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解題方法-參變分離法
專題綜述
參變分離法是解決方程、不等式有解或恒成立等問題的簡潔、有效的方法。在高中數(shù)學(xué)中,經(jīng)常出現(xiàn)含有參數(shù)的某些函數(shù)、方程、不等式,并要求確定參數(shù)的取值范圍,此時(shí)常常會(huì)用到參變分離法。所謂參變分離法是指在等式或不等式中含有兩個(gè)字母,一個(gè)視為變量,另一個(gè)視為參數(shù),可以利用等價(jià)變形,使得參數(shù)與變量分離于等式或不等式的兩端,從而轉(zhuǎn)化為主元函數(shù)值域的求解。
專題探究
探究1：參變分離法解決恒成立問題
此類問題具有如下特征，函數(shù)中除外，還存在著其他變量即參數(shù)，需在函數(shù)滿足某不等式恒成立的條件下，求出參數(shù)的取值范圍。
具體而言，利用參變分離法來確定不等式恒成立問題中參數(shù)的取值范圍，有如下三個(gè)步驟：
第一步：參數(shù)與變量分離，化為或；
第二步：求或，；
第三步：解或.
參變分離法可以避免對(duì)參數(shù)范圍的討論，簡化解題過程，但需注意兩點(diǎn)：
1.函數(shù)是否可以分離參數(shù)，
2.如果變性后得到的函數(shù)形式太復(fù)雜，則不宜采用參變分離法。
常見單變量不等式問題的最值轉(zhuǎn)化：
（1）,則恒成立;
（2）,則恒成立;
（3）,則恒成立;
（4）,則恒成立;
（5）,則恒成立.令,
即可轉(zhuǎn)化為,則恒成立，則.
特別說明:，恒成立不可以轉(zhuǎn)化為：。
理由:和自變量都是,自變量一樣是一個(gè)函數(shù)的問題,不能分為兩個(gè)函數(shù)理解。
常見雙變量不等式問題的最值轉(zhuǎn)化：
（6）,,;
（7）,,;
（8）,;
（9）,;
（10）,,的值域是的值域的子集.
(2021湖南省長沙市一模)已知函數(shù)．
討論函數(shù)的單調(diào)性；
若在上恒成立，求整數(shù)的最大值．
【審題視點(diǎn)】
解析式中及含對(duì)數(shù)函數(shù)又含指數(shù)函數(shù)，求導(dǎo)后無法得知單調(diào)性，如何轉(zhuǎn)化不等式？
【思維引導(dǎo)】
題目中只出現(xiàn)一次，很容易改寫成一側(cè)只含有的形式，因此使用參變分離法。
【規(guī)范解析】
解：函數(shù)的定義域是，
，，
當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，
當(dāng)時(shí)，由得，由得，
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
由得，
故，
即對(duì)恒成立，
令，
則，
令，則，
，，
在上單調(diào)遞增，
，，
故滿足，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，
故，，，
故的最大值是．
【探究總結(jié)】
本題為使用參變分離法的典例，一來參數(shù)易于分離，二來另一側(cè)的函數(shù)方便研究，但的單調(diào)性無法直接判斷，因此采用再次求導(dǎo)的方法，以研究其單調(diào)性，并虛設(shè)零點(diǎn)求出的最大值。
(2021湖南省名校聯(lián)考)已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若對(duì)任意,不等式恒成立,求正整數(shù)的最小值.
探究2：參變分離法解決零點(diǎn)問題
利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：
（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)做出圖像，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，
（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題
（3）參變分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)問題。
(2021皖豫名校聯(lián)盟第三次聯(lián)考)設(shè)函數(shù)，其中．
若，證明：當(dāng)時(shí)，；
若在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍．
【審題視點(diǎn)】
如何利用條件“至少有兩個(gè)不同的零點(diǎn)”將問題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問題？求導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)是隱零點(diǎn)，又該如何繼續(xù)研究？
【思維引導(dǎo)】
將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象至少有兩個(gè)不同交點(diǎn)，通過研究導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，虛設(shè)零點(diǎn)從而得出極值點(diǎn)，利用圖像的性質(zhì)求解。
【規(guī)范解析】
解：1函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>，當(dāng)時(shí)，恒成立， 當(dāng)時(shí)，令，得， 令，得．
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減．
2，
由至少有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
則等價(jià)于方程至少有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．
即至少有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．
設(shè)，
則與的圖象至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，
，
令，則，
令，可得或舍去，
所以在上，，單調(diào)遞減
在上，，單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的最小值為，
又，所以當(dāng)時(shí)，，
又，
因此必存在唯一，使得，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，有極大值，
當(dāng)時(shí)，有極小值．
又，，且當(dāng)時(shí)，，
所以，可得時(shí)，
與的圖象至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，
故的最大值為．
【探究總結(jié)】
參變分離法處理函數(shù)的零點(diǎn)的本質(zhì)是將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根的問題，再回歸到函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題，所以參變分離往往和數(shù)形結(jié)合是結(jié)伴出現(xiàn)的，需要注意的是許多函數(shù)圖像都有漸近線，需要大家仔細(xì)處理。
(2021湖南省長沙市模擬)設(shè)函數(shù)，其中．
若，證明：當(dāng)時(shí)，；
若在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍．
探究3：參變分離法在數(shù)列中的應(yīng)用
數(shù)列是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，數(shù)列問題中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，例如函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)換等等，是高考考查考生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的良好素材，數(shù)列的滲透力很強(qiáng)，它和函數(shù)方程、三角形、不等式等知識(shí)相互聯(lián)系，優(yōu)化組合，其中以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題是考查熱點(diǎn)內(nèi)容，解題策略主要是分離參數(shù)。
( 2021廣東省廣州市三校聯(lián)考)設(shè)公差不為的等差數(shù)列的首項(xiàng)為，且，，構(gòu)成等比數(shù)列．
求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列的前項(xiàng)和為；
令，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【審題視點(diǎn)】
第一問可以直接用常規(guī)數(shù)列求和方法求解，第二問的通項(xiàng)公式含有三角函數(shù)，又含有參數(shù)，應(yīng)該如何處理？
【思維引導(dǎo)】
用錯(cuò)位相減法求和；
參變分離，討論為奇數(shù)和偶數(shù)，運(yùn)用不等式恒成立思想，即可求解．
【規(guī)范解析】
解：設(shè)公差不為的等差數(shù)列的首項(xiàng)為，
且，，構(gòu)成等比數(shù)列，
可得，即，
解得，，
前項(xiàng)和，
，
兩式相減可得
，
化簡可得；
，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
，
對(duì)恒成立，即為，
可得，則；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
，
對(duì)恒成立，即為，
可得，由在為偶數(shù)時(shí)遞增，
可得取得最小值，則，綜上所述，．
【探究總結(jié)】
數(shù)列和不等式都是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容，這兩個(gè)重點(diǎn)知識(shí)的聯(lián)袂、交匯融合，更能考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合理解與運(yùn)用的能力，對(duì)于數(shù)列求和問題，需熟練掌握常見的幾種求和方法，如果跟三角函數(shù)交匯的題目，一般都是分奇偶性分類討論，含有參數(shù)的數(shù)列不等式，常采用分離參數(shù)的方法求解。
(2021山東省臨沂市模擬)在數(shù)列中，，且對(duì)任意的，都有．
證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
專題升華
當(dāng)有多個(gè)變量出現(xiàn)時(shí)，不容易把兩個(gè)變量完全分開在不等式兩側(cè)的時(shí)候，可以通過半?yún)⒆兎蛛x的方法，將函數(shù)的形式變?yōu)橐贿呌袇?shù)一邊無參的兩個(gè)簡單易確定、易作圖的函數(shù)，再根據(jù)題意和圖像來尋找答案的方法。
【答案詳解】
變式訓(xùn)練1
【解析】當(dāng)時(shí)，，導(dǎo)數(shù)為，
所以切線的斜率為，又，
所以切線的方程為，即為；
當(dāng)時(shí)，，整理可得，
令，則，令，
則，由，可得，當(dāng)時(shí)，，遞減，
因?yàn)?，，所以在存在一個(gè)零點(diǎn)，
此時(shí)，即，
所以當(dāng)時(shí)，，即，遞增；
當(dāng)時(shí)，，即，遞減，
所以有最大值，所以，
因?yàn)椋哉麛?shù)的最小值為．
變式訓(xùn)練2
【解析】，由，得，， 則，即在上為增函數(shù)．
故，即
由，得 設(shè)函數(shù)，，則 令，得，則時(shí)，， 時(shí)，， 所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
又因?yàn)椋?， ， 所以當(dāng)時(shí)，方程，在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同解， 即所求實(shí)數(shù)的取值范圍為．
變式訓(xùn)練3
【解析】由，可得
又，，所以．
所以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．
所以．
所以．
因?yàn)椋?br/>所以
．
又因?yàn)閷?duì)任意，都有，
所以恒成立，即，
易知當(dāng)時(shí)，有最小值，為，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．

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