資源簡介

解題方法-配湊法
專題綜述
配湊法是高中數(shù)學(xué)中常見的解題方法,指為了便于利用一些公式、定理、性質(zhì)等，或使目標(biāo)函數(shù)式轉(zhuǎn)化為方便求解的形式,通過添加項(xiàng)、裂項(xiàng)、拆項(xiàng)、放縮，變形或用"1"的代換等方式,使問題獲解的一種方法。在運(yùn)用配湊法解題時(shí)，我們要仔細(xì)觀察題干，尋找題干中的有效信息,結(jié)合所學(xué)的公式,定理,性質(zhì)等對其進(jìn)行合理配湊。
專題探究
探究1：配湊法解基本不等式
配湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用配湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問題：
(1)配湊的技巧,以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形；
(2)代數(shù)式的變形以配湊出和或積的定值為目標(biāo)；
(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提。
答題思路一：“配系數(shù)”使和式為定值
系數(shù)配湊法大多用于形如的積的形式，通過系數(shù)配湊，使,且與之和為定值（或滿足已知條件），可利用均值不等式解決。
答題思路二：“配項(xiàng)”使積式為定值
（1）拆項(xiàng)配湊法大多用于形如的和的形式，通過拆項(xiàng)，使,若相應(yīng)項(xiàng)的平方和或積為定值（或滿足已知條件），可利用均值不等式解決;
（2）添項(xiàng)配湊大多用于形如的形式，若為定值，通過添加項(xiàng)，
使,最后利用均值不等式即可;
（3）有關(guān)分式的最值問題，若分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，則可考慮拆項(xiàng)，變?yōu)楹偷男问剑缓笈錅惗ǚe。
(2021湖北省武漢市模擬)已知正數(shù)滿足，則的最小值是
A. B. C. D.
【審題視點(diǎn)】
本題涉及最值的求解，考慮用基本不等式求解，觀察特征，配湊出滿足基本不等式的數(shù)量關(guān)系式是解題關(guān)鍵。
【思維引導(dǎo)】
很明顯本題不能直接用“1”的代換，觀察所求式子的分母分別為和，所以將條件等式變形為，即可求解。
【規(guī)范解析】
，
，且，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
則的最小值是．
故選C．
【探究總結(jié)】
用基本不等式求最值時(shí)需要注意三個(gè)條件：一正、二定、三相等，“一正”不滿足時(shí)，需提負(fù)號或甲乙討論，“二定”不滿足時(shí)，需變形，“三相等”不滿足時(shí)，可利用函數(shù)單調(diào)性。需注意求乘積最值時(shí)，同樣要驗(yàn)證“一正、二定、三相等”。
(2021福建省廈門市雙十中學(xué)高三期中.多選)早在西元前世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同而今我們稱為正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，為正數(shù)，的幾何平均數(shù)，并把這兩者結(jié)合的不等式叫做基本不等式下列與基本不等式有關(guān)的命題中正確的是
A. 若，則
B. 若，，則最小值為
C. 若，，，
D. 若實(shí)數(shù)，滿足，，，則的最小值是
探究2：配湊法構(gòu)造數(shù)列
對于形如的數(shù)列，可采用配湊法，配湊成的形式，則得到新數(shù)列是等比數(shù)列，先求出新數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)而可求.
(2021陜西省西安市十模)已知數(shù)列,滿足，，．
證明：是等比數(shù)列；求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【審題視點(diǎn)】
如何通過遞推關(guān)系式構(gòu)造等比數(shù)列？通項(xiàng)公式出現(xiàn)時(shí)，如何求和？
【思維引導(dǎo)】
觀察遞推關(guān)系式可配湊為的形式，構(gòu)造新的等比數(shù)列，即可求解，第二問需要討論的奇偶性，分組求和。
【規(guī)范解析】
證明：由題意可知，
即，
，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
解：由知，，
則，
，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
，
．
【探究總結(jié)】
第一問根據(jù)題設(shè)條件直接構(gòu)造等比數(shù)列，屬于常規(guī)題型，要熟練掌握，第二問的求和，通項(xiàng)公式看似復(fù)雜，其實(shí)很簡單，其形式特征明顯，啟發(fā)我們分n的的奇偶性來討論，分組求和即可。
(2022湖北省“荊、荊、襄、宜”四地七校聯(lián)盟)已知數(shù)列滿足
證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式
已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，若，求數(shù)列的前項(xiàng)和
專題升華
“配湊”通過恰當(dāng)?shù)钠磁c湊，是問題簡潔、明了，從而達(dá)到比較容易解決問題的目的，是一種啟發(fā)思維的好方法，除了以上介紹的兩種常見的配湊以外，在三角函數(shù)、解析幾何、函數(shù)等方面有廣泛的應(yīng)用。
常用配湊法解題策略：
1. 把結(jié)論變形，湊出題設(shè)形式，以方便利用已知條件
2. 把題設(shè)變形，湊出結(jié)論形式，以從中推出結(jié)論
3. 把題設(shè)先變形，再把結(jié)論變形，湊出變形后的題設(shè)形式
【答案詳解】
變式訓(xùn)練1【答案】
【解析】若，，則，故錯(cuò)誤
B.因?yàn)椋瑒t，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故B錯(cuò)誤
C.，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號，C正確．
D.令，，則，，．
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故D正確．
故選．
變式訓(xùn)練2
【解析】證明：由，可得，
則，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，
故，則；
解：設(shè)數(shù)列的公比為，令，則，所以，
又，解得或舍去，
所以，
，，
所以，
，
得
，
故．

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