標(biāo)6次，若在讓甲、乙兩人各自向目標(biāo)靶射擊3次中，求：（1）甲運(yùn)動員恰好擊中目標(biāo)2次的概率是多少？（2）兩名運(yùn)動員都恰好擊中目標(biāo)2次的概率是多少？（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）
解. 甲運(yùn)動員向目標(biāo)靶射擊1次，擊中目標(biāo)的概率為7/10=0.7
乙運(yùn)動員向目標(biāo)靶射擊1次，擊中目標(biāo)的概率為6/10=0.6
(1)甲運(yùn)動員向目標(biāo)靶射擊3次，恰好都擊中目標(biāo)2次的概率是
(2)乙運(yùn)動員各向目標(biāo)靶射擊3次，恰好都擊中目標(biāo)2次的概率是
作業(yè)
甲、乙兩人獨立地解同一問題，甲解決這個問題的概率是p1，乙解決這個問題的概率
是p2，那么恰好有1人解決這個問題的概率是 ( )
（A） （B） （C） （D）
2. 連續(xù)擲兩次骰子，以先后得到的點數(shù)m、n為點P（m，n）的坐標(biāo)，那么點P在圓x2+y2＝17外部的概率應(yīng)為（ ）
（A） （B） （C） （D）
3. 從含有500個個體的總體中一次性地抽取25個個體，假定其中每個個體被抽到的概率
相等，那么總體中的每個個體被抽取的概率等于_______。
4. 若在二項式（x+1）10的展開式中任取一項,則該項的系數(shù)為奇數(shù)的概率是 .
（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）
5. 袋中有大小相同的5個白球和3個黑球，從中任意摸出4個，求下列事件發(fā)生的概率.
（Ⅰ）摸出2個或3個白球 ; （Ⅱ）至少摸出一個黑球.
已知甲、乙兩人投籃的命中率分別為0.4和0.6．現(xiàn)讓每人各投兩次，試分別求下列事件的概率：（Ⅰ）兩人都投進(jìn)兩球；（Ⅱ）兩人至少投進(jìn)三個球.
作業(yè)答案
1. B 2. D 3. 0.05 4.
5.（Ⅰ）P（A+B）= P（A）+P（B）＝=; （Ⅱ） P=-=
6.（Ⅰ）Ｐ（兩人都投進(jìn)兩球）＝ =　　
（Ⅱ）P（兩人至少投進(jìn)三個球）＝
第二課時
例題
例1 甲、乙二人參加普法知識競答，共有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4個，甲、乙二人依次各抽一題.
（Ⅰ）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少？
（Ⅱ）甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？(2000年新課程卷)
例2 如圖,用A、B、C三類不同的元件連接成兩個系統(tǒng)N1、N2.當(dāng)元件A、B、C都正常工作時,系統(tǒng)N1正常工作；當(dāng)元件A正常工作且元件B、C至少有一個正常工作時,系統(tǒng)N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90.分別求系統(tǒng)N1、N2正常工作的概率P1、P2. (2001年新課程卷)
例3 某單位6個員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作，每個員工上網(wǎng)的概率都是0.5（相互獨立）.
（Ⅰ）求至少3人同時上網(wǎng)的概率；
（Ⅱ）至少幾人同時上網(wǎng)的概率小于0.3？(2002年新課程卷)
例4 有三種產(chǎn)品，合格率分別是0.90，0.95和0.95，各抽取一件進(jìn)行檢驗.
（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；
（Ⅱ）求至少有兩件不合格的概率.（精確到0.001） (2003年新課程卷)
備用 從分別寫有0，1，2，3，4，5，6的七張卡片中，任取4張，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，計算：
(1)這個四位數(shù)是偶數(shù)的概率；
(2)這個四位數(shù)能被9整除的概率；
(3)這個四位數(shù)比4510大的概率。
解： （1）組成的所有四位數(shù)共有個。四位偶數(shù)有：個位是0時有,個位不是0時有,共有120+300=420個.
組成的四位數(shù)為偶數(shù)的概率為
(2)能被9整除的數(shù)，應(yīng)該各位上的數(shù)字和能被9整除.數(shù)字組合為：1，2，6，0 1，3，5，0 2，4，5，0 3，4，5，6 2，3，4，0 此時共有.
能被9整除的四位數(shù)的概率為
(3)比4510大的數(shù)分別有：千位是4，百位是5時，有;千位是4，百位是6時，有;千位大于4時，有;故共有240+20+18=278.
四位數(shù)且比4510大的概率為
作業(yè)
一臺X型號自動機(jī)床在一小時內(nèi)不需要工人照看的概率為0.8000,有四臺這中型號的自
動機(jī)床各自獨立工作,則在一小時內(nèi)至多2臺機(jī)床需要工人照看的概率是 ( )
（A）0.1536 （B） 0.1808 （C） 0.5632 （D） 0.9728
2. 種植兩株不同的花卉，它們的存活率分別為p和q，則恰有一株存活的概率為 ( )
(A) p+q－2p q (B) p+q－pq (C) p+q (D) pq
3. 有紅、黃、藍(lán)三種顏色的旗幟各3面，在每種顏色的3面旗幟上分別標(biāo)上號碼1、2和
3，現(xiàn)任取出3面，它們的顏色與號碼不相同的概率是 .
4. 某班委會由4名男生與3名女生組成,現(xiàn)從中選出2人擔(dān)任正副班長,其中至少有1名女
生當(dāng)選的概率是 (用分?jǐn)?shù)作答)
5. 某產(chǎn)品檢驗員檢查每一件產(chǎn)品時，將正品錯誤地鑒定為次品的概率為0.1，將次口錯誤地鑒定為正品的概率為0.2，如果這位檢驗員要鑒定4件產(chǎn)品，這4件產(chǎn)品中3件是正品，1件是次品，試求檢驗員鑒定成正品，次品各2件的概率.
6. 如圖，用表示四類不同的元件連接成系統(tǒng).當(dāng)元件至少有一個正常工作且元件至少有一個正常工作時，系統(tǒng)
正常工作.已知元件正常工作的概率
依次為0.5，0.6，0.7，0.8，求元件連接成的系
統(tǒng)正常工作的概率.
例題答案
1. (Ⅰ) ; (Ⅱ). 2. 0.648; 0.792. 3. (Ⅰ) ; (Ⅱ) 5人. 4. (Ⅰ) 0.176 ; (Ⅱ) 0.012 .
作業(yè)答案
1. D 2. A 3. 4. 5．解：有兩種可能：將原1件次品仍鑒定為次品，原3件正品中1件錯誤地鑒定為次品;將原1件次品錯誤地鑒定為正品，原3件正品中的2件錯誤地鑒定為次品. 概率為
P＝＝0.1998
6．解： =0.752
第三課時
例題
例1 從10位同學(xué)（其中6女，4男）中隨機(jī)選出3位參加測驗.每位女同學(xué)能通過測驗的概率均為，每位男同學(xué)能通過測驗的概率均為.試求：
（Ⅰ）選出的3位同學(xué)中，至少有一位男同學(xué)的概率；
（Ⅱ）10位同學(xué)中的女同學(xué)甲和男同學(xué)乙同時被選中且通過測驗的概率.
(2004年全國卷Ⅰ)
例2 已知8支球隊中有3支弱隊,以抽簽方式將這8支球隊分為A、B兩組,每組4支.求：
（Ⅰ）A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊的概率；
（Ⅱ）A組中至少有兩支弱隊的概率. (2004年全國卷Ⅱ)
例3 某同學(xué)參加科普知識競賽，需回答3個問題.競賽規(guī)則規(guī)定：答對第一、二、三問題分別得100分、100分、200分，答錯得零分.假設(shè)這名同學(xué)答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8、0.7、0.6，且各題答對與否相互之間沒有影響.
（Ⅰ）求這名同學(xué)得300分的概率；
（Ⅱ）求這名同學(xué)至少得300分的概率. (2004年全國卷Ⅲ)
例4 從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽.
（Ⅰ）求所選3人都是男生的概率；
（Ⅱ）求所選3人中恰有1名女生的概率；
（Ⅲ）求所選3人中至少有1名女生的概率. (2004年天津卷)
備用 A、B、C、D、E五人分四本不同的書，每人至多分一本，求：
(1)A不分甲書，B不分乙書的概率；
(2)甲書不分給A、B，乙書不分給C的概率。
解： （1）分別記“分不到書的是A，B不分乙書”，“分不到書的是B，A不分甲書”，“分不到書的是除A,B以外的其余的三人中的一人，同時A不分甲書，B不分乙書”為事件A1,B1,C1，它們的概率是
.
因為事件A1,B1,C1彼此互斥，由互斥事件的概率加法公式，A不分甲書，B不分乙書的概率是：
(2) 在乙書不分給C的情況下，分別記“甲書分給C”，“甲書分給D”，“甲書分給E”為事件A2,B2,C2彼此互斥，有互斥事件的概率加法公式，甲書不分給A,B，乙書不分給C的概率為：

作業(yè)
將一顆質(zhì)地均勻的骰子（它是一種各面上分別標(biāo)有點數(shù)1，2，3，4，5，6的正方體玩
具）先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點向上的概率是 ( )
（A） （B） （C） （D）
2. 在5張卡片上分別寫著數(shù)字1、2、3、4、5，然后把它們混合，再任意排成一行，則得到的數(shù)能被5或2整除的概率是( )
(A) 0.8 (B) 0.6 (C) 0.4 (D) 0.2
3. 在某次花樣滑冰比賽中，發(fā)生裁判受賄事件，競賽委員會決定將裁判曰原來的９名增至14名，但只任取其中７名裁判的評分作為有效分，若14名裁判中有2人受賄，則有效分中沒有受賄裁判的評分的概率是　　　　　　　.（結(jié)果用數(shù)值表示）
4. 某國際科研合作項目成員由11個美國人、4個法國人和5個中國人組成。現(xiàn)從中隨機(jī)
選出兩位作為成果發(fā)布人，則此兩人不屬于同一個國家的概率為
（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）
5. 已知10件產(chǎn)品中有3件是次品.
（I）任意取出3件產(chǎn)品作檢驗，求其中至少有1件是次品的概率；
（II）為了保證使3件次品全部檢驗出的概率超過0.6，最少應(yīng)抽取幾件產(chǎn)品作檢驗？
6. 冰箱中放有甲、乙兩種飲料各5瓶，每次飲用時從中任意取1瓶甲種或乙種飲料，取用甲種或乙種飲料的概率相等.
（Ⅰ）求甲種飲料飲用完畢而乙種飲料還剩下3瓶的概率；
（Ⅱ）求甲種飲料被飲用瓶數(shù)比乙種飲料被飲用瓶數(shù)至少多4瓶的概率.
例題答案
1（Ⅰ）;（Ⅱ） 2（Ⅰ）;（Ⅱ）. 3（Ⅰ）0.228;（Ⅱ）0.564. 4（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）.
作業(yè)答案
1. D 2. B 3. 4. 5. 解：（Ⅰ） （Ⅱ）最少應(yīng)抽取9件產(chǎn)品作檢驗.
6. 解：（I）. （II）P6(5)+P5(5)+P4(4) =C65P5(1－P)+C55P5+C44P4=
第四課時
例題
例1 某地區(qū)有5個工廠，由于用電緊缺，規(guī)定每個工廠在一周內(nèi)必須選擇某一天停電
（選哪一天是等可能的）.假定工廠之間的選擇互不影響.
（Ⅰ）求5個工廠均選擇星期日停電的概率；
（Ⅱ）求至少有兩個工廠選擇同一天停電的概率. (2004年浙江卷)
例2 甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測試，至少答對2題才算合格.
（Ⅰ）分別求甲、乙兩人考試合格的概率；
（Ⅱ）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率. (2004年福建卷)
例3 甲、乙、丙三臺機(jī)床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為,乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為,甲、丙兩臺機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為.
（Ⅰ）分別求甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工零件是一等品的概率；
（Ⅱ）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率.
(2004年湖南卷)
例4 為防止某突發(fā)事件發(fā)生，有甲、乙、丙、丁四種相互獨立的預(yù)防措施可供采用，單獨采用甲、乙、丙、丁預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率（記為P）和所需費(fèi)用如下:
預(yù)防措施
甲
乙
丙
丁
P
0.9
0.8
0.7
0.6
費(fèi)用（萬元）
90
60
30
10
預(yù)防方案可單獨采用一種預(yù)防措施或聯(lián)合采用幾種預(yù)防措施，在總費(fèi)用不超過120萬元的前提下,請確定一個預(yù)防方案，使得此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大.(2004年湖北卷)
備用 一個醫(yī)生已知某種疾病患者的痊愈率為25%，為實驗一種新藥是否有效，把它給10個病人服用，且規(guī)定若10個病人中至少有4個被治好，則認(rèn)為這種藥有效；反之，則認(rèn)為無效，試求：
(1)雖新藥有效，且把痊愈率提高到35%，但通過試驗被否定的概率；
(2)新藥完全無效，但通過試驗被認(rèn)為有效的概率。
解： 記一個病人服用該藥痊愈為事件 A，且其概率為P，那么10個病人服用該藥相當(dāng)于10次重復(fù)試驗.
(1)因新藥有效且P=0.35，故由n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生k次的概率公式知，試驗被否定（即新藥無效）的概率為
(2)因新藥無效，故P=0.25，試驗被認(rèn)為有效的概率為
答： 新藥有效，但通過試驗被否定的概率為0.5138；而新藥無效，但通過試驗被認(rèn)為有效的概率為0.2242
作業(yè)
1. 從1，2，…，9這九個數(shù)中，隨機(jī)抽取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)的和為偶數(shù)的概率是
（A） （B） （C） （D） ( )
2. 甲、乙兩人獨立地解同一題，甲解決這個問題的概率是0.4，乙解決這個問題的概率是0.5，那么其中至少有一人解決這個問題的概率是 ( )
(A)0.9 (B)0.2 (C)0.8 (D)0.7
3. 一個袋中有帶標(biāo)號的7個白球，3個黑球．事件A：從袋中摸出兩個球，先摸的是黑球，
后摸的是白球．那么事件A發(fā)生的概率為________．
4. 口袋內(nèi)裝有10個相同的球，其中5個球標(biāo)有數(shù)字0，5個球標(biāo)有數(shù)字1，若從袋中摸出
5個球，那么摸出的5個球所標(biāo)數(shù)字之和小于2或大于3的概率是 .（以數(shù)值作答）
5. 張華同學(xué)騎自行車上學(xué)途中要經(jīng)過4個交叉路口，在各交叉路口遇到紅燈的概率都是 （假設(shè)各交叉路口遇到紅燈的事件是相互獨立的）.
（Ⅰ）求張華同學(xué)某次上學(xué)途中恰好遇到3次紅燈的概率.
（Ⅱ）求張華同學(xué)某次上學(xué)時，在途中首次遇到紅燈前已經(jīng)過2 個交叉路口的概率.設(shè)
甲、乙、丙三人分別獨立解一道題，已知甲做對這道題的概率是，甲、丙兩人都做錯的概率是，乙、丙兩人都做對的概率是.
（Ⅰ）求乙、丙兩人各自做對這道題的概率；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中至少有兩人做對這道題的概率.
例題答案
1．（Ⅰ）； （Ⅱ）. 2．（Ⅰ）;（Ⅱ）.
3．（Ⅰ）；（Ⅱ） 4．聯(lián)合采用乙、丙、丁三種預(yù)防措施
作業(yè)答案
1. C 2. D 3. 4. 5. （Ⅰ）（Ⅱ） 6. （Ⅰ）,（Ⅱ）
第五課時
例題
例1 某廠生產(chǎn)的A產(chǎn)品按每盒10件進(jìn)行包裝，每盒產(chǎn)品均需檢驗合格后方可出廠．質(zhì)檢辦法規(guī)定：從每盒10件A產(chǎn)品中任抽4件進(jìn)行檢驗，若次品數(shù)不超過1件，就認(rèn)為該盒產(chǎn)品合格；否則，就認(rèn)為該盒產(chǎn)品不合格．已知某盒A產(chǎn)品中有2件次品．
（Ⅰ）求該盒產(chǎn)品被檢驗合格的概率；
（Ⅱ）若對該盒產(chǎn)品分別進(jìn)行兩次檢驗，求兩次檢驗得出的結(jié)果不一致的概率．
(2004年南京市一模)
一個通信小組有兩套設(shè)備，只要其中有一套設(shè)備能正常工作，就能進(jìn)行通信.每套設(shè)備由3個部件組成，只要其中有一個部件出故障，這套設(shè)備就不能正常工作.如果在某一時間段內(nèi)每個部件不出故障的概率為p，計算在這一時間段內(nèi)
（Ⅰ）恰有一套設(shè)備能正常工作的概率；
（Ⅱ）能進(jìn)行通信的概率. (2004年南京市二模)
某校田徑隊有三名短跑運(yùn)動員，根據(jù)平時的訓(xùn)練情況統(tǒng)計，甲、乙、丙三人100m跑(互不影響)的成績在13s內(nèi)(稱為合格)的概率分別是，，.如果對這3名短跑運(yùn)動員的100m跑的成績進(jìn)行一次檢測. 問
（Ⅰ）三人都合格的概率與三人都不合格的概率分別是多少？
（Ⅱ）出現(xiàn)幾人合格的概率最大？ (2004年南京市三模)
例4 設(shè)甲、乙、丙三人每次射擊命中目標(biāo)的概率分別為0.7、0.6和0.5.
（Ⅰ）三人各向目標(biāo)射擊一次，求至少有一人命中目標(biāo)的概率及恰有兩人命中目標(biāo)概率；（Ⅱ）若甲單獨向目標(biāo)射擊三次，求他恰好命中兩次的概率. (2004年重慶卷)
備用 若甲、乙二人進(jìn)行乒乓球比賽，已知每一局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，比賽時可以用三局兩勝和五局三勝制，問在哪種比賽制度下，甲獲勝的可能性較大.
解： 三局兩勝制的甲勝概率：
甲勝兩場：,甲勝三場：,
甲勝概率為+=0.648
五局三勝制：
甲勝三場：,甲勝四場：,甲勝五場：,
甲勝概率為++=0.682
由0.648<0.682，知五局三勝制中甲獲勝的可能性更大.
作業(yè)
1. 已知盒中裝有3只螺口與7只卡口燈炮，這些燈炮的外形與功率都相同且燈口向下放著，現(xiàn)需要一只卡口燈炮使用，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則他直到第3次才取得卡口燈炮的概率為 ( )
（A） （B） （C） （D）
2. 從5名演員中選3人參加表演，其中甲在乙前表演的概率為（ ）
(A) (B) (C) (D)
3. 15名新生，其中有3名優(yōu)秀生，現(xiàn)隨機(jī)將他們分到三個班級中去，每班5人，則每班都分到優(yōu)秀生的概率是　　　　　　　　．
如圖，已知電路中3個開關(guān)閉合的概率都是0.5， 且是相互獨立的，則燈亮的概率為

甲、乙、丙3人一起參加公務(wù)員選拔考試，根據(jù)3 人的初試情況，預(yù)計他們被錄用的概率依次為0.7、0.8、0.8. 求:
(Ⅰ)甲、乙2人中恰有1 人被錄用的概率；(Ⅱ)3人中至少的2 人被錄用的概率.
6. 對5副不同的手套進(jìn)行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只．（Ⅰ）求下列事件的概率：①A：甲正好取得兩只配對手套； ②B：乙正好取得兩只配對手套；（Ⅱ）A與B是否獨立？并證明你的結(jié)論．
例題答案
1. (Ⅰ) ; (Ⅱ) 2. (Ⅰ)(Ⅱ)
3.（Ⅰ），；（Ⅱ）1人 . 4. （Ⅰ）0.94, 0.44; （Ⅱ）0.441
作業(yè)答案
1. D 2. A 3. 4. 0.625 5. (Ⅰ) ; (Ⅱ)0.416+0.448=0.864.
6.(Ⅰ)①,②; (Ⅱ),,故A與B是不獨立的．
備用課時一 隨機(jī)事件的概率
例題
例1 某人有5把鑰匙，但忘記了開房門的是哪一把，于是，他逐把不重復(fù)地試開，問：
(1)恰好第三次打開房門所的概率是多少？
(2)三次內(nèi)打開的概率是多少？
(3)如果5把內(nèi)有2把房門鑰匙，那么三次內(nèi)打開的概率是多少？
解 5把鑰匙，逐把試開有種結(jié)果，由于該人忘記了開房間的是哪一把，因此這些結(jié)果是等可能的。
(1)第三次打開房門的結(jié)果有種，故第三次打開房門鎖的概率P(A)==
(2)三次內(nèi)打開房門的結(jié)果有種，因此所求概率P(A)= =
(3)方法1 因5把內(nèi)有2把房門鑰匙，故三次內(nèi)打不開的結(jié)果有種，從而三次內(nèi)打開的結(jié)果有種，從而三次內(nèi)打開的結(jié)果有種，所求概率P(A)= =.
方法2 三次內(nèi)打開的結(jié)果包括：三次內(nèi)恰有一次打開的結(jié)果種；三次內(nèi)恰有兩次打開的結(jié)果種.因此，三次內(nèi)打開的結(jié)果有（）種，所求概率P(A)=
例2 某商業(yè)銀行為儲戶提供的密碼有0，1，2，…，9中的6個數(shù)字組成.
(1)某人隨意按下6個數(shù)字，按對自己的儲蓄卡的密碼的概率是多少？
(2)某人忘記了自己儲蓄卡的第6位數(shù)字，隨意按下一個數(shù)字進(jìn)行試驗，按對自己的密碼的概率是多少？
解 （1）儲蓄卡上的數(shù)字是可以重復(fù)的，每一個6位密碼上的每一個數(shù)字都有0，1，2，…，9這10種，正確的結(jié)果有1種，其概率為，隨意按下6個數(shù)字相當(dāng)于隨意按下個，隨意按下6個數(shù)字相當(dāng)于隨意按下個密碼之一，其概率是.
(2)以該人記憶自己的儲蓄卡上的密碼在前5個正確的前提下，隨意按下一個數(shù)字，等可能性的結(jié)果為0，1，2，…，9這10種，正確的結(jié)果有1種，其概率為.
例3 一個口袋內(nèi)有m個白球和n個黑球，從中任取3個球，這3個球恰好是2白1黑的概率是多少？（用組合數(shù)表示）
解 設(shè)事件I是“從m個白球和n個黑球中任選3個球”，要對應(yīng)集合I1，事件A是“從m個白球中任選2個球，從n個黑球中任選一個球”，本題是等可能性事件問題，且Card(I1)= ，于是P(A)=.
例4 將一枚骰子先后拋擲2次，計算:
(1)一共有多少種不同的結(jié)果.
(2)其中向上的數(shù)之積是12的結(jié)果有多少種？
(3)向上數(shù)之積是12的概率是多少？
解 （1）將骰子向桌面先后拋擲兩次，一共有36種不同的結(jié)果.
(2)向上的數(shù)之積是12，記（I,j）為“第一次擲出結(jié)果為I，第二次擲出結(jié)果為j”則相乘為12的結(jié)果有（2，6），（3，4），（4，3），（6，2）4種情況.
(3)由于骰子是均勻的，將它向桌面先后拋擲2次的所有36種結(jié)果是等可能的，其中“向上的數(shù)之積是12”這一事件記為A.Card(A)=4.所以所求概率P(A)= =.
作業(yè)
1． 袋中有a只黑球b只白球，它們除顏色不同外，沒有其它差別，現(xiàn)在把球隨機(jī)地一只一只摸出來，求第k次摸出的球是黑球的概率.
解法一：把a(bǔ)只黑球和b只白球都看作是不同的，將所有的球都一一摸出來放在一直線上的a+b個位置上，把所有的不同的排法作為基本事件的全體，則全體基本事件的總數(shù)為（a+b）！，而有利事件數(shù)為a(a+b-1)!故所求概率為P=。
解法二：把a(bǔ)只黑球和b只白球看作是不同的，將前k次摸球的所有不同可能作為基本事件全體，總數(shù)為，有利事件為，故所求概率為P=
解法三：把只考慮k次摸出球的每一種可能作為基本事件，總數(shù)為a+b，有利事件為a,故所求概率為.
備用課時二 互斥事件有一個發(fā)生的概率
例題
例1 房間里有6個人，求至少有2個人的生日在同一月內(nèi)的概率.
解 6個人生日都不在同一月內(nèi)的概率P()=.故所求概率為P(A)=1-P()=1-.
例2 從一副52張的撲克牌中任取4張，求其中至少有兩張牌的花色相同的概率。
解法1 任取四張牌，設(shè)至少有兩張牌的花色相同為事件A；四張牌是同一花色為事件B1；有3張牌是同一花色，另一張牌是其他花色為事件B2；每兩張牌是同一花色為事件B3；只有兩張牌是同一花色，另兩張牌分別是不同花色為事件B4，可見，B1,B2,B3,B4彼此互斥，且A=B1+B2+B3+B4。
P(B1)= , P(B2)= ,
P(B3)= , P(B4)= ,
P(A)=P(B1)+P(B2)+P(B3)+P(B4) 0.8945
解法2 設(shè)任取四長牌中至少有兩張牌的花色相同為事件A，則為取出的四張牌的花色各不相同， P（）=，
答：至少有兩張牌花色相同的概率是0.8945
例3 在20件產(chǎn)品中有15件正品，5件次品，從中任取3件，求：
（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.
解 （1）從20件產(chǎn)品中任取3件的取法有，其中恰有1件次品的取法為。
恰有一件次品的概率P=.
(2)法一 從20件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有1件次品為事件A1,恰有2件次品為事件A2，3件全是次品為事件A3,則它們的概率
P(A1)= =,,,
而事件A1、A2、A3彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率
P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= .
法二 記從20件產(chǎn)品中任取3件，3件全是正品為事件A，那么任取3件，至少有1件次品為，根據(jù)對立事件的概率加法公式P()=
例4 1副撲克牌有紅桃、黑桃、梅花、方塊4種花色，每種13張，共52張，從1副洗好的牌中任取4張，求4張中至少有3張黑桃的概率.
解 從52張牌中任取4張，有種取法.“4張中至少有3張黑桃”，可分為“恰有3張黑桃”和“4張全是黑桃”，共有種取法
注 研究至少情況時，分類要清楚。
作業(yè)
1． 在100件產(chǎn)品中，有95件合格品，5件次品，從中任取2件，求：
2件都是合格品的概率；
2件都是次品的概率；
(3)1件是合格品，1件是次品的概率。
解 從100件產(chǎn)品中任取2件的可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，就是從100個元素中任取2個元素的組合數(shù)，由于任意抽取，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.為基本事件總數(shù).
（1）00件產(chǎn)品中有95件合格品，取到2件合格品的結(jié)果數(shù)，就是從95個元素中任取2個組合數(shù)，記“任取2件都是合格品”為事件A1，那么
（2）由于在100件產(chǎn)品中有5件次品，取到2件次品的結(jié)果數(shù)為.記“任取2件都是次品”為事件A2,那么事件A2的概率為：
（3）記“任取2件，1件是次品，1件是合格品”為種，則事件A3的概率為：
備用課時三 相互獨立事件同時發(fā)生的概率
例題
例1 獵人在距離100米處射擊一野兔，其命中率為0.5，如果第一次射擊未中，則獵人進(jìn)行第二次射擊，但距離150米. 如果第二次射擊又未中，則獵人進(jìn)行第三次射擊，并且在發(fā)射瞬間距離為200米. 已知獵人的命中概率與距離的平方成反比，求獵人命中野兔的概率.
解 記三次射擊依次為事件A，B，C，其中,由，求得k=5000。
,命中野兔的概率為
例2 1個產(chǎn)品要經(jīng)過2道加工程序，第一道工序的次品率為3%，第二道工序次品率為2%，求產(chǎn)品的次品率.
解 設(shè)“第一道工序出現(xiàn)次品“為事件A，“第二道工序出現(xiàn)次品”為事件B，“至少有一道工序出現(xiàn)次品”該產(chǎn)品就是次品，所求概率為
例3 如圖，某電子器件是由三個電阻組成的回路，其中共有六個焊接點A、B、C、D、E、F，如果某個焊接點脫落，整個電路就會不通。每個焊接點脫落的概率均是，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)電路不通了，那么至少有兩個焊接點脫落的概率是多少？

解：
例4 要制造一種機(jī)器零件，甲機(jī)床廢品率為0.05，而乙機(jī)床廢品率為0.1，而它們的生產(chǎn)是獨立的，從它們制造的產(chǎn)品中，分別任意抽取一件，求：
（1）其中至少有一件廢品的概率； （2）其中至多有一件廢品的概率.
解： 設(shè)事件A為“從甲機(jī)床抽得的一件是廢品”；B為“從乙機(jī)床抽得的一件是廢品”.
則P（A）=0.05, P(B)=0.1,
（1）至少有一件廢品的概率
（2）至多有一件廢品的概率
作業(yè)
1． 假設(shè)每一架飛機(jī)引擎飛機(jī)中故障率為P，且個引擎是否發(fā)生故障是獨立的，如果有至少50%的引擎能正常運(yùn)行，問對于多大的P而言，4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)更安全？
解 飛機(jī)成功飛行的概率：
4引擎飛機(jī)為：
2引擎飛機(jī)為：
要使4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)更安全，只要
所以
第17講 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型與方法
一、專題綜述
導(dǎo)數(shù)是微積分的初步知識，是研究函數(shù)，解決實際問題的有力工具。在高中階段對于導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，主要是以下幾個方面:
1．導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問題：
（1）刻畫函數(shù)（比初等方法精確細(xì)微）；（2）同幾何中切線聯(lián)系（導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線）；（3）應(yīng)用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡便）等關(guān)于次多項式的導(dǎo)數(shù)問題屬于較難類型。
2．關(guān)于函數(shù)特征，最值問題較多，所以有必要專項討論，導(dǎo)數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡便。
3．導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向，應(yīng)引起注意。
二、知識整合
1．導(dǎo)數(shù)概念的理解．
2．利用導(dǎo)數(shù)判別可導(dǎo)函數(shù)的極值的方法及求一些實際問題的最大值與最小值．
復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則是微積分中的重點與難點內(nèi)容。課本中先通過實例，引出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，接下來對法則進(jìn)行了證明。
3．要能正確求導(dǎo)，必須做到以下兩點：
（1）熟練掌握各基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及和、差、積、商的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。
（2）對于一個復(fù)合函數(shù)，一定要理清中間的復(fù)合關(guān)系，弄清各分解函數(shù)中應(yīng)對哪個變量求導(dǎo)。
4．求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般按以下三個步驟進(jìn)行：
(1）適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系；（2）分步求導(dǎo)（弄清每一步求導(dǎo)是哪個變量對哪個變量求導(dǎo)）；（3）把中間變量代回原自變量（一般是x）的函數(shù)。
也就是說，首先，選定中間變量，分解復(fù)合關(guān)系，說明函數(shù)關(guān)系y=f(μ)，μ=f(x)；然后將已知函數(shù)對中間變量求導(dǎo)，中間變量對自變量求導(dǎo)；最后求，并將中間變量代回為自變量的函數(shù)。整個過程可簡記為分解——求導(dǎo)——回代。熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量。
三、例題分析
例1． 在處可導(dǎo)，則
思路： 在處可導(dǎo)，必連續(xù) ∴
∴
例2．已知f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f′(a)=b，求下列極限：
　　（1）； （2）
　　分析：在導(dǎo)數(shù)定義中，增量△x的形式是多種多樣，但不論△x選擇哪種形式，△y也必須選擇相對應(yīng)的形式。利用函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。
　　解：（1）
　　
　　（2）
　　
說明：只有深刻理解概念的本質(zhì)，才能靈活應(yīng)用概念解題。解決這類問題的關(guān)鍵是等價變形，使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。
例3．觀察，，，是否可判斷，可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。
解：若為偶函數(shù) 令


∴ 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)
另證：
∴ 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)
例4．（1）求曲線在點（1，1）處的切線方程；
　　（2）運(yùn)動曲線方程為，求t=3時的速度。
　　分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在點處的切線的斜率。瞬時速度是位移函數(shù)S(t)對時間的導(dǎo)數(shù)。
　　解：（1），
　　，即曲線在點（1，1）處的切線斜率k=0
　　因此曲線在（1，1）處的切線方程為y=1
　　（2）
　　。
例5． 求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間
（1） （2）
（3） （4）
解：（1） 時
∴ ，
（2） ∴ ，
（3）
∴
∴ ， ，
（4） 定義域為

例6．求證下列不等式
（1）
（2）
（3）
證：（1）
∴ 為上 ∴ 恒成立
∴
∴ 在上 ∴ 恒成立
（2）原式 令
∴ ∴
∴
（3）令
∴
∴
例7．利用導(dǎo)數(shù)求和：
　　（1）；
　　（2）。
　　分析：這兩個問題可分別通過錯位相減法及利用二項式定理來解決。轉(zhuǎn)換思維角度，由求導(dǎo)公式，可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可使問題的解決更加簡捷。
　　解：（1）當(dāng)x=1時，
　　；
　　當(dāng)x≠1時，
　　∵，
　　兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得
　　
　　即
　　（2）∵，
　　兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得。
　　令x=1得
　　，
　　即。
例8．設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
分析：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算能力.
解：.
當(dāng)時 .
（i）當(dāng)時，對所有，有.
即，此時在內(nèi)單調(diào)遞增.
（ii）當(dāng)時，對，有，
即，此時在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，又知函數(shù)在x=1處連續(xù)，因此，
函數(shù)在（0，+）內(nèi)單調(diào)遞增
（iii）當(dāng)時，令，即.
解得.
因此，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間
內(nèi)也單調(diào)遞增.
令，解得.
因此，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
　例9．已知拋物線與直線y=x+2相交于A、B兩點，過A、B兩點的切線分別為和。
　　（1）求A、B兩點的坐標(biāo)； （2）求直線與的夾角。
　　分析：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本例的關(guān)鍵。
　　解 （1）由方程組
　　 解得 A(-2，0)，B(3，5)
　　（2）由y′=2x，則，。設(shè)兩直線的夾角為θ，根據(jù)兩直線的夾角公式，
　　 所以
　　說明：本例中直線與拋物線的交點處的切線，就是該點處拋物線的切線。注意兩條直線的夾角公式有絕對值符號。
例10．（2001年天津卷）設(shè)，是上的偶函數(shù)。
（I）求的值； （II）證明在上是增函數(shù)。
解：（I）依題意，對一切有，即，
∴對一切成立，
由此得到，， 又∵，∴。
（II）證明：由，得，
當(dāng)時，有，此時。∴在上是增函數(shù)。
四、04年高考導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題型集錦
1．（全國卷10）函數(shù)y=xcosx-sinx在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)（ ）
A () B (π,2π) C () D (2π,3π)
2．（全國卷22）（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,
(i)求函數(shù)f(x)的最大值；(ii)設(shè)03.(天津卷9)函數(shù))為增函數(shù)的區(qū)間是
(A) (B) (C) (D)
4.（天津卷20）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)在處取得極值。
(I)討論和是函數(shù)的極大值還是極小值；
(II)過點作曲線的切線，求此切線方程。
（江蘇卷10）函數(shù)在閉區(qū)間[-3，0]上的最大值、最小值分別是 ( )
(A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-19
（浙江卷11）設(shè)f '(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y=f '(x)的圖象
如右圖所示，則y=f(x)的圖象最有可能的是
(A) (B) (C) (D)
（浙江卷20）設(shè)曲線y=e(x(x≥0)在點M(t,e(t}處的切線l與x軸、y軸圍成的三角形面積為S(t).(1)求切線l的方程；(2)求S(t)的最大值。
第１８講　　平面向量與解析幾何
在高中數(shù)學(xué)新課程教材中，學(xué)生學(xué)習(xí)平面向量在前，學(xué)習(xí)解析幾何在后，而且教材中二者知識整合的不多，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中就“平面向量”解平面向量題，不會應(yīng)用平面向量去解決解析幾何問題。用向量法解決解析幾何問題思路清晰，過程簡潔，有意想不到的神奇效果。著名教育家布魯納說過：學(xué)習(xí)的最好刺激是對所學(xué)材料的興趣，簡單的重復(fù)將會引起學(xué)生大腦疲勞，學(xué)習(xí)興趣衰退。這充分揭示方法求變的重要性，如果我們能重視向量的教學(xué)，必然能引導(dǎo)學(xué)生拓展思路，減輕負(fù)擔(dān)。
一、知識整合
平面向量是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，也是新高考的一個亮點。 向量知識、向量觀點在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”，能融數(shù)形與一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的的許多主干知識綜合，形成知識交匯點。而在高中數(shù)學(xué)體系中，解析幾何占有著很重要的地位，有些問題用常規(guī)方法去解決往往運(yùn)算比較繁雜，不妨運(yùn)用向量作形與數(shù)的轉(zhuǎn)化，則會大大簡化過程。
二、例題解析
例1、（2000年全國高考題）橢圓的焦點為FF，點P為其上的動點，當(dāng)∠FP F為鈍角時，點P橫坐標(biāo)的取值范圍是___。
解：F1（－,0）F2（,0）,設(shè)P（3cos,2sin）
為鈍角
∴
=9cos2－5＋4sin2=5 cos2－1<0
解得： ∴點P橫坐標(biāo)的取值范圍是（）
點評：解決與角有關(guān)的一類問題，總可以從數(shù)量積入手。本題中把條件中的角為鈍角轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為負(fù)值，通過坐標(biāo)運(yùn)算列出不等式，簡潔明了。
例2、已知定點A(-1,0)和B(1,0)，P是圓(x-3)2+(y-4)2=4上的一動點，求的最大值和最小值。
分析：因為O為AB的中點，所以故可利用向量把問題轉(zhuǎn)化為求向量的最值。
解：設(shè)已知圓的圓心為C，由已知可得：
又由中點公式得
所以
=
=
=
又因為 點P在圓(x-3)2+(y-4)2=4上,
所以 且
所以
即 故
所以的最大值為100，最小值為20。
點評：有些解幾問題雖然沒有直接用向量作為已知條件出現(xiàn)，但如果運(yùn)用向量知識來解決，也會顯得自然、簡便，而且易入手。
例3、（2003年天津高考題）O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過△ABC的（ ）
（A）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心
分析：因為同向的單位向量，由向量加法的平行四邊形則知是與∠ABC的角平分線（射線）同向的一個向量，又，知P點的軌跡是∠ABC的角平分線，從而點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心。
反思：根據(jù)本題的結(jié)論，我們不難得到求一個角的平分線所在的直線方程的步驟；
由頂點坐標(biāo)（含線段端點）或直線方程求得角兩邊的方向向量；
求出角平分線的方向向量
由點斜式或點向式得出角平分線方程。{直線的點向式方程：過P（），其方向向量為，其方程為}
例4、（2003年天津）已知常數(shù)，向量，經(jīng)過原點以為方向向量的直線與經(jīng)過定點以為方向向量的直線相交于點，其中．試問：是否存在兩個定點，使得為定值，若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（本小題主要考查平面向量的概念和計算,求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.）
解：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值.
∵， ∴=（λ，a），=（1，－2λa）.
因此，直線OP和AP的方程分別為 和 .
消去參數(shù)λ，得點的坐標(biāo)滿足方程.
整理得 ……① 因為所以得：
（i）當(dāng)時，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點E和F；
（ii）當(dāng)時，方程①表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點；
（iii）當(dāng)時，方程①也表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點.
點評：本題以平面向量為載體，考查求軌跡的方法、利用方程判定曲線的性質(zhì)、曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力。去掉平面向量的背景，我們不難看到，本題即為下題：在△OAP中，O（0，0）、A（0，a）為兩個定點，另兩邊OP與AP的斜率分別是，求P的軌跡。
而課本上有一道習(xí)題（數(shù)學(xué)第二冊（上）第96頁練習(xí)題4）：
三角形ABC的兩個頂點A、B的坐標(biāo)分別是（-6，0）、（6，0），邊AC、BC所在直線的斜率之積等于，求頂點C的軌跡方程。通過本例可見高考題目與課本的密切關(guān)系。
例5．（2004年天津卷理22）橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應(yīng)于焦點F（c，0）（）的準(zhǔn)線與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點.
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）若，求直線PQ的方程；
（3）設(shè)（），過點P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點M，證明.
分析：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程，平面向量的計算，曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.
（1）解：由題意，可設(shè)橢圓的方程為.
由已知得解得
所以橢圓的方程為，離心率.
（2）解：由（1）可得A（3，0）.
設(shè)直線PQ的方程為.由方程組
得
依題意，得.
設(shè)，則， ① . ②
由直線PQ的方程得.于是
. ③
∵，∴. ④
由①②③④得，從而.
所以直線PQ的方程為或
（2）證明：.由已知得方程組
注意，解得
因，故
.
而，所以.
三、總結(jié)提煉
由于向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，使向量與解析幾何之間有著密切聯(lián)系，而新課程高考則突出了對向量與解析幾何結(jié)合考查，這就要求我們在平時的解析幾何教學(xué)與復(fù)習(xí)中，應(yīng)抓住時機(jī)，有效地滲透向量有關(guān)知識，樹立應(yīng)用向量的意識。應(yīng)充分挖掘課本素材，在教學(xué)中從推導(dǎo)有關(guān)公式、定理，例題講解入手，讓學(xué)生去品位、去領(lǐng)悟，在公式、定理的探索、形成中逐漸體會向量的工具性，逐漸形成應(yīng)用向量的意識，在教學(xué)中還應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生善于運(yùn)用一些問題的結(jié)論，加以引申，使之成為解題方法，體會向量解題的優(yōu)越性，在教學(xué)中還應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生善于運(yùn)用向量方法解題，逐步樹立運(yùn)用向量知識解題的意識。
第19講 應(yīng)用問題的題型與方法
數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題是歷年高考命題的主要題型之一， 也是考生失分較多的一種題型. 高考中一般命制一道解答題和兩道選擇填空題.解答這類問題的要害是能閱讀、理解陳述的材料，深刻理解題意，學(xué)會文字語言向數(shù)學(xué)的符號語言的翻譯轉(zhuǎn)化，能結(jié)合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想方法解決問題，包括解決帶有實際意義的或者相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問題，并能用數(shù)學(xué)語言正確的加以表述.考生的弱點主要表現(xiàn)在將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的能力上.實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，關(guān)鍵是提高閱讀能力即數(shù)學(xué)審題能力，審出函數(shù)、方程、不等式、等式，要求我們讀懂材料，辨析文字?jǐn)⑹鏊磻?yīng)的實際背景，領(lǐng)悟從背景中概括出來的數(shù)學(xué)實質(zhì)，抽象其中的數(shù)量關(guān)系，將文字語言敘述轉(zhuǎn)譯成數(shù)學(xué)式符號語言，建立對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型解答.可以說，解答一個應(yīng)用題重點要過三關(guān)：一是事理關(guān)，即讀懂題意，需要一定的閱讀理解能力；二是文理關(guān)，即把文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號語言；三是數(shù)理關(guān)，即構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建之后還需要扎實的基礎(chǔ)知識和較強(qiáng)的數(shù)理能力.
由于數(shù)學(xué)問題的廣泛性，實際問題的復(fù)雜性，干擾因素的多元性，更由于實際問題的專一性，這些都給學(xué)生能讀懂題目提供的條件和要求，在陌生的情景中找出本質(zhì)的內(nèi)容，轉(zhuǎn)化為函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、排列、組合、概率、曲線、解三角形等問題.
一、知識整合
1．“考試大綱”對于“解決實際問題的能力”的界定是：能閱讀、理解對問題進(jìn)行陳述的材料；能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決問題，包括提煉、解決在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問題，并能用數(shù)學(xué)語言正確地加以表述.并且指出：對數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，要把握好提出問題所涉及的數(shù)學(xué)知識和方法的深度和廣度，切合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實際.
2．應(yīng)用問題的“考試要求”是考查考生的應(yīng)用意識和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識與方法來分析問題解決問題的能力，這個要求分解為三個要點：
（1）、要求考生關(guān)心國家大事，了解信息社會，講究聯(lián)系實際，重視數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活及科學(xué)中的應(yīng)用，明確“數(shù)學(xué)有用，要用數(shù)學(xué)”，并積累處理實際問題的經(jīng)驗.
（2）、考查理解語言的能力，要求考生能夠從普通語言中捕捉信息，將普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，以數(shù)學(xué)語言為工具進(jìn)行數(shù)學(xué)思維與交流.
（3）、考查建立數(shù)學(xué)模型的初步能力，并能運(yùn)用“考試大綱”所規(guī)定的數(shù)學(xué)知識和方法來求解.
3．求解應(yīng)用題的一般步驟是（四步法）：
（1）、讀題：讀懂和深刻理解，譯為數(shù)學(xué)語言，找出主要關(guān)系；
（2）、建模：把主要關(guān)系近似化、形式化，抽象成數(shù)學(xué)問題；
（3）、求解：化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解；
（4）、評價：對結(jié)果進(jìn)行驗證或評估，對錯誤加以調(diào)節(jié)，最后將結(jié)果應(yīng)用于現(xiàn)實，作出解釋或驗證.
4．在近幾年高考中，經(jīng)常涉及的數(shù)學(xué)模型，有以下一些類型：數(shù)列模型、函數(shù)模型、不等式模型、三角模型、排列組合模型等等.
Ⅰ．函數(shù)模型 函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的一部分內(nèi)容，現(xiàn)實世界中普遍存在著的最優(yōu)化問題，常常可歸結(jié)為函數(shù)的最值問題，通過建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，確定變量的限制條件，運(yùn)用函數(shù)知識和方法去解決. ⑴ 根據(jù)題意，熟練地建立函數(shù)模型；
⑵ 運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)、不等式等知識處理所得的函數(shù)模型.
Ⅱ．幾何模型 諸如航行、建橋、測量、人造衛(wèi)星等涉及一定圖形屬性的應(yīng)用問題，常常需要應(yīng)用幾何圖形的性質(zhì)，或用方程、不等式或用三角函數(shù)知識來求解. Ⅲ．?dāng)?shù)列模型 在經(jīng)濟(jì)活動中，諸如增長率、降低率、存款復(fù)利、分期付款等與年（月）份有關(guān)的實際問題，大多可歸結(jié)為數(shù)列問題，即通過建立相應(yīng)的數(shù)列模型來解決.在解應(yīng)用題時，是否是數(shù)列問題一是看自變量是否與正整數(shù)有關(guān)；二是看是否符合一定的規(guī)律，可先從特殊的情形入手，再尋找一般的規(guī)律.
二、例題分析
例1．（1996年全國高考題）某地現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)有增加22％，人均糧食產(chǎn)量比現(xiàn)在提高10％，如果人口年增長率為1％，那么耕地每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？
（糧食單產(chǎn)＝ ； 人均糧食產(chǎn)量＝）
分析：此題以關(guān)系國計民生的耕地、人口、糧食為背景，給出兩組數(shù)據(jù)，要求考生從兩條線索抽象數(shù)列模型，然后進(jìn)行比較與決策.
解：1.讀題：問題涉及耕地面積、糧食單產(chǎn)、人均糧食占有量、總?cè)丝跀?shù)及三個百分率，其中人均糧食占有量P＝， 主要關(guān)系是：P≥P .
2.建模：設(shè)耕地面積平均每年至多減少x公頃，現(xiàn)在糧食單產(chǎn)為a噸／公頃，現(xiàn)在人口數(shù)為m，則現(xiàn)在占有量為，10年后糧食單產(chǎn)為a(1＋0.22)，人口數(shù)為m(1＋0.01)，耕地面積為（10－10x）.
∴ ≥（1＋0.1）
即 1.22（10－10x）≥1.1×10×（1＋0.01）
3.求解： x≤10－×10×（1＋0.01）
∵ （1＋0.01）＝1＋C×0.01＋C×0.01＋C×0.01＋…≈1.1046
∴ x≤10－995.9≈4（公頃）
4.評價：答案x≤4公頃符合控制耕地減少的國情，又驗算無誤，故可作答.（答略）
另解：1.讀題：糧食總產(chǎn)量＝單產(chǎn)×耕地面積； 糧食總占有量＝人均占有量×總?cè)丝跀?shù)；
而主要關(guān)系是：糧食總產(chǎn)量≥糧食總占有量
2.建模：設(shè)耕地面積平均每年至多減少x公頃，現(xiàn)在糧食單產(chǎn)為a噸／公頃，現(xiàn)在人口數(shù)為m，則現(xiàn)在占有量為，10年后糧食單產(chǎn)為a(1＋0.22)，人口數(shù)為m(1＋0.01)，耕地面積為（10－10x）.
∴ a(1＋0.22)×(1O－10x)≥×(1＋0.1)×m(1＋0.01)
3.求解： x≤10－×10×（1＋0.01）
∵ （1＋0.01）＝1＋C×0.01＋C×0.01＋C×0.01＋…≈1.1046
∴ x≤10－995.9≈4（公頃）
4.評價：答案x≤4公頃符合控制耕地減少的國情，又驗算無誤，故可作答.（答略）
說明：本題主要是抓住各量之間的關(guān)系，注重3個百分率.其中耕地面積為等差數(shù)列，總?cè)丝跀?shù)為等比數(shù)列模型，問題用不等式模型求解.本題兩種解法，雖都是建立不等式模型，但建立時所用的意義不同，這要求靈活掌握，還要求對指數(shù)函數(shù)、不等式、增長率、二項式定理應(yīng)用于近似計算等知識熟練.此種解法可以解決有關(guān)統(tǒng)籌安排、最佳決策、最優(yōu)化等問題.此種題型屬于不等式模型，也可以把它作為數(shù)列模型，相比之下，主要求解過程是建立不等式模型后解出不等式.
在解答應(yīng)用問題時，我們強(qiáng)調(diào)“評價”這一步不可少！它是解題者的自我調(diào)節(jié)，比如本題求解過程中若令1.01≈1，算得結(jié)果為x≤98公頃，自然會問：耕地減少這么多，符合國家保持耕地的政策嗎？于是進(jìn)行調(diào)控，檢查發(fā)現(xiàn)是錯在1.01的近似計算上.
A M C D B
例2．（1991年上海高考題）已知某市1990年底人口為100萬，人均住房面積為5m，如果該市每年人口平均增長率為2％，每年平均新建住房面積為10萬m，試求到2000年底該市人均住房面積（精確到0.01）？
分析：城市每年人口數(shù)成等比數(shù)列，每年住房總面積成等比數(shù)列，分別寫出2000年后的人口數(shù)、住房總面積，從而計算人均住房面積.
解：1.讀題：主要關(guān)系：人均住房面積＝
2.建模：2000年底人均住房面積為
3.求解：化簡上式＝，
∵ 1.02＝1＋C×0.02＋C×0.02＋C×0.02＋…≈1.219
∴ 人均住房面積為≈4.92
4.評價：答案4.92符合城市實際情況，驗算正確，所以到2000年底該市人均住房面積為4.92m.
說明：一般地，涉及到利率、產(chǎn)量、降價、繁殖等與增長率有關(guān)的實際問題，可通過觀察、分析、歸納出數(shù)據(jù)成等差數(shù)列還是等比數(shù)列，然后用兩個基礎(chǔ)數(shù)列的知識進(jìn)行解答.此種題型屬于應(yīng)用問題中的數(shù)列模型.
例3．如圖，一載著重危病人的火車從O地出發(fā)，沿射線OA行駛，其中
在距離O地5a（a為正數(shù)）公里北偏東β角的N處住有一位醫(yī)學(xué)專家，其中
sinβ= 現(xiàn)有110指揮部緊急征調(diào)離O地正東p公里的B處的救護(hù)車趕往N處載上醫(yī)學(xué)專家全速追趕乘有重危病人的火車，并在C處相遇，經(jīng)測算當(dāng)兩車行駛的路線與OB圍成的三角形OBC面積S最小時，搶救最及時.
（1）求S關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系；
（2）當(dāng)p為何值時，搶救最及時.
解：（1）以O(shè)為原點，正北方向為y軸建立直角坐標(biāo)系，
則
設(shè)N（x0，y0），

又B（p，0），∴直線BC的方程為：
由得C的縱坐標(biāo)
，∴
（2）由（1）得 ∴，∴當(dāng)且僅當(dāng)時，上式取等號，∴當(dāng)公里時，搶救最及時.
例4．（1997年全國高考題）甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米／時，已知汽車每小時的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 v（千米／時）的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元.
① 把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米／時）的函數(shù)，并指出函數(shù)的定義域；
② 為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？
分析：幾個變量（運(yùn)輸成本、速度、固定部分）有相互的關(guān)聯(lián)，抽象出其中的函數(shù)關(guān)系，并求函數(shù)的最小值.
解：（讀題）由主要關(guān)系：運(yùn)輸總成本＝每小時運(yùn)輸成本×?xí)r間，
（建模）有y＝(a＋bv)
（解題）所以全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米／時）的函數(shù)關(guān)系式是：
y＝S(＋bv)，其中函數(shù)的定義域是v∈(0，c] .
整理函數(shù)有y＝S(＋bv)＝S(v＋)，
由函數(shù)y＝x＋ (k>0)的單調(diào)性而得：
當(dāng)當(dāng)≥c時，則v＝c時，y取最小值.
綜上所述，為使全程成本y最小，當(dāng)說明：1.對于實際應(yīng)用問題，可以通過建立目標(biāo)函數(shù)，然后運(yùn)用解（證）不等式的方法求出函數(shù)的最大值或最小值，其中要特別注意蘊(yùn)涵的制約關(guān)系，如本題中速度v的范圍，一旦忽視，將出現(xiàn)解答不完整.此種應(yīng)用問題既屬于函數(shù)模型，也可屬于不等式模型.
2.二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及函數(shù)（a＞0，b＞0）的性質(zhì)要熟練掌握.
3.要能熟練地處理分段函數(shù)問題.
例5．（2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(理工農(nóng)醫(yī)類20)）
在某海濱城市附近海面有一臺風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺風(fēng)中心位于城市O（如圖）的東偏南方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移動. 臺風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大. 問幾小時后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲？
解：如圖建立坐標(biāo)系以O(shè)為原點，正東方向為x軸正向.
在時刻：（1）臺風(fēng)中心P（）的坐標(biāo)為
此時臺風(fēng)侵襲的區(qū)域是
其中若在t時刻城市O受到臺風(fēng)
的侵襲，則有

即
答：12小時后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲.
例6．已知甲、乙、丙三種食物的維生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三種食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物內(nèi)至少含有56000單位維生素A和63000單位維生素B.
甲
乙
丙
維生素A（單位/千克）
600
700
400
維生素B（單位/千克）
800
400
500
成本（元/千克）
11
9
4
（1）用x，y表示混合食物成本c元；
（2）確定x，y，z的值，使成本最低.
解:（1）依題意得 .
（2）由 ， 得
，

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.，
∴當(dāng)x=50千克，y=20千克，z=30千克時，混合物成本最低為850元.
說明：線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容， 涉及此類問題的求解還可利用圖解法.
例7．（2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷文史類19））
有三個新興城鎮(zhèn)，分別位于A，B，C三點處，且AB=AC=13km，BC=10km.今計劃合建一個中心醫(yī)院，為同時方便三鎮(zhèn)，準(zhǔn)備建在BC的垂直平分線上的P點處，（建立坐標(biāo)系如圖）
（Ⅰ）若希望點P到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小，
點P應(yīng)位于何處？
（Ⅱ）若希望點P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為最小，
點P應(yīng)位于何處？
分析：本小題主要考查函數(shù)，不等式等基本知識，
考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.
（Ⅰ）解：設(shè)P的坐標(biāo)為（0，），則P至三
鎮(zhèn)距離的平方和為

所以，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值. 答:點P的坐標(biāo)是
（Ⅱ）解法一：P至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為
由解得記于是
因為在[上是增函數(shù)，而上是減函數(shù). 所以時，函數(shù)取得最小值. 答:點P的坐標(biāo)是
解法二：P至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為
由解得記于是

函數(shù)的圖象如圖，因此，
當(dāng)時，函數(shù)取得最小值.答:點P的坐標(biāo)是
解法三：因為在△ABC中，AB=AC=13，且，
所以△ABC的外心M在線段AO上，其坐標(biāo)為，
且AM=BM=CM. 當(dāng)P在射線MA上，記P為P1；當(dāng)P在射線
MA的反向延長線上，記P為P2，
這時P到A、B、C三點的最遠(yuǎn)距離為
P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以點P與外心M
重合時，P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離最小.
答:點P的坐標(biāo)是
例7．（2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷理工農(nóng)醫(yī)類20））
A、B兩個代表隊進(jìn)行乒乓球?qū)官悾筷犎爢T，A隊隊員是A1，A2，A3，B
隊隊員是B1，B2，B3，按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負(fù)概率如下：
對陣隊員
A隊隊員勝的概率
A隊隊員負(fù)的概率
A1對B1
A2對B2
A3對B3
現(xiàn)按表中對陣方式出場，每場勝隊得1分，負(fù)隊得0分，設(shè)A隊、B隊最后所得總分分別為ξ、η
（1）求ξ、η的概率分布；
（2）求Eξ，Eη.
分析：本小題考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，考查運(yùn)用概率知識解決實際問題的能力.
解：（1）ξ、η的可能取值分別為3，2，1，0.
，
根據(jù)題意知ξ+η=3，所以 P(η=0)=P(ξ=3)=， P(η=1)=P(ξ=2)=
P(η=2)=P(ξ=1)= ， P(η=3)=P(ξ=0)= .
（2）； 因為ξ+η=3，所以
例8．（2004年湖北卷）某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為0.3，一
旦發(fā)生，將造成400萬元的損失. 現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨立的預(yù)防措施可供采用. 單獨采用甲、乙預(yù)防措施所需的費(fèi)用分別為45萬元和30萬元，采用相應(yīng)預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率為0.9和0.85. 若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨采用、聯(lián)合采用或不采用，請確定預(yù)防方案使總費(fèi)用最少.（總費(fèi)用=采取預(yù)防措施的費(fèi)用+發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值.）
解：①不采取預(yù)防措施時，總費(fèi)用即損失期望為400×0.3=120（萬元）；
②若單獨采取措施甲，則預(yù)防措施費(fèi)用為45萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為
1－0.9=0.1，損失期望值為400×0.1=40（萬元），所以總費(fèi)用為45+40=85（萬元）
③若單獨采取預(yù)防措施乙，則預(yù)防措施費(fèi)用為30萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1－0.85=0.15，
損失期望值為400×0.15=60（萬元），所以總費(fèi)用為30+60=90（萬元）；
④若聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，則預(yù)防措施費(fèi)用為45+30=75（萬元），發(fā)生突發(fā)事件的概
率為（1－0.9）（1－0.85）=0.015，損失期望值為400×0.015=6（萬元），所以總費(fèi)用為75+6=81（萬元）.
綜合①、②、③、④，比較其總費(fèi)用可知，應(yīng)選擇聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，可使總費(fèi)
用最少.
例9．某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同.為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛?
解：設(shè)2001年末汽車保有量為萬輛，以后各年末汽車保有量依次為萬輛，萬輛，……，每年新增汽車萬輛，則
，
所以，當(dāng)時，，兩式相減得：
（1）顯然，若，則，即，此時
（2）若，則數(shù)列為以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，.
（i）若，則對于任意正整數(shù)，均有，所以，，此時，
（ii）當(dāng)時，，則對于任意正整數(shù)，均有，所以，，
由，得
，
要使對于任意正整數(shù)，均有恒成立，
即
對于任意正整數(shù)恒成立，解這個關(guān)于x的一元一次不等式 ， 得
，
上式恒成立的條件為：，由于關(guān)于的函數(shù)單調(diào)遞減，所以，.
說明：本題是2002年全國高考題，上面的解法不同于參考答案，其關(guān)鍵是化歸為含參數(shù)的不等式恒成立問題，其分離變量后又轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
例10．（2004年重慶卷）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量（噸）與每噸產(chǎn)品的價格（元/噸）之間的關(guān)系式為：,且生產(chǎn)x噸的成本為（元）.問該廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤達(dá)到最大？最大利潤是多少？（利潤=收入─成本）
解：每月生產(chǎn)x噸時的利潤為

，故它就是最大值點，且最大值為：
答：每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時利潤達(dá)到最大，最大利潤為315萬元.

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