資源簡介

數(shù)學(xué)文化-函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
專題綜述
數(shù)學(xué)文化不僅是數(shù)學(xué)知識，還包含數(shù)學(xué)理念、數(shù)學(xué)思想，以及數(shù)學(xué)史和所有解決數(shù)學(xué)問題的思路和方法，數(shù)學(xué)文化伴隨著人類文明的發(fā)展，承載了數(shù)學(xué)發(fā)展漫長的積累過程。
新課標(biāo)把"體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價值"作為高中數(shù)學(xué)課程的十項理念之一,強調(diào)數(shù)學(xué)文化是貫穿整個高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容。高考試題會通過創(chuàng)設(shè)新的情境、改變設(shè)問方式,選取適合的知識內(nèi)容等多種方法滲透數(shù)學(xué)文化，一般以選填題的形式出現(xiàn)。函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的數(shù)學(xué)文化題一般以著名數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)成就為背景，考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的圖像與性質(zhì)。
專題探究
探究1：以中外數(shù)學(xué)名題為背景
數(shù)學(xué)歷史名題或者直接提供了相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)實背景，或與深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)容相結(jié)合，或者深刻揭示了實質(zhì)性的數(shù)學(xué)思想，或者與經(jīng)典的解法相互關(guān)聯(lián)，以中外數(shù)學(xué)名題為背景命題，也是以數(shù)學(xué)文化為背景的高考試題的一大特色。
(2021湖南省懷化市高三聯(lián)考)中國古代近似計算方法源遠(yuǎn)流長，早在八世紀(jì)，我國著名數(shù)學(xué)家張遂在編制《大衍歷》中發(fā)明了一種二次不等距插值算法：若函數(shù)
在，，處的函數(shù)值分別為，
，，則在區(qū)間上可以用二次函數(shù)來近似代替：
，其中，，若令，，，請依據(jù)上述算法，估算的值是
A. B. C. D.
【閱讀突破】
文字語言 符號語言
深刻理解二次不等距插值算法 ，，，
分析如何提煉題干的關(guān)鍵信息，構(gòu)建函數(shù)模型
以古代名著《大衍歷》為背景，“新算法”類問題的情境一般比較陌生，先準(zhǔn)確理解“新運算”法則，再加以靈活運用即可解決問題。考查以數(shù)學(xué)知識和背景為基礎(chǔ)和依托的文字語言、符號語言和圖形語言的理解能力。
【解析呈現(xiàn)】
設(shè)，且，，，則有，，；
所以，，，
由，
可得，
．
故選：．
(2021江西省南昌市)丹麥數(shù)學(xué)家琴生是世紀(jì)對數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果，設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”，已知在上為“凸函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是 ．
探究2：以新定義函數(shù)為背景
此類型問題可能以文字的形式出現(xiàn)，也可能以數(shù)學(xué)符號或數(shù)學(xué)表達(dá)式的形式出現(xiàn)，要求先準(zhǔn)確理解“新定義”函數(shù)的特點，再加以靈活運用，特別提醒：“給什么，用什么”是應(yīng)用“新定義”解題的基本思路。
(2022江蘇省無錫市高三調(diào)研.多選)高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是
A. 是偶函數(shù) B. 是奇函數(shù)
C. 在上是增函數(shù) D. 的值域是
【閱讀突破】
文字語言 符號語言
理解高斯函數(shù) 表示不超過的最大整數(shù)
分析如何對函數(shù)變形，研究的性質(zhì)
本題以“高斯函數(shù)”為載體，給出一個未接觸過的新規(guī)定、新概念，要求現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，其目的是考查閱讀理解能力、應(yīng)變能力和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、主動探究的品質(zhì)。
【解析呈現(xiàn)】
因為,而,，
所以，即不是偶函數(shù) ，因此不正確；
因為，定義域，
且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，因此B正確；
因為，，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，因此C正確；
因為，所以，所以，因此不正確．
故選BC．
(2021山東省青島市.多選)德國著名數(shù)學(xué)家狄利克在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著.世紀(jì),狄利克雷定義了一個“奇怪的函數(shù)”，其中為實數(shù)集，為有理數(shù)集．則關(guān)于函數(shù)有如下四個命題，其中真命題的是
A. 函數(shù)是偶函數(shù)
B. ，，恒成立
C. 任取一個不為零的有理數(shù)，對任意的恒成立
D. 不存在三個點，，，使得為等腰直角三角形
專題升華
在新模型類問題中，需要學(xué)生將所給的解題模型遷移至新情境中，對目標(biāo)問題進(jìn)行合理探究，此類問題有力培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成善于思考、勤于鉆研的好習(xí)慣，特別提醒：緊扣“新模型”的思維本質(zhì)，是解題的基本原則，“新定義”函數(shù)是把數(shù)學(xué)知識與方法遷移到題設(shè)閱讀材料中，學(xué)生需捕捉相關(guān)信息，通過歸納、探索，發(fā)現(xiàn)解題方法，然后解決問題，解決此類問題一般有以下四種方法：1.聯(lián)想背景2. 緊扣定義3. 巧妙賦值4. 構(gòu)造函數(shù)
【答案詳解】
變式訓(xùn)練1【答案】
【解析】，
，
，
在上為“凸函數(shù)”，
在上恒成立，
，
易知在上為增函數(shù)，
，，
故答案為：．
變式訓(xùn)練2【答案】
【解析】 對于，若，則，滿足；若，則，滿足；故函數(shù)為偶函數(shù)，選項A正確；
對于，取,，則，，，故選項B錯誤；
對于，若，則，滿足；若，則，
滿足；故選項C正確；
對于，要為等腰直角三角形，只可能是如下四種情況：
直角頂點在上，斜邊在軸上，此時點，點的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，則中點的橫坐標(biāo)仍然為無理數(shù)，那么點的橫坐標(biāo)也為無理數(shù)，這與點的縱坐標(biāo)為矛盾，故不成立；
直角頂點在上，斜邊不在軸上，此時點的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，則點的橫坐標(biāo)也應(yīng)為無理數(shù)，這與點的縱坐標(biāo)為矛盾，故不成立；
直角頂點在軸上，斜邊在上，此時點，點的橫坐標(biāo)為有理數(shù)，則中點的橫坐標(biāo)仍然為有理數(shù)，那么點的橫坐標(biāo)也應(yīng)為有理數(shù)，這與點的縱坐標(biāo)為矛盾，故不成立；
直角頂點在軸上，斜邊不在上，此時點的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，則點的橫坐標(biāo)也應(yīng)為無理數(shù)，這與點的縱坐標(biāo)為矛盾，故不成立．
綜上，不存在三個點，，，使得為等腰直角三角形，故選項D正確．
故選：．

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