資源簡介

數(shù)學(xué)文化-三角函數(shù)與解三角形
專題綜述
數(shù)學(xué)文化不僅是數(shù)學(xué)知識，還包含數(shù)學(xué)理念、數(shù)學(xué)思想，以及數(shù)學(xué)史和所有解決數(shù)學(xué)問題的思路和方法，數(shù)學(xué)文化伴隨著人類文明的發(fā)展，承載了數(shù)學(xué)發(fā)展漫長的積累過程。
新課標(biāo)把"體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價(jià)值"作為高中數(shù)學(xué)課程的十項(xiàng)理念之一,強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)文化是貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容。高考試題會通過創(chuàng)設(shè)新的情境、改變設(shè)問方式,選取適合的知識內(nèi)容等多種方法滲透數(shù)學(xué)文化，一般以選填題的形式出現(xiàn)。三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)文化題一般以我國古代數(shù)學(xué)名著中的幾何測量問題或幾何圖形為背景，考查解三角形或三角變換。
專題探究
探究1：以數(shù)學(xué)名著為背景
在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中，有很多的數(shù)學(xué)著作問世，它們起著數(shù)學(xué)傳播的作用，使得前人的思想和方法得以傳承，如中國古代的《九章算術(shù)》、歐洲的《圓錐曲線論》等，而且這些書籍中的思想和方法在高中數(shù)學(xué)中也有所體現(xiàn)。
(2021江蘇省南京市模擬)《九章算術(shù)》中《方田》章有弧田面積計(jì)算問題，術(shù)日：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一其大意是弧田面積計(jì)算公式為：弧田面積弦矢矢矢弧田是由圓弧弧田弧及圓弧兩端點(diǎn)的弦弧田弦圍成的平面圖形，公式中的“弦”指的是弧田弦的長，“矢”指的是弧田所在圓的半徑與圓心到孤田弦的距離之差，現(xiàn)有一弧田，其矢長等于米，若用上述弧田面積計(jì)算公式算得該弧田的面積為平方米，則其弧田弧所對圓心角的正弦值為
A. B. C. D.
【閱讀突破】
文字語言 符號語言
理解“矢”和“弦”的含義 “矢”為CD，“弦”為AB
理解弧田面積及計(jì)算公式
理解二倍角公式的實(shí)際應(yīng)用
以古代名著《九章算術(shù)》為背景，考查學(xué)生的閱讀理解能力，理解用漢字描述的數(shù)學(xué)定義、定理，考查以數(shù)學(xué)知識和背景為基礎(chǔ)和依托的文字語言、符號語言和圖形語言的理解能力.
【解析呈現(xiàn)】
如圖所示,矢長,弧田面積為,所以,解得，
所以，解得，
所以，，
所以弧田弧所對圓心角的正弦值為
．
故選：．
(2021江蘇省宿遷市模擬)趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家.約公元年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”,亦稱“趙爽弦圖”,它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如圖是一張弦圖,已知大正方形的面積為,小正方形的面積為,若直角三角形較小的銳角為,則的值為
A. B.
C. D.
探究2：以社會生活為背景
數(shù)學(xué)文化不僅僅是枯燥的理論知識或者數(shù)學(xué)歷史，其實(shí)在我們周圍的生活圈中早已蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)文化，展現(xiàn)著它的魅力。
(2021湖南省四校聯(lián)考)《擲鐵餅者》取材于古希臘的體育競技活動，刻畫的是一名強(qiáng)健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂及肩近似看成一張“弓”，擲鐵餅者的肩寬約為米，一只手臂長約為米，“弓”所在圓的半徑約為米，則擲鐵餅者雙手之間的直線距離約為
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【閱讀突破】
文字語言 符號語言
理解“肩寬”和“手臂長”的含義
理解“弓”的含義
分析如何提煉題干的關(guān)鍵信息，構(gòu)建幾何模型
數(shù)學(xué)源于生活，本題以體育競技活動為載體，通過構(gòu)建扇形模型，借助弧長公式及圓心角定理求解。考查了閱讀理解能力、邏輯思維能力、數(shù)學(xué)建模等能力，考查了理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索學(xué)科素養(yǎng)。
【解析呈現(xiàn)】
如圖所示，弓所在弧長為，
則其對應(yīng)的圓心角，
則兩手之間的距離為米，
故選C．
(2021江蘇省蘇州市)達(dá)芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖,畫中女子神秘的微笑數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者入迷.某業(yè)余愛好者對《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進(jìn)行了粗略測繪,將畫中女子的嘴唇近似看作一個(gè)圓弧,在嘴角，處作圓弧的切線,兩條切線交于點(diǎn),測得如下數(shù)據(jù)：，，其中根據(jù)測量得到的結(jié)果推算:將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角大約等于（ ）
A. B. C. D.
探究3：以幾何定理、圖形為背景
在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中，有很多著名的中外數(shù)學(xué)家，他們的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)成就等均為大家所熟知，他們的一些發(fā)現(xiàn)、發(fā)明和我們的高中數(shù)學(xué)息息相關(guān)。
(2021江蘇省南京市)克羅狄斯托勒密所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對角互補(bǔ)時(shí)取等號根據(jù)以上材料，完成下題：如圖，半圓的直徑為，為直徑延長線上的一點(diǎn)，，為半圓上一點(diǎn)，以為一邊作等邊，則當(dāng)線段的長取最大值時(shí)，
A. B. C. D.
【閱讀突破】
文字語言 符號語言
理解制作弦表的原理
理解余弦定理，利用余弦定理求邊和角
在已學(xué)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上,給出一個(gè)"新概念",要求學(xué)生學(xué)習(xí)并運(yùn)用這個(gè)"新概念"來解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題.此類試題,還突出考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力,數(shù)學(xué)抽象概括能力和"新概念"的實(shí)際應(yīng)用能力.
【解析呈現(xiàn)】
由制作弦表原理，，可知，，
，當(dāng)且僅當(dāng)四邊形的對角互補(bǔ)時(shí)取等號，
當(dāng)線段的長取最大值時(shí)，與互補(bǔ)，
，，
在三角形中，，
在三角形中，，，，，，
故選：．
(2020北京市高考)年月日是全球首個(gè)國際圓周率日歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似，數(shù)學(xué)家阿爾卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長和外切正邊形各邊均與圓相切的正邊形的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值．按照阿爾卡西的方法，的近似值的表達(dá)式是
A. B.
C. D.
專題升華
學(xué)科內(nèi)或?qū)W科間的綜合問題是高考的熱點(diǎn)問題之一.新課標(biāo)高考要求,對基礎(chǔ)知識的考查,既要全面又要突出重點(diǎn),要注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合性,從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度考慮問題,在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計(jì)試題,使得對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查達(dá)到必要的深度. 由三角函數(shù)與其它知識整合的題目近年來頻頻出現(xiàn)在各級各類考試題中, 充分體現(xiàn)了三角函數(shù)的工具作用。
【答案詳解】
變式訓(xùn)練1【答案】
【解析】由題意得，大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，
，則，
由于為銳角，，
，，
，
．
故選：．
變式訓(xùn)練2【答案】
【解析】，，其中．
設(shè)．則，
由題意必為銳角，可得，
設(shè)《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角為．
則，．
故選：．
變式訓(xùn)練3【答案】
【解析】如圖設(shè)單位圓的內(nèi)接正邊形的邊長為，單位圓的外切正邊形的邊長為，
可得，
，
則，
即，
故選：．

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