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解題方法-換元法
專題綜述
換元法是在解題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量代替它，從而使問題得到簡化。又稱為輔助元素法，變量代換法，通過引進新的變量，可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來。其實質是轉化，關鍵是構造元，原則是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新函數的知識背景中去研究，使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，在研究方程、不等式、函數、數列、三角函數等問題中有廣泛的應用。
專題探究
探究1：整體換元法
對一個數學問題,如果直接求解有困難,或不易下手,或由問題的條件難以直接得出結論時,常將一個或幾個式子分別看成整體,用一個或幾個新“元”代換它們,使得以新元為基礎的問題求解比較簡易,解決以后將結果倒回去恢復原來的元,即可得原問題的結果。
(2021山東省聊城市三模)已知函數有三個不同的零點，，，其中，則的值為__________．
【審題視點】
函數的形式復雜，如何化繁為簡？
【思維引導】
本題考查函數零點與方程根的關系，但是的形式復雜，考慮將看作一個整體，轉化為二次函數進行求解，則函數有三個不同的零點，，其中，轉化為方程需要有兩個不同的根，其中，然后借助函數圖像對分類討論即可。
【規范解析】
解：令，構造，求導得，
當時，，當時，，
故在上單調遞增，在上單調遞減，
且時，，時，，，
可畫出函數的圖像見下圖，
由函數有三個不同的零點，，，
則有兩不等根，，
則，
解得或，且．
當時，
則，，且．
所以．
當時，
因為，且，
所以，與矛盾，
故不符合題意．故答案為．
【探究總結】
當我們面對一個復雜的數學式子的時候，我們一定要嘗試著將一個式子看成一個整體，然后利用來替代，從而達到換元目的，簡化問題，實質就是轉化。
(2021江蘇省南通市模擬.多選) 已知函數的值域為，則實數與實數的取值可能為（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
探究2：三角元法
在高中數學中，存在大量的以二次式為背景的條件，但是處理方法各異，因此學生不易學習和掌握，更別談理解方法的本質，在學習三角函數之后，大家應該注意到三角函數運算的一個特點：可以升次也可以降次，從這一點來看，三角函數可以靈活切換次數，也就為二次條件的消元提供了極好的工具。
(2021全國理科乙卷.11)設是橢圓：的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【審題視點】
用常規方法計算量很大，利用三角換元轉化為三角函數的范圍問題。
【思維引導】
設，求得，利用正弦函數的性質求得，進而可求離心率的范圍。
【規范解析】
解：設，由題意，得，
則，
當不等式成立；
當
，
而，，，
又，故橢圓離心率的取值范圍是，
故選：．
【探究總結】
圓錐曲線有一個特點，就是曲線上的點不易于直接表達（拋物線除外），例如橢圓
，為了表示橢圓上一點，需要引入兩個參數，此時會涉及到兩個麻煩事：①開根號，②定符號，這樣一來，會給后面的處理帶來很多麻煩，而三角函數的出現正好彌補了這樣的問題，因為三角函數本身就有降次和升次的功能，利用三角恒等式,可以自然類比到橢圓中,那么橢圓上的點就可以表達成，此時只含有一個參數，成功實現了減元、去根號和定符號的效果。
(2020河北邯鄲市)如圖，已知，分別是橢圓在第三象限的動點和上頂點．當最大時，直線被圓截得的弦長為（ ）
A. B. C. D.
探究3：比值換元法
對于多元函數,我們稱為雙變量，一般來說，我們無法對其進行求導，可以采用“先轉換后構造”的解題策略：同除變形令,構造函數。
(2021全國新課標Ⅰ卷.22)已知函數 ．
（1）討論的單調性； （2）設為兩個不相等的正數，且，證明：．
【審題視點】
待證不等式為一個二元不等式，無法直接求出，也就無法直接將與2和e比大小，如何轉化？如何構造函數，再利用導數研究函數的單調性是解題關鍵。
【思維引導】
（1）求導，解不等式，即可判斷的單調性；
（2）先對左右兩邊同除以，化簡可得，不妨設，且，，要證，即證，
通過運用函數單調性將和直接比較轉化為和的比較，利用轉化為一元變量的函數，用導致證明。
【規范解析】
解：的定義域為 ，，
由解得，由解得，
在上單調遞增，在上單調遞減；
證明：由可得，
整理得：，即，
不妨設，且，
即，即證明，
由在上單調遞增，在上單調遞減，
且，可得，
先證明，
令
，，
，
在上單調遞增，
又，，
，即，
由可知在上單調遞減，，即；
下面再證明，不妨設 則，
由，可得 ，
要證，即證，
即證，即證，
即證，
設，，，
令，，
，，
在上單調遞減，，
，在上單調遞減，
，即，
，故．
【探究總結】
這類問題的解題思路是根據題設條件將所證不等式轉化為只含有的不等式，再通過令或的代換方法，將含二元變量的不等式轉化為一元變量的函數，以導數為工具證明。
(2021江蘇省蘇州市模擬)已知函數在處的切線與直線平行．
Ⅰ求實數的值，并判斷函數的單調性；
Ⅱ若函數有兩個零點，，且，求證：．
專題升華
使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注意新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。 換元法可以化高次為低次，化分式為整式，化無理式為有理式，化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函數、數列、三角函數等問題中有廣泛的應用。
【答案詳解】
變式訓練1【答案】
【解析】，
設，則．
當時，在上單調遞增，時，，所以，即，故正確；
當時，在上單調遞增，時，，故，即，故正確；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增，故，即，故錯誤；
當時，在上單調遞增，時，，故，即，故正確．
故選．
變式訓練2【答案】B
【解析】橢圓中，，設，
，
，
當，最大，此時，，故，
直線的方程為，
圓心到直線的距離為，弦長為．
故選B．
變式訓練3
【解析】Ⅰ函數的定義域：，
因為，所以解得，
，
令，解得，故在上單調遞減，
令，解得，故在上單調遞增．
Ⅱ由，為函數的兩個零點，
得，
兩式相減，可得，
即，，
因此，，令，由,得,
則，
構造函數，則，
所以函數在上單調遞增，故，
即，又所以，所以，
故命題得證．

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